Režimas ir mediana- specialios rūšies vidurkiai, naudojami variacijų eilučių struktūrai tirti. Jie kartais vadinami struktūriniais vidurkiais, priešingai nei anksčiau aptarti galios dėsnio vidurkiai.

Mada- tai atributo (varianto) reikšmė, kuri dažniausiai sutinkama šioje populiacijoje, t.y. turi didžiausią dažnį.

Mada turi puikų praktinį pritaikymą, o kai kuriais atvejais tik mada gali apibūdinti socialinius reiškinius.

Mediana yra variantas, esantis užsakytų variantų serijos viduryje.

Mediana parodo kiekybinę kintamosios charakteristikos reikšmės ribą, kurią pasiekia pusė populiacijos vienetų. Jei variacijų eilutėje yra atvirų intervalų, patartina naudoti medianą kartu su vidurkiu arba vietoj jos, nes skaičiuojant medianą nereikia sąlygiškai nustatyti atvirų intervalų ribų, todėl informacijos apie jas nebuvimas neturi įtakos medianos skaičiavimo tikslumui.

Mediana taip pat naudojama, kai rodikliai, kurie turi būti naudojami kaip svoriai, nežinomi. Statistiniuose gaminių kokybės kontrolės metoduose vietoj aritmetinio vidurkio naudojama mediana. Absoliučių pasirinkimų nuokrypių suma nuo medianos yra mažesnė nei nuo bet kurio kito skaičiaus.

Apsvarstykite režimo ir medianos apskaičiavimą diskrečioje variacijų eilutėje :

Nustatykite režimą ir medianą.

Mada Mo = 4 metai, nes ši vertė atitinka didžiausią dažnį f = 5.

Tie. didžiausias skaičius darbuotojai turi 4 metų patirtį.

Norėdami apskaičiuoti medianą, pirmiausia randame pusę dažnių sumos. Jei dažnių suma yra nelyginis skaičius, tada prie šios sumos pirmiausia pridedame vieną, o tada padaliname per pusę:

Mediana bus aštuntas variantas.

Norėdami sužinoti, kuris variantas bus aštuntas pagal skaičių, kaupsime dažnius tol, kol gausime dažnių sumą, lygią arba didesnę už pusę visų dažnių sumos. Atitinkama parinktis bus mediana.

Aš = 4 metai.

Tie. pusė dirbančiųjų turi mažesnę nei ketverių metų patirtį, pusė – didesnę.

Jei sukauptų dažnių suma prieš vieną variantą yra lygi pusei dažnių sumos, mediana apibrėžiama kaip šios ir kitos parinkties aritmetinis vidurkis.

Režimo ir medianos apskaičiavimas intervalo variacijų eilutėje

Režimas intervalo variacijų serijoje apskaičiuojamas pagal formulę

kur X М0- pradinė modalinio intervalo riba,

hm 0 yra modalinio intervalo reikšmė,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 - modalinio intervalo dažnis atitinkamai prieš modalą ir paskesnį.

Modalinis Didžiausio dažnio intervalas vadinamas.

1 pavyzdys

Grupės pagal patirtį	Darbininkų, žmonių skaičius	Sukaupti dažniai

Nustatykite režimą ir medianą.

Modalinis intervalas, nes jis atitinka didžiausią dažnį f = 35. Tada:

Hm 0 =6, fm 0 =35

hm 0 =2, fm 0-1 =20

fm 0+1 =11

Išvada: daugiausia darbuotojų turi apie 6,7 metų patirtį.

Intervalų serijai Me apskaičiuojamas pagal šią formulę:

kur Hm e- apatinė medialinio intervalo riba,

hm e- medialinio intervalo dydis,

- pusė dažnių sumos,

fm e yra vidutinio intervalo dažnis,

Sm e-1 yra intervalo prieš medianą sukauptų dažnių suma.

Vidutinis intervalas yra toks intervalas, kurį atitinka kaupiamasis dažnis, lygus pusei dažnių sumos arba didesnis už ją.

Apibrėžkime savo pavyzdžio medianą.

nuo 82>50, tada vidutinis intervalas .

Hm e =6, fm e =35,

hm e =2, Sm e-1 =47,

Išvada: pusė darbuotojų turi mažesnę nei 6,16 metų patirtį, o pusė - daugiau nei 6,16 metų.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija – tai duomenys, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba su juo susisiekti.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei Artimiausi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditus, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Kvantiliai yra reikšmės, padalijančios aibę į tam tikrą skaičių dalių, lygių elementų skaičiui. Garsiausios yra mediana, kvartiliai, deciliai, procentiliai.

1) Garsiausias kvantilis yra mediana, padalijus rinkinį į dvi lygias dalis. Be medianos, dažnai naudojami kvartiliai, skirstantys reitinguojamą eilutę į 4 lygias dalis, deciliai - 10 dalių ir procentiliai - į 100 dalių.

Atskiros serijos mediana.

Norėdami nustatyti medianos diskrečioje eilutėje Pirmas eilinis medianos skaičius pagal formulę: ir tada apie nustatyti, kurios ypatybės reikšmės kaupiamasis dažnis yra lygus vidutiniam skaičiui.

Jei eilutėje yra lyginis skaičius elementų, tada mediana bus ne sveikasis skaičius, o mediana bus lygi dviejų funkcijų verčių vidurkiui viduryje . Pirmosios iš šių funkcijų skaičius yra visa dalis medianos skaičius, antrajai - medianos skaičius, suapvalintas iki sveikojo skaičiaus.

Intervalų serijų mediana

Skaičiuojant intervalo kitimo serijos medianą, pirmiausia nustatomas medianos intervalas, kuriame yra mediana.

Už tai:

1) medianos skaičius nustatomas pagal formulę: ,

2) tada pagal sukauptą dažnį nustatomas intervalas, į kurį įeina elementas su tokiu skaičiumi,

3) tada - medianos reikšmė pagal formulę:

– yra norima mediana

- yra apatinė intervalo, kuriame yra mediana, riba

-i- intervalo plotis (viršutinė intervalo riba - apatinė riba)

- - dažnių suma arba elementų skaičius grupėje

Suminis intervalo prieš medianą dažnis

- — vidutinio intervalo dažnis

Pavyzdys. Raskite intervalų serijos režimą ir medianą.

Sprendimas:

1) Apibrėžkite madą

Šiame pavyzdyje modalinis intervalas yra 25–30 metų amžiaus grupėje, nes šis intervalas yra didžiausias (1054).

Apskaičiuokime režimo reikšmę:

Tai reiškia, kad modalinis studentų amžius yra 27 metai.

2) Apibrėžkite medianą.

Vidutinis intervalas yra 25-30 metų amžiaus grupėje, nes šiame intervale yra variantas, kuris dalija populiaciją į dvi lygias dalis (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Toliau formulėje pakeičiame reikiamus skaitinius duomenis ir gauname medianos reikšmę:

Tai reiškia, kad pusė studentų yra jaunesni nei 27,4 metų, o kita pusė – vyresni nei 27,4 metų.

2) Kvartiliai

Kvartiliai reiškia ypatybės, kuri padalija diapazoną į keturias dalis, lygias elementų skaičiui, reikšmę.

Yra pirmos eilės kvartilis (apatinis kvartilis) , trečiosios eilės kvartilis (viršutinis kvartilis). Pirmasis (apatinis) kvartilis atskiria ¼ vienetų su minimaliomis reikšmėmis iš populiacijos, o trečiasis (viršutinis) atskiria ¼ vienetų su didžiausiomis reikšmėmis, antrasis kvartilis yra mediana. Antrasis kvartilis padalija populiaciją į dvi lygias dalis ir yra mediana.

Norėdami apskaičiuoti kvartilius, variacijų eilutę galite padalyti pagal medianą į dvi lygias dalis ir kiekvienoje iš jų rasti medianą.

Pavyzdžiui, jeigu imtį sudaro 6 elementai, tai antrasis elementas laikomas pradiniu imties kvartiliu, o penktasis – apatiniu kvartiliu.

mediana

Jei variacijų seriją sudaro, pavyzdžiui, 9 elementai, tada aritmas laikomas viršutiniu kvartiliu. 2 ir 3 elementų vidurkis, o žemesniajam aritmui. 7 ir 8 elementų vidurkis.

mediana

1-asis kvartilis 3-asis kvartilis

Kvartilių apskaičiavimas diskrečioje eilutėje:

Kvartilių apskaičiavimas diskrečioje eilutėje:

1. Diskrečioje serijoje pirmiausia nustatykite kvartilių skaičiai (padėtys).:

1-oji kvartilio pozicija

3 kvartilio pozicija

2. Jei kvartilio skaičius- sveikasis skaičius, tada kvartilio reikšmė bus lygi serijos elemento, kurio sukauptas dažnis lygus kvartilio skaičiui, vertei. Pavyzdžiui, jei kvartilio skaičius yra 20, jo reikšmė bus lygi ypatybės, kurios S = 20, reikšmei (kaupiamasis dažnis lygus 20).

Jei kvartilio skaičius yra ne sveikasis skaičius, tada kvartilis bus sąlyginis skaičius tarp dviejų stebėjimų. Kvartilio reikšmė bus elemento, kurio sukauptas dažnis lygus sveikajam kvartilio skaičiaus reikšmei, vertės ir nurodytos skirtumo tarp kvartilio skaičiaus dalies (nesveikosios kvartilės dalies) suma. šį elementą ir kito elemento reikšmę.

Pavyzdžiui, jei kvartilio skaičius yra 20,25, kvartilis patenka tarp 20 ir 21 stebėjimų, o jo reikšmė bus lygi 20 stebėjimo reikšmei, pridėjus 1/4 (0,25) skirtumo tarp 20 ir 21 stebėjimų. 21-ieji pastebėjimai.

Kvartilių apskaičiavimas intervalų serijai:

Norėdami apskaičiuoti intervalų serijos kvartilius:

1) Nustatykite kvartilio skaičių,

2) Nustatykite kvartilio intervalą,

3) Apskaičiuokite kvartilį naudodami formulę:

Apatinė intervalo riba, kurioje yra pirmasis kvartilis. Intervalas nustatomas pagal sukauptą intervalo dažnį
- apatinė intervalo riba, kurioje yra trečiasis kvartilis. Intervalas nustatomas pagal sukauptą intervalo dažnį
- intervalo plotis
- sukauptas intervalo dažnis prieš intervalą, kuriame yra pirmasis kvartilis
- sukauptas intervalo dažnis prieš intervalą, kuriame yra trečiasis kvartilis
- intervalo, kuriame yra pirmasis kvartilis, dažnis
- intervalo, kuriame yra trečiasis kvartilis, dažnis

Norint rasti medianą trikampio kraštinėse, nebūtina įsiminti papildomos formulės. Pakanka žinoti sprendimo algoritmą.

Pirmiausia pažvelkime į problemą bendrai.

Duotas trikampis su kraštinėmis a, b, c. Raskite medianos, nubrėžtos į kraštinę b, ilgį.

AB=a, AC=b, BC=c.

Spindulyje BF atidedame atkarpą FD, FD=BF.

Sujungkime tašką D su taškais A ir C.

Keturkampis ABCD yra lygiagretainis (pagal požymį), nes jo įstrižainės susikirtimo taške yra padalintos per pusę.

Lygiagretainio įstrižainių savybė: lygiagretainio įstrižainių kvadratų suma lygi jo kraštinių kvadratų sumai.

Taigi: AC²+BD²=2(AB²+BC²), taigi b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Pagal konstrukciją BF yra pusė BD, todėl

Tai yra trikampio išilgai jo kraštinių vidurio nustatymo formulė. Paprastai parašyta taip:

Pereikime prie konkrečios problemos.

Trikampio kraštinės yra 13 cm, 14 cm ir 15 cm Raskite trikampio, nubrėžto į jo vidurio ilgio kraštinę, medianą.

Taikydami panašius samprotavimus, gauname:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Trumpa teorija

Plačiausiai statistikoje naudojami struktūriniai vidurkiai, kurie apima režimą ir medianą (neparametrinius vidurkius).

Mada- požymio (varianto), kuris atsiranda didžiausio dažnio (svorio) pasiskirstymo eilutėje, reikšmė. Mada (Mo) naudojama norint nustatyti labiausiai paplitusio bruožo vertę (kaina rinkoje, už kurią buvo parduota daugiausiai šio produkto, batų numeris, kuris yra paklausiausias tarp pirkėjų ir kt.) . Režimas naudojamas tik esant dideliems skaičiams. Atskiros serijos režimas randamas kaip didžiausio dažnio variantas. Intervalų serijoje pirmiausia yra modalinis intervalas, tai yra didžiausio dažnio intervalas, o tada apytikslė modalinės atributo vertės vertė pagal formulę:

yra apatinė modalinio intervalo riba

- modalinio intervalo reikšmė

yra intervalo prieš modalą dažnis

– modalinio intervalo dažnis

yra intervalo po modalo dažnis

kvantiliai- dydžiai, padalijantys aibę į tam tikrą skaičių dalių, lygių elementų skaičiui. Garsiausias kvantilis yra mediana, padalijanti populiaciją į dvi lygias dalis. Be medianos, dažnai naudojami kvartiliai, skirstantys reitinguojamą eilutę į 4 lygias dalis, deciliai - 10 dalių ir procentiliai - į 100 dalių.

Mediana- vieneto, esančio reitinguojamos (užsakytos) serijos viduryje, atributo vertė. Jei pasiskirstymo seriją vaizduoja konkrečios ypatybės reikšmės, mediana (Me) randama kaip ypatybės mediana.

Jei pasiskirstymo serija yra diskreti, mediana randama kaip požymio mediana (pavyzdžiui, jei reikšmių skaičius nelyginis - 45, tai atitinka 23 požymio reikšmę reikšmių serijoje išdėstyti didėjančia tvarka, jei reikšmių skaičius yra lygus - 44, tada mediana atitinka pusę 22 ir 23 požymių reikšmių sumos).

Jei pasiskirstymo eilutė yra intervalas, tada iš pradžių randamas vidutinis intervalas, kuriame yra vienetas, esantis diapazono eilutės viduryje. Norint nustatyti šį intervalą, dažnių suma dalijama per pusę ir, remiantis nuosekliu intervalų dažnių kaupimu (sumavimu), pradedant nuo pirmojo, randamas intervalas, kuriame yra mediana. Intervalų eilutės medianos reikšmė apskaičiuojama pagal formulę:

- apatinė medianinio intervalo riba

- vidutinio intervalo reikšmė

Eilučių dažnių suma

yra sukauptų dažnių intervaluose prieš medianą

yra vidutinio intervalo dažnis

Kvartiliai- tai atributo reikšmės reitinguojamoje eilutėje, parinktos taip, kad 25% populiacijos vienetų būtų mažesni už reikšmę , o 25% vienetų bus tarp ir ; 25 % – tarp ir , likę 25 % yra pranašesni. Kvartiliai nustatomi naudojant formules, panašias į medianos apskaičiavimo formulę. Intervalinėms serijoms:

Decilis vadinamas struktūriniu kintamuoju, kuris skirstymą padalija į 10 lygių dalių pagal populiacijos vienetų skaičių. Deciliai yra 9 ir 10. Deciliai nustatomi naudojant formules, panašias į medianos ir kvartilių skaičiavimo formulę.

Apskritai bendroji formulė Kvantilių skaičiavimas intervalų eilutėje yra toks:

– kvantilio eilės numeris

- kvantilio matmuo (į kiek dalių šie kvartiliai padalija populiaciją)

yra apatinė kvantilio intervalo riba

yra kvantilio intervalo plotis

Kaupiamasis prieškvantilės intervalo dažnis

Atskirai serijai kvantilio skaičių galima rasti naudojant formulę:

Problemos sprendimo pavyzdys

1 problemos sąlyga (diskrečios reitinguotos serijos)

Tyrimo metu buvo nustatytos vieno įėjimo gyventojų vidutinės mėnesinės pajamos:

Apibrėžkite:

Modalinės ir vidutinės pajamos, pajamų kvantiliai ir deciliai.

Problemos sprendimas

Mes jau turime reitinguotą seriją - gyventojų pajamų vertės paskirstomos didėjančia tvarka.

Režimas yra dažniausiai pasitaikanti reikšmė. AT Ši byla turime eilutę su dviem režimais.

Mediana yra ypatybės, padalijančios sutvarkytą duomenų rinkinį per pusę, reikšmė.

Kvartiliai – objekto reikšmės reitinguotoje serijoje, parinktos taip, kad 25 % populiacijos vienetų būtų mažesni už reikšmę; 25 % vienetų bus tarp ir ; 25% - tarp ir; likę 25% yra pranašesni.

Diciliai padalina eilutę į 10 lygių dalių:

Jei jums pagalbos nereikia dabar, bet gali prireikti ateityje, tada, kad neprarastumėte ryšio, prisijungti prie VK grupės.

2 problemos sąlyga (intervalinė serija)

Norint nustatyti vidutinę indėlio sumą kredito įstaigoje, buvo gauti šie duomenys:

Apskaičiuokite struktūrinius vidurkius (modą, medianą, kvartilius).

Problemos sprendimas

Apskaičiuokime įnašo dydžio režimą:

Režimas yra didžiausio dažnio variantas.

Režimas apskaičiuojamas pagal formulę:

Modalinio intervalo pradžia

Intervalo reikšmė

Modalinis intervalo dažnis

Intervalo dažnis prieš modalą

Intervalo dažnis po modalo

Taigi, didžiausias indėlių skaičius yra 30,7 tūkst.

Mediana yra vertė paskirstymo serijos viduryje.

Mediana apskaičiuojama pagal formulę:

Vidutinio intervalo pradžia (apatinė riba).

Intervalo reikšmė

Visų serijos dažnių suma

Vidutinis intervalo dažnis

Variantų kaupiamųjų dažnių suma iki medianos

Taigi, pusė indėlių yra iki 28 tūkstančių rublių, kitos pusės - daugiau nei 28 tūkstančiai rublių.

Apskaičiuokime kvantilius:

Taigi, 25% indėlių yra mažesni nei 20,8 tūkst. rublių, 25% indėlių yra nuo 20,8 tūkst. iki 28 tūkstančių rublių, 25% yra nuo 28 tūkstančių rublių. iki 33 tūkstančių rublių, 25% daugiau nei 33 tūkstančių rublių vertė.

3 problemos sąlyga

Nubraižykite variacijų serijų grafikus. Diagramoje parodykite režimą, medianą, vidurkį, kvartilius.

3 uždavinio sprendimas

Apskaičiuokite vidurkį: Norėdami tai padaryti, susukite intervalų vidurio taškų ir atitinkamų dažnių sandaugas ir gautą sumą padalinkite iš dažnių sumos.