Една от най-важните задачи на диференциалното смятане е разработването на общи примери за изследване на поведението на функциите.

Ако функцията y \u003d f (x) е непрекъсната на интервала и нейната производна е положителна или равна на 0 на интервала (a, b), тогава y \u003d f (x) се увеличава с (f "(x) 0). Ако функцията y \u003d f (x) е непрекъсната на сегмента и нейната производна е отрицателна или равна на 0 на интервала (a,b), тогава y=f(x) намалява с (f"( x)0)

Интервалите, в които функцията не намалява или нараства, се наричат ​​интервали на монотонност на функцията. Характерът на монотонността на функцията може да се промени само в онези точки от нейната област на дефиниране, в които се променя знакът на първата производна. Точките, в които първата производна на функция изчезва или прекъсва, се наричат ​​критични точки.

Теорема 1 (1-во достатъчно условие за съществуване на екстремум).

Нека функцията y=f(x) е дефинирана в точката x 0 и нека има околност δ>0, така че функцията да е непрекъсната на сегмента, диференцируема на интервала (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) и неговата производна запазва постоянен знак на всеки от тези интервали. Тогава, ако при x 0 -δ, x 0) и (x 0, x 0 + δ) знаците на производната са различни, тогава x 0 е точка на екстремум и ако съвпадат, тогава x 0 не е точка на екстремум . Освен това, ако при преминаване през точката x0 производната променя знака от плюс на минус (вляво от x 0 се изпълнява f "(x)> 0, тогава x 0 е максималната точка; ако производната променя знака от минус към плюс (вдясно от x 0 се изпълнява от f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Точките на максимум и минимум се наричат ​​точки на екстремум на функцията, а максимумите и минимумите на функцията се наричат ​​нейни екстремни стойности.

Теорема 2 (необходим критерий за локален екстремум).

Ако функцията y=f(x) има екстремум при текущия x=x 0, тогава или f'(x 0)=0, или f'(x 0) не съществува.
В точките на екстремум на диференцируема функция допирателната към нейната графика е успоредна на оста Ox.

Алгоритъм за изследване на функция за екстремум:

1) Намерете производната на функцията.
2) Намерете критични точки, т.е. точки, където функцията е непрекъсната и производната е нула или не съществува.
3) Разгледайте околността на всяка от точките и разгледайте знака на производната отляво и отдясно на тази точка.
4) Определете координатите на екстремните точки, за тази стойност на критичните точки, заместете в тази функция. Използвайки достатъчни екстремни условия, направете подходящи заключения.

Пример 18. Изследвайте функцията y=x 3 -9x 2 +24x

Решение.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Приравнявайки производната на нула, намираме x 1 =2, x 2 =4. В този случай производната е дефинирана навсякъде; следователно, освен двете намерени точки, няма други критични точки.
3) Знакът на производната y "=3(x-2)(x-4) се променя в зависимост от интервала, както е показано на фигура 1. При преминаване през точката x=2, производната променя знака от плюс на минус, а при преминаване през точката х=4 - от минус към плюс.
4) В точката x=2 функцията има максимум y max =20, а в точката x=4 - минимум y min =16.

Теорема 3. (2-ро достатъчно условие за съществуване на екстремум).

Нека f "(x 0) и f "" (x 0) съществуват в точката x 0. Тогава ако f "" (x 0)> 0, тогава x 0 е минималната точка и ако f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

На сегмента функцията y \u003d f (x) може да достигне най-малката (поне) или най-голямата (най-много) стойност или в критичните точки на функцията, лежащи в интервала (a; b), или в краищата на сегмента.

Алгоритъмът за намиране на най-големите и най-малките стойности на непрекъсната функция y=f(x) на сегмента:

1) Намерете f "(x).
2) Намерете точките, в които f "(x) = 0 или f" (x) - не съществува, и изберете от тях онези, които лежат вътре в сегмента.
3) Изчислете стойността на функцията y \u003d f (x) в точките, получени в параграф 2), както и в краищата на сегмента и изберете най-големия и най-малкия от тях: те са съответно най-големите ( за най-големите) и най-малките (за най-малките) стойности на функцията на интервала.

Пример 19. Намерете най-голямата стойност на непрекъсната функция y=x 3 -3x 2 -45+225 върху отсечката .

1) Имаме y "=3x 2 -6x-45 на сегмента
2) Производната y" съществува за всички x. Нека намерим точките, където y"=0; получаваме:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; х2=5
3) Изчислете стойността на функцията в точките x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Само точката x=5 принадлежи на отсечката. Най-голямата от намерените стойности на функцията е 225, а най-малката е числото 50. И така, при max = 225, при max = 50.

Изследване на функция върху изпъкналост

Фигурата показва графиките на две функции. Първият от тях е обърнат с издутина нагоре, вторият - с изпъкналост надолу.

Функцията y=f(x) е непрекъсната на сегмент и диференцируема в интервала (a;b), се нарича изпъкнала нагоре (надолу) на този сегмент, ако за axb нейната графика не лежи по-високо (не по-ниско) от допирателна, начертана във всяка точка M 0 (x 0 ;f(x 0)), където axb.

Теорема 4. Нека функцията y=f(x) има втора производна във всяка вътрешна точка x на отсечката и е непрекъсната в краищата на тази отсечка. Тогава, ако неравенството f""(x)0 е изпълнено на интервала (a;b), тогава функцията е изпъкнала надолу върху сегмента; ако неравенството f""(x)0 е изпълнено на интервала (а;b), то функцията е изпъкнала нагоре върху .

Теорема 5. Ако функцията y \u003d f (x) има втора производна на интервала (a; b) и ако тя променя знака при преминаване през точката x 0, тогава M (x 0 ; f (x 0)) е инфлексна точка.

Правило за намиране на инфлексни точки:

1) Намерете точки, където f""(x) не съществува или изчезва.
2) Разгледайте знака f""(x) отляво и отдясно на всяка точка, намерена на първата стъпка.
3) Въз основа на теорема 4 направете заключение.

Пример 20. Намерете точки на екстремум и точки на инфлексия на графиката на функцията y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Имаме f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Очевидно f"(x)=0 за x 1 =0, x 2 =1. Производната при преминаване през точката x=0 променя знака от минус на плюс, а при преминаване през точката x=1 не променя знака. Това означава, че x=0 е минималната точка (y min =12), а в точката x=1 няма екстремум. След това намираме . Втората производна се нулира в точките x 1 =1, x 2 =1/3. Знаците на втората производна се променят както следва: На лъча (-∞;) имаме f""(x)>0, на интервала (;1) имаме f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следователно x= е инфлексната точка на графиката на функцията (преход от изпъкналост надолу към изпъкналост нагоре) и x=1 също е инфлексна точка (преход от изпъкналост нагоре към изпъкналост надолу). Ако x=, тогава y= ; ако, тогава x=1, y=13.

Алгоритъм за намиране на асимптотата на графика

I. Ако y=f(x) като x → a, тогава x=a е вертикална асимптота.
II. Ако y=f(x) като x → ∞ или x → -∞ тогава y=A е хоризонталната асимптота.
III. За да намерим наклонената асимптота, използваме следния алгоритъм:
1) Изчислете. Ако границата съществува и е равна на b, тогава y=b е хоризонталната асимптота; ако , тогава преминете към втората стъпка.
2) Изчислете. Ако тази граница не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на k, тогава преминете към третата стъпка.
3) Изчислете. Ако тази граница не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на b, тогава преминете към четвъртата стъпка.
4) Запишете уравнението на наклонената асимптота y=kx+b.

Пример 21: Намиране на асимптота за функция

1)
2)
3)
4) Уравнението на наклонената асимптота има формата

Схемата за изследване на функцията и изграждането на нейната графика

I. Намерете домейна на функцията.
II. Намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.
III. Намерете асимптоти.
IV. Намерете точки на възможен екстремум.
V. Намерете критични точки.
VI. Използвайки помощния чертеж, изследвайте знака на първата и втората производни. Определете областите на нарастване и намаляване на функцията, намерете посоката на изпъкналостта на графиката, точките на екстремум и точките на инфлексия.
VII. Изградете графика, като вземете предвид изследването, проведено в параграфи 1-6.

Пример 22: Начертайте графика на функция съгласно горната схема

Решение.
I. Домейнът на функцията е множеството от всички реални числа, с изключение на x=1.
II. Тъй като уравнението x 2 +1=0 няма реални корени, то графиката на функцията няма пресечни точки с оста Ox, а пресича оста Oy в точката (0; -1).
III. Нека изясним въпроса за съществуването на асимптоти. Изследваме поведението на функцията близо до точката на прекъсване x=1. Тъй като y → ∞ за x → -∞, y → +∞ за x → 1+, тогава правата x=1 е вертикална асимптота на графиката на функцията.
Ако x → +∞(x → -∞), тогава y → +∞(y → -∞); следователно графиката няма хоризонтална асимптота. Освен това от съществуването на граници

Решавайки уравнението x 2 -2x-1=0, получаваме две точки на възможен екстремум:
x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2

V. За да намерим критичните точки, изчисляваме втората производна:

Тъй като f""(x) не изчезва, няма критични точки.
VI. Изследваме знака на първата и втората производни. Възможни точки на екстремум, които трябва да се вземат предвид: x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2, разделете зоната на съществуване на функцията на интервали (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) и (1+√2;+∞).

Във всеки от тези интервали производната запазва знака си: в първия - плюс, във втория - минус, в третия - плюс. Последователността от знаци на първата производна ще бъде записана, както следва: +, -, +.
Получаваме, че функцията върху (-∞;1-√2) расте, върху (1-√2;1+√2) намалява, а върху (1+√2;+∞) отново нараства. Точки на екстремум: максимум при x=1-√2, освен това f(1-√2)=2-2√2 минимум при x=1+√2, освен това f(1+√2)=2+2√2. На (-∞;1) графиката е изпъкнала нагоре, а на (1;+∞) - надолу.
VII Да направим таблица на получените стойности

VIII Въз основа на получените данни изграждаме скица на графиката на функцията

Проведете пълно проучване и начертайте функционална графика

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Обхват на функцията. Тъй като функцията е дроб, трябва да намерите нулите на знаменателя.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Изключваме единствената точка x=1x=1 от областта за дефиниране на функцията и получаваме:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Нека изследваме поведението на функцията в близост до точката на прекъсване. Намерете едностранни ограничения:

Тъй като границите са равни на безкрайност, точката x=1x=1 е прекъсване от втори род, правата x=1x=1 е вертикална асимптота.

3) Да определим пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.

Да намерим пресечните точки с ординатната ос OyOy, за които приравняваме x=0x=0:

Така пресечната точка с оста OyOy има координати (0;8)(0;8).

Да намерим точките на пресичане с абсцисната ос OxOx, за които задаваме y=0y=0:

Уравнението няма корени, така че няма пресечни точки с оста OxOx.

Обърнете внимание, че x2+8>0x2+8>0 за всяко xx. Следователно, за x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), функцията y>0y>0 (приема положителни стойности, графиката е над оста x), за x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функцията не е нито четна, нито нечетна, защото:

5) Изследваме функцията за периодичност. Функцията не е периодична, тъй като е дробна рационална функция.

6) Изследваме функцията за екстремуми и монотонност. За да направим това, намираме първата производна на функцията:

Нека приравним първата производна на нула и намерим стационарните точки (при които y′=0y′=0):

Имаме три критични точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Разделяме цялата област на функцията на интервали по дадени точки и определяме знаците на производната във всеки интервал:

За x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) производната y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

За x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) производната y′>0y′>0, функцията нараства на тези интервали.

В този случай x=−2x=−2 е локална минимална точка (функцията намалява и след това нараства), x=4x=4 е локална максимална точка (функцията нараства и след това намалява).

Нека намерим стойностите на функцията в тези точки:

Така минималната точка е (−2;4)(−2;4), максималната точка е (4;−8)(4;−8).

7) Изследваме функцията за прегъвания и изпъкналост. Нека намерим втората производна на функцията:

Приравнете втората производна на нула:

Полученото уравнение няма корени, така че няма инфлексни точки. Освен това, когато x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 е изпълнено, тоест функцията е вдлъбната, когато x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Ние изследваме поведението на функцията в безкрайност, т.е.

Тъй като границите са безкрайни, няма хоризонтални асимптоти.

Нека се опитаме да определим наклонени асимптоти от формата y=kx+by=kx+b. Изчисляваме стойностите на k,bk,b съгласно известните формули:

Открихме, че функцията има една наклонена асимптота y=−x−1y=−x−1.

9) Допълнителни точки. Нека изчислим стойността на функцията в някои други точки, за да изградим по-точно графика.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Въз основа на получените данни ще изградим графика, ще я допълним с асимптоти x=1x=1 (синьо), y=−x−1y=−x−1 (зелено) и ще отбележим характерните точки (пресечната точка с y -оста е лилава, екстремумите са оранжеви, допълнителните точки са черни):

Задача 4: Геометрични, Икономически задачи (нямам представа какви, ето приблизителна селекция от задачи с решение и формули)

Пример 3.23. а

Решение. хи г г
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S "> 0 и за x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет най-висока стойностфункции. По този начин най-благоприятното съотношение на страните на сайта при дадените условия на проблема е y = 2x.

Пример 3.24.

Решение.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.Тъй като f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3. Екстремните точки могат бъдете само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 2, производната променя знака от плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 = 3, производната променя знака от минус на плюс, следователно в точката x 2 \u003d 3 функцията има минимум. Изчисляване на стойностите на функцията в точки
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена с телена мрежа от три страни, а от четвъртата страна да граничи със стената. За това има алинейни метри от мрежата. В какво съотношение ще има платформата най-голяма площ?

Решение.Обозначете страните на сайта през хи г. Площта на сайта е S = xy. Позволявам ге дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е спазено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x(a - 2x), където
0 ≤ x ≤ a/2 (дължината и ширината на областта не могат да бъдат отрицателни). S "= a - 4x, a - 4x = 0 за x = a/4, откъдето
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S "> 0 и за x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16p ≈ 50 m 3 . Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), за да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2pR(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Следователно, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) = 0 за R 3 \u003d 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Подобна информация.

Инструкция

Намерете обхвата на функцията. Например, функцията sin(x) е дефинирана в целия интервал от -∞ до +∞, а функцията 1/x е дефинирана от -∞ до +∞, с изключение на точката x = 0.

Определете области на непрекъснатост и точки на прекъсване. Обикновено функцията е непрекъсната в същата област, където е дефинирана. За да откриете прекъсвания, трябва да изчислите кога аргументът се доближава до изолирани точки в областта на дефиницията. Например функцията 1/x клони към безкрайност, когато x→0+ и към минус безкрайност, когато x→0-. Това означава, че в точката x = 0 има прекъсване от втори род.
Ако границите в точката на прекъсване са крайни, но не са равни, тогава това е прекъсване от първи род. Ако те са равни, тогава функцията се счита за непрекъсната, въпреки че не е дефинирана в изолирана точка.

Намерете вертикалните асимптоти, ако има такива. Изчисленията от предишната стъпка ще ви помогнат тук, тъй като вертикалната асимптота е почти винаги в точката на прекъсване от втори вид. Понякога обаче не отделни точки са изключени от областта на дефиниране, а цели интервали от точки и тогава вертикалните асимптоти могат да бъдат разположени в краищата на тези интервали.

Проверете дали функцията има специални свойства: четно, нечетно и периодично.
Функцията ще бъде четна, ако за всяко x в областта f(x) = f(-x). Например cos(x) и x^2 са четни функции.

Периодичността е свойство, което казва, че има определено число T, наречено период, което за всяко x f(x) = f(x + T). Например всички основни тригонометрични функции(синус, косинус, тангенс) - периодичен.

Намерете точки. За да направите това, изчислете производната на дадена функцияи намерете тези x стойности, където изчезва. Например функцията f(x) = x^3 + 9x^2 -15 има производна g(x) = 3x^2 + 18x, която изчезва при x = 0 и x = -6.

За да определите кои точки на екстремум са максимуми и кои минимуми, проследете промяната в знаците на производната в намерените нули. g(x) променя знака от плюс при x = -6 и обратно от минус на плюс при x = 0. Следователно функцията f(x) има минимум в първата точка и минимум във втората.

Така вие също открихте области на монотонност: f(x) нараства монотонно на интервала -∞;-6, намалява монотонно на -6;0 и отново нараства на 0;+∞.

Намерете втората производна. Неговите корени ще покажат къде графиката на дадена функция ще бъде изпъкнала и къде ще бъде вдлъбната. Например втората производна на функцията f(x) ще бъде h(x) = 6x + 18. Тя изчезва при x = -3, променяйки знака си от минус на плюс. Следователно графиката f (x) преди тази точка ще бъде изпъкнала, след нея - вдлъбната, а самата тази точка ще бъде инфлексна точка.

Една функция може да има други асимптоти, с изключение на вертикалните, но само ако нейната област на дефиниция включва . За да ги намерите, изчислете границата на f(x), когато x→∞ или x→-∞. Ако е краен, значи сте намерили хоризонталната асимптота.

Наклонената асимптота е права линия с формата kx + b. За да намерите k, изчислете границата на f(x)/x като x→∞. Да намерим b - граница (f(x) – kx) със същото x→∞.

Начертайте функцията върху изчислените данни. Маркирайте асимптотите, ако има такива. Маркирайте точките на екстремума и стойностите на функцията в тях. За по-голяма точност на графиката, изчислете стойностите на функцията в още няколко междинни точки. Изследването приключи.

За пълно изследване на функцията и начертаване на нейната графика се препоръчва да се използва следната схема:

1) намерете обхвата на функцията;

2) намерете точките на прекъсване на функцията и вертикалните асимптоти (ако съществуват);

3) изследвайте поведението на функцията в безкрайност, намерете хоризонталните и наклонените асимптоти;

4) изследва функцията за четност (нечетност) и за периодичност (за тригонометрични функции);

5) намерете екстремуми и интервали на монотонност на функцията;

6) определяне на интервалите на точките на изпъкналост и инфлексия;

7) намерете точки на пресичане с координатните оси, ако е възможно, и някои допълнителни точки, които прецизират графиката.

Изследването на функцията се извършва едновременно с изграждането на нейната графика.

Пример 9Разгледайте функцията и изградете графика.

1. Област на дефиниране: ;

2. Функцията прекъсва в точки
,
;

Изследваме функцията за наличие на вертикални асимптоти.

;
,
─ вертикална асимптота.

;
,
─ вертикална асимптота.

3. Изследваме функцията за наличие на коси и хоризонтални асимптоти.

Направо
─ наклонена асимптота, ако
,
.

,
.

Направо
─ хоризонтална асимптота.

4. Функцията е дори, защото
. Четността на функцията показва симетрията на графиката по отношение на оста y.

5. Намерете интервалите на монотонност и екстремуми на функцията.

Да намерим критичните точки, т.е. точки, където производната е 0 или не съществува:
;
. Имаме три точки
;

. Тези точки разделят цялата реална ос на четири интервала. Да дефинираме знаците на всяка от тях.

На интервалите (-∞; -1) и (-1; 0) функцията расте, на интервалите (0; 1) и (1; +∞) намалява. При преминаване през точка
производната променя знака от плюс на минус, следователно в тази точка функцията има максимум
.

6. Да намерим интервали на изпъкналост, точки на инфлексия.

Нека намерим точките, където е 0 или не съществува.

няма реални корени.
,
,

точки
и
разделете реалната ос на три интервала. Да дефинираме знака на всеки интервал.

Така кривата на интервалите
и
изпъкнал надолу, на интервала (-1;1) изпъкнал нагоре; няма точки на инфлексия, тъй като функцията в точките
и
неопределен.

7. Намерете точките на пресичане с осите.

с ос
графиката на функцията се пресича в точката (0; -1) и с оста
графиката не се пресича, т.к числителят на тази функция няма реални корени.

Графиката на дадената функция е показана на фигура 1.

Фигура 1 ─ Графика на функцията

Приложение на понятието производна в икономиката. Функционална еластичност

Да изучава икономическите процеси и да решава др приложни задачиЧесто се използва понятието еластичност на функция.

Определение.Функционална еластичност
се нарича граница на съотношението на относителното нарастване на функцията към относителното нарастване на променливата при
, . (VII)

Еластичността на една функция показва приблизително колко процента ще се промени функцията
при промяна на независимата променлива с 1%.

Еластичността на функция се използва при анализа на търсенето и потреблението. Ако еластичността на търсенето (в абсолютна стойност)
, тогава търсенето се счита за еластично, ако
─ неутрален ако
─ нееластичен по отношение на цената (или дохода).

Пример 10Изчислете еластичността на функция
и намерете стойността на индекса на еластичност за = 3.

Решение: съгласно формулата (VII) еластичността на функцията:

Нека тогава x=3
Това означава, че ако независимата променлива се увеличи с 1%, тогава стойността на зависимата променлива ще се увеличи с 1,42%.

Пример 11Нека функционира търсенето относно цената има формата
, където ─ постоянен коефициент. Намерете стойността на индекса на еластичност на функцията на търсенето при цена x = 3 den. единици

Решение: изчислете еластичността на функцията на търсенето, като използвате формулата (VII)

Ако приемем
парични единици, получаваме
. Това означава, че на цената
парична единица увеличение на цената от 1% ще доведе до намаляване на търсенето с 6%, т.е. търсенето е еластично.

Днес ви каним да изследвате и начертаете функционална графика с нас. След внимателно проучване на тази статия няма да се налага да се потите дълго време, за да изпълните този вид задача. Не е лесно да се изследва и изгради графика на функция, работата е обемна, изискваща максимално внимание и точност на изчисленията. За да улесним възприемането на материала, постепенно ще изучаваме същата функция, ще обясняваме всички наши действия и изчисления. Добре дошли в невероятно и очарователен святматематика! Отивам!

Домейн

За да изследвате и начертаете функция, трябва да знаете няколко дефиниции. Функцията е едно от основните (основните) понятия в математиката. Отразява зависимостта между няколко променливи (две, три или повече) с промени. Функцията показва и зависимостта на наборите.

Представете си, че имаме две променливи, които имат определен диапазон на промяна. И така, y е функция на x, при условие че всяка стойност на втората променлива съответства на една стойност на втората. В този случай променливата y е зависима и се нарича функция. Прието е да се казва, че променливите x и y са в. За по-голяма яснота на тази зависимост е изградена графика на функцията. Какво е функционална графика? Това е набор от точки координатна равнинакъдето всяка стойност на x съответства на една стойност на y. Графиките могат да бъдат различни - права линия, хипербола, парабола, синусоида и др.

Функционална графика не може да бъде начертана без проучване. Днес ще се научим как да провеждаме изследване и да начертаем функционална графика. Много е важно да си правите бележки по време на изследването. Така че ще бъде много по-лесно да се справите със задачата. Най-удобният учебен план:

1. Домейн.
2. Приемственост.
3. Четно или нечетно.
4. Периодичност.
5. Асимптоти.
6. Нули.
7. постоянство.
8. Възходящо и низходящо.
9. Крайности.
10. Изпъкналост и вдлъбнатост.

Да започнем с първата точка. Нека намерим домейна на дефиниция, тоест на какви интервали съществува нашата функция: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). В нашия случай функцията съществува за всякакви стойности на x, тоест домейнът на дефиниция е R. Това може да се запише като xОR.

Приемственост

Сега ще изследваме функцията на прекъсване. В математиката терминът "непрекъснатост" се появява в резултат на изучаването на законите на движението. Какво е безкрайно? Пространство, време, някои зависимости (пример е зависимостта на променливите S и t в задачи за движение), температурата на нагрятия обект (вода, тиган, термометър и т.н.), непрекъсната линия (т.е. който може да се рисува, без да се сваля от листа молив).

Една графика се счита за непрекъсната, ако не се счупи в даден момент. Един от най-очевидните примери за такава графика е синусоида, която можете да видите на снимката в този раздел. Функцията е непрекъсната в дадена точка x0, ако са изпълнени няколко условия:

• дадена функция е дефинирана в дадена точка;
• дясната и лявата граница в точка са равни;
• границата е равна на стойността на функцията в точката x0.

Ако поне едно условие не е изпълнено, се казва, че функцията прекъсва. А точките, в които функцията прекъсва, се наричат ​​точки на прекъсване. Пример за функция, която ще се „счупи“, когато се покаже графично е: y=(x+4)/(x-3). Освен това y не съществува в точката x = 3 (тъй като е невъзможно да се дели на нула).

Във функцията, която изучаваме (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) всичко се оказа просто, тъй като графиката ще бъде непрекъсната.

Дори странно

Сега разгледайте функцията за паритет. Да започнем с малко теория. Четна функция е функция, която удовлетворява условието f (-x) = f (x) за всяка стойност на променливата x (от диапазона от стойности). Примери за това са:

• модул x (графиката изглежда като чавка, ъглополовяща на първата и втората четвърт на графиката);
• x на квадрат (парабола);
• косинус x (косинусова вълна).

Имайте предвид, че всички тези графики са симетрични, когато се гледат по отношение на оста y.

Какво тогава се нарича нечетна функция? Това са тези функции, които отговарят на условието: f (-x) \u003d - f (x) за всяка стойност на променливата x. Примери:

• хипербола;
• кубична парабола;
• синусоида;
• допирателна и така нататък.

Моля, обърнете внимание, че тези функции са симетрични спрямо точката (0:0), тоест началото. Въз основа на казаното в този раздел на статията дори и странна функциятрябва да има свойството: x принадлежи към дефиниционния набор и -x също.

Нека разгледаме функцията за паритет. Виждаме, че тя не отговаря на нито едно от описанията. Следователно нашата функция не е нито четна, нито нечетна.

Асимптоти

Да започнем с определение. Асимптотата е крива, която е възможно най-близо до графиката, тоест разстоянието от дадена точка клони към нула. Има три вида асимптоти:

• вертикално, тоест успоредно на оста y;
• хоризонтално, т.е. успоредно на оста x;
• косо.

Що се отнася до първия тип, тези редове трябва да се търсят в някои точки:

• празнина;
• краища на домейна.

В нашия случай функцията е непрекъсната и областта на дефиниция е R. Следователно няма вертикални асимптоти.

Графиката на функция има хоризонтална асимптота, която отговаря на следното изискване: ако x клони към безкрайност или минус безкрайност, а границата е равна на определено число (например a). В този случай y=a е хоризонталната асимптота. Във функцията, която изучаваме, няма хоризонтални асимптоти.

Наклонена асимптота съществува само ако са изпълнени две условия:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

След това може да се намери по формулата: y=kx+b. Отново в нашия случай няма наклонени асимптоти.

Функционални нули

Следващата стъпка е да разгледаме графиката на функцията за нули. Също така е много важно да се отбележи, че задачата, свързана с намирането на нулите на функция, се среща не само при изучаването и начертаването на графика на функция, но и като независима задача и като начин за решаване на неравенства. Може да се наложи да намерите нулите на функция върху графика или да използвате математическа нотация.

Намирането на тези стойности ще ви помогне да начертаете функцията по-точно. С прости думи, нулата на функцията е стойността на променливата x, при която y \u003d 0. Ако търсите нулите на функция върху графика, тогава трябва да обърнете внимание на точките, където графиката се пресича с оста x.

За да намерите нулите на функцията, трябва да решите следното уравнение: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. След като направим необходимите изчисления, получаваме следния отговор:

постоянство на знака

Следващият етап от изследването и изграждането на функция (графика) е намирането на интервали на постоянство на знака. Това означава, че трябва да определим на кои интервали функцията приема положителна стойност и на кои интервали приема отрицателна стойност. Нулите на функциите, намерени в предишния раздел, ще ни помогнат да направим това. И така, трябва да изградим права линия (отделно от графиката) и да разпределим нулите на функцията по нея в правилния ред от най-малката до най-голямата. Сега трябва да определите кой от получените интервали има знак „+“ и кой има „-“.

В нашия случай функцията приема положителна стойност на интервалите:

• от 1 до 4;
• от 9 до безкрайност.

Отрицателно значение:

• от минус безкрайност до 1;
• от 4 до 9.

Това е доста лесно да се определи. Заменете произволно число от интервала във функцията и вижте какъв знак е отговорът (минус или плюс).

Възходяща и намаляваща функция

За да изследваме и изградим функция, трябва да разберем къде графиката ще се увеличи (издигне се нагоре по Oy) и къде ще падне (пълзи надолу по оста y).

Функцията нараства само ако по-голямата стойност на променливата x съответства на по-голямата стойност на y. Тоест x2 е по-голямо от x1 и f(x2) е по-голямо от f(x1). И наблюдаваме напълно противоположно явление в намаляваща функция (колкото повече x, толкова по-малко y). За да определите интервалите на увеличаване и намаляване, трябва да намерите следното:

• обхват (вече го имаме);
• производна (в нашия случай: 1/3(3x^2-28x+49);
• решете уравнението 1/3(3x^2-28x+49)=0.

След изчисленията получаваме резултата:

Получаваме: функцията расте в интервалите от минус безкрайност до 7/3 и от 7 до безкрайност и намалява в интервала от 7/3 до 7.

Крайности

Изследваната функция y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) е непрекъсната и съществува за всякакви стойности на променливата x. Точката на екстремума показва максимума и минимума на тази функция. В нашия случай няма такива, което значително опростява строителната задача. В противен случай те също се намират с помощта на функцията за производна. След като намерите, не забравяйте да ги маркирате на диаграмата.

Изпъкналост и вдлъбнатост

Продължаваме да изучаваме функцията y(x). Сега трябва да го проверим за изпъкналост и вдлъбнатост. Дефинициите на тези понятия са доста трудни за възприемане, по-добре е да анализирате всичко с примери. За теста: функцията е изпъкнала, ако е ненамаляваща функция. Съгласете се, това е неразбираемо!

Трябва да намерим производната на функция от втори ред. Получаваме: y=1/3(6x-28). Сега приравнете правилната странадо нула и решете уравнението. Отговор: x=14/3. Намерихме инфлексната точка, тоест мястото, където графиката се променя от изпъкнала във вдлъбната или обратно. В интервала от минус безкрайност до 14/3 функцията е изпъкнала, а от 14/3 до плюс безкрайност е вдлъбната. Също така е много важно да се отбележи, че инфлексната точка на диаграмата трябва да е гладка и мека, не остри ъглине трябва да присъства.

Дефиниране на допълнителни точки

Нашата задача е да изследваме и начертаем графиката на функцията. Завършихме изследването, няма да е трудно да начертаем функцията сега. За по-точно и подробно възпроизвеждане на крива или права линия в координатната равнина можете да намерите няколко помощни точки. Доста лесно е да ги изчислите. Например, вземаме x=3, решаваме полученото уравнение и намираме y=4. Или x=5 и y=-5 и така нататък. Можете да вземете толкова допълнителни точки, колкото са ви необходими за изграждане. Намерени са поне 3-5.

Парцелиране

Трябваше да проучим функцията (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Всички необходими маркировки в хода на изчисленията бяха направени върху координатната равнина. Всичко, което остава да се направи, е да се изгради графика, тоест да се свържат всички точки една с друга. Свързването на точките е гладко и точно, това е въпрос на умение - малко практика и графикът ви ще бъде перфектен.