23. Закон Гей-Люссака Закон Гей-Люссака говорить: відношення обсягу газу до його температури при незмінних тиску газу та його масі постійно. назва рівняння ізобари.Ізобара зображується на PV-діаграмі прямий,

24. Закон Шарля Закон Шарля стверджує, що відношення тиску газу до його температури постійно, якщо об'єм і маса газу незмінні: P / Т = m / MО R / V = ​​const при V = const, m = const. Ця рівність має назву рівняння ізохори .Ізохора зображується на PV-діаграмі прямої, паралельної осі P, а

30. Закон збереження та перетворення енергії Перший закон термодинаміки заснований на загальному законі збереження та перетворення енергії, який встановлює, що енергія не створюється і не зникає. Тіла, що беруть участь у термодинамічному процесі, взаємодіють один з

ЦАРІВНА-ЖАБА І ЗАКОН СТІЙКОСТІ Як уже наголошувалося раніше (закон абстракції), первісне мислення вміло аналізувати конкретні явища та синтезувати нові абстрактні системи. Оскільки будь-який сконструйований свідомістю об'єкт сприймався живим, а живе

1.1. Основний закон еволюції У процесі еволюції життя, наскільки нам відомо, завжди відбувалося і відбувається зараз збільшення загальної маси живої речовини та ускладнення її організації. Ускладнюючи організацію біологічних утворень, природа діє за методом проб і

4.2. Закон Мура У своєму найпростішому формулюванні закон Мура зводиться до твердження, що щільність монтажу транзисторних схем зростає вдвічі за кожні 18 місяців. Авторство закону приписують одному із засновників відомої фірми Intel Гордону Муру. Строго кажучи, в

Розподіл Пуассона – випадок біномного розподілу , коли кількість випробувань nдосить велика, а ймовірність pподії Aмала ().

Розподіл Пуассон називають також розподілом рідкісних подій. Наприклад, народження за рік трьохабо чотирьох близнюків, той же закон розподілу має число атомів радіоактивної речовини, що розпалися в одиницю часу, та ін.

Імовірність настання рідкісних подій обчислюється за формулою Пуассона :

,

де mчисло настання події A;

Середнє значення розподілу Пуассона;

e=2,7183 - основа натурального логарифму.

Закон Пуассона залежить від одного параметра λ (лямбда), сенс якого в наступному: він є одночасно математичним очікуванням та дисперсією випадкової величини, розподіленою за законом Пуассона.

Умови виникнення розподілу Пуассона

Розглянемо умови, у яких виникає розподіл Пуассона.

По перше, розподіл Пуассона є граничним для біномного розподілу , коли кількість дослідів nнеобмежено збільшується (прагне нескінченності) і одночасно ймовірність pуспіху в одному досвіді необмежено зменшується (прагне нуля), але так, що їх твір npзберігається у межі постійним і рівним λ (лямбде):

У математичному аналізі доведено, що розподіл Пуассона з параметром λ = npможна приблизно застосовувати замість біноміального, коли число дослідів nдуже велике, а ймовірність pдуже мала, тобто у кожному окремому досвіді подія Aз'являється дуже рідко.

По-друге, розподіл Пуассона має місце, коли є потік подій, що називається найпростішим (або стаціонарним пуассонівським потоком) . Потоком подій називають послідовність таких моментів, як надходження викликів на комунікаційний вузол, приходи відвідувачів у магазин, прибуття складів на гірку сортування тощо. Пуасонівський потік має такі властивості:

• стаціонарність: ймовірність настання mподій у певний період часу постійна і залежить від початку відліку часу, а залежить від довжини ділянки часу;
• ординарність: ймовірність попадання на малу ділянку часу двох або більше подій зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю попадання на нього однієї події;
• відсутність наслідку: ймовірність настання mподій у певний період не залежить від того, скільки подій настало в попередній період.

Характеристики випадкової величини, розподіленої згідно із законом Пуассона

Характеристики випадкової величини, розподіленої згідно із законом Пуассона:

математичне очікування ;

стандартне відхилення ;

дисперсія.

Розподіл Пуассона та розрахунки в MS Excel

Імовірність розподілу Пуассона P(m) та значення інтегральної функції F(m) можна обчислити за допомогою функції MS Excel ПУАССОН. Вікно для відповідного розрахунку показано нижче (для збільшення натиснути лівою кнопкою миші).

MS Excel вимагає ввести такі дані:

• x- Число подій m;
• середня;
• інтегральна – логічне значення: 0 – якщо потрібно обчислити ймовірність P(m) і 1 - якщо ймовірність F(m).

Рішення прикладів із розподілом Пуассона

приклад 1.Менеджер телекомунікаційної компанії вирішив розрахувати ймовірність того, що в деякому невеликому місті на протязі п'яти хвилин надійдуть 0, 1, 2, … викликів. Вибрано випадкові інтервали в п'ять хвилин, підраховано кількість дзвінків у кожний їх інтервалів та розраховано середню кількість дзвінків: .

Обчислити ймовірність того, що за п'ять хвилин надійдуть 6 викликів.

Рішення. За формулою Пуассон отримуємо:

Той самий результат отримаємо, використовуючи функцію MS Excel ПУАССОН.РАСП (значення інтегральної величини - 0):

P(6 ) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 0) = 0,1398.

Обчислимо ймовірність того, що протягом п'яти хвилин надійдуть не більше шести викликів (значення інтегральної величини - 1):

P(≤6 ) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 1) = 0,7908.

Вирішити приклад самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 2.Виробник відправив до якогось міста 1000 перевірених, тобто справних телевізорів. Імовірність того, що при транспортуванні телевізор вийде з ладу, дорівнює 0,003. Тобто, у цьому випадку діє закон розподілу Пуассона. Знайти ймовірність того, що з усіх доставлених телевізорів несправними будуть: 1) два телевізори; 2) менше двох телевізорів.

Продовжуємо вирішувати приклади разом

приклад 3.До центру дзвінків клієнтів надходить потік дзвінків з інтенсивністю 0,8 дзвінків за хвилину. Знайти ймовірність того, що за 2 хвилини: а) не прийде жодного дзвінка; б) прийде рівно один дзвінок; в) прийде бодай один дзвінок.

Багато завдань практики доводиться мати справу з випадковими величинами, розподіленими за своєрідним законом, який називається законом Пуассона.

Розглянемо перервну випадкову величину, яка може набувати лише цілі, невід'ємні значення:

причому послідовність цих значень теоретично не обмежена.

Кажуть, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона, якщо ймовірність того, що вона набуде певного значення, виражається формулою

де а – деяка позитивна величина, яка називається параметром закону Пуассона.

Ряд розподілу випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, має вигляд:

Переконаємося, передусім, що послідовність ймовірностей, задана формулою (5.9.1), може бути ряд розподілу, тобто. що сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці. Маємо:

.

На рис. 5.9.1 показано багатокутники розподілу випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона, відповідні різним значенням параметра . У таблиці 8 додатка наведено значення для різних.

Визначимо основні характеристики – математичне очікування та дисперсію – випадкової величини, розподіленої згідно із законом Пуассона. За визначенням математичного очікування

.

Перший член суми (відповідний) дорівнює нулю, Отже, підсумовування можна почати з :

Позначимо; тоді

. (5.9.2)

Таким чином, параметр є не що інше, як математичне очікування випадкової величини .

Для визначення дисперсії знайдемо спочатку другий початковий момент величини:

За раніше доведеним

Крім того,

Таким чином, дисперсія випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона, дорівнює її математичному очікуванню.

Ця властивість розподілу Пуассона часто застосовується на практиці для вирішення питання, чи є правдоподібною гіпотеза про те, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона. І тому визначають з досвіду статистичні характеристики – математичне очікування і дисперсію – випадкової величини. Якщо їх значення близькі, це може бути доказом на користь гіпотези про пуассонівському розподілі; різка відмінність цих показників, навпаки, свідчить проти гіпотези.

Визначимо для випадкової величини , розподіленої за законом Пуассона, ймовірність того, що вона набуде значення не менше заданого . Позначимо цю ймовірність:

Очевидно, ймовірність може бути обчислена як сума

Однак значно простіше визначити її з ймовірності протилежної події:

(5.9.4)

Зокрема, ймовірність того, що величина набуде позитивного значення, виражається формулою

(5.9.5)

Ми вже згадували, що багато завдань практики призводять до розподілу Пуассона. Розглянемо одне з типових завдань такого роду.

Нехай на осі абсцис Ох випадково розподіляються точки (рис. 5.9.2). Припустимо, що випадковий розподілточок задовольняє наступним умовам:

1. Імовірність влучення того чи іншого числа точок на відрізок залежить тільки від довжини цього відрізка, але не залежить від його положення на осі абсцис. Іншими словами, точки розподіляються на осі абсцис з однаковою середньою густиною. Позначимо цю густину (тобто математичне очікування числа точок, що припадають на одиницю довжини) через .

2. Крапки розподіляються на осі абсцис незалежно друг від друга, тобто. ймовірність попадання того чи іншого числа точок на заданий відрізок не залежить від того, скільки їх потрапило на будь-який інший відрізок, що не перекривається з ним.

3. Імовірність попадання на малу ділянку двох або більше точок зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю попадання однієї точки (ця умова означає практичну неможливість збігу двох або більше точок).

Виділимо на осі абсцис певний відрізок довжини та розглянемо дискретну випадкову величину – кількість точок, що потрапляють на цей відрізок. Можливі значення величини будуть

Оскільки крапки потрапляють на відрізок незалежно друг від друга, теоретично не виключено, що й там виявиться скільки завгодно багато, тобто. ряд (5.9.6) продовжується необмежено.

Доведемо, що випадковий розмір має закон розподілу Пуассона. Для цього обчислимо можливість того, що на відрізок потрапить рівно крапок.

Спочатку вирішимо більше просте завдання. Розглянемо на осі Ох мала ділянка і обчислимо ймовірність того, що на цю ділянку потрапить хоча б одна точка. Будемо міркувати так. Математичне очікування числа точок, що потрапляють на цю ділянку, очевидно, дорівнює (бо на одиницю довжини потрапляє в середньому точок). Згідно з умовою 3 для малого відрізка можна знехтувати можливістю попадання на нього двох або більше крапок. Тому математичне очікування числа точок, що потрапляють на ділянку , буде приблизно дорівнює ймовірності попадання на нього однієї точки (або, що в наших умовах рівнозначно, хоча б однієї).

Таким чином, з точністю до нескінченно малих вищого порядку, можна вважати ймовірність того, що на ділянку потрапить одна (хоча б одна) точка, що дорівнює , а ймовірність того, що не потрапить жодної, рівної .

Скористайтеся цим для обчислення ймовірності попадання на відрізок рівно крапок. Розділимо відрізок на рівних частин завдовжки. Умовимося називати елементарний відрізок «порожнім», якщо до нього не потрапило жодної точки, і «зайнятим», якщо до нього потрапила хоча б одна. Згідно з вищедоведеним ймовірність того, що відрізок виявиться «зайнятим», приблизно дорівнює ; ймовірність того, що він виявиться "порожнім", дорівнює . Так як, згідно з умовою 2, потрапляння точок у відрізки, що не перекриваються, незалежні, то наші n відрізків можна розглянути як незалежних «досвідів», у кожному з яких відрізок може бути «зайнятий» з ймовірністю . Знайдемо ймовірність того, що серед відрізків буде рівно «зайнятих». За теоремою про повторення дослідів ця ймовірність дорівнює

або, позначаючи ,

(5.9.7)

При досить великому ця ймовірність приблизно дорівнює ймовірності попадання на відрізок рівно крапок, так як попадання двох або більше точок на відрізок має невелику ймовірність. Для того щоб знайти точне значення, потрібно у виразі (5.9.7) перейти до межі при:

(5.9.8)

Перетворимо вираз, що стоїть під знаком межі:

(5.9.9)

Перший дріб і знаменник останнього дробу у виразі (5.9.9) при , очевидно, прагнуть одиниці. Вираз не залежить. Чисельник останнього дробу можна перетворити так:

(5.9.10)

При і вираз (5.9.10) прагне . Таким чином, доведено, що ймовірність попадання рівно крапок у відрізок виражається формулою

де, тобто. величина Х розподілена згідно із законом Пуассона з параметром.

Зазначимо, що величина за змістом є середньою кількістю точок, що припадає на відрізок .

Величина (ймовірність того, що величина Х набуде позитивного значення) в даному випадкувисловлює ймовірність того, що на відрізок потрапить хоча б одна точка:

Таким чином, ми переконалися, що розподіл Пуассона виникає там, де якісь точки (або інші елементи) займають випадкове положення незалежно один від одного, і підраховується кількість цих точок, які потрапили до якоїсь області. У нашому випадку такою "областю" був відрізок на осі абсцис. Однак наш висновок легко поширити і на випадок розподілу точок на площині (випадкове плоске поле точок) та у просторі (випадкове просторове поле точок). Неважко довести, що якщо дотримані умови:

1) точки розподілені в полі статистично рівномірно із середньою щільністю;

2) точки потрапляють у області, що не перекриваються, незалежним чином;

3) точки з'являються поодинці, а не парами, трійками і т.д., то точок, що потрапляють в будь-яку область (плоску або просторову), розподіляються за законом Пуассона:

де – середня кількість точок, які у область .

Для плоского випадку

де - площа області; для просторового

де - обсяг області.

Зауважимо, що для пуассонівського розподілу числа точок, що потрапляють у відрізок або область, умова постійної густини () несуттєва. Якщо виконані дві інші умови, то закон Пуассона все одно має місце, тільки параметр а в ньому набуває іншого виразу: він виходить не простим множеннящільності на довжину, площу або об'єм області, а інтегруванням змінної густини за відрізком, площею або об'ємом. (Докладніше про це див. n° 19.4)

Наявність випадкових точок, розкиданих на лінії, на площині чи об'ємі – не єдина умова, за якої виникає розподіл Пуассона. Можна, наприклад, довести, що закон Пуассона є граничним для біномного розподілу:

, (5.9.12)

якщо одночасно спрямовувати кількість дослідів до нескінченності, а ймовірність – до нуля, причому їхній твір зберігає постійне значення:

Справді, цю граничну властивість біномного розподілу можна записати у вигляді:

. (5.9.14)

Але з умови (5.9.13) випливає, що

Підставляючи (5.9.15) до (5.9.14), отримаємо рівність

, (5.9.16)

яке щойно було доведено нами з іншого приводу.

Ця гранична властивість біномного закону часто знаходить застосування практично. Припустимо, що виробляється велика кількість незалежних дослідів, у кожному з яких подія має дуже малу ймовірність. Тоді для обчислення ймовірності того, що подія з'явиться рівно раз, можна скористатися наближеною формулою:

, (5.9.17)

де - параметр того закону Пуассона, яким приблизно замінюється біномний розподіл.

Від цієї властивості закону Пуассона – виражати біноміальний розподіл за великої кількості дослідів та малої ймовірності події – походить його назва, що часто застосовується у підручниках статистики: закон рідкісних явищ.

Розглянемо кілька прикладів, пов'язаних з пуассонівським розподілом, із різних галузей практики.

Приклад 1. На автоматичну телефонну станцію надходять дзвінки із середньою щільністю дзвінків на годину. Вважаючи, що кількість викликів на будь-якій ділянці часу розподілено за законом Пуассона, знайти ймовірність того, що за дві хвилини на станцію надійде рівно три виклики.

Рішення. Середня кількість дзвінків за дві хвилини дорівнює:

кв.м. Для поразки мети достатньо попадання до неї хоча б одного уламка. Знайти ймовірність поразки мети при цьому положенні точки розриву.

Рішення. . За формулою (5.9.4) знаходимо ймовірність влучення хоча б одного уламка:

(Для обчислення значення показової функції користуємось таблицею 2 додатка).

Приклад 7. Середня густина хвороботворних мікробів в одному кубічному метріповітря дорівнює 100. Береться на пробу 2 куб. дм повітря. Знайти ймовірність того, що в ньому буде виявлено хоча б один бактерій.

Рішення. Приймаючи гіпотезу про пуассонівський розподіл числа мікробів в обсязі, знаходимо:

Приклад 8. За деякою метою проводиться 50 незалежних пострілів. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,04. Користуючись граничною властивістю біномного розподілу (формула (5.9.17)), знайти приблизно ймовірність того, що в ціль потрапить: жодного снаряда, один снаряд, два снаряди.

Рішення. Маємо. За таблицею 8 додатка знаходимо ймовірності.