Където λ е равно на средния брой появявания на събития в същото независими тестове, т.е. λ = n × p, където p е вероятността за събитие в един опит, e = 2,71828.
Серията на разпределение на закона на Поасон има формата:
Сервизно задание. Онлайн калкулаторът се използва за изграждане на разпределението на Поасон и изчисляване на всички характеристики на реда: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение. Протоколът с решението се съставя във формат Word.
В случай, когато n е голямо и λ = p n > 10, формулата на Поасон дава много грубо приближение и за изчисляване на P n (m) използвайте локалната и интегралната теорема на Moivre-Laplace.
Числени характеристики на случайна величина X
Математическото очакване на разпределението на ПоасонM[X] = λ
Дисперсия на разпределението на Поасон
D[X] = λ
Пример #1. Семената съдържат 0,1% плевели. Каква е вероятността да се намерят 5 семена на плевели в случайна селекция от 2000 семена?
Решение.
Вероятността p е малка, а числото n е голямо. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Очаквана стойност: M[X] = λ = 2
дисперсия: D[X] = λ = 2
Пример #2. Сред семената на ръжта има 0,4% семена от плевели. Съставете закона за разпределение на броя на плевелите с произволен подбор от 5000 семена. Намерете математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.
Решение. Очакване: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон за разпределение:
| х | 0 | 1 | 2 | … | м | … |
| П | е-20 | 20e-20 | 200e-20 | … | 20 метра -20 / метра! | … |
Пример #3. На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 1/200. Намерете вероятността сред 200 връзки да има:
а) точно една грешна връзка;
б) по-малко от три неправилни връзки;
в) повече от две неправилни връзки.
Решение.Според условието на задачата вероятността за събитие е малка, затова използваме формулата на Поасон (15).
a) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k = 1. Намерете P 200 (1).
Получаваме: 
. Тогава P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Имаме: a = 1. 
в) Дадено е: n = 200, p = 1/200, k > 2. Намерете P 200 (k > 2).
Този проблем може да бъде решен по-просто: да се намери вероятността от обратното събитие, тъй като в този случай трябва да изчислите по-малко условия. Като вземем предвид предишния случай, имаме
Разгледайте случая, когато n е достатъчно голямо и p е достатъчно малко; поставяме np = a, където a е някакво число. В този случай желаната вероятност се определя от формулата на Поасон:
Вероятността за настъпване на k събития за време с продължителност t също може да се намери с помощта на формулата на Поасон:
където λ е интензивността на потока от събития, тоест средният брой събития, които се появяват за единица време.
Пример #4. Вероятността дадена част да е дефектна е 0,005. Проверени са 400 части. Посочете формулата за изчисляване на вероятността повече от 3 части да са дефектни.
Пример номер 5. Вероятността за поява на дефектни части при масовото им производство е равна на p. определете вероятността една партида от N части да съдържа а) точно три части; б) не повече от три дефектни части.
р=0,001; N=4500
Решение.
Вероятността p е малка, а числото n е голямо. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Случайната променлива X има диапазон (0,1,2,...,m). Вероятностите на тези стойности могат да бъдат намерени по формулата:
Нека намерим серията за разпространение X.
Тук λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999 
Тогава вероятността партида от N части да съдържа точно три части е равна на: 
Тогава вероятността партида от N части да съдържа не повече от три дефектни части е:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736
Пример номер 6. Една автоматична телефонна централа получава средно N повиквания на час. Определете вероятността в дадена минута тя да получи: а) точно две обаждания; б) повече от две обаждания.
N = 18
Решение.
За една минута ATS получава средно λ = 18/60 min. = 0,3
Ако приемем, че произволен брой X повиквания, получени в PBX за една минута,
се подчинява на закона на Поасон, по формулата намираме търсената вероятност
Нека намерим серията за разпространение X.
Тук λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222 
Вероятността тя да получи точно две обаждания за дадена минута е:
Р(2) = 0,03334
Вероятността тя да получи повече от две обаждания за дадена минута е:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366
Пример номер 7. Разглеждаме два елемента, които работят независимо един от друг. Продължителността на непрекъснатата работа има експоненциално разпределение с параметър λ1 = 0,02 за първия елемент и λ2 = 0,05 за втория елемент. Намерете вероятността след 10 часа: а) и двата елемента да работят безотказно; б) само вероятност елемент #1 да не се повреди след 10 часа:
Решение.
P 1 (0) \u003d e -λ1 * t \u003d e -0,02 * 10 \u003d 0,8187
Вероятността елемент #2 да не се повреди след 10 часа е:
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0,05 * 10 \u003d 0,6065
а) двата елемента ще работят безупречно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) само един елемент ще се повреди.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321
Пример номер 7. Производството дава 1% от брака. Каква е вероятността от 1100 продукта, взети за изследване, не повече от 17 да бъдат отхвърлени?
Забележка: тъй като тук n*p =1100*0.01=11 > 10, е необходимо да се използва
Как започнаха да пристигат заявки: „Къде е Поасон? Къде са задачите по формулата на Поасон? и така нататък. И така ще започна с частна употребаРазпределение на Поасон - поради голямото търсене на материала.
Задачата е до болка еуфорично позната:
И следните две задачи са фундаментално различни от предишните:
Пример 4
Случайната променлива се подчинява на закона на Поасон с математическо очакване. Намерете вероятността дадена случайна променлива да приеме стойност, по-малка от нейното математическо очакване.
Разликата е, че тук говорим ТОЧНО за разпределението на Поасон.
Решение: случайната променлива приема стойности 
с вероятности:
По условие, , и тук всичко е просто: събитието се състои от три несъвместими резултати:
Вероятността една случайна променлива да приеме стойност, по-малка от нейното математическо очакване.
Отговор:
Подобна задача за разбиране:
Пример 5
Случайната променлива се подчинява на закона на Поасон с математическо очакване. Намерете вероятността дадената случайна променлива да приеме положителна стойност.
Решение и отговор в края на урока.
Освен от приближениебиномно разпределение(Примери 1-3), разпределението на Поасон намери широко приложение в теория на опашкатаза вероятностна характеристика най-простиятпоток от събития. Ще се опитам да бъда кратък:
Нека някоя система да получава заявки (телефонни обаждания, входящи клиенти и т.н.). Потокът на приложението се извиква най-простиятако отговаря на условията стационарност, липса на последствияи обикновени. Стационарността предполага, че интензивността на приложенията постоянени не зависи от времето на деня, деня от седмицата или други времеви рамки. С други думи, няма "час пик" и няма "мъртъв час". Липсата на последствия означава, че вероятността за появата на нови приложения не зависи от „предисторията“, т.е. няма такова нещо, че „една баба каза“, а други „дотичаха“ (или обратното, избягаха). И накрая, свойството обикновеност се характеризира с това, че за достатъчно малъквремеви интервал почти невъзможно поява на две или повече приложения. — Две стари дами на вратата? - не, благодаря, по-удобно е да режете по ред.
И така, нека някоя система получи най-простия поток от заявки със средна интензивностприложения в определена единица време (минута, час, ден или друго). Тогава вероятността, че за даден период от време, системата ще получи точно заявки, е равно на:
Пример 6
Обажданията до диспечера на такситата представляват най-простия поток на Поасон със среден интензитет от 30 обаждания на час. Намерете вероятността: а) за 1 мин. Ще бъдат получени 2-3 обаждания, б) ще има поне едно обаждане в рамките на пет минути.
Решение: използвайте формулата на Поасон:
а) Като се има предвид стационарността на потока, изчисляваме средния брой повиквания за 1 минута:
разговори - средно една минута.
Според теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития:
- вероятността 2-3 повиквания да бъдат получени в контролната зала за 1 минута.
б) Изчислете средния брой разговори за пет минути: 
9. Закон за разпределение на Поасон и Гаус
Закон на Поасон. Друго име за него е законът за ра-определяне на редки събития. Законът на Поасон (P.P.) се прилага в случаите, когато това е малко вероятно и следователно прилагането на P/C/R не е практично.
Предимствата на закона са: удобство при изчислението, възможност за изчисляване на вероятността в даден период от време, възможност за замяна на времето с друго непрекъсната стойност, например линейни размери.
Законът на Поасон има следната форма:
и гласи следното: вероятността за възникване на събитието A в m пъти в n независими опита се изразява с формула от вида (59), където a = pr е средната стойност на p(A), а a е единственият параметър в закона на Поасон.
Законът за нормалното разпределение (закон на Гаус). Практиката непрекъснато потвърждава, че законите за разпределение на грешките се подчиняват на закона на Гаус с достатъчно приближение при измерване на голямо разнообразие от параметри: от линейни и ъглови размери до характеристиките на основните механични свойства на стоманата.
Плътността на вероятността на закона за нормално разпределение (по-нататък N.R.) има формата
където x 0 е средната стойност на случайна променлива;
? е стандартното отклонение на същата случайна променлива;
e \u003d 2.1783 ... - основата на естествения логаритъм;
W е параметър, който удовлетворява условието.
Причината за широкото използване на нормалния закон за разпределение се определя теоретично от теоремата на Ляпунов.
С известни X 0 и? ординатите на кривата на функцията f(x) могат да се изчислят по формулата
където t е нормализирана променлива,
(t) плътност на вероятността z. Ако заместим z и (t) във формулата, тогава следва:
Крива Z.N.R. често наричан крива на Гаус, този закон описва много явления в природата.
6. Законът за прехода към суперсистемата След изчерпване на възможностите за развитие системата се включва в суперсистемата като една от частите; при което по-нататъчно развитиесе извършва на ниво суперсистема. Вече говорихме за този закон. Нека да преминем към динамиката. Той включва закони, които
От книгата Интерфейс: Нови насоки в дизайна компютърни системи автор Ръскин Джеф От книгата Instrumentation автор Бабаев М А4.4.1. Закон на Фитс Нека си представим, че премествате курсора до бутон, показан на екрана. Бутонът е целта на този ход. Дължината на правата линия, свързваща началната позиция на курсора и най-близката точка на целевия обект, се определя в закона на Fitts като разстояние. На
От книгата Топлотехника автор Бурханова Наталия4.4.2. Законът на Хик Преди да преместите курсора към цел или да изпълните друго действие от набор от опции, потребителят трябва да избере този обект или действие. Законът на Хик гласи, че когато има n възможности за избор, времето за избор е
От книгата Компютърна лингвистика за всички: Митове. Алгоритми. език автор Анисимов Анатолий Василиевич6. Статистика на разпределението на случайните величини Основни характеристики на случайните величини.1. Мерки за позиция.Те се наричат (считани) точки, около които характеристиките на количествата се колебаят.Сумата от продуктите на емпиричните стойности на случайна променлива xi от
От книгата Феномен на науката [Кибернетичен подход към еволюцията] автор Турчин Валентин Федорович10. Биномиални и полиномиални закони на разпределение. Невероятно разпределение. Закон за разпределение на ексцентричността 1. Биномиален закон за разпределение. Този закон се изразява математически чрез формулата за разширяване на бинома (q + p)2 в следната форма, където n! - Прочети
От книгата Нанотехнологии [Наука, иновации и възможности] от Фостър Лин11. Други закони за разпределение В техническата индустрия, включително производството на инструменти, се използват някои други видове закони за разпределение, в допълнение към тези, обсъдени по-горе. В този случай разпределението на случайните величини вече е според най-разнообразните им параметри.
От книгата История на електротехниката автор Авторски колектив22. Закон на Бойл-Мариот Един от законите за идеалния газ е законът на Бойл-Мариот, който гласи: произведението на налягането P и обема V на газ е постоянно при постоянна маса и температура на газа. Това равенство се нарича уравнение на изотермата. Изотермата се показва на
От книгата История на изключителни открития и изобретения (електротехника, електроенергетика, радиоелектроника) автор Шнайберг Ян Абрамович23. Закон на Гей-Лусак Законът на Гей-Лусак гласи: съотношението на обема на газ към неговата температура при постоянно налягане на газа и неговата маса е постоянна V / T = m / MO R / P = const при P = const, m = const. името на изобарното уравнение. Изобара се изобразява на PV диаграма с права линия,
От книгата на автора24. Законът на Чарлз Законът на Чарлз гласи, че съотношението на налягането на газа към неговата температура е постоянно, ако обемът и масата на газа са непроменени: P / T = m / MО R / V = const при V = const, m = const.. Изохора е изобразена на PV-диаграма на права линия, успоредна на оста P, и
От книгата на автора30. Законът за запазване и трансформация на енергията Първият закон на термодинамиката се основава на универсалния закон за запазване и трансформация на енергията, който установява, че енергията нито се създава, нито изчезва.Телата, участващи в термодинамичен процес, взаимодействат помежду си
От книгата на автораПРИНЦЕСАТА ЖАБА И ЗАКОНЪТ ЗА СТАБИЛНОСТТА Както вече беше подчертано по-рано (законът за абстракцията), примитивното мислене е било в състояние да анализира конкретни явления и да синтезира нови абстрактни системи. Тъй като всеки обект, конструиран от съзнанието, се възприемаше като жив и жив
От книгата на автора1.1. Основният закон на еволюцията В процеса на еволюция на живота, доколкото знаем, винаги е имало и сега има увеличаване на общата маса на живата материя и усложняване на нейната организация. Усложняване на организацията биологични образувания, природата работи чрез проба и грешка
От книгата на автора4.2. Закон на Мур В най-простата си форма законът на Мур е твърдението, че плътността на транзисторната верига се удвоява на всеки 18 месеца. Авторството на закона се приписва на един от основателите на известната компания Intel Гордън Мур. Строго погледнато, в
Разпределение на Поасон - случай на биномно разпределение когато броят на опитите ндостатъчно голяма и вероятността стрразработки Амалък().
Разпределението на Поасон се нарича още разпределение на редки събития. Например раждане година третаили четири близнака, същият закон за разпределение се прилага за броя на радиоактивните атоми, разпадащи се за единица време и т.н.
Вероятността за възникване на редки събития се изчислява по формулата на Поасон :
,
където мброят на възникване на събитието А;
Средна стойност на разпределението на Поасон;
д\u003d 2,7183 - основата на естествения логаритъм.
Законът на Поасон зависи от един параметър - λ (ламбда), чийто смисъл е следният: това е едновременно математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, разпределени съгласно закона на Поасон.
Условия за възникване на разпределението на Поасон
Разгледайте условията, при които възниква разпределението на Поасон.
първо, разпределението на Поасон е границата за биномното разпределение когато броят на експериментите ннараства неограничено (клони към безкрайност) и в същото време вероятността струспеваемостта в един експеримент намалява неограничено (клони към нула), но по такъв начин, че произведението им npостава в границата постоянна и равна на λ (lambde):
В математическия анализ се доказва, че разпределението на Поасон с параметъра λ = npможе да се приложи приблизително вместо бинома, когато броят на експериментите нмного висока и вероятността стре много малък, тоест във всяко отделно преживяване, събитието Асе появява изключително рядко.
второ, Поасоново разпределение възниква, когато има поток от събития, наречен най-прост (или стационарен Поасонов поток) . Потокът от събития е поредица от събития като пристигане на повиквания към комуникационния възел, пристигане на посетители в магазина, пристигане на влакове на гърбицата и други подобни. Поасоновият поток има следните свойства:
- стационарност: вероятност за възникване мсъбития в определен период от време е константа и не зависи от произхода на времето, а зависи само от дължината на интервала от време;
- обикновен: вероятността две или повече събития да попаднат на малък интервал от време е незначителна в сравнение с вероятността едно събитие да попадне в него;
- без последствия: вероятност за възникване мсъбития в определен период от време не зависи от това колко събития са се случили в предходния период.
Характеристики на случайна величина, разпределена по закона на Поасон
Характеристики на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон:
очаквана стойност ;
стандартно отклонение ;
дисперсия
Поасоново разпределение и изчисления в MS Excel
Вероятност на разпределението на Поасон П(м) и стойността на интегралната функция Е(м) може да се изчисли с помощта на функцията на MS Excel POISSON.DIST. Прозорецът за съответното изчисление е показан по-долу (кликнете с левия бутон на мишката, за да го увеличите).
MS Excel изисква да въведете следните данни:
- х- брой събития м;
- средно аритметично;
- интеграл - логическа стойност: 0 - ако трябва да изчислите вероятността П(м) и 1 - ако вероятността Е(м).
Решаване на примери с разпределение на Поасон
Пример 1Мениджърът на телекомуникационна компания решава да изчисли вероятността 0, 1, 2, ... повиквания да пристигнат в определен малък град в рамките на пет минути. Бяха избрани произволни интервали от пет минути, броят на обажданията във всеки от техните интервали беше преброен и средният брой на обажданията беше изчислен: .
Изчислете вероятността 6 обаждания да пристигнат в рамките на пет минути.
Решение. Според формулата на Поасон получаваме:
Получаваме същия резултат с помощта на функцията на MS Excel POISSON.DIST (стойността на интегралната стойност е 0):
П(6 ) = POISSON.DIST(6; 4.8; 0) = 0.1398.
Нека изчислим вероятността в рамките на пет минути да пристигнат не повече от 6 обаждания (стойността на интегралната стойност е 1):
П(≤6 ) = POISSON.DIST(6; 4,8; 1) = 0,7908.
Решете сами примера и след това вижте решението
Пример 2Производителят изпрати 1000 тествани, тоест работещи телевизори в определен град. Вероятността телевизорът да се повреди по време на транспортиране е 0,003. Тоест в този случай се прилага законът за разпределение на Поасон. Намерете вероятността от всички доставени телевизори следните да бъдат дефектни: 1) два телевизора; 2) по-малко от два телевизора.
Продължаваме заедно да решаваме примери
Пример 3Клиентският кол център приема поток от обаждания с интензивност 0,8 обаждания в минута. Намерете вероятността след 2 минути: а) да няма повиквания; б) ще дойде точно едно обаждане; в) ще дойде поне едно обаждане.
В много практически задачи трябва да се работи със случайни променливи, разпределени според особен закон, който се нарича закон на Поасон.
Помислете за прекъсната случайна променлива, която може да приема само цели числа, неотрицателни стойности:
и последователността от тези стойности е теоретично неограничена.
Казва се, че една случайна променлива е разпределена според закона на Поасон, ако вероятността тя да приеме определена стойност се изразява с формулата
където a е някаква положителна стойност, наречена параметър на закона на Поасон.
Серията на разпределение на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, има формата:
Първо, нека се уверим, че последователността от вероятности, дадена с формула (5.9.1), може да бъде серия на разпределение, т.е. че сумата от всички вероятности е равна на единица. Ние имаме:
.
На фиг. 5.9.1 показва полигоните на разпределение на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, съответстваща на различни стойности на параметъра. Таблица 8 от приложението изброява стойностите за различни .
Нека дефинираме основните характеристики - математическо очакване и дисперсия - на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон. По дефиниция на математическото очакване
.
Първият член на сумата (съответстващ на ) нула, следователно сумирането може да започне с:
Нека обозначим ; тогава
. (5.9.2)
По този начин параметърът не е нищо повече от математическото очакване на случайна променлива.
За да определим дисперсията, първо намираме втория начален момент на количеството:
Според доказаните по-рано
Освен това,
По този начин дисперсията на случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, е равна на нейното математическо очакване.
Това свойство на разпределението на Поасон често се използва в практиката, за да се реши дали хипотезата, че дадена случайна променлива е разпределена според закона на Поасон, е правдоподобна. За да направите това, определете от опит статистическите характеристики - математическото очакване и дисперсията - на случайна променлива. Ако стойностите им са близки, това може да служи като аргумент в полза на хипотезата за разпределението на Поасон; рязката разлика в тези характеристики, напротив, свидетелства против хипотезата.
За случайна променлива, разпределена според закона на Поасон, нека определим вероятността тя да приеме стойност не по-малка от дадена. Нека означим тази вероятност:
Очевидно вероятността може да се изчисли като сума
Въпреки това е много по-лесно да се определи от вероятността за обратното събитие:
(5.9.4)
По-специално, вероятността стойността да приеме положителна стойност се изразява с формулата
(5.9.5)
Вече споменахме, че много практически задачи водят до разпределение на Поасон. Помислете за един от типичните проблеми от този вид.
Нека точките са произволно разпределени по оста x Ox (фиг. 5.9.2). Да приемем, че произволно разпределениеточки отговаря на следните условия:
1. Вероятността за попадение на даден брой точки на сегмент зависи само от дължината на този сегмент, но не зависи от позицията му по оста x. С други думи, точките са разпределени по оста x с еднаква средна плътност. Нека означим тази плътност (т.е. математическото очакване на броя точки на единица дължина) чрез .
2. Точките се разпределят по оста x независимо една от друга, т.е. вероятността да се удари един или друг брой точки на даден сегмент не зависи от това колко от тях са паднали на който и да е друг сегмент, който не се припокрива с него.
3. Вероятността за попадение в малка област от две или повече точки е незначителна в сравнение с вероятността за попадение в една точка (това условие означава практическата невъзможност за съвпадение на две или повече точки).
Нека отделим определен сегмент от дължина върху абсцисната ос и разгледаме дискретна случайна променлива - броят точки, попадащи върху този сегмент. Възможните стойности на количеството ще бъдат
Тъй като точките попадат на сегмента независимо една от друга, теоретично е възможно да има произволно голям брой от тях, т.е. серия (5.9.6) продължава за неопределено време.
Нека докажем, че случайната променлива има закона за разпределение на Поасон. За да направим това, изчисляваме вероятността точно точки да попаднат на сегмента.
Нека първо решим повече проста задача. Помислете за малък участък по оста Ox и изчислете вероятността поне една точка да попадне на този участък. Ще се аргументираме по следния начин. Математическото очакване на броя на точките, които се падат на този участък, очевидно е равно (защото има точки средно на единица дължина). Съгласно условие 3 за малък сегмент може да се пренебрегне възможността върху него да попаднат две или повече точки. Следователно математическото очакване на броя точки, паднали на сайта, ще бъде приблизително равно на вероятността една точка да падне върху него (или, което е еквивалентно в нашите условия, поне една).
По този начин, до безкрайно малки от по-висок порядък, при , можем да приемем, че вероятността една (поне една) точка да падне на сайта е равна на , а вероятността нито една да не падне е равна на .
Нека използваме това, за да изчислим вероятността да уцелим точно точки от сегмента. Разделете отсечката на равни части по дължина. Нека се съгласим да наричаме елементарен сегмент "празен", ако не съдържа нито една точка, и "зает", ако в него е попаднала поне една. Съгласно горното, вероятността сегментът да бъде "зает" е приблизително равна на; вероятността да бъде "празен" е . Тъй като, съгласно условие 2, попаденията на точки в неприпокриващи се сегменти са независими, тогава нашите n сегмента могат да се разглеждат като независими „експерименти“, във всеки от които сегментът може да бъде „зает“ с вероятност. Намерете вероятността сред сегментите да има точно "заето". Според теоремата за повторението тази вероятност е равна на
или, обозначаващ
(5.9.7)
За достатъчно голяма стойност тази вероятност е приблизително равна на вероятността да се попаднат точно точки от сегмента, тъй като попадението на две или повече точки от сегмента има незначителна вероятност. За да се намери точната стойност на , е необходимо в израз (5.9.7) да се отиде до границата при :
(5.9.8)
Нека трансформираме израза под знака за граница:
(5.9.9)
Първата дроб и знаменателят на последната дроб в израза (5.9.9) при очевидно клонят към единица. Изразът не зависи от. Числителят на последната дроб може да се преобразува, както следва:
(5.9.10)
Когато и израз (5.9.10) клони към . Така е доказано, че вероятността точно точките да попаднат в отсечка се изразява с формулата
където, т.е. количеството X се разпределя по закона на Поасон с параметъра .
Обърнете внимание, че значението на стойността е средният брой точки на сегмент.
Големината (вероятността X да бъде положителен) в този случайизразява вероятността поне една точка да попадне на сегмента:
По този начин видяхме, че разпределението на Поасон възниква, когато някои точки (или други елементи) заемат произволна позиция независимо една от друга и броят на тези точки, които попадат в дадена област, се брои. В нашия случай такава "област" беше сегмент на оста x. Нашето заключение обаче може лесно да се разшири до случая на разпределение на точки в равнината (случайно плоско поле от точки) и в пространството (случайно пространствено поле от точки). Лесно е да се докаже, че ако са изпълнени следните условия:
1) точките са разпределени статистически равномерно в полето със средна плътност;
2) точките попадат в неприпокриващи се региони независимо;
3) точките се появяват поотделно, а не по двойки, тройки и т.н., тогава броят на точките, попадащи във всяка област (плоска или пространствена), се разпределя според закона на Поасон:
където е средният брой точки, попадащи в областта.
За плоския корпус
къде е площта на района; за пространствено
къде е обемът на региона.
Имайте предвид, че за разпределението на Поасон на броя точки, попадащи в сегмент или област, условието за постоянна плътност () не е от съществено значение. Ако другите две условия са изпълнени, тогава законът на Поасон все още е в сила, само параметърът a в него придобива различен израз: оказва се, че не просто умножениеплътност върху дължината, площта или обема на регион, но чрез интегриране на променлива плътност върху сегмент, площ или обем. (За повече информация вижте n° 19.4)
Наличието на произволни точки, разпръснати върху права, върху равнина или върху обем, не е единственото условие, при което възниква разпределението на Поасон. Може например да се докаже, че законът на Поасон е ограничаващ за биномното разпределение:
, (5.9.12)
ако едновременно насочим броя на експериментите към безкрайност и вероятността към нула и техният продукт остане постоянен:
Наистина, това ограничаващо свойство на биномното разпределение може да се запише като:
. (5.9.14)
Но от условието (5.9.13) следва, че
Замествайки (5.9.15) в (5.9.14), получаваме равенството
, (5.9.16)
което току-що беше доказано от нас по друг повод.
Това ограничаващо свойство на биномния закон често се използва в практиката. Нека приемем, че се правят голям брой независими експерименти, във всеки от които дадено събитие има много малка вероятност. След това, за да изчислите вероятността дадено събитие да се случи точно веднъж, можете да използвате приблизителната формула:
, (5.9.17)
където е параметърът на този закон на Поасон, който приблизително замества биномното разпределение.
От това свойство на закона на Поасон - да изразява биномиалното разпределение с голям брой експерименти и малка вероятност за събитие - идва името му, често използвано в учебниците по статистика: законът за редките явления.
Нека да разгледаме няколко примера, свързани с разпределението на Поасон от различни области на практиката.
Пример 1: Автоматична телефонна централа приема повиквания със средна плътност на повиквания на час. Ако приемем, че броят на повикванията за всеки период от време е разпределен според закона на Поасон, намерете вероятността точно три повиквания да пристигнат на станцията за две минути.
Решение. Средният брой обаждания за две минути е:
кв.м. За да ударите целта, поне един фрагмент е достатъчен, за да я ударите. Намерете вероятността за попадение в целта за дадена позиция на точката на прекъсване.
Решение. . Използвайки формула (5.9.4), намираме вероятността да уцелим поне един фрагмент:
(За да изчислим стойността на експоненциалната функция, използваме таблица 2 от приложението).
Пример 7. Средната плътност на патогенни микроби в един кубичен метървъздух е 100. За проба се вземат 2 куб.м. dm въздух. Намерете вероятността в него да бъде открит поне един микроб.
Решение. Приемайки хипотезата за разпределението на Поасон на броя на микробите в обем, намираме:
Пример 8. Изстреляни са 50 независими изстрела по някаква мишена. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,04. Използвайки ограничаващото свойство на биномното разпределение (формула (5.9.17)), намерете приблизително вероятността целта да бъде ударена: нито един снаряд, един снаряд, два снаряда.
Решение. Ние имаме . Според таблица 8 от приложението намираме вероятностите.
