APIBRĖŽIMAS
Difrakcinė gardelė- Tai yra paprasčiausias spektrinis įtaisas, susidedantis iš plyšių sistemos (skaidrių šviesiems plotams) ir nepermatomų tarpų, panašių į bangos ilgį.
Vienmatė difrakcinė gardelė susideda iš lygiagrečių vienodo pločio plyšių, esančių toje pačioje plokštumoje, atskirtų tokio paties pločio, šviesai nepralaidžiais tarpais. Atspindinčios difrakcijos grotelės laikomos geriausiomis. Jie susideda iš sričių, kurios atspindi šviesą, ir sričių, kurios išsklaido šviesą, derinio. Šios grotelės yra poliruoto metalo plokštės, ant kurių pjaustytuvu užtepami šviesą sklaidantys potėpiai.
Grotelių difrakcijos modelis yra abipusių bangų, kylančių iš visų plyšių, trukdžių rezultatas. Difrakcinės gardelės pagalba realizuojami iš visų plyšių sklindančių koherentinių šviesos pluoštų, patyrusių difrakciją, daugiatakiai trukdžiai.
Difrakcijos gardelės charakteristika yra jos periodas. Difrakcijos gardelės periodas (d) (jo konstanta) vadinamas verte, lygia:
kur a yra lizdo plotis; b – nepermatomos srities plotis.
Difrakcija pagal vienmatę difrakcinę gardelę
Tarkime, kad ilgio šviesos banga krinta statmenai difrakcijos gardelės plokštumai. Kadangi gardelės plyšiai yra vienodais atstumais vienas nuo kito, kelio skirtumai () iš dviejų gretimų plyšių pagal kryptį bus vienodi visoje nagrinėjamoje difrakcijos grotelėje:
Pagrindiniai intensyvumo minimumai yra stebimi kryptimis, kurias nustato sąlyga:
Be pagrindinių minimumų, dėl abipusių šviesos spindulių, sklindančių iš dviejų plyšių, trukdžių, spinduliai kai kuriomis kryptimis panaikina vienas kitą. Dėl to atsiranda papildomų intensyvumo minimumų. Jie atsiranda tomis kryptimis, kur skiriasi spindulių kelias nelyginis skaičius pusiau banga Papildomų minimumų sąlyga yra formulė:
čia N yra difrakcijos gardelės plyšių skaičius; - sveikųjų skaičių reikšmės, išskyrus 0. Jei tinklelyje yra N plyšių, tarp dviejų pagrindinių maksimumų yra papildomas minimumas, skiriantis antrinius maksimumus.
Pagrindinė difrakcijos gardelės maksimali sąlyga yra:
Sinuso reikšmė negali būti didesnė už vieną, tada pagrindinių maksimumų skaičius:
Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Difrakcinė grotelė“
1 PAVYZDYS
| Pratimas | Monochromatinis šviesos pluoštas, kurio bangos ilgis krinta ant difrakcijos gardelės, statmenos jos paviršiui. Difrakcijos raštas projektuojamas ant plokščio ekrano naudojant objektyvą. Atstumas tarp dviejų pirmos eilės intensyvumo maksimumų yra l. Kokia yra difrakcijos gardelės konstanta, jei lęšis yra arti gardelės ir atstumas nuo jo iki ekrano yra L. Apsvarstykite, kad |
| Sprendimas | Norėdami išspręsti problemą, naudojame formulę, kuri susieja difrakcijos gardelės konstantą, šviesos bangos ilgį ir spindulių nukreipimo kampą, kuris atitinka didžiausią difrakcijos skaičių m: Atsižvelgiant į problemos sąlygą, kadangi spindulių nukrypimo kampas gali būti laikomas mažu (), darome prielaidą, kad: Iš 1 pav. matyti, kad:
Pakeičiame išraišką (1.3) į formulę (1.1) ir atsižvelgę į tai, gauname:
Iš (1.4) išreiškiame gardelės periodą: |
| Atsakymas |
2 PAVYZDYS
| Pratimas | Naudodamiesi 1 pavyzdžio sąlygomis ir sprendimo rezultatu, raskite maksimumų skaičių, kurį duos atitinkama gardelė. |
| Sprendimas | Norėdami nustatyti didžiausią šviesos spindulių nukreipimo kampą mūsų uždavinyje, randame maksimumų skaičių, kurį gali duoti mūsų difrakcinė gardelė. Tam naudojame formulę: kur manome, kad už . Tada gauname: |
Iki šiol svarstėme sferinės bangos difrakcija, tiriant difrakcijos modelį stebėjimo taške, kuris yra baigtiniu atstumu nuo kliūties ( Frenelio difrakcija ).
Difrakcijos tipas, kuriame susidaro difrakcijos raštas lygiagrečios sijos, vadinamas Fraunhoferio difrakcija . Lygiagretūs spinduliai bus rodomi, jei šaltinis ir ekranas yra begalybėje. Praktikoje naudojami du lęšiai: vieno židinyje – šviesos šaltinis, o kito – ekrano.
Nors Fraunhoferio difrakcija iš esmės nesiskiria nuo Frenelio difrakcijos, šis atvejis yra praktiškai svarbus, nes būtent tokio tipo difrakcija naudojama daugelyje difrakcijos prietaisų (pavyzdžiui, difrakcijos gardelės). Be to, čia matematinis skaičiavimas yra paprastesnis ir leidžia iki galo išspręsti kiekybinę problemą (Frennelio difrakciją įvertinome kokybiškai).
Šviesos difrakcija pagal vieną plyšį
Tegul ištisiniame ekrane būna plyšys: plyšio plotis, plyšio ilgis (statmenai lapo plokštumai) (9.5 pav.). Ant plyšio krenta lygiagretūs šviesos pluoštai. Norėdami supaprastinti skaičiavimą, darome prielaidą, kad lizdo plokštumoje AB krintančių bangų amplitudės ir fazės vienodos.
Padalinkime plyšį į Frenelio zonas taip, kad optinio kelio skirtumas tarp spindulių, sklindančių iš gretimų zonų, būtų lygus .
Jei lyginis tokių zonų skaičius telpa į lizdo plotį, tada taške ( šoninis dėmesys lęšiai) bus minimalus intensyvumas, o jei nelyginis zonų skaičius, tada didžiausias intensyvumas:
Paveikslėlis bus simetriškas Pagrindinis tikslas taškai . Pliuso ir minuso ženklas atitinka kampus, išmatuotus viena ar kita kryptimi.
Šviesos stiprumas. Kaip matyti iš fig. 9,5, centrinis maksimumas savo intensyvumu lenkia visus kitus.
Panagrinėkime lizdo pločio poveikį.
Nes minimali sąlyga turi formą , vadinasi
| . | (9.4.3) |
Iš šios formulės matyti, kad didėjant lizdo plotiui b minimumų padėtys pasislenka link centro, centrinis maksimumas tampa ryškesnis.
Sumažėjus tarpo pločiui b visas vaizdas plečiasi, išsilieja, išsiplečia ir centrinė juostelė, užfiksuodama vis didesnę ekrano dalį, o jo intensyvumas mažėja.
Šviesos difrakcija ant difrakcinės gardelės
Vienmatė difrakcijos gardelė yra didelio skaičiaus sistema N tokio pat pločio ir lygiagrečios viena kitai plyšiai ekrane, taip pat atskirti nepermatomais tokio pat pločio tarpais (9.6 pav.).
Difrakcija ant grotelių apibrėžiama kaip iš visų plyšių sklindančių bangų tarpusavio interferencijos rezultatas, t.y. in grotelės atliko kelių krypčių trukdžiai iš visų plyšių sklindantys nuoseklūs difrakciniai šviesos pluoštai.
Pažymėti: b – lizdo plotis grotelės; a - atstumas tarp lizdų; – grotelių konstanta.
Objektyvas surenka visus ant jo krentančius spindulius tuo pačiu kampu ir neįveda jokio papildomo kelio skirtumo.
 |
 |
| Ryžiai. 9.6 | Ryžiai. 9.7 |
Tegul spindulys 1 krinta ant objektyvo kampu φ ( difrakcijos kampas ). šviesos banga, eidamas šiuo kampu iš plyšio, sukuria maksimalų intensyvumą taške. Antrasis spindulys, einantis iš gretimo plyšio tuo pačiu kampu φ, ateis į tą patį tašką. Abu šie pluoštai ateis į fazę ir sustiprins vienas kitą, jei optinio kelio skirtumas bus lygus mλ:
Būklė maksimalus difrakcijos gardelė atrodys taip:
| , | (9.4.4) |
kur m= ± 1, ± 2, ± 3, … .
Šią sąlygą atitinkantys maksimumai vadinami pagrindiniai pakilimai . Kiekio vertė m atitinkantis vieną ar kitą maksimumą vadinamas difrakcijos maksimumo tvarka.
Taške F 0 visada bus stebimas nulinis arba centrinė difrakcijos smailė .
Kadangi į ekraną patenkanti šviesa praeina tik per difrakcijos gardelės plyšius, sąlyga minimumas už tarpą ir bus sąlyga pagrindinės difrakcijos minimumas už groteles:
| . | (9.4.5) |
Žinoma, val dideli skaičiai plyšius, pagrindinius difrakcijos minimumus atitinkančiuose ekrano taškuose iš kai kurių plyšių kris šviesa ir susidarys šalutiniai poveikiai difrakcijos maksimumai ir minimumai(9.7 pav.). Tačiau jų intensyvumas, palyginti su pagrindiniais maksimumais, yra mažas (≈ 1/22).
Su salyga 
,
kiekvieno plyšio siunčiamos bangos bus panaikintos dėl trukdžių ir atsiras papildomi minimumai .
Plyšių skaičius lemia šviesos srautą per groteles. Kuo jų daugiau, tuo daugiau energijos per ją perduoda banga. Be to, nei daugiau numerio tarpsnių, tuo daugiau papildomų minimumų telpa tarp gretimų maksimumų. Vadinasi, aukštumos bus siauresnės ir intensyvesnės (9.8 pav.).
Iš (9.4.3) matyti, kad difrakcijos kampas yra proporcingas bangos ilgiui λ. Tai reiškia, kad difrakcijos gardelė baltą šviesą skaido į komponentus, o ilgesnio bangos ilgio šviesą (raudona) atmeta didesniu kampu (skirtingai nuo prizmės, kur viskas vyksta atvirkščiai).
Ši difrakcinių gardelių savybė naudojama šviesos spektrinei sudėčiai nustatyti (difrakcijos spektrografai, spektroskopai, spektrometrai).
Vienas iš gerai žinomų efektų, patvirtinančių šviesos banginį pobūdį, yra difrakcija ir trukdžiai. Pagrindinė sritis jų taikymas yra spektroskopija, kurioje elektromagnetinės spinduliuotės spektrinei sudėčiai analizuoti naudojamos difrakcijos gardelės. Šiame straipsnyje aptariama formulė, apibūdinanti šios gardelės pateiktų pagrindinių maksimumų padėtį.
Kokie yra difrakcijos ir trukdžių reiškiniai?
Prieš svarstant difrakcijos gardelės formulės išvedimą, reikėtų susipažinti su reiškiniais, dėl kurių ši gardelė yra naudinga, tai yra su difrakcija ir trukdžiais.
Difrakcija yra bangos fronto judėjimo keitimo procesas, kai jis savo kelyje susiduria su nepermatoma kliūtimi, kurios matmenys yra panašūs į bangos ilgį. Pavyzdžiui, jei praeinate pro mažą skylę saulės šviesa, tada ant sienos galima stebėti ne mažą šviečiantį tašką (kas turėjo įvykti, jei šviesa sklistų tiesia linija), o tam tikro dydžio šviečiančią dėmę. Šis faktas liudija banginę šviesos prigimtį.
Trikdžiai yra dar vienas reiškinys, būdingas tik bangoms. Jo esmė slypi bangų uždėjimu viena kitai. Jei bangos formos iš kelių šaltinių yra suderintos (nuoseklios), galima stebėti stabilų kintamų šviesių ir tamsių sričių modelį ekrane. Tokio paveikslo minimumai paaiškinami bangų atėjimu duotas taškas antifazėje (pi ir -pi), o maksimumai yra bangų, pataikiusių į nagrinėjamą tašką vienoje fazėje, rezultatas (pi ir pi).
Abu aprašytus reiškinius pirmą kartą paaiškino anglas, 1801 m. ištyręs monochromatinės šviesos difrakciją dviem plonais plyšiais.
Huygens-Fresnelio principas ir tolimojo bei artimojo lauko aproksimacijos
Matematinis difrakcijos ir trukdžių reiškinių aprašymas yra nebanali užduotis. Norint rasti tikslų sprendimą, reikia atlikti sudėtingus skaičiavimus, apimančius Maksvelo teoriją elektromagnetines bangas. Nepaisant to, praėjusio amžiaus 2 dešimtmetyje prancūzas Augustinas Fresnelis parodė, kad pasinaudojant Huygenso mintimis apie antrinius bangų šaltinius, galima sėkmingai aprašyti šiuos reiškinius. Ši idėja paskatino suformuluoti Huygens-Fresnelio principą, kuris šiuo metu yra visų difrakcijos formulių išvedimas pagal savavališkos formos kliūtis.
Nepaisant to, net naudojant Huygens-Fresnelio principą, išspręsti difrakcijos problemą bendras vaizdas nepasiseka, todėl, gaunant formules, griebiamasi kai kurių aproksimacijų. Pagrindinis yra plokščias bangų frontas. Būtent ši bangos forma turi kristi ant kliūties, kad būtų galima supaprastinti daugybę matematinių skaičiavimų.
Kitas aproksimavimas yra ekrano padėtis, kurioje projektuojamas difrakcijos modelis kliūties atžvilgiu. Ši padėtis apibūdinama Frenelio skaičiumi. Jis apskaičiuojamas taip:
Kur a yra geometriniai kliūties matmenys (pavyzdžiui, plyšys arba apvali skylė), λ yra bangos ilgis, D yra atstumas tarp ekrano ir kliūties. Jei konkrečiam eksperimentui F<<1 (<0,001), тогда говорят о приближении дальнего поля. Соответствующая ему дифракция носит фамилию Фраунгофера. Если же F>1, tada vyksta artimojo lauko aproksimacija arba Frenelio difrakcija.
Skirtumas tarp Fraunhoferio ir Frenelio difrakcijos slypi skirtingose trukdžių reiškinio sąlygose mažu ir dideliu atstumu nuo kliūties.
Pagrindinių difrakcijos gardelės maksimumų formulės išvedimas, kuris bus pateiktas vėliau straipsnyje, apima Fraunhoferio difrakciją.
Difrakcinė gardelė ir jos rūšys
Šios grotelės – kelių centimetrų dydžio stiklo arba skaidraus plastiko plokštelė, ant kurios uždedami vienodo storio nepermatomi potėpiai. Brūkšniai išsidėstę pastoviu atstumu d vienas nuo kito. Šis atstumas vadinamas gardelės periodu. Dar dvi svarbios prietaiso charakteristikos yra gardelės konstanta a ir skaidrių plyšių skaičius N. A reikšmė lemia plyšių skaičių 1 mm ilgio, todėl yra atvirkščiai proporcinga periodui d.
Yra dviejų tipų difrakcinės gardelės:
- Skaidrus, kaip aprašyta aukščiau. Tokios gardelės difrakcijos modelis atsiranda dėl bangos fronto perėjimo per ją.
- Atspindintis. Jis pagamintas ant lygaus paviršiaus uždedant nedidelius griovelius. Tokios plokštės difrakcija ir trukdžiai atsiranda dėl šviesos atspindėjimo nuo kiekvieno griovelio viršūnių.
Nepriklausomai nuo grotelių tipo, jos poveikio bangos frontui idėja yra sukurti joje periodišką trikdymą. Dėl to susidaro daug nuoseklių šaltinių, kurių trukdžių rezultatas yra difrakcijos modelis ekrane.
Pagrindinė difrakcijos gardelės formulė
Šios formulės išvedimas apima spinduliuotės intensyvumo priklausomybę nuo jos kritimo kampo ekrane. Atliekant tolimojo lauko aproksimaciją, gaunama tokia intensyvumo I(θ) formulė:
I(θ) = I 0 *(sin(β)/β) 2 * 2, kur
α = pi*d/λ*(sin(θ) - sin(θ 0));
β = pi*a/λ*(sin(θ) - sin(θ 0)).
Formulėje difrakcijos gardelės plyšio plotis žymimas simboliu a. Todėl skliausteliuose esantis koeficientas yra atsakingas už difrakciją per vieną plyšį. D reikšmė yra difrakcijos gardelės periodas. Formulė rodo, kad koeficientas laužtiniuose skliaustuose, kur rodomas šis laikotarpis, apibūdina trikdžius iš grotelių plyšių rinkinio.
Naudodami aukščiau pateiktą formulę galite apskaičiuoti bet kurio šviesos kritimo kampo intensyvumo vertę.
Jei rasime intensyvumo maksimumų I(θ) reikšmę, galime daryti išvadą, kad jos atsiranda su sąlyga, kad α = m*pi, kur m yra bet koks sveikasis skaičius. Dėl maksimalios būklės gauname:
m*pi = pi*d/λ*(sin(θ m) - sin(θ 0)) =>
nuodėmė (θ m) - nuodėmė (θ 0) \u003d m * λ / d.
Gauta išraiška vadinama difrakcijos gardelės maksimumų formule. Skaičiai m yra difrakcijos tvarka.
Kiti būdai, kaip parašyti pagrindinę gardelės formulę
Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnėje pastraipoje pateiktoje formulėje yra terminas sin(θ 0). Čia kampas θ 0 atspindi šviesos bangos priekio kritimo kryptį grotelių plokštumos atžvilgiu. Kai frontas patenka lygiagrečiai šiai plokštumai, tada θ 0 = 0 o . Tada gauname maksimumų išraišką:
Kadangi gardelės konstanta a (nepainioti su plyšio pločiu) yra atvirkščiai proporcinga d reikšmei, aukščiau pateiktą formulę galima perrašyti pagal difrakcijos gardelės konstantą taip:
Kad išvengtumėte klaidų šiose formulėse pakeičiant konkrečius skaičius λ, a ir d, visada turėtumėte naudoti atitinkamus SI vienetus.
Grotelių kampinės dispersijos samprata
Šią reikšmę pažymėsime raide D. Pagal matematinį apibrėžimą ji rašoma taip:
Fizinė kampinės dispersijos D reikšmė yra ta, kad ji parodo, kokiu kampu dθ m pasislinks maksimalus difrakcijos eilės m atveju, jei krintančios bangos ilgis bus pakeistas dλ.
Jei šią išraišką pritaikysime gardelės lygčiai, gausime formulę:
Kampinės difrakcijos gardelės dispersija nustatoma pagal aukščiau pateiktą formulę. Matyti, kad D reikšmė priklauso nuo eilės m ir laikotarpio d.
Kuo didesnė dispersija D, tuo didesnė tam tikros gardelės skiriamoji geba.
Grotelių skiriamoji geba
Skiriamoji geba suprantama kaip fizikinis dydis, parodantis, kokia mažiausia reikšme gali skirtis du bangos ilgiai taip, kad jų maksimumai difrakcijos schemoje atsirastų atskirai.
Rezoliucija nustatoma pagal Rayleigh kriterijų. Jame sakoma: dvi maksimumus galima atskirti pagal difrakcijos modelį, jei atstumas tarp jų yra didesnis nei kiekvieno iš jų pusė pločio. Grotelių maksimumo kampinis pusplotis nustatomas pagal formulę:
Δθ 1/2 = λ/(N*d*cos(θ m)).
Grotelių skiriamoji geba pagal Rayleigh kriterijų yra:
Δθ m >Δθ 1/2 arba D*Δλ>Δθ 1/2.
Pakeitę D ir Δθ 1/2 reikšmes, gauname:
Δλ*m/(d*cos(θ m))>λ/(N*d*cos(θ m) =>
Δλ > λ/(m*N).
Tai yra difrakcijos gardelės skiriamosios gebos formulė. Kuo didesnis smūgių skaičius N ant plokštelės ir kuo didesnė difrakcijos tvarka, tuo didesnė skiriamoji geba tam tikram bangos ilgiui λ.
Difrakcinė gardelė spektroskopijoje
Dar kartą parašykime pagrindinę gardelės maksimumų lygtį:
Čia matyti, kad kuo daugiau bangos ilgis kris ant plokštelės su potėpiais, tuo didesnės kampų reikšmės pasirodys ekrano maksimumuose. Kitaip tariant, jei per plokštelę praleidžiama nevienspalvė šviesa (pavyzdžiui, balta), tada ekrane galima matyti spalvų maksimumus. Pradedant nuo centrinio balto maksimumo (difrakcija nulinės eilės), tada trumpesnėms bangoms (violetinė, mėlyna) pasirodys maksimumai, o vėliau – ilgesnėms (oranžinė, raudona).
Kita svarbi šios formulės išvada yra kampo θ m priklausomybė nuo difrakcijos eilės. Kuo didesnis m, tuo didesnė θ m reikšmė. Tai reiškia, kad spalvotos linijos bus labiau atskirtos viena nuo kitos, kad būtų užtikrinta didelė difrakcijos tvarka. Šis faktas jau buvo pašventintas svarstant grotelių rezoliuciją (žr. ankstesnę pastraipą).
Aprašytos difrakcinės gardelės galimybės leidžia ją panaudoti analizuojant įvairių šviečiančių objektų, įskaitant tolimas žvaigždes ir galaktikas, emisijos spektrus.
Problemos sprendimo pavyzdys
Parodykime, kaip naudoti difrakcijos gardelės formulę. Ant grotelių krentančios šviesos bangos ilgis yra 550 nm. Būtina nustatyti kampą, kuriuo atsiranda pirmos eilės difrakcija, jei periodas d yra 4 µm.
Konvertuokite visus duomenis į SI vienetus ir pakeiskite į šią lygybę:
θ 1 \u003d arcsin (550 * 10 -9 / (4 * 10 -6)) \u003d 7,9 o.
Jei ekranas yra 1 metro atstumu nuo grotelių, tada nuo centrinio maksimumo vidurio 13,8 cm atstumu atsiras pirmos eilės difrakcijos linija 550 nm bangai, o tai atitinka 7,9 o kampas.
APIBRĖŽIMAS
Difrakcinė gardelė yra paprasčiausias spektrinis instrumentas. Jame yra plyšių sistema, atskirianti nepermatomas erdves.
Difrakcijos gardelės skirstomos į vienmačius ir daugiamačius. Vienmatė difrakcinė gardelė susideda iš lygiagrečių vienodo pločio šviesai skaidrių sekcijų, kurios yra toje pačioje plokštumoje. Skaidrios sritys atskiria nepermatomus tarpus. Naudojant šias groteles, atliekami stebėjimai praleidžiamoje šviesoje.
Yra atspindinčios difrakcijos grotelės. Tokia grotelė yra, pavyzdžiui, poliruota (veidrodinė) metalinė plokštė, ant kurios pjaustytuvu užtepami potėpiai. Rezultatas yra sritys, kurios atspindi šviesą, ir sritys, kurios išsklaido šviesą. Stebėjimas su tokiomis grotelėmis atliekamas atspindintoje šviesoje.
Grotelių difrakcijos modelis yra abipusių bangų, kylančių iš visų plyšių, trukdžių rezultatas. Todėl difrakcinės gardelės pagalba yra realizuojami koherentinių šviesos pluoštų, kurie buvo difrakcija ir ateina iš visų plyšių, daugiatakiai trukdžiai.
Trinkimo laikotarpis
Jei grotelių griovelio plotį pažymime kaip a, nepermatomos dalies plotį - b, tada šių dviejų parametrų suma yra grotelių laikotarpis (d):
Difrakcijos gardelės periodas kartais dar vadinamas difrakcijos gardelės konstanta. Difrakcinės gardelės periodas gali būti apibrėžtas kaip atstumas, per kurį gardelės linijos kartojasi.
Difrakcijos gardelės konstantą galima rasti, jei žinomas grotelių griovelių (N) skaičius 1 mm jos ilgio:
Difrakcinės gardelės periodas įtrauktas į formules, apibūdinančias jos difrakcijos modelį. Taigi, jei monochromatinė banga krinta ant vienmatės difrakcijos gardelės, statmenos jos plokštumai, tada pagrindiniai intensyvumo minimumai stebimi tomis kryptimis, kurias nustato sąlyga:
kur yra kampas tarp normaliosios gardelės ir difrakuotų spindulių sklidimo krypties.
Be pagrindinių minimumų, dėl poros plyšių siunčiamų šviesos spindulių abipusio trukdžių jie kai kuriomis kryptimis panaikina vienas kitą, todėl susidaro papildomi intensyvumo minimumai. Jie atsiranda tomis kryptimis, kur spindulių kelio skirtumas yra nelyginis pusbangių skaičius. Papildoma minimali sąlyga parašyta taip:
čia N yra difrakcijos gardelės plyšių skaičius; ima bet kokią sveikojo skaičiaus reikšmę, išskyrus 0. Jei gardelė turi N tarpų, tai tarp dviejų pagrindinių maksimumų yra papildomas minimumas, skiriantis antrinius maksimumus.
Difrakcijos gardelės pagrindinių maksimumų sąlyga yra išraiška:
Sinuso reikšmė negali viršyti vieneto, todėl pagrindinių maksimumų skaičius (m):
Problemų sprendimo pavyzdžiai
1 PAVYZDYS
| Pratimas | Šviesos spindulys praeina pro difrakcinę gardelę, kurios bangos ilgis yra . L atstumu nuo gardelės dedamas ekranas, ant kurio naudojant lęšį formuojamas difrakcijos raštas. Gaunama, kad pirmasis difrakcijos maksimumas yra atstumu x nuo centrinio (1 pav.). Koks yra grotelių laikotarpis (d)? |
| Sprendimas | Padarykime piešinį. Uždavinio sprendimas grindžiamas pagrindinių difrakcijos modelio maksimumų sąlyga: Pagal problemos sąlygą mes kalbame apie pirmąjį pagrindinį maksimumą, tada . Iš 1 pav. gauname, kad:
Iš (1.2) ir (1.1) išraiškų turime:
Išreiškiame norimą gardelės periodą, gauname:
|
| Atsakymas |
Esant statmenai (normaliam) lygiagrečiam monochromatinės šviesos pluoštui ant difrakcijos grotelių ant ekrano konverguojančio lęšio židinio plokštumoje, esančioje lygiagrečiai difrakcijos gardelei, atsiranda nehomogeniškas skirtingų ekrano dalių apšvietimo pasiskirstymo modelis ( stebimas difrakcijos modelis).
Pagrindinis šio difrakcijos modelio maksimumai tenkina šias sąlygas:
kur n yra pagrindinės difrakcijos maksimumo tvarka, d - pastovus (laikotarpis) grotelės, λ yra monochromatinės šviesos bangos ilgis,φ n- kampas tarp normaliosios ir difrakcijos gardelės ir krypties į pagrindinę difrakcijos maksimumą n thįsakymas.
Difrakcinės gardelės su ilgiu konstanta (periodas). l
kur N - plyšių (eilių) skaičius difrakcinės gardelės, kurios ilgis I, atkarpoje.
Kartu su bangos ilgiudažnai naudojamas dažnis v bangos.
Elektromagnetinėms bangoms (šviesai) vakuume
kur c \u003d 3 * 10 8 m / s - greitisšviesos sklidimas vakuume.
Išskirkime iš (1) formulės sudėtingiausias matematiškai nustatytas pagrindinių difrakcijos maksimumų eilės formules:
kur žymi sveikąją dalį numeriai d*sin(φ/λ).
Nepakankamai apibrėžti formulių analogai (4, a, b) be simbolio [...] dešiniosiose dalyse yra galimas pavojus pakeisti fiziškai pagrįstą paskirstymo operaciją sveikoji skaičiaus dalis pagal operaciją apvalinimo skaičius d*sin(φ/λ) iki sveikojo skaičiaus reikšmės pagal formalias matematines taisykles.
Pasąmonės polinkis (klaidingas pėdsakas) pakeisti sveikosios skaičiaus dalies ištraukimo operaciją d*sin(φ/λ) apvalinimo operacija
šis skaičius iki sveikojo skaičiaus, pagal matematines taisykles, yra dar labiau padidintas, kai kalbama apie testo užduotys B tipo nustatyti pagrindinių difrakcijos maksimumų eilę.
Atliekant bet kokias B tipo bandymo užduotis, reikiamos skaitinės vertės fiziniai kiekiai pagal susitarimąsuapvalinti iki sveikųjų skaičių. Tačiau matematinėje literatūroje nėra vienodų skaičių apvalinimo taisyklių.
V. A. Gusevo, A. G. Mordkovičiaus žinyne apie matematiką studentams ir baltarusių k. studijų vadovas L. A. Latotina, V. Ya. Chebotarevsky matematikoje IV klasei, iš esmės pateikiamos tos pačios dvi skaičių apvalinimo taisyklės. Jie suformuluoti taip: „Apvalinant dešimtainė trupmena iki kokio nors skaitmens visi po šio skaitmens esantys skaitmenys pakeičiami nuliais, o jei yra po kablelio, tada atmetami. Jei pirmasis skaitmuo po šio skaitmens yra didesnis arba lygus penkiems, tada paskutinis likęs skaitmuo padidinamas 1. Jei pirmasis skaitmuo po šio skaitmens yra mažesnis nei 5, paskutinis likęs skaitmuo nekeičiamas.
M. Ya. Vygodskio žinyne apie elementariąją matematiką, išėjusiame per dvidešimt septynis (!) leidimus, parašyta (p. 74): „3 taisyklė. Jei skaičius 5 atmetamas ir nėra reikšmingų skaičių. už jo, tada apvalinamas iki artimiausio lyginio skaičiaus, t. y. paskutinis įrašytas skaitmuo lieka nepakitęs, jei yra lyginis, ir sustiprinamas (padidėja 1), jei jis yra nelyginis."
Atsižvelgiant į tai, kad egzistuoja įvairios skaičių apvalinimo taisyklės, apvalinimo taisyklės turėtų būti tokios dešimtainiai skaičiai aiškiai suformuluoti prie fizikos centralizuoto testavimo užduočių pridedamose „Instrukcijose studentams“. Šis pasiūlymas įgauna papildomos aktualijos, nes į Baltarusijos universitetus įstoja ir privalomai tikrinami ne tik Baltarusijos ir Rusijos, bet ir kitų šalių piliečiai, o kokias apvalinimo taisykles jie taikė studijuodami savo šalyse, nėra žinoma.
Visais atvejais dešimtainiai skaičiai bus suapvalinti pagal taisykles, duota , .
Po priverstinio nukrypimo grįžkime prie nagrinėjamų fizinių klausimų aptarimo.
Atsižvelgiant į nulį ( n= 0) pagrindinis maksimumas ir simetriškas likusių pagrindinių maksimumų išsidėstymas jo atžvilgiu viso stebėti pagrindiniai maksimumai iš difrakcijos gardelės apskaičiuojami pagal formules:
Jei atstumas nuo difrakcijos gardelės iki ekrano, kuriame stebimas difrakcijos modelis, žymimas H, tada pagrindinės difrakcijos maksimumo koordinatė n eilės tvarka skaičiuojant nuo nulio maksimumo yra lygi
Jei tada (radianas) ir
Nagrinėjamos temos uždaviniai dažnai pateikiami per fizikos testus.
Apžvalgą pradėkime nuo Baltarusijos universitetų naudojamų rusiškų testų apžvalgos Pradinis etapas kai bandymai Baltarusijoje buvo neprivalomi ir juos atliko asmuo švietimo įstaigų savo rizika kaip alternatyva įprastai individualiai stojamųjų egzaminų raštu-žodinei formai.
Testas #7
A32. Aukščiausia spektro eilė, kurią galima pastebėti šviesos difrakcijoje su bangos ilgiu λ ant difrakcijos gardelės su tašku d=3,5λ lygus
1) 4; 2) 7; 3) 2; 4) 8; 5) 3.
Sprendimas
VienspalvisNėra šviesos spektrai iš klausos. Uždavinio sąlygomis turėtume kalbėti apie didžiausią didžiausią difrakcijos maksimumą, esantį statmenai monochromatinės šviesos kritimui ant difrakcijos gardelės.
Pagal formulę (4, b)
Iš neapibrėžtos būklės
sveikųjų skaičių aibėje po apvalinimo gaunamen maks=4.
Tik dėl skaičiaus sveikosios dalies neatitikimo d/λ su suapvalintais sveikaisiais skaičiais teisingas sprendimas yra ( n maks=3) skiriasi nuo neteisingo (nmax=4) bandymo lygiu.
Nuostabi miniatiūra, nepaisant formuluotės trūkumų, su klaidingu pėdsaku, tiksliai pakoreguotu visoms trims skaičių apvalinimo versijoms!
A18. Jei difrakcijos gardelės konstanta d= 2 μm, tada baltai šviesai, kuri paprastai patenka į groteles, yra 400 nm<λ < 700 нм наибольший полностью наблюдаемый порядок спектра равен
1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5)5.
Sprendimas
Tai akivaizdu n cn \u003d min (n 1max, n 2max)
Pagal formulę (4, b)
Skaičių apvalinimas d/λ į sveikųjų skaičių reikšmes pagal taisykles - , gauname:
Dėl to, kad sveikoji skaičiaus dalis d/λ2 skiriasi nuo suapvalinto sveikojo skaičiaus reikšmės, ši užduotis leidžia objektyviai nustatyti teisingą sprendimą(n cn = 2) nuo neteisingo ( n cn = 3). Didelė problema su vienu klaidingu pėdsaku!
CT 2002 testas Nr.3
5 val. Raskite aukščiausią geltonos linijos Na (λ = 589 nm), jei difrakcijos gardelės konstanta d = 2 µm.
Sprendimas
Užduotis suformuluota moksliškai neteisingai. Pirma, apšviečiant difrakcinę gardelęvienspalvisšviesa, kaip pažymėta aukščiau, negali būti jokio klausimo apie spektrą (spektrus). Problemos sąlygomis turėtume kalbėti apie didžiausią pagrindinės difrakcijos maksimumo eilę.
Antra, užduoties sąlygoje reikia nurodyti, kad šviesa paprastai (statmenai) krenta ant difrakcinės gardelės, nes vidurinių ugdymo įstaigų fizikos kurse nagrinėjamas tik šis ypatingas atvejis. Neįmanoma šio apribojimo laikyti numanomu pagal numatytuosius nustatymus: testuose visi apribojimai turi būti nurodyti aiškiai! Testo užduotys turi būti savarankiškos, moksliškai teisingos užduotys.
Skaičius 3,4, suapvalintas iki sveikojo skaičiaus pagal aritmetikos taisykles, taip pat suteikia 3. Būtent todėl ši užduotis turėtų būti pripažinta paprasta ir apskritai nesėkminga, nes testo lygmeniu ji neleidžia objektyviai atskirti teisingo sprendinio, nustatyto skaičiaus 3.4 sveikąja dalimi, nuo neteisingo, nustatyto sprendinio. suapvalintais sveikaisiais skaičiais 3.4. Skirtumas atskleidžiamas tik išsamiai aprašant sprendimo eigą, kuri yra padaryta šiame straipsnyje.
1 papildymas. Išspręskite pirmiau minėtą problemą pakeisdami jos būseną d = 2 µm iki d = 1,6 µm. Atsakymas: nmax = 2.
CT 2002 4 testas
5 val. Dujų išlydžio lempos šviesa nukreipiama į difrakcinę gardelę. Ekrane gaunami lempos spinduliavimo difrakcijos spektrai. Linija su bangos ilgiu λ 1 = 510 nm ketvirtos eilės spektre sutampa su bangos ilgio linija λ2 trečiosios eilės spektre. Kas yra lygus λ2([nm])?
Sprendimas
Šioje problemoje pagrindinis interesas yra ne problemos sprendimas, o jos sąlygų suformulavimas.
Kai apšviečiama difrakcine gardelene monochromatinėsšviesa ( λ1 , λ2) gana natūralu kalbėti (rašyti) apie difrakcijos spektrus, kurių iš esmės nėra, kai apšviečiama difrakcijos gardelėvienspalvisšviesos.
Užduoties sąlyga turėtų parodyti, kad dujų išlydžio lempos šviesa paprastai patenka į difrakcinę gardelę.
Be to, turėjo būti pakeistas ir trečiojo užduoties sakinio filologinis stilius. Sumažina klausos apykaitos liniją bangos ilgiu λ "" , jis gali būti pakeistas "linija, atitinkančia bangos ilgio spinduliuotę λ "" arba, trumpiau tariant, "bangos ilgį atitinkanti linija λ "" .
Bandymų formuluotės turi būti moksliškai teisingos ir literatūriškai nepriekaištingos. Testai suformuluoti visai kitaip nei tiriamieji ir olimpiados užduotys! Testuose viskas turėtų būti tikslu, konkretu, vienareikšmiška.
Atsižvelgdami į aukščiau pateiktą užduoties sąlygų paaiškinimą, turime:
Kadangi pagal pavedimo sąlygą tada
CT 2002 bandymas Nr.5
5 val. Raskite didžiausią difrakcijos maksimumo laipsnį geltonai natrio linijai, kurios bangos ilgis 5,89·10 -7 m, jei difrakcijos gardelės periodas yra 5 µm.
Sprendimas
Palyginti su užduotimi 5 val iš TsT 2002 testo Nr. 3 ši užduotis suformuluota tiksliau, tačiau užduoties sąlygoje reikėtų kalbėti ne apie „difrakcijos maksimumą“, o apie „ pagrindinės difrakcijos maksimumas".
Kartu su pagrindinis difrakcijos maksimumai taip pat visada yra antraeilis difrakcijos smailės. Neaiškinus šio niuanso mokykliniame fizikos kurse, tuo labiau reikia griežtai laikytis nusistovėjusios mokslinės terminijos ir kalbėti tik apie pagrindinius difrakcijos maksimumus.
Be to, reikia pažymėti, kad šviesa paprastai krenta ant difrakcijos gardelės.
Su aukščiau pateiktais paaiškinimais
Iš neapibrėžtos būklės
pagal skaičiaus 8,49 matematinio apvalinimo iki sveikosios reikšmės taisykles vėl gauname 8. Todėl ši užduotis, kaip ir ankstesnė, laikytina neįvykusia.
2 papildymas. Išspręskite pirmiau minėtą problemą, pakeiskite jos būseną d \u003d 5 mikronai vienam (1 \u003d A mikronas. Atsakymas:nmax=6.)
Nauda RIKZ 2003 Testas Nr.6
5 val. Jei antrasis difrakcijos maksimumas yra 5 cm atstumu nuo ekrano centro, tada, padidėjus atstumui nuo difrakcijos gardelės iki ekrano 20%, šis difrakcijos maksimumas bus ... cm atstumu. .
Sprendimas
Užduoties sąlyga suformuluota nepatenkinamai: vietoj „difrakcijos maksimumo“ reikia „pagrindinis difrakcijos maksimumas“, vietoj „nuo ekrano centro“ – „nuo nulinio pagrindinės difrakcijos maksimumo“.
Kaip matyti iš pateikto paveikslo,
Iš čia
Nauda RIKZ 2003 Testas Nr.7
5 val. Nustatykite didžiausią spektro eilę difrakcijos gardelyje, turinčioje 500 eilučių per 1 mm, kai ji apšviesta 720 nm bangos ilgio šviesa.
Sprendimas
Užduoties sąlyga suformuluota itin nesėkmingai moksline prasme (žr. 2002 m. CT užduočių Nr. 3 ir 5 paaiškinimus).
Taip pat priekaištaujama dėl filologinio uždavinio formulavimo stiliaus. Vietoj frazės „difrakcinėje gardelėje“ reikėjo vartoti frazę „iš difrakcinės gardelės“, o vietoj „šviesos bangos ilgio“ – „šviesa, kurios bangos ilgis“. Bangos ilgis yra ne apkrova bangai, o pagrindinė jos charakteristika.
Atsižvelgiant į paaiškinimus
Pagal visas tris aukščiau pateiktas skaičių apvalinimo taisykles, skaičių 2,78 suapvalinus iki sveikojo skaičiaus, gaunamas 3.
Paskutinis faktas, net ir su visais užduoties sąlygos formulavimo trūkumais, daro jį įdomiu, nes leidžia atskirti teisingą testo lygiu (nmax=2) ir neteisinga (nmax=3) sprendimai.
Daug užduočių nagrinėjama tema yra 2005 m. CT.
Visų šių užduočių (B1) sąlygomis prieš frazę „difrakcijos maksimumas“ būtina pridėti raktinį žodį „pagrindinis“ (žr. CT 2002 B5 užduoties komentarus, Testas Nr. 5).
Deja, visuose 2005 m. CT B1 testų variantuose skaitinės reikšmės d(l,N) ir λ parinktas prastai ir visada pateikiamas trupmenomis
„dešimtųjų“ skaičius yra mažesnis nei 5, o tai neleidžia atskirti sveikosios trupmenos dalies išskyrimo operacijos (teisingas sprendimas) nuo trupmenos apvalinimo iki sveikosios reikšmės operacijos (klaidingas pėdsakas) bandymo lygiu. Ši aplinkybė kelia abejonių dėl šių užduočių panaudojimo tikslingumu objektyviai patikrinti pretendentų žinias nagrinėjama tema.
Panašu, kad testų rengėjus vaizdžiai tariant, ruošė įvairius „patiekalo garnyrus“, negalvodami apie pagrindinio „patiekalo“ komponento – skaitinių reikšmių parinkimo – kokybės gerinimą. d(l,N) ir λ siekiant padidinti „dešimtųjų“ skaičių trupmenose d/ λ=l/(N* λ).
TT 2005 4 variantas
1. Ant difrakcijos gardelės, kurios periodasd1\u003d 1,2 μm, paprastai lygiagretus monochromatinės šviesos spindulys krenta bangos ilgiu λ = 500 nm. Jei jį pakeičia gardelė, kurios periodasd2\u003d 2,2 μm, tada maksimumų skaičius padidės ... .
Sprendimas
Vietoj „šviesos su bangos ilgiu λ"" reikia "šviesos bangos ilgio λ "". Stilius, stilius ir dar daugiau stiliaus!
Nes
tada, atsižvelgiant į tai, kad X yra const, a d 2 >di,
Pagal formulę (4, b)
Vadinasi, ∆Net. maks.=2(4-2)=4
Suapvalinus skaičius 2,4 ir 4,4 iki sveikųjų skaičių, taip pat gauname atitinkamai 2 ir 4. Dėl šios priežasties ši užduotis turėtų būti pripažinta paprasta ir net nesėkminga.
3 papildymas. Išspręskite pirmiau minėtą problemą pakeisdami jos būseną λ =500 nm λ =433 nm (mėlyna linija vandenilio spektre).
Atsakymas: ΔN iš viso. maks=6
TT 2005 6 variantas
1. Ant difrakcijos gardelės su tašku d= 2 µm krentantis paprastai lygiagretus monochromatinės šviesos pluoštas, kurio bangos ilgis λ =750 nm. Maksimalų, kuriuos galima stebėti kampu, skaičius a\u003d 60 °, kurios bisektorius yra statmenas gardelės plokštumai, yra ... .
Sprendimas
Frazė „šviesa su bangos ilgiu λ “ jau buvo aptarta TT 2005 4 variante.
Antrasis šios užduoties sąlygos sakinys gali būti supaprastintas ir parašytas taip: „Stebimų pagrindinių maksimumų skaičius kampe a = 60 °“ ir toliau pirminės užduoties tekste.
Tai akivaizdu
Pagal formulę (4, a)
Pagal formulę (5, a)
Ši užduotis, kaip ir ankstesnė, neleidžia objektyviai nustatyti pareiškėjų aptariamos temos supratimo lygį.
4 priedas. Atlikite aukščiau pateiktą užduotį, pakeiskite jos būseną λ =750 nm λ = 589 nm (geltona linija natrio spektre). Atsakymas: N o6sh \u003d 3.
TT 2005 7 variantas
1. ant difrakcijos gardelės suN 1- 400 smūgių per l\u003d 1 mm ilgio, lygiagretus monochromatinės šviesos spindulys krenta bangos ilgiu λ = 400 nm. Jei jis pakeičiamas grotelėmis, turinčiomisN 2= 800 smūgių vienam l\u003d 1 mm ilgio, tada difrakcijos maksimumų skaičius sumažės ... .
Sprendimas
Neaptariame užduoties formulavimo netikslumų, nes jie yra tokie patys kaip ir ankstesnėse užduotyse.
Iš (4, b), (5, b) formulių išplaukia, kad
