Безперервні випадкові величини. Випадкові величини Презентація онлайн дискретні випадкові величини

ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ДИСКРЕТНОЇ

Відкласти можливі значення випадкової величини, але в осі ординат – ймовірності цих значень.

Функція розподілу та її властивості. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Щільність розподілу та її властивості

Завантажити:

Підписи до слайдів:

Попередній перегляд:

Дискретні випадкові величиниВипадкові величини, що приймають лише відокремлені один від одного значення, які заздалегідь можна перерахувати Приклади: - Число випадінь орла при трьох кидках монети; - Число попадань в ціль при 10 пострілах; - кількість викликів, що надійшли на станцію швидкої допомоги на добу.

Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями. Закон розподілу випадкової величини може задаватися у вигляді таблиці графіка формули (аналітично).

Розрахунок ймовірності реалізації певних значень випадкового числа Число випадінь орла дорівнює 0 - події: РР - ймовірність 0,5 * 0,5 = 0,25 Число випадінь орла дорівнює 1 - події: Р0 або ОР - ймовірність 0,5 * 0,5 + 0,5 * 0,5 = 0,5 Число випадінь орла дорівнює 2 - події: 00 - ймовірність 0,5 * 0,5 = 0,25 Сума ймовірностей: 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1

Обчислення значень ряду розподілів випадкового числа. Стрілець робить 3 постріли по мішені. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,4. За кожне попадання стрілку нараховується 5 очок. Побудувати низку розподілу числа вибитих очок. Вірогідність подій: біномний розподіл Позначення події: потрапив - 1, не потрапив - 0 Повна група подій: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3

Ряд розподілу випадкового числа вибитих очок події число очок ймовірність події0,2160,4320,2880,064

Операції складання та множення випадкових величин Сумою двох випадкових величин X і Y називається випадкова величина, яка виходить в результаті складання всіх значень випадкової величини X та всіх значень випадкової величини Y, відповідні ймовірності перемножуються X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30, 50,2

Операції складання випадкових величин Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0,060,10,040,210,350,140,030,050,02 Z01234 p0,040,3 02

Операції множення випадкових величин Добутком двох випадкових величин X і Y називається випадкова величина, яка виходить в результаті перемноження всіх значень випадкової величини X і всіх значень випадкової величини Y, відповідні ймовірності перемножуються X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50, 2

Властивості функції розподілу F(X) 0 F(x) 1 F(X)- незменшувана функція Імовірність потрапляння випадкової величини X в інтервал (a,b) дорівнює різниці значень функції розподілу в правому та лівому кінцях інтервалу: P(a X

Основні характеристики дискретних випадкових величин Математичне очікування(Середнє значення) випадкової величини дорівнює сумі творів значень, що приймаються цією величиною, на відповідні їм ймовірності: М(x)=x 1 Р 1 + x 2 Р x n P n =

Xixi PiPi x i P i (xi – M) 2 (xi – M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2-3,6) 2 = 2,560,256 30,30,9 (3-3,6) 2 = 0,360,108 40,52 (4-3,6) 2 = 0,160,08 50,10,50,5 (5-3,6) 2 = 1,960,196 ПРИКЛАД: Розрахувати основні числові характеристики для числа замовлень препарату, що надійшли за 1 годину M( x) = 3,6 D (x) = 0,64
РЕКОМЕНДУЄМАЯ ЛІТЕРАТУРА: Основна література: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика психологів. М: Аспект-прес, 2005, з Павлушков І.В. Основи вищої математики та математичної статистики. М., ГЕОТАР-Медіа, Журбенко Л. Математика у прикладах та завданнях. М: Інфра-М, Навчально-методичні посібники: Шапіро Л.А., Шиліна Н.Г. Керівництво до практичних занять з медичної та біологічної статистики Красноярськ: ТОВ «Поліком». - 2003.

Випадковими величинами називаються величини, які в результаті досвіду набувають тих чи інших значень, причому невідомо заздалегідь, які саме.

Позначають: X, Y, Z

Прикладом випадкової величини може бути:

1) Х - число очок, що з'являється при киданні гральної кістки

2) У – число пострілів до першого влучення в ціль

3) Зростання людини, курс долара, виграш гравця і т.д.

Випадкова величина, що приймає лічильну множину значень називається дискретною.

Якщо багато значень с.в. Чисельно, то така величина називається безперервною.

Випадковою величиною Х називається числова функція, визначена просторі елементарних подійΩ, яка кожному елементарному події W ставить у відповідність число Х(w), тобто. Х = Х (w), W

Приклад: Досвід полягає у киданні монети двічі. На просторі елементарних подій Ω(W1, W2, W3, W4) де W1 = ГГ, W2 = ГР, W3 = РГ, W4 = РР. Можна розглянути С.В. Х – кількість появи герба. Х є функцією від

елементарної події W2: X (W1) = 2, X (W2) = 1, X (W3) = 1, X (W4) = 0 X - дискретна с.в. Зі значеннями X1 = 0, X2 = 1, X3 = 2.

Для повного описувипадкової величини недостатньо лише знання її можливих значень. Потрібно ще знати можливості цих значень

ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ

Нехай Х – дискретна с.в., яка набуває значення х1 ,

х2 … хn ..

З деякою ймовірністю Pi = P (X = xi), i = 1,2,3 ... n ..., Що визначає ймовірність того, що в результаті досвіду с.в. Х набуде значення xi

Таку таблицю називають поряд розподілу

Так як події (X = x), (X = x) ... несумісні і утворюють

1 p i 1 2

повну групу, то i сума1 їх ймовірностей дорівнює

Ламану, що з'єднує точки (Х1, Р1), (Х2, Р2), ... називають

багатокутником розподілу.







	x 1 x 2

Випадкова величина Х дискретна, якщо кінцева чи лічильна множина Х1 , Х2 ,…,Xn ,… таких, що P(X=xi ) = pi > 0

(i = 1,2, ...) і p1 + p2 + p3 + ... = 1

Приклад: У урні 8 куль, з яких 5 білих, решта – чорні. З неї виймають навмання 3 кулі. Знайти закон розподілу числа білих кульок у вибірці.

Рішення: Можливі значення С.В. Х - число білих куль у вибірці є x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3.

Імовірності їх відповідно будуть

p(x0)

C 5 1 C 3 2

P2 = p (x = 1) =

Контроль:

З 2 С1

P3 = p (x = 2) =

З 5 3 З 3 0

P4 = p (x = 2) =

С8 3

Універсальним способом завдання закону розподілу ймовірностей, придатним як дискретних, так безперервних випадкових величин, є її функція розподілу.

Функцію F(x) називають інтегральною функцією розподілу.

Геометрично рівність (1) можна витлумачити так: F(x) є ймовірність того, що с.в. Х прийме значення, що зображується на числовій осі точкою, що лежить лівіше від точки х, тобто. випадкова точка Х потрапить до інтервалу (∞,х)



Функція розподілу має властивості:
1) F(x) обмежена, тобто. 0 F (x) 1
2) F(x) – незнищувальна функція на R тобто. якщо, x 2 x 1 то
F(x2) F(x1)
3) F(x) звертається в нуль на мінус нескінченності і дорівнює 1
плюс нескінченності тобто.			F(∞)=0, F(+∞)=1
4) Імовірність с.в. Х у проміжок дорівнює прирощенню
її функції розподілу у цьому проміжку тобто.
P(a X b) F(b) F(a)

5) F(x) безперервна зліва тобто. Lim F(x) = F(x0)

x x0

За допомогою функції розподілу можна обчислити

Рівність (4) безпосередньо випливає з визначення

6) Якщо всі можливі значення x b випадкової величини Х

належать інтервалу (a,b), то для її функції розподілу F(x)=0 при F(x)=1 при

Найважливішою характеристикою безперервної випадкової величини є густина розподілу ймовірностей.

Випадкова величина Х називається безперервною, якщо її

функція розподілу безперервна і диференційована всюди, крім окремих точок.

Щільністю розподілу ймовірностей безперервної с. Х називається похідною її функції розподілу. Позначається f(x) F /

є середню ймовірність, яка посідає одиницю довжини ділянки , тобто. середню густину розподілу ймовірності. Тоді


	P( x X x x)


Т. е. щільність розподілу є межа відносини
ймовірності влучення випадкової величини в
проміжок		До довжини ∆х цього проміжку,
	F (x x F (x) P(x X x x)
коли ∆х→0		(6) рівності слідує

Тобто. щільність ймовірності визначається як функція f(x), що задовольняє умові P ( x X x x ) f (x ) dx

Вираз f(x)dx називається елементом ймовірності.

Властивості щільності розподілу:

1) f(x) неотрицательна, тобто. f(x) 0

Методична розробка є презентацією в електронному вигляді.

Дана методична розробкамістить 26 слайдів з коротким змістомтеоретичного матеріалу до розділу Випадкові величини. Теоретичний матеріал включає поняття випадкової величини і логічно чітко розділений на дві частини: дискретна випадкова величина і безперервна випадкова величина. Тема ДСВ включає поняття ДСВ та способи завдання, числові характеристики ДСВ (математичне очікування, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, початкові та центральні моменти, мода, медіана). Наведено основні властивості числових характеристик ДСВ та зв'язок між ними. У темі НСВ аналогічно відображено вищевказані поняття, визначено функції розподілу СВ і щільності розподілу НСВ, зазначено зв'язок між ними, а також представлені основні види розподілу СВ: рівномірний і нормальний розподіл.

узагальнюючому уроці з цієї теми.

Ця технологія застосовна:

щодо розділу Випадкові величини з демонстрацією окремих слайдів для ефективного засвоєння нового матеріалу шляхом зорового сприйняття,
під час актуалізації опорних знань учнів
під час підготовки учнів до підсумкової атестації з дисципліни.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

З визначення похідної випливає:

F(x x) F(x)

P( x X x x)

Але згідно з формулою (2) співвідношення

Зміст Випадкові величини Дискретна випадкова величина (ДСВ) Закон розподілу СВ Числові характеристикиДСВ Теоретичні моменти ДСВ Система двох ДСВ Числові характеристики системи двох ДСВ Безперервна СВ Функція розподілу НСВ Функція густини розподілу НСВ Числові характеристики НСВ Крива розподілу СВХ Мода Медіана Рівномірний розподіл густини Нормальний закон розподілу. Функція Лапласа

Випадкові величини Випадковою величиною (СВ) називається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, причому заздалегідь до досвіду невідомо, яке саме. Поділяються на два типи: дискретні СВ (ДСВ) та безперервні СВ (НСВ)

Дискретна випадкова величина (ДСВ) ДСВ - така величина, число можливих випробувань якої або звичайно, або нескінченна множина, але обов'язково лічильне. Наприклад, частота влучень при 3 пострілах – X x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2, x 4 =3 ДСВ буде повністю описана з імовірнісної точки зору, якщо буде вказано, яку ймовірність має кожна з подій.

Законом розподілу СВ називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливим значенням СВ та відповідними ймовірностями. Форми завдання закону розподілу: Таблиця Закон розподілу СВ X x 1 x 2 … x n P i p 1 p 2 … p n

2. Багатокутник розподілу Закон розподілу ДСВ P i X i x 1 x 2 x 3 x 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Багатокутник розподілу Сума ординат багатокутника розподілу, що є сумою ймовірностей всіх можливих значень СВ завжди дорівнює 1

Числові хар-ки ДСВ Математичне очікування – сума творів значень СВ з їхньої ймовірності. Математичне очікування є хар-кою середнього значення випадкової величини

Числові хар-ки ДСВ Властивості математичного очікування:

Числові хар-ки ДСВ 2. Дисперсією ДСВХ називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від математичного очікування. Дисперсія характеризує міру розсіювання значень СВ від математичного очікування При вирішенні завдань дисперсію зручно обчислювати за такою формулою: - Середньоквадратичне відхилення

Числові хар-ки ДСВ Властивості дисперсії:

Теоретичні моменти ДСВ Початковим моментом порядку k СВХ називають математичне відношення Х k Центральним моментом порядку k СВХ називають математичне очікування величини

Система двох ДСВ Систему двох СВ (Х Y) можна зображувати випадковою точкою на площині. Події, що перебувають у попаданні випадкової точки (Х Y) в область D позначають (X,Y) ∩D Закон розподілу системи двох ДСВ можна задати таблицею

Система двох ДСВ Таблиця, що задає закон розподілу системи двох ДСВ Y X y 1 y 2 y 3 … y n x 1 p 11 p 12 p 13 … p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 … p 2n x 3 p 31 p 32 p 33 … p 3n … … … … … … x m p m1 p m2 p m3 … p mn

Числові хар-ки системи двох ДСВ Математичне очікування та дисперсія системи двох ДСВ за визначенням При вирішенні завдань зручно застосовувати формулу

Безперервна СВ НСВ називається така величина, можливі значення якої постійно заповнюють деякий інтервал (кінцевий або нескінченний). Число всіх можливих значень НСВ нескінченне. Приклад: Випадкове відхилення дальності точки падіння снаряда від мети.

Функція розподілу НСВ Функцією розподілу називають F(x) , визначальну кожному за значення x ймовірність те, що СВХ набуде значення, менше х, тобто. згідно з визначенням F(x)=P(X

Функція розподілу НСВ Властивості функції розподілу: якщо наслідок: Якщо всі можливі значення x СВХ належать інтервалу (a;b) , то при a=b F(x)=0 Наслідок: 1. 2. 3. Функція розподілу безперервна зліва

Функція густини розподілу НСВ Функцією густини розподілу ймовірностей називають першу похідну від функції F(x) f(x)=F`(x). f(x) називають диференціальною функцією. Імовірність того, що НСВХ прийме значення, що належать інтервалу (a;b) обчислювані за формулою Знаючи щільність розподілу, можна знайти функцію розподілу Властивості: зокрема, якщо всі можливі значення СВ належать (a;b), то 1. 2.

Числові хар-ки НСВ Математичне очікування НСВХ, всі можливі значення якої належать інтервалу (a;b), визначається рівністю: Дисперсія НСВХ, всі можливі значення якої належать інтервалу (a;b), визначається рівністю: При розв'язанні задач застосовна формула:

Числові хар-ки НСВ Середньоквадратичне відхилення визначається як і, як й у ДСВ: Початковий момент k -ого порядку НСВ визначається рівністю:

Числові хар-ки НСВ Центральний момент k-ого порядку НСВХ, всі можливі значення якої належать інтервалу (a:b), визначається рівністю:

Числові хар-ки НСВ Якщо всі можливі значення НСВХ належать до всієї числової осі ОХ, то у всіх вищевказаних формулах певний інтеграл замінюється невласним інтегралом з нескінченними нижньою та верхньою межами

Крива розподілу СВХ Y X М 0 a b Графік функції f(x) називається кривою розподілу крива розподілу Геометрично ймовірність попадання СВХ у проміжок (a;b) дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції, обмеженою кривою розподілу віссю ОХ та прямими x=a та x=b

Мода ДСВХ називається її найбільш ймовірне значення. Модою НСВХ називається таке її значення M 0 при якому щільність розподілу максимальна. Для знаходження моди НСВ необхідно знайти максимум функції за допомогою першої чи другої похідної. M 0 =2, т.к. 0.1 0.3 Геометрично мода є абсцисою тієї точки кривої або полігону розподілу, ординату якої максимальна X 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 Y X М 0 a b

Медіана Медіаною НСВХ називається таке її значення М е , котрій однаково ймовірно, виявиться чи випадкова величина більше чи менше М е , тобто. P(x М е)=0.5 Ордината, проведена до точки з абсцисою, що дорівнює М е, ділить навпіл площу, обмежену кривою або полігоном розподілу. Якщо пряма x=a є віссю симетрії кривої розподілу y=f(x) , то М 0 =М е = М(Х)=

Рівномірний розподіл щільності Рівномірним називається розподіл таких СВ, всі значення яких лежать на деякому відрізку (a;b) і мають постійну щільність ймовірності на цьому відрізку Y X a b h

Нормальний закон розподілу. Функція Лапласа Нормальний закон розподілу характеризується щільністю Крива розподілу симетрична щодо прямої x = a. Максимальна ордината при x=a дорівнює Y X x=a Крива Гауса, нормальна крива Ось абсцис є асимптотою кривої y=f(x) Ф(x) - Функція Лапласа