Ešte hlbšie štúdium problematiky nás privedie k takému pojmu, akým je zakrivenie priestoru. Bez toho, aby sme zachádzali do detailov, venujeme pozornosť len skutočnosti, že povrch môže byť v každom bode zakrivený dvoma kvalitatívne odlišnými spôsobmi. V jednom prípade povrch pripomína časť elipsoidu a zakrivenie sa považuje za kladné. V inom prípade povrch vyzerá ako sedlo a jeho zakrivenie je negatívne. Pseudosféra, ako je vidieť na jej obrázku (a teda aj Lobačevského rovina), má negatívne zakrivenie a ukazuje sa, že toto zakrivenie je konštantné (nezávisí od bodu na povrchu). To, mimochodom, objasňuje pôvod názvu "pseudosféra": obyčajná guľa je povrch s konštantným pozitívnym zakrivením.

Lobačevského geometria, vytvorená v 19. storočí, bola najdôležitejším krokom k vytvoreniu oblasti matematiky, ktorá sa dnes nazýva diferenciálna geometria. Zaoberá sa štúdiom ľubovoľne zakrivených priestorov a jeho matematický aparát je základom takej dôležitej oblasti modernej fyziky, akou je všeobecná teória relativity (GR). Faktom je, že podľa všeobecnej teórie relativity má časopriestor, v ktorom žijeme, zakrivenie a zakrivenie priestoru zodpovedá prítomnosti gravitačného poľa v tomto bode priestoru.

Všeobecná relativita prešla početnými experimentálnymi kontrolami (pozri: Storočnica všeobecnej relativity alebo výročie prvej novembrovej revolúcie, „Elementy“, 25. 11. 2015) a korekcie s tým spojené musia byť brané do úvahy pre presné satelity navigácia. Okrem toho popisuje fyziku masívnych objektov, ako sú bežné a neutrónové hviezdy, supernovy a čierne diery (zoznam pokračuje). Nakoniec je základom všeobecná relativita moderná veda o vesmíre - kozmológia.

Podľa zdravého rozumu, ako aj všetkých dostupných pozorovacích údajov, je vesmír vo veľkých mierkach homogénny a izotropný. V každom prípade to znamená, že ide o priestor neustáleho priestorového zakrivenia. V tomto ohľade sa od prvých rokov kozmológie zvažovali tri možnosti: plochý vesmír, vesmír pozitívneho zakrivenia („sférický vesmír“) a vesmír negatívneho zakrivenia („vesmír Lobačevského“). V súčasnosti sa však verí, že zakrivenie vesmíru je nulové (v medziach modernej presnosti merania). Toto nachádza vysvetlenie v modernej teórii inflácie. Podľa nich vesmír v počiatočnom štádiu svojho vývoja zaznamenal veľmi rýchlu expanziu a v dôsledku toho sa mnohonásobne zväčšil (toto sa nazýva inflácia). Je celkom možné, že pred infláciou bol vesmír sférický, „vesmír Lobačevského“ alebo mal nejakú inú zložitú geometriu. Rozšírenie však viedlo k tomu, že teraz je na pozorovania prístupná len veľmi malá časť celého vesmíru a jeho geometria by mala byť na nerozoznanie od plochej.

žiadne. Podľa definície rovnobežné čiary nemajú žiadne priesečníky.

Teraz poďme ku geometrii a omylom. Všade sa budú brať do úvahy „lietadlá“, nech už to znamená čokoľvek.

Geometria Euklida. Čo sa učilo v škole, čo je známejšie a takmer presne vykonávané v každodennom živote. Vyzdvihnem tieto dve skutočnosti, ktoré budú dôležité neskôr. Po prvé: v tejto geometrii je vzdialenosť, medzi ľubovoľnými dvoma bodmi je najkratšia čiara a navyše iba jedna (úsečka). Po druhé: cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno nakresliť priamku rovnobežnú s danou priamkou a navyše iba jednu.

To zodpovedá niektorým párom axióm z Pogorelovovej učebnice, takže bude pre mňa pohodlnejšie spoliehať sa na toto.

Geometria Lobačevského. So vzdialenosťou je všetko v poriadku, ale je pre nás ťažké si to predstaviť kvôli neustálemu negatívnemu zakriveniu (nerozumeli sme - nie je to strašidelné). Paralelizmus je zložitejší. Cez bod mimo čiary je vždy možné nakresliť nielen jednu, ale nekonečne veľa rovnobežných čiar.

sférická geometria. Po prvé, čo považujeme za "priame". Priame čiary na guli - veľké kružnice = kružnice vyryté na guli rovinou prechádzajúcou stredom = kružnice s polomerom rovnajúcim sa polomeru gule. Ide o priame čiary v tom zmysle, že ide o najkratšiu cestu medzi nie veľmi vzdialenými (neskôr sa ukáže akými) bodmi. Niektorí si možno všimli, že ak sú mestá na rovnakej rovnobežke, tak lietadlo neletí po tejto rovnobežke, ale po trajektórii konvexnej smerom na sever na severnej pologuli. Ak kreslíte, všimnete si, že veľký kruh spájajúci dva body prebieha severne od rovnobežky.

Prečo je vzdialenosť na guli zlá? Zoberme si diametrálne opačné body na gule, pre ktoré existuje nekonečne veľa najkratších ciest. Jasnejšie: pozriem sa na sever a Južný pól. Prechádzajú nimi všetky meriliány, všetky majú rovnakú dĺžku, akákoľvek iná cesta bude dlhšia.

Neexistujú vôbec žiadne rovnobežné čiary, akékoľvek dve čiary sa pretínajú v diametrálne opačných bodoch.

projektívna rovina. Najdôležitejší a prvý rozdiel: neexistuje žiadna vzdialenosť a nemôže byť. V zásade ho nemožno zaviesť tak, aby vyhovoval nejakým prírodným podmienkam (zachováva sa pri „pohyboch“ lietadla). Geometria sama o sebe teda nevie o žiadnych „nekonečne vzdialených líniách“, toto všetko vymýšľajú ľudia, aby projektívnu rovinu nejako pochopili. „Najjednoduchší“ spôsob: predstavte si známu rovinu (tzv. „afinnú mapu“) a pridajte k nej priamku, ktorá je „nekonečne vzdialená“, a všetky priamky, ktoré boli rovnobežné s danou rovinou v rovine, ktorá bola prezentované sa budú pretínať v jednom bode na tejto priamke v nekonečne. Takýto popis je celkom jednoduchý: niečo som napísal v dvoch vetách a niekto už niečo prezentoval. Ale je to zavádzajúce, v projektívnej geometrii neexistuje žiadna rozlišovacia čiara. Ale tento popis už ukazuje, že paralelné čiary

Sme zvyknutí si myslieť, že geometria pozorovaného sveta je euklidovská, t.j. spĺňa zákony geometrie, ktorá sa študuje v škole. V skutočnosti to nie je pravda. V tomto článku sa budeme zaoberať skutočnými prejavmi Lobačevského geometrie, ktorá je na prvý pohľad čisto abstraktná.

Lobačevského geometria sa od bežnej euklidovskej líši tým, že v nej bodom neležiacim na danej priamke prechádzajú aspoň dve priamky, ktoré ležia s danou priamkou v rovnakej rovine a nepretínajú ju. Nazýva sa aj hyperbolická geometria.

1. Euklidovská geometria - bielym bodom prechádza iba jedna čiara, ktorá nepretína žltú čiaru
2. Riemannova geometria - ľubovoľné dve priamky sa pretínajú (nie sú tam rovnobežky)
3. Lobačevského geometria - existuje nekonečne veľa priamych čiar, ktoré nepretínajú žltú čiaru a prechádzajú cez biely bod

Aby si to čitateľ mohol predstaviť, stručne popíšme model Klein. V tomto modeli je Lobačevského rovina realizovaná ako vnútro kružnice s polomerom 1, kde body roviny sú bodmi tejto kružnice a čiary sú tetivy. Tetiva je priamka spájajúca dva body na kružnici. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je ťažké určiť, ale nepotrebujeme to. Z vyššie uvedeného obrázku je zrejmé, že cez bod P prechádza nekonečne veľa priamok, ktoré nepretínajú priamku a. V štandardnej euklidovskej geometrii existuje iba jedna priamka prechádzajúca bodom P a nepretínajúca priamku a. Táto čiara je rovnobežná.

Teraz prejdime k tomu hlavnému – praktickým aplikáciám Lobačevského geometrie.

Satelitné navigačné systémy (GPS a GLONASS) sa skladajú z dvoch častí: orbitálnej konštelácie 24-29 satelitov rovnomerne rozmiestnených okolo Zeme a riadiaceho segmentu na Zemi, ktorý zabezpečuje synchronizáciu času na satelitoch a využitie jedného súradnicového systému. Satelity majú veľmi presné atómové hodiny a prijímače (GPS-navigátory) majú obyčajné, kremenné hodiny. Prijímače majú tiež informácie o súradniciach všetkých satelitov v danom čase. Satelity v krátkych intervaloch vysielajú signál obsahujúci údaje o čase začiatku prenosu. Po prijatí signálu z najmenej štyroch satelitov môže prijímač upraviť svoje hodiny a vypočítať vzdialenosti k týmto satelitom pomocou vzorca ((čas, kedy bol signál vyslaný satelitom) - (čas, kedy bol signál prijatý zo satelitu)) x (rýchlosť svetla) = (vzdialenosť od satelitu). Vypočítané vzdialenosti sa tiež korigujú podľa vzorcov zabudovaných v prijímači. Ďalej prijímač nájde súradnice priesečníka gúľ so stredmi v satelitoch a polomermi rovnými vypočítaným vzdialenostiam k nim. Je zrejmé, že to budú súradnice prijímača.

Čitateľ určite pozná, že vzhľadom na pôsobenie v špeciálna teória relativity, vďaka vysokej rýchlosti satelitu je čas na obežnej dráhe odlišný od času na Zemi. Ale stále existuje podobný efekt vo Všeobecnej teórii relativity, spojený práve s neeuklidovskou geometriou časopriestoru. Opäť nebudeme zachádzať do matematických detailov, pretože sú skôr abstraktné. Ak však tieto vplyvy prestaneme brať do úvahy, v priebehu jedného dňa prevádzky sa v údajoch navigačného systému nahromadí chyba rádovo 10 km.

Geometrické vzorce Lobachevského sa používajú aj vo fyzike vysokých energií, konkrétne pri výpočtoch urýchľovačov nabitých častíc. Hyperbolické priestory (teda priestory, v ktorých fungujú zákony hyperbolickej geometrie) sa nachádzajú aj v samotnej prírode. Uveďme viac príkladov:

Geometriu Lobačevského možno vidieť v štruktúrach koralov, v organizácii bunkových štruktúr v rastline, v architektúre, v niektorých kvetoch atď. Mimochodom, ak si pamätáte, že v minulom čísle sme hovorili o šesťuholníkoch v prírode, a tak v hyperbolickej prírode sú alternatívou sedemuholníky, ktoré sú tiež rozšírené.

Hlasovalo Ďakujem!

Mohlo by vás zaujímať:

• 
  

Euklidovskú axiómu o paralelách (presnejšie jedno z jej ekvivalentných tvrdení v prítomnosti iných axióm) možno formulovať takto:

Lobačevského axióma je presnou negáciou Euklidovej axiómy (ak sú splnené všetky ostatné axiómy), keďže prípad, keď žiadna priamka neprechádza bodom, ktorý neleží na danej priamke, ktorá leží s danou priamkou v rovnakej rovine nepretína ju, je vylúčená na základe iných axióm (axióm absolútnej geometrie). Takže napríklad sférická geometria a geometria Riemann, v ktorých sa ľubovoľné dve priamky pretínajú, a preto neplatí ani Euklidova paralelná axióma, ani Lobačevského axióma, nie sú nezlučiteľné s absolútnou geometriou.

Lobačevského geometria má rozsiahle aplikácie v matematike aj fyzike. Jeho historický a filozofický význam spočíva v tom, že Lobačevskij svojou konštrukciou ukázal možnosť geometrie odlišnej od euklidovskej, ktorá znamenala Nová éra v rozvoji geometrie, matematiky a prírodných vied vôbec.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ #177. GEOMETRIA LOBACHEVSKÉHO (sovietsky filmový pás)

✪ Neeuklidovská geometria. Časť 1. Dejiny matematiky

✪ Neeuklidovské geometrie. Trochu o vede #Science

✪ Všeobecná relativita | hyperbolická geometria | 1 | ona je geometria Lobačevského

✪ Neeuklidovská geometria. Časť 2. Dejiny matematiky

titulky

História

Pokusy dokázať piaty postulát

Východiskovým bodom Lobačevského geometrie bol Euklidov postulát V, axióma ekvivalentná paralelnej axióme. Bola zaradená do zoznamu postulátov v Euklidových prvkoch. Relatívna zložitosť a neintuitívnosť jej formulácie vyvolala pocit jej sekundárnej povahy a podnietila pokusy odvodiť ju ako teorém zo zvyšku Euklidových postulátov.

Medzi mnohými, ktorí sa pokúsili dokázať piaty postulát, boli najmä nasledujúci významní vedci.

• Starovekí grécki matematici Ptolemaios (II. storočie) a Proclus (V. storočie) (založené na predpoklade konečnej vzdialenosti medzi dvoma rovnobežnými).
• Ibn al-Khaytham z Iraku (koniec - začiatok storočia) (založené na predpoklade, že koniec pohybu kolmo na priamku opisuje priamku).
• Iránski matematici Omar Khayyam (2. polovica - začiatok 12. storočia) a Nasir ad-Din at-Tusi (13. storočie) (založené na predpoklade, že dve zbiehajúce sa línie sa nemôžu ďalej rozchádzať bez toho, aby sa prekrížili).
• Prvý nám známy pokus v Európe dokázať Euklidovu axiómu paralelizmu navrhol Gersonides (alias Levi ben Gershom, 14. storočie), ktorý žil v Provensálsku (Francúzsko). Jeho dôkaz sa opieral o tvrdenie, že obdĺžnik existuje.
• Nemecký matematik Clavius ​​​​().
• talianski matematici
  • Cataldi (prvýkrát v roku 1603 publikoval prácu úplne venovanú otázke paralel).
  • Borelli (), J. Vitale ().
• Anglický matematik Wallis (publikovaný v r) (založený na predpoklade, že pre každý údaj existuje číslo podobné, ale nie rovnaké).
• Francúzsky matematik Legendre () (založený na predpoklade, že cez každý bod vnútri ostrý uhol môžete nakresliť čiaru, ktorá pretína obe strany uhla; mal aj iné pokusy o dôkaz).

V týchto pokusoch dokázať piaty postulát zaviedli matematici (explicitne alebo implicitne) nejaké nové tvrdenie, ktoré sa im zdalo zrejmejšie.

Boli urobené pokusy použiť dôkaz protirečenia:

• taliansky matematik Saccheri () (po formulovaní tvrdenia, ktoré je v rozpore s postulátom, vyvodil z toho množstvo dôsledkov a keďže niektoré z nich mylne uznal za protirečivé, považoval postulát za preukázaný),
• Nemecký matematik Lambert (asi , publikované v roku ) (po vykonaní výskumu priznal, že v systéme, ktorý vybudoval, nemôže nájsť rozpory).

Nakoniec sa začalo chápať, že je možné zostaviť teóriu založenú na opačnom postuláte:

• Nemeckí matematici Schweikart () a Taurinus () (neuvedomili si však, že takáto teória bude logicky rovnako koherentná).

Vytvorenie neeuklidovskej geometrie

Lobačevskij vo svojej prvej tlačenej práci o neeuklidovskej geometrii O princípoch geometrie jasne uviedol, že piaty postulát nemožno dokázať na základe iných predpokladov euklidovskej geometrie a že predpoklad postulátu opačného k Euklidovmu postulát umožňuje konštruovať geometriu rovnako zmysluplnú a bez rozporov, ako je euklidovská.

Súčasne a nezávisle k podobným záverom dospel Janos Bolyai a Carl Friedrich Gauss k takýmto záverom ešte skôr. Bolyaiove spisy však neupútali pozornosť a túto tému čoskoro opustil, zatiaľ čo Gauss sa zdržal vôbec publikovania a jeho názory možno posúdiť len z niekoľkých listov a denníkových záznamov. Napríklad v liste astronómovi G. H. Schumacherovi z roku 1846 Gauss hovoril o Lobačevského práci takto:

Toto dielo obsahuje základy geometrie, ktorá by sa musela uskutočniť a navyše by tvorila prísne konzistentný celok, ak by euklidovská geometria nebola pravdivá... Lobačevskij to nazýva „imaginárna geometria“; Viete, že už 54 rokov zdieľam rovnaké názory s určitým vývojom, ktorý tu nechcem spomínať; v diele Lobačevského som teda nenašiel pre seba vlastne nič nové. Ale vo vývoji námetu autor nešiel cestou, ktorou som išiel ja sám; je to majstrovsky urobené Lobačevským v naozaj geometrickom duchu. Považujem za povinnosť upozorniť vás na toto dielo, ktoré vám určite urobí celkom výnimočné potešenie.

V dôsledku toho sa Lobačevskij správal ako prvý najbystrejší a najdôslednejší propagandista. nová geometria. Hoci sa Lobačevského geometria vyvinula ako špekulatívna teória a sám Lobačevskij ju nazval „imaginárnou geometriou“, bol to on, kto ju prvý otvorene navrhol nie ako hru mysle, ale ako možnú a užitočnú teóriu priestorových vzťahov. Dôkaz o jej konzistentnosti bol však podaný neskôr, keď boli naznačené jej interpretácie (modely).

Výrok Lobačevského geometrie

V týchto dokumentoch Beltrami poskytol transparentný geometrický dôkaz o konzistencii novej geometrie, presnejšie povedané, že geometria Lobachevského je nekonzistentná vtedy a len vtedy, ak je nekonzistentná geometria Euklida. Lobačevskij mal tiež takýto dôkaz, ale bol zložitejší, v jednom smere euklidovský rovinný model v Lobačevského geometrii bol postavený pomocou modelu ako v Beltrami, v druhom smere to išlo analyticky.

ln ⁡ (A N A M B M B N) (\displaystyle \ln \left((\frac (AN)(AM))(\frac (BM)(BN))\right))

Vo vonkajšom absolútnom sa realizuje geometria priestoru anti-de Sitter.

Konformný euklidovský model

Ďalší model Lobačevského lietadla, ktorý navrhol Beltrami.

Vnútro kruhu je brané ako Lobačevského rovina, oblúky kružníc kolmé na obvod danej kružnice a jej priemery sú považované za priamky, pohyby sú transformácie získané kombináciou inverzií vzhľadom na kružnice, ktorých oblúky slúžia ako priame čiary.

Model Poincaré je pozoruhodný tým, že v ňom sú uhly reprezentované obyčajnými uhlami.

Povrch konštantného negatívneho zakrivenia

Iné analytická definícia Lobačevského geometria spočíva v tom, že Lobačevského geometria je definovaná ako geometria Riemannov priestor konštantného negatívneho zakrivenia. Túto definíciu v skutočnosti dal už v roku 1854 Riemann a zahŕňal model Lobačevského geometrie ako geometriu na plochách s konštantným zakrivením. Riemann však svoje konštrukcie priamo nespájal s Lobačevského geometriou a jeho správa, v ktorej o nich referoval, nebola pochopená a vyšla až po jeho smrti (v roku 1868).

Obsah Lobačevského geometrie

Lobačevskij postavil svoju geometriu, vychádzajúc zo základných geometrických pojmov a svojej axiómy, a dokázal vety geometrickou metódou, podobne ako sa to robí v Euklidovej geometrii. Teória bola založená rovnobežné čiary, keďže práve tu začína rozdiel medzi Lobačevského geometriou a Euklidovou geometriou. Všetky vety, ktoré nezávisia od rovnobežnej axiómy, sú spoločné pre obe geometrie; tvoria takzvanú absolútnu geometriu, ktorá zahŕňa napríklad kritériá rovnosti trojuholníkov. V nadväznosti na teóriu rovnobežiek boli postavené ďalšie sekcie, vrátane trigonometrie a princípov analytickej a diferenciálnej geometrie.

Uveďme (v modernej notácii) niekoľko faktov Lobačevského geometrie, ktoré ju odlišujú od Euklidovej geometrie a ktoré založil sám Lobačevskij.

Cez bodku P neleží na danej linke. R(pozri obrázok), rovných čiar, ktoré sa nepretínajú, je nekonečne veľa R a nachádza sa s ním v rovnakej rovine; medzi nimi sú dva extrémy X, r, ktoré sú tzv asymptoticky paralelné(niekedy len rovnobežné) rovné R a zvyšok - ultraparalelné.

Rohový θ (\displaystyle \theta ) medzi kolmicou PB od P na R a každý z asymptoticky paralelných (tzv uhol rovnobežnosti), pretože bod je odstránený P klesá od priamky z 90° na 0° (v Poincarého modeli sa uhly v obvyklom zmysle zhodujú s uhlami v zmysle Lobačevského, a preto je táto skutočnosť vidieť priamo na nej). Paralelné X na jednej strane (a r opačne) sa približuje asymptoticky a, a na druhej strane sa od neho nekonečne vzďaľuje (v modeloch je ťažké určiť vzdialenosti, a preto tento fakt nie je priamo viditeľný).

Pre bod nachádzajúci sa od danej priamky vo vzdialenosti PB = a(pozri obrázok), Lobačevskij dal vzorec pre uhol rovnobežnosti P(a) :

θ = Π (a) = 2 arctan ⁡ e − a q (\displaystyle \theta =\Pi (a)=2\meno operátora (arctg) ~e^(-(\frac (a)(q)))))

Tu q je nejaká konštanta súvisiaca so zakrivením Lobačevského priestoru. Môže slúžiť ako absolútna jednotka dĺžky rovnakým spôsobom ako v sférickej geometrii špeciálne postavenie zaberá polomer gule.

Ak majú čiary spoločnú kolmicu, potom sú ultraparalelné, to znamená, že sa nekonečne rozchádzajú na oboch jej stranách. Do ktorejkoľvek z nich je možné obnoviť kolmice, ktoré nedosahujú druhú čiaru.

V Lobačevského geometrii neexistujú podobné, ale nerovnaké trojuholníky; trojuholníky sú zhodné, ak sú ich uhly rovnaké.

Súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je menší ako π (\displaystyle \pi ) a môže byť ľubovoľne blízko nule (rozdiel medzi 180° a súčtom uhlov trojuholníka ABC v Lobačevského geometrii je kladný – nazýva sa to defekt tohto trojuholníka). Na modeli Poincaré je to priamo viditeľné. Rozdiel δ = π − (α + β + γ) (\displaystyle \delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma)), kde α (\displaystyle \alpha ), β (\displaystyle \beta ), γ (\displaystyle \gamma )- uhly trojuholníka úmerné jeho ploche:

S = q 2 ⋅ δ (\displaystyle S=q^(2)\cdot \delta )

Zo vzorca je zrejmé, že existuje maximálna plocha trojuholníka a toto je konečné číslo: π q 2 (\displaystyle \pi q^(2)).

Čiara rovnakých vzdialeností od priamky nie je priamka, ale špeciálna krivka nazývaná ekvidistantou, resp. hypercyklus.

Hranicou kružníc s nekonečne sa zväčšujúcim polomerom nie je priamka, ale špeciálna krivka tzv limitný kruh alebo horocyklus.

Limitom sfér s nekonečne sa zväčšujúcim polomerom nie je rovina, ale špeciálna plocha – limitná sféra, alebo horosféra; je pozoruhodné, že sa na ňom drží euklidovská geometria. To slúžilo Lobačevskému ako základ pre odvodenie trigonometrických vzorcov.

Obvod nie je úmerný polomeru, ale rastie rýchlejšie. Najmä v Lobachevského geometrii číslo π (\displaystyle \pi ) nemožno definovať ako pomer obvodu kruhu k jeho priemeru.

Čím menšia je oblasť v priestore alebo na Lobačevského rovine, tým menej sa geometrické vzťahy v tejto oblasti líšia od vzťahov euklidovskej geometrie. Môžeme povedať, že v nekonečne malej oblasti sa euklidovská geometria odohráva. Napríklad, čím menší je trojuholník, tým menej sa líši súčet jeho uhlov π (\displaystyle \pi ); čím menší je kruh, tým menej sa líši pomer jeho dĺžky k polomeru 2 π (\displaystyle 2\pi ), atď. Zmenšenie plochy je formálne ekvivalentné zväčšeniu jednotky dĺžky, preto s nekonečným nárastom jednotky dĺžky sa vzorce Lobačevského geometrie menia na vzorce euklidovskej geometrie. Euklidovská geometria je v tomto zmysle „obmedzujúcim“ prípadom Lobačevského geometrie.

Vyplnenie roviny a priestoru pravidelnými polytopmi

Lobačevského rovinu je možné vyskladať nielen pravidelnými trojuholníkmi, štvorcami a šesťuholníkmi, ale aj akýmikoľvek inými pravidelnými mnohouholníkmi. Zároveň sa v jednom vrchole parkety musí zbiehať aspoň 7 trojuholníkov, 5 štvorcov, 4 päť alebo šesťuholníky alebo 3 mnohouholníky s viac ako 6 stranami. M veci N-gons) všetky obklady Lobačevského roviny možno zapísať takto:

• (3, 7), (3, 8), …, t.j. (3, M), kde M≥7;
• (4, 5), (4, 6), …, t.j. (4, M), kde M≥5;
• (5, 4), (5, 5), …, t.j. (5, M), kde M≥4;
• (6, 4), (6, 5), ..., t.j. (6, M), kde M≥4;
• (N, M), kde N≥7, M≥3.

Každý obklad ( N , M ) (\displaystyle \left\(N,M\right\)) vyžaduje presne definovanú veľkosť jednotky N-gon, najmä jeho plocha by sa mala rovnať:

S ( N ; M ) = q 2 π (N − 2 − 2 N M) (\displaystyle S_(\left\(N;M\right\))=q^(2)\pi \left(N-2- 2(\frac (N)(M))\vpravo))

Na rozdiel od bežného priestoru (trojrozmerný euklidovský priestor), ktorý možno vyplniť pravidelnými mnohostenmi iba jedným spôsobom (8 kociek na vrchole alebo štyri na okraji (4,3,4)), trojrozmerné Lobačevského priestorové možné dlaždice pravidelné polyhedra, ako aj ploché, nekonečným množstvom spôsobov. So symbolom Schläfli ( N , M , P ) (\displaystyle \left\(N,M,P\right\))(v jednom vrchole konverguje M veci N-gons a každá hrana sa zbieha P polyhedra) všetky obklady možno napísať takto: [ ]

• (3,3,6), (3,3,7), …, t.j. (3,3, P), kde P≥6;
• (4,3,5), (4,3,6), …, t.j. (4,3, P), kde P≥5;
• (3,4,4), (3,4,5), …, t.j. (3,4, P), kde P≥4;
• (5,3,4), (5,3,5), …. To znamená (5,3, P), kde P≥4;
• (3,5,3), (3,5,4), …, t.j. (3,5, P), kde P≥3.

Polytopy takýchto oddielov môžu mať nekonečný objem, s výnimkou konečného počtu oddielov priestoru do pravidelné mnohosteny s konečným objemom:

• (3,5,3) (tri ikosahedry na okraj)
• (4,3,5) (päť kociek na hranu)
• (5,3,4) (štyri dvanásťsteny na okraj)
• (5,3,5) (päť dvanástich na hranu)

Okrem toho existuje 11 spôsobov, ako vyplniť Lobačevského priestor pravidelnými mozaikovými horosférami ((3,4,4), (3,3,6), (4,3,6), (5,3,6), ( 4,4, 3), (6,3,3), (6,3,4), (6,3,5), (6,3,6), (4,4,4), (3, 6,3)). [ ]

Aplikácie

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 (\displaystyle x^(2)+y^(2)+z^(2)=c^(2)t^(2)) pri delení podľa t 2 (\displaystyle t^(2)), teda pre rýchlosť svetla, dáva v x 2 + v y 2 + v z 2 = c 2 (\displaystyle v_(x)^(2)+v_(y)^(2)+v_(z)^(2)=c^(2))- rovnica gule v priestore so súradnicami v x (\displaystyle v_(x)), v y (\displaystyle v_(y)), v z (\displaystyle v_(z))- zložky rýchlosti pozdĺž osí X, pri, z(v "rýchlostnom priestore").

Lobačevského lietadla

Geometria Lobačevského (hyperbolická geometria počúvaj)) je jedna z neeuklidovských geometrií, geometrická teória založená na rovnakých základných premisách ako bežná euklidovská geometria, s výnimkou paralelnej axiómy, ktorá je nahradená Lobačevského paralelnou axiómou.

Euklidovská axióma paralel hovorí:

cez bod, ktorý neleží na danej priamke, existuje len jedna priamka, ktorá leží s danou priamkou v rovnakej rovine a nepretína ju.

V Lobačevského geometrii sa namiesto toho akceptuje nasledujúca axióma:

bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádzajú aspoň dve priamky, ktoré ležia s danou priamkou v rovnakej rovine a nepretínajú ju.

Lobačevského geometria má rozsiahle aplikácie v matematike aj fyzike. Jeho historický význam spočíva v tom, že Lobačevskij svojou konštrukciou ukázal možnosť geometrie odlišnej od euklidovskej, čo znamenalo novú éru vo vývoji geometrie a matematiky vôbec.

História

Pokusy dokázať piaty postulát

Východiskovým bodom Lobačevského geometrie bol Euklidov piaty postulát, axióma ekvivalentná paralelnej axióme. Bola zaradená do zoznamu postulátov v Euklidových Prvkoch). Relatívna zložitosť a neintuitívnosť jej formulácie vyvolávala pocit jej sekundárnej povahy a viedla k pokusom odvodiť ju od ostatných Euklidových postulátov.

Medzi tými, ktorí sa to snažili dokázať, boli títo vedci:

• starogrécki matematici Ptolemaios (II. storočie), Proklus (V. storočie) (založené na predpoklade, že vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými je konečná),
• Ibn al-Haytham z Iraku (koniec - začiatok storočia) (založené na predpoklade, že koniec pohybu kolmo na priamku opisuje priamku),
• iránski matematici Omar Khayyam (2. polovica - začiatok 12. storočia) a Nasir ad-Din at-Tusi (XIII. storočie) (založené na predpoklade, že dve zbiehajúce sa línie sa nemôžu ďalej rozchádzať bez toho, aby sa prekrížili),
• Nemecký matematik Clavius ​​​​(),
• talianski matematici
  • Cataldi (prvýkrát v roku 1603 publikoval prácu úplne venovanú otázke paralel),
• anglický matematik Wallis ( , publikovaný v ) (založený na predpoklade, že pre každý údaj existuje číslo podobné, ale nie rovnaké),
• Francúzsky matematik Legendre () (vychádzal z predpokladu, že cez každý bod vnútri ostrého uhla je možné nakresliť priamku pretínajúcu obe strany uhla; mal aj iné pokusy o dôkaz).

V týchto pokusoch dokázať piaty postulát zaviedli matematici nejaké nové tvrdenie, ktoré sa im zdalo zrejmejšie.

Boli urobené pokusy použiť dôkaz protirečenia:

• taliansky matematik Saccheri () (po formulovaní tvrdenia, ktoré je v rozpore s postulátom, vyvodil z toho množstvo dôsledkov a keďže niektoré z nich mylne uznal za protirečivé, považoval postulát za preukázaný),
• Nemecký matematik Lambert (o, publikované v r) (po vykonaní výskumu priznal, že v systéme, ktorý vybudoval, nemôže nájsť rozpory).

Nakoniec sa začalo chápať, že je možné zostaviť teóriu založenú na opačnom postuláte:

• Nemeckí matematici F. Schweikart () a Taurinus () (neuvedomili si však, že takáto teória bude rovnako logicky koherentná).

Vytvorenie neeuklidovskej geometrie

Lobačevskij vo svojej práci „O princípoch geometrie“ (), svojej prvej tlačenej práci o neeuklidovskej geometrii, jasne uviedol, že postulát V nemožno dokázať na základe iných predpokladov euklidovskej geometrie a že predpoklad postulátu opak Euklidovho postulátu umožňuje konštruovať geometriu rovnako zmysluplnú, ako je euklidovská, a bez rozporov.

Súčasne a nezávisle k podobným záverom dospel aj Janos Bolyai a Carl Friedrich Gauss k takýmto záverom dospel ešte skôr. Bolyaiove spisy však neupútali pozornosť a túto tému čoskoro opustil, zatiaľ čo Gauss sa zdržal vôbec publikovania a jeho názory možno posúdiť len z niekoľkých listov a denníkových záznamov. Napríklad v liste astronómovi G. H. Schumacherovi z roku 1846 hovorí Gauss o Lobačevského práci takto:

Toto dielo obsahuje základy geometrie, ktorá by sa musela uskutočniť a navyše by tvorila prísne konzistentný celok, keby euklidovská geometria nebola pravdivá... Lobačevskij to nazýva „imaginárna geometria“; Viete, že už 54 rokov (od roku 1792) zdieľam tie isté názory s nejakým ich vývojom, ktorý tu nechcem spomínať; v diele Lobačevského som teda nenašiel pre seba vlastne nič nové. Ale vo vývoji námetu autor nešiel cestou, ktorou som išiel ja sám; je to majstrovsky urobené Lobačevským v naozaj geometrickom duchu. Považujem za povinnosť upozorniť vás na toto dielo, ktoré vám určite urobí celkom výnimočné potešenie.

V dôsledku toho sa Lobačevskij správal ako prvý najbystrejší a najdôslednejší propagátor tejto teórie.

Lobačevského geometria sa síce vyvinula ako špekulatívna teória a sám Lobačevskij ju nazval „imaginárnou geometriou“, no práve Lobačevskij ju považoval nie za hru mysle, ale za možnú teóriu priestorových vzťahov. Dôkaz o jej konzistentnosti však bol podaný až neskôr, keď boli naznačené jej interpretácie a tým bola úplne vyriešená otázka jej skutočného významu, logickej konzistentnosti.

Výrok Lobačevského geometrie

roh je ešte náročnejší.

Poincaré model

Obsah Lobačevského geometrie

Ceruzka rovnobežných čiar v geometrii Lobačevského

Lobačevskij postavil svoju geometriu, vychádzajúc zo základných geometrických pojmov a svojej axiómy, a dokázal vety geometrickou metódou, podobne ako sa to robí v Euklidovej geometrii. Teória rovnobežiek slúžila ako základ, pretože tu začína rozdiel medzi Lobačevského geometriou a Euklidovou geometriou. Všetky vety, ktoré nezávisia od axiómy rovnobežiek, sú spoločné pre obe geometrie a tvoria takzvanú absolútnu geometriu, kam patria napríklad vety o rovnosti trojuholníkov. V nadväznosti na teóriu rovnobežiek boli postavené ďalšie sekcie, vrátane trigonometrie a princípov analytickej a diferenciálnej geometrie.

Uveďme (v modernej notácii) niekoľko faktov Lobačevského geometrie, ktoré ju odlišujú od Euklidovej geometrie a ktoré založil sám Lobačevskij.

Cez bodku P neleží na danej linke. R(pozri obrázok), rovných čiar, ktoré sa nepretínajú, je nekonečne veľa R a nachádza sa s ním v rovnakej rovine; medzi nimi sú dva extrémy X, r, ktoré sa nazývajú rovnobežné čiary R v zmysle Lobačevského. V Kleinových (Poincareových) modeloch sú zastúpené akordmi (oblúky kruhov) majúce s akordom (oblúkom) R spoločný koniec(čo je podľa definície modelu vylúčené, takže tieto čiary nemajú žiadne spoločné body).

Uhol medzi kolmicou PB od P na R a každý z paralelných (tzv uhol rovnobežnosti), pretože bod je odstránený P klesá od priamky z 90° na 0° (v Poincarého modeli sa uhly v obvyklom zmysle zhodujú s uhlami v zmysle Lobačevského, a preto je táto skutočnosť vidieť priamo na nej). Paralelné X na jednej strane (a r opačne) sa približuje asymptoticky a, a na druhej strane sa od neho nekonečne vzďaľuje (v modeloch je ťažké určiť vzdialenosti, a preto tento fakt nie je priamo viditeľný).

Pre bod nachádzajúci sa od danej priamky vo vzdialenosti PB = a(pozri obrázok), Lobačevskij dal vzorec pre uhol rovnobežnosti P(a) :

Tu q je nejaká konštanta súvisiaca so zakrivením Lobačevského priestoru. Môže slúžiť ako absolútna jednotka dĺžky rovnakým spôsobom, ako v guľovej geometrii polomer gule zaujíma špeciálnu pozíciu.

Ak majú čiary spoločnú kolmicu, potom sa nekonečne rozchádzajú na oboch jej stranách. Do ktorejkoľvek z nich je možné obnoviť kolmice, ktoré nedosahujú druhú čiaru.

V Lobačevského geometrii neexistujú podobné, ale nerovnaké trojuholníky; trojuholníky sú zhodné, ak sú ich uhly rovnaké.

Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je menší ako π a môže byť ľubovoľne blízky nule. Na modeli Poincaré je to priamo viditeľné. Rozdiel δ \u003d π - (α + β + γ), kde α, β, γ sú uhly trojuholníka, je úmerný jeho ploche:

Zo vzorca je zrejmé, že existuje maximálna plocha trojuholníka a toto je konečné číslo: π q 2 .

Čiara rovnakých vzdialeností od priamky nie je priamka, ale špeciálna krivka nazývaná ekvidistantou, resp. hypercyklus.

Hranicou kružníc s nekonečne sa zväčšujúcim polomerom nie je priamka, ale špeciálna krivka tzv limitný kruh alebo horocyklus.

Limitom sfér s nekonečne sa zväčšujúcim polomerom nie je rovina, ale špeciálna plocha – limitná sféra, alebo horosféra; je pozoruhodné, že sa na ňom drží euklidovská geometria. To slúžilo Lobačevskému ako základ pre odvodenie trigonometrických vzorcov.

Obvod nie je úmerný polomeru, ale rastie rýchlejšie. Najmä v geometrii Lobačevského nemožno číslo π definovať ako pomer obvodu kruhu k jeho priemeru.

Čím menšia je oblasť v priestore alebo na Lobačevského rovine, tým menej sa geometrické vzťahy v tejto oblasti líšia od vzťahov euklidovskej geometrie. Môžeme povedať, že v nekonečne malej oblasti sa euklidovská geometria odohráva. Napríklad, čím menší je trojuholník, tým menej sa súčet jeho uhlov líši od π; čím menší je kruh, tým menej sa pomer jeho dĺžky k polomeru líši od 2π atď. Zmenšenie plochy je formálne ekvivalentné zväčšeniu jednotkovej dĺžky, preto sa s nekonečným nárastom jednotkovej dĺžky menia vzorce Lobačevského geometrie na vzorce euklidovskej geometrie. Euklidovská geometria je v tomto zmysle „obmedzujúcim“ prípadom Lobačevského geometrie.

Aplikácie

• Sám Lobačevskij aplikoval svoju geometriu na výpočet určitých integrálov.
• V teórii funkcií komplexnej premennej pomohla Lobačevského geometria vybudovať teóriu automorfných funkcií. Spojenie s Lobačevského geometriou tu bolo východiskom Poincarého výskumu, ktorý napísal, že „neeuklidovská geometria je kľúčom k vyriešeniu celého problému“.
• Lobačevského geometria nachádza uplatnenie aj v teórii čísel, v jej geometrických metódach, zjednotených pod názvom „geometria čísel“.
• Medzi Lobačevského geometriou a kinematikou špeciálnej (súkromnej) teórie relativity sa vytvorilo úzke spojenie. Toto spojenie je založené na skutočnosti, že rovnosť vyjadruje zákon šírenia svetla

pri delení podľa t 2, teda pre rýchlosť svetla, dáva - rovnica gule v priestore so súradnicami v X , v r , v z- zložky rýchlosti pozdĺž osí X, pri, z(v "rýchlostnom priestore"). Lorentzove transformácie zachovávajú túto sféru a keďže sú lineárne, transformujú priame rýchlostné priestory na priame čiary. Preto podľa Kleinovho modelu v priestore rýchlostí vo vnútri gule s polomerom s, teda pre rýchlosti menšie ako je rýchlosť svetla prebieha Lobačevského geometria.

• Lobačevského geometria našla pozoruhodné uplatnenie vo všeobecnej teórii relativity. Ak považujeme rozloženie hmotností hmoty vo vesmíre za rovnomerné (táto aproximácia je prijateľná v kozmickom meradle), potom sa ukazuje, že za určitých podmienok má priestor Lobačevského geometriu. Lobačevského predpoklad jeho geometrie ako možnej teórie reálneho priestoru bol teda opodstatnený.
• Pomocou modelu Klein je podaný veľmi jednoduchý a krátky dôkaz