Приложение на интеграла за решаване на приложни задачи

Изчисляване на площ

Определеният интеграл на непрекъсната неотрицателна функция f(x) е числено равен наплощта на криволинейния трапец, ограничен от кривата y \u003d f (x), оста O x и правите линии x \u003d a и x \u003d b. Съответно формулата за площ се записва, както следва:

Разгледайте някои примери за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Задача номер 1. Изчислете площта, ограничена от линиите y \u003d x 2 +1, y = 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Решение.Нека изградим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.

y \u003d x 2 + 1 е парабола, чиито клони са насочени нагоре, а параболата е изместена нагоре с една единица спрямо оста O y (Фигура 1).

Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1

Задача номер 2. Изчислете площта, ограничена от линиите y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 в диапазона от 0 до 1.

Решение.Графиката на тази функция е параболата на клона, която е насочена нагоре, а параболата е изместена надолу с една единица спрямо оста O y (Фигура 2).

Фигура 2. Графика на функцията y \u003d x 2 - 1

Задача номер 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линии

y = 8 + 2x - x 2 и y = 2x - 4.

Решение.Първата от тези две линии е парабола с клони, сочещи надолу, тъй като коефициентът при x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, пресичаща двете координатни оси.

За да построим парабола, нека намерим координатите на нейния връх: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абциса на върха; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е неговата ордината, N(1;9) е неговият връх.

Сега намираме точките на пресичане на параболата и правата, като решаваме системата от уравнения:

Приравняване на десните страни на уравнение, чиито леви страни са равни.

Получаваме 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 или x 2 - 12 \u003d 0, откъдето .

И така, точките са точките на пресичане на параболата и правата линия (Фигура 1).

Фигура 3 Графики на функциите y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Нека построим права линия y = 2x - 4. Тя минава през точките (0;-4), (2; 0) на координатните оси.

За да изградите парабола, можете също да имате нейните пресечни точки с оста 0x, тоест корените на уравнението 8 + 2x - x 2 = 0 или x 2 - 2x - 8 = 0. По теоремата на Vieta това е лесно да се намерят неговите корени: x 1 = 2, x 2 = четири.

Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.

Втората част от проблема е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интеграл по формулата .

По отношение на това условие получаваме интеграла:

2 Изчисляване на обема на въртеливо тяло

Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y \u003d f (x) около оста O x, се изчислява по формулата:

При завъртане около оста O y формулата изглежда така:

Задача номер 4. Определете обема на тялото, получено от въртенето на криволинеен трапец, ограничен от прави линии x \u003d 0 x \u003d 3 и крива y \u003d около оста O x.

Решение.Нека изградим чертеж (Фигура 4).

Фигура 4. Графика на функцията y =

Желаният обем е равен на

Задача номер 5. Да се ​​изчисли обемът на тялото, получено от въртенето на криволинейния трапец, ограничен от крива y = x 2 и прави y = 0 и y = 4 около оста O y .

Решение.Ние имаме:

Въпроси за преглед

Помислете за криволинеен трапец, ограничен от оста Ox, крива y \u003d f (x) и две прави линии: x \u003d a и x \u003d b (фиг. 85). Вземете произволна стойност на x (само не a и не b). Нека му дадем увеличение h = dx и разгледаме лента, ограничена от прави линии AB и CD, от оста Ox и от дъга BD, принадлежаща на разглежданата крива. Тази лента ще се нарича елементарна лента. Площта на елементарна лента се различава от площта на правоъгълника ACQB от криволинейния триъгълник BQD, а площта на последния е по-малка от площта на правоъгълника BQDM със страни BQ = =h= dx) QD=Ay и площ, равна на hAy = Ay dx. Тъй като страната h намалява, страната Du също намалява и едновременно с h клони към нула. Следователно площта на BQDM е безкрайно малка от втория ред. Площта на елементарната лента е нарастването на площта, а площта на правоъгълника ACQB, равна на AB-AC==/(x) dx> е диференциалът на площта. Следователно намираме самата площ чрез интегриране на нейния диференциал. В рамките на разглежданата фигура независимата променлива l: се променя от a на b, така че търсената площ 5 ще бъде равна на 5= \f (x) dx. (I) Пример 1. Изчислете площта, ограничена от параболата y - 1 -x *, правите линии X \u003d - Fj-, x \u003d 1 и оста O * (фиг. 86). на фиг. 87. Фиг. 86. 1 Тук f(x) = 1 - l?, границите на интегриране a = - и t = 1, следователно 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Изчислете площта, ограничена от синусоидата y = sinXy, оста Ox и правата (фиг. 87). Прилагайки формула (I), получаваме L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Пример 3. Изчислете площта, ограничена от дъгата на синусоидата ^y \ u003d sin jc, затворен между две съседни пресечни точки с оста Ox (например между началото и точката с абсцисата i). Обърнете внимание, че от геометрични съображения е ясно, че тази площ ще бъде два пъти по-голяма от площта в предишния пример. Нека обаче направим изчисленията: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i-(- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Наистина, нашето предположение се оказа справедливо. Пример 4. Изчислете площта, ограничена от синусоидата и ^ оста Ox върху един период (фиг. 88). Предварителните преценки на ras-фигурата предполагат, че площта ще се окаже четири пъти по-голяма, отколкото в пр. 2. Въпреки това, след като направим изчисленията, получаваме „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Този резултат изисква изясняване. За да изясним същността на въпроса, ние също изчисляваме площта, ограничена от същата синусоида y \u003d sin l: и оста Ox в диапазона от l до 2n. Прилагайки формула (I), получаваме Така виждаме, че тази област се оказа отрицателна. Сравнявайки го с площта, изчислена в пример 3, установяваме, че техните абсолютни стойности са еднакви, но знаците са различни. Ако приложим свойство V (виж гл. XI, § 4), тогава получаваме случайно. Винаги площта под оста x, при условие че независимата променлива се променя отляво надясно, се получава чрез изчисляване с използване на отрицателни интеграли. В този курс винаги ще разглеждаме области без знак. Следователно отговорът в току-що анализирания пример ще бъде следният: търсената площ е равна на 2 + |-2| = 4. Пример 5. Нека изчислим площта на BAB, показана на фиг. 89. Тази област е ограничена от оста Ox, параболата y = - xr и правата линия y - = -x + \. Площ на криволинейния трапец Търсената област OAB се състои от две части: OAM и MAB. Тъй като точка А е пресечната точка на параболата и правата линия, ще намерим нейните координати чрез решаване на системата от уравнения 3 2 Y \u003d mx. (трябва само да намерим абсцисата на точка А). Решавайки системата, намираме l; =~. Следователно площта трябва да се изчисли на части, първо pl. OAM, а след това мн. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [замяна:

] =

Следователно неправилният интеграл се събира и стойността му е равна на .