Nelygybių sistemaĮprasta vadinti bet kurią dviejų ar daugiau nelygybių aibę, kurioje yra nežinomas dydis.

Šią formuluotę aiškiai iliustruoja, pavyzdžiui, tokie nelygybių sistemos:

Išspręskite nelygybių sistemą - reiškia surasti visas nežinomo kintamojo, kuriam realizuota kiekviena sistemos nelygybė, reikšmes arba įrodyti, kad tokių nėra .

Taigi, kiekvienam individualiai sistemos nelygybės apskaičiuokite nežinomą kintamąjį. Be to, iš gautų reikšmių atrenkamos tik tos, kurios teisingos ir pirmajai, ir antrajai nelygybei. Todėl, pakeičiant pasirinktą reikšmę, abi sistemos nelygybės tampa teisingos.

Išanalizuokime kelių nelygybių sprendimą:

Padėkite vieną po kita skaičių eilučių pora; įdėkite vertę viršuje x, pagal kurią pirmoji nelygybė o ( x> 1) tampa tiesa, o apačioje – vertė X, kurios yra antrosios nelygybės ( X> 4).

Palyginus duomenis apie skaičių eilutės, atkreipkite dėmesį, kad sprendimas abiems nelygybės bus X> 4. Atsakymas, X> 4.

2 pavyzdys

Skaičiuojant pirmąjį nelygybė gauname -3 X< -6, или x> 2, antrasis - X> -8 arba X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, pagal kurią pirmasis sistemos nelygybė, o apatinėje skaičių eilutėje – visos tos reikšmės X, pagal kurią realizuojama antroji sistemos nelygybė.

Palyginę duomenis, matome, kad abu nelygybės bus įgyvendinta visoms vertybėms X vieta nuo 2 iki 8. Vertybių rinkiniai Xžymėti dviguba nelygybė 2 < X< 8.

3 pavyzdys Raskime

Šioje pamokoje pradėsime nagrinėti nelygybių sistemas. Pirmiausia panagrinėsime tiesinių nelygybių sistemas. Pamokos pradžioje svarstysime, kur ir kodėl atsiranda nelygybių sistemos. Toliau išnagrinėsime, ką reiškia išspręsti sistemą, ir prisiminsime aibių sąjungą ir sankirtą. Pabaigoje išspręsime konkrečius tiesinių nelygybių sistemų pavyzdžius.

Tema: dietatikrosios nelygybės ir jų sistemos

Pamoka:Pagrindinissąvokos, tiesinių nelygybių sistemų sprendimas

Iki šiol sprendėme individualias nelygybes ir joms taikėme intervalų metodą, tai galėjo būti tiesinės nelygybės, kvadratinis ir racionalus. Dabar pereikime prie nelygybių sistemų sprendimo – pirmiausia tiesinės sistemos. Pažvelkime į pavyzdį, iš kurio kyla poreikis atsižvelgti į nelygybių sistemas.

Raskite funkcijos apimtį

Raskite funkcijos apimtį

Funkcija egzistuoja, kai egzistuoja abi kvadratinės šaknys, t.y.

Kaip išspręsti tokią sistemą? Būtina rasti visas x, tenkinančias pirmąją ir antrąją nelygybes.

Ant x ašies nubrėžkite pirmosios ir antrosios nelygybių sprendinių aibę.

Dviejų spindulių susikirtimo intervalas yra mūsų sprendimas.

Šis nelygybių sistemos sprendimo vaizdavimo būdas kartais vadinamas stogo metodu.

Sistemos sprendimas yra dviejų aibių sankirta.

Pavaizduokime tai grafiškai. Turime savavališko pobūdžio aibę A ir savavališko pobūdžio aibę B, kurios susikerta.

Apibrėžimas: Dviejų aibių A ir B sankirta yra trečioji rinkinys, susidedantis iš visų elementų, įtrauktų į A ir B.

Pagal konkrečius tiesinių nelygybių sistemų sprendimo pavyzdžius apsvarstykite, kaip rasti į sistemą įtrauktų atskirų nelygybių sprendinių aibių sankirtas.

Išspręskite nelygybių sistemą:

Atsakymas: (7; 10]).

4. Išspręskite sistemą

Iš kur gali atsirasti antroji sistemos nelygybė? Pavyzdžiui, nuo nelygybės

Grafiškai pažymime kiekvienos nelygybės sprendinius ir randame jų susikirtimo intervalą.

Taigi, jei turime sistemą, kurioje viena iš nelygybių tenkina bet kurią x reikšmę, tada ją galima pašalinti.

Atsakymas: sistema nenuosekli.

Išnagrinėjome tipines atramos problemas, į kurias redukuojamas bet kokios tiesinės nelygybių sistemos sprendimas.

Apsvarstykite šią sistemą.

7.

Kartais tiesinė sistema pateikiama dviguba nelygybe; apsvarstykite šį atvejį.

8.

Mes svarstėme tiesinių nelygybių sistemas, supratome, iš kur jos kyla, laikėme tipines sistemas, į kurias redukuoja visos tiesinės sistemos, ir kai kurias iš jų išsprendėme.

1. Mordkovichas A.G. ir kt.. Algebra 9 klasė: Proc. Dėl bendrojo išsilavinimo Institucijos – 4 leidimas. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: iliustr.

2. Mordkovičius A.G. ir kt.. Algebra 9 klasė: Užduočių sąsiuvinis mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovich, T. N. Mišustina ir kiti - 4-asis leidimas. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9 klasė: vadovėlis. bendrojo lavinimo mokiniams. institucijos / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7-asis leidimas, kun. ir papildomas - M .: Mnemosyne, 2008 m.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9 klasė 16-asis leidimas - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9 klasė 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12 leidimas, ištrintas. — M.: 2010. — 224 p.: iliustr.

6. Algebra. 9 klasė 2 val.. 2 dalis. Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mišustina ir kt.; Red. A. G. Mordkovičius. - 12 leidimas, kun. — M.: 2010.-223 p.: iliustr.

1. Gamtos mokslų portalas ().

2. Elektroninis edukacinis ir metodinis kompleksas, skirtas 10-11 kl stojamieji egzaminai informatikos, matematikos, rusų kalbos ().

4. Švietimo centras „Ugdymo technologija“ ().

5. College.ru skyrius apie matematiką ().

1. Mordkovichas A.G. ir kt.Algebra 9 klasė: Užduočių sąsiuvinis ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al.- 4th ed. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr. Nr.53; 54; 56; 57.

Linijinių, kvadratinių ir trupmeninių nelygybių sprendimo programa ne tik duoda atsakymą į problemą, bet ir veda detalus sprendimas su paaiškinimais, t.y. rodomas sprendimo procesas, siekiant patikrinti matematikos ir/ar algebros žinias.

Be to, jei sprendžiant vieną iš nelygybių reikia išspręsti pvz. kvadratinė lygtis, tada rodomas ir detalus jo sprendimas (jis įtrauktas į spoilerį).

Ši programa gali būti naudinga besiruošiantiems aukštųjų mokyklų studentams kontrolinis darbas, tėvai gali kontroliuoti savo vaikų nelygybės sprendimą.

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams bendrojo lavinimo mokyklose ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, tikrinant žinias prieš egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematika ar algebra? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, tuo pačiu padidindami išsilavinimo lygį sprendžiamų užduočių srityje.

Nelygybės įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ir kt.

Skaičius galima įvesti kaip sveikuosius skaičius arba trupmenas.
Be to, trupmeniniai skaičiai galima įvesti ne tik kaip dešimtainę, bet ir kaip paprastąją trupmeną.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis nuo sveikojo skaičiaus gali būti atskirta tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio taigi: 2,5x - 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
visa dalis atskirtas nuo trupmenos ampersandu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5 m + 1/7 m ^ 2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Įvedant posakius galima naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant nelygybę, reiškiniai pirmiausia supaprastinami.
Pavyzdžiui: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Pasirinkite norimą nelygybės ženklą ir žemiau esančiuose laukuose įveskite daugianario.

Pirmoji sistemos nelygybė.

Spustelėkite mygtuką, kad pakeistumėte pirmosios nelygybės tipą.

> >= < <=

Išspręskite nelygybių sistemą

Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai užduočiai išspręsti, nebuvo įkelti, todėl programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas „JavaScript“.
Kad sprendimas būtų rodomas, JavaScript turi būti įjungtas.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palauk prašau sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite rašyti Atsiliepimų formoje .
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos. Skaitiniai tarpai

Su sistemos samprata susipažinote 7 klasėje ir išmokote spręsti tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas. Toliau bus nagrinėjamos tiesinių nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos. Nelygybių sistemų sprendinių aibės gali būti užrašomos naudojant intervalus (intervalus, pusintervalus, atkarpas, spindulius). Taip pat sužinosite apie skaitinių intervalų žymėjimą.

Jei nelygybėse \(4x > 2000 \) ir \(5x \leq 4000 \) nežinomas skaičius x yra vienodas, tada šios nelygybės nagrinėjamos kartu ir sakoma, kad jos sudaro nelygybių sistemą: $$ \left\ (\begin( masyvas)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(masyvas)\right.$$

Garbanotas skliaustas rodo, kad reikia rasti tokias x reikšmes, kurioms abi sistemos nelygybės virstų tikrosiomis skaitinėmis nelygybėmis. Ši sistema yra tiesinių nelygybių su vienu nežinomuoju sistemos pavyzdys.

Nelygybių sistemos su vienu nežinomuoju sprendimas yra nežinomojo reikšmė, kuriai esant visos sistemos nelygybės virsta tikrosiomis skaitinėmis nelygybėmis. Išspręsti nelygybių sistemą reiškia rasti visus šios sistemos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.

Nelygybes \(x \geq -2 \) ir \(x \leq 3 \) galima užrašyti kaip dvigubą nelygybę: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Nelygybių su vienu nežinomuoju sistemų sprendiniai yra skirtingos skaitinės aibės. Šie rinkiniai turi pavadinimus. Taigi tikrojoje ašyje skaičių x, kad \(-2 \leq x \leq 3 \) vaizduojama atkarpa, kurios galai yra taškuose -2 ir 3.

-2

3

Jei \(a yra segmentas ir žymimas [a; b]

Jei \ (intervalas ir žymimas (a; b)

Skaičių aibės \(x \), tenkinančios nelygybes \(a \leq x pusintervalais ir žymimos atitinkamai [a; b) ir (a; b]

Vadinami segmentai, intervalai, pusintervalai ir spinduliai skaitiniai intervalai.

Šiuo būdu, skaičių spragas galima pateikti nelygybių forma.

Nelygybės su dviem nežinomaisiais sprendimas yra skaičių pora (x; y), kuri šią nelygybę paverčia tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visų jos sprendinių aibę. Taigi, nelygybės x > y sprendiniai bus, pavyzdžiui, skaičių poros (5; 3), (-1; -1), nes \(5 \geq 3 \) ir \(-1 \geq - 1\)

Nelygybių sistemų sprendimas

Jūs jau išmokote išspręsti tiesines nelygybes su vienu nežinomuoju. Žinokite, kas yra nelygybių sistema ir sistemos sprendimas. Todėl nelygybių su vienu nežinomuoju sistemų sprendimo procesas jums nesukels jokių sunkumų.

Ir vis dėlto primename: norėdami išspręsti nelygybių sistemą, turite išspręsti kiekvieną nelygybę atskirai ir tada rasti šių sprendinių sankirtą.

Pavyzdžiui, pradinė nelygybių sistema buvo sumažinta iki formos:
$$ \left\(\begin(masyvas)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(masyvas)\right. $$

Norėdami išspręsti šią nelygybių sistemą, realioje ašyje pažymėkite kiekvienos nelygybės sprendinį ir suraskite jų sankirtą:

-2

3

Sankryža yra atkarpa [-2; 3] – tai pirminės nelygybių sistemos sprendimas.

TIŠINĖS LYGTYBĖS IR NELYGYBĖS I

§ 23 Tiesinių nelygybių sistemos

Tiesinių nelygybių sistema yra bet kuri dviejų ar daugiau tiesinių nelygybių, turinčių tą patį nežinomą dydį, rinkinys.

Tokių sistemų pavyzdžiai:

Išspręsti nelygybių sistemą reiškia rasti visas nežinomo dydžio reikšmes, kurioms yra tenkinama kiekviena sistemos nelygybė.

Išspręskime aukščiau pateiktas sistemas.

Padėkime dvi skaičių eilutes vieną po kita (31 pav.); viršuje pažymėkite tas vertes X , pagal kurią pirmoji nelygybė ( X > 1), o apačioje – tos reikšmės X , pagal kurią tenkinama antroji nelygybė ( X > 4).

Palyginus skaičių eilučių rezultatus, pastebime, kad abi nelygybės bus tenkinamos vienu metu X > 4. Atsakymas, X > 4.

Pirmoji nelygybė suteikia -3 X < -б, или X > 2, o antrasis - X > -8 arba X < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения X , pagal kurią tenkinama pirmoji sistemos nelygybė, o antroje realioje eilutėje, esančioje po pirmąja, visos tos reikšmės X , kuriai tenkinama antroji sistemos nelygybė (32 pav.).

Šių dviejų rezultatų palyginimas rodo, kad abi nelygybės vienu metu galios visoms vertėms X , padaryta nuo 2 iki 8. Tokių reikšmių rinkinys X parašyta kaip dviguba nelygybė 2< X < 8.

3 pavyzdys. Išspręskite nelygybių sistemą

Pirmoji sistemos nelygybė suteikia 5 X < 10, или X < 2, второе X > 4. Taigi bet kuris skaičius, tenkinantis abi nelygybes vienu metu, turi būti ne didesnis kaip 2 ir ne didesnis kaip 4 (33 pav.).

Tačiau tokių skaičių nėra. Todėl ši nelygybių sistema netenkinama jokioms vertybėms X . Tokios nelygybių sistemos vadinamos nenuosekliomis.

Pratimai

Išspręskite šias nelygybių sistemas (Nr. 179 -184):

Išspręskite nelygybes (Nr. 185, 186):

185. (2X + 3) (2 - 2X ) > 0. 186. (2 - π ) (2X - 15) (X + 4) > 0.

Raskite galiojančias raidžių, įtrauktų į lygybės duomenis (Nr. 187, 188), reikšmes:

Išspręskite nelygybes (Nr. 189, 190):

189. 1 < 2X - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Oi < 5.

191. Kokia turi būti 10 litrų vandens temperatūra, kad jį sumaišius su 6 litrais 15° temperatūros vandens gautųsi ne žemesnės kaip 30° ir ne aukštesnės kaip 40° temperatūros vanduo?

192. Viena trikampio kraštinė lygi 4 cm, o kitų dviejų suma lygi 10 cm Raskite šias kraštines, jei jos išreikštos sveikais skaičiais.

193. Yra žinoma, kad dviejų tiesinių nelygybių sistema netenkinama jokioms nežinomo dydžio reikšmėms. Ar galima sakyti, kad atskiros šios sistemos nelygybės netenkinamos jokioms nežinomo dydžio reikšmėms?

1 apibrėžimas . taškų rinkinys erdvėje R n , kurios koordinatės tenkina lygtį a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n = b, vadinamas ( n - 1 )-dimensinė hiperplokštuma in n- matmenų erdvė.

1 teorema. Hiperplokštuma padalija visą erdvę į dvi pusiau erdves. Pusė erdvė yra išgaubtas rinkinys.

Baigtinio skaičiaus pustarpių sankirta yra išgaubta aibė.

2 teorema . Tiesinės nelygybės sprendimas su n nežinomas

a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n b

yra viena iš puserdvių, į kurią visa erdvė yra padalinta hiperplokštumos

a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+a n x n= b.

Apsvarstykite sistemą nuo m tiesinės nelygybės su n nežinomas.

Kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas yra tam tikra puserdvė. Sistemos sprendimas bus visų puservių sankirta. Šis rinkinys bus uždaras ir išgaubtas.

Tiesinių nelygybių sistemų sprendimas

su dviem kintamaisiais

Tebūnie duota sistema m tiesinės nelygybės dviejuose kintamuosiuose.

Kiekvienos nelygybės sprendimas bus viena iš pusplokštumų, į kurias visa plokštuma yra padalinta atitinkama linija. Sistemos sprendimas bus šių pusiau plokštumų susikirtimas. Šią problemą galima išspręsti grafiškai plokštumoje X 1 0 X 2 .

37. Išgaubto daugiakampio vaizdavimas

1 apibrėžimas. Uždaryta išgaubtas ribotas įdėjimas R n turintis baigtinį skaičių kampiniai taškai, vadinamas išgaubtu n- matmenų daugiakampis.

2 apibrėžimas . Uždaras išgaubtas neapribotas rinkinys R n , turintis baigtinį kampinių taškų skaičių, vadinamas išgaubta daugiakampe sritimi.

3 apibrėžimas . Daug BETR n vadinamas ribotu, jei yra n- matmenų rutulys, kuriame yra šis rinkinys.

4 apibrėžimas. Išgaubta tiesinė taškų kombinacija yra išraiška, kur t i , .

Teorema (išgaubto daugiakampio vaizdavimo teorema). Bet kuris išgaubto daugiakampio taškas gali būti pavaizduotas kaip išgaubta tiesinė kampinių taškų kombinacija.

38. Lygčių ir nelygybių sistemos leistinų sprendinių sritis.

Tebūnie duota sistema m tiesines lygtis ir nelygybes su n nežinomas.

1 apibrėžimas . Taškas R n vadinamas galimu sistemos sprendimu, jeigu jo koordinatės tenkina sistemos lygtis ir nelygybes. Viso visuma galimi sprendimai vadinama sistemos galimų sprendimų sritimi (ROA).

2 apibrėžimas. Galimas sprendimas, kurio koordinatės yra neneigiamos, vadinamas leistinu sistemos sprendimu. Visų leistinų sprendinių rinkinys vadinamas sistemos leistinų sprendinių regionu (ODD).

1 teorema . ODE yra uždaras, išgaubtas, ribotas (arba neapribotas) poaibis R n.

2 teorema. Priimtinas sistemos sprendimas yra atskaitos taškas tada ir tik tada, kai šis taškas yra ODS kampinis taškas.

3 teorema (teorema apie ODT vaizdavimą). Jei ODE yra ribota aibė, tai bet kuris leistinas sprendimas gali būti pavaizduotas kaip išgaubta tiesinė ODE kampinių taškų kombinacija (išgaubtos tiesinės sistemos atraminių sprendinių derinio forma).

4 teorema (teorema apie sistemos atraminio sprendimo egzistavimą). Jei sistemoje yra bent vienas leistinas tirpalas (ODR), tai tarp leistinų tirpalų yra bent vienas etaloninis tirpalas.