Iš daugelio aritmetikoje randamų trupmenų ypatingo dėmesio nusipelno tos, kurių vardiklyje yra 10, 100, 1000 – apskritai bet kokia dešimties galia. Šios trupmenos turi specialų pavadinimą ir žymėjimą.

Dešimtainis skaičius yra bet koks skaičius, kurio vardiklis yra dešimties laipsnis.

Dešimtainiai pavyzdžiai:

Kodėl apskritai reikėjo išskirti tokias frakcijas? Kodėl jiems reikia savo registracijos formos? Tam yra bent trys priežastys:

1. Dešimtaines daug lengviau palyginti. Atminkite: norėdami palyginti paprastas trupmenas, turite jas atimti vieną iš kitos ir visų pirma suvesti trupmenas į bendrą vardiklį. Dešimtainėse trupmenose to nereikia;
2. Skaičiavimų mažinimas. Dešimtainės sudedamos ir dauginamos pagal savo taisykles, o šiek tiek pasipraktikavus galėsite su jais dirbti daug greičiau nei su įprastais;
3. Įrašymo paprastumas. Skirtingai nuo įprastų trupmenų, dešimtainės dalys rašomos vienoje eilutėje neprarandant aiškumo.

Dauguma skaičiuotuvų taip pat pateikia atsakymus po kablelio. Kai kuriais atvejais dėl kitokio įrašymo formato gali kilti problemų. Pavyzdžiui, ką daryti, jei parduotuvėje pareikalaujate pakeisti 2/3 rublių :)

Dešimtainių trupmenų rašymo taisyklės

Pagrindinis dešimtainių trupmenų pranašumas yra patogus ir vaizdingas žymėjimas. Būtent:

Dešimtainis žymėjimas yra dešimtainio žymėjimo forma, kai sveikoji dalis nuo trupmeninės dalies atskiriama įprastu tašku arba kableliu. Šiuo atveju pats skyriklis (taškas arba kablelis) vadinamas dešimtainiu tašku.

Pavyzdžiui, 0,3 (skaitykite: „nulis sveikasis skaičius, 3 dešimtosios“); 7,25 (7 sveikieji skaičiai, 25 šimtosios dalys); 3,049 (3 sveikieji skaičiai, 49 tūkstantosios dalys). Visi pavyzdžiai paimti iš ankstesnio apibrėžimo.

Rašant kablelis dažniausiai naudojamas kaip kablelis. Čia ir toliau kableliai taip pat bus naudojami visoje svetainėje.

Norėdami parašyti savavališką dešimtainisŠioje formoje turite atlikti tris paprastus veiksmus:

1. Atskirai išrašykite skaitiklį;
2. Perkelkite dešimtainį tašką į kairę tiek vietų, kiek vardiklyje yra nulių. Tarkime, kad iš pradžių dešimtainis kablelis yra visų skaitmenų dešinėje;
3. Jei kablelis pasislinko, o po jo įrašo pabaigoje yra nuliai, jie turi būti perbraukti.

Taip atsitinka, kad antrajame žingsnyje skaitiklis neturi pakankamai skaitmenų, kad užbaigtų pamainą. Šiuo atveju trūkstamos pozicijos užpildomos nuliais. Ir apskritai bet koks nulių skaičius gali būti priskirtas bet kurio skaičiaus kairėje, nepakenkiant sveikatai. Tai negražu, bet kartais naudinga.

Iš pirmo žvilgsnio šis algoritmas gali atrodyti gana sudėtingas. Tiesą sakant, viskas labai labai paprasta – tereikia šiek tiek pasitreniruoti. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Kiekvienai trupmenai nurodykite jos dešimtainį žymėjimą:

Pirmosios trupmenos skaitiklis: 73. Dešimtainę perkeliame vienu ženklu (nes vardiklis 10) - gauname 7,3.

Antrosios trupmenos skaitiklis: 9. Dešimtainę perkeliame dviem skaitmenimis (nes vardiklis yra 100) - gauname 0,09. Turėjau pridėti vieną nulį po kablelio ir dar vieną prieš jį, kad neliktų keisto užrašo, pavyzdžiui, „.09“.

Trečiosios trupmenos skaitiklis: 10029. Dešimtainę perkeliame trimis skaitmenimis (nes vardiklis yra 1000) - gauname 10,029.

Paskutinės trupmenos skaitiklis: 10500. Vėlgi perkeliame tašką trimis skaitmenimis – gauname 10.500. Skaičiaus pabaigoje yra papildomų nulių. Juos perbraukiame – gauname 10,5.

Atkreipkite dėmesį į du paskutinius pavyzdžius: skaičius 10,029 ir 10,5. Pagal taisykles dešinėje esantys nuliai turi būti perbraukti, kaip tai daroma paskutiniame pavyzdyje. Tačiau jokiu būdu neturėtumėte to daryti su nuliais, esančiais skaičiaus viduje (kurie yra apsupti kitų skaitmenų). Štai kodėl mes gavome 10,029 ir 10,5, o ne 1,29 ir 1,5.

Taigi, mes išsiaiškinome dešimtainių trupmenų įrašymo apibrėžimą ir formą. Dabar išsiaiškinkime, kaip paprastas trupmenas konvertuoti į dešimtaines ir atvirkščiai.

Keisti iš trupmenų į dešimtaines

Apsvarstykite paprastą skaitinę trupmeną formos a / b . Galite naudoti pagrindinę trupmenos savybę ir skaitiklį bei vardiklį padauginti iš tokio skaičiaus, kad gautumėte dešimties laipsnį žemiau. Tačiau prieš tai darydami perskaitykite toliau pateiktą informaciją:

Yra vardikliai, kurie nesumažinami iki dešimties laipsnio. Išmokite atpažinti tokias trupmenas, nes su jomis negalima dirbti pagal toliau aprašytą algoritmą.

Viskas. Na, kaip suprasti, ar vardiklis sumažintas iki dešimties, ar ne?

Atsakymas paprastas: įskaičiuokite vardiklį pagrindiniai veiksniai. Jei plėtinyje yra tik faktoriai 2 ir 5, šį skaičių galima sumažinti iki dešimties. Jei yra kitų skaičių (3, 7, 11 - bet kokie), galite pamiršti apie dešimties laipsnį.

Užduotis. Patikrinkite, ar nurodytos trupmenos gali būti pateikiamos dešimtainiais skaičiais:

Išrašome ir suskaidome šių trupmenų vardiklius:

20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - yra tik skaičiai 2 ir 5. Todėl trupmeną galima pavaizduoti dešimtainiu tikslumu.

12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 – yra „uždraustas“ koeficientas 3. Trupmena negali būti vaizduojama kaip dešimtainė.

640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Viskas tvarkoje: nėra nieko, išskyrus skaičius 2 ir 5. Trupmena vaizduojama kaip dešimtainė dalis.

48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Koeficientas 3 vėl „išryškėjo“. Jis negali būti vaizduojamas kaip dešimtainė trupmena.

Taigi, mes supratome vardiklį - dabar apsvarstysime visą perjungimo į dešimtaines trupmenas algoritmą:

1. Išskaidykite pradinės trupmenos vardiklį ir įsitikinkite, kad jis paprastai pateikiamas kaip dešimtainis skaičius. Tie. patikrinkite, ar išplėtime yra tik faktoriai 2 ir 5. Priešingu atveju algoritmas neveikia;
2. Suskaičiuokite, kiek dvejetų ir penketukų yra išskaidyme (kitų skaičių ten nebus, pamenate?). Pasirinkite tokį papildomą daugiklį, kad dviejų ir penketukų skaičius būtų lygus.
3. Tiesą sakant, pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš šio koeficiento – gauname norimą atvaizdą, t.y. vardiklis bus dešimties laipsnis.

Žinoma, papildomas koeficientas taip pat bus išskaidytas tik į du ir penkis. Tuo pačiu, kad neapsunkintumėte savo gyvenimo, turėtumėte pasirinkti mažiausią tokį faktorių iš visų galimų.

Ir dar vienas dalykas: jei pradinėje trupmenoje yra sveikoji dalis, būtinai konvertuokite šią trupmeną į netinkamą – ir tik tada pritaikykite aprašytą algoritmą.

Užduotis. Konvertuokite šiuos skaičius į dešimtainius:

Išskaidykime pirmosios trupmenos vardiklį: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Todėl trupmeną galima pavaizduoti kaip dešimtainį skaičių. Išplėtime yra du dvejetai ir nėra penketukų, todėl papildomas koeficientas yra 5 2 = 25. Jam bus lygus dvejetų ir penketukų skaičius. Mes turime:

Dabar panagrinėkime antrąją trupmeną. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį, kad 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - išplėtimas yra trigubas, todėl trupmena negali būti pavaizduota kaip dešimtainė.

Paskutinės dvi trupmenos turi atitinkamai vardiklius 5 (pirminis skaičius) ir 20 = 4 5 = 2 2 5 – visur yra tik dvejetai ir penketukai. Tuo pačiu metu pirmuoju atveju „visiškai laimei“ neužtenka daugiklio 2, o antruoju - 5. Gauname:

Perėjimas nuo dešimtainių į įprastą

Atvirkštinis konvertavimas – iš dešimtainio žymėjimo į įprastą – yra daug lengvesnis. Nėra jokių apribojimų ir specialių patikrų, todėl dešimtainę trupmeną visada galite konvertuoti į klasikinę „dviejų aukštų“.

Vertimo algoritmas yra toks:

1. Nubraukite visus nulius kairėje dešimtainio skaičiaus pusėje, taip pat dešimtainį tašką. Tai bus norimos trupmenos skaitiklis. Svarbiausia - nepersistenkite ir nenubraukite vidinių nulių, apsuptų kitais skaičiais;
2. Apskaičiuokite, kiek skaitmenų yra pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio. Paimkite skaičių 1 ir dešinėje pridėkite tiek nulių, kiek suskaičiavote simbolius. Tai bus vardiklis;
3. Tiesą sakant, užrašykite trupmeną, kurios skaitiklį ir vardiklį ką tik radome. Jei įmanoma, sumažinkite. Jei pradinėje trupmenoje buvo sveikoji dalis, dabar gausime netinkamą trupmeną, o tai labai patogu atliekant tolesnius skaičiavimus.

Užduotis. Konvertuoti dešimtaines į įprastą: 0,008; 3,107; 2,25; 7.2008.

Nubraukiame kairėje esančius nulius ir kablelius – gauname tokius skaičius (tai bus skaitikliai): 8; 3107; 225; 72008.

Pirmoje ir antroje trupmenoje po kablelio yra 3 skaitmenys po kablelio, antroje - 2, o trečioje - net 4 skaitmenys po kablelio. Gauname vardiklius: 1000; 1000; 100; 10 000.

Galiausiai sujungkime skaitiklius ir vardiklius į paprastas trupmenas:

Kaip matyti iš pavyzdžių, gautą trupmeną labai dažnai galima sumažinti. Dar kartą atkreipiu dėmesį, kad bet kurią dešimtainę trupmeną galima pavaizduoti kaip paprastą. Atvirkštinė transformacija ne visada įmanoma.

Šioje pamokoje apžvelgsime kiekvieną iš šių operacijų po vieną.

Pamokos turinys

Dešimtainių skaičių pridėjimas

Kaip žinome, dešimtainę trupmeną sudaro sveikoji dalis ir trupmeninė dalis. Pridedant dešimtaines dalis, sveikoji ir trupmeninė dalys pridedamos atskirai.

Pavyzdžiui, pridėkime dešimtainių skaičių 3.2 ir 5.3. Stulpelyje patogiau sudėti dešimtaines trupmenas.

Pirmiausia šias dvi trupmenas įrašome į stulpelį, o sveikosios dalys turi būti po sveikosiomis dalimis, o trupmeninės – po trupmeninėmis. Mokykloje šis reikalavimas vadinamas "kablelis po kableliu" .

Parašykime trupmenas stulpelyje taip, kad kablelis būtų po kableliu:

Sudedame trupmenines dalis: 2 + 3 = 5. Užrašome penkias savo atsakymo trupmeninėje dalyje:

Dabar susumuojame sveikųjų skaičių dalis: 3 + 5 = 8. Į sveikąją atsakymo dalį įrašome aštuonis:

Dabar sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies atskiriame kableliu. Norėdami tai padaryti, vėl laikomės taisyklės "kablelis po kableliu" :

Gavau atsakymą 8.5. Taigi išraiška 3,2 + 5,3 yra lygi 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

Tiesą sakant, ne viskas taip paprasta, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Čia taip pat yra spąstų, apie kuriuos dabar kalbėsime.

Vietos po kablelio

Dešimtainės dalys, kaip ir įprasti skaičiai, turi savo skaitmenis. Tai dešimtos vietos, šimtos vietos, tūkstantosios vietos. Šiuo atveju skaitmenys prasideda po kablelio.

Pirmasis skaitmuo po kablelio nurodo dešimtąsias vietas, antrasis skaitmuo po kablelio – šimtąsias vietas, trečias skaitmuo po kablelio – tūkstantąsias vietas.

Kai kuriuos išsaugo skaitmenys dešimtainėse trupmenose Naudinga informacija. Visų pirma, jie praneša, kiek dešimtųjų, šimtųjų ir tūkstantųjų dalių yra po kablelio.

Pavyzdžiui, apsvarstykite dešimtainį skaičių 0,345

Padėtis, kurioje yra trigubas, vadinama dešimtoji vieta

Padėtis, kurioje yra keturi, vadinama šimtoji vieta

Padėtis, kurioje yra penki, vadinama tūkstantosios dalys

Pažvelkime į šią figūrą. Matome, kad dešimtokų kategorijoje yra trejetas. Tai rodo, kad dešimtainėje trupmenoje 0,345 yra trys dešimtosios.

Jei sudėsime trupmenas, tada gausime pradinę dešimtainę trupmeną 0,345

Pirmiausia gavome atsakymą, bet konvertavome jį į dešimtainį skaičių ir gavome 0,345.

Dešimtainių skaičių pridėjimas vadovaujasi tomis pačiomis taisyklėmis kaip ir įprastų skaičių pridėjimas. Dešimtainės trupmenos pridedamos skaitmenimis: dešimtosios pridedamos prie dešimtosios, šimtosios prie šimtosios, tūkstantosios prie tūkstantosios.

Todėl, pridedant dešimtaines trupmenas, reikia laikytis taisyklės "kablelis po kableliu". Kablelis po kableliu pateikia tą pačią tvarką, kai dešimtosios pridedamos prie dešimtosios, šimtosios prie šimtosios, tūkstantosios prie tūkstantosios.

1 pavyzdys Raskite reiškinio reikšmę 1,5 + 3,4

Pirmiausia sudedame trupmenines dalis 5 + 4 = 9. Devynias įrašome trupmeninėje atsakymo dalyje:

Dabar sudedame sveikųjų skaičių dalis 1 + 3 = 4. Užrašome keturias mūsų atsakymo sveikojoje dalyje:

Dabar sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies atskiriame kableliu. Norėdami tai padaryti, vėl laikomės taisyklės „kablelis po kableliu“:

Gavau atsakymą 4.9. Taigi išraiškos 1,5 + 3,4 reikšmė yra 4,9

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę: 3,51 + 1,22

Rašome šią išraišką stulpelyje, laikydamiesi taisyklės "kablelis po kableliu"

Pirmiausia pridedame trupmeninę dalį, būtent šimtąsias 1+2=3. Šimtojoje atsakymo dalyje rašome trigubą:

Dabar pridėkite dešimtąsias 5+2=7. Dešimtoje atsakymo dalyje užrašome septynis:

Dabar pridėkite visas dalis 3+1=4. Atsakymo sveikojoje dalyje užrašome keturis:

Sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies atskiriame kableliu, laikydamiesi taisyklės „kablelis po kableliu“:

Gavau atsakymą 4.73. Taigi išraiškos 3,51 + 1,22 reikšmė yra 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Kaip ir su paprastais skaičiais, pridedant dešimtaines trupmenas, . Tokiu atveju atsakyme įrašomas vienas skaitmuo, o likusieji perkeliami į kitą skaitmenį.

3 pavyzdys Raskite reiškinio reikšmę 2,65 + 3,27

Šią išraišką įrašome stulpelyje:

Pridėkite šimtąsias 5+7=12. Skaičius 12 netilps į šimtąją mūsų atsakymo dalį. Todėl šimtojoje dalyje rašome skaičių 2 ir perkeliame vienetą į kitą bitą:

Dabar sudedame dešimtąsias 6+2=8 plius vienetą, kurį gavome iš ankstesnės operacijos, gauname 9. Dešimtojoje atsakymo dalyje įrašome skaičių 9:

Dabar sudėkite visas dalis 2+3=5. Atsakymo sveikojoje dalyje rašome skaičių 5:

Gavau atsakymą 5.92. Taigi išraiškos 2,65 + 3,27 reikšmė yra 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

4 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę 9,5 + 2,8

Parašykite šią išraišką stulpelyje

Sudedame trupmenines dalis 5 + 8 = 13. Skaičius 13 netilps į trupmeninę mūsų atsakymo dalį, todėl pirmiausia užrašome skaičių 3, o vienetą perkeliame į kitą skaitmenį, o tiksliau perkeliame į sveikąjį skaičių dalis:

Dabar pridedame sveikųjų skaičių dalis 9+2=11 plius vienetą, kurį gavome iš ankstesnės operacijos, gauname 12. Skaičius 12 įrašome sveikojoje atsakymo dalyje:

Atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavau atsakymą 12.3. Taigi išraiškos 9,5 + 2,8 reikšmė yra 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Sudedant dešimtaines trupmenas, skaitmenų skaičius po kablelio abiejose trupmenose turi būti vienodas. Jei skaitmenų nepakanka, šios trupmeninės dalies vietos užpildomos nuliais.

5 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę: 12,725 + 1,7

Prieš rašydami šią išraišką stulpelyje, paverskime skaitmenų skaičių po kablelio abiejose trupmenose vienodą. Dešimtainė trupmena 12,725 turi tris skaitmenis po kablelio, o trupmena 1,7 - tik vieną. Taigi į trupmeną 1,7 pabaigoje reikia pridėti du nulius. Tada gauname trupmeną 1,700. Dabar galite įrašyti šią išraišką stulpelyje ir pradėti skaičiuoti:

Pridėkite tūkstantąsias dalis 5+0=5. Tūkstančioje atsakymo dalyje rašome skaičių 5:

Pridėkite šimtąsias 2+0=2. Šimtojoje atsakymo dalyje rašome skaičių 2:

Pridėkite dešimtąsias 7+7=14. Skaičius 14 netilps į dešimtadalį mūsų atsakymo. Todėl pirmiausia užrašome skaičių 4 ir perkeliame vienetą į kitą bitą:

Dabar pridedame sveikųjų skaičių dalis 12+1=13 plius vienetą, kurį gavome iš ankstesnės operacijos, gauname 14. Skaičius 14 įrašome sveikojoje atsakymo dalyje:

Atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavau atsakymą 14 425. Taigi išraiškos 12,725+1,700 reikšmė yra 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Dešimtainių skaičių atėmimas

Atimant dešimtaines trupmenas, reikia laikytis tų pačių taisyklių kaip ir pridedant: „kablelis po kableliu“ ir „lygus skaitmenų skaičius po kablelio“.

1 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę 2,5 − 2,2

Rašome šią išraišką stulpelyje, laikydamiesi taisyklės „kablelis po kableliu“:

Skaičiuojame trupmeninę dalį 5−2=3. Dešimtoje atsakymo dalyje rašome skaičių 3:

Apskaičiuokite sveikojo skaičiaus dalį 2−2=0. Atsakymo sveikojoje dalyje rašome nulį:

Atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavome atsakymą 0.3. Taigi išraiškos 2,5 − 2,2 reikšmė lygi 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę 7.353 – 3.1

Šioje išraiškoje skirtingą sumą skaitmenys po kablelio. Trupmenoje 7,353 yra trys skaitmenys po kablelio, o trupmenoje 3,1 - tik vienas. Tai reiškia, kad 3.1 trupmenos pabaigoje reikia pridėti du nulius, kad skaitmenų skaičius abiejose trupmenose būtų vienodas. Tada gauname 3100.

Dabar galite įrašyti šią išraišką stulpelyje ir apskaičiuoti:

Gavau atsakymą 4 253. Taigi išraiškos 7,353 − 3,1 reikšmė yra 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Kaip ir įprastų skaičių atveju, kartais turėsite pasiskolinti vieną iš gretimo bito, jei atimti tampa neįmanoma.

3 pavyzdys Raskite reiškinio reikšmę 3,46 − 2,39

Atimkite šimtąsias dalis iš 6–9. Iš skaičiaus 6 neatimkite skaičiaus 9. Todėl iš gretimo skaitmens reikia paimti vienetą. Pasiskolinę vieną iš gretimo skaitmens, skaičius 6 virsta skaičiumi 16. Dabar galime apskaičiuoti šimtąsias 16−9=7. Šimtojoje atsakymo dalyje užrašome septynis:

Dabar atimkite dešimtąsias. Kadangi dešimtinių kategorijoje paėmėme vieną vienetą, ten buvęs skaičius sumažėjo vienu vienetu. Kitaip tariant, dešimtoji vieta dabar yra ne skaičius 4, o skaičius 3. Apskaičiuokime dešimtąsias 3−3=0. Dešimtoje atsakymo dalyje rašome nulį:

Dabar atimkite sveikųjų skaičių dalis 3−2=1. Vienetą įrašome sveikojoje atsakymo dalyje:

Atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavau atsakymą 1.07. Taigi išraiškos 3,46−2,39 reikšmė yra lygi 1,07

3,46−2,39=1,07

4 pavyzdys. Raskite reiškinio reikšmę 3−1.2

Šiame pavyzdyje iš sveikojo skaičiaus atimamas dešimtainis skaičius. Parašykime šią išraišką stulpelyje taip, kad dešimtainės trupmenos 1,23 sveikoji dalis būtų po skaičiumi 3

Dabar paverskime skaitmenų skaičių po kablelio vienodu. Norėdami tai padaryti, po skaičiaus 3 padėkite kablelį ir pridėkite vieną nulį:

Dabar atimkite dešimtąsias: 0–2. Neatimkite iš nulio skaičiaus 2. Todėl iš gretimo skaitmens reikia paimti vienetą. Pasiskolinęs vieną iš gretimo bito, 0 virsta skaičiumi 10. Dabar galite apskaičiuoti dešimtąsias 10−2=8. Dešimtoje atsakymo dalyje užrašome aštuonis:

Dabar atimkite visas dalis. Anksčiau skaičius 3 buvo sveikasis skaičius, bet mes iš jo pasiskolinome vieną vienetą. Dėl to jis virto skaičiumi 2. Todėl iš 2 atimame 1. 2−1=1. Vienetą įrašome sveikojoje atsakymo dalyje:

Atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies kableliu:

Gavau atsakymą 1.8. Taigi išraiškos 3−1,2 reikšmė yra 1,8

Dešimtainė daugyba

Dauginti po kablelio skaičių lengva ir netgi smagu. Norėdami padauginti dešimtainių skaičių, turite padauginti juos kaip įprastus skaičius, nekreipdami dėmesio į kablelius.

Gavus atsakymą, sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies reikia atskirti kableliu. Norėdami tai padaryti, turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio abiejose trupmenose, tada atsakyme suskaičiuoti tiek pat skaitmenų dešinėje ir įdėti kablelį.

1 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę 2,5 × 1,5

Šias dešimtaines trupmenas padauginame kaip paprastus skaičius, nepaisydami kablelių. Norėdami nepaisyti kablelių, galite laikinai įsivaizduoti, kad jų visai nėra:

Gavome 375. Šiame skaičiuje reikia kableliu atskirti visą dalį nuo trupmeninės dalies. Norėdami tai padaryti, turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio trupmenomis iš 2,5 ir 1,5. Pirmoje trupmenoje yra vienas skaitmuo po kablelio, antroje taip pat vienas. Iš viso du skaičiai.

Grįžtame prie numerio 375 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti du skaitmenis iš dešinės ir įdėti kablelį:

Gavau atsakymą 3.75. Taigi išraiškos 2,5 × 1,5 reikšmė yra 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

2 pavyzdys Raskite reiškinio reikšmę 12,85 × 2,7

Padauginkime šiuos dešimtainius skaičius, nepaisydami kablelių:

Gavome 34695. Šiame skaičiuje sveikąją dalį nuo trupmeninės reikia atskirti kableliu. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio trupmenomis iš 12,85 ir 2,7. Trupmenoje 12,85 yra du skaitmenys po kablelio, trupmenoje 2,7 yra vienas skaitmuo - iš viso trys skaitmenys.

Grįžtame prie numerio 34695 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti tris skaitmenis dešinėje ir įdėti kablelį:

Gavau atsakymą 34 695. Taigi išraiškos 12,85 × 2,7 reikšmė yra 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Dešimtainės dalies padauginimas iš įprasto skaičiaus

Kartais būna situacijų, kai dešimtainę trupmeną reikia padauginti iš įprasto skaičiaus.

Norėdami padauginti dešimtainį ir įprastą skaičių, turite juos padauginti, neatsižvelgiant į kablelį dešimtainėje. Gavus atsakymą, sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies reikia atskirti kableliu. Norėdami tai padaryti, turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio dešimtainėje trupmenoje, tada atsakyme suskaičiuokite tiek pat skaitmenų į dešinę ir dėkite kablelį.

Pavyzdžiui, 2,54 padauginkite iš 2

Dešimtainę trupmeną 2,54 padauginame iš įprasto skaičiaus 2, nepaisydami kablelio:

Gavome skaičių 508. Šiame skaičiuje sveikąją dalį nuo trupmeninės reikia atskirti kableliu. Norėdami tai padaryti, trupmenoje 2,54 turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio. Trupmeną 2,54 sudaro du skaitmenys po kablelio.

Grįžtame prie numerio 508 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti du skaitmenis iš dešinės ir įdėti kablelį:

Gavau atsakymą 5.08. Taigi išraiškos 2,54 × 2 reikšmė yra 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Dešimtaines padauginkite iš 10, 100, 1000

Dešimtainės trupmenos dauginimas iš 10, 100 arba 1000 atliekamas taip pat, kaip ir dešimtainių dalių dauginimas iš įprastų skaičių. Būtina atlikti daugybą, ignoruojant kablelį dešimtainėje trupmenoje, tada atsakyme sveikąją dalį atskirti nuo trupmeninės dalies, skaičiuojant tiek pat skaitmenų dešinėje, kiek buvo skaitmenų po kablelio dešimtainėje trupmenoje trupmena.

Pavyzdžiui, 2,88 padauginkite iš 10

Padauginkime dešimtainę trupmeną 2,88 iš 10, nepaisydami kablelio dešimtainėje trupmenoje:

Gavome 2880. Šiame skaičiuje reikia kableliu atskirti visą dalį nuo trupmeninės dalies. Norėdami tai padaryti, trupmenoje 2,88 turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio. Matome, kad trupmenoje 2,88 yra du skaitmenys po kablelio.

Grįžtame prie numerio 2880 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti du skaitmenis iš dešinės ir įdėti kablelį:

Gavau atsakymą 28.80. Išmetame paskutinį nulį – gauname 28,8. Taigi išraiškos 2,88 × 10 reikšmė yra 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Yra antras būdas dešimtaines trupmenas padauginti iš 10, 100, 1000. Šis metodas yra daug paprastesnis ir patogesnis. Jį sudaro tai, kad kablelis dešimtainėje trupmenoje pasislenka į dešinę tiek skaitmenų, kiek daugiklyje yra nulių.

Pavyzdžiui, tokiu būdu išspręskime ankstesnį pavyzdį 2,88×10. Neduodami jokių skaičiavimų, iš karto žiūrime į koeficientą 10. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jis turi vieną nulį. Dabar trupmenoje 2,88 perkeliame dešimtainį tašką į dešinę vienu skaitmeniu, gauname 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Pabandykime 2,88 padauginti iš 100. Iš karto žiūrime į koeficientą 100. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jis turi du nulius. Dabar trupmenoje 2,88 perkeliame dešimtainį tašką į dešinę dviem skaitmenimis, gauname 288

2,88 x 100 = 288

Pabandykime 2,88 padauginti iš 1000. Iš karto žiūrime į koeficientą 1000. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jame yra trys nuliai. Dabar trupmenoje 2,88 perkeliame dešimtainį tašką į dešinę trimis skaitmenimis. Trečio skaitmens nėra, todėl pridedame dar vieną nulį. Dėl to gauname 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Dešimtainių skaičių padauginus iš 0,1 0,01 ir 0,001

Dešimtainės dalies dauginimas iš 0,1, 0,01 ir 0,001 veikia taip pat, kaip dešimtainės dalies dauginimas iš kablelio. Reikia trupmenas dauginti kaip paprastus skaičius, o atsakyme dėti kablelį, skaičiuojant tiek skaitmenų dešinėje, kiek abiejose trupmenose yra skaitmenų po kablelio.

Pavyzdžiui, 3,25 padauginkite iš 0,1

Šias trupmenas dauginame kaip paprastus skaičius, nepaisydami kablelių:

Gavome 325. Šiame skaičiuje reikia kableliu atskirti visą dalį nuo trupmeninės dalies. Norėdami tai padaryti, turite suskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio trupmenomis iš 3,25 ir 0,1. Trupmenoje 3,25 yra du skaitmenys po kablelio, trupmenoje 0,1 yra vienas skaitmuo. Iš viso trys skaičiai.

Grįžtame prie skaičiaus 325 ir pradedame judėti iš dešinės į kairę. Turime suskaičiuoti tris skaitmenis dešinėje ir įdėti kablelį. Suskaičiavę tris skaitmenis matome, kad skaičiai baigėsi. Tokiu atveju turite pridėti vieną nulį ir įdėti kablelį:

Gavome atsakymą 0,325. Taigi išraiškos 3,25 × 0,1 reikšmė yra 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Yra antras būdas po kablelio padauginti iš 0,1, 0,01 ir 0,001. Šis metodas yra daug lengvesnis ir patogesnis. Jį sudaro tai, kad kablelis dešimtainėje trupmenoje pasislenka į kairę tiek skaitmenų, kiek daugiklyje yra nulių.

Pavyzdžiui, tokiu būdu išspręskime ankstesnį pavyzdį 3,25 × 0,1. Nepateikdami jokių skaičiavimų, iš karto žiūrime į koeficientą 0,1. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jis turi vieną nulį. Dabar trupmenoje 3,25 perkeliame dešimtainį tašką į kairę vienu skaitmeniu. Perkeldami kablelį vienu skaitmeniu į kairę, matome, kad prieš tris skaitmenis daugiau nėra. Tokiu atveju pridėkite vieną nulį ir padėkite kablelį. Dėl to gauname 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Pabandykime 3,25 padauginti iš 0,01. Nedelsdami pažiūrėkite į 0,01 daugiklį. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jis turi du nulius. Dabar trupmenoje 3,25 perkeliame dešimtainį tašką į kairę dviem skaitmenimis, gauname 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Pabandykime 3,25 padauginti iš 0,001. Nedelsdami pažiūrėkite į 0,001 daugiklį. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad jame yra trys nuliai. Dabar trupmenoje 3,25 perkeliame kablelį į kairę trimis skaitmenimis, gauname 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nepainiokite dešimtainių skaičių dauginimo iš 0,1, 0,001 ir 0,001 su daugyba iš 10, 100, 1000. Dažna klaida dauguma žmonių.

Dauginant iš 10, 100, 1000, kablelis perkeliamas į dešinę tiek skaitmenų, kiek daugiklyje yra nulių.

O dauginant iš 0,1, 0,01 ir 0,001, kablelis perkeliamas į kairę tiek skaitmenų, kiek daugiklyje yra nulių.

Jei iš pradžių sunku prisiminti, galite naudoti pirmąjį metodą, kai dauginama kaip su paprastais skaičiais. Atsakyme turėsite atskirti sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, suskaičiuodami tiek skaitmenų dešinėje, kiek yra skaitmenų po kablelio abiejose trupmenose.

Mažesnio skaičiaus padalijimas iš didesnio. Pažengęs lygis.

Vienoje iš ankstesnių pamokų sakėme, kad dalijant mažesnį skaičių iš didesnio, gaunama trupmena, kurios skaitiklyje yra dividendas, o vardiklyje – daliklis.

Pavyzdžiui, norint padalinti vieną obuolį į du, skaitiklyje reikia įrašyti 1 (vieną obuolį), o vardiklyje – 2 (du draugus). Rezultatas yra trupmena. Taigi kiekvienas draugas gaus po obuolį. Kitaip tariant, pusė obuolio. Dalis yra problemos atsakymas kaip padalinti vieną obuolį į du

Pasirodo, šią problemą galite išspręsti toliau, jei padalinsite 1 iš 2. Juk trupmenos juosta bet kurioje trupmenoje reiškia padalijimą, o tai reiškia, kad šis padalijimas leidžiamas ir trupmenoje. Bet kaip? Esame įpratę, kad dividendas visada didesnis už daliklį. O čia, priešingai, dividendas yra mažesnis nei daliklis.

Viskas paaiškės, jei prisiminsime, kad trupmena reiškia sutraiškyti, dalyti, padalinti. Tai reiškia, kad įrenginį galima padalyti į tiek dalių, kiek norite, o ne tik į dvi dalis.

Mažesnį skaičių dalijant iš didesnio, gaunama dešimtainė trupmena, kurioje sveikoji dalis bus 0 (nulis). Trupmeninė dalis gali būti bet kokia.

Taigi, padalinkime 1 iš 2. Išspręskime šį pavyzdį su kampu:

Vieno taip negalima padalyti į dvi. Jei užduosite klausimą "kiek du yra viename" , tada atsakymas bus 0. Todėl privačiai rašome 0 ir dedame kablelį:

Dabar, kaip įprasta, padauginame koeficientą iš daliklio, kad ištrauktume likutį:

Atėjo momentas, kai įrenginį galima padalyti į dvi dalis. Norėdami tai padaryti, pridėkite kitą nulį į dešinę nuo gauto:

Gavome 10. 10 padalijame iš 2, gauname 5. Penkius užrašome trupmeninėje atsakymo dalyje:

Dabar išimame paskutinę likutį, kad užbaigtume skaičiavimą. Padauginkite 5 iš 2, gausime 10

Gavome atsakymą 0,5. Taigi trupmena yra 0,5

Pusę obuolio taip pat galima parašyti naudojant dešimtainę trupmeną 0,5. Jei pridėsime šias dvi dalis (0,5 ir 0,5), vėl gausime originalų vieną visą obuolį:

Šį tašką taip pat galima suprasti, jei įsivaizduosime, kaip 1 cm yra padalintas į dvi dalis. Jei padalinsite 1 centimetrą į 2 dalis, gausite 0,5 cm

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę 4:5

Kiek penkių yra keturiese? Visai ne. Rašome privačiai 0 ir dedame kablelį:

0 padauginame iš 5, gauname 0. Po keturiais rašome nulį. Nedelsdami atimkite šį nulį iš dividendų:

Dabar pradėkime dalyti (skirstyti) keturis į 5 dalis. Norėdami tai padaryti, į dešinę nuo 4 pridedame nulį ir 40 padaliname iš 5, gauname 8. Aštuonetą rašome privačiai.

Pavyzdį užbaigiame padaugindami 8 iš 5 ir gauname 40:

Gavome atsakymą 0,8. Taigi išraiškos 4: 5 reikšmė yra 0,8

3 pavyzdys Raskite 5 išraiškos reikšmę: 125

Kiek skaičių 125 yra penkiuose? Visai ne. Privačiai rašome 0 ir dedame kablelį:

0 padauginame iš 5, gauname 0. Po penkiais rašome 0. Nedelsdami atimkite iš penkių 0

Dabar pradėkime dalyti (skirstyti) penkis į 125 dalis. Norėdami tai padaryti, dešinėje nuo šių penkių rašome nulį:

Padalinkite 50 iš 125. Kiek skaičių 125 yra iš 50? Visai ne. Taigi koeficiente vėl rašome 0

Padauginame 0 iš 125, gauname 0. Rašome šį nulį po 50. Iš 50 iš karto atimame 0

Dabar skaičių 50 padalijame į 125 dalis. Norėdami tai padaryti, į dešinę nuo 50 įrašome dar vieną nulį:

500 padalinkite iš 125. Kiek skaičių yra 125 skaičiuje 500. Skaičiuje 500 yra keturi skaičiai 125. Keturis rašome privačiai:

Pavyzdį užbaigiame padaugindami 4 iš 125 ir gauname 500

Gavome atsakymą 0,04. Taigi išraiškos 5: 125 reikšmė yra 0,04

Skaičių padalijimas be liekanos

Taigi, į dalinį po vieneto dėkime kablelį, taip nurodydami, kad sveikųjų skaičių dalijimas baigtas ir pereiname prie trupmeninės dalies:

Prie likusios dalies pridėkite nulį 4

Dabar 40 padalijame iš 5, gauname 8. Aštuonetą rašome privačiai:

40−40=0. Iš likusios dalies gavo 0. Taigi padalijimas yra visiškai baigtas. Padalijus 9 iš 5, gaunamas dešimtainis skaičius 1,8:

9: 5 = 1,8

2 pavyzdys. Padalinkite 84 iš 5 be liekanos

Pirmiausia 84 padaliname iš 5, kaip įprasta, su likusia dalimi:

Gavo privačiai 16 ir dar 4 likutyje. Dabar šią likutį padalijame iš 5. Dedame kablelį į privatų ir pridedame 0 prie likusios 4

Dabar 40 padalijame iš 5, gauname 8. Aštuonetą įrašome dalinyje po kablelio:

ir užpildykite pavyzdį patikrindami, ar dar liko likučio:

Dešimtainės dalies dalijimas iš įprasto skaičiaus

Dešimtainė trupmena, kaip žinome, susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Dalinant dešimtainę trupmeną iš įprasto skaičiaus, pirmiausia reikia:

• sveikąją dešimtainės trupmenos dalį padalinkite iš šio skaičiaus;
• padalijus sveikąją dalį, privačioje dalyje reikia nedelsiant dėti kablelį ir tęsti skaičiavimą, kaip ir įprastu dalijimu.

Pavyzdžiui, 4,8 padalinkime iš 2

Parašykime šį pavyzdį kaip kampą:

Dabar visą dalį padalinkime iš 2. Keturi padalyti iš dviejų yra du. Dviką rašome privačiai ir iškart dedame kablelį:

Dabar padauginame koeficientą iš daliklio ir pažiūrime, ar yra dalybos likutis:

4−4=0. Priminimas nulis. Nulio dar nerašome, nes sprendimas nebaigtas. Tada mes toliau skaičiuojame, kaip ir įprastu padalijimu. Nuimkite 8 ir padalinkite iš 2

8: 2 = 4. Į koeficientą įrašome keturis ir iš karto padauginame iš daliklio:

Gavau atsakymą 2.4. Išraiškos reikšmė 4,8: ​​2 lygi 2,4

2 pavyzdys Raskite išraiškos reikšmę 8,43:3

Padalijame 8 iš 3, gauname 2. Iš karto po dviejų dedame kablelį:

Dabar padauginame koeficientą iš daliklio 2 × 3 = 6. Šešetą įrašome po aštuoniais ir randame likutį:

24 padaliname iš 3, gauname 8. Aštuonetą rašome privačiai. Iš karto padauginame jį iš daliklio, kad gautume dalybos likutį:

24−24=0. Likusi dalis lygi nuliui. Nulis dar neįrašytas. Paimkite paskutinius tris dividendus ir padalykite iš 3, gausime 1. Nedelsdami padauginkite 1 iš 3, kad užbaigtumėte šį pavyzdį:

Gavau atsakymą 2.81. Taigi išraiškos 8,43: 3 reikšmė yra lygi 2,81

Dešimtainės dalies dalijimas iš kablelio

Jei norite padalyti dešimtainę trupmeną į dešimtainę trupmeną, daliklyje ir daliklyje perkelkite kablelį į dešinę tiek skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje, tada padalinkite iš įprasto skaičiaus.

Pavyzdžiui, padalinkite 5,95 iš 1,7

Parašykime šią išraišką kaip kampą

Dabar dividende ir daliklyje kablelį perkeliame į dešinę tiek pat skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje. Daliklis turi vieną skaitmenį po kablelio. Taigi kablelį turime perkelti į dešinę vienu skaitmeniu dividende ir daliklyje. Perkeliama:

Po kablelio perkėlus vienu skaitmeniu į dešinę, dešimtainė trupmena 5,95 virto trupmena 59,5. O dešimtainė trupmena 1,7, vienu skaitmeniu perkėlus kablelį į dešinę, virto įprastu skaičiumi 17. Ir mes jau žinome, kaip dešimtainę trupmeną padalinti iš įprasto skaičiaus. Tolesnis skaičiavimas nėra sudėtingas:

Kablelis perkeliamas į dešinę, kad būtų lengviau dalyti. Tai leidžiama dėl to, kad dauginant ar dalinant dividendą ir daliklį iš to paties skaičiaus, koeficientas nekinta. Ką tai reiškia?

Tai vienas iš įdomių savybių padalinys. Ji vadinama privačia nuosavybe. Apsvarstykite 9 išraišką: 3 = 3. Jei šioje išraiškoje dividendas ir daliklis padauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, tai koeficientas 3 nepasikeis.

Padauginkime dividendą ir daliklį iš 2 ir pažiūrėkime, kas atsitiks:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Kaip matyti iš pavyzdžio, koeficientas nepasikeitė.

Tas pats atsitinka, kai dividende ir daliklyje pateikiame kablelį. Ankstesniame pavyzdyje, kur 5,91 padalijome iš 1,7, kablelį perkėlėme vienu skaitmeniu į dešinę dividende ir daliklyje. Perkėlus kablelį, trupmena 5,91 buvo paversta trupmena 59,1, o trupmena 1,7 – į įprastą skaičių 17.

Tiesą sakant, šiame procese buvo dauginama iš 10. Štai kaip tai atrodė:

5,91 × 10 = 59,1

Todėl skaitmenų skaičius po kablelio daliklyje priklauso nuo to, iš ko bus padaugintas dividendas ir daliklis. Kitaip tariant, skaitmenų skaičius po kablelio daliklyje nulems, kiek skaitmenų dividende ir daliklyje kablelis bus perkeltas į dešinę.

Dešimtainis padalijimas iš 10, 100, 1000

Dešimtainė dalis dalijama iš 10, 100 arba 1000 taip pat, kaip . Pavyzdžiui, 2,1 padalinkime iš 10. Išspręskime šį pavyzdį su kampu:

Tačiau yra ir antras būdas. Jis lengvesnis. Šio metodo esmė ta, kad kablelis dividende perkeliamas į kairę tiek skaitmenų, kiek daliklyje yra nulių.

Išspręskime ankstesnį pavyzdį tokiu būdu. 2.1: 10. Mes žiūrime į daliklį. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad yra vienas nulis. Taigi dalijamajame 2.1 kablelį reikia perkelti vienu skaitmeniu į kairę. Kablelį perkeliame vienu skaitmeniu į kairę ir matome, kad daugiau skaitmenų neliko. Tokiu atveju prieš skaičių pridedame dar vieną nulį. Dėl to gauname 0,21

Pabandykime 2,1 padalyti iš 100. Skaičiuje 100 yra du nuliai. Taigi dalijamajame 2.1 kablelį reikia perkelti dviem skaitmenimis į kairę:

2,1: 100 = 0,021

Pabandykime 2,1 padalyti iš 1000. Skaičiuje 1000 yra trys nuliai. Taigi dalijamajame 2.1 kablelį reikia perkelti į kairę trimis skaitmenimis:

2,1: 1000 = 0,0021

Dešimtainė dalyba iš 0,1, 0,01 ir 0,001

Dešimtainė dalijama iš 0,1, 0,01 ir 0,001 taip pat, kaip . Dividenduose ir daliklyje kablelį reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje.

Pavyzdžiui, 6,3 padalinkime iš 0,1. Visų pirma, kablelius dividende ir daliklyje perkeliame į dešinę tiek pat skaitmenų, kiek yra po kablelio daliklyje. Daliklis turi vieną skaitmenį po kablelio. Taigi kablelius dividende ir daliklyje perkeliame į dešinę vienu skaitmeniu.

Po kablelio perkėlus vienu skaitmeniu į dešinę, dešimtainė trupmena 6,3 virsta įprastu skaičiumi 63, o dešimtainė trupmena 0,1, vienu skaitmeniu perkėlus kablelį į dešinę, virsta vienu. O 63 padalyti iš 1 labai paprasta:

Taigi išraiškos 6,3: 0,1 reikšmė yra lygi 63

Tačiau yra ir antras būdas. Jis lengvesnis. Šio metodo esmė ta, kad kablelis dividende perkeliamas į dešinę tiek skaitmenų, kiek daliklyje yra nulių.

Išspręskime ankstesnį pavyzdį tokiu būdu. 6,3:0,1. Pažiūrėkime į skirstytuvą. Mums įdomu, kiek jame yra nulių. Matome, kad yra vienas nulis. Taigi dalijamajame 6.3 kablelį reikia perkelti vienu skaitmeniu į dešinę. Perkeliame kablelį į dešinę vienu skaitmeniu ir gauname 63

Pabandykime 6,3 padalyti iš 0,01. Daliklis 0,01 turi du nulius. Taigi dalijamajame 6.3 kablelį reikia perkelti į dešinę dviem skaitmenimis. Tačiau dividende yra tik vienas skaitmuo po kablelio. Tokiu atveju pabaigoje reikia pridėti dar vieną nulį. Dėl to gauname 630

Pabandykime 6,3 padalyti iš 0,001. 0,001 daliklyje yra trys nuliai. Taigi dalijamajame 6.3 kablelį reikia perkelti į dešinę trimis skaitmenimis:

6,3: 0,001 = 6300

Savarankiško sprendimo užduotys

Ar patiko pamoka?
Prisijunk prie mūsų nauja grupė„Vkontakte“ ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Jau įtraukta pradinė mokykla mokiniai susiduria su trupmenomis. Ir tada jie pasirodo kiekvienoje temoje. Veiksmų su šiais skaičiais pamiršti neįmanoma. Todėl jūs turite žinoti visą informaciją apie paprastas ir dešimtaines trupmenas. Šios sąvokos paprastos, svarbiausia viską suprasti iš eilės.

Kodėl reikalingos trupmenos?

Mus supantis pasaulis susideda iš ištisų objektų. Todėl akcijų nereikia. Tačiau kasdienybė nuolat verčia žmones dirbti su daiktų dalimis ir daiktais.

Pavyzdžiui, šokoladas susideda iš kelių griežinėlių. Apsvarstykite situaciją, kai jos plytelę sudaro dvylika stačiakampių. Jei padalinsite į dvi dalis, gausite 6 dalis. Jis bus gerai padalintas į tris. Bet tie penki nesugebės duoti viso šokolado riekelių skaičiaus.

Beje, šie griežinėliai jau yra trupmenos. Ir tolesnis jų padalijimas lemia sudėtingesnių skaičių atsiradimą.

Kas yra "frakcija"?

Tai skaičius, susidedantis iš vienos dalių. Išoriškai tai atrodo kaip du skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu. Ši savybė vadinama trupmeniniu. Viršuje (kairėje) parašytas skaičius vadinamas skaitikliu. Apačioje (dešinėje) esantis vardiklis.

Tiesą sakant, trupmenos juosta yra padalijimo ženklas. Tai yra, skaitiklis gali būti vadinamas dividendu, o vardiklis gali būti vadinamas dalikliu.

Kokios yra trupmenos?

Matematikoje jų yra tik dviejų tipų: paprastosios ir dešimtainės trupmenos. Pirmiausia supažindinami moksleiviai pradinė mokykla, vadindami juos tiesiog „trupmenomis“. Antrieji mokosi 5 klasėje. Tada ir pasirodo šie vardai.

Paprastosios trupmenos yra visos tos, kurios parašytos kaip du skaičiai, atskirti juostele. Pavyzdžiui, 4/7. Dešimtainė yra skaičius, kurio trupmeninė dalis turi padėties žymėjimą ir yra atskirta nuo sveikojo skaičiaus kableliu. Pavyzdžiui, 4.7. Mokiniams turi būti aišku, kad pateikti du pavyzdžiai yra visiškai skirtingi skaičiai.

Kiekvieną paprastą trupmeną galima parašyti kaip dešimtainį skaičių. Šis teiginys beveik visada teisingas ir atvirkščiai. Yra taisyklių, leidžiančių parašyti dešimtainę trupmeną kaip paprastąją trupmeną.

Kokius porūšius turi šios frakcijos?

Geriau pradėti nuo chronologinė tvarka kaip jie yra tiriami. Paprastosios trupmenos yra pirmiausia. Tarp jų galima išskirti 5 porūšius.

Teisingai. Jo skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį.

Neteisingai. Jo skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.

Sumažinamas / nesumažinamas. Tai gali būti teisinga arba neteisinga. Svarbus ir kitas dalykas – ar skaitiklis ir vardiklis turi bendrų veiksnių. Jei yra, tada jie turėtų padalyti abi trupmenos dalis, tai yra, ją sumažinti.

Mišrus. Sveikasis skaičius priskiriamas įprastai teisingai (neteisingai) trupmeninei daliai. Ir visada stovi kairėje.

Sudėtinis. Jis susidaro iš dviejų frakcijų, padalintų viena į kitą. Tai reiškia, kad jis turi tris trupmenines savybes vienu metu.

Dešimtainės turi tik du porūšius:

galutinis, tai yra, kurio trupmeninė dalis yra ribota (turi pabaigą);

begalinis – skaičius, kurio skaitmenys po kablelio nesibaigia (juos galima rašyti be galo).

Kaip dešimtainį skaičių konvertuoti į paprastą?

Jei tai baigtinis skaičius, tai taikoma asociacija, pagrįsta taisykle – kaip girdžiu, taip ir rašau. Tai reiškia, kad reikia teisingai perskaityti ir užsirašyti, bet be kablelio, bet su trupmenine eilute.

Kaip užuomina apie reikalingą vardiklį, atminkite, kad jis visada yra vienas ir keli nuliai. Pastarųjų reikia parašyti tiek, kiek skaitmenų yra trupmeninėje atitinkamo skaičiaus dalyje.

Kaip paversti dešimtaines trupmenas į paprastas, jei trūksta visos jų dalies, tai yra lygi nuliui? Pavyzdžiui, 0,9 arba 0,05. Pritaikius nurodytą taisyklę, paaiškėja, kad reikia parašyti nulį sveikųjų skaičių. Bet tai nenurodyta. Belieka užrašyti tik trupmenines dalis. Pirmojo skaičiaus vardiklis bus 10, antrojo - 100. Tai yra, nurodytuose pavyzdžiuose kaip atsakymai bus skaičiai: 9/10, 5/100. Be to, pastarąjį, pasirodo, galima sumažinti 5. Todėl rezultatas turi būti parašytas 1/20.

Kaip iš dešimtainio skaičiaus padaryti paprastąją trupmeną, jei jos sveikoji dalis skiriasi nuo nulio? Pavyzdžiui, 5.23 arba 13.00108. Abu pavyzdžiai skaito sveikąją dalį ir įrašo jos reikšmę. Pirmuoju atveju tai yra 5, antruoju - 13. Tada reikia pereiti prie trupmeninės dalies. Su jais būtina atlikti tą pačią operaciją. Pirmasis skaičius yra 23/100, antrasis - 108/100 000. Antrąją vertę vėl reikia sumažinti. Atsakymas toks mišrios frakcijos: 5 23/100 ir 13 27/25000.

Kaip konvertuoti begalinį dešimtainį skaičių į bendrą trupmeną?

Jei tai neperiodinė, tokios operacijos atlikti negalima. Taip yra dėl to, kad kiekviena dešimtainė trupmena visada verčiama į galutinę arba periodinę.

Vienintelis dalykas, kurį leidžiama daryti su tokia trupmena, yra suapvalinti. Bet tada dešimtainis skaičius bus maždaug lygus tai begalinei. Jį jau galima paversti įprastu. Tačiau atvirkštinis procesas: konvertavimas į dešimtainę – niekada nesuteiks pradinės vertės. Tai reiškia, kad begalinės neperiodinės trupmenos nėra verčiamos paprastosiomis trupmenomis. Tai reikia atsiminti.

Kaip parašyti begalinę periodinę trupmeną paprastosios formos pavidalu?

Šiuose skaičiuose po kablelio visada atsiranda vienas ar keli skaitmenys, kurie kartojasi. Jie vadinami laikotarpiais. Pavyzdžiui, 0,3 (3). Čia "3" laikotarpiu. Jie klasifikuojami kaip racionalūs, nes juos galima paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tie, kurie susidūrė su periodinėmis trupmenomis, žino, kad jos gali būti grynos arba mišrios. Pirmuoju atveju taškas prasideda iš karto nuo kablelio. Antroje trupmeninė dalis prasideda bet kokiais skaičiais, o tada prasideda kartojimas.

Taisyklė, pagal kurią reikia rašyti begalinį dešimtainį skaičių kaip paprastąją trupmeną, skirsis šių dviejų tipų skaičiams. Gana lengva grynąsias periodines trupmenas užrašyti kaip paprastąsias trupmenas. Kaip ir galutinius, jas reikia konvertuoti: į skaitiklį įrašyti tašką, o vardikliu bus skaičius 9, kartojantis tiek kartų, kiek taške yra skaitmenų.

Pavyzdžiui, 0, (5). Skaičius neturi sveikosios dalies, todėl reikia nedelsiant pereiti prie trupmeninės dalies. Skaitiklyje parašykite 5, o vardiklyje - 9. Tai yra, atsakymas bus trupmena 5/9.

Taisyklė, kaip parašyti bendrąją dešimtainę trupmeną, kuri yra mišri trupmena.

Pažiūrėkite į laikotarpio trukmę. Tiek 9 turės vardiklį.

Užrašykite vardiklį: iš pradžių devyni, paskui nuliai.

Norėdami nustatyti skaitiklį, turite parašyti dviejų skaičių skirtumą. Visi skaitmenys po kablelio bus sumažinti kartu su tašku. Atimamas – tai be taško.

Pavyzdžiui, 0,5(8) – periodinę dešimtainę trupmeną parašykite kaip bendrąją trupmeną. Trupmeninė dalis prieš tašką yra vieno skaitmens. Taigi nulis bus vienas. Laikotarpyje taip pat yra tik vienas skaitmuo – 8. Tai yra tik vienas devynetas. Tai yra, vardiklyje reikia įrašyti 90.

Norint nustatyti skaitiklį iš 58, reikia atimti 5. Pasirodo, 53. Pavyzdžiui, kaip atsakymą turėsite parašyti 53/90.

Kaip paprastosios trupmenos konvertuojamos į dešimtaines?

Paprasčiausias variantas yra skaičius, kurio vardiklis yra skaičius 10, 100 ir pan. Tada vardiklis tiesiog atmetamas, o tarp trupmenos ir ištisos dalys dedamas kablelis.

Būna situacijų, kai vardiklis lengvai virsta 10, 100 ir tt Pavyzdžiui, skaičiai 5, 20, 25. Pakanka juos padauginti atitinkamai iš 2, 5 ir 4. Tik reikia iš to paties skaičiaus padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį.

Visais kitais atvejais pravers paprasta taisyklė: skaitiklį padalinkite iš vardiklio. Tokiu atveju galite gauti du atsakymus: galutinę arba periodinę dešimtainę trupmeną.

Operacijos su paprastosiomis trupmenomis

Sudėjimas ir atėmimas

Studentai juos susipažįsta anksčiau nei kiti. Ir iš pradžių trupmenos turi tuos pačius vardiklius, o vėliau skirtingus. Bendrosios taisyklės gali būti sumažintos iki tokio plano.

Raskite mažiausią bendrą vardiklių kartotinį.

Visoms paprastosioms trupmenoms parašykite papildomus veiksnius.

Padauginkite skaitiklius ir vardiklius iš jiems nustatytų veiksnių.

Sudėkite (atimkite) trupmenų skaitiklius, o bendrąjį vardiklį palikite nepakeistą.

Jei minuendo skaitiklis yra mažesnis už potraukį, tuomet reikia išsiaiškinti, ar turime mišrų skaičių, ar teisingą trupmeną.

Pirmuoju atveju sveikoji dalis turi būti viena. Prie trupmenos skaitiklio pridėkite vardiklį. Ir tada atlikite atimtį.

Antrajame - būtina taikyti atimties nuo mažesnio skaičiaus iki didesnio skaičiaus taisyklę. Tai yra, atimkite minuend modulį iš pogrupio modulio ir įdėkite ženklą „-“.

Atidžiai pažiūrėkite į sudėjimo (atimties) rezultatą. Jei gausite netinkamą trupmeną, tada turėtų būti pasirinkta visa dalis. Tai yra, padalinkite skaitiklį iš vardiklio.

Daugyba ir dalyba

Norint juos įgyvendinti, trupmenų nereikia redukuoti iki bendro vardiklio. Taip lengviau imtis veiksmų. Bet jie vis tiek turi laikytis taisyklių.

Dauginant paprastąsias trupmenas, reikia atsižvelgti į skaičius skaitikliuose ir vardikliuose. Jei kuris nors skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą, tada juos galima sumažinti.

Padauginkite skaitiklius.

Padauginkite vardiklius.

Jei gausite redukuojamą trupmeną, ji vėl turėtų būti supaprastinta.

Dalindami pirmiausia turite pakeisti dalybą daugyba, o daliklį (antroji trupmena) - reciprokine (sukeisti skaitiklį ir vardiklį).

Tada atlikite daugybos veiksmus (pradėdami nuo 1 veiksmo).

Užduotyse, kuriose reikia padauginti (padalyti) iš sveikojo skaičiaus, pastarasis turi būti parašytas forma netinkama trupmena. Tai yra, kai vardiklis yra 1. Tada tęskite, kaip aprašyta aukščiau.



Veiksmai su dešimtainėmis dalimis

Sudėjimas ir atėmimas

Žinoma, dešimtainį skaičių visada galite paversti bendrąja trupmena. Ir elkitės pagal jau aprašytą planą. Tačiau kartais patogiau veikti be šio vertimo. Tada jų pridėjimo ir atėmimo taisyklės bus lygiai tokios pačios.

Išlyginkite skaitmenų skaičių trupmeninėje skaičiaus dalyje, ty po kablelio. Priskirkite trūkstamą nulių skaičių.

Rašykite trupmenas taip, kad kablelis būtų po kableliu.

Sudėkite (atimkite) kaip natūraliuosius skaičius.

Pašalinkite kablelį.

Daugyba ir dalyba

Svarbu, kad čia nereikėtų pridėti nulių. Trupmenos turėtų būti paliktos taip, kaip pateiktos pavyzdyje. Ir tada eik pagal planą.

Norint dauginti, reikia rašyti trupmenas vieną po kita, nekreipti dėmesio į kablelius.

Padauginkite kaip natūraliuosius skaičius.

Atsakyme dėkite kablelį, nuo dešiniojo atsakymo galo skaičiuodami tiek skaitmenų, kiek jų yra abiejų faktorių trupmeninėse dalyse.

Norėdami padalyti, pirmiausia turite konvertuoti daliklį: padaryti jį natūraliu skaičiumi. Tai yra, padauginkite jį iš 10, 100 ir tt, priklausomai nuo to, kiek skaitmenų yra daliklio trupmeninėje dalyje.

Padauginkite dividendą iš to paties skaičiaus.

Padalinkite dešimtainę iš natūralusis skaičius.

Atsakyme dėkite kablelį tuo momentu, kai baigiasi visos dalies padalijimas.



Ką daryti, jei viename pavyzdyje yra abiejų tipų trupmenos?

Taip, matematikoje dažnai yra pavyzdžių, kai reikia atlikti operacijas su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis. Yra du galimi šių problemų sprendimai. Turite objektyviai pasverti skaičius ir pasirinkti geriausią.

Pirmasis būdas: pavaizduokite įprastus dešimtainius

Tinka, jei dalijant ar konvertuojant gaunamos galutinės frakcijos. Jei bent vienas skaičius suteikia periodinę dalį, tada ši technika yra draudžiama. Todėl net jei jums nepatinka dirbti su paprastosiomis trupmenomis, turėsite jas skaičiuoti.

Antrasis būdas: dešimtaines trupmenas rašykite kaip įprastą

Šis metodas yra patogus, jei dalyje po kablelio yra 1–2 skaitmenys. Jei jų bus daugiau, jis gali pasirodyti labai didelis. bendroji trupmena ir dešimtainiai įrašai leis greičiau ir lengviau apskaičiuoti užduotį. Todėl visada reikia blaiviai įvertinti užduotį ir pasirinkti paprasčiausią sprendimo būdą.

Dalijimas iš dešimtainio skaičiaus yra tas pats, kas dalijimas iš natūraliojo skaičiaus.

Skaičiaus padalijimo iš dešimtainės trupmenos taisyklė

Norint padalyti skaičių iš dešimtainės trupmenos, tiek dividende, tiek daliklyje reikia kablelį perkelti tiek skaitmenų į dešinę, kiek yra daliklyje po kablelio. Po to padalinkite iš natūraliojo skaičiaus.

Pavyzdžiai.

Atlikite padalijimą po kablelio:

Norėdami padalyti iš dešimtainės trupmenos, kablelį reikia perkelti į dešinę tiek dividende, tiek daliklyje, kiek yra po kablelio daliklyje, tai yra vienu ženklu. Gauname: 35,1: 1,8 \u003d 351: 18. Dabar atliekame padalijimą kampu. Dėl to gauname: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Norėdami padalyti dešimtaines trupmenas tiek dividende, tiek daliklyje, perkelkite kablelį į dešinę vienu ženklu: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Dabar atliekame su natūraliuoju skaičiumi. Rezultatas: 14,76: 3,6 = 4,1.

Norint atlikti natūralaus skaičiaus padalijimą iš dešimtainės trupmenos, tiek dividende, tiek daliklyje reikia perkelti tiek simbolių į dešinę, kiek yra daliklyje po kablelio. Kadangi šiuo atveju kablelis į daliklį nerašomas, trūkstamą simbolių skaičių užpildome nuliais: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Gautus natūraliuosius skaičius padalijame kampu: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Norėdami padalinti vieną dešimtainę trupmeną į kitą, kablelį perkeliame į dešinę ir dividende, ir daliklyje tiek skaitmenų, kiek yra daliklyje po kablelio, tai yra trimis skaitmenimis. Taigi, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. Dalyba iš dešimtainės trupmenos buvo pakeista dalyba iš natūraliojo skaičiaus. Dalinamės kampeliu. Turime: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Trupmenų skaičiuotuvas skirtas greitam operacijų su trupmenomis skaičiavimui, padės lengvai sudėti, padauginti, padalyti ar atimti trupmenas.

Šiuolaikiniai moksleiviai trupmenas pradeda mokytis jau 5 klasėje, ir kiekvienais metais pratimai su jais tampa vis sudėtingesni. Matematiniai terminai ir kiekiai, kurių mokomės mokykloje, retai kada mums praverčia suaugus. Tačiau trupmenos, skirtingai nei logaritmai ir laipsniai, kasdieniame gyvenime (matuojant atstumą, sveriant prekes ir pan.) yra gana dažnos. Mūsų skaičiuotuvas skirtas greitoms operacijoms su trupmenomis.

Pirmiausia išsiaiškinkime, kas yra trupmenos ir kas jos yra. Trupmenos yra vieno skaičiaus santykis su kitu; tai yra skaičius, sudarytas iš sveiko vieneto trupmenų skaičiaus.

Frakcijų tipai:

• Įprastas
• Dešimtainės
• sumaišytas

Pavyzdys paprastosios trupmenos:

Viršutinė reikšmė yra skaitiklis, apatinė – vardiklis. Brūkšnys rodo, kad viršutinis skaičius dalijasi iš apatinio skaičiaus. Vietoj panašaus rašymo formato, kai brūkšnys yra horizontalus, galite rašyti kitaip. Galite įdėti pasvirusią liniją, pavyzdžiui:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dešimtainės yra populiariausias trupmenų tipas. Jie susideda iš sveikosios ir trupmeninės dalies, atskirtos kableliu.

Dešimtainis pavyzdys:

0,2 arba 6,71 arba 0,125

Jį sudaro sveikasis skaičius ir trupmeninė dalis. Norėdami sužinoti šios trupmenos vertę, turite pridėti sveiką skaičių ir trupmeną.

Mišrių frakcijų pavyzdys:

Mūsų svetainėje esantis trupmenų skaičiuotuvas gali greitai atlikti bet kokius matematinius veiksmus su trupmenomis internete:

• Papildymas
• Atimtis
• Daugyba
• Padalinys

Norėdami atlikti skaičiavimą, į laukelius turite įvesti skaičius ir pasirinkti veiksmą. Trupmenoms reikia įrašyti skaitiklį ir vardiklį, sveikasis skaičius gali būti neparašytas (jei trupmena paprastoji). Nepamirškite paspausti mygtuko „lygus“.

Patogu, kad skaičiuoklė iš karto pateikia pavyzdžio su trupmenomis sprendimo procesą, o ne tik paruoštą atsakymą. Būtent dėl ​​išplėsto sprendimo galite naudoti šią medžiagą spręsdami mokyklos uždaviniai ir geriau įsisavinti padengtą medžiagą.

Turite apskaičiuoti pavyzdį:

Įvedę rodiklius formos laukeliuose, gauname:

Norėdami atlikti nepriklausomą skaičiavimą, įveskite duomenis į formą.