Системою нерівностейприйнято називати будь-яку сукупність двох або більше нерівностей, що містять невідому величину.
Наочно це формулювання ілюструють, наприклад, такі системи нерівностей:
Розв'язати систему нерівностей - означає знайти всі значення невідомої змінної, у яких реалізується кожна нерівність системи, чи довести, що таких немає .
Значить, для кожного окремого нерівності системиобчислюємо невідому змінну. Далі з значень вибирає тільки ті, які вірні і для першої і для другої нерівності. Отже, під час встановлення обраного значення обидві нерівності системи стають правильними.
Розберемо розв'язання кількох нерівностей:
Розмістимо одну під іншою пару числових прямих; на верхню нанесемо величину x, при яких перша нерівність ( x> 1) ставати вірним, але в нижньої—величину х, які є рішенням другої нерівності ( х> 4).
Зіставивши дані на числових прямих, відзначимо, що рішенням для обох нерівностейбуде х> 4. Відповідь, х> 4.
приклад 2.
Обчислюючи перше нерівністьотримуємо -3 х< -6, или x> 2, друге - х> -8, або х < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения х, за яких реалізується перше нерівність системи, а на нижню числову пряму, всі ті значення х, у яких реалізується друга нерівність системи.
Зіставивши дані, отримуємо, що обидва нерівностіреалізовуватимуться при всіх значеннях х, Розміщених від 2 до 8. Безліч значень хпозначаємо подвійною нерівністю 2 < х< 8.
приклад 3.Знайдемо
На цьому уроці ми розпочнемо вивчення систем нерівностей. Спочатку розглядатимемо системи лінійних нерівностей. На початку уроку розглянемо, звідки і для чого виникають системи нерівностей. Далі вивчимо, що означає вирішити систему, і згадаємо об'єднання та перетин множин. Насамкінець вирішуватимемо конкретні приклади на системи лінійних нерівностей.
Тема: Раціональні нерівності та їх системи
Урок:ОсновніПоняття, розв'язання систем лінійних нерівностей
Досі ми вирішували окремі нерівності та застосовували до них метод інтервалів, це могли бути і лінійні нерівності, і квадратні та раціональні. Тепер перейдемо до вирішення систем нерівностей – спочатку лінійних систем. Подивимося з прикладу, звідки береться необхідність розглядати системи нерівностей.
Знайти область визначення функції
Знайти область визначення функції
Функція існує, коли існують обидва квадратні корені, тобто.
Як вирішувати таку систему? Необхідно знайти всі x, що задовольняють і першу і другу нерівність.
Зобразимо на осі ox безліч розв'язків першої та другої нерівності.
Проміжок перетину двох променів і є наше рішення.
Такий метод зображення розв'язання системи нерівностей іноді називають методом дахів.
Рішенням системи є перетин двох множин.
Зобразимо це графічно. Маємо безліч А довільної природи і безліч Довільної природи, які перетинаються.
Визначення: Перетином двох множин А і В називається така третя множина, яка складається з усіх елементів, що входять і в А і В.
Розглянемо на конкретних прикладах розв'язання лінійних систем нерівностей, як знаходити перетину множин рішень окремих нерівностей, що входять до системи.
Вирішити систему нерівностей:
Відповідь: (7; 10].
4. Вирішити систему 
Звідки може взятися друга нерівність системи? Наприклад, з нерівності
Графічно позначимо розв'язання кожної нерівності та знайдемо проміжок їхнього перетину.
Таким чином, якщо ми маємо систему, в якій одна з нерівностей задовольняє будь-яке значення x, то її можна виключити.
Відповідь: система суперечлива.
Ми розглянули типові опорні завдання, яких зводиться рішення будь-якої лінійної системи нерівностей.
Розглянемо таку систему.
7. 
Іноді лінійна система задається подвійною нерівністю, розглянемо такий випадок.
8. 
Ми розглянули системи лінійних нерівностей, зрозуміли, звідки вони з'являються, розглянули типові системи, яких зводяться всі лінійні системи, і вирішили деякі з них.
1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.
2. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.
3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.
4. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.
6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.
1. Портал Природних Наук ().
2. Електронний навчально-методичний комплекс для підготовки 10-11 класів до вступним іспитамз інформатики, математики, російської мови ().
4. Центр освіти "Технологія навчання" ().
5. Розділ College.ru з математики ().
1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. № 53; 54; 56; 57.
Програма для вирішення лінійних, квадратних та дробових нерівностей не просто дає відповідь задачі, вона наводить докладне рішенняіз поясненнями, тобто. відображає процес рішення для того, щоб проконтролювати знання з математики та/або алгебри.
Причому, якщо в процесі вирішення однієї з нерівностей потрібно вирішити, наприклад, квадратне рівняння, То його докладне рішення також виводиться (воно полягає в спойлер).
Ця програма може бути корисною учням старших класів під час підготовки до контрольним роботам, батькам контролю вирішення нерівностей їх дітьми.
Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.
Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.
Правила введення нерівностей
Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.
Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числаможна вводити не тільки у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.
Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дробитак: 2.5x - 3,5x^2
Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.
Знаменник може бути негативним.
При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частинавідокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
При введенні виразів можна використовувати дужки. І тут при розв'язанні нерівності вирази спочатку спрощуються.
Наприклад: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Виберіть потрібний знак нерівності та введіть багаточлени у поля нижче.
Розв'язати систему нерівностей Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.
Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...
Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.
Наші ігри, головоломки, емулятори:
Трохи теорії.
Системи нерівностей із одним невідомим. Числові проміжки
З поняттям системи ви познайомилися у 7 класі та навчилися вирішувати системи лінійних рівнянь із двома невідомими. Далі будуть розглянуті системи лінійних нерівностей із однією невідомою. Багато рішень систем нерівностей можуть записуватися за допомогою проміжків (інтервалів, напівінтервалів, відрізків, променів). Також ви познайомитеся з позначеннями числових проміжків.
Якщо в нерівностях \(4x > 2000 \) і \(5x \leq 4000 \) невідоме число х одне й те саме, то ці нерівності розглядають спільно і кажуть, що вони утворюють систему нерівностей: $$ \left\(\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Фігурна дужка показує, що потрібно знайти такі значення х, при яких обидві нерівності системи звертаються до вірних числових нерівностей. Ця система - приклад системи лінійних нерівностей з одним невідомим.
Рішенням системи нерівностей з одним невідомим називається значення невідомого, у якому всі нерівності системи звертаються у вірні числові нерівності. Вирішити систему нерівностей - це означає знайти всі рішення цієї системи або встановити, що їх немає.
Нерівності \(x \geq -2 \) та \(x \leq 3 \) можна записати у вигляді подвійної нерівності: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Рішеннями систем нерівностей з одним невідомим є різні числові множини. Ці множини мають назви. Так, на числовій осі безліч чисел х, таких, що (-2 \ leq x \ leq 3 \), зображується відрізком з кінцями в точках -2 і 3.
| -2 | 3 |
Якщо (а відрізком і позначається [а; b]
Якщо \(a інтервалом і позначається (а; b)
Безліч чисел \(x \), що задовольняють нерівностям \(a \leq x напівінтервалами і позначаються відповідно [а; b) та (а; b)
Відрізки, інтервали, напівінтервали та промені називають числовими проміжками.
Таким чином, числові проміжкиможна ставити як нерівностей.
Розв'язанням нерівності з двома невідомими називається пара чисел (х; у), що звертає цю нерівність у вірну числову нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти безліч його рішень. Так, рішеннями нерівності х > у будуть, наприклад, пари чисел (5; 3), (-1; -1), оскільки \(5 \geq 3 \) і \(-1 \geq -1\)
Вирішення систем нерівностей
Вирішувати лінійні нерівності з одним невідомим ви вже навчилися. Знаєте, що таке система нерівностей та розв'язання системи. Тому процес розв'язання систем нерівностей з однією невідомою не викликає у вас труднощів.
І все ж таки нагадаємо: щоб вирішити систему нерівностей, потрібно вирішити кожну нерівність окремо, а потім знайти перетин цих рішень.
Наприклад, вихідна система нерівностей була приведена до вигляду:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
Щоб вирішити цю систему нерівностей, відзначимо розв'язання кожної нерівності на числовій осі та знайдемо їх перетин:
| -2 | 3 |
Перетином є відрізок [-2; 3] - це рішення вихідної системи нерівностей.
ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА НЕРІВНОСТІ I
§ 23 Системи лінійних нерівностей
Системою лінійних нерівностей називається будь-яка сукупність двох або більше лінійних нерівностей, що містять одну й ту саму невідому величину.
Прикладами таких систем можуть бути:
Вирішити систему нерівностей - це означає знайти всі значення невідомої величини, за яких виконується кожна нерівність системи.
Вирішимо наведені вище системи.
Розташуємо одну під іншою дві числові прямі (рис. 31); на верхній відзначимо ті значення х , при яких виконується перша нерівність ( х > 1), але в нижньої-те значення х , при яких виконується друга нерівність ( х > 4).
Порівнюючи результати на числових прямих, зауважуємо, що обидві нерівності одночасно будуть задовольнятися при х > 4. Відповідь, х > 4.
Перша нерівність дає -3 х < -б, или х > 2, а друге - х > -8, або х < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения х , При яких виконується перша нерівність системи, а на другій числової прямої, розташованої під першою, всі ті значення х , При яких виконується друга нерівність системи (рис. 32).
Порівняння цих двох результатів показує, що обидві нерівності одночасно виконуватимуться при всіх значеннях х , ув'язнених від 2 до 8. Безліч таких значень х записується у вигляді подвійної нерівності 2< х < 8.
Приклад 3. Розв'язати систему нерівностей
Перша нерівність системи дає 5 х < 10, или х < 2, второе х > 4. Таким чином, будь-яке число, що задовольняє обидві нерівності одночасно, має бути не більше 2 і більше 4 (рис. 33).
Але таких чисел немає. Тому дана система нерівностей не виконується за жодних значень. х . Подібні системи нерівностей називаються несумісними.
Вправи
Вирішити дані системи нерівностей (№ 179-184):
Вирішити нерівності (№ 185, 186):
185. (2х + 3) (2 - 2х ) > 0. 186. (2 - π ) (2х - 15) (х + 4) > 0.
Знайти допустимі значення літер, що входять до даних рівності (№ 187, 188):
Вирішити нерівності (№ 189, 190):
189. 1 < 2х - 5 < 2. 190. -2 < 1 - ах < 5.
191. Якою має бути температура 10 л води, щоб при змішуванні її з 6 л води при температурі 15° одержати воду з температурою не менше 30° і не більше 40°?
192. Одна сторона трикутника дорівнює 4 см, а сума двох інших 10 см. Знайти ці сторони, якщо вони виражаються цілими числами.
193. Відомо, що система двох лінійних нерівностей не задовольняється за жодних значень невідомої величини. Чи можна сказати, що окремі нерівності цієї системи не виконуються за жодних значень невідомої величини?
Визначення 1 . Сукупність точок простору R n , координати яких задовольняють рівняння а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ a n x n = b, називається ( n - 1 )-мірною гіперплощиною в n-мірному просторі.
Теорема 1. Гіперплощина поділяє весь простір на два напівпростори. Напівпростір є опуклим безліччю.
Перетин кінцевого числа напівпросторів є опуклим безліччю.
Теорема 2 . Рішенням лінійної нерівності з nневідомими
а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ a n x n b
є одне з напівпросторів, на які весь простір ділить гіперплощину
а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+a n x n = b.
Розглянемо систему з mлінійних нерівностей з nневідомими.
Рішенням кожної нерівності системи є деякий напівпростір. Рішенням системи буде перетин всіх напівпросторів. Це безліч буде замкненим і опуклим.
Вирішення систем лінійних нерівностей
з двома змінними
Нехай дана система з mлінійних нерівностей із двома змінними.
Рішенням кожної нерівності буде одна з напівплощин, на які всю площину розбиває відповідна пряма. Рішенням системи буде перетин цих напівплощин. Ця задача може бути вирішена графічно на площині Х 1 0 Х 2 .
37. Подання опуклого багатогранника
Визначення 1. Замкнене опуклийобмежена безліч у R n , що має кінцеве число кутових точок, називається опуклим n-мірним багатогранником.
Визначення 2 . Замкнене опукле необмежену множину в R n , що має кінцеве число кутових точок, називається опуклою багатогранною областю.
Визначення 3 . Безліч АR n називається обмеженим, якщо знайдеться n-мірна куля, що містить це безліч.
Визначення 4. Випуклою лінійною комбінацією точок називається вираз, де t i , .
Теорема (Теорема про подання опуклого багатогранника).Будь-яку точку опуклого багатогранника можна подати у вигляді опуклої лінійної комбінації його кутових точок.
38. Область допустимих розв'язків системи рівнянь та нерівностей.
Нехай дана система з mлінійних рівнянь та нерівностей з nневідомими.
Визначення 1 . Крапка R n називається можливим рішенням системи, якщо її координати задовольняють рівнянь та нерівностей системи. Сукупність усіх можливих рішеньназивається областю можливих рішень (ОВР) системи.
Визначення 2. Можливе рішення, координати якого є невід'ємними, називається допустимим рішенням системи. Багато всіх допустимих рішень називається областю допустимих рішень (ОДР) системи.
Теорема 1 . ОДР є замкнутим, опуклим, обмеженим (або необмеженим) підмножиною R n.
Теорема 2. Допустиме рішення системи є опорним тоді і лише тоді, коли ця точка є кутовою точкою ОДР.
Теорема 3 (Теорема про подання ОДР).Якщо ОДР - обмежена безліч, то будь-яке допустиме рішення можна подати у вигляді опуклої лінійної комбінації кутових точок ОДР (у вигляді опуклої лінійної комбінації опорних рішень системи).
Теорема 4 (Теорема про існування опорного рішення системи). Якщо система має хоча одне допустиме рішення (ОДР), то серед допустимих рішень існує хоча одне опорне рішення.
