अंकगणित में पाए जाने वाले कई भिन्नों में से, जिनके हर में 10, 100, 1000 हैं, वे विशेष ध्यान देने योग्य हैं - सामान्य तौर पर, दस की कोई भी शक्ति। इन भिन्नों का एक विशेष नाम और अंकन होता है।

दशमलव कोई भी संख्या है जिसका हर दस की घात है।

दशमलव उदाहरण:

ऐसे भिन्नों को बिल्कुल अलग करना क्यों आवश्यक था? उन्हें अपने स्वयं के प्रवेश फॉर्म की आवश्यकता क्यों है? इसके कम से कम तीन कारण हैं:

1. दशमलव की तुलना करना बहुत आसान है। याद रखें: साधारण भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें एक-दूसरे से घटाना होगा और विशेष रूप से भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा। दशमलव भिन्नों में, इनमें से किसी की भी आवश्यकता नहीं है;
2. गणना में कमी। दशमलव अपने स्वयं के नियमों के अनुसार जोड़ते और गुणा करते हैं, और थोड़े अभ्यास से आप उनके साथ सामान्य लोगों की तुलना में बहुत तेजी से काम करने में सक्षम होंगे;
3. रिकॉर्डिंग में आसानी। साधारण भिन्नों के विपरीत, दशमलव को बिना स्पष्टता खोए एक पंक्ति में लिखा जाता है।

अधिकांश कैलकुलेटर दशमलव में भी उत्तर देते हैं। कुछ मामलों में, एक अलग रिकॉर्डिंग प्रारूप समस्या पैदा कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप स्टोर में 2/3 रूबल की राशि में बदलाव की मांग करते हैं तो क्या होगा :)

दशमलव भिन्न लिखने के नियम

दशमलव अंशों का मुख्य लाभ एक सुविधाजनक और दृश्य संकेतन है। अर्थात्:

दशमलव संकेतन दशमलव संकेतन का एक रूप है जहां पूर्णांक भाग को नियमित बिंदु या अल्पविराम का उपयोग करके भिन्नात्मक भाग से अलग किया जाता है। इस मामले में, विभाजक ही (डॉट या कॉमा) को दशमलव बिंदु कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, 0.3 (पढ़ें: "शून्य पूर्णांक, 3 दसवां"); 7.25 (7 पूर्णांक, 25 सौवां); 3.049 (3 पूर्णांक, 49 हजारवां)। सभी उदाहरण पिछली परिभाषा से लिए गए हैं।

लेखन में, अल्पविराम का उपयोग आमतौर पर दशमलव बिंदु के रूप में किया जाता है। यहाँ और नीचे, पूरी साइट पर अल्पविराम का भी उपयोग किया जाएगा।

मनमाना लिखने के लिए दशमलवइस फॉर्म में, आपको तीन सरल चरणों का पालन करना होगा:

1. अंश को अलग से लिखें;
2. दशमलव बिंदु को बाईं ओर उतने स्थानों तक खिसकाएँ जितने हर में शून्य हों। मान लें कि प्रारंभ में दशमलव बिंदु सभी अंकों के दाईं ओर है;
3. यदि दशमलव बिंदु स्थानांतरित हो गया है, और उसके बाद रिकॉर्ड के अंत में शून्य हैं, तो उन्हें काट दिया जाना चाहिए।

ऐसा होता है कि दूसरे चरण में अंश के पास शिफ्ट को पूरा करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं होते हैं। इस मामले में, लापता पदों को शून्य से भर दिया जाता है। और सामान्य तौर पर, स्वास्थ्य को नुकसान पहुंचाए बिना किसी भी संख्या के बाईं ओर शून्य की कोई भी संख्या दी जा सकती है। यह बदसूरत है, लेकिन कभी-कभी उपयोगी होता है।

पहली नज़र में, यह एल्गोरिथ्म बल्कि जटिल लग सकता है। वास्तव में, सब कुछ बहुत, बहुत सरल है - आपको बस थोड़ा अभ्यास करने की आवश्यकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

एक कार्य। प्रत्येक भिन्न के लिए, उसके दशमलव अंकन को इंगित करें:

पहली भिन्न का अंश: 73. हम दशमलव बिंदु को एक चिह्न से स्थानांतरित करते हैं (क्योंकि हर 10 है) - हमें 7.3 मिलता है।

दूसरी भिन्न का अंश: 9. हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से स्थानांतरित करते हैं (क्योंकि हर 100 है) - हमें 0.09 मिलता है। मुझे दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य और उससे पहले एक और शून्य जोड़ना था, ताकि ".09" जैसा कोई अजीब संकेत न छूटे।

तीसरे भिन्न का अंश: 10029। हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बदलते हैं (क्योंकि हर 1000 है) - हमें 10.029 मिलता है।

अंतिम भिन्न का अंश: 10500। फिर से हम बिंदु को तीन अंकों से बदलते हैं - हमें 10.500 मिलते हैं। संख्या के अंत में अतिरिक्त शून्य होते हैं। हम उन्हें पार करते हैं - हमें 10.5 मिलता है।

पिछले दो उदाहरणों पर ध्यान दें: संख्याएं 10.029 और 10.5। नियमों के अनुसार, दाईं ओर के शून्य को काट देना चाहिए, जैसा कि पिछले उदाहरण में किया गया है। हालाँकि, किसी भी स्थिति में आपको ऐसा शून्य के साथ नहीं करना चाहिए जो संख्या के अंदर हो (जो अन्य अंकों से घिरे हों)। इसलिए हमें 10.029 और 10.5 मिले, न कि 1.29 और 1.5।

इसलिए, हमने दशमलव भिन्नों को रिकॉर्ड करने की परिभाषा और रूप का पता लगाया। अब आइए जानें कि साधारण भिन्नों को दशमलव में कैसे बदलें - और इसके विपरीत।

भिन्न से दशमलव में बदलें

फॉर्म ए / बी के एक साधारण संख्यात्मक अंश पर विचार करें। आप भिन्न के मूल गुण का उपयोग कर सकते हैं और अंश और हर को इतनी संख्या से गुणा कर सकते हैं कि आपको नीचे दस का घात मिले। लेकिन ऐसा करने से पहले, कृपया निम्नलिखित पढ़ें:

ऐसे हर हैं जो दस की शक्ति तक कम नहीं होते हैं। ऐसे भिन्नों को पहचानना सीखें, क्योंकि नीचे वर्णित एल्गोरिथम के अनुसार उनके साथ कार्य नहीं किया जा सकता है।

यही बात है। खैर, कैसे समझें कि हर दस की शक्ति तक कम हो गया है या नहीं?

उत्तर सरल है: भाजक का गुणनखंड करें प्रधान कारण. यदि विस्तार में केवल गुणनखंड 2 और 5 मौजूद हों, तो इस संख्या को घटाकर दस के घात तक किया जा सकता है। यदि अन्य संख्याएँ (3, 7, 11 - जो भी हों) हैं, तो आप दस की डिग्री के बारे में भूल सकते हैं।

एक कार्य। जांचें कि क्या निर्दिष्ट अंशों को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है:

हम इन भिन्नों के हरों को लिखते हैं और गुणनखंड करते हैं:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - केवल संख्या 2 और 5 मौजूद हैं। इसलिए, अंश को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है।

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - एक "निषिद्ध" कारक है। 3 अंश को दशमलव के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है।

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. सब कुछ क्रम में है: संख्या 2 और 5 के अलावा कुछ भी नहीं है। एक अंश को दशमलव के रूप में दर्शाया जाता है।

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. कारक 3 फिर से "सामने" आया। इसे दशमलव अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

इसलिए, हमने हर का पता लगाया - अब हम दशमलव अंशों पर स्विच करने के लिए संपूर्ण एल्गोरिथ्म पर विचार करेंगे:

1. मूल भिन्न के हर को गुणनखंडित करें और सुनिश्चित करें कि यह आम तौर पर दशमलव के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य है। वे। जांचें कि विस्तार में केवल कारक 2 और 5 मौजूद हैं। अन्यथा, एल्गोरिथ्म काम नहीं करता है;
2. गणना करें कि अपघटन में कितने दो और पांच मौजूद हैं (वहां कोई अन्य संख्या नहीं होगी, याद रखें?) ऐसा अतिरिक्त गुणक चुनें जिससे दो और पांच की संख्या बराबर हो।
3. दरअसल, मूल भिन्न के अंश और हर को इस गुणनखंड से गुणा करने पर - हमें वांछित निरूपण प्राप्त होता है, अर्थात्। हर दस की शक्ति होगी।

बेशक, अतिरिक्त कारक भी केवल दो और पांच में विघटित हो जाएगा। उसी समय, अपने जीवन को जटिल न करने के लिए, आपको सभी संभावित कारकों में से सबसे छोटा ऐसा कारक चुनना चाहिए।

और एक और बात: यदि मूल अंश में एक पूर्णांक भाग है, तो इस अंश को एक अनुचित में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें - और उसके बाद ही वर्णित एल्गोरिदम लागू करें।

एक कार्य। इन संख्याओं को दशमलव में बदलें:

आइए पहले भिन्न के हर का गुणनखंड करें: 4 = 2 · 2 = 2 2 । इसलिए, एक अंश को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है। विस्तार में दो दो और पांच नहीं हैं, इसलिए अतिरिक्त कारक 5 2 = 25 है। दो और पांच की संख्या इसके बराबर होगी। हमारे पास है:

अब चलिए दूसरे अंश से निपटते हैं। ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - विस्तार में एक तिहाई है, इसलिए अंश को दशमलव के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

अंतिम दो भिन्नों में हर 5 (एक अभाज्य संख्या) और 20 = 4 5 = 2 2 5 हर जगह मौजूद हैं - हर जगह केवल दो और पाँच मौजूद हैं। उसी समय, पहले मामले में, "पूर्ण खुशी के लिए", पर्याप्त गुणक 2 नहीं है, और दूसरे में - 5. हमें मिलता है:

दशमलव से साधारण में स्विच करना

रिवर्स रूपांतरण - दशमलव अंकन से सामान्य तक - बहुत आसान है। कोई प्रतिबंध और विशेष जांच नहीं है, इसलिए आप हमेशा एक दशमलव अंश को क्लासिक "दो-कहानी" में बदल सकते हैं।

अनुवाद एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. दशमलव के बाईं ओर के सभी शून्यों के साथ-साथ दशमलव बिंदु को भी काट दें। यह वांछित भिन्न का अंश होगा। मुख्य बात - इसे ज़्यादा मत करो और अन्य संख्याओं से घिरे आंतरिक शून्य को पार न करें;
2. गणना करें कि दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव अंश में कितने अंक हैं। संख्या 1 लें और वर्णों की गणना करते समय दाईं ओर उतने ही शून्य जोड़ें। यह भाजक होगा;
3. दरअसल, उस भिन्न को लिखिए जिसका अंश और हर हमें अभी-अभी मिला है। हो सके तो कम करें। यदि मूल भिन्न में एक पूर्णांक भाग था, तो अब हमें एक अनुचित भिन्न प्राप्त होगी, जो आगे की गणना के लिए बहुत सुविधाजनक है।

एक कार्य। दशमलव को साधारण में बदलें: 0.008; 3.107; 2.25; 7,2008.

हम बाईं ओर शून्य और अल्पविराम को पार करते हैं - हमें निम्नलिखित संख्याएँ मिलती हैं (ये अंश होंगे): 8; 3107; 225; 72008.

दशमलव बिंदु के बाद पहले और दूसरे अंश में 3 दशमलव स्थान हैं, दूसरे में - 2, और तीसरे में - 4 दशमलव स्थान हैं। हमें हर मिलता है: 1000; 1000; 100; 10000.

अंत में, आइए अंशों और हरों को साधारण भिन्नों में संयोजित करें:

जैसा कि उदाहरणों से देखा जा सकता है, परिणामी भिन्न को अक्सर कम किया जा सकता है। एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि किसी भी दशमलव अंश को सामान्य के रूप में दर्शाया जा सकता है। रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन हमेशा संभव नहीं होता है।

इस ट्यूटोरियल में, हम इनमें से प्रत्येक ऑपरेशन को एक-एक करके देखेंगे।

पाठ सामग्री

दशमलव जोड़ना

जैसा कि हम जानते हैं, दशमलव भिन्न में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव जोड़ते समय, पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए दशमलव 3.2 और 5.3 जोड़ें। किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक होता है।

सबसे पहले, हम इन दो भिन्नों को एक कॉलम में लिखते हैं, जबकि पूर्णांक भागों को पूर्णांक भागों के नीचे होना चाहिए, और भिन्नात्मक भागों को भिन्नात्मक भागों के नीचे होना चाहिए। स्कूल में, इस आवश्यकता को कहा जाता है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" .

आइए भिन्नों को एक कॉलम में लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो:

हम भिन्नात्मक भाग जोड़ते हैं: 2 + 3 = 5. हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं: 3 + 5 = 8. हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में आठ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से नियम का पालन करते हैं "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" :

उत्तर मिला 8.5. तो व्यंजक 3.2 + 5.3 8.5 . के बराबर है

3,2 + 5,3 = 8,5

वास्तव में, सब कुछ उतना सरल नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यहां भी, नुकसान हैं, जिनके बारे में हम अब बात करेंगे।

दशमलव में स्थान

सामान्य संख्याओं की तरह दशमलव के भी अपने अंक होते हैं। ये दसवें स्थान, सौवें स्थान, हजारवें स्थान हैं। इस मामले में, अंक दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दसवें स्थान के लिए जिम्मेदार है, दूसरा अंक दशमलव बिंदु के बाद सौवें स्थान के लिए, तीसरा अंक दशमलव बिंदु के बाद हजारवें स्थान के लिए है।

दशमलव भिन्न में अंक कुछ जमा करते हैं उपयोगी जानकारी. विशेष रूप से, वे रिपोर्ट करते हैं कि दशमलव में कितने दसवें, सौवें और हज़ारवें हिस्से हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव 0.345 . पर विचार करें

वह स्थान जहाँ त्रिगुण स्थित होता है, कहलाता है दसवां स्थान

वह स्थान जहाँ चार स्थित होते हैं, कहलाते हैं सौवां स्थान

वह स्थान जहाँ पाँच स्थित होते हैं, कहलाते हैं हजारवें

आइए इस आंकड़े को देखें। हम देखते हैं कि दसवीं की श्रेणी में एक तीन है। इससे पता चलता है कि दशमलव भिन्न 0.345 में तीन दहाई होते हैं।

यदि हम भिन्नों को जोड़ते हैं, और फिर हमें मूल दशमलव भिन्न 0.345 . प्राप्त होता है

हमें पहले उत्तर मिला, लेकिन इसे दशमलव में बदल दिया और 0.345 प्राप्त किया।

दशमलव जोड़ना सामान्य संख्याओं को जोड़ने के समान नियमों का पालन करता है। दशमलव अंशों का जोड़ अंकों से होता है: दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हज़ारवें से हज़ारवें भाग में जोड़ा जाता है।

अतः दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय नियम का पालन करना आवश्यक है "अल्पविराम के तहत अल्पविराम". अल्पविराम के तहत अल्पविराम वही क्रम प्रदान करता है जिसमें दसवें को दसवें, सौवें से सौवें, हज़ारवें से हज़ारवें भाग में जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1व्यंजक 1.5 + 3.4 . का मान ज्ञात कीजिए

सबसे पहले, हम भिन्नात्मक भाग 5 + 4 = 9 जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में नौ लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों 1 + 3 = 4 को जोड़ते हैं। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में चारों को लिखते हैं:

अब हम पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हैं:

उत्तर मिला 4.9. अतः व्यंजक 1.5 + 3.4 का मान 4.9 . है

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 3.51 + 1.22

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं।

सबसे पहले, भिन्नात्मक भाग, अर्थात् सौवां 1+2=3 जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में त्रिक लिखते हैं:

अब 5+2=7 का दसवां हिस्सा जोड़ें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में सात लिखते हैं:

अब सारे भाग 3+1=4 जोड़ें। हम अपने उत्तर के पूरे भाग में चार लिखते हैं:

हम "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग करते हैं:

उत्तर मिला 4.73। अतः व्यंजक 3.51 + 1.22 का मान 4.73 . है

3,51 + 1,22 = 4,73

सामान्य संख्याओं की तरह, दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, . इस मामले में, एक अंक उत्तर में लिखा जाता है, और बाकी को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.65 + 3.27

हम इस अभिव्यक्ति को एक कॉलम में लिखते हैं:

5+7=12 का सौवां भाग जोड़ें। हमारे उत्तर के सौवें भाग में संख्या 12 फिट नहीं होगी। इसलिए, सौवें भाग में, हम संख्या 2 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम 6+2=8 के दहाई को जोड़ते हैं और पिछले ऑपरेशन से हमें जो इकाई मिली है, हमें 9 मिलता है। हम अपने उत्तर के दसवें में संख्या 9 लिखते हैं:

अब सारे भाग 2+3=5 डाल दें। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 5 लिखते हैं:

उत्तर मिला 5.92। अतः व्यंजक 2.65 + 3.27 का मान 5.92 . है

2,65 + 3,27 = 5,92

उदाहरण 4व्यंजक 9.5 + 2.8 . का मान ज्ञात कीजिए

इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखें

हम भिन्नात्मक भाग 5 + 8 = 13 जोड़ते हैं। संख्या 13 हमारे उत्तर के भिन्नात्मक भाग में फिट नहीं होगी, इसलिए हम पहले संख्या 3 लिखते हैं, और इकाई को अगले अंक में स्थानांतरित करते हैं, या इसे पूर्णांक में स्थानांतरित करते हैं। अंश:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 9+2=11 प्लस इकाई जो हमें पिछले ऑपरेशन से मिली थी, हमें 12 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 12 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 12.3. अतः व्यंजक 9.5 + 2.8 का मान 12.3 . है

9,5 + 2,8 = 12,3

दशमलव भिन्नों को जोड़ते समय, दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान होनी चाहिए। यदि पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो भिन्नात्मक भाग में ये स्थान शून्य से भरे हुए हैं।

उदाहरण 5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 12.725 + 1.7

इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखने से पहले, आइए दोनों भिन्नों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान करें। दशमलव भिन्न 12.725 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, जबकि भिन्न 1.7 में केवल एक होता है। तो 1.7 के अंत में आपको दो शून्य जोड़ने होंगे। तब हमें भिन्न 1,700 प्राप्त होता है। अब आप इस व्यंजक को एक कॉलम में लिख सकते हैं और गणना करना शुरू कर सकते हैं:

5+0=5 का हज़ारवाँ भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के हजारवें भाग में 5 अंक लिखते हैं:

2+0=2 का सौवां भाग जोड़ें। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में संख्या 2 लिखते हैं:

7+7=14 का दसवां हिस्सा जोड़ें। संख्या 14 हमारे उत्तर के दसवें हिस्से में फिट नहीं होगी। इसलिए, हम पहले संख्या 4 लिखते हैं, और इकाई को अगले बिट में स्थानांतरित करते हैं:

अब हम पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं 12+1=13 प्लस इकाई जो हमें पिछले ऑपरेशन से मिली थी, हमें 14 मिलता है। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में संख्या 14 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 14,425। अतः व्यंजक का मान 12.725+1.700 है 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

दशमलव का घटाव

दशमलव अंशों को घटाते समय, आपको उन्हीं नियमों का पालन करना चाहिए जो जोड़ते समय: "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" और "दशमलव बिंदु के बाद अंकों की समान संख्या"।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.5 - 2.2

हम इस अभिव्यक्ति को "अल्पविराम के तहत अल्पविराम" नियम का पालन करते हुए एक कॉलम में लिखते हैं:

हम भिन्नात्मक भाग 5−2=3 की गणना करते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में संख्या 3 लिखते हैं:

पूर्णांक भाग 2−2=0 की गणना करें। हम अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में शून्य लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

हमें उत्तर 0.3 मिला। तो व्यंजक 2.5 - 2.2 का मान 0.3 . के बराबर है

2,5 − 2,2 = 0,3

उदाहरण 2व्यंजक 7.353 - 3.1 . का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति में अलग राशिदशमलव बिंदु के बाद अंक। भिन्न 7.353 में दशमलव बिंदु के बाद तीन अंक होते हैं, और भिन्न 3.1 में केवल एक होता है। इसका अर्थ है कि भिन्न 3.1 में, दोनों भिन्नों में अंकों की संख्या समान बनाने के लिए अंत में दो शून्य जोड़े जाने चाहिए। तब हमें 3,100 मिलते हैं।

अब आप इस व्यंजक को एक कॉलम में लिख सकते हैं और इसकी गणना कर सकते हैं:

उत्तर मिला 4,253। अतः व्यंजक 7.353 - 3.1 का मान 4.253 . है

7,353 — 3,1 = 4,253

सामान्य संख्याओं की तरह, यदि घटाना असंभव हो जाता है, तो कभी-कभी आपको आसन्न बिट से एक उधार लेना होगा।

उदाहरण 3व्यंजक 3.46 - 2.39 . का मान ज्ञात कीजिए

6−9 का सौवां भाग घटाएं। संख्या 6 से संख्या 9 घटाएं नहीं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। पड़ोसी अंक से एक को उधार लेने के बाद, संख्या 6 संख्या 16 में बदल जाती है। अब हम 16−9=7 के सौवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के सौवें भाग में सात को लिखते हैं:

अब दसवां घटाएं। चूँकि हमने दहाई की श्रेणी में एक इकाई ली थी, वहाँ जो आंकड़ा था वह एक इकाई कम हो गया। दूसरे शब्दों में, दसवां स्थान अब संख्या 4 नहीं है, बल्कि संख्या 3 है। आइए 3−3=0 के दसवें हिस्से की गणना करें। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में शून्य लिखते हैं:

अब पूर्णांक भागों 3−2=1 को घटाएं। हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर मिला 1.07. तो व्यंजक का मान 3.46−2.39 1.07 . के बराबर है

3,46−2,39=1,07

उदाहरण 4. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 3−1.2

यह उदाहरण एक पूर्णांक से दशमलव घटाता है। आइए इस व्यंजक को एक कॉलम में लिखें ताकि दशमलव भिन्न 1.23 का पूर्णांक भाग संख्या 3 . के अंतर्गत हो

अब दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या को समान बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या 3 के बाद, अल्पविराम लगाएं और एक शून्य जोड़ें:

अब दहाई घटाएँ: 0−2। संख्या 2 को शून्य से न घटाएं। इसलिए, आपको आसन्न अंक से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। आसन्न अंक से एक को उधार लेकर, 0 संख्या 10 में बदल जाता है। अब आप 10−2=8 के दसवें हिस्से की गणना कर सकते हैं। हम अपने उत्तर के दसवें भाग में आठ लिखते हैं:

अब पूरे भागों को घटाएं। पहले, संख्या 3 पूर्णांक में स्थित थी, लेकिन हमने इससे एक इकाई उधार ली थी। नतीजतन, यह संख्या 2 में बदल गया। इसलिए, हम 2 से 1 घटाते हैं। 2−1=1. हम इकाई को अपने उत्तर के पूर्णांक भाग में लिखते हैं:

पूर्णांक भाग को अल्पविराम से भिन्नात्मक भाग से अलग करें:

उत्तर 1.8 मिला। तो व्यंजक 3−1.2 का मान 1.8 . है

दशमलव गुणन

दशमलव को गुणा करना आसान और मजेदार भी है। दशमलवों को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा।

उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की जरूरत है, फिर उत्तर में दाईं ओर समान अंकों की संख्या गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 2.5 × 1.5

हम इन दशमलव अंशों को अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए साधारण संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। अल्पविराम को अनदेखा करने के लिए, आप अस्थायी रूप से कल्पना कर सकते हैं कि वे पूरी तरह से अनुपस्थित हैं:

हमें 375 मिले। इस संख्या में, पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद 2.5 और 1.5 के अंशों में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। पहले भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है, दूसरे भिन्न में भी एक होता है। कुल दो अंक।

हम 375 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 3.75। अतः व्यंजक 2.5 × 1.5 का मान 3.75 . है

2.5 x 1.5 = 3.75

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 12.85 × 2.7

आइए अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए इन दशमलवों को गुणा करें:

हमें 34695 मिले। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको 12.85 और 2.7 के अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। अंश 12.85 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, अंश 2.7 में एक अंक होता है - कुल तीन अंक।

हम 34695 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 34,695। अतः व्यंजक 12.85 × 2.7 का मान 34.695 . है

12.85 x 2.7 = 34.695

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से गुणा करना

कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब आपको एक दशमलव अंश को एक नियमित संख्या से गुणा करने की आवश्यकता होती है।

एक दशमलव और एक साधारण संख्या को गुणा करने के लिए, आपको दशमलव में अल्पविराम की परवाह किए बिना उन्हें गुणा करना होगा। उत्तर प्राप्त करने के बाद, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव अंश में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है, फिर उत्तर में, अंकों की समान संख्या को दाईं ओर गिनें और अल्पविराम लगाएं।

उदाहरण के लिए, 2.54 को 2 . से गुणा करें

हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव अंश 2.54 को सामान्य संख्या 2 से गुणा करते हैं:

हमें संख्या 508 मिली है। इस संख्या में, आपको पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद अंश 2.54 में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। भिन्न 2.54 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम 508 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 5.08. अतः व्यंजक 2.54 × 2 का मान 5.08 . है

2.54 x 2 = 5.08

दशमलव को 10, 100, 1000 . से गुणा करना

दशमलव को 10, 100, या 1000 से गुणा करना उसी तरह किया जाता है जैसे दशमलव को नियमित संख्याओं से गुणा करना। दशमलव अंश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए गुणा करना आवश्यक है, फिर उत्तर में, पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, दाईं ओर अंकों की समान संख्या गिनें क्योंकि दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद अंक थे अंश।

उदाहरण के लिए, 2.88 को 10 . से गुणा करें

आइए दशमलव भिन्न में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए दशमलव भिन्न 2.88 को 10 से गुणा करें:

हमें 2880 मिले। इस संख्या में, आपको अल्पविराम से पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद अंश 2.88 में अंकों की संख्या गिनने की आवश्यकता है। हम देखते हैं कि भिन्न 2.88 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं।

हम संख्या 2880 पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर से दो अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

उत्तर मिला 28.80। हम अंतिम शून्य को छोड़ देते हैं - हमें 28.8.8.8 मिलता है। अतः व्यंजक 2.88 × 10 का मान 28.8 . है

2.88 x 10 = 28.8

दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत सरल और अधिक सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम दाईं ओर उतने ही अंकों से आगे बढ़ता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 2.88×10 को इस प्रकार हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 10 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसका एक शून्य है। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं, हमें 28.8 मिलता है।

2.88 x 10 = 28.8

आइए 2.88 को 100 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 100 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसके दो शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को दो अंकों से दाहिनी ओर ले जाते हैं, हमें 288 . प्राप्त होता है

2.88 x 100 = 288

आइए 2.88 को 1000 से गुणा करने का प्रयास करें। हम तुरंत कारक 1000 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 2.88 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाते हैं। तीसरा अंक नहीं है, इसलिए हम एक और शून्य जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें 2880 मिलते हैं।

2.88 x 1000 = 2880

दशमलव को 0.1 0.01 और 0.001 से गुणा करना

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करना उसी तरह काम करता है जैसे दशमलव को दशमलव से गुणा करना। सामान्य संख्याओं की तरह भिन्नों को गुणा करना और उत्तर में अल्पविराम लगाना आवश्यक है, दाईं ओर जितने अंक हैं, उतने ही अंकों की गणना दशमलव बिंदु के बाद दोनों भिन्नों में होती है।

उदाहरण के लिए, 3.25 को 0.1 . से गुणा करें

हम इन भिन्नों को सामान्य संख्याओं की तरह गुणा करते हैं, अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए:

हमें 325 मिले। इस संख्या में, आपको अल्पविराम से पूरे भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा। ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद 3.25 और 0.1 के अंशों में अंकों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है। भिन्न 3.25 में दशमलव बिंदु के बाद दो अंक होते हैं, भिन्न 0.1 में एक अंक होता है। कुल तीन अंक।

हम 325 नंबर पर लौटते हैं और दाएं से बाएं जाना शुरू करते हैं। हमें दाईं ओर तीन अंक गिनने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है। तीन अंक गिनने के बाद, हम पाते हैं कि संख्याएँ समाप्त हो गई हैं। इस मामले में, आपको एक शून्य जोड़ने और अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है:

हमें उत्तर 0.325 मिला। अतः व्यंजक 3.25 × 0.1 का मान 0.325 . है

3.25 x 0.1 = 0.325

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा करने का दूसरा तरीका है। यह विधि बहुत आसान और अधिक सुविधाजनक है। यह इस तथ्य में समाहित है कि दशमलव अंश में अल्पविराम बाईं ओर उतने ही अंकों से आगे बढ़ता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण 3.25 × 0.1 को इस प्रकार हल करते हैं। कोई गणना दिए बिना, हम तुरंत कारक 0.1 को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसका एक शून्य है। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं। अल्पविराम को एक अंक बाईं ओर ले जाने पर, हम देखते हैं कि तीनों से पहले कोई और अंक नहीं हैं। इस मामले में, एक शून्य जोड़ें और अल्पविराम लगाएं। नतीजतन, हमें 0.325 . मिलता है

3.25 x 0.1 = 0.325

आइए 3.25 को 0.01 से गुणा करने का प्रयास करें। 0.01 के गुणक को तुरंत देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसके दो शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम अल्पविराम को बाईं ओर दो अंकों से घुमाते हैं, हमें 0.0325 . मिलता है

3.25 x 0.01 = 0.0325

आइए 3.25 को 0.001 से गुणा करने का प्रयास करें। 0.001 के गुणक को तुरंत देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि इसमें तीन शून्य हैं। अब भिन्न 3.25 में हम दशमलव बिंदु को तीन अंकों से बाईं ओर ले जाते हैं, हमें 0.00325 . मिलता है

3.25 × 0.001 = 0.00325

दशमलव को 0.1, 0.001 और 0.001 से गुणा करके 10, 100, 1000 से गुणा करने में भ्रमित न हों। सामान्य गलतीज्यादातर लोग।

जब 10, 100, 1000 से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम को उतने अंकों से दाईं ओर ले जाया जाता है, जितने गुणक में शून्य होते हैं।

और जब 0.1, 0.01 और 0.001 से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम बाईं ओर उतने अंकों से चला जाता है जितने गुणक में शून्य होते हैं।

यदि पहली बार में यह याद रखना मुश्किल है, तो आप पहली विधि का उपयोग कर सकते हैं, जिसमें सामान्य संख्याओं के साथ गुणा किया जाता है। उत्तर में, आपको दाहिनी ओर जितने अंक हैं उतने अंकों की गणना करके पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करना होगा क्योंकि दोनों अंशों में दशमलव बिंदु के बाद अंक होते हैं।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करना। अग्रवर्ती स्तर।

पिछले पाठों में से एक में, हमने कहा था कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से विभाजित करने पर एक भिन्न प्राप्त होता है, जिसके अंश में भाज्य होता है और हर में भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, एक सेब को दो में विभाजित करने के लिए, आपको अंश में 1 (एक सेब) लिखना होगा, और हर में 2 (दो मित्र) लिखना होगा। परिणाम एक अंश है। तो प्रत्येक मित्र को एक सेब मिलेगा। दूसरे शब्दों में, आधा सेब। एक अंश एक समस्या का उत्तर है एक सेब को दो के बीच कैसे विभाजित करें

यह पता चला है कि यदि आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं तो आप इस समस्या को और हल कर सकते हैं। आखिरकार, किसी भी भिन्न में एक भिन्नात्मक बार का अर्थ है विभाजन, जिसका अर्थ है कि इस विभाजन को एक अंश में भी अनुमति है। पर कैसे? हम इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि लाभांश हमेशा भाजक से अधिक होता है। और यहाँ, इसके विपरीत, लाभांश भाजक से कम है।

सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा यदि हम याद रखें कि अंश का अर्थ है कुचलना, विभाजित करना, विभाजित करना। इसका अर्थ है कि इकाई को आप जितने चाहें उतने भागों में विभाजित किया जा सकता है, न कि केवल दो भागों में।

छोटी संख्या को बड़ी संख्या से भाग देने पर एक दशमलव भिन्न प्राप्त होता है, जिसमें पूर्णांक भाग 0 (शून्य) होगा। भिन्नात्मक भाग कुछ भी हो सकता है।

तो, आइए 1 को 2 से भाग दें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करते हैं:

एक को ऐसे ही दो भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता। यदि आप एक प्रश्न पूछते हैं "एक में कितने दो होते हैं" , तो उत्तर 0 होगा। इसलिए, निजी तौर पर हम 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

अब, हमेशा की तरह, हम भागफल को भाजक से गुणा करके शेषफल निकालते हैं:

वह क्षण आ गया है जब इकाई को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, प्राप्त एक के दाईं ओर एक और शून्य जोड़ें:

हमें 10 मिला। हम 10 को 2 से भाग देते हैं, हमें 5 मिलता है। हम अपने उत्तर के भिन्नात्मक भाग में पाँच लिखते हैं:

अब हम गणना को पूरा करने के लिए अंतिम शेषफल निकालते हैं। 5 को 2 से गुणा करने पर हमें 10 . प्राप्त होता है

हमें उत्तर 0.5 मिला। तो भिन्न 0.5 . है

दशमलव भिन्न 0.5 का उपयोग करके आधा सेब भी लिखा जा सकता है। यदि हम इन दो हिस्सों (0.5 और 0.5) को जोड़ते हैं, तो हमें फिर से मूल एक पूरा सेब मिलता है:

इस बिंदु को भी समझा जा सकता है यदि हम कल्पना करें कि 1 सेमी को दो भागों में कैसे विभाजित किया जाता है। यदि आप 1 सेंटीमीटर को 2 भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 0.5 सेमी . मिलता है

उदाहरण 2व्यंजक 4:5 . का मान ज्ञात कीजिए

चार में कितने फाइव होते हैं? बिल्कुल भी नहीं। हम निजी 0 में लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम चार के नीचे शून्य लिखते हैं। इस शून्य को लाभांश से तुरंत घटाएं:

आइए अब चारों को 5 भागों में विभाजित (विभाजित) करना शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, 4 के दाईं ओर, हम शून्य जोड़ते हैं और 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को निजी में लिखते हैं।

हम 8 को 5 से गुणा करके उदाहरण को पूरा करते हैं, और 40 प्राप्त करते हैं:

हमें उत्तर 0.8 मिला। अतः व्यंजक 4:5 का मान 0.8 . है

उदाहरण 3व्यंजक 5: 125 . का मान ज्ञात कीजिए

पांच में 125 कितनी संख्याएं हैं? बिल्कुल भी नहीं। हम निजी में 0 लिखते हैं और अल्पविराम लगाते हैं:

हम 0 को 5 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम पांच के नीचे 0 लिखते हैं। पांच 0 . में से तुरंत घटाएं

अब पांचों को 125 भागों में विभाजित (विभाजित) करते हैं। ऐसा करने के लिए, इस पाँच के दाईं ओर, हम शून्य लिखते हैं:

50 को 125 से विभाजित करें। 50 में 125 कितनी संख्याएँ हैं? बिल्कुल भी नहीं। अतः भागफल में हम पुनः 0 . लिखते हैं

हम 0 को 125 से गुणा करते हैं, हमें 0 मिलता है। हम इस शून्य को 50 के नीचे लिखते हैं। 50 . में से तुरंत 0 घटाएं

अब हम संख्या 50 को 125 भागों में विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, 50 के दाईं ओर, हम एक और शून्य लिखते हैं:

500 को 125 से विभाजित करें। 500 की संख्या में 125 कितनी संख्याएँ हैं। 500 की संख्या में चार संख्याएँ 125 हैं। हम चार को निजी में लिखते हैं:

हम 4 को 125 से गुणा करके उदाहरण को पूरा करते हैं, और 500 . प्राप्त करते हैं

हमें उत्तर 0.04 मिला। अतः व्यंजक 5: 125 का मान 0.04 . है

शेषफल के बिना संख्याओं का विभाजन

तो, आइए इकाई के बाद भागफल में अल्पविराम लगाते हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि पूर्णांक भागों का विभाजन समाप्त हो गया है और हम भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ते हैं:

शेष 4 . में शून्य जोड़ें

अब हम 40 को 5 से भाग देते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं:

40−40=0. शेष में 0 प्राप्त किया। तो विभाजन पूरी तरह से पूरा हो गया है। 9 को 5 से भाग देने पर 1.8 का दशमलव प्राप्त होता है:

9: 5 = 1,8

उदाहरण 2. शेषफल के बिना 84 को 5 से भाग दें

पहले हम शेषफल के साथ हमेशा की तरह 84 को 5 से विभाजित करते हैं:

शेष में निजी 16 और 4 और प्राप्त हुए। अब हम इस शेषफल को 5 से विभाजित करते हैं। हम निजी क्षेत्र में अल्पविराम लगाते हैं, और शेष 4 . में 0 जोड़ते हैं

अब हम 40 को 5 से विभाजित करते हैं, हमें 8 मिलता है। हम दशमलव बिंदु के बाद भागफल में आठ लिखते हैं:

और यह जाँच कर उदाहरण पूरा करें कि क्या अभी भी शेष है:

एक दशमलव को एक नियमित संख्या से विभाजित करना

एक दशमलव भिन्न, जैसा कि हम जानते हैं, एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। दशमलव अंश को एक नियमित संख्या से विभाजित करते समय, सबसे पहले आपको चाहिए:

• दशमलव अंश के पूर्णांक भाग को इस संख्या से विभाजित करें;
• पूर्णांक भाग विभाजित होने के बाद, आपको तुरंत निजी भाग में अल्पविराम लगाने और सामान्य विभाजन की तरह गणना जारी रखने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए 4.8 को 2 . से भाग दें

आइए इस उदाहरण को एक कोने के रूप में लिखें:

अब हम पूरे भाग को 2 से भाग करते हैं। चार को दो से विभाजित करते हैं। हम ड्यूस को निजी तौर पर लिखते हैं और तुरंत अल्पविराम लगाते हैं:

अब हम भागफल को भाजक से गुणा करते हैं और देखते हैं कि क्या भाग से कोई शेष बचता है:

4−4=0. शेष शून्य. हम अभी तक शून्य नहीं लिखते हैं, क्योंकि हल पूरा नहीं हुआ है। फिर हम गणना करना जारी रखते हैं, जैसा कि साधारण विभाजन में होता है। 8 नीचे लें और इसे 2 . से विभाजित करें

8: 2 = 4. हम चार को भागफल में लिखते हैं और भाजक से तुरंत गुणा करते हैं:

उत्तर 2.4 मिला। व्यंजक मान 4.8: 2 बराबर 2.4

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 8.43:3

हम 8 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 2 मिलता है। दोनों के तुरंत बाद अल्पविराम लगाएं:

अब हम भागफल को भाजक 2 × 3 = 6 से गुणा करते हैं। हम छह को आठ के नीचे लिखते हैं और शेषफल पाते हैं:

हम 24 को 3 से भाग देते हैं, हमें 8 मिलता है। हम आठ को अकेले में लिखते हैं। हम भाग के शेष को खोजने के लिए इसे तुरंत भाजक से गुणा करते हैं:

24−24=0. शेष शून्य है। शून्य अभी तक दर्ज नहीं किया गया है। लाभांश के अंतिम तीन लें और 3 से विभाजित करें, हमें 1 मिलता है। इस उदाहरण को पूरा करने के लिए तुरंत 1 को 3 से गुणा करें:

उत्तर 2.81 मिला। अतः व्यंजक 8.43: 3 का मान 2.81 . के बराबर है

दशमलव को दशमलव से विभाजित करना

दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न में विभाजित करने के लिए, लाभांश में और भाजक में, अल्पविराम को अंकों की उतनी ही संख्या से दाईं ओर ले जाएँ जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं, और फिर एक नियमित संख्या से विभाजित करते हैं।

उदाहरण के लिए, 5.95 को 1.7 . से भाग दें

आइए इस व्यंजक को एक कोने के रूप में लिखें

अब, भाजक में और भाजक में, हम अल्पविराम को दाईं ओर उतने ही अंकों से ले जाते हैं जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक का दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हमें लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाना चाहिए। स्थानांतरण:

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 5.95 भिन्न 59.5 में बदल गया। और दशमलव अंश 1.7, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, सामान्य संख्या 17 में बदल गया। और हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव अंश को सामान्य संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। आगे की गणना मुश्किल नहीं है:

विभाजन को सुविधाजनक बनाने के लिए अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाता है। इसकी अनुमति इस तथ्य के कारण दी जाती है कि जब लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो भागफल नहीं बदलता है। इसका क्या मतलब है?

यह में से एक है दिलचस्प विशेषताएंविभाजन। इसे निजी संपत्ति कहा जाता है। व्यंजक 9: 3 = 3 पर विचार करें। यदि इस व्यंजक में भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो भागफल 3 नहीं बदलेगा।

आइए भाज्य और भाजक को 2 से गुणा करें और देखें कि क्या होता है:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भागफल नहीं बदला है।

यही बात तब होती है जब हम भाजक और भाजक में अल्पविराम लगाते हैं। पिछले उदाहरण में, जहां हमने 5.91 को 1.7 से विभाजित किया था, हमने लाभांश और भाजक में अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाया था। अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद, भिन्न 5.91 को भिन्न 59.1 में और भिन्न 1.7 को सामान्य संख्या 17 में परिवर्तित किया गया था।

वास्तव में, इस प्रक्रिया के अंदर, 10 से गुणा हुआ। यहाँ यह कैसा दिखता है:

5.91 × 10 = 59.1

इसलिए, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि भाजक और भाजक को किससे गुणा किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या निर्धारित करेगी कि लाभांश में कितने अंक हैं और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाया जाएगा।

दशमलव भाग 10, 100, 1000

दशमलव को 10, 100, या 1000 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे . उदाहरण के लिए, आइए 2.1 को 10 से भाग दें। आइए इस उदाहरण को एक कोने से हल करें:

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाजक में अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस तरह हल करें। 2.1: 10. हम डिवाइडर को देखते हैं। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर एक अंक से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से बाईं ओर ले जाते हैं और देखते हैं कि कोई और अंक नहीं बचा है। इस मामले में, हम संख्या से पहले एक और शून्य जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें 0.21 . मिलता है

आइए 2.1 को 100 से विभाजित करने का प्रयास करें। 100 की संख्या में दो शून्य होते हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर दो अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

2,1: 100 = 0,021

आइए 2.1 को 1000 से विभाजित करने का प्रयास करें। 1000 की संख्या में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 2.1 में, आपको अल्पविराम को बाईं ओर तीन अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:

2,1: 1000 = 0,0021

दशमलव विभाजन 0.1, 0.01 और 0.001

दशमलव को 0.1, 0.01 और 0.001 से विभाजित करना उसी तरह किया जाता है जैसे . लाभांश और भाजक में, आपको अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए 6.3 को 0.1 से भाग दें। सबसे पहले, हम भाज्य में और भाजक में दायीं ओर उतने ही अंकों से अल्पविराम लगाते हैं जितने कि भाजक में दशमलव बिंदु के बाद होते हैं। भाजक का दशमलव बिंदु के बाद एक अंक होता है। इसलिए हम लाभांश में अल्पविराम और भाजक को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं।

दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, दशमलव अंश 6.3 सामान्य संख्या 63 में बदल जाता है, और दशमलव अंश 0.1, दशमलव बिंदु को एक अंक से दाईं ओर ले जाने के बाद, एक में बदल जाता है। और 63 को 1 से विभाजित करना बहुत आसान है:

तो व्यंजक 6.3:0.1 का मान 63 . के बराबर है

लेकिन एक दूसरा तरीका भी है। यह हल्का है। इस पद्धति का सार यह है कि भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित किया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण को इस तरह हल करें। 6.3:0.1। आइए डिवाइडर को देखें। हम इसमें रुचि रखते हैं कि इसमें कितने शून्य हैं। हम देखते हैं कि एक शून्य है। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। हम अल्पविराम को एक अंक से दाईं ओर ले जाते हैं और 63 . प्राप्त करते हैं

आइए 6.3 को 0.01 से भाग देने का प्रयास करें। भाजक 0.01 में दो शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को दो अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है। लेकिन लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। इस मामले में, अंत में एक और शून्य जोड़ा जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, हमें 630 . प्राप्त होता है

आइए 6.3 को 0.001 से विभाजित करने का प्रयास करें। 0.001 के भाजक में तीन शून्य होते हैं। तो विभाज्य 6.3 में, आपको अल्पविराम को तीन अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है:

6,3: 0,001 = 6300

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पहले से मौजूद प्राथमिक स्कूलछात्र भिन्नों के साथ काम कर रहे हैं। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। इन नंबरों के साथ क्रियाओं को भूलना असंभव है। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सभी जानकारी जानने की आवश्यकता है। ये अवधारणाएं सरल हैं, मुख्य बात यह है कि सब कुछ क्रम में समझना।

अंशों की आवश्यकता क्यों है?

हमारे चारों ओर की दुनिया पूरी वस्तुओं से बनी है। इसलिए शेयरों की कोई जरूरत नहीं है। लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी लगातार लोगों को वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करती है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई स्लाइस होते हैं। उस स्थिति पर विचार करें जहां इसकी टाइल बारह आयतों द्वारा बनाई गई है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे अच्छी तरह से तीन में विभाजित किया जाएगा। लेकिन पांचों चॉकलेट के पूरे स्लाइस नहीं दे पाएंगे।

वैसे, ये स्लाइस पहले से ही भिन्न हैं। और उनका आगे का विभाजन अधिक जटिल संख्याओं की उपस्थिति की ओर ले जाता है।

एक "अंश" क्या है?

यह एक संख्या है जिसमें एक के भाग होते हैं। बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। ऊपर (बाईं ओर) लिखी संख्या को अंश कहते हैं। नीचे वाला (दाएं) हर है।

वास्तव में, भिन्नात्मक बार एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य कहा जा सकता है, और हर को भाजक कहा जा सकता है।

अंश क्या हैं?

गणित में, वे केवल दो प्रकार के होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। स्कूली बच्चों को सबसे पहले से मिलवाया जाता है प्राथमिक स्कूल, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। दूसरा 5वीं कक्षा में पढ़ता है। तभी ये नाम सामने आते हैं।

सामान्य भिन्न वे सभी हैं जो एक बार द्वारा अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखी जाती हैं। उदाहरण के लिए, 4/7। दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में स्थितीय संकेतन होता है और पूर्णांक से अल्पविराम से अलग होता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग संख्याएं हैं।

प्रत्येक साधारण अंश को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा उल्टा भी सच होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों में कौन सी उप-प्रजातियां होती हैं?

बेहतर शुरुआत कालानुक्रमिक क्रम मेंजैसे उनका अध्ययन किया जा रहा है। सामान्य अंश पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

सही। इसका अंश हमेशा हर से छोटा होता है।

गलत। इसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है।

कम करने योग्य / अघुलनशील। यह सही या गलत हो सकता है। एक और बात महत्वपूर्ण है, क्या अंश और हर के समान गुणनखंड हैं। यदि वहाँ हैं, तो वे अंश के दोनों भागों को विभाजित करने वाले हैं, अर्थात इसे कम करने के लिए।

मिश्रित। एक पूर्णांक को उसके सामान्य सही (गलत) भिन्नात्मक भाग के लिए नियत किया जाता है। और यह हमेशा बाईं ओर खड़ा होता है।

मिश्रित। यह एक दूसरे में विभाजित दो अंशों से बनता है। यानी इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक विशेषताएं हैं।

दशमलव में केवल दो उप-प्रजातियाँ होती हैं:

अंतिम, अर्थात्, जिसमें भिन्नात्मक भाग सीमित है (एक अंत है);

अनंत - एक संख्या जिसके दशमलव बिंदु के बाद के अंक समाप्त नहीं होते हैं (उन्हें अंतहीन लिखा जा सकता है)।

दशमलव को साधारण में कैसे बदलें?

यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक संघ लागू होता है - जैसा मैं सुनता हूं, इसलिए मैं लिखता हूं। यही है, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की जरूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक रेखा के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, याद रखें कि यह हमेशा एक और कुछ शून्य होता है। उत्तरार्द्ध को प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में जितने अंक लिखे जाने चाहिए।

दशमलव अंशों को साधारण अंशों में कैसे बदलें यदि उनका पूरा भाग गायब है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05। निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन यह इंगित नहीं किया गया है। यह केवल भिन्नात्मक भागों को लिखना बाकी है। पहली संख्या के लिए, हर 10 होगा, दूसरे के लिए - 100। अर्थात्, संकेतित उदाहरणों में उत्तर के रूप में संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, उत्तरार्द्ध 5 से कम करना संभव हो जाता है। इसलिए, इसके लिए परिणाम 1/20 लिखा जाना चाहिए।

दशमलव से साधारण भिन्न कैसे बनायें यदि उसका पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108। दोनों उदाहरण पूर्णांक भाग को पढ़ते हैं और उसका मान लिखते हैं। पहले मामले में, यह 5 है, दूसरे में, 13. फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर जाने की आवश्यकता है। उनके साथ एक ही ऑपरेशन को अंजाम देना जरूरी है। पहली संख्या में 23/100 है, दूसरे में 108/100000 है। दूसरे मूल्य को फिर से कम करने की आवश्यकता है। प्रतिक्रिया इस प्रकार है मिश्रित भिन्न: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश हमेशा अंतिम या आवधिक में परिवर्तित होता है।

केवल एक चीज जिसे इस तरह के अंश के साथ करने की अनुमति है, वह है इसे गोल करना। लेकिन तब दशमलव उस अनंत के लगभग बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन रिवर्स प्रक्रिया: दशमलव में कनवर्ट करना - प्रारंभिक मूल्य कभी नहीं देगा। अर्थात्, अनंत गैर-आवधिक भिन्नों का साधारण भिन्नों में अनुवाद नहीं किया जाता है। यह याद रखना चाहिए।

अनंत आवर्त भिन्न को साधारण के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या एक से अधिक अंक आते हैं, जिनकी पुनरावृत्ति होती रहती है। उन्हें काल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 0.3(3)। यहाँ अवधि में "3"। उन्हें परिमेय के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

जिन लोगों ने आवधिक अंशों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि अल्पविराम से तुरंत शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग किसी भी संख्या से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

जिस नियम से आपको एक साधारण भिन्न के रूप में एक अनंत दशमलव लिखने की आवश्यकता होती है, वह इन दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। अंतिम के साथ के रूप में, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अवधि को अंश में लिखें, और संख्या 9 हर होगी, जितनी बार अवधि में अंक हों।

उदाहरण के लिए, 0,(5)। संख्या में पूर्णांक भाग नहीं होता है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग पर जाने की आवश्यकता होती है। अंश में 5 लिखो और हर में 9 लिखो अर्थात अंश 5/9 का उत्तर होगा।

एक सामान्य दशमलव अंश लिखने का नियम जो एक मिश्रित भिन्न है।

अवधि की लंबाई देखें। इतने 9 में एक हर होगा।

हर लिखिए: पहले नौ, फिर शून्य।

अंश का निर्धारण करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक, अवधि के साथ घटा दिए जाएंगे। घटाव योग्य - यह बिना अवधि के है।

उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवर्त दशमलव भिन्न को एक उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में लिखें। आवर्त से पहले का भिन्नात्मक भाग एक अंक का होता है। तो शून्य एक होगा। आवर्त में भी केवल एक अंक होता है - 8। अर्थात् केवल एक नौ होता है। यानी आपको हर में 90 लिखना है।

58 से अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 5 घटाना होगा। यह 53 निकला। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर के रूप में 53/90 लिखना होगा।

सामान्य भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्प एक संख्या है जिसका हर संख्या 10, 100, इत्यादि है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और . के बीच पूरे भागएक अल्पविराम लगाया जाता है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100, आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। यह उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है। केवल हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी उसी संख्या से गुणा करना आवश्यक है।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम काम आएगा: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: एक अंतिम या एक आवधिक दशमलव अंश।

सामान्य अंशों के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

छात्र उन्हें दूसरों की तुलना में पहले जानते हैं। और सबसे पहले भिन्नों में समान भाजक होते हैं, और फिर भिन्न होते हैं। ऐसी योजना के लिए सामान्य नियमों को कम किया जा सकता है।

भाजक का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए।

सभी साधारण भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड लिखिए।

अंशों और हरों को उनके लिए परिभाषित कारकों से गुणा करें।

भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाना), और सामान्य हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि मिन्यूएंड का अंश सबट्रेंड से कम है, तो आपको यह पता लगाना होगा कि हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित अंश।

पहले मामले में, पूर्णांक भाग को एक लेने की आवश्यकता होती है। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करें।

दूसरे में - छोटी संख्या से बड़ी संख्या में घटाव का नियम लागू करना आवश्यक है। यही है, सबट्रेंड के मापांक से मिन्यूएंड के मापांक को घटाएं, और प्रतिक्रिया में "-" चिह्न लगाएं।

जोड़ (घटाव) के परिणाम को ध्यान से देखें। यदि आपको एक अनुचित अंश मिलता है, तो यह माना जाता है कि यह पूरे भाग का चयन करता है। यानी अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

उनके कार्यान्वयन के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता नहीं है। इससे कार्रवाई करने में आसानी होती है। लेकिन उन्हें अभी भी नियमों का पालन करना होगा।

साधारण अंशों को गुणा करते समय, अंश और हर में संख्याओं पर विचार करना आवश्यक है। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो उन्हें घटाया जा सकता है।

अंशों को गुणा करें।

हरों को गुणा करें।

यदि आपको एक कम करने योग्य अंश मिलता है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणा से बदलना होगा, और भाजक (दूसरा अंश) को एक पारस्परिक (अंश और हर को स्वैप करना) के साथ बदलना होगा।

फिर गुणा के रूप में आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू)।

उन कार्यों में जहां आपको एक पूर्णांक से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाले को फॉर्म में लिखा जाना चाहिए अनुचित अंश. यानी 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार आगे बढ़ें।



दशमलव के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप हमेशा दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से वर्णित योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। तब उनके जोड़ और घटाव के नियम बिल्कुल समान होंगे।

संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंकों की संख्या को बराबर करें, अर्थात दशमलव बिंदु के बाद। इसमें लुप्त शून्यों की संख्या निर्दिष्ट करें।

भिन्न लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाना)।

अल्पविराम निकालें।

गुणन और भाग

यह महत्वपूर्ण है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। अंशों को छोड़ दिया जाना चाहिए जैसा कि उदाहरण में दिया गया है। और फिर योजना के अनुसार जाओ।

गुणन के लिए, आपको अल्पविरामों पर ध्यान न देते हुए, एक के नीचे एक अंश लिखने की जरूरत है।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें।

उत्तर में एक अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाहिने छोर से उतने अंक गिनें जितने वे दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हैं।

विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाजक को परिवर्तित करना होगा: इसे एक प्राकृतिक संख्या बनाएं। यानी भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

दशमलव को से विभाजित करें प्राकृतिक संख्या.

उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।



क्या होगा यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हैं?

हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण होते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। इन समस्याओं के दो संभावित समाधान हैं। आपको संख्याओं को निष्पक्ष रूप से तौलना और सबसे अच्छा चुनना होगा।

पहला तरीका: साधारण दशमलव का प्रतिनिधित्व करें

यह उपयुक्त है यदि, विभाजित या परिवर्तित करते समय, अंतिम अंश प्राप्त होते हैं। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें

दशमलव बिंदु के बाद के भाग में 1-2 अंक होने पर यह तकनीक सुविधाजनक है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो यह बहुत बड़ा हो सकता है। सामान्य अंशतथा दशमलव प्रविष्टियांआपको कार्य को तेज़ी से और आसानी से गणना करने की अनुमति देगा। इसलिए, कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करना और सबसे सरल समाधान विधि चुनना हमेशा आवश्यक होता है।

एक दशमलव से भाग एक प्राकृतिक संख्या से विभाजन के समान है।

किसी संख्या को दशमलव भिन्न से भाग देने का नियम

किसी संख्या को दशमलव भिन्न से भाग देने के लिए, लाभांश और भाजक दोनों में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाना आवश्यक है क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद भाजक में हैं। उसके बाद, एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

उदाहरण।

दशमलव से विभाजन करें:

दशमलव भिन्न से भाग देने के लिए, आपको भाज्य और भाजक दोनों में जितने अंक दायीं ओर होते हैं, उतने ही अल्पविराम को भाजक में दशमलव बिंदु के बाद, यानी एक चिह्न से स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है। हमें मिलता है: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18। अब हम एक कोने से विभाजन करते हैं। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं: 35.1: 1.8 = 19.5।

2) 14,76: 3,6

लाभांश और भाजक दोनों में दशमलव अंशों का विभाजन करने के लिए, अल्पविराम को एक चिह्न से दाईं ओर ले जाएँ: 14.76: 3.6 \u003d 147.6: 36। अब हम एक प्राकृतिक संख्या पर प्रदर्शन करते हैं। परिणाम: 14.76: 3.6 = 4.1।

किसी प्राकृत संख्या के दशमलव अंश से भाग करने के लिए, लाभांश और भाजक दोनों में दशमलव बिंदु के बाद भाजक में जितने वर्ण हैं, उतने ही दाईं ओर ले जाना आवश्यक है। चूंकि इस मामले में भाजक में अल्पविराम नहीं लिखा गया है, इसलिए हम वर्णों की लापता संख्या को शून्य से भरते हैं: 70: 1.75 \u003d 7000: 175। हम परिणामी प्राकृतिक संख्याओं को एक कोने से विभाजित करते हैं: 70: 1.75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

एक दशमलव भिन्न को दूसरे में विभाजित करने के लिए, हम भाज्य और भाजक दोनों में, दशमलव बिंदु के बाद भाजक में जितने अंक हैं, उतने अंकों से, यानी तीन अंकों से, हम अल्पविराम को दाईं ओर ले जाते हैं। इस प्रकार, 0.1218: 0.058 \u003d 121.8: 58. एक दशमलव अंश द्वारा विभाजन को एक प्राकृतिक संख्या द्वारा विभाजन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था। हम एक कोने को साझा करते हैं। हमारे पास है: 0.1218: 0.058 = 121.8: 58 = 2.1।

5) 0,0456: 3,8

अंश कैलकुलेटरभिन्नों के साथ संक्रियाओं की त्वरित गणना के लिए डिज़ाइन किया गया, यह आपको भिन्नों को आसानी से जोड़ने, गुणा करने, विभाजित करने या घटाने में मदद करेगा।

आधुनिक स्कूली बच्चे 5 वीं कक्षा में पहले से ही अंशों का अध्ययन करना शुरू कर देते हैं, और हर साल उनके साथ अभ्यास अधिक जटिल हो जाता है। गणितीय शब्द और मात्राएँ जो हम स्कूल में सीखते हैं, वयस्कता में हमारे लिए शायद ही कभी उपयोगी होती हैं। हालांकि, अंश, लघुगणक और डिग्री के विपरीत, रोजमर्रा की जिंदगी में काफी सामान्य हैं (दूरी मापना, माल तौलना, आदि)। हमारे कैलकुलेटर को अंशों के साथ त्वरित संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया है।

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि भिन्न क्या हैं और वे क्या हैं। भिन्न एक संख्या से दूसरी संख्या का अनुपात है; यह एक संख्या है जिसमें एक इकाई के अंशों की एक पूरी संख्या होती है।

अंश प्रकार:

• साधारण
• दशमलव
• मिला हुआ

उदाहरण साधारण अंश:

शीर्ष मान अंश है, नीचे भाजक है। डैश हमें दिखाता है कि शीर्ष संख्या नीचे की संख्या से विभाज्य है। एक समान लेखन प्रारूप के बजाय, जब डैश क्षैतिज होता है, तो आप अलग तरीके से लिख सकते हैं। आप एक तिरछी रेखा डाल सकते हैं, उदाहरण के लिए:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

दशमलवसबसे लोकप्रिय प्रकार के अंश हैं। इनमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है, जिसे अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है।

दशमलव उदाहरण:

0.2 या 6.71 या 0.125

इसमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। इस भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको पूर्ण संख्या और भिन्न को जोड़ना होगा।

मिश्रित भिन्नों का उदाहरण:

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• योग
• घटाव
• गुणा
• विभाजन

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