असमानताओं की व्यवस्थाअज्ञात मात्रा वाली दो या दो से अधिक असमानताओं के किसी भी सेट को कॉल करने की प्रथा है।

इस फॉर्मूलेशन को स्पष्ट रूप से चित्रित किया गया है, उदाहरण के लिए, इस तरह से असमानताओं की प्रणाली:

असमानताओं की प्रणाली को हल करें - अज्ञात चर के सभी मूल्यों को खोजने का मतलब है जिसके लिए सिस्टम की प्रत्येक असमानता का एहसास होता है, या यह साबित करने के लिए कि ऐसा कोई नहीं है .

तो, प्रत्येक व्यक्ति के लिए सिस्टम असमानताअज्ञात चर की गणना करें। इसके अलावा, परिणामी मूल्यों में से, केवल उन का चयन करता है जो पहली और दूसरी असमानताओं दोनों के लिए सही हैं। इसलिए, चुने हुए मूल्य को प्रतिस्थापित करते समय, सिस्टम की दोनों असमानताएं सही हो जाती हैं।

आइए कई असमानताओं के समाधान का विश्लेषण करें:

एक को संख्या रेखाओं के दूसरे युग्म के नीचे रखें; मूल्य को शीर्ष पर रखें एक्स, जिसके तहत पहली असमानता ओ ( एक्स> 1) सच हो, और तल पर, मूल्य एक्स, जो दूसरी असमानता का समाधान हैं ( एक्स> 4).

डेटा की तुलना करके संख्या रेखा, ध्यान दें कि दोनों के लिए समाधान असमानताओंहोगा एक्स> 4. उत्तर, एक्स> 4.

उदाहरण 2

पहले की गणना असमानताहमें -3 ​​. मिलता है एक्स< -6, или एक्स> 2, दूसरा - एक्स> -8, या एक्स < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения एक्स, जिसके अंतर्गत प्रथम प्रणाली असमानता, और निचली संख्या रेखा पर, वे सभी मान एक्स, जिसके तहत व्यवस्था की दूसरी असमानता का एहसास होता है।

आँकड़ों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि दोनों असमानताओंसभी मूल्यों के लिए लागू किया जाएगा एक्स 2 से 8 तक रखा गया है। मूल्यों के समूह एक्सनिरूपित दोहरी असमानता 2 < एक्स< 8.

उदाहरण 3हमे पता करने दें

इस पाठ में हम असमानताओं की प्रणालियों का अध्ययन शुरू करेंगे। सबसे पहले, हम रैखिक असमानताओं की प्रणालियों पर विचार करेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि असमानताओं की व्यवस्था कहाँ और क्यों उत्पन्न होती है। इसके बाद, हम अध्ययन करेंगे कि सिस्टम को हल करने का क्या मतलब है, और समुच्चय के मिलन और प्रतिच्छेदन को याद रखें। अंत में, हम रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के विशिष्ट उदाहरणों को हल करेंगे।

विषय: आहारवास्तविक असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ

पाठ:मुख्यअवधारणाएं, रैखिक असमानताओं की प्रणालियों का समाधान

अब तक, हमने व्यक्तिगत असमानताओं को हल किया है और उन पर अंतराल विधि लागू की है, ये हो सकते हैं रैखिक असमानताएं, और वर्ग और तर्कसंगत। अब आइए असमानताओं की प्रणालियों को हल करने की ओर बढ़ते हैं - पहले रैखिक प्रणाली. आइए एक उदाहरण देखें जहां असमानताओं की प्रणालियों पर विचार करने की आवश्यकता है।

फ़ंक्शन का दायरा खोजें

फ़ंक्शन का दायरा खोजें

फ़ंक्शन तब मौजूद होता है जब दोनों वर्गमूल मौजूद होते हैं, अर्थात।

ऐसी प्रणाली को कैसे हल करें? पहली और दूसरी दोनों असमानताओं को संतुष्ट करने वाले सभी x को खोजना आवश्यक है।

पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान का समुच्चय x-अक्ष पर खींचिए।

दो किरणों का प्रतिच्छेदन अंतराल हमारा समाधान है।

असमानताओं की एक प्रणाली के समाधान का प्रतिनिधित्व करने की इस पद्धति को कभी-कभी छत विधि कहा जाता है।

सिस्टम का समाधान दो सेटों का प्रतिच्छेदन है।

आइए इसे आलेखीय रूप से निरूपित करें। हमारे पास मनमानी प्रकृति का एक सेट ए और मनमानी प्रकृति का एक सेट बी है जो प्रतिच्छेद करता है।

परिभाषा: दो समुच्चयों A और B का प्रतिच्छेदन एक तीसरा समुच्चय है जिसमें A और B दोनों में शामिल सभी तत्व शामिल हैं।

असमानताओं की रैखिक प्रणालियों को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए विचार करें कि सिस्टम में शामिल व्यक्तिगत असमानताओं के समाधान के सेट के चौराहे कैसे खोजें।

असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

उत्तर: (7; 10]।

4. सिस्टम को हल करें

व्यवस्था की दूसरी असमानता कहाँ से आ सकती है? उदाहरण के लिए, असमानता से

हम प्रत्येक असमानता के समाधान को ग्राफिक रूप से निरूपित करते हैं और उनके प्रतिच्छेदन का अंतराल पाते हैं।

इस प्रकार, यदि हमारे पास एक प्रणाली है जिसमें कोई एक असमानता x के किसी भी मान को संतुष्ट करती है, तो इसे समाप्त किया जा सकता है।

उत्तर: प्रणाली असंगत है।

हमने विशिष्ट समर्थन समस्याओं पर विचार किया है, जिससे असमानताओं की किसी भी रैखिक प्रणाली का समाधान कम हो जाता है।

निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें।

7.

कभी-कभी एक रैखिक प्रणाली दोहरी असमानता द्वारा दी जाती है; इस मामले पर विचार करें।

8.

हमने रैखिक असमानताओं की प्रणालियों पर विचार किया, यह समझा कि वे कहाँ से आती हैं, उन विशिष्ट प्रणालियों पर विचार किया जिनसे सभी रैखिक प्रणालियाँ कम होती हैं, और उनमें से कुछ को हल किया।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य बीजगणित 9वीं कक्षा: प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान - चौथा संस्करण। - एम .: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी .: बीमार।

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5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - 12 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। — एम .: 2010। — 224 पी .: बीमार।

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1. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल ()।

2. ग्रेड 10-11 की तैयारी के लिए इलेक्ट्रॉनिक शैक्षिक और कार्यप्रणाली परिसर प्रवेश परीक्षाकंप्यूटर विज्ञान, गणित, रूसी भाषा () में।

4. शिक्षा केंद्र "शिक्षा की तकनीक" ()।

5. College.ru गणित पर अनुभाग ()।

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रैखिक, वर्गाकार और भिन्नात्मक असमानताओं को हल करने का कार्यक्रम केवल समस्या का उत्तर नहीं देता है, यह आगे बढ़ता है विस्तृत समाधानस्पष्टीकरण के साथ, अर्थात्। गणित और/या बीजगणित के ज्ञान की जांच करने के लिए हल करने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है।

इसके अलावा, यदि असमानताओं में से किसी एक को हल करने की प्रक्रिया में इसे हल करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण, तो इसका विस्तृत समाधान भी प्रदर्शित किया जाता है (इसे स्पॉइलर में शामिल किया जाता है)।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए तैयारी में उपयोगी हो सकता है नियंत्रण कार्यमाता-पिता अपने बच्चों द्वारा असमानताओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा स्कूलपरीक्षण और परीक्षा की तैयारी में, एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

असमानताओं में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अतिरिक्त, भिन्नात्मक संख्यान केवल एक दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण अंश के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, भिन्नात्मक भाग को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा पूर्णांक से अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दर्ज कर सकते हैं दशमलवतो: 2.5x - 3.5x ^ 2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक द्वारा हर से अलग किया जाता है: /
पूरा भागएम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया गया: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

अभिव्यक्ति दर्ज करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, असमानता को हल करते समय, अभिव्यक्तियों को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)

वांछित असमानता चिह्न चुनें और नीचे के क्षेत्रों में बहुपदों को दर्ज करें।

प्रणाली की पहली असमानता।

पहली असमानता के प्रकार को बदलने के लिए बटन पर क्लिक करें।

> >= < <=

असमानताओं की प्रणाली को हल करें

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने के निर्देश यहां दिए गए हैं।

इसलिये बहुत सारे लोग हैं जो समस्या को हल करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

एक अज्ञात के साथ असमानताओं की प्रणाली। संख्यात्मक स्पैन

आप 7 वीं कक्षा में एक प्रणाली की अवधारणा से परिचित हुए और दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना सीखा। इसके बाद, एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताओं की प्रणालियों पर विचार किया जाएगा। असमानताओं की प्रणालियों के समाधान सेट अंतराल (अंतराल, अर्ध-अंतराल, खंड, किरण) का उपयोग करके लिखे जा सकते हैं। आप संख्यात्मक अंतरालों के अंकन के बारे में भी जानेंगे।

यदि असमानताओं \(4x > 2000 \) और \(5x \leq 4000 \) में अज्ञात संख्या x समान है, तो इन असमानताओं को एक साथ माना जाता है और उन्हें असमानताओं की एक प्रणाली बनाने के लिए कहा जाता है: $$ \left\ (\ शुरू (सरणी) (एल) 4x> 2000 \\ 5x \ leq 4000 \ अंत (सरणी) \ सही। $$

घुंघराले ब्रेस से पता चलता है कि आपको x के ऐसे मूल्यों को खोजने की जरूरत है, जिसके लिए सिस्टम की दोनों असमानताएं वास्तविक संख्यात्मक असमानताओं में बदल जाती हैं। यह प्रणाली एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताओं की प्रणाली का एक उदाहरण है।

एक अज्ञात के साथ असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान अज्ञात का मूल्य है जिस पर प्रणाली की सभी असमानताएं वास्तविक संख्यात्मक असमानताओं में बदल जाती हैं। असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इस प्रणाली के सभी समाधान खोजना या यह स्थापित करना कि कोई भी नहीं है।

असमानताओं \(x \geq -2 \) और \(x \leq 3 \) को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है: \(-2 \leq x \leq 3 \)।

एक अज्ञात के साथ असमानताओं की प्रणालियों के समाधान अलग-अलग संख्यात्मक सेट हैं। इन सेटों के नाम हैं। अतः, वास्तविक अक्ष पर, संख्याओं का समुच्चय x इस प्रकार है कि \(-2 \leq x \leq 3 \) बिंदु -2 और 3 पर समाप्त होने वाले खंड द्वारा दर्शाया गया है।

-2

3

यदि \(a एक खंड है और [a; b] द्वारा दर्शाया गया है

अगर \(एक अंतराल और (ए; बी) द्वारा दर्शाया गया है

संख्याओं के समुच्चय \(x \) असमानताओं को संतुष्ट करते हैं \(a \leq x अर्ध-अंतराल द्वारा और क्रमशः [a; b) और (a; b] द्वारा निरूपित किए जाते हैं।

खंड, अंतराल, अर्ध-अंतराल और किरणें कहलाती हैं संख्यात्मक अंतराल.

इस तरह, संख्या अंतरालअसमानताओं के रूप में दिया जा सकता है।

दो अज्ञात के साथ एक असमानता का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी (x; y) है जो इस असमानता को एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है। असमानता को हल करने का अर्थ है उसके सभी समाधानों का समुच्चय खोजना। तो, असमानता का समाधान x > y होगा, उदाहरण के लिए, संख्याओं के जोड़े (5; 3), (-1; -1), क्योंकि \(5 \geq 3 \) और \(-1 \geq - 1\)

असमानताओं का समाधान प्रणाली

आप पहले ही सीख चुके हैं कि एक अज्ञात के साथ रैखिक असमानताओं को कैसे हल किया जाता है। जानिए क्या है असमानताओं की व्यवस्था और व्यवस्था का समाधान। इसलिए, एक अज्ञात के साथ असमानताओं की प्रणालियों को हल करने की प्रक्रिया आपको कोई कठिनाई नहीं देगी।

और फिर भी हम याद करते हैं: असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, आपको प्रत्येक असमानता को अलग से हल करना होगा, और फिर इन समाधानों के प्रतिच्छेदन का पता लगाना होगा।

उदाहरण के लिए, असमानताओं की मूल प्रणाली को इस रूप में घटा दिया गया था:
$$ \बाएं\(\शुरू(सरणी)(एल) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(सरणी)\दाएं। $$

असमानताओं की इस प्रणाली को हल करने के लिए, वास्तविक अक्ष पर प्रत्येक असमानता के समाधान को चिह्नित करें और उनका प्रतिच्छेदन खोजें:

-2

3

प्रतिच्छेदन खंड है [-2; 3] - यह असमानताओं की मूल प्रणाली का समाधान है।

रैखिक समीकरण और असमानताएँ I

23 रैखिक असमानताओं की प्रणालियाँ

रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली दो या दो से अधिक रैखिक असमानताओं का एक समूह है जिसमें एक ही अज्ञात मात्रा होती है।

ऐसी प्रणालियों के उदाहरण हैं:

असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है अज्ञात मात्रा के सभी मूल्यों को खोजना जिसके लिए प्रणाली की प्रत्येक असमानता संतुष्ट है।

आइए उपरोक्त प्रणालियों को हल करें।

आइए हम दो संख्या रेखाओं को एक दूसरे के नीचे रखें (चित्र 31); शीर्ष पर उन मूल्यों पर ध्यान दें एक्स , जिसके तहत पहली असमानता ( एक्स > 1), और तल पर - वे मान एक्स , जिसके तहत दूसरी असमानता संतुष्ट है ( एक्स > 4).

संख्या रेखाओं पर परिणामों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि दोनों असमानताएँ एक साथ संतुष्ट होंगी एक्स > 4. उत्तर, एक्स > 4.

पहली असमानता देता है -3 एक्स < -б, или एक्स > 2, और दूसरा - एक्स > -8, या एक्स < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения एक्स , जिसके तहत प्रणाली की पहली असमानता संतुष्ट है, और दूसरी वास्तविक रेखा पर, पहली के नीचे स्थित, वे सभी मूल्य एक्स , जिसके लिए प्रणाली की दूसरी असमानता संतुष्ट है (चित्र। 32)।

इन दो परिणामों की तुलना से पता चलता है कि दोनों असमानताएं एक साथ सभी मूल्यों के लिए मान्य होंगी एक्स , 2 से 8 तक समाप्त हुआ। ऐसे मानों का समुच्चय एक्स दोहरी असमानता के रूप में लिखा जाता है 2< एक्स < 8.

उदाहरण 3. असमानताओं की एक प्रणाली को हल करें

प्रणाली की पहली असमानता 5 . देती है एक्स < 10, или एक्स < 2, второе एक्स > 4. इस प्रकार, कोई भी संख्या जो दोनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट करती है, 2 से अधिक और 4 से अधिक नहीं होनी चाहिए (चित्र 33)।

लेकिन ऐसी कोई संख्या नहीं है। इसलिए, असमानताओं की यह प्रणाली किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट नहीं है एक्स . असमानताओं की ऐसी व्यवस्थाओं को असंगत कहा जाता है।

अभ्यास

असमानताओं की इन प्रणालियों को हल करें (संख्या 179 -184):

असमानताओं को हल करें (संख्या 185, 186):

185. (2एक्स + 3) (2 - 2एक्स ) > 0. 186. (2 - π ) (2एक्स - 15) (एक्स + 4) > 0.

समानता डेटा (संख्या 187, 188) में शामिल अक्षरों के मान्य मान खोजें:

असमानताओं को हल करें (संख्या 189, 190):

189. 1 < 2एक्स - 5 < 2. 190. -2 < 1 - ओह < 5.

191. 10 लीटर पानी का तापमान क्या होना चाहिए ताकि जब इसे 15 डिग्री के तापमान पर 6 लीटर पानी में मिलाया जाए तो कम से कम 30 डिग्री और 40 डिग्री से अधिक के तापमान वाला पानी प्राप्त न हो?

192. एक त्रिभुज की एक भुजा 4 सेमी है और अन्य दो का योग 10 सेमी है। इन भुजाओं को पूर्ण संख्याओं के रूप में व्यक्त करने पर ज्ञात कीजिए।

193. यह ज्ञात है कि अज्ञात मात्रा के किसी भी मान के लिए दो रैखिक असमानताओं की प्रणाली संतुष्ट नहीं है। क्या यह कहना संभव है कि इस प्रणाली की व्यक्तिगत असमानताएं अज्ञात मात्रा के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट नहीं हैं?

परिभाषा 1 . अंतरिक्ष में बिंदुओं का सेट आर n , जिसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं एक 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स 2 +…+ एकएन एक्सएन = बी, कहा जाता है ( एन - 1 ) -डायमेंशनल हाइपरप्लेन in एन-आयामी अंतरिक्ष।

प्रमेय 1. हाइपरप्लेन सभी अंतरिक्ष को दो अर्ध-रिक्त स्थान में विभाजित करता है। अर्ध-अंतरिक्ष एक उत्तल समुच्चय है।

अर्ध-रिक्त स्थान की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन एक उत्तल समुच्चय है।

प्रमेय 2 . रैखिक असमानता को हल करना एनअनजान

एक 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स 2 +…+ एकएन एक्सएन बी

आधे स्थानों में से एक है जिसमें पूरे अंतरिक्ष को हाइपरप्लेन द्वारा विभाजित किया जाता है

एक 1 एक्स 1 + एक 2 एक्स 2 +…+एकएन एक्सएन = बी.

से एक प्रणाली पर विचार करें एमरैखिक असमानताओं के साथ एनअनजान।

प्रणाली की प्रत्येक असमानता का समाधान एक निश्चित आधा स्थान है। सिस्टम का समाधान सभी अर्ध-रिक्त स्थान का चौराहा होगा। यह सेट बंद और उत्तल होगा।

रैखिक असमानताओं को हल करने वाली प्रणाली

दो चर के साथ

एक सिस्टम दिया जाए एमदो चरों में रैखिक असमानताएँ।

प्रत्येक असमानता का समाधान अर्ध-तलों में से एक होगा जिसमें संपूर्ण विमान को संबंधित रेखा से विभाजित किया जाता है। सिस्टम का समाधान इन आधे विमानों का चौराहा होगा। इस समस्या को विमान पर ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है एक्स 1 0 एक्स 2 .

37. एक उत्तल बहुफलक का निरूपण

परिभाषा 1. बंद किया हुआ उत्तलसीमित सेट आर n जिसकी एक परिमित संख्या है कोने के बिंदुउत्तल कहा जाता है एन-आयामी पॉलीहेड्रॉन।

परिभाषा 2 . एक बंद उत्तल असंबद्ध समुच्चय आर n , जिसमें कोने बिंदुओं की एक सीमित संख्या होती है, उत्तल बहुफलकीय क्षेत्र कहलाता है।

परिभाषा 3 . बहुत सारा लेकिनआर n को बाउंडेड कहा जाता है यदि वहाँ है एन-आयामी गेंद जिसमें यह सेट होता है।

परिभाषा 4. बिंदुओं का उत्तल रैखिक संयोजन एक व्यंजक है जहाँ t i , .

प्रमेय (एक उत्तल बहुफलक के लिए निरूपण प्रमेय)।उत्तल पॉलीहेड्रॉन के किसी भी बिंदु को इसके कोने बिंदुओं के उत्तल रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

38. समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली के स्वीकार्य समाधान का क्षेत्र।

एक सिस्टम दिया जाए एमरैखिक समीकरण और असमानताओं के साथ एनअनजान।

परिभाषा 1 . दूरसंचार विभाग आर n को निकाय का संभावित हल कहा जाता है यदि इसके निर्देशांक निकाय के समीकरणों और असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। सभी की समग्रता संभव समाधानसिस्टम के संभावित समाधान (आरओए) का डोमेन कहा जाता है।

परिभाषा 2. एक संभावित समाधान जिसके निर्देशांक गैर-ऋणात्मक हैं, सिस्टम का स्वीकार्य समाधान कहा जाता है। सभी स्वीकार्य समाधानों के सेट को सिस्टम के स्वीकार्य समाधान (डीडीआर) का क्षेत्र कहा जाता है।

प्रमेय 1 . ODE एक बंद, उत्तल, परिबद्ध (या असीम) उपसमुच्चय है आरएन।

प्रमेय 2। सिस्टम का एक स्वीकार्य समाधान एक संदर्भ है यदि और केवल अगर यह बिंदु ओडीएस का कोने बिंदु है।

प्रमेय 3 (ODT के प्रतिनिधित्व पर प्रमेय)।यदि ओडीई एक बाउंडेड सेट है, तो किसी भी स्वीकार्य समाधान को ओडीई के कोने बिंदुओं के उत्तल रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है (सिस्टम के समर्थन समाधानों के उत्तल रैखिक संयोजन के रूप में)।

प्रमेय 4 (सिस्टम के समर्थन समाधान के अस्तित्व पर प्रमेय)। यदि सिस्टम में कम से कम एक स्वीकार्य समाधान (ओडीआर) है, तो स्वीकार्य समाधानों में से कम से कम एक संदर्भ समाधान है।