на човек съдържа определен план, с който душата е дошла тук, всички варианти на развитието на събитията, включително. Можете да отидете там и да видите последствията от важни решения, които вземаме. Например за смяна на работа и начин на живот. Това може да стане както в независими медитации, така и в съвместни процеси господар-роб. По-долу е описано как това е направено в сесия

Вероятностни линии

Проектирам три клона:

1) останете в Москва на съществуваща работа;

2) продават или наемат апартамент и отиват в Азия с приятели, за да станат партньор в техния туристически бизнес;

3) идеален вариант: напускам работа, участвам в бизнеса на приятели на базата на проекти, докато имам собствена къща, но не в Москва (или Азия, но различна, или Източна Европа, или Латинска Америка - голяма светла вила, в която можете да приемате гости и да провеждате уединения), има двойка - собствени партньорства и имат собствен бизнес.

Изграждаме и трите разклонения като пътища, вижте дали има разклонения.

Московският клон е здраво дебело сиво въже, тъпо и надеждно, няма да се откъснете, няма да се изгубите. Няколко по-тънки въжета идват от въжето, някои от тях са по-ярки и по-интересни, но нито едно от тях не привлича, не вика и не свети. Усещането е, че все още обичам Москва, но тази тема е остаряла.

Клонът с Азия и приятели е много ярък и визуален, но кратък и течен или нещо подобно. Липсва му потенциал да се обърне уверено в бъдеще. Няма достатъчно ресурс.

Идеалната трета картина е разделена на няколко географски точки на картата, всяка със свой специфичен вкус. Третият клон, който съдържа собствената ми история, е най-привлекателен, разбира се, за мен. Сега тя не е толкова осезаема като Москва и не е толкова колоритна като втората, но тя я призовава. И свети, изпълнен отвътре. Като тънък жив лъч пулсира и блести.

Избор на своя път

В тази версия на събитията аз свободно се движа по света по желание. Доходите ми са по-ниски, отколкото в Москва, но са достатъчни, за да не се нуждая от нищо и да не си отказвам нищо, макар и умерено. Идвам на проекти с приятели, те остават с мен. Пиша нещо и работя с хора, правя го за удоволствие. Има и някакъв вид светски бизнес проект, който също е повече или по-малко успешен и дава стабилен доход.

В същото време има близък човек, с когото заедно ще реализираме тази история, в двойка. За да се прояви е нужно не само моето намерение, но и заплащане и от двете страни, разбира се, както при всеки избор. Веднага щом изберете нещо, вие автоматично отказвате нещо .. Освен това винаги е страшно и опасно. Плащане като отказ от съществуващ комфорт или свобода. Плащането като разрешение да навлезете в живота си нещо съвсем ново и непознато, макар и изкусително. Чиста свободна воля и чистота на намеренията и от двете страни. И там също - как ще се окаже .. По друг начин (не по чиста воля), тази тема просто няма да излети.

Целият този процес в момента е в процес на разработка. Този клон е в етап на зреене и ако всичко върви добре, тогава той може напълно да се прояви в моята реалност. Вижте дали има препятствия или камъни по тази идеална линия за мен. Виждам паднало дърво точно на пътя. Това е страх и съмнение в себе си. От сериала - много е хубаво всичко да се окаже така, това не става така, това са все илюзии и приказки, измислени от само себе си. Почиствам пътя.

Следващата важна стъпка е да вземете собствено окончателно решение - дали изобщо е необходимо да хвърлите внимание там, в този мечтан клон, тъй като няма да е толкова лесно да се „навие“ по-късно. За себе си разбирам, че по един или друг начин го енергизирам дълго време и го активирам вътрешно. И това дори не се дължи на инат или желание да бъде по моя начин.

Много по-фини неща и знаци, които сигнализират, че това е съдба, колкото и силно да звучи. Този клон постепенно става все по-осезаем. Кондензира, бавно и сигурно. Въпреки че, разбира се, все още е изключително несигурно и може да се срине всеки момент, но има чувството, че самата тя идва при мен, тази нишка.

Тъй като отдавна е проектирано и предопределено, подредено, може да се каже. И разбирам накъде води това. И как се развива. И че това е правилното развитие на събитията. Въпреки че понякога ме е страх да повярвам.

И все пак много не би било желателно да се циментира този клон. Направете го твърдо и недвусмислено.. Няма нужда да вграждате твърдо обвързване в него с определено място или професия, или с нещо друго. Искам да има много елементи: въздух, вода, огън, земя, за да диша, за да е гъвкав и неразрушим - мобилен, трансформируем и преконфигурируем. И така, че всичко, което се случва в него, е резултат от съвместно творчество, а не от автономни действия. Във всеки случай това е двойна история, тя не може да се роди като принуда, тук е важна максималната коректност - в никакъв случай не трябва да се налагате или натискате.. Всичко е свободна воля. И тогава - къде ще се обади *

Укрепване на клона с внимание

Протягам лъч от моята Искра по посока на този клон, до точката, където той се стреми, свързвам се с него с моето внимание. Така искрата започва да работи за осъществяването на тази цел, закотвя се в нея. Може да не съм наясно с това, но работата ще бъде извършена: формирането на събития в космоса ще се осъществи по такъв начин, че тази цел да е възможно най-близо до моята реалност, до нейното изпълнение.

Искровият лъч се трансформира в гравитационен лъч и привлича обекти и събития от този клон на вероятностите към мен като магнит. Целта е много близо, може да се каже, че вече съм в нея. Като телепорт, когато не се опитвате да се преместите на ново място с цялото си тяло, а материализирате желаното пространство около вас: настройвате се на целта и я привличате към себе си. И колкото по-близо е до вас, толкова повече се простира волята ви към нейното осъществяване. И вече Искра е отговорен за оформянето на онези събития, които ще доведат до въплъщение на този клон в реалността, ще му позволят да играе.

Рисувам бъдещето си със светлината на моята Искра. Толкова е готино там, в тази линия от вероятности има една много красива история, в която искам да поканя всички да посетят .. Голяма светла стая, изпълнена с живот, слънце и въздух .. Давам й гориво, зареждам я с потенциал, така че има възможност да се прояви в реалността. Когато сте готови да вземете окончателно решение или трябва да видите някои отговори за развитието на този клон, можете просто да си спомните това състояние на привличане, да попиете емоционалната атмосфера и настроението на тази стая, да почувствате емоцията на творчеството и партньорството . Емоцията на творението винаги е любов.

Проява и консолидиране на резултата

За да заснемете тази картина, която изглежда толкова привлекателна, но сега нестабилна, трябва да пропуснете светлина през нея, да влеете емоция, да я заредите с позитив. Влезте в състоянието на ананда – радостен подем, любящо и обичано същество, влюбено и изпълнено с любов, и пренасочете това вътрешно гориво към идеален сценарий.

Изчистете пътя и премахнете въпросите. Подравнете се с други клонове на реалността около мен и участващите играчи, така че всичко това да е синхронизирано на място и във времето. Съвпадат с намерения, воля и свобода на избора. Наситете всичко това със собствена светлина, топлина и любов за реализацията на вашето бъдеще. креативностпо начина, по който ви харесва. Да експонира желания резултат по такъв начин, че изображението да се отпечата със светлина върху чувствителен филм - платното на бъдещите събития, да прогори своя отпечатък в него като светлинна проекция. И задръжте за малко, така че ефектът да е възможно най-ярък.

Сега трябва да обработите създадения отпечатък на съня, така че той да премине в слоя на материалната реалност. Следващата стъпка е стабилизирането. Необходимо е да добавите малко енергия от тъмнина и студ към картината, така че тя да кристализира и да придобие по-солидни очертания, да премине от състоянието на магически мираж в по-плътни слоеве, да се консолидира и да се прояви.

Работа с негативен отпечатък .. Резултатът е буквално фиксиран върху лист реалност, приблизително същият, както когато проектираме изображение от аналогов фотографски филм върху аналогова фотографска хартия и след това изсипваме проявителя и фиксатора на свой ред, за да можем вижте подробно какво сме уловили с помощта на светлина и намерения и влезте там, когато е подходящо и навременно.

Защото за комуникация със света и творческа реализацияГърлената чакра отговаря, изпращам лъч от гърлената чакра към избрания клон. Зад него поиска лъч от втората чакра, последван от третата. След това останалите чакри бяха свързани, получи се такъв лъчев душ, като от седемцветно цвете. Измивам и изсушавам всичко, което се е получило, изпълвам го с движение, материалната енергия на земята, визия, всички качества на жизнената сила и магнетизъм, привличам клона на вероятността в моята реалност още повече, свързвам го директно с всеки от центровете на чакрите, аз го предписвам там в тях ..

* човек забравя, че бъдещето е многовариантно и често се придържа към шаблонни модели (те обикновено се определят от нумерологията, астрологията и т.н.). Всъщност всеки от нас е поток и потокът трябва да тече, а не да се окачваме в рамките, лесно да пускаме старото и да пускаме новото, да се адаптираме. Ето защо, ако правите подобни практики, в никакъв случай не „циментирайте“ намерението си, тъй като светът винаги предлага още по-готини опции, за които ние самите може и да не подозираме, особено сега.

Реалността е многоизмерна, мненията за нея са многостранни. Тук се показват само едно или няколко лица. Не трябва да ги приемате като истина от последна инстанция, защото, но за всяко ниво на съзнание и. Научаваме се да отделяме това, което е наше от това, което не е наше, или да извличаме информация автономно)

ТЕМАТИЧНИ РАЗДЕЛИ:
| | | | | | | | |

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52);

● B = (11.12, 21.13, 31.14, 41.15, 51.16, 61)

● C = (12, 21.36, 63.45, 54.33.15, 51, 24.42.66).

● д= (СУМАТА НА ТОЧКИТЕ Е 2 ИЛИ 3);

● д= (ОБЩИЯТ БРОЙ ТОЧКИ Е 10).

Опишете събитието: ОТ= (ЗАТВОРЕНА ВЕРИГА) за всеки случай.

Решение.Нека въведем обозначението: събитие А- контакт 1 е затворен; събитие AT- контакт 2 е затворен; събитие ОТ- веригата е затворена, светлината свети.

1. За паралелна връзка веригата е затворена, когато поне един от контактите е затворен, т.н C = A + B;

2. При серийно свързване веригата е затворена, когато и двата контакта са затворени, т.н C \u003d A B.

Задача. 1.1.4Изготвени са две електрически вериги:

Събитие A - веригата е затворена, събитие A i - аз-тият контакт е затворен. За кой от тях е съотношението

A1 (A2 + A3 A4) A5 = A?

Решение. За първата верига A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), тъй като сумата от събития съответства на паралелната връзка, а произведението на събитията на серийната връзка. За втората схема А = А1 (A2+A3 A4 A5). Следователно тази връзка е валидна за втората схема.

Задача. 1.1.5Опростете израза (A + B)(B + C)(C + A).

Решение. Нека използваме свойствата на операциите за събиране и умножение на събития.

(А+ B)(B + C)(A + C) =

(AB+ AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB+ AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Задача. 1.1.6Докажете, че събитията A, AB и A+B образуват пълна група.

Решение. При решаването на задачата ще използваме свойствата на операциите върху събития. Първо, показваме, че тези събития са несъвместими по двойки.

Нека сега покажем, че сумата от тези събития дава пространството на елементарните събития.

Задача. 1.1.7Използвайки схемата на Ойлер-Вен, проверете правилото на де Морган:

A) Събитието AB е защриховано.

Б) Събитие А - вертикално щриховане; събитие B - хоризонтално щриховка. Събитие

(A+B) - засенчена зона.

От сравнението на фигури а) и в) следва:

Задача. 1.2.1По колко начина могат да седнат 8 души?

1. В една редица?

2. пер кръгла маса?

Решение.

1. Желаният брой начини е равен на броя на пермутациите от 8, т.е.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Тъй като изборът на първия човек на кръглата маса не влияе на редуването на елементи, тогава всеки може да бъде взет първи, а останалите ще бъдат подредени спрямо избрания. Това действие може да се извърши по 8!/8 = 5040 начина.

Задача. 1.2.2Курсът обхваща 5 предмета. По колко начина можете да направите график за събота, ако в този ден трябва да има две различни двойки?

Решение. Желаният брой начини е броят на разположенията

От 5 до 2, тъй като трябва да вземете предвид реда на двойките:

Задача. 1.2.3как изпитни комисии, състоящ се от 7 души, може да бъде съставен от 15 учители?

Решение. Желаният брой комисионни (без оглед на поръчката) е броят на комбинациите от 15 до 7:

Задача. 1.2.4От кошница, съдържаща двадесет номерирани топки, се избират 5 топки за късмет. Определете броя на елементите в пространството на елементарни събития от това преживяване, ако:

Топките се избират последователно една след друга с връщане след всяко извличане;

Топките се избират една по една без връщане;

Избират се 5 топки наведнъж.

Решение.

Броят начини за изваждане на първата топка от кошницата е 20. Тъй като извадената топка се връща в кошницата, броят на начините за изваждане на втората топка също е 20 и т.н. Тогава броят на начините за изваждане 5 топки в този случай е 20 20 20 20 20 = 3200000.

Броят на начините за изваждане на първата топка от кошницата е 20. Тъй като извадената топка не се върна в кошницата след изваждането, броят на начините за изваждане на втората топка стана 19 и т.н. Тогава броят на начините за изваждане 5 топки без замяна са 20 19 18 17 16 = A52 0

Броят начини за извличане на 5 топки от кошницата наведнъж е равен на броя на комбинациите от 20 на 5:

Задача. 1.2.5Хвърлят се два зара. Намерете вероятността за събитие А да бъде хвърлено поне едно 1.

Решение.На всеки зар може да падне произволен брой точки от 1 до 6. Следователно пространството на елементарните събития съдържа 36 еднакво възможни изхода. Събитие А се предпочита от 11 изхода: (1.1), (1.2), (2.1), (1.3), (3.1), (1.4), (4.1), (1.5), (5.1), (1.6), (6.1), така че

Задача. 1.2.6Буквите y, i, i, k, c, f, n са написани на червени карти, буквите a, a, o, t, t, s, h са написани на сини карти.След старателно смесване, което е по-вероятно : от първия път от буквите да използвате червените карти, за да направите думата "функция" или буквите на сините карти, за да направите думата "честота"?

Решение.Нека събитие А е думата "функция", произволно съставена от 7 букви, събитие B - думата "честота", произволно съставена от 7 букви. Тъй като са подредени два набора от 7 букви, броят на всички резултати за събития A и B е n = 7!. Събитие A е облагодетелствано от един изход m = 1, тъй като всички букви на червените картони са различни. Събитие B е облагодетелствано от m = 2! · 2! резултати, тъй като буквите "a" и "t" се срещат два пъти. Тогава P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Задача. 1.2.7На изпита на студента се предлагат 30 билета; Всеки билет има два въпроса. От 60 въпроса, включени в билетите, ученикът знае само 40. Намерете вероятността билетът, взет от ученика, да се състои от

1. от известните му въпроси;

2. от непознати за него въпроси;

3. от един познат и един непознат въпрос.

Решение.Нека A е събитието, при което ученикът знае отговора и на двата въпроса; Б - не знае отговора и на двата въпроса; C - той знае отговора на един въпрос, той не знае отговора на друг. Изборът на два въпроса от 60 може да бъде направен по n = C260 = 60 2 59 = 1770 начина.

1. Има m = C240 ​​​​= 40 2 39 = 780 избора на въпроси, известни на ученика. Тогава P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Изборът на два неизвестни въпроса от 20 може да се направи по m = C220 = 20 2 19 = 190 начина. В такъв случай

P(B) = M N = 11 79 70 0 = 0,11

3. Има m = C14 0 C21 0 = 40 20 = 800 начина за избор на билет с един познат и един неизвестен въпрос. Тогава P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Задача. 1.2.8Част от информацията е изпратена по три канала. Каналите работят независимо един от друг. Намерете вероятността информацията да достигне целта

1. Само на един канал;

2. Поне един канал.

Решение. Нека А е събитие, състоящо се в това, че информацията достига целта само по един канал; B - поне един канал. Опитът е предаване на информация през три канала. Резултатът от опита - информацията е достигнала целта. Означаваме Ai - информацията достига до целта през i-тия канал. Пространството на елементарните събития има формата:

Събитие B е облагодетелствано от 7 резултата: всички резултати с изключение на Then n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 3 8; P(B) = 7 8.

Задача. 1.2.9Точка произволно се появява на сегмент с единична дължина. Намерете вероятността разстоянието от точката до краищата на сегмента да е по-голямо от 1/8.

Решение. Според условието на задачата желаното събитие се удовлетворява от всички точки, които се появяват на интервала (a; b).

Тъй като дължината му е s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4, а дължината на целия сегмент е S = 1, изискваната вероятност е P = s/S = 3/14 = 0,75.

Задача. 1.2.10В партида отнпродуктиКпродуктите са дефектни. За контрол се избират m продукта. Намерете вероятността, че отМ ПродуктиЛ Те се оказват дефектни (събитие А).

Решение. Изборът на m продукта от n може да се направи по начини и изборът Лдефектен от k дефектен - по начини. След избора Лдефектните продукти ще останат (m - Л) подходящ, разположен сред (n - k) продукти. Тогава броят на резултатите, благоприятстващи събитието A, е

И желаната вероятност

Задача. 1.3.1бЕдна урна съдържа 30 топки: 15 червени, 10 сини и 5 бели. Намерете вероятността произволно изтеглена топка да е оцветена.

Решение. Нека събитие A - изтеглена е червена топка, събитие B - изтеглена е синя топка. След това събития (A + B) - изтегля се цветна топка. Имаме P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Тъй като

Събития A и B са несъвместими, тогава P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

Задача. 1.3.2Вероятността да вали сняг (събитиеА ), е равно на 0.6, И фактът, че ще вали (събитиеб ), е равно на 0.45. Намерете вероятността за лошо време, ако вероятността за дъжд и сняг (събитие AB ) е равно на 0.25.

Решение. Събития A и B са съвместни, така че P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,25 = 0,8

Задача. 1.3.3бПървата кутия съдържа 2 бели и 10 черни топки, втората - 3 бели и 9 черни топки, а третата - 6 бели и 6 черни топки. От всяка кутия беше взета топка. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са бели.

Решение. Събитие A - бяла топка е изтеглена от първото поле, B - от второто поле, C - от третото. Тогава P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Събитие ABC - всички извадени

Топките са бели. Следователно събития A, B, C са независими

P(ABC) = P(A) П(Б) П(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

Задача. 1.3.4белектрическа верига, свързана последователно 5 Елементи, които работят независимо един от друг. Вероятността от повреда на първия, втория, третия, четвъртия, петия елемент, съответно, е 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Намерете вероятността да няма ток във веригата (събитиеА ).

Решение. Тъй като елементите са свързани последователно, няма да има ток във веригата, ако поне един елемент се повреди. Събитие Ai(i =1...5) - ще се провали аз-ти елемент. Разработки

Задача. 1.3.5Схемата се състои от независими блокове, свързани в система с един вход и един изход.

Отказ във времето T на различни елементи на веригата - независими събитияима следните вероятностиП 1 = 0,1; П 2 = 0,2; П 3 = 0,3; П 4 = 0,4. Повредата на някой от елементите води до прекъсване на сигнала в клона на веригата, където се намира този елемент. Намерете надеждността на системата.

Решение. Ако събитие A - (СИСТЕМАТА Е НАДЕЖДНА), Ai - (i - ти МОДУЛ РАБОТИ НЕПРАВИЛНО), тогава A = (A1 + A2)(A3 + A4). Събития A1+A2, A3+A4 са независими, събития A1 и A2, A3 и A4 са съвместни. По формулите за умножение и събиране на вероятности

Задача. 1.3.6Работникът обслужва 3 машини. Вероятността в рамките на един час машината да не изисква вниманието на работник е 0,9 за първата машина, 0,8 за втората машина и 0,7 за третата машина.

Намерете вероятността, че през някой час

1. Втората машина ще изисква внимание;

2. Две машини изискват внимание;

3. Поне две машини ще се нуждаят от внимание.

Решение. Нека Ai - i-тата машина изисква вниманието на работника, - i-тата машина няма да изисква вниманието на работника. Тогава

Пространство на елементарни събития:

1. Събитие A - ще изисква вниманието на втората машина: Тогава

Тъй като събитията са несъвместими и независими. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Събитие B - две машини ще изискват внимание:

3. Събитие C - поне две зашеметявания ще изискват внимание
cov:

Задача. 1.3.7бвъведена машина "Екзаминатор". 50 въпроси. Ученикът се предлага 5 Въпроси и оценка „отличен“ се дава, ако на всички въпроси е отговорено правилно. Намерете вероятността да получите „отличен“, ако ученикът се подготви само 40 въпроси.

Решение. A - (ПОЛУЧЕН "ОТЛИЧЕН"), Ai - (ОТГОВОР НА i - ти ВЪПРОС). Тогава A = A1A2A3A4A5, имаме:

Или по друг начин - използвайки класическата вероятностна формула: И

Задача. 1.3.8Вероятностите, че частта, необходима на асемблера, се намирааз, II, III, IVкутия, съответно, са равни 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Намерете вероятността колекционерът да трябва да постави отметка във всичките 4 полета (събитиеА).

Решение. Нека Ai - (Частта, необходима на асемблера, е в i-тата кутия.) Тогава

Тъй като събитията са несъвместими и независими, значи

Задача. 1.4.1Изследвана е група от 10 000 души на възраст над 60 години. Оказа се, че 4000 души са постоянни пушачи. 1800 пушачи са показали сериозни промени в белите дробове. Сред непушачите 1500 души са имали промени в белите дробове. Каква е вероятността случайно изследван човек с белодробни изменения да е пушач?

Решение.Да въведем хипотезите: H1 - изследваният е постоянен пушач, H2 - е непушач. Тогава по условието на проблема

P(H1)= -------=0,4, P(H2)=---------=0,6

С А се отбелязва събитието, че изследваното лице има промени в белите дробове. Тогава по условието на проблема

По формула (1.15) намираме

Желаната вероятност изследваното лице да е пушач по формулата на Байс е равна на

Задача. 1.4.2В продажба влизат телевизори от три фабрики: 30% от първата фабрика, 20% от втората, 50% от третата. Продуктите на първата фабрика съдържат 20% телевизори със скрит дефект, втората - 10%, третата - 5%. Каква е вероятността да получите работещ телевизор?

Решение. Да разгледаме следните събития: А - закупен е изправен телевизор; хипотези H1, H2, H3 - телевизорът е пуснат в продажба съответно от първи, втори, трети завод. Според задачата

По формула (1.15) намираме

Задача. 1.4.3Има три еднакви кутии. Първият има 20 бели топки, вторият има 10 бели и 10 черни топки, а третият има 20 черни топки. Бяла топка се тегли от произволно избрана кутия. Намерете вероятността тази топка да е от втората кутия.

Решение. Нека събитието A - извадена е бяла топка, хипотези H1, H2, H3 - извадена е топката съответно от първа, втора, трета кутия. От условието на проблема намираме

Тогава
По формула (1.15) намираме

По формула (1.16) намираме

Задача. 1.4.4Телеграфното съобщение се състои от сигнали с точка и тире. Статистическите свойства на интерференцията са такива, че са изкривени средно 2/5 Точкови съобщения и 1/3 Тире съобщения. Известно е, че сред предаваните сигнали "точка" и "тире" се срещат в съотношението 5: 3. Определете вероятността предаваният сигнал да бъде получен, ако:

А) получава се сигнал "точка";

Б)получен сигнал за тире.

Решение. Нека събитието A - получен е сигналът "точка" и събитието B - получен е сигналът "тире".

Могат да се направят две хипотези: H1 - предава се сигналът "точка", H2 - предава се сигналът "тире". По условие P(H1) : P(H2) =5: 3. В допълнение, P(H1 ) + P(H2)= 1. Следователно P( H1 ) = 5/8, P(H2 ) = 3/8. Известно е, че

Вероятности за събития АИ бНамираме по формулата на пълната вероятност:

Желаните вероятности ще бъдат:

Задача. 1.4.5От 10 радиоканала 6 канала са защитени от смущения. Вероятност за защитен канал във времетоTняма да се провали е 0,95, за незащитен канал - 0,8. Намерете вероятността два произволно избрани канала да не се повредят след времеT, и двата канала не са защитени от смущения.

Решение. Нека събитието A - и двата канала няма да се провалят през времето t, събитието A1-Избран защитен канал A2-Избран е незащитен канал.

Нека напишем пространството на елементарните събития за експеримента - (избрани са два канала):

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

Хипотези:

H1 - двата канала са защитени от смущения;

H2 - първият избран канал е защитен, вторият избран канал не е защитен от смущения;

H3 - първият избран канал не е защитен, вторият избран канал е защитен от смущения;

H4 - и двата избрани канала не са защитени от смущения. Тогава

И

Задача. 1.5.1Предава се по комуникационния канал 6 Съобщения. Всяко от съобщенията може да бъде изкривено от шум с вероятност 0.2 Независимо от другите. Намерете вероятността, че

1. 4 съобщения от 6 не са изкривени;

2. Най-малко 3 от 6 бяха предадени изкривени;

3. Поне едно съобщение от 6 е ​​изкривено;

4. Не повече от 2 от 6 не са изкривени;

5. Всички съобщения се предават без изкривяване.

Решение. Тъй като вероятността за изкривяване е 0,2, вероятността за предаване на съобщение без смущения е 0,8.

1. Използвайки формулата на Бернули (1.17), намираме вероятността
скорост на предаване на 4 от 6 съобщения без смущения:

2. поне 3 от 6 се предават изкривено:

3. поне едно съобщение от 6 е ​​изкривено:

4. поне едно съобщение от 6 е ​​изкривено:

5. всички съобщения се предават без изкривяване:

Задача. 1.5.2Вероятността денят да е ясен през лятото е 0,42; вероятността за облачен ден е 0,36, а за частично облачен ден е 0,22. Колко дни от 59 може да се очаква да бъдат ясни и облачни?

Решение. От условието на задачата се вижда, че трябва да се търси най-вероятният брой ясни и облачни дни.

За ясни дни П= 0.42, н= 59. Съставяме неравенства (1.20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ мо≤ 25.2 → мо= 25.

За облачни дни P= 0.36, N= 59 и

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ М0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Следователно 20,16 ≤ М0 ≤ 21.60; → М0 = 21.

Така най-вероятният брой ясни дни мо= 25, облачни дни - M0 = 21. Тогава през лятото можем да очакваме мо+ M0 =46 ясни и облачни дни.

Задача. 1.5.3Има 110 студенти от курса на лекция по теория на вероятностите. Намерете вероятността, че

1. k ученици (k = 0,1,2) от присъстващите са родени на първи септември;

2. поне един студент от курса да е роден на 1 септември.

Р=1/365е много малък, затова използваме формулата на Поасон (1.22). Нека намерим параметъра на Поасон. защото

н= 110, тогава λ = np = 110 1 /365 = 0,3.

След това по формулата на Поасон

Задача. 1.5.4Вероятността частта да не е стандартна е 0.1. Колко детайла трябва да бъдат избрани, така че с вероятност P = 0.964228 Може да се твърди, че относителната честота на поява на нестандартни части се отклонява от постоянната вероятност p = 0.1 В абсолютно изражение не повече от 0.01 ?

Решение.

Задължителен номер нНамираме по формула (1.25). Ние имаме:

Р = 1,1; q = 0,9; P= 0,96428. Заместете данните във формулата:

Къде намираме

Според таблицата със стойности на функцията Φ( х) намираме това

Задача. 1.5.5Вероятността за повреда във времето T на един кондензатор е 0,2. Определете вероятността след време T от 100 кондензатора да се повредят.

1. Точно 10 кондензатора;

2. Най-малко 20 кондензатора;

3. По-малко от 28 кондензатора;

4. От 14 до 26 кондензатора.

Решение. Ние имаме P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Точно 10 кондензатора.

защото ПВелико, нека използваме локалната теорема на Моавър-Лаплас:

Изчислете

Тъй като функцията φ(x)- дори, тогава φ (-2,5) = φ (2,50) = 0,0175 (намираме от таблицата със стойностите на функциите φ(x).Желана вероятност

2. Най-малко 20 кондензатора;

Изискването поне 20 от 100 кондензатора да се повредят означава, че или 20, или 21, ... или 100 ще се повредят. T1 = 20, T 2=100. Тогава

Според таблицата със стойностите на функцията Φ(x)Нека намерим Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0,5. Изисквана вероятност:

3. По-малко от 28 кондензатора;

(тук беше отчетено, че функцията на Лаплас Ф(x) е нечетна).

4. От 14 до 26 кондензатора. По условие M1= 14, m2 = 26.
Изчислете x 1,x2:

Задача. 1.5.6Вероятността за възникване на някакво събитие в един експеримент е равна на 0,6. Каква е вероятността това събитие да се случи в повечето от 60-те опита?

Решение. Количество МПоявата на събитие в серия от тестове е в интервала. „В повечето експерименти“ означава това МПринадлежи към интервал По условие N= 60, P= 0.6, Q = 0.4, М1 = 30, m2 = 60. Изчислете x1 и x2:

Случайни величини и техните разпределения

Задача. 2.1.1Дадена е таблица, в която горният ред показва възможните стойности на случайна променливах , а най-отдолу – техните вероятности.

Тази таблица може ли да бъде серия за разпространениех ?

Отговор: Да, тъй като p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Задача. 2.1.2Освободен 500 Лотарийни билети, и 40 Билетите ще донесат на притежателите си награда за 10000 Разтривайте, 20 Билети - по 50000 Разтривайте, 10 Билети - по 100000 Разтривайте, 5 Билети - по 200000 Разтривайте, 1 Билет - 500000 Разтривайте, останалите - без победа. Намерете печелившия закон за разпределение за собственика на един билет.

Решение.

Възможни стойности на X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Вероятностите за тези възможни стойности са:

Желаният закон за разпределение:

Задача. 2.1.3стрелец, имащ 5 Патрони, стреля до първото попадение в целта. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0.7. Изградете закона за разпределение на броя на използваните касети, намерете функцията на разпределениеЕ(х) и начертайте нейната графика, намерете P(2< x < 5).

Решение.

Пространство от елементарни събития на опита

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Където събитие (1) - уцели целта, събитие (0) - не уцели целта. Елементарните резултати съответстват на следните стойности на случайната стойност на броя на използваните патрони: 1, 2, 3, 4, 5. Тъй като резултатът от всеки следващ изстрел не зависи от предишния, вероятностите на възможните стойности са:

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 0,7 = 0,21;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 0,7 = 0,063;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 0,7 = 0,0189;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 0,7 + 0,35 = 0,0081.

Желаният закон за разпределение:

Намерете функцията на разпределение Е(х), Използване на формула (2.5)

х≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(Х= 1) + P2(x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X >5, Е(x) = 1

Намерете P(2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < х< 5) = F(5) - Е(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Задача. 2.1.4ДанаЕ(х) на някаква случайна променлива:

Запишете серията на разпространение за X.

Решение.

От имоти Е(х) От това следва, че възможните стойности на случайната променлива х - Точки на прекъсване на функцията Е(х), И съответните вероятности са скокове на функцията Е(х). Намерете възможните стойности на случайната променлива X=(0,1,2,3,4).

Задача. 2.1.5Задайте коя функция

е функция на разпределение на някаква случайна променлива.

Ако отговорът е да, намерете вероятността, че съответният произволна стойностприема стойности на[-3,2].

Решение. Нека начертаем функциите F1(x) и F2(x):

Функцията F2(x) не е функция на разпределение, тъй като не е ненамаляваща. Функцията F1(x) е

Функцията на разпределение на някаква случайна променлива, тъй като е ненамаляваща и удовлетворява условие (2.3). Нека намерим вероятността за постигане на интервала:

Задача. 2.1.6Дадена е плътността на вероятността на непрекъсната случайна променливах :

Намирам:

1. Коефициент° С ;

2. разпределителна функция F(x) ;

3. Вероятността случайна променлива да попадне в интервала(1, 3).

Решение. От условието за нормализиране (2.9) намираме

Следователно,

По формула (2.10) намираме:

По този начин,

По формула (2.4) намираме

Задача. 2.1.7Случайният престой на електронно оборудване в някои случаи има плътност на вероятността

Където M = lge = 0,4343...

Намиране на функция на разпределение F(x) .

Решение. По формула (2.10) намираме

Където

Задача. 2.2.1Дадена е серия на разпределение на дискретна случайна променливах :

намирам очаквана стойност, дисперсия, стандартно отклонение, M, D [-3X + 2].

Решение.

По формулата (2.12) намираме математическото очакване:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28,5 + 5 = 62. Използвайки формула (2.19), намираме дисперсията:

Задача. 2.2.2Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на непрекъсната случайна променливах , чиято разпределителна функция

.

Решение. Намерете плътността на вероятността:

Математическото очакване се намира по формулата (2.13):

Намираме дисперсията по формулата (2.19):

Нека първо намерим математическото очакване на квадрата на случайната променлива:

Стандартно отклонение

Задача. 2.2.3хима няколко разпределения:

Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променливаY = EX .

Решение. М[ Y] = M[ EX ] = д-- 1 0,2 + e0 0,3 + e1 0,4 + e2 0,1 =

0,2 0,3679 + 1 0,3 + 2,71828 0,4 + 7,389 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - М2[дХ] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (е--2 0,2 ​​+ 0,3 + е2 0,4 + е4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

Задача. 2.2.4Дискретна случайна променливах Може да приема само две стойности X1 И X2 , и X1< x2. Известна вероятност P1 = 0,2 Възможна стойност X1 , очаквана стойностМ[Х] = 3,8 И дисперсия D[X] = 0,16. Намерете закона за разпределение на случайна променлива.

Решение. Тъй като случайната променлива X приема само две стойности x1 и x2, тогава вероятността p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0,2 = 0,8.

По условието на задачата имаме:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2x1 + 0,8x2 = 3,8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0,2x21 + 0,8x22) - (0,38)2 = 0,16.

Така получихме системата от уравнения:

Условие х1

Задача. 2.2.5Случайната променлива X се подчинява на закона за разпределение, чиято графика на плътността има формата:

Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение.

Решение. Нека намерим диференциалната функция на разпределение f(x). Извън интервала (0, 3) f(x) = 0. В интервала (0, 3) графиката на плътността е права линия с наклон k = 2/9, минаваща през началото. По този начин,

Очаквана стойност:

Намерете дисперсията и стандартното отклонение:

Задача. 2.2.6Намерете математическото очакване и дисперсията на сбора от точки на четири зара при едно хвърляне.

Решение. Нека обозначим A - броят точки на един зар в едно хвърляне, B - броят точки на втория зар, C - на третия зар, D - на четвъртия зар. За случайни променливи A, B, C, D законът за разпределение един.

Тогава M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

Задача. 2.3.1Вероятността частица, излъчена от радиоактивен източник, да бъде регистрирана от брояч е равна на 0.0001. През периода на наблюдение, 30000 частици. Намерете вероятността броячът да е регистрирал:

1. Точно 3 частици;

2. Нито една частица;

3. Най-малко 10 частици.

Решение. По условие П= 30000, П= 0,0001. Събитията, състоящи се в това, че се регистрират частици, излъчени от радиоактивен източник, са независими; номер ПСтрахотно, но вероятността ПМалък, затова използваме разпределението на Поасон: Нека намерим λ: λ = nП = 30000 0,0001 = 3 = M[X]. Желани вероятности:

Задача. 2.3.2В партидата има 5% нестандартни части. 5 елемента бяха избрани на случаен принцип. Напишете закона за разпределение на дискретна случайна променливах - броя на нестандартните части сред петте избрани; намерете математическото очакване и дисперсията.

Решение. Дискретната случайна променлива X - броят на нестандартните части - има биномиално разпределение и може да приема следните стойности: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Вероятност за нестандартна част в партида p = 5 /100 = 0,05. Нека намерим вероятностите за тези възможни стойности:

Нека напишем желания закон за разпределение:

Нека намерим числените характеристики:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– М2 [Х]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Или д[ х] = np (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Задача. 2.3.3Времето за радарно откриване на целта се разпределя по експоненциалния закон

Където1/ λ = 10 Разд. - средно време за откриване на целта. Намерете вероятността целта да бъде намерена в рамките на времето5 Преди15 Разд. след началото на търсенето.

Решение. Вероятност за попадение на случайна променлива х В интервал (5, 15) Нека намерим по формула (2.8):

При Получаваме

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Задача. 2.3.4Случайните грешки при измерване се подчиняват на нормалния закон с параметри a = 0, σ = 20 Ммм. Напишете диференциална функция на разпределениеЕ(х) и намерете вероятността да е направена грешка по време на измерването в интервала от 5 Преди 10 Ммм.

Решение. Нека заместим стойностите на параметрите a и σ във функцията на диференциалното разпределение (2.35):

Използвайки формула (2.42), намираме вероятността за уцелване на случайна променлива х В интервала , т.е. А= 0, B= 0,1. След това диференциалната функция на разпределение F(x)Ще изглежда като

Какво е вероятност?

Сблъсквайки се с този термин за първи път, не бих разбрал какво е това. Така че ще се опитам да обясня по разбираем начин.

Вероятността е шансът желаното събитие да се случи.

Например, решихте да посетите приятел, помнете входа и дори етажа, на който живее. Но забравих номера и местоположението на апартамента. И сега стоите на стълбището, а пред вас са вратите, от които да избирате.

Какъв е шансът (вероятността), ако позвъните на първата врата, вашият приятел да ви отвори? Цял апартамент, като само зад единия живее приятел. С равен шанс можем да изберем всяка врата.

Но какъв е този шанс?

Врати, правилната врата. Вероятност за отгатване чрез звънене на първата врата: . Тоест един път от три ще познаете със сигурност.

Искаме да знаем, като се обадим веднъж, колко често ще познаем вратата? Нека да разгледаме всички опции:

1. вие се обадихте на 1-воврата
2. вие се обадихте на 2-роврата
3. вие се обадихте на 3-товрата

А сега помислете за всички опции, където може да бъде приятел:

а. пер 1-воврата
b. пер 2-роврата
в. пер 3-товрата

Нека сравним всички опции под формата на таблица. Отметка показва опциите, когато вашият избор съвпада с местоположението на приятел, кръст - когато не съвпада.

Как виждаш всичко Може би настроикиместоположението на приятел и вашият избор на коя врата да позвъните.

НО благоприятни резултати от всички . Тоест ще познаете времената от едно позвъняване на вратата, т.е. .

Това е вероятността - съотношението на благоприятен изход (когато вашият избор съвпадна с местоположението на приятел) към броя на възможните събития.

Дефиницията е формулата. Вероятността обикновено се означава с p, така че:

Не е много удобно да се пише такава формула, така че нека вземем за - броя на благоприятните резултати и за - общия брой резултати.

Вероятността може да бъде записана като процент, за това трябва да умножите получения резултат по:

Вероятно думата „резултати“ е хванала окото ви. Тъй като математиците наричат ​​различни действия (за нас такова действие е звънец) експерименти, обичайно е резултатът от такива експерименти да се нарича резултат.

Е, резултатите са благоприятни и неблагоприятни.

Да се ​​върнем към нашия пример. Да кажем, че звъннахме на една от вратите, но непознат ни отвори. Не познахме. Каква е вероятността, ако позвъним на една от останалите врати, нашият приятел да ни я отвори?

Ако мислите така, значи това е грешка. Нека да го разберем.

Остават ни две врати. Така че имаме възможни стъпки:

1) Обадете се на 1-воврата
2) Обадете се 2-роврата

Един приятел, с всичко това, определено стои зад един от тях (в края на краищата той не стоеше зад този, който извикахме):

а) приятел 1-воврата
б) приятел за 2-роврата

Нека отново начертаем таблицата:

Както можете да видите, има всички опции, от които - благоприятни. Тоест вероятността е равна.

Защо не?

Ситуацията, която разгледахме, е пример за зависими събития.Първото събитие е първото звънене на вратата, второто събитие е второто звънене на вратата.

И те се наричат ​​зависими, защото засягат следните действия. В крайна сметка, ако приятел отвори вратата след първото позвъняване, каква би била вероятността той да е зад някой от другите двама? Правилно, .

Но ако има зависими събития, значи трябва да има независима? Вярно, има.

Пример от учебника е хвърлянето на монета.

1. Хвърляме монета. Каква е вероятността например да се появят глави? Точно така - защото опциите за всичко (било глави, или опашки, ще пренебрегнем вероятността монета да стои на ръба), но само ни подхожда.
2. Но опашките паднаха. Добре, нека го направим отново. Каква е вероятността да излезете на глави сега? Нищо не се е променило, всичко е същото. Колко опции? две. От колко сме доволни? един.

И нека опашки падат поне хиляда пъти подред. Вероятността да паднат глави наведнъж ще бъде същата. Винаги има варианти, но изгодни.

Разграничаването на зависими събития от независими събития е лесно:

1. Ако експериментът се проведе веднъж (веднъж хвърлена монета, звънецът на вратата веднъж и т.н.), тогава събитията винаги са независими.
2. Ако експериментът се провежда няколко пъти (веднъж се хвърля монета, няколко пъти се звъни на вратата), тогава първото събитие винаги е независимо. И тогава, ако броят на благоприятните или броят на всички резултати се промени, тогава събитията са зависими, а ако не, те са независими.

Нека се упражним малко, за да определим вероятността.

Пример 1

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността да получите хедс-ъп два пъти подред?

Решение:

Обмислете всички възможни опции:

1. орел орел
2. опашки орел
3. опашки-орел
4. Опашки-опашки

Както можете да видите, всички опции. От тях само ние сме доволни. Това е вероятността:

Ако условието изисква просто да се намери вероятността, тогава отговорът трябва да бъде даден като десетична дроб. Ако беше посочено, че отговорът трябва да бъде даден като процент, тогава ще умножим по.

Отговор:

Пример 2

В кутия шоколадови бонбони всички бонбони са опаковани в една и съща опаковка. От сладките обаче - с ядки, коняк, череши, карамел и нуга.

Каква е вероятността да вземете един бонбон и да получите бонбон с ядки. Дайте отговора си в проценти.

Решение:

Колко възможни изхода има? .

Тоест, като вземете един бонбон, той ще бъде един от тези в кутията.

И колко благоприятни резултати?

Защото кутията съдържа само шоколади с ядки.

Отговор:

Пример 3

В кутия с топки. от които са бели и черни.

1. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?
2. Добавихме още черни топки в кутията. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка сега?

Решение:

а) В кутията има само топки. от които са бели.

Вероятността е:

б) Сега в кутията има топки. И остават точно толкова бели.

Отговор:

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е ().

Например в кутия с червени и зелени топки. Каква е вероятността да изтеглите червена топка? Зелена топка? Червена или зелена топка?

Вероятност да изтеглите червена топка

Зелена топка:

Червена или зелена топка:

Както можете да видите, сборът от всички възможни събития е равен на (). Разбирането на тази точка ще ви помогне да разрешите много проблеми.

Пример 4

В кутията има флумастери: зелен, червен, син, жълт, черен.

Каква е вероятността да НЕ нарисувате червен маркер?

Решение:

Нека преброим броя благоприятни резултати.

НЕ е червен маркер, това означава зелен, син, жълт или черен.

Вероятност за всички събития. А вероятността от събития, които считаме за неблагоприятни (когато извадим червен флумастер) е .

По този начин вероятността да нарисувате НЕ червен флумастер е -.

Отговор:

Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вече знаете какво представляват независимите събития.

И ако трябва да намерите вероятността две (или повече) независими събития да се появят подред?

Да кажем, че искаме да знаем каква е вероятността, като хвърлим монета веднъж, да видим орел два пъти?

Вече разгледахме - .

Ами ако хвърлим монета? Каква е вероятността да видите орел два пъти подред?

Общо възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-глава-опашки
3. Глава-опашка-орел
4. Глава-опашка-опашка
5. опашки-орел-орел
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Не знам за вас, но аз направих този списък грешно веднъж. Еха! И единственият вариант (първият) ни подхожда.

За 5 хвърляния можете сами да направите списък с възможни резултати. Но математиците не са толкова трудолюбиви като вас.

Следователно те първо забелязаха и след това доказаха, че вероятността за определена последователност от независими събития намалява всеки път с вероятността за едно събитие.

С други думи,

Помислете за примера на същата, злополучна монета.

Вероятност да излезете на глави в процес? . Сега хвърляме монета.

Каква е вероятността да получите опашки подред?

Това правило не работи само ако бъдем помолени да намерим вероятността едно и също събитие да се случи няколко пъти подред.

Ако искахме да намерим последователността TAILS-EAGLE-TAILS при последователни обръщания, бихме направили същото.

Вероятността за получаване на опашки - , глави - .

Вероятността да получите последователността ОПАШКИ-ОРЕЛ-ОПАШКИ-ОПАШКИ:

Можете да проверите сами, като направите таблица.

Правилото за събиране на вероятностите за несъвместими събития.

Така че спри! Нова дефиниция.

Нека да го разберем. Нека вземем нашата износена монета и я хвърлим веднъж.
Възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-глава-опашки
3. Глава-опашка-орел
4. Глава-опашка-опашка
5. опашки-орел-орел
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Така че тук има несъвместими събития, това е определена, дадена последователност от събития. са несъвместими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността за две (или повече) несъвместими събития, тогава добавяме вероятностите за тези събития.

Трябва да разберете, че загубата на орел или опашка е две независими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността последователност) (или всяка друга) да изпадне, тогава използваме правилото за умножаване на вероятностите.
Каква е вероятността да получите глави при първото хвърляне и опашки при второто и третото?

Но ако искаме да знаем каква е вероятността да получим една от няколко последователности, например, когато главите се появят точно веднъж, т.е. опции и тогава трябва да добавим вероятностите на тези последователности.

Общите опции ни подхождат.

Можем да получим същото, като съберем вероятностите за поява на всяка последователност:

По този начин добавяме вероятности, когато искаме да определим вероятността за някои, несъвместими, последователности от събития.

Има страхотно правило, което ще ви помогне да не се объркате кога да умножавате и кога да събирате:

Нека се върнем към примера, където хвърлихме монета пъти и искаме да знаем вероятността да видим глави веднъж.
Какво ще се случи?

Трябва да падне:
(глави И опашки И опашки) ИЛИ (опашки И глави И опашки) ИЛИ (опашки И опашки И глави).
И така се оказва:

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 5

В кутията има моливи. червено, зелено, оранжево, жълто и черно. Каква е вероятността да нарисувате червени или зелени моливи?

Решение:

Какво ще се случи? Трябва да изтеглим (червено ИЛИ зелено).

Сега е ясно, събираме вероятностите за тези събития:

Отговор:

Пример 6

Зарът се хвърля два пъти, каква е вероятността да излязат общо 8?

Решение.

Как можем да вземем точки?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятността да изпаднете от едно (всяко) лице е .

Ние изчисляваме вероятността:

Отговор:

Тренировка.

Мисля, че сега ви стана ясно кога трябва да преброите вероятностите, кога да ги добавите и кога да ги умножите. Не е ли? Нека се поупражняваме.

Задачи:

Нека вземем тесте карти, в което картите са пика, черва, 13 трефи и 13 дайрета. От до Асо от всяка боя.

1. Каква е вероятността да изтеглим купа в един ред (поставяме първата изтеглена карта обратно в тестето и разбъркваме)?
2. Каква е вероятността да изтеглите черна карта (пика или купа)?
3. Каква е вероятността да нарисувате картина (вале, дама, поп или асо)?
4. Каква е вероятността да изтеглите две картини подред (премахваме първата изтеглена карта от тестето)?
5. Каква е вероятността, вземайки две карти, да съберете комбинация - (Вале, Дама или Поп) и Асо Последователността, в която ще бъдат изтеглени картите, няма значение.

Отговори:

1. В тесте карти с всяка стойност това означава:
2. Събитията са зависими, тъй като след първата изтеглена карта, броят на картите в тестето е намалял (както и броят на "снимките"). Общ брой валета, дами, попове и аса в тестето първоначално, което означава вероятността да изтеглите „картината“ с първата карта:

   Тъй като махаме първата карта от тестето, това означава, че в тестето вече има останала карта, на която има снимки. Вероятност да нарисувате картина с втората карта:

   Тъй като се интересуваме от ситуацията, когато получим от колодата: „картина“ И „картина“, тогава трябва да умножим вероятностите:

   Отговор:

3. След като бъде изтеглена първата карта, броят на картите в тестето ще намалее, така че имаме две възможности:
   1) С първата карта изваждаме асо, втората - вале, дама или поп
   2) С първата карта вадим вале, дама или поп, втората - асо. (асо и (вале или дама или поп)) или ((вале или дама или поп) и асо). Не забравяйте да намалите броя на картите в тестето!

Ако сте успели да разрешите всички проблеми сами, значи сте страхотен човек! Сега задачи по теория на вероятностите на изпита ще цъкаш като луд!

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. СРЕДНО НИВО

Помислете за пример. Да кажем, че хвърляме зар. Какъв вид кост е това, знаете ли? Това е името на куб с числа на лицата. Колко лица, толкова числа: от до колко? Преди.

Така че хвърляме зар и искаме да излезе с или. И ние изпадаме.

В теорията на вероятностите казват какво се е случило благоприятно събитие(да не се бърка с добро).

Ако изпадне, събитието също ще бъде благоприятно. Общо могат да се случат само две благоприятни събития.

Колко лоши? Тъй като всички възможни събития, тогава неблагоприятните от тях са събития (това е, ако изпадне или).

определение:

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.. Тоест вероятността показва каква част от всички възможни събития са благоприятни.

Те обозначават вероятността с латинска буква (очевидно от английската дума probability - вероятност).

Обичайно е вероятността да се измерва като процент (виж темите и). За да направите това, стойността на вероятността трябва да бъде умножена по. В примера със зарове, вероятност.

И в проценти: .

Примери (решете сами):

1. Каква е вероятността хвърлянето на монета да попадне на глави? И каква е вероятността за опашка?
2. Каква е вероятността да се появи четно число, когато се хвърли зар? И с какво - странно?
3. В чекмедже с обикновени, сини и червени моливи. На случаен принцип теглим един молив. Каква е вероятността да извадите прост?

Решения:

1. Колко опции има? Глави и опашки - само две. И колко от тях са благоприятни? Само един е орел. Така че вероятността

   Същото с опашките: .

2. Общо опции: (колко страни има куб, толкова различни опции). Благоприятни: (това са всички четни числа :).
   Вероятност. С нечетни, разбира се, същото нещо.
3. Обща сума: . Благоприятен: . Вероятност: .

Пълна вероятност

Всички моливи в чекмеджето са зелени. Каква е вероятността да нарисувате червен молив? Няма шансове: вероятност (в края на краищата благоприятни събития -).

Такова събитие се нарича невъзможно.

Каква е вероятността да нарисувате зелен молив? Има точно толкова благоприятни събития, колкото и всички събития (всички събития са благоприятни). Така че вероятността е или.

Такова събитие се нарича сигурно.

Ако в кутията има зелени и червени моливи, каква е вероятността да нарисувате зелен или червен? Още веднъж. Обърнете внимание на следното: вероятността да нарисувате зелено е равна, а червеното е .

Накратко, тези вероятности са абсолютно равни. Това е, сумата от вероятностите на всички възможни събития е равна на или.

Пример:

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, прости, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да не нарисувате зелено?

Решение:

Не забравяйте, че всички вероятности се събират. И вероятността да нарисувате зелено е равна. Това означава, че вероятността да не нарисувате зелено е равна.

Запомнете този трик:Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Независими събития и правилото за умножение

Хвърляте монета два пъти и искате тя да излезе с глави и двата пъти. Каква е вероятността за това?

Нека да прегледаме всички възможни опции и да определим колко са:

Орел-Орел, Опашки-Орел, Орел-Опашки, Опашки-Опашки. Какво друго?

Целият вариант. От тях само един ни подхожда: Eagle-Eagle. Така че вероятността е равна.

Добре. Сега нека хвърлим монета. Пребройте се. Се случи? (отговор).

Може би сте забелязали, че с добавянето на всяко следващо хвърляне, вероятността намалява с фактор. Общото правило се нарича правило за умножение:

Вероятностите за независими събития се променят.

Какво представляват независимите събития? Всичко е логично: това са тези, които не зависят един от друг. Например, когато хвърляме монета няколко пъти, всеки път се прави ново хвърляне, чийто резултат не зависи от всички предишни хвърляния. Със същия успех можем да хвърлим две различни монети едновременно.

Още примери:

1. Зарът се хвърля два пъти. Каква е вероятността да се появи и двата пъти?
2. Монета се хвърля пъти. Каква е вероятността да получите два пъти с главите и след това с опашките?
3. Играчът хвърля два зара. Каква е вероятността сборът на числата върху тях да е равен?

Отговори:

1. Събитията са независими, което означава, че правилото за умножение работи: .
2. Вероятността за орел е равна. Вероятност за опашки също. Ние умножаваме:
3. 12 може да се получи само ако изпаднат две -ки: .

Несъвместими събития и правилото за добавяне

Несъвместимите събития са събития, които се допълват до пълна вероятност. Както подсказва името, те не могат да се случат по едно и също време. Например, ако хвърлим монета, могат да паднат или глави, или опашки.

Пример.

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, прости, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да нарисувате зелено или червено?

Решение .

Вероятността да нарисувате зелен молив е равна. Червен - .

Благоприятни събития от всички: зелено + червено. Така че вероятността да нарисувате зелено или червено е равна.

Същата вероятност може да бъде представена в следната форма: .

Това е правилото за добавяне:вероятностите за несъвместими събития се сумират.

Смесени задачи

Пример.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността резултатът от хвърлянията да е различен?

Решение .

Това означава, че ако главите са първи, опашките трябва да са втори и обратното. Оказва се, че тук има две двойки независими събития и тези двойки са несъвместими една с друга. Как да не се объркате къде да умножите и къде да добавите.

Има просто правило за такива ситуации. Опитайте се да опишете какво трябва да се случи, като свържете събитията със съюзите "И" или "ИЛИ". Например в този случай:

Трябва да се хвърлят (глави и опашки) или (опашки и глави).

Където има обединение "и", ще има умножение, а където "или" е събиране:

Опитайте сами:

1. Каква е вероятността две хвърляния на монети да се окажат с една и съща страна и двата пъти?
2. Зарът се хвърля два пъти. Каква е вероятността сумата да падне точки?

Решения:

1. (Heads up и heads up) или (опашки горе и опашки горе): .
2. Какви са вариантите? и. Тогава:
   Навити (и) или (и) или (и): .

Друг пример:

Хвърляме монета веднъж. Каква е вероятността главите да се появят поне веднъж?

Решение:

О, как не искам да сортирам опциите ... Head-tails-tails, Eagle-heads-tails, ... Но не е нужно! Нека поговорим за пълната вероятност. Спомняте ли си? Каква е вероятността орелът никога няма да падне? Това е просто: опашки летят през цялото време, това означава.

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.

Независими събития

Две събития са независими, ако настъпването на едното не променя вероятността другото да се случи.

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е ().

Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вероятността за определена последователност от независими събития е равна на произведението на вероятностите за всяко от събитията

Несъвместими събития

Несъвместими събития са онези събития, които не могат да се случат едновременно в резултат на експеримент. Редица несъвместими събития образуват пълна група от събития.

Вероятностите за несъвместими събития се сумират.

След като описахме какво трябва да се случи, използвайки съюзите "И" или "ИЛИ", вместо "И" поставяме знака за умножение, а вместо "ИЛИ" - събиране.

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за OGE или USE по математика,

И също така получете неограничен достъп до урока на YouClever...

Твоето число е дванадесето - каза елхата, записвайки нещо в малка книжка. Флаш благодари на човека и отлетя към кабината си. , Сега основното нещо е да не се коригира. Дано феята няма да те подведе, когато изпълним..."" - с тези мисли брюнетът кацна на клон до беседката, където вече го чакаха двама души. „Най-накрая дойде“, махна му с усмивка един от чакащите, Ник. Сивоокото момиче с тъмно каре, което е второто лице, само кимна за поздрав, преминавайки направо към въпроса: - И под кой номер изпълняваме? — попита тя и постави чаши с ароматно кафе на масата. - Дванадесет, - седнал на масата, отговорил човекът. - Трябва да репетираме: трябва да знаем как звучим тримата. -Не е нужно да се представяме много добре, Драготий - веднага го охлади момичето, - това е капак. След представлението просто ще получите ключа от нашата господарка, както е обещано - при тези думи Флаш направи гримаса, сякаш е ял лимон - и Ник ще бъде посветен. „Не искам да губя лицето си пред целия съд“, отговори Драгоций. „Фаш, Даяна“, помоли се Ник, гледайки двамата последователно, „моля те, спри. Мисля, че наистина трябва да репетираме. - Настроението не е песен - измърмори Фаш и без дори да яде отиде в стаята си. *преди няколко дни* - И така - каза Константин с радостна усмивка, след като събра Фаш и Ник в работилницата, - имам две новини. Първо, уговорих с Бялата кралица твоето посвещение, Ник. - Как го направи? Флаш погледна изненадано Лазарев. „Ще ти кажа по-късно“, усмихна се бащата на Ник. - Синко, можеш ли да ни оставиш? Блондинката излезе от стаята, затваряйки вратата след себе си. Константин стана сериозен и премести поглед към брюнетката: -Феш, Астариус ме помоли да ти кажа, че Бялата кралица му е обещала Сребърния ключ. Трябва да отидеш в Чародол, да участваш в Омагьосванията и да вземеш сребърния ключ от кралицата, - Драгоций беше удивен, че Астарий му е поверил да носи този ключ, въпреки че е чул за това втори път. Учителят вече го беше предупредил, обяснявайки, че брюнетката е избягала от Астрогор... *** Представлението им направи фурор в царството на феите: шестокрили същества вдигнаха стрелките на часовника, ръкопляскаха и викаха възторжено. Страховете на Флаш бяха неоснователни, за което той се радваше. Скоро той получи писмо в списъка за наблюдение, в което се казваше, че той, като победител в Омагьосването, трябва да дойде в Белия замък в полунощ. Брюнетката се приближи до беседката, където вече седяха Ник и Даяна, които също се радваха, че изпълнението е успешно. — Е — обърна се той игриво към Фрейзър, — бихте ли ни придружили до Белия замък, мадам фрейлина? – Ник изсумтя в чашата, а Даяна само се усмихна. Защо не каза, че си придворна дама? - Фаш седна на масата - Почувствах се като глупак, когато се приближиха до мен и казаха, че изпълнението ми с г-жа Даяна Фрейзър, прислужницата на Нейно Величество, е направило фурор! - нито Ник, нито Даяна не се сдържаха от смях... *midnight* -Fashiar Dragotsiy, - Бялата кралица, която стана от трона, украсен отзад със златни клонки с изумрудени листа, махна с ръка на едно от момичетата , - за победата в омагьосванията и обещанията към Астариус ще ти дам Сребърния ключ. Мисля, че знаете, че това е огромна отговорност. Пази го, пази го като зеницата на окото. — Обещавам — кимна Флаш, гледайки уверено Кралицата на феите. Вратата се отвори и момичето внесе сребърния ключ, положен върху възглавница от червена коприна. Феята се приближи до него и се спря в поклон, протягайки възглавница с ключ. Флаш внимателно взе ключа и се поклони на кралицата: - Смирено ви благодаря за оказаната ми чест. Владетелката на феите кимна и махна с ръка, позволявайки на Фаш да отиде в къщата за почивка. Ник беше отведен в началото, за да се подложи на посвещение. *** -…и ми дадоха някаква отвара за време. Е, изпих го. В резултат на това третият час степен - Ник се усмихна щастливо, разказвайки на приятеля си за случилото се с него в Белия замък. Диана седеше с тях и спокойно пиеше кафе, хапвайки кифла. „Между другото и аз имам новини.“ Като остави чашата настрана, Даяна се усмихна, оставяйки малък железен ключ на масата. За секунда Флаш и Ник погледнаха изненадани към ключа, после към момичето, но в следващия момент Драгоци скочи от мястото си и се втурна да прегърне Даяна, усмихвайки се радостно. -Знаех! — възкликна той. изчервената фея едва се измъкна от ръцете на момчето: -Първо пусни, ще ме удушиш! Второ, как разбра? - -Познай, разбира се, не беше трудно - каза доволен Фаш. - Придворната фея, най-добрата ученичка и даже отчаяна... Предположих, че си и икономка, щом те видях. - Да - провлачи Ник, който се бе съвзел от изненадата, - срещата с теб в гората беше малко неочаквана. - Какво беше толкова неочаквано? Даяна погледна приятелката си с интерес. „Например фактът, че внезапно изскочи от тъмнината срещу нас“, добави Флаш. - Да - кимна по-младият вече часовникар Лазарев, - разбира се, знаехме, че ще ви срещнем в гората, но не си струваше да изскочите от мрака така неочаквано към нас. „Но добре, че веднага отидохме в Чародол“, закиска се Драготий. Момчетата кимнаха в съгласие и продължиха закуската ...

нощ. Светлината на пълната луна, висяща в звездното небе, през витражите на прозорците осветяваше мрачните коридори на Змиулан, от стените на които се отразяваше ехото на бягане. - Е, какво момиче! Флаш промърмори задъхано. - Беше уплашена, нали знаеш ... Само времето се губи напразно! Дано все пак успея да избягам... този път... Втурвайки се към Каменната зала, той се молеше никой да не му пречи на пътя. Но всичко се случи точно обратното. В тъмнината на коридорите (където не си направиха труда да направят прозорци) Драгоци се сблъска с някого, чувайки познат глас: „Кой тича тук като луд?! "". Брюнетът извика часовата стрелка и запали светлина на върха й. В светлината на импровизирана лампа удари ... Василиса ?! -Ти?! — възкликнаха двамата едновременно. Флаш беше едновременно изненадан и облекчен: в края на краищата те са в добри отношения с Огнева и тя няма да го предаде ... добре, той се надяваше. Човекът си помислил, че червенокосият е преживял нещо подобно. -Какво правиш тук? Драгоци протегна ръка към Василиса. След като прие помощ, тя стана и се отърси: - Бих искала да ви задам същия въпрос. — Аз бях първият, който попита — скръсти ръце Флаш. -Няма значение. Като цяло не е твоя работа - сопна се Василиса. „Е, това означава, че това, което правя, не е твоя работа“, сви рамене спокойно Драгоций. Червенокосата стисна устни и замислено погледна брюнетката: - Ще ти кажа чак след теб. „Ами… аз…“ започна Флаш, опитвайки се да намери думите, но нищо не излезе. — Добре, искам да избягам — изтърси Драгоций. Очите на Василиса се разшириха: -Ти луд ли си? Флаш извъртя очи и погледна раздразнено Огнева: -Не, но не искам да оставам тук. - Ако те хванат, ще бъдеш наказан. Спомнете си какво се случи миналия път - червенокосата жена скръсти ръце на гърдите си. Драгоций направи гримаса: -Слушай, по-добре не ме безпокой. Василиса замислено погледна брюнетката: - Е, няма да се намесвам ... още повече, че днес съм толкова мила, че дори няма да те предам - ​​Огнева се изкиска и като се обърна, искаше да си тръгне, но Флаш я спря с градушка: - Василиса, - момичето се обърна и погледна с очакване брюнетката, - благодаря, - Драгоций се усмихна и избяга. Огнева се усмихна и тръгна към нея... *** -Беше огромна грешка, племеннико - Астрагор се извиси над легналия полугол Феш. Учениците започнаха тихо да си шепнат. - Опитахте се да избягате повече от веднъж и винаги сте били наказани ... - Шакъл, който дойде специално да извърши клането, извади една от пръчките и махна няколко пъти. Чу се пращене. - Надявам се, че ще разберете, че е безполезно да бягате - великият дух на Осла обърна гръб към нарушителя, лице - към останалите ученици: - Мисля, че това ще послужи за пример и за вас. Пръчката, разрязвайки въздуха, мигновено мина по гърба на Флаш, оставяйки червени, дори кървави ивици. Удар след удар. Брюнетката стоически понасяше всички удари, като само от време на време издаваше полупъшкане – полурев. Учениците го гледаха с някаква злоба. Само Василиса и Захара гледаха развълнувано брюнетката... *** Флаш седеше в тъмницата и се замисляше. Преди това просто го хвърлиха в тъмницата, оставяйки го без храна, но сега, очевидно, чичо му е уморен, че племенникът му е наказан толкова леко. Брюнетът вдигна рамене и направи гримаса от болка. Не обърна внимание на студа, влагата, потънал в мислите си. Той беше изтръгнат от мислите си от звука на стъпки, отекващи по коридора. Скоро Василиса излезе под светлината на факлата. Флаш веднага тръгна към баровете: -Какво правиш тук? - Чакай - Огнева пъхна ръка между решетките и даде на Драгоци доста прилично парче все още топъл хляб със семена. Флаш взе храната. - И какви са тези пристъпи на щедрост? той се засмя. - Този Захара ме помоли да мина. Не я пуснаха - сви рамене Огнева. - Тоест, Захара не беше допуснат, но вие, този, който не сте роднина на Астрагор, тихомълком бяхте пуснат? Брюнетката се засмя. „Е, аз не решавам“, Василиса отново сви рамене, но Флаш забеляза вълнение в очите й. „Е, ще попитам Захара за това по-късно“, каза Драгоций спокойно, отхапвайки малко хляб. „Помолете ме, но вече трябва да тръгвам“, Огнева се обърна и спокойно отиде до ъгъла и зави зад него. Скоро Флаш чу звука на тичане и се засмя. Това обаче е нейна инициатива. Вероятно е изтичала при сестра си, за да преговаря за всеки случай "" ...