V každej kapitole budú úlohy na samostatné riešenie, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Pojem určitého integrálu a Newton-Leibnizov vzorec

určitý integrál z nepretržitej funkcie f(X) na konečnom intervale [ a, b] (kde ) je prírastok niektorých jeho priradených derivátov v tomto segmente. (Vo všeobecnosti bude porozumenie výrazne jednoduchšie, ak si zopakujete tému neurčitého integrálu) V tomto prípade je zápis

Ako je možné vidieť na grafoch nižšie (prírastok priraďovacej funkcie je označený ), Určitý integrál môže byť kladný alebo záporný.(Vypočíta sa ako rozdiel medzi hodnotou priradenej látky v hornej hranici a jej hodnotou v dolnej hranici, t.j. ako F(b) - F(a)).

čísla a a b sa nazývajú dolná a horná hranica integrácie a interval [ a, b] je segment integrácie.

Teda ak F(X) je nejaká priraďovacia funkcia pre f(X), potom podľa definície

(38)

Rovnosť (38) sa nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec . Rozdiel F(b) – F(a) sa stručne píše takto:

Preto bude Newtonov-Leibnizov vzorec napísaný takto:

(39)

Dokážme, že určitý integrál nezávisí od toho, ktorá primitívna derivácia integrandu sa použije pri jeho výpočte. Nechaj F(X) a F( X) sú ľubovoľné primitívne deriváty integrandu. Keďže ide o primitívne deriváty tej istej funkcie, líšia sa konštantným členom: Ф( X) = F(X) + C. Preto

Zistilo sa teda, že na segmente [ a, b] prírastky všetkých primitívnych prvkov funkcie f(X) zápas.

Na výpočet určitého integrálu je teda potrebné nájsť akúkoľvek primitívnu deriváciu integrandu, t.j. Najprv musíte nájsť neurčitý integrál. Neustále OD vylúčené z následných výpočtov. Potom sa použije Newtonov-Leibnizov vzorec: hodnota hornej hranice sa dosadí do primitívnej funkcie b , ďalej - hodnota dolnej hranice a a vypočítajte rozdiel F(b) – F(a) . Výsledné číslo bude určitým integrálom..

O a = b akceptované podľa definície

Príklad 1

Riešenie. Najprv nájdime neurčitý integrál:

Aplikácia Newtonovho-Leibnizovho vzorca na primitívny derivát

(at OD= 0), dostaneme

Pri výpočte určitého integrálu je však lepšie nehľadať primitívnu deriváciu samostatne, ale integrál hneď zapísať do tvaru (39).

Príklad 2 Vypočítajte určitý integrál

Riešenie. Pomocou vzorca

Nájdite si určitý integrál a potom si pozrite riešenie

Vlastnosti určitého integrálu

Veta 2.Hodnota určitého integrálu nezávisí od označenia integračnej premennej, t.j.

(40)

Nechaj F(X) je primitívne pre f(X). Pre f(t) primitívna funkcia má rovnakú funkciu F(t), v ktorom je nezávislá premenná označená inak. v dôsledku toho

Na základe vzorca (39) posledná rovnosť znamená rovnosť integrálov

Veta 3.Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka určitého integrálu, t.j.

(41)

Veta 4.Určitý integrál algebraického súčtu konečného počtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu určitých integrálov týchto funkcií, t.j.

(42)

Veta 5.Ak je integračný segment rozdelený na časti, potom sa určitý integrál v celom segmente rovná súčtu určitých integrálov v jeho častiach., t.j. ak

(43)

Veta 6.Pri prestavovaní hraníc integrácie sa nemení absolútna hodnota určitého integrálu, ale mení sa len jeho znamienko, t.j.

(44)

Veta 7(teorém o strednej hodnote). Určitý integrál sa rovná súčinu dĺžky integračného segmentu a hodnoty integrandu v určitom bode v ňom, t.j.

(45)

Veta 8.Ak je horná hranica integrácie väčšia ako dolná a integrand je nezáporný (kladný), potom je aj určitý integrál nezáporný (kladný), t.j. ak

Veta 9.Ak je horná hranica integrácie väčšia ako dolná hranica a funkcie a sú spojité, potom nerovnosť

môžu byť integrované termín po termíne, t.j.

(46)

Vlastnosti určitého integrálu nám umožňujú zjednodušiť priamy výpočet integrálov.

Príklad 5 Vypočítajte určitý integrál

Pomocou viet 4 a 3 a pri hľadaní primitívnych prvkov - tabuľkových integrálov (7) a (6) dostaneme

Určitý integrál s premennou hornou hranicou

Nechaj f(X) je súvislý na segmente [ a, b] funkcie a F(X) je jeho prototyp. Zvážte určitý integrál

(47)

a cez t integračná premenná sa označuje, aby nedošlo k zámene s hornou hranicou. Keď sa to zmení X mení sa aj určitý integrál (47), t.j. je funkciou hornej hranice integrácie X, ktoré označujeme F(X), t.j.

(48)

Dokážme, že funkcia F(X) je primitívne pre f(X) = f(t). Naozaj, rozlišovanie F(X), dostaneme

pretože F(X) je primitívne pre f(X), a F(a) je konštantná hodnota.

Funkcia F(X) je jednou z nekonečnej množiny primitívnych derivátov pre f(X), a to ten, ktorý X = a ide na nulu. Toto tvrdenie získame, ak do rovnosti (48) dáme X = a a použite vetu 1 z predchádzajúcej časti.

Výpočet určitých integrálov metódou integrácie po častiach a metódou zmeny premennej

kde podľa definície F(X) je primitívne pre f(X). Ak v integrande vykonáme zmenu premennej

potom v súlade so vzorcom (16) môžeme písať

V tomto výraze

priraďovacia funkcia pre

Vskutku, jeho derivát, podľa pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie, rovná sa

Nech α a β sú hodnoty premennej t, pre ktorú funkciu

preberá príslušné hodnoty a a b, t.j.

Ale podľa vzorca Newton-Leibniz je rozdiel F(b) – F(a) existuje

Riešenie integrálov je ľahká úloha, ale len pre elitu. Tento článok je pre tých, ktorí sa chcú naučiť chápať integrály, ale vedia o nich málo alebo vôbec nič. Integrálna... Prečo je to potrebné? Ako to vypočítať? Čo sú to určité a neurčité integrály?

Ak jediné využitie integrálu, ktoré poznáte, je získať niečo užitočné z ťažko dostupných miest pomocou háčika v tvare integrálnej ikony, potom vitajte! Naučte sa riešiť jednoduché a iné integrály a prečo sa bez toho v matematike nezaobídete.

Študujeme koncept « integrálne »

Integrácia bola známa už v starovekom Egypte. Samozrejme, nie v modernej podobe, ale predsa. Odvtedy matematici napísali na túto tému veľké množstvo kníh. Zvlášť odlíšené Newton a Leibniz ale podstata veci sa nezmenila.

Ako pochopiť integrály od začiatku? V žiadnom prípade! Na pochopenie tejto témy budete stále potrebovať základné znalosti základov matematickej analýzy. Informácie o limitách a deriváciách, ktoré sú potrebné aj na pochopenie integrálov, sú už v našom blogu.

Neurčitý integrál

Dajme si nejakú funkciu f(x) .

Neurčitý integrál funkcie f(x) takáto funkcia sa nazýva F(x) , ktorého derivácia sa rovná funkcii f(x) .

Inými slovami, integrál je reverzná derivácia alebo primitívna derivácia. Mimochodom, prečítajte si náš článok o tom, ako vypočítať deriváty.

Pre všetky spojité funkcie existuje primitívna derivácia. K primitívnej derivácii sa často pridáva aj konštantné znamienko, pretože deriváty funkcií, ktoré sa líšia konštantou, sa zhodujú. Proces hľadania integrálu sa nazýva integrácia.

Jednoduchý príklad:

Aby sme neustále nepočítali primitívne derivácie elementárnych funkcií, je vhodné ich preniesť do tabuľky a použiť hotové hodnoty.

Kompletná tabuľka integrálov pre študentov

Určitý integrál

Keď sa zaoberáme pojmom integrál, máme do činenia s nekonečne malými veličinami. Integrál pomôže vypočítať plochu postavy, hmotnosť nehomogénneho telesa, dráhu prejdenú pri nerovnomernom pohybe a oveľa viac. Malo by sa pamätať na to, že integrál je súčtom nekonečne veľkého počtu nekonečne malých členov.

Ako príklad si predstavte graf nejakej funkcie.

Ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú grafom funkcie? S pomocou integrálu! Rozložme krivočiary lichobežník, ohraničený súradnicovými osami a grafom funkcie, na nekonečne malé segmenty. Obrázok bude teda rozdelený do tenkých stĺpcov. Súčet plôch stĺpcov bude plocha lichobežníka. Pamätajte však, že takýto výpočet poskytne približný výsledok. Čím sú však segmenty menšie a užšie, tým presnejší bude výpočet. Ak ich znížime do takej miery, že dĺžka bude mať tendenciu k nule, potom súčet plôch segmentov bude mať tendenciu k ploche obrázku. Toto je určitý integrál, ktorý je napísaný takto:

Body a a b sa nazývajú hranice integrácie.

« Integrálne »

Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10 %. akýkoľvek druh práce

Pravidlá pre výpočet integrálov pre figuríny

Vlastnosti neurčitého integrálu

Ako vyriešiť neurčitý integrál? Tu zvážime vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré budú užitočné pri riešení príkladov.

• Derivácia integrálu sa rovná integrandu:

• Konštantu je možné vybrať pod znakom integrálu:

• Integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov. Platí to aj pre rozdiel:

Vlastnosti určitého integrálu

• Linearita:

• Znamienko integrálu sa zmení, ak sa obrátia hranice integrácie:

• O akýkoľvek bodov a, b a s:

Už sme zistili, že určitý integrál je limita súčtu. Ako však získať konkrétnu hodnotu pri riešení príkladu? Na tento účel existuje Newtonov-Leibnizov vzorec:

Príklady riešenia integrálov

Nižšie uvažujeme o neurčitom integráli a príkladoch s riešeniami. Ponúkame nezávislé pochopenie zložitosti riešenia, a ak niečo nie je jasné, položte otázky v komentároch.

Na upevnenie materiálu si pozrite video o tom, ako sa integrály riešia v praxi. Nezúfajte, ak sa integrál neuvedie okamžite. Obráťte sa na profesionálny študentský servis a akýkoľvek trojitý alebo krivočiary integrál na uzavretom povrchu bude vo vašich silách.

>> >> >> Integračné metódy

Základné metódy integrácie

Definícia integrálu, určitý a neurčitý, tabuľka integrálov, Newton-Leibnizov vzorec, integrácia po častiach, príklady na výpočet integrálov.

Neurčitý integrál

Nech u = f(x) av = g(x) sú funkcie so spojitým . Potom, podľa prác,

d(uv))= udv + vdu alebo udv = d(uv) - vdu.

Pre výraz d(uv) bude priradená očividne uv, takže vzorec platí:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Tento vzorec vyjadruje pravidlo integrácia po častiach. Prináša integráciu výrazu udv=uv"dx do integrácie výrazu vdu=vu"dx.

Nech je napríklad potrebné nájsť ∫xcosx dx. Nech u = x, dv = cosxdx, teda du=dx, v=sinx. Potom

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravidlo integrácie po častiach má obmedzenejší rozsah ako zmena premennej. Existujú však celé triedy integrálov, napríklad ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax a ďalšie, ktoré sa počítajú pomocou integrácie po častiach.

Určitý integrál

Integračné metódy, pojem určitého integrálu je zavedený nasledovne. Nech je funkcia f(x) definovaná na intervale. Rozdeľme segment [ a,b] na n častí bodmi a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Súčet tvaru f(ξ i)Δ x i sa nazýva integrálny súčet a jeho limita pri λ = maxΔx i → 0, ak existuje a je konečná, sa nazýva určitý integrál funkcie f(x) od a do b a označuje sa:

F(ξi)Axi (8,5).

Funkcia f(x) sa v tomto prípade volá integrovateľné do segmentu, volajú sa čísla a a b dolná a horná hranica integrálu.

Integračné metódy majú nasledujúce vlastnosti:

Posledná vlastnosť je tzv teorém o strednej hodnote.

Nech f(x) je spojité na . Potom na tomto segmente existuje neurčitý integrál

∫f(x)dx = F(x) + C

a koná sa Newtonov-Leibnizov vzorec, ktorý spája určitý integrál s neurčitým:

F(b) - F(a). (8,6)

Geometrická interpretácia: predstavuje oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného zhora krivkou y=f(x), priamkami x = a a x = b a segmentom osi Ox.

Nesprávne integrály

Integrály s nekonečnými limitami a integrály nespojitých (neohraničených) funkcií sa nazývajú nevlastné. Nesprávne integrály prvého druhu - toto sú integrály v nekonečnom intervale, definované takto:

(8.7)

Ak táto limita existuje a je konečná, potom sa nazýva konvergentný nevlastný integrál f(x) na intervale [а,+ ∞ a funkcia f(x) sa nazýva integrovateľná na nekonečnom intervale [а,+ ∞ ). V opačnom prípade sa hovorí, že integrál neexistuje alebo diverguje.

Nevlastné integrály na intervaloch (-∞,b] a (-∞, + ∞) sú definované podobne:

Definujme pojem integrálu neobmedzenej funkcie. Ak je f(x) spojité pre všetky hodnoty x segmentu okrem c, kde f(x) má nekonečnú diskontinuitu, potom nevlastný integrál druhého druhu f(x) v rozsahu od a do b nazývaná suma:

ak tieto limity existujú a sú konečné. Označenie:

Príklady výpočtu integrálov

Príklad 3.30. Vypočítajte ∫dx/(x+2).

Riešenie. Označme t = x+2, potom dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Príklad 3.31. Nájdite ∫ tgxdx.

Riešenie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Nech t=cosx, potom ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Príklad3.32 . Nájdite ∫dx/sinx

Príklad3.33. Nájsť .

Riešenie. =

.

Príklad3.34 . Nájdite ∫arctgxdx.

Riešenie. Integrujeme po častiach. Označte u=arctgx, dv=dx. Potom du = dx/(x 2 +1), v=x, odkiaľ ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; pretože
∫xdx/(x2+1) = 1/2 ∫d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1) +C.

Príklad3.35 . Vypočítajte ∫lnxdx.

Riešenie. Použitím vzorca integrácie po častiach dostaneme:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Potom ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

Príklad3.36 . Vypočítajte ∫e x sinxdx.

Riešenie. Aplikujeme vzorec na integráciu po častiach. Označme u = e x, dv = sinxdx, potom du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx je tiež integrovateľné po častiach: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Máme:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dostali sme vzťah ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odkiaľ 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Príklad 3.37. Vypočítajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

Riešenie: Keďže dx/x = dlnx, potom J= ∫cos(lnx)d(lnx). Nahradením lnx cez t sa dostaneme k tabuľkovému integrálu J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Príklad 3.38 . Vypočítajte J =.

Riešenie. Berúc do úvahy, že = d(lnx), vykonáme substitúciu lnx = t. Potom J = .

Príklad 3.39 . Vypočítajte J = .

Riešenie. Máme: . Preto =

Na čo sú integrály? Skúste si na túto otázku odpovedať sami.

Pri vysvetľovaní témy integrálov učitelia uvádzajú oblasti použitia, ktoré sú pre školy málo užitočné. Medzi nimi:

• výpočet plochy postavy.
• výpočet telesnej hmotnosti s nerovnomernou hustotou.
• určenie prejdenej vzdialenosti pri pohybe premenlivou rýchlosťou.
• atď.

Nie vždy je možné všetky tieto procesy prepojiť, takže mnohí študenti sú zmätení, aj keď majú všetky základné vedomosti na pochopenie integrálu.

Hlavný dôvod nevedomosti– nepochopenie praktického významu integrálov.

Integrál - čo to je?

Predpoklady. Potreba integrácie vznikla v starovekom Grécku. V tom čase začal Archimedes na nájdenie oblasti kruhu používať metódy v podstate podobné modernému integrálnemu počtu. Hlavným prístupom k určovaniu oblasti nerovnomerných čísel bola „metóda vyčerpania“, ktorá je celkom ľahko pochopiteľná.

Podstata metódy. Do tohto obrázku je vpísaná monotónna postupnosť ďalších útvarov a potom je vypočítaná hranica postupnosti ich plôch. Tento limit bol braný ako plocha daného čísla.

V tejto metóde sa dá ľahko vysledovať myšlienka integrálneho počtu, ktorým je nájsť limit nekonečného súčtu. Neskôr túto myšlienku aplikovali vedci na riešenie aplikované úlohy astronautika, ekonómia, mechanika atď.

Moderný integrál. Klasickú teóriu integrácie vo všeobecnosti sformulovali Newton a Leibniz. Opieralo sa o vtedy existujúce zákony diferenciálneho počtu. Aby ste to pochopili, musíte mať nejaké základné znalosti, ktoré vám pomôžu opísať vizuálne a intuitívne predstavy o integráloch v matematickom jazyku.

Vysvetlite pojem „integrálny“

Proces hľadania derivátu je tzv diferenciácia a nájdenie primitívneho derivátu - integrácia.

Integrálne matematický jazyk je primitívna derivácia funkcie (čo bolo pred deriváciou) + konštanta „C“.

Integrálne jednoduchými slovami je oblasť zakrivenej postavy. Neurčitý integrál je celá plocha. Určitý integrál je plocha v danej oblasti.

Integrál je napísaný takto:

Každý integrand je vynásobený komponentom "dx". Ukazuje, ktorá premenná sa integruje. "dx" je prírastok argumentu. Namiesto X môže byť akýkoľvek iný argument, napríklad t (čas).

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál nemá hranice integrácie.

Na riešenie neurčitých integrálov stačí nájsť primitívnu deriváciu integrandu a pridať k nej „C“.

Určitý integrál

V určitom integráli sú obmedzenia "a" a "b" napísané na integračnom znaku. Sú vyznačené na osi x v nižšie uvedenom grafe.

Ak chcete vypočítať určitý integrál, musíte nájsť primitívny prvok, nahradiť do neho hodnoty „a“ ​​a „b“ a nájsť rozdiel. V matematike sa tomu hovorí Newtonov-Leibnizov vzorec:

Tabuľka integrálov pre študentov (základné vzorce)

Stiahnite si vzorce integrálov, stále sa vám budú hodiť

Ako správne vypočítať integrál

Existuje niekoľko jednoduchých operácií na transformáciu integrálov. Tu sú tie hlavné:

Odstránenie konštanty spod znamienka integrálu

Rozklad súčtu integrálu na súčet integrálov

Ak vymeníte a a b, znamienko sa zmení

Integrál môžete rozdeliť na intervaly nasledovne

Toto sú najjednoduchšie vlastnosti, na základe ktorých sa neskôr formulujú zložitejšie vety a metódy počtu.

Príklady výpočtu integrálov

Riešenie neurčitého integrálu

Riešenie určitého integrálu

Základné pojmy pre pochopenie témy

Aby ste pochopili podstatu integrácie a nezatvárali stránku pred nedorozumením, vysvetlíme si niekoľko základných pojmov. Čo je funkcia, derivácia, limita a primitívna derivácia.

Funkcia- pravidlo, podľa ktorého všetky prvky z jednej množiny korelujú so všetkými prvkami z inej množiny.

Derivát je funkcia, ktorá popisuje rýchlosť zmeny inej funkcie v každom konkrétnom bode. Presne povedané, toto je hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu. Počíta sa ručne, ale jednoduchšie je použiť tabuľku derivátov, ktorá obsahuje väčšinu štandardných funkcií.

Prírastok- kvantitatívna zmena funkcie s určitou zmenou argumentu.

Limit- hodnota, ku ktorej smeruje hodnota funkcie, keď argument smeruje k určitej hodnote.

Príklad limity: povedzme, že pre X rovné 1 sa Y bude rovnať 2. Čo ak sa však X nerovná 1, ale smeruje k 1, to znamená, že ju nikdy nedosiahne? V tomto prípade y nikdy nedosiahne 2, ale bude smerovať iba k tejto hodnote. V matematickom jazyku sa to píše takto: limY (X), pričom X –> 1 = 2. Číta sa: limita funkcie Y (X), pričom x smeruje k 1, je 2.

Ako už bolo spomenuté, derivácia je funkcia, ktorá popisuje inú funkciu. Pôvodná funkcia môže byť odvodená z nejakej inej funkcie. Táto ďalšia funkcia sa nazýva primitívny.

Záver

Nie je ťažké nájsť integrály. Ak nerozumiete, ako na to, . Od druhého razu je to už jasnejšie. Pamätajte! Riešenie integrálov je redukované na jednoduché transformácie integrandu a jeho hľadanie v .

Ak vám textové vysvetlenie nefunguje, pozrite si video o význame integrálu a derivácie:

Integrály - čo to je, ako to riešiť, príklady riešení a vysvetlenie pre figuríny aktualizované: 22. novembra 2019 používateľom: Vedecké články.Ru