Кожна окремо взята величина повністю визначається своєю функцією розподілу. Також, для вирішення практичних завдань достатньо знати кілька числових характеристикзавдяки яким з'являється можливість представити основні особливості випадкової величиниу короткій формі.
До таких величин відносять насамперед математичне очікуванняі дисперсія .
Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини в теорії ймовірностей. Позначається як .
Самим простим способомматематичне очікування випадкової величини Х(w), знаходять як інтегралЛебегастосовно ймовірнісної міри Р вихідному імовірнісному просторі
Ще знайти математичне очікування величини можна як інтеграл Лебегавід хщодо розподілу ймовірностей Р Хвеличини X:
де - безліч усіх можливих значень X.
Математичне очікування функцій від випадкової величини Xзнаходиться через розподіл Р Х. Наприклад, якщо X- випадкова величина зі значеннями і f(x)- однозначна борелівськафункція Х , то:
Якщо F(x)- функція розподілу X, то математичне очікування представимо інтеграломЛебега - Стілтьєса (або Рімана - Стілтьєса):
при цьому інтегрованість Xв сенсі ( * ) відповідає кінцівки інтегралу
У конкретних випадках, якщо Xмає дискретний розподілз ймовірними значеннями х k, k = 1, 2, . і ймовірностями , то
якщо Xмає абсолютно безперервний розподіл із щільністю ймовірності р(х), то
при цьому існування математичного очікування рівносильне абсолютній збіжності відповідного ряду або інтеграла.
Властивості математичного очікування випадкової величини.
- Математичне очікування постійної величинидорівнює цій величині:
C- Постійна;
- M=C.M[X]
- Математичне очікування суми випадково взятих величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:
- Математичне очікування твору незалежних випадково взятих величин = твору їх математичних очікувань:
M=M[X]+M[Y]
якщо Xі Yнезалежні.
якщо сходиться ряд:
Алгоритм обчислення математичного очікування.
Властивості дискретних випадкових величин: усі їхні значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значення прирівняти відмінну від нуля ймовірність.
1. По черзі перемножуємо пари: x iна p i.
2. Складаємо твір кожної пари x i p i.
Наприклад, для n = 4 :
Функція розподілу дискретної випадкової величиниступінчаста, вона зростає стрибком у тих точках, ймовірності яких мають позитивний знак.
Приклад:Знайти математичне очікування за формулою.
Математичним очікуванням (середнім значенням) випадкової величини X , заданої на дискретному імовірнісному просторі, називається число m = M [X] = ∑x i p i якщо ряд сходиться абсолютно.
Призначення сервісу. За допомогою сервісу в онлайн-режимі обчислюються математичне очікування, дисперсія та середньоквадратичне відхилення(Див. приклад). Крім цього, будується графік функції розподілу F(X).
Властивості математичного очікування випадкової величини
- Математичне очікування постійної величини дорівнює їй самій: M [C] = C, C - Постійна;
- M=C M[X]
- Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: M=M[X]+M[Y]
- Математичне очікування добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань: M = M [X] M [Y] якщо X і Y незалежні.
Властивості дисперсії
- Дисперсія постійної величини дорівнює нулю: D(c)=0.
- Постійний множник можна винести з-під символу дисперсії, звівши його в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Якщо випадкові величини X та Y незалежні, то дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Якщо випадкові величини X та Y залежні: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсії справедлива обчислювальна формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Приклад. Відомі математичні очікування та дисперсії двох незалежних випадкових величин X і Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Знайти математичне очікування та дисперсію випадкове величини Z=9X-8Y+7.
Рішення. Виходячи з властивостей математичного очікування: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Виходячи з властивостей дисперсії: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345
Алгоритм обчислення математичного очікування
Властивості дискретних випадкових величин: їх значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значенню зіставити відмінну від нуля можливість.- По черзі множимо пари: x i на p i.
- Складаємо добуток кожної пари x i p i .
Наприклад, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Приклад №1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математичне очікування знаходимо за формулою m = ∑x i p i.
Математичне очікування M[X].
M[x] = 1 * 0.1 + 3 * 0.2 + 4 * 0.1 + 7 * 0.3 + 9 * 0.3 = 5.9
Дисперсію знаходимо за формулою d = ∑x 2 i p i - M [x] 2 .
Дисперсія D[X].
D [X] = 1 2 * 0.1 + 3 2 * 0.2 + 4 2 * 0.1 + 7 2 * 0.3 + 9 2 * 0.3 - 5.9 2 = 7.69
Середнє квадратичне відхилення σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Приклад №2. Дискретна випадкова величина має наступний ряд розподілу:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Рішення. Величину a знаходимо із співвідношення: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 або 0.24 = 3 a, звідки a = 0.08
Приклад №3. Визначити закон розподілу дискретної випадкової величини, якщо відома її дисперсія, причому х 1
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Рішення.
Тут треба скласти формулу знаходження дисперсії d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
де маточіння m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших даних
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
або -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Відповідно треба знайти коріння рівняння, причому їх буде два.
x 3 = 8, x 3 = 12
Вибираємо той, який задовольняє умову х 1
Закон розподілу дискретної випадкової величини
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.
Математичне очікування та дисперсія – найчастіше застосовувані числові характеристики випадкової величини. Вони характеризують найважливіші риси розподілу: його становище та рівень розкиданості. Математичне очікування часто називають просто середнім значенням довільної величини. Дисперсія випадкової величини – характеристика розсіювання, розкиданості випадкової величини у її математичного очікування.
Багато завдань практики повна, вичерпна характеристика випадкової величини - закон розподілу - або може бути отримана, або взагалі не потрібна. У таких випадках обмежуються приблизним описом випадкової величини з допомогою числових характеристик.
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Підійдемо до поняття математичного очікування. Нехай маса деякої речовини розподілена між точками осі абсцис x1 , x 2 , ..., x n. При цьому кожна матеріальна точка має відповідну їй масу з ймовірністю p1 , p 2 , ..., p n. Потрібно вибрати одну точку на осі абсцис, що характеризує становище всієї системи матеріальних точок, з урахуванням їх мас. Природно як така точка взяти центр маси системи матеріальних точок. Це середнє зважене значення випадкової величини X, в яке абсциса кожної точки xiвходить з "вагою", що дорівнює відповідній ймовірності. Отримане в такий спосіб середнє значення випадкової величини Xназивається її математичним очікуванням.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх можливих її значень на ймовірності цих значень:
приклад 1.Організована безпрограшна лотерея. Є 1000 виграшів, їх 400 по 10 крб. 300 – по 20 руб. 200 – по 100 руб. і 100 – по 200 руб. Який середній розмір виграшу для того, хто купив один квиток?
Рішення. Середній виграш ми знайдемо, якщо загальну суму виграшів, яка дорівнює 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50 000 руб, розділимо на 1000 (загальна сума виграшів). Тоді отримаємо 50 000/1000 = 50 руб. Але вираз для підрахунку середнього виграшу можна уявити й у такому вигляді:
З іншого боку, в умовах розмір виграшу є випадковою величиною, яка може приймати значення 10, 20, 100 і 200 руб. із ймовірностями, рівними відповідно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Отже, очікуваний середній виграш дорівнює сумі творів розмірів виграшів на ймовірність їх отримання.
приклад 2.Видавець вирішив видати нову книгу. Продавати книгу він збирається за 280 руб., З яких 200 отримає він сам, 50 - книгарня і 30 - автор. У таблиці наведено інформацію про витрати на видання книги та ймовірність продажу певної кількості екземплярів книги.
Знайти очікуваний прибуток видавця.
Рішення. Випадкова величина "прибуток" дорівнює різниці доходів від продажу та вартості витрат. Наприклад, якщо буде продано 500 екземплярів книги, то доходи від продажу дорівнюють 200 * 500 = 100000, а витрати на видання 225 000 руб. Таким чином, видавцеві загрожує збиток розміром 125000 руб. У наступній таблиці узагальнено очікувані значення випадкової величини - прибутку:
| Число | Прибуток xi | Ймовірність pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Всього: | 1,00 | 25000 |
Таким чином, отримуємо математичне очікування прибутку видавця:
.
приклад 3.Імовірність влучення при одному пострілі p= 0,2. Визначити витрату снарядів, які забезпечують математичне очікування числа влучень, що дорівнює 5.
Рішення. З тієї ж формули математичного очікування, яку ми використовували досі, висловлюємо x- Витрата снарядів:
.
приклад 4.Визначити математичне очікування випадкової величини xчисла попадань при трьох пострілах, якщо ймовірність попадання при кожному пострілі p = 0,4 .
Підказка: ймовірність значень випадкової величини знайти за формулі Бернуллі .
Властивості математичного очікування
Розглянемо властивості математичного очікування.
Властивість 1.Математичне очікування постійної величини дорівнює цій постійній:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
Властивість 3.Математичне очікування суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх математичних очікувань:
Властивість 4.Математичне очікування добутку випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань:
Властивість 5.Якщо всі значення випадкової величини Xзменшити (збільшити) на одне й те саме число З, то її математичне очікування зменшиться (збільшиться) на те число:
Коли не можна обмежуватися лише математичним очікуванням
Найчастіше лише математичне очікування неспроможна достатньою мірою характеризувати випадкову величину.
Нехай випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:
| Значення X | Ймовірність |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значення Y | Ймовірність |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математичні очікування цих величин однакові - дорівнюють нулю:
Проте характер розподілу їх різний. Випадкова величина Xможе приймати тільки значення, що мало відрізняються від математичного очікування, а випадкова величина Yможе приймати значення, які значно відхиляються від математичного очікування. Аналогічний приклад: середня заробітна плата не дає можливості судити про питому вагу високо-і низькооплачуваних робітників. Іншими словами, з математичного очікування не можна судити про те, які відхилення від нього, хоч би в середньому, можливі. Для цього необхідно знайти дисперсію випадкової величини.
Дисперсія дискретної випадкової величини
Дисперсієюдискретної випадкової величини Xназивається математичне очікування квадрата відхилення її від математичного очікування:
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Xназивається арифметичне значення квадратного кореня її дисперсії:
.
Приклад 5.Обчислити дисперсії та середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Y, закони розподілу яких наведені у таблицях вище.
Рішення. Математичні очікування випадкових величин Xі YЯк було знайдено вище, дорівнюють нулю. Згідно з формулою дисперсії при Е(х)=Е(y)=0 отримуємо:
Тоді середні квадратичні відхилення випадкових величин Xі Yскладають
.
Таким чином, при однакових математичних очікуваннях дисперсія випадкової величини Xдуже мала, а випадкової величини Y- Значна. Це наслідок розбіжності у тому розподілі.
Приклад 6.У інвестора є 4 альтернативні проекти інвестицій. У таблиці узагальнено дані про очікуваний прибуток у цих проектах з відповідною ймовірністю.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Знайти для кожної альтернативи математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Рішення. Покажемо, як обчислюються ці величини для 3 альтернативи:
У таблиці узагальнено знайдені величини всім альтернатив.
У всіх альтернатив однакові математичні очікування. Це означає, що у довгостроковому періоді в усіх - однакові доходи. Стандартне відхилення можна інтерпретувати як одиницю виміру ризику - що більше, тим більше ризик інвестицій. Інвестор, який бажає великого ризику, вибере проект 1, оскільки він має найменше стандартне відхилення (0). Якщо ж інвестор віддає перевагу ризику та більшим доходам у короткий період, він вибере проект найбільшим стандартним відхиленням - проект 4.
Властивості дисперсії
Наведемо властивості дисперсії.
Властивість 1.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:
Властивість 2.Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:
.
Властивість 3.Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню квадрата цієї величини, з якого віднімається квадрат математичного очікування самої величини:
,
де 
.
Властивість 4.Дисперсія суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі (різниці) їх дисперсій:
Приклад 7.Відомо, що дискретна випадкова величина Xприймає лише два значення: −3 та 7. Крім того, відоме математичне очікування: E(X) = 4 . Знайти дисперсію дискретної випадкової величини.
Рішення. Позначимо через pймовірність, з якою випадкова величина набуває значення x1 = −3 . Тоді ймовірністю значення x2 = 7 буде 1 − p. Виведемо рівняння для математичного очікування:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
звідки отримуємо ймовірність: p= 0,3 та 1 − p = 0,7 .
Закон розподілу випадкової величини:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Дисперсію даної випадкової величини обчислимо за формулою з якості дисперсії 3:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Знайти математичне очікування випадкової величини самостійно, а потім переглянути рішення
Приклад 8.Дискретна випадкова величина Xнабуває лише два значення. Більше значень 3 вона приймає з ймовірністю 0,4. Крім того, відома дисперсія випадкової величини D(X) = 6 . Знайти математичне очікування випадкової величини.
Приклад 9.В урні 6 білих і 4 чорні кулі. З урни виймають 3 кулі. Число білих куль серед вийнятих куль є дискретною випадковою величиною X. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.
Рішення. Випадкова величина Xможе приймати значення 0, 1, 2, 3. Відповідні їм ймовірності можна обчислити за правилу множення ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Звідси математичне очікування цієї випадкової величини:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсія даної випадкової величини:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Математичне очікування та дисперсія безперервної випадкової величини
Для безперервної випадкової величини механічна інтерпретація математичного очікування збереже той самий зміст: центр маси для одиничної маси, розподіленої безперервно на осі абсцис із щільністю f(x). На відміну від дискретної випадкової величини, яка має аргумент функції xiзмінюється стрибкоподібно, у безперервної випадкової величини аргумент змінюється безперервно. Але математичне очікування безперервної випадкової величини пов'язане з її середнім значенням.
Щоб знаходити математичне очікування та дисперсію безперервної випадкової величини, потрібно знаходити певні інтеграли . Якщо дана функція щільності безперервної випадкової величини, вона безпосередньо входить у подынтегральное вираз. Якщо дана функція розподілу ймовірностей, то, диференціюючи її, необхідно визначити функцію щільності.
Арифметичне середнє всіх можливих значень безперервної випадкової величини називається її математичним очікуванням, що позначається або .
Як відомо, закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватись меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, що описують випадкову величину сумарно; такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини.
До важливих числових характеристик належить математичне очікування.
Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величининазивають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності.
Якщо випадкова величина характеризується кінцевим рядом розподілу:
| Х | х 1 | х 2 | х 3 | … | х п |
| Р | р 1 | р 2 | р 3 | … | р п |
то математичне очікування М(Х)визначається за формулою:
Математичне очікування безперервної випадкової величини визначається рівністю:
де – густина ймовірності випадкової величини Х.
Приклад 4.7.Знайти математичне очікування числа очок, що випадають під час кидання гральної кістки.
Рішення:
Випадкова величина Хприймає значення 1, 2, 3, 4, 5, 6. Складемо закон її розподілу:
| Х | ||||||
| Р |
Тоді математичне очікування одно:
Властивості математичного очікування:
1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій:
М(С) = С.
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
М(СХ) = СМ(X).
3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:
M(XY) = M(X)M(Y).
Приклад 4.8. Незалежні випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:
| Х | Y | ||||||
| Р | 0,6 | 0,1 | 0,3 | Р | 0,8 | 0,2 |
Знайти математичне очікування випадкового розміру XY.
Рішення.
Знайдемо математичні очікування кожної з цих величин:
Випадкові величини Xі Yнезалежні, тому шукане математичне очікування:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Слідство.Математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.
4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:
М(X+Y) = М(X)+М(Y).
Слідство.Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.
Приклад 4.9.Виробляється 3 постріли з ймовірностями влучення в ціль, рівними р 1 = 0,4; p 2= 0,3 та р 3= 0,6. Знайти математичне очікування загальної кількості влучень.
Рішення.
Число влучень при першому пострілі є випадковою величиною Х 1, яка може приймати лише два значення: 1 (попадання) з ймовірністю р 1= 0,4 та 0 (промах) з ймовірністю q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Математичне очікування числа влучень при першому пострілі дорівнює ймовірності влучення:
Аналогічно знайдемо математичні очікування кількості влучень при другому та третьому пострілах:
М(Х 2)= 0,3 та М(Х 3)= 0,6.
Загальна кількість влучень є також випадковою величиною, що складається з суми влучень у кожному з трьох пострілів:
Х = Х1 + Х2 + Х3.
Шукане математичне очікування Хзнаходимо за теоремою про математичне, очікування суми.
– кількість хлопчиків серед 10 новонароджених.
Цілком зрозуміло, що ця кількість заздалегідь не відома, і в черговому десятку дітей, що народилися, може виявитися:
Або хлопчиків – один і лише одинз перерахованих варіантів.
І, щоб дотримати форму, трохи фізкультури:
- Дальність стрибка в довжину (У деяких одиницях).
Її не в змозі передбачити навіть майстер спорту:)
Тим не менш, ваші гіпотези?
2) Безперервна випадкова величина – приймає всічислові значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку.
Примітка : у навчальній літературі популярні абревіатури ДСВ та НСВ
Спочатку розберемо дискретну випадкову величину, потім – безперервну.
Закон розподілу дискретної випадкової величини
– це відповідністьміж можливими значеннями цієї величини та їх ймовірностями. Найчастіше закон записують таблицею: 
Досить часто зустрічається термін ряд
розподілу, але в деяких ситуаціях він звучить двозначно, і тому я дотримуватимуся «закону».
А зараз дуже важливий момент: оскільки випадкова величина обов'язковоприйме одне із значень, то відповідні події утворюють повну групуі сума ймовірностей їх наступу дорівнює одиниці:
або, якщо записати згорнуто:
Так, наприклад, закон розподілу ймовірностей очок, що випали на кубику, має наступний вигляд: 
Без коментарів.
Можливо, у вас склалося враження, що дискретна випадкова величина може набувати лише «хороших» цілей. Розвіємо ілюзію – вони можуть бути будь-якими:
Приклад 1
Деяка гра має наступний закон розподілу виграшу: 
…напевно, ви давно мріяли про такі завдання:) Відкрию секрет – я також. Особливо після того, як завершив роботу над теорією поля.
Рішення: оскільки випадкова величина може прийняти лише одне з трьох значень, то відповідні події утворюють повну групу, Отже, сума їх ймовірностей дорівнює одиниці: 
Викриваємо «партизана»: 
- Отже, ймовірність виграшу умовних одиниць становить 0,4.
Контроль: , у чому потрібно переконатися.
Відповідь:
Не рідкість, коли закон розподілу потрібно скласти самостійно. Для цього використовують класичне визначення ймовірності, теореми множення / складання ймовірностей подійта інші фішки тервера:
Приклад 2
У коробці знаходяться 50 лотерейних квитків, серед яких 12 виграшних, причому 2 з них виграють по 1000 рублів, а решта – по 100 рублів. Скласти закон розподілу випадкової величини - розміру виграшу, якщо з коробки навмання витягується один квиток.
Рішення: Як ви помітили, значення випадкової величини прийнято розташовувати в порядок їх зростання. Тому ми починаємо з найменшого виграшу, і саме карбованців.
Усього таких квитків 50 – 12 = 38, і за класичному визначенню:
- Імовірність того, що навмання витягнутий квиток виявиться безвиграшним.
З рештою випадків все просто. Імовірність виграшу рублів становить:
Перевірка: і це особливо приємний момент таких завдань!
Відповідь: шуканий закон розподілу виграшу: 
Наступне завдання для самостійного вирішення:
Приклад 3
Імовірність того, що стрілець вразить мету, дорівнює . Скласти закон розподілу випадкової величини – кількості влучень після двох пострілів.
…я знав, що ви за ним скучили:) Згадуємо теореми множення та додавання. Рішення та відповідь наприкінці уроку.
Закон розподілу повністю описує випадкову величину, проте на практиці буває корисно (а іноді й корисніше) знати лише деякі її числові характеристики .
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Говорячи простою мовою, це середньоочікуване значенняпри багаторазовому повторенні випробувань. Нехай випадкова величина набуває значення з ймовірностями 
відповідно. Тоді математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює сумі творіввсіх її значень відповідні ймовірності:
або в згорнутому вигляді: 
Обчислимо, наприклад, математичне очікування випадкової величини – кількості очок, що випали на гральному кубику:
Тепер згадаємо нашу гіпотетичну гру: 
Виникає питання: а чи вигідно взагалі грати у цю гру? …у кого якісь враження? Адже «навскидку» і не скажеш! Але це питання можна легко відповісти, обчисливши математичне очікування, по суті – середньозваженийза ймовірностями виграш:
Таким чином, математичне очікування цієї гри програшно.
Не вір враженням – вір цифрам!
Так, тут можна виграти 10 і навіть 20-30 разів поспіль, але на довгій дистанції на нас чекає неминуче руйнування. І я не радив би вам грати в такі ігри:) Ну, може, тільки заради розваги.
З усього вищесказаного випливає, що математичне очікування – це вже невипадкова величина.
Творче завдання для самостійного дослідження:
Приклад 4
Містер Х грає в європейську рулетку за наступною системою: постійно ставить 100 рублів на червоне. Скласти закон розподілу випадкової величини – його виграшу. Обчислити математичне очікування виграшу та округлити його до копійок. Скільки в середньомупрограє гравець із кожної поставленої сотні?
Довідка : європейська рулетка містить 18 червоних, 18 чорних та 1 зелений сектор («зеро»). У разі випадання «червоного» гравцеві виплачується подвоєна ставка, інакше вона йде до доходу казино
Існує багато інших систем гри в рулетку, для яких можна скласти свої таблиці можливостей. Але це той випадок, коли нам не потрібні ніякі закони розподілу та таблиці, бо достеменно встановлено, що математичне очікування гравця буде таким самим. Від системи до системи змінюється лише
