UDK 681.51.011

МАТРИЧЕН АНАЛИЗ В СИСТЕМАТА ЗА УПРАВЛЕНИЕ НА ПРЕДПРИЯТИЕТО

© 2006 A.V. Волгин1, Г.Е. Белашевски2

ООО "Самара - АвиаГаз"

Самарски държавен аерокосмически университет

Статията анализира различни начини за използване на матрици в управлението на предприятието. Отношението (връзката) между елементите на две или повече множества може да бъде представено в матрична форма. Съставът на връзките ви позволява да опростите анализа на връзките между елементите на множествата. Даден е пример за използване на приоритетни матрици в системата за управление на предприятието.

Матриците, като инструмент за анализ, отдавна се използват в системата за управление на предприятието. Достатъчно е да посочим такива инструменти за качество като матрични диаграми, приоритетни матрици, матричен анализ в разгръщането на качествени функции.

1. Използването на матрици в управлението се дължи на факта, че почти всяко предприятие се характеризира с голям набор от обекти (различно оборудване, подразделения, доставчици, потребители) и е трудно да се опишат връзките между тях със зависимости като y \u003d f (x) . Реалните връзки са многоизмерни и имплицитни. Матриците, от друга страна, позволяват да се идентифицират такива връзки в доста визуална форма и да се анализират. В задачата за формиране на производствената структура на предприятието може да се използва матрица на връзките между групи части B = ], където ^ е броят на единиците.

общо оборудване, използвано при обработката на 1-ви и] -ти части, в маркетингово проучванематрицата на техническото ниво се използва u = \u^], където

и y - техническо ниво на 1-вото предприятие на ] -тия пазар и ценова матрица.

От гледна точка на математиката присвояването на матрица може да се тълкува като спецификация на връзка (връзка) между обектите на две множества. Матричният елемент в този случай може да означава както връзката на обектите (като "да" или "не"), така и силата на връзката, изразена като число. В случай на три или повече множества могат да се изграждат многомерни отношения и съответно многомерни матрици. Този подход обаче губи яснота и лекота на тълкуване. Сложността на анализа на многомерните отношения

йони могат да бъдат преодолени с помощта на състава на отношенията.

2. Да приемем, че фирмата има доставчици P1 P2, ... P5, които доставят материали (части, възли, компоненти) Mі, M2, M3. От тези материали предприятието произвежда продукти Ib I2, ... I, за клиенти (потребители) Zi, Z2, ... Z5. За тези набори можете да съставите матрици от връзки. Нека например се установят взаимоотношения между доставчиците и доставяните от тях материали (Таблица 1), продуктите и необходими материали(таблица 2), клиенти и продукти (таблица 3). Знакът "x" означава връзката на обекти от две множества.

Таблица 1. Матрица на взаимоотношенията с доставчици

и доставени материали (PM)

PM Pі P2 Pz P4 P5

Таблица 2. Матрица на връзките между продукти и материали (IM)

IM Mі M2 Mz

Таблица 3. Матрица на връзките между клиенти и продукти (PI)

ZI II I2 От От

Използвайки състава на съотношенията, дадени от матриците PM, MI и ZI, не е трудно да се състави матрица на съотношението на PP. PZ матрицата (Таблица 4) показва връзките, установени от предприятието между доставчиците P и клиентите Z^ Така например взаимодействието на клиента Z3 с предприятието се осъществява върху продукта I3, който изисква материали M! и M3, доставяни от Pn P3 и P5.

Таблица 4. Матрица на взаимоотношенията между доставчик-

Детайлното планиране на технологичните процеси (продуктови линии) с помощта на матрици на взаимовръзки опростява определянето на добавената стойност за клиента, печалбата на предприятието и неговите загуби.

3. Изграждането на система за управление на качеството на предприятието е свързано с разпределението на мрежа от процеси. Разпределението на процесите по бизнес единици, изпълнението на изискванията на стандарта, например ISO 9001-2000, може да се извърши с помощта на матрици. Да кажем, че процесите са подчертани: договаряне, управление на документацията на QMS, вътрешен одит, доставки, производство, наблюдение на удовлетвореността на клиентите и компанията има отдели: маркетинг отдел, отдел покупки, отдел главен дизайнер, отдел главен технолог, производство, отдел гаранционна поддръжка. Въз основа на резултатите от дискусията с представители на отделите може да се състави PP матрица (Таблица 5). От друга страна, специалните процеси трябва да покриват изискванията на стандарт, като например ISO 9001-2000. Свързването на процесите към ISO 9001-2000 води до TP матрица (Таблица 6).

Използвайки състава на отношенията, получаваме ISO матрицата (Таблица 7).

ние и клиенти (PP)

ПЗ Зі 32 Зз 34 35

Таблица 5. Матрица на връзките между процеси и отдели (SP)

PP матрица Маркетингов отдел Отдел доставки Отдел главен дизайнер Отдел главен технолог Отдел производство Гаранционна поддръжка

Договаряне X X

Вътрешен одит X

Поръчка X

Производство X

Таблица 6. Връзка на процесите с ISO 9001-2000

TP матрица Системи за управление на качеството Отговорност на управлението Управление на ресурсите Процеси на жизнения цикъл на продукта Измерване, анализ и подобряване

Договаряне на X

Управление на документацията на QMS X X

Вътрешен одит X X

Поръчка X

Производство X X X

Мониторинг на удовлетвореността на клиентите X

Маркетингов отдел ISO Matrix Отдел покупки Глава. дизайнерски отдел кап. технолог Отдел за гаранционна поддръжка на производството

Системи за управление на качеството X X

Отговорност на ръководството X X X

Управление на ресурсите X

Процеси на жизнения цикъл на продукта X X X

Измерване, анализ и подобряване X X

Очевидно при такова разпределение на изискванията на ISO могат да се очакват несъответствия в раздел 5 „Отговорност на ръководството“, тъй като политиката по качеството е отговорност на висшето ръководство.

4. Разширяването на всеки елемент от матрицата на взаимоотношенията, например „Отговорност на управлението – Маркетингов отдел“ може да използва матрицата на приоритетите, лежаща в основата на метода за йерархичен анализ. Изискванията на серията ISO 9000-2000 установяват обхвата и дълбочината на нормативната и техническата документация, необходима за функционирането на QMS на предприятието. Един от задължителните документи на СУК на предприятието е политиката и целите в областта на качеството. Целите на предприятието са формулирани в различни области: финанси, пазар, конкуренция

(бенчмаркинг), удовлетвореност на клиентите, подобряване на ефективността на продукта и процеса. Целите на цялата организация трябва да бъдат проектирани (разгърнати, декомпозирани) в нейните подразделения, така че персоналът да е наясно със своето участие и отговорност за постигането на определена цел на цялата организация.

Планирането, изборът на цели, оптимизирането на поведението в конкурентна среда винаги изискват решение на определен етап. Стана практически очевидно, че социалните процеси, по-специално процесите на управление, са слабо формализирани в класическата рамка.

теми. В този случай методът за анализ на йерархиите може да бъде доста ефективен.

Методът за анализ на йерархиите се основава на така наречената приоритетна матрица. Да приемем, че задачата е да се сравнят факторите, влияещи върху избрания обект. По правило броят на влияещите фактори е доста голям, точните зависимости са неизвестни и е практически невъзможно да се извърши математическа формализация на проблема. Експертът също изпитва затруднения при оценката на влиянието на факторите върху обекта. Изненадващо, проблемът се решава по-лесно, ако се извърши сравнение по двойки на влиянието на факторите върху обекта. (Долната линия е, че е трудно да се отговори на въпроса колко тежи A, много по-лесно е да се реши кое е по-тежко: A или B)

За аналитичното планиране на развитието на предприятието е необходимо да се опише първоначалното състояние (позицията „както е“), целевото състояние (цели) и средствата за свързване на тези състояния. По-долу е даден пример за прилагане на метода на йерархичен анализ, като обект е избрана целта от политиката за качество „Устойчив растеж на печалбите на предприятието“ и са подчертани някои фактори, влияещи върху целта (Таблица 8).

Специалисти - експерти на предприятието съставиха приоритетни матрици според избраните критерии (примерът е даден в таблица 9).

Управленска логистика

Планиране, доставки,

Инвестиции, отношения с доставчици,

Реклама, входен контрол,

Продажни цени, контрол на ресурсите.

Маркетингова стратегия. Персонал и развитие

производствена квалификация,

Спазване на срокове, обучение на персонала,

Технология, мотивация на персонала,

Качество, креативност,

Организация на производството, контрол на разходите. планиране на нови разработки

Таблица 9. Пример за матрицата "Производство"

Производство Спазване на условията за доставка на продуктите Технология Качество Организация на производството Контрол на разходите

Спазване на сроковете за доставка на продукта 1 5 1 3 3

Технология 1/5 1 3 1 3

Качество 1 1/3 1 3 1

Организация на производството 1/3 1 1/3 1 1

Контрол на разходите 1/3 1/3 1 1 1

Скала на връзките и попълване на таблици 1 - еквивалентност на факторите, 3 - доминиране на един фактор над друг фактор,

5 - силно доминиране на един фактор над друг фактор, 2,4 - възможни междинни стойности.

Математическата обработка на матриците се състоеше в намирането на приоритетния вектор като собствен вектор, съответстващ на максималната собствена стойност. Като пример, по-долу са резултатите от обработката на оценките на експерт N (таблица 10). Колоните показват компонентите на приоритетния вектор чрез различни фактори, например, според критерия "Управление"

Приоритет са инвестициите.

На фиг. 1. Дадени са резултатите от изчисляването на приоритетите на експертите по горните критерии. Постигането на целта е свързано с инвестиции, качество,

планиране на нови разработки и контролиране на ресурсите.

Таблица 10. Резултати от обработката на оценките на експерт Н

Цел - Устойчив растеж на печалбата на компанията

Управление Производство Мат - техническо осигуряване Персонал и развитие

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

Управление

производство

S&I^TO o i_CO

Персонал и развитие

Ориз. 1. Резултати от изчисляването на приоритетите на експертите

Познаването на разпределението на приоритетите според избраните критерии позволява на висшето ръководство на предприятието да провежда разумна политика за постигане на целта.

Библиография

1. Глудкин О.П., Горбунов Н.М., Гуров А.И., Зорин Ю.В. Тотално управление на качеството. - М.: Радио и комуникация, 1999.

2. Кузин Б., Юриев В., Шахдинаров Г. Методи и модели за управление на фирмата. - Санкт Петербург: Питър, 2001.

3. Форе Р., Кофман А., Дени-Папен М. Съвременна математика. - М.: Мир, 1966.

4. Саати Т. Вземане на решения. Метод на йерархичен анализ. / пер. от английски. - М.: Радио и комуникация, 1993.

МАТРИЧЕН АНАЛИЗ В ИЗПЪЛНИТЕЛНАТА СИСТЕМА НА ПРЕДПРИЯТИЕТО

© 2006 A.V. Волгин1, Г.Е. Белачевски2

\cСамара - Авиагаз»

Самарски държавен аерокосмически университет

В работата се анализират различни начини за приложение на матрици в бизнес дейността. Отношението (връзката) между елементи на две и повече множества може да се представи в матричен вид. Съставът на отношенията позволява да се опрости анализът на връзките между елементите на множествата. Резултатът е примерът за използване на матрици на приоритети в система за управление на предприятието.

Матричният анализ или матричният метод е широко разпространен в сравнителната оценка на различни икономически системи (предприятия, отделни подразделения на предприятия и др.). Матричният метод ви позволява да определите интегралната оценка на всяко предприятие по няколко показателя. Тази оценка се нарича рейтинг на предприятието. Помислете за прилагането на матричния метод на етапи, като използвате конкретен пример.

1. Избор на показатели за оценка и формиране на матрица от изходни данни a ij, тоест таблици, където номерата на системите (предприятията) са отразени в редове, а числата на показателите (i = 1,2 ... .n) - системите са отразени в колони; (j=1,2…..n) - показатели. Избраните индикатори трябва да имат еднакъв фокус (колкото повече, толкова по-добре).

2. Съставяне на матрица от стандартизирани коефициенти.Във всяка колона се определя максималният елемент и след това всички елементи на тази колона се разделят на максималния елемент. Въз основа на резултатите от изчислението се създава матрица от стандартизирани коефициенти.

Избираме максималния елемент във всяка колона.

метод научно изследванесвойства на обекти, базирани на използването на правилата на теорията на матриците, които определят стойността на елементите на модела, отразяващи връзката на икономическите обекти. Използва се в случаите, когато основният обект на изследване е съотношението на баланса на разходите и резултатите от производствено-икономическата дейност и стандартите на разходите и резултатите.

• - псевдомост, матричен мост

  Молекулярна биологияи генетиката. Речник

• - Английски. матричен анализ; Немски Матричен анализ. В социологията - метод за изследване на свойствата на соц. обекти, базирани на използването на правилата на матричната теория...

  Енциклопедия по социология

• - в печатарската индустрия - преса за щамповане на стереотипни матрици или неметални. стереотипите обикновено са хидравлични...

  Голям енциклопедичен политехнически речник

• - Устройство, използвано за пресоване на картонени или винилови пластмасови матрици, както и пластмасови стереотипи ...

  Кратък тълковен речник на полиграфията

• - Вижте: матричен принтер...

  Речник на бизнес термините

• - метод за научно изследване на свойствата на обектите, основан на използването на правилата на теорията на матриците, които определят стойността на елементите на модела, отразяващи връзката на икономическите обекти ...

  Голям икономически речник

• - в икономиката, метод за научно изследване на свойствата на обектите, основан на използването на правилата на теорията на матриците, които определят стойността на елементите на модела, отразяващи връзката на икономическите обекти ...

  Велика съветска енциклопедия

• - метод за изследване на връзката между стопански обектис тяхното матрично моделиране...

  Голям енциклопедичен речник

• - ...

  Правописен речник на руския език

• - MATRI-A, -s, f. ...

  Обяснителен речник на Ожегов

• - МАТРИЦА, матрица, матрица. прил. да се матрица. Матричен картон...

  Обяснителен речник на Ушаков

• - матрица I прил. отн. със съществително име. матрица I свързана с нея II adj. 1. съотношение със съществително име. матрица II, свързана с нея 2. Осигурява печат с помощта на матрица. III прил. съотношение...

  Обяснителен речник на Ефремова

• - м "...

  Руски правописен речник

• - ...

  Словоформи

• - прил., брой синоними: 1 матрица-вектор ...

  Речник на синонимите

• - прил., брой синоними: 1 четири ...

  Речник на синонимите

"АНАЛИЗНА МАТРИЦА" в книги

Т. Н. Панченко. Стросън и Витгенщайн. Анализът като разкриване на формалната структура на неформалния език и анализът като терапия

От книгата Философски идеи на Лудвиг Витгенщайн автор Грязнов Александър Феодосиевич

Т. Н. Панченко. Стросън и Витгенщайн. Анализът като разкриване на формалната структура на неформалния език и анализът като терапия *** Лудвиг Витгенщайн и Питър Стросън по някакъв начин определят границите на философията на анализа, нейното начало и край. Един от тях принадлежи на

§ 34. Фундаментално развитие на феноменологичния метод. Трансценденталният анализ като ейдетичен анализ

От книгата Картезиански разсъждения автор Хусерл Едмънд

§ 34. Фундаментално развитие на феноменологичния метод. Трансценденталният анализ като ейдетичен анализ важен момент, проблемите на феноменологичния генезис и по този начин,

2.6. Биосинтеза на протеини и нуклеинови киселини. Матричен характер на биосинтетичните реакции. Генетична информация в клетка. Гени, генетичен код и неговите свойства

От книгата Биология [ Пълна справкада се подготвя за изпита] автор Лернер Георгий Исаакович

2.6. протеинова биосинтеза и нуклеинова киселина. Матричен характер на биосинтетичните реакции. Генетична информация в клетка. Гени, генетичен код и неговите свойства Термини и понятия, проверявани в изпитната работа: антикодон, биосинтеза, ген, генетична информация,

Матричен анализ

От книгата Велика съветска енциклопедия (MA) на автора TSB

2.4. АНАЛИЗ НА ИЗИСКВАНИЯТА КЪМ СИСТЕМАТА (СИСТЕМЕН АНАЛИЗ) И ФОРМУЛИРАНЕ НА ЦЕЛИ

От книгата Технологии за програмиране авторът Камаев В А

2.4. АНАЛИЗ НА ИЗИСКВАНИЯТА КЪМ СИСТЕМАТА (СИСТЕМЕН АНАЛИЗ) И ФОРМУЛИРАНЕ НА ЦЕЛИ Задачата за оптимизиране на развитието на програмата е постигането на целите с възможно най-малък разход на ресурси.

Матрично измерване

От книгата Цифрова фотография от А до Я автор Газаров Артур Юриевич

Матрично измерване Матричното измерване (Pattern Evaluative, E) се нарича още многозоново, многозоново, многосегментно, оценъчно. В автоматичен режим фотоапаратът задава стандартното матрично измерване, използвано по-често от останалите. Това е най-интелигентното измерване

Въпрос 47 Фактическо и правно основание. Анализ на доказателства.

От книгата Авторският адвокатски изпит

Въпрос 47 Фактическо и правно основание. Анализ на доказателства. Честно, разумно и добросъвестно предоставяне на правна помощ под всякаква форма, независимо дали става въпрос за консултации, изготвяне на различни документи, представляване на интереси или защита

9. Науката в услуга на токсикологията. Спектрален анализ. Кристали и точки на топене. Структурен анализ чрез рентгенови лъчи. Хроматография

От книгата Сто години криминалистика автор Торвалд Юрген

9. Науката в услуга на токсикологията. Спектрален анализ. Кристали и точки на топене. Структурен анализ чрез рентгенови лъчи. Хроматография Междувременно събитията, които се случиха в процеса срещу Бюканън, станаха известни по целия свят. С цялото неуважение към американската наука от онези години, тези

12.9. Метод за разработване на матричен разтвор

От книгата Систематично решаване на проблеми автор Лапигин Юрий Николаевич

12.9. Матричен метод за разработване на решения Вземането на решения въз основа на матричния метод се свежда до избор, като се вземат предвид интересите на всички заинтересовани страни. Схематично процесът на вземане на решение в този случай изглежда така, както е показано на фиг. 12.7. Както виждаме, има

4. Проучване и анализ на пазара (анализ на бизнес средата на организацията)

От книгата Бизнес планиране: бележки от лекции авторът Бекетова Олга

4. Проучване и анализ на пазара (анализ на бизнес средата на организацията) Проучването и анализът на пазара на продажби е един от най-важните етапи в изготвянето на бизнес планове, които трябва да отговорят на въпросите кой, защо и в какво количества купува или ще купува продукти

5.1. Анализ на външната и вътрешната среда на организацията, SWOT анализ

автор Лапигин Юрий Николаевич

5.1. Анализ на външни и вътрешна средаорганизации, SWOT анализ Външна среда и адаптация на системата Организациите, като всяка система, са изолирани от външната среда и в същото време са свързани с външната среда по такъв начин, че да получават необходимите ресурси от външната среда и

8.11. Матричен метод RUR

От книгата Управленски решения автор Лапигин Юрий Николаевич

8.11. Матричен метод RSD Вземането на решения въз основа на матричния метод се свежда до избор, като се вземат предвид интересите на всички заинтересовани страни. Схематично процесът RUR в този случай изглежда така, както е показано на фиг. 8.13. Ориз. 8.13. Моделът RUR по матричния метод

4. Анализ на силните и слабите страни на проекта, неговите перспективи и заплахи (SWOT анализ)

автор Филоненко Игор

4. Анализ на силните и слабите страни на проекта, неговите перспективи и заплахи (SWOT-анализ) При оценката на осъществимостта на стартирането на нов проект играе роля комбинация от фактори и не винаги финансовият резултат е от първостепенно значение. Например за изложбена компания

5. Политически, икономически, социален и технологичен анализ (PEST-анализ)

От книгата Управление на изложби: Стратегии за управление и маркетингови комуникации автор Филоненко Игор

5. Политически, икономически, социален и технологичен анализ (PEST анализ)

11.3. Метод за разработване на матрична стратегия

От книгата Стратегическо управление: урок автор Лапигин Юрий Николаевич

11.3. Матричният метод за разработване на стратегии Развитие на визията на организацията Различните състояния на външната и вътрешната среда на организациите обясняват многообразието на самите организации и тяхното действително състояние Многофакторността на параметрите, които определят позицията на всяка

Курс на лекции по дисциплината

"Матричен анализ"

за студенти 2-ра година

Специалност Математически факултет

"Икономическа кибернетика"

(преподавател Дмитрук Мария Александровна)

Глава 3. Матрични функции.

1. Дефиниция на функцията.

Df.Нека функцията е скаларен аргумент. Изисква се да се дефинира какво се разбира под f(A), т.е. трябва да разширим функцията f(x) до матричната стойност на аргумента.

Решението на този проблем е известно, когато f(x) е полином: , тогава.

Дефиниция на f(A) в общия случай.

Нека m(x) е минимален полином A и има канонично разлагане, така че собствени стойностиА. Нека полиномите g(x) и h(x) приемат еднакви стойности.

Нека g(A)=h(A) (1), тогава полиномът d(x)=g(x)-h(x) е унищожаващият полином за A, тъй като d(A)=0, следователно d(x ) се дели на линеен полином, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2).

Тогава, т.е. (3), .

Нека се съгласим да извикаме m числа за f (x) такива стойности на функцията f (x) в спектъра на матрицата A и наборът от тези стойности ще бъде означен.

Ако множеството f(Sp A) е дефинирано за f(x), тогава функцията е дефинирана върху спектъра на матрицата A.

От (3) следва, че полиномите h(x) и g(x) имат еднакви стойности в спектъра на матрицата A.

Нашето разсъждение е обратимо, т.е. от (3) (3) (1). По този начин, ако матрицата A е дадена, тогава стойността на полинома f(x) се определя напълно от стойностите на този полином върху спектъра на матрицата A, т.е. всички полиноми gi(x), които приемат еднакви стойности в спектъра на матрицата, имат еднакви матрични стойности gi(A). Изискваме дефинирането на стойността на f(A) в общия случай да се подчинява на същия принцип.

Стойностите на функцията f(x) върху спектъра на матрицата A трябва напълно да определят f(A), т.е. функциите с еднакви стойности в спектъра трябва да имат една и съща матрична стойност f(A). Очевидно е, че за да се определи f(A) в общия случай, е достатъчно да се намери полином g(x), който ще приеме същите стойности в спектъра A като функцията f(A)=g(A).

Df.Ако f(x) е дефинирано в спектъра на матрица A, тогава f(A)=g(A), където g(A) е полином, който приема същите стойности в спектъра като f(A),

Df. Стойността на функцията от матрицата A ние наричаме стойността на полинома в тази матрица при.

Сред полиномите от С[x], приемащи същите стойности в спектъра на матрицата A, като f(x), със степен не по-висока от (m-1), приемащи същите стойности в спектъра A , тъй като f(x) е остатъкът от деленето на всеки полином g(x), имащ същите стойности в спектъра на матрицата A като f(x), на минималния полином m(x)=g(x) =m(x)*g(x)+r(x).

Този полином r(x) се нарича интерполационен полином на Лагранж-Силвестър за функцията f(x) върху спектъра на матрицата A.

Коментирайте. Ако минималният полином m(x) на матрица A няма кратни корени, т.е. , тогава стойността на функцията върху спектъра.

Пример:

Намерете r(x) за произволно f(x), ако матрицата

. Нека конструираме f(H1 ). Намерете минималния полином H1 последен инвариантен фактор:

, дn-1=x2 ; дn-1=1;

мх=fн(x)=dн(x)/dn-1(x)=xн 0 нмножествен корен m(x), т.е. n-кратни собствени стойности H1 .

, r(0)=f(0), r(0)=f(0),…,r(n-1)(0)=f(n-1)(0) .

1. Свойства на функции от матрици.

Имот #1. Ако матрицата има собствени стойности (може да има кратни сред тях), a, тогава собствените стойности на матрицата f(A) са собствените стойности на полинома f(x): .

Доказателство:

Нека характерният полином на матрица A има формата:

Да преброим. Нека преминем от равенство към детерминанти:

Нека направим промяна в равенството:

Равенството (*) е валидно за всяко множество f(x), така че заместваме полинома f(x) с, получаваме:

Отляво получихме характеристичния полином за матрицата f(A), разширен отдясно в линейни фактори, откъдето следва, че собствените стойности на матрицата f(A).

CHTD.

Имот №2. Нека матрицата и собствените стойности на матрицата A, f(x) са произволна функция, дефинирана върху спектъра на матрицата A, тогава собствените стойности на матрицата f(A) са равни.

Доказателство:

защото функция f(x) е дефинирана върху спектъра на матрицата A, тогава има интерполационен полином на матрицата r(x), така че и тогава f(A)=r(A) и матрицата r(A) има собствени стойности според свойство № 1, които са съответно равни.

CHTD.

Имот #3 Ако A и B са подобни матрици, т.е. , и f(x) е произволна функция, дефинирана върху спектъра на матрицата A, тогава

Доказателство:

защото A и B са подобни, тогава техните характеристични полиноми са еднакви и техните собствени стойности, следователно стойността на f(x) в спектъра на матрица A съвпада със стойността на функцията f(x) в спектъра на матрица B, и има интерполационен полином r(x), такъв че f(A)=r(A), .

CHTD.

Имот номер 4. Ако A е блокова диагонална матрица, тогава

Последица: Ако, тогава, където f(x) е функция, дефинирана в спектъра на матрица A.

1. Интерполационен полином на Лагранж-Силвестър.

Случай номер 1.

Нека се даде. Да разгледаме първия случай: характеристичният полином има точно n корена, сред които няма кратни, т.е. всички собствени стойности на матрицата A са различни, т.е. , Sp A е проста. В този случай ние конструираме основните полиноми lk(x):

Нека f(x) е функция, дефинирана в спектъра на матрицата A и нека стойностите на тази функция в спектъра са. Ние трябва да строим.

Да изградим:

Нека отбележим, че.

Пример: Конструирайте интерполационен полином на Лагранж-Силвестър за матрица.

Нека изградим основни полиноми:

Тогава за функцията f(x), дефинирана върху спектъра на матрицата A, получаваме:

Да вземем, след това интерполационният полином

Случай номер 2.

Характерният полином на матрица А има множество корени, но минималният полином на тази матрица е делител на характеристичния полином и има само прости корени, т.е. . В този случай интерполационният полином се конструира по същия начин, както в предишния случай.

Случай номер 3.

Нека разгледаме общия случай. Нека минималният полином има формата:

където m1+m2+...+ms=m, deg r(x)

Нека съставим дробно-рационална функция:

и го разложи на прости дроби.

Да обозначим:. Умножете (*) по и получете

където е някаква функция, която не отива в безкрайност при.

Ако поставим (**), получаваме:

За да се намери ak3, трябва (**) да се диференцира два пъти и т.н. Така коефициентът aki е еднозначно определен.

След като намерим всички коефициенти, се връщаме към (*), умножаваме по m(x) и получаваме интерполационния полином r(x), т.е.

Пример: Намерете f(A), ако, където tнякакъв параметър,

Нека проверим дали функцията е дефинирана върху спектъра на матрицата A

Умножете (*) по (x-3)

при х=3

Умножете (*) по (x-5)

По този начин,е интерполационен полином.

Пример 2

Ако, тогава докажете това

Нека намерим минималния полином на матрицата A:

е характеристичният полином.

д2 (x)=1, тогава минималният полином

Помислете за f(x)=sin x върху спектъра на матрицата:

функцията е дефинирана върху спектъра.

Умножете (*) по

.

Умножете (*) по:

Изчислете, като вземете производната (**):

. Ако приемем,

, т.е..

Така,,

Пример 3

Нека f(x) е дефинирано върху спектъра на матрица, чийто минимален полином има формата. Намерете интерполационния полином r(x) за функцията f(x).

Решение: По условие f(x) се определя върху спектъра на матрицата A f(1), f(1), f (2), f(2), е(2) дефинирани.

Използваме метода на неопределените коефициенти:

Ако f(x)=log x

f(1)=0f(1)=1

f(2)=log 2f(2)=0.5 f(2)=-0.25

4. Прости матрици.

Нека матрицата, тъй като C е алгебрично затворено поле, тогава x