Մեզ հաճախ հետաքրքրում է մի քանի իրադարձությունների միաժամանակ տեղի ունենալու հավանականությունը, օրինակ՝ երկու գլուխը երկու մետաղադրամ նետելու կամ առնվազն վեցը երկու գլանափաթեթի վրա: Նման իրավիճակները կոչվում են իրավիճակներ՝ բազմաթիվ հնարավոր արդյունքներով.

Օգտագործելով ծառի դիագրամներ

Թեև բավականին հեշտ է հասկանալ, որ գեղեցիկ մետաղադրամի մեկ պտույտի վրա գլուխներ ձեռք բերելու հավանականությունը ?, որոշ չափով ավելի դժվար է ինտուիտիվ կերպով որոշել չորս գլուխների հավանականությունը ոսկե մետաղադրամի չորս նետումով: Թեև մետաղադրամի օրինակը կարող է արհեստական ​​թվալ, այն լավ է հարմար բացատրելու հավանականությունների համակցությունը բազմաթիվ փորձերի ժամանակ: Եկեք հաշվարկները կատարենք. (Հետևեք իմ պատճառաբանությանը, նույնիսկ եթե ահավոր վախենում եք մաթեմատիկայից: Եթե օրինակներով աշխատեք, հաշվարկներն ու մաթեմատիկական պատճառաբանությունը ձեզ բավականին պարզ կթվան: Հաջորդ մի քանի թվերը նայելուց հետո բացականչել պետք չէ. «Ոչ, ոչ մի կերպ. , ես ուղղակի բաց կթողնեմ։ Կարևոր է թվերով և թվերով մտածել։)

Առաջին պտույտի վրա կարող է առաջանալ երկու հնարավոր արդյունքներից միայն մեկը. գլուխներ (O) կամ պոչեր (P): Ի՞նչ է պատահում, եթե մետաղադրամը երկու անգամ նետվի: Գոյություն ունեն չորս հնարավոր արդյունք՝ երկու անգամ գլխով (OO), գլխով առաջին անգամ և պոչով երկրորդ անգամ (OR), պոչերով առաջին անգամ և գլխով երկրորդ անգամ (RO), և պոչերով երկու անգամ (RR): Քանի որ կան չորս հնարավոր արդյունքներ և երկու գլուխ ստանալու միայն մեկ եղանակ, այս իրադարձության հավանականությունը 1/4 է (կրկին, մենք ենթադրում ենք, որ մետաղադրամը «արդար» է, այսինքն՝ գլուխներն ու պոչերը հավասարապես հավանական են): Ցանկացած իրավիճակում մի քանի իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը հաշվարկելու ընդհանուր կանոն կա՝ «և» կանոնը։ Եթե ​​ցանկանում եք գտնել առաջինի համատեղ առաջացման հավանականությունը ևերկրորդ իրադարձություն (արծիվ առաջինում ևերկրորդ նետում), մենք պետք է առանձին-առանձին բազմապատկենք այս իրադարձությունների հավանականությունը: Կիրառելով «և» կանոնը՝ մենք գտնում ենք, որ մետաղադրամը երկու անգամ նետելիս երկու պոչ ստանալու հավանականությունը հավասար է. x? = 1/4. Ինտուիտիվորեն թվում է, որ երկու իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը պետք է ավելի փոքր լինի, քան դրանցից յուրաքանչյուրի հավանականությունը առանձին. այնպես որ ստացվում է.

Այս հավանականությունը հաշվարկելու պարզ միջոց է ստացվում՝ ներկայացնելով բոլոր հնարավոր իրադարձությունները ծառի դիագրամ.Ծառի դիագրամներն օգտագործվել են 4-րդ գլխում, երբ մենք ստուգել ենք «եթե... ապա...» հայտարարությունների վավերականությունը: Այս գլխում մենք հավանականական արժեքներ ենք հատկացնելու ծառի ճյուղերին՝ որոշելու արդյունքների տարբեր համակցությունների հավանականությունը: Հետագա գլուխներում ես կվերադառնամ ծառի գծապատկերներին, երբ նայեմ խնդիրների ստեղծագործական լուծումներ գտնելու ուղիներին:

Առաջին անգամ, երբ մետաղադրամը նետվի, այն կհայտնվի կամ գլուխներով կամ պոչերով: «Արդար» մետաղադրամի համար գլուխներն ու պոչերը ունեն նույն հավանականությունը՝ 0,5: Եկեք պատկերացնենք այսպես.

Երբ երկրորդ անգամ մետաղադրամ եք նետում, կամ առաջին գլուխներին կհետևեն երկրորդ գլուխները կամ պոչերը, կամ առաջին պոչերին կհետևեն երկրորդ գլուխները կամ պոչերը: Երկրորդ նետումով գլուխ ու պոչ ստանալու հավանականությունը դեռ 0,5 է։ Երկրորդ պտույտի արդյունքները ներկայացված են գծապատկերում որպես ծառի լրացուցիչ ճյուղեր:

Ինչպես տեսնում եք դիագրամից, կան չորս հնարավոր արդյունքներ. Դուք կարող եք օգտագործել այս ծառը այլ իրադարձությունների հավանականությունները գտնելու համար: Որքա՞ն է մետաղադրամի երկու նետում մեկ գլուխ ստանալու հավանականությունը: Քանի որ մեկ պոչ ստանալու երկու եղանակ կա (OR կամ RO), պատասխանը 2/4 կամ ? է: Եթե ​​ցանկանում եք գտնել երկու կամ ավելի տարբեր արդյունքների հավանականությունը, գումարեք բոլոր արդյունքների հավանականությունը: Սա կոչվում է «կամ» կանոն: Մեկ այլ կերպ այս խնդիրը կարելի է ձևակերպել այսպես. «Որքա՞ն է ստանալու հավանականությունը կամսկզբում գլուխները, հետո պոչերը (1/4), կամնախ պոչեր, իսկ հետո գլուխներ (1/4)»: Պատասխանը գտնելու ճիշտ ընթացակարգը այս արժեքները միասին ավելացնելն է, ինչի արդյունքում ?. Ինտուիտիվորեն թվում է, որ մի քանի իրադարձություններից մեկի առաջացման հավանականությունը պետք է ավելի մեծ լինի, քան դրանցից յուրաքանչյուրի առաջացման հավանականությունը. այնպես որ ստացվում է.

«Եվ» և «կամ» կանոնները կարող են օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ մեզ հետաքրքրող իրադարձությունները անկախ.Երկու իրադարձություն անկախ են, եթե դրանցից մեկի առաջացումը չի ազդում մյուսի առաջացման վրա: Այս օրինակում մետաղադրամի առաջին նետման արդյունքը չի ազդում երկրորդ նետման արդյունքի վրա: Բացի այդ, որպեսզի «կամ» կանոնը գործի, իրադարձությունները պետք է անհամատեղելի լինեն, այսինքն՝ միաժամանակ չեն կարող տեղի ունենալ։ Այս օրինակում արդյունքներն անհամատեղելի են, քանի որ մենք չենք կարող գլուխներ ու պոչեր ստանալ նույն նետումով:

Իրադարձությունները որպես ծառի դիագրամներ ներկայացնելը օգտակար է շատ իրավիճակներում: Եկեք ընդլայնենք մեր օրինակը. Ենթադրենք, գծավոր կոստյումով մի տղամարդ՝ երկար, ոլորված բեղերով և շարժուն փոքրիկ աչքերով, կանգնեցնում է ձեզ փողոցում և առաջարկում փողի համար խաղալ՝ մետաղադրամ նետելով: Նա միշտ խաղադրույք է կատարում արծվի վրա։ Առաջին նետման ժամանակ մետաղադրամն ընկնում է վերև: Նույնը տեղի է ունենում երկրորդ նետման ժամանակ: Երրորդ նետումով գլուխները նորից բարձրանում են: Ե՞րբ եք սկսում կասկածել, որ նա «կեղծ» մետաղադրամ ունի: Մարդկանց մեծամասնությունը կասկածներ ունի երրորդ կամ չորրորդ փորձի ժամանակ: Հաշվեք երեք և չորս մետաղադրամների արդար նետման վրա որոշ գլուխներ ստանալու հավանականությունը (գլուխներ ստանալու հավանականությունը 0,5 է):

Երեք փորձից երեք գլուխ ստանալու հավանականությունը հաշվարկելու համար հարկավոր է գծել «հանգույցների» երեք շարքով ծառ, որոնցից յուրաքանչյուր հանգույցից դուրս է գալիս երկու «ճյուղ»։

Այս օրինակում մեզ հետաքրքրում է երեք գլուխ անընդմեջ ստանալու հավանականությունը՝ պայմանով, որ մետաղադրամն արդար է։ Նայեք «արդյունք» պիտակավորված սյունակին և գտեք ՍՊԸ-ի արդյունքը: Քանի որ սա երեք գլխով միակ արդյունքն է, բազմապատկեք հավանականությունները 000 ճյուղի երկայնքով (գծապատկերում շրջագծված) և կստանաք 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125: 0,125 հավանականությունը նշանակում է, որ եթե մետաղադրամը «արդար» է, ապա միջինում այն ​​երեք անգամ անընդմեջ 12,5%-ով կիջնի գլուխները: Քանի որ այս հավանականությունը փոքր է, երբ երեք գլուխ անընդմեջ դուրս է գալիս, մարդկանց մեծամասնությունը սկսում է կասկածել, որ մետաղադրամը «գաղտնիքով է»:

Չորս փորձից չորս գլուխ ստանալու հավանականությունը հաշվարկելու համար ծառին ավելացրեք լրացուցիչ ճյուղեր։

Չորս գլուխ ստանալու հավանականությունը 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625 է կամ 6,25%: Ինչպես արդեն գիտեք, մաթեմատիկորեն այն հավասար է 0,5 4; այսինքն՝ թիվն ինքն իրենով չորս անգամ բազմացնելը նույնն է, ինչ այն հասցնել չորրորդ աստիճանի։ Եթե ​​հաշվեք հաշվիչի վրա, որտեղ կա հզորացման գործողություն, ապա կստանաք նույն պատասխանը՝ 0,0625: Թեև նման արդյունքը հնարավոր է և երբևէ տեղի կունենա, դա քիչ հավանական է: Իրականում նա այնքան անհավանական է և անսովոր, որ շատերը կասեին, որ խաբեբա աչքերով մարդը հավանաբար խաբում է։ Անկասկած, հինգերորդ անընդմեջ խելամիտ կլինի եզրակացնել, որ գործ ունեք խարդախի հետ։ Գիտական ​​նպատակների մեծ մասի համար իրադարձությունը համարվում է «անսովոր», եթե ակնկալվում է, որ այն տեղի կունենա 5%-ից պակաս հավանականությամբ։ (Հավանականությունների տեսության լեզվով սա գրված է որպես p ‹ 0.05):

Եկեք թողնենք արհեստական ​​մետաղադրամի օրինակը և նույն տրամաբանությունը կիրառենք ավելի օգտակար համատեքստում: Համոզված եմ, որ ցանկացած ուսանող երբևէ հանդիպել է բազմակի ընտրության թեստերի, որոնցում պետք է առաջարկվող տարբերակներից ընտրել ճիշտ պատասխանները: Այս թեստերի մեծ մասում յուրաքանչյուր հարց ունի հինգ հնարավոր պատասխան, որոնցից միայն մեկն է ճիշտ: Ենթադրենք, հարցերն այնքան բարդ են, որ դուք կարող եք միայն պատահականորեն գուշակել ճիշտ պատասխանը: Որքա՞ն է առաջին հարցին պատասխանելիս ճիշտ գուշակելու հավանականությունը: Եթե ​​դուք գաղափար չունեք, թե տարբերակներից որն է ճիշտ պատասխանը, ապա հավասարապես հավանական է, որ ընտրեք հինգ տարբերակներից որևէ մեկը՝ ենթադրելով, որ դրանցից որևէ մեկը կարող է ճիշտ լինել: Քանի որ բոլոր տարբերակների ընտրության հավանականությունների հանրագումարը պետք է հավասար լինի մեկի, ուրեմն բոլոր տարբերակների համարժեքությամբ տարբերակներից յուրաքանչյուրի ընտրության հավանականությունը 0,20 է։ Տարբերակներից մեկը ճիշտ է, մնացածը՝ սխալ, ուստի ճիշտ տարբերակն ընտրելու հավանականությունը 0,20 է։ Այս իրավիճակի ծառի դիագրամը ներկայացված է ստորև:

Որքա՞ն է թեստի առաջին երկու հարցերի պատասխանները ճիշտ գուշակելու հավանականությունը: Մենք ստիպված կլինենք նոր ճյուղեր ավելացնել ծառին, որոնք շուտով կդառնան շատ խիտ։ Տարածք խնայելու և հաշվարկները պարզեցնելու համար դուք կարող եք ներկայացնել բոլոր սխալ տարբերակները որպես մեկ մասնաճյուղ՝ «սխալ» պիտակով: Մեկ հարցին պատասխանելիս սխալվելու հավանականությունը 0,8 է։

Երկու հարցերի պատասխանները ճիշտ գուշակելու հավանականությունը 0,2 x 0,2 = 0,04 է։ Այսինքն՝ պատահաբար դա կարող է տեղի ունենալ միայն փորձերի 4%-ում։ Ենթադրենք, մենք ընդլայնում ենք մեր օրինակը երեք հարցի: Ես ծառ չեմ նկարի, բայց դուք արդեն պետք է հասկանաք, որ հավանականությունը 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008 է: Սա այնքան անսովոր իրադարձություն է, որ այն կարող է պատահական լինել 1%-ից պակաս փորձերի դեպքում: Ի՞նչ կարծիքի եք մի մարդու մասին, ով կարողացել է ճիշտ պատասխանել բոլոր երեք հարցերին: Մարդկանց մեծ մասը (և մանկավարժները նույնպես մարդիկ են) եզրակացնում են, որ ուսանողը պատահականորեն չի ընտրել պատասխանները, բայց իրականում ինչ-որ բան գիտեր: Իհարկե, հնարավոր է, որ նրա բախտը պարզապես բերել է, բայց դա չափազանց քիչ հավանական է։ Այսպիսով, մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ ստացված արդյունքը չի կարող բացատրվել միայն բախտով։

Ես կցանկանայի նշել նման պատճառաբանության մի հետաքրքիր կողմ. Նկատի առ այն, թե ինչ ողբալի իրավիճակում է հայտնվել Սառան։ Նա պատասխանեց 15 թեստային հարցի, որտեղ յուրաքանչյուր հարցի պատասխանը պետք է ընտրվեր հինգ տարբերակներից: Սառան բոլոր 15 հարցերին սխալ է պատասխանել։ Կարո՞ղ եք որոշել այն հավանականությունը, որ դա պատահական է եղել: Ես ծառի դիագրամ չեմ գծի այս իրավիճակը պատկերացնելու համար, բայց հեշտ է տեսնել, որ մեկ հարցին սխալ պատասխանելու հավանականությունը 0,8 է; ուստի բոլոր 15 հարցերին սխալ պատասխանելու հավանականությունը 0,8 15 է: Այդ թիվը 0,8 է, բազմապատկելով ինքն իրեն 15 անգամ, ստացվում է 0,0352։ Քանի որ նման վթարի հավանականությունը 3,52% է, միգուցե Սառան պետք է ուսուցչին ասի, որ նման անսովոր արդյունքը պատահական չի՞ բացատրվում։ Սառան, իհարկե, կարող է նման փաստարկ բերել, բայց կհավատա՞ք նրան, եթե ուսուցչուհի լինեիք։ Ենթադրենք, նա պնդում է, որ գիտի բոլոր հարցերի պատասխանները։ Այլապես ինչպե՞ս կարող էր նա չընտրել ճիշտ պատասխանը 15 անընդմեջ հարցերում: Չգիտեմ, թե քանի ուսուցիչ կհավատա նրա այն պնդմանը, որ 15 սխալ պատասխանները վկայում են, որ նա գիտելիք ունի, թեև սկզբունքորեն այս տրամաբանական գիծն օգտագործվում է գիտելիքն ապացուցելու համար, քանի որ բոլոր պատասխանները ճիշտ գուշակելու հավանականությունը մոտավորապես նույնն է։ (Այս օրինակում բոլոր 15 հարցերին պատահականորեն ճիշտ պատասխանելու հավանականությունը 0,2015 է, մի թիվ 0,0001-ից շատ ցածր:) Եթե ես լինեի Սառայի ուսուցիչը, ես նրան բարձր գնահատական ​​կտայի նրա ստեղծագործելու և վիճակագրական սկզբունքները հասկանալու համար: Հնարավոր է, որ Սառան իսկապես ինչ-որ բան գիտեր այս թեմայի վերաբերյալ, բայց այս «ինչ-որ բանի» մեջ համակարգված սխալ կար: Նրան կնշեի նաև, որ նա կարող է չպատրաստվել թեստին, և բացի այդ, նրա բախտը չի բերել, և նա 15 սխալ գուշակություն է արել։ Ի վերջո, երբեմն պատահում է և շատ անսովոր իրադարձություններ.

Հաջորդ բաժինը կարդալուց առաջ ստուգեք, որ հասկանում եք, թե ինչպես օգտագործել ծառի դիագրամները հավանականությունները հաշվարկելու և բոլոր հնարավոր արդյունքները հաշվի առնելու համար: Այս գլխում ավելի ուշ կանդրադառնամ նման դիագրամներին: Երբ դուք սովորեք, թե ինչպես օգտագործել դրանք, դուք կզարմանաք, թե քանի իրավիճակներում դրանք կարող են կիրառվել:

Գիշեր. Աստղազարդ երկնքում կախված լիալուսնի լույսը լուսամուտների վիտրաժների միջով լուսավորում էր Զմիուլանի մռայլ միջանցքները, որոնց պատերից արտացոլվում էր վազքի արձագանքող ձայնը։ -Դե ինչ աղջիկ է: Ֆլեշը շնչակտուր մրթմրթաց։ - Նա վախեցած էր, գիտե՞ս... Միայն իզուր կորցրած ժամանակ: Հուսով եմ, դեռ կհասցնեմ փախչել... այս անգամ... Շտապելով դեպի Քարե սրահը, նա աղոթեց, որ ոչ ոք չխանգարի իր ճանապարհին։ Բայց ամեն ինչ տեղի ունեցավ ճիշտ հակառակը. Միջանցքների մթության մեջ (որտեղ նրանք չեն անհանգստացել պատուհաններ սարքել) Դրագոցին բախվել է ինչ-որ մեկին, լսելով ծանոթ ձայն. «Ո՞վ է խելագարի պես վազում այստեղ: «». Թխահերը կանչեց մեկ ժամանոց նետ և լույս վառեց նրա ծայրին: Էքսպրոմտ լամպի լույսի ներքո հարվածեց ... Վասիլիսա ?! -Դու?! երկուսը միաժամանակ բացականչեցին. Ֆլեշը միաժամանակ զարմացավ և հանգստացավ. ի վերջո, նրանք լավ հարաբերությունների մեջ են Օգնևայի հետ, և նա չի դավաճանի նրան... Դե, նա այդպես հույս ուներ։ Տղան մտածեց, որ կարմրահերը նման բան է ապրել: -Ինչ ես անում այստեղ? Դրագոցին ձեռքը մեկնեց դեպի Վասիլիսան։ Ընդունելով օգնությունը՝ նա վեր կացավ և հեռացավ. «Ես առաջինն էի, որ հարցրեցի»,- ձեռքերը խաչեց Ֆլեշը։ -Կարևոր չէ: Ընդհանրապես, դա քո գործը չէ,- բզկտեց Վասիլիսան: «Դե, դա նշանակում է, որ այն, ինչ ես անում եմ, քո գործը չէ», - հանգիստ թոթվեց Դրագոտիուսը: Կարմրահերը սեղմեց շրթունքները և մտախոհ նայեց թխահերին. - Քեզանից հետո միայն կասեմ: «Դե… ես…», - սկսեց Ֆլեշը, փորձելով գտնել բառերը, բայց ոչինչ չստացվեց: «Լավ, ես ուզում եմ փախչել», - բացականչեց Դրագոտիուսը: Վասիլիսայի աչքերը բացվեցին: -Գժվել ես? Ֆլեշը գլորեց աչքերը և նյարդայնացած նայեց Օգնևային. - Ոչ, բայց ես չեմ ուզում այստեղ մնալ: - Եթե քեզ բռնեն, կպատժես։ Հիշեք, թե ինչ եղավ նախորդ անգամ,- կարմիր մազերով կինը ձեռքերը խաչեց կրծքին։ Դրագոտիուսը ծամածռաց. - Լսիր, ավելի լավ է ինձ չանհանգստացնես: Վասիլիսան մտածված նայեց թխահերին. - Դե, ես չեմ խառնվի ... առավել ևս, ես այսօր այնքան բարի եմ, որ նույնիսկ չեմ դավաճանի քեզ, - քրքջաց Օգնևան և, շրջվելով, ուզում էր հեռանալ, բայց Ֆլեշը կարկուտով կանգնեցրեց նրան. - Վասիլիսա, - աղջիկը շրջվեց և սպասողական նայեց թխահերին, - շնորհակալություն, - Դրագոտիուսը ժպտաց և փախավ։ Օգնևան ժպտաց և գնաց նրա կողմը... *** -Հսկայական սխալ էր, եղբորորդի,- Աստրագորը բարձրացավ պառկած կիսամերկ Ֆեշի վրա։ Ուսանողները սկսեցին կամաց շշնջալ. - Դու մեկ անգամ չէ, որ փորձել ես փախչել և միշտ պատժվել ես... - Շաքլը, ով հատուկ եկել էր ջարդն իրականացնելու, հանեց ձողերից մեկն ու մի երկու անգամ ձեռքով արեց: Լսվեց ճռռոցի ձայն։ -Հուսով եմ կհասկանաք, որ վազելն անիմաստ է,- Օսլայի մեծ ոգին մեջքով թեքեց վիրավորողին, դեմքը՝ մնացած ուսանողներին.- Կարծում եմ, սա ձեզ համար էլ օրինակ կծառայի։ Ձողը, օդը կտրելով, անմիջապես անցավ Ֆլեշի հետևի մասով՝ թողնելով կարմիր, նույնիսկ արյունոտ շերտեր։ Հարված հարվածի հետևից. Թխահերը ստոյիկորեն դիմանում էր բոլոր հարվածներին, միայն երբեմն կիսահնչյուն-կես մռնչյուն արձակում։ Աշակերտները մի տեսակ չարությամբ նայեցին դրան։ Միայն Վասիլիսան ու Զախարան հուզված նայեցին թխահերին... *** Ֆլեշը նստեց բանտում ու մտածեց. Նախկինում նրան ուղղակի զնդան էին նստեցնում՝ թողնելով առանց ուտելիքի, իսկ հիմա, ըստ ամենայնի, հորեղբայրը հոգնել է, որ եղբորորդուն այդքան թեթեւ են պատժում։ Թխահերը թոթվեց ուսերը՝ ցավից ծամածռելով։ Նա ուշադրություն չդարձրեց ցրտին, խոնավությանը, խորասուզված մտքերի մեջ։ Նրան մտքերից դուրս հանեց միջանցքում հնչող քայլերի ձայնը։ Շուտով Վասիլիսան դուրս եկավ ջահի լույսի ներքո։ Ֆլեշը անմիջապես գնաց դեպի բարերը. -Ի՞նչ ես անում այստեղ: - Պահիր, - Օգնևան ձեռքը դրեց ճաղերի արանքը և Դրագոտցիին մի բավականին պարկեշտ կտոր տվեց: տաք հացսերմերով: Ֆլեշը վերցրեց սնունդը: -Իսկ որո՞նք են այդ մեծահոգության նոպաները: նա ժպտաց։ - Այս Զախարան ինձ խնդրեց անցնել: Չթողեցին,- ուսերը թոթվեց Օգնեւան։ -Այսինքն՝ Զախարային ներս չթողեցին, իսկ քեզ՝ Աստրագորի ազգական չես, հանգիստ ներս թողեցին։ Թխահերը ժպտաց։ «Դե, ես չեմ որոշում», - նորից ուսերը թոթվեց Վասիլիսան, սակայն Ֆլեշը նրա աչքերում ոգևորություն նկատեց: «Դե, ես այդ մասին ավելի ուշ կհարցնեմ Զահարային», - հանգիստ ասաց Դրագոտիուսը, կծելով հացը: «Ինձ հարցրեք, բայց ես արդեն պետք է գնամ», - շրջվեց Օգնևան և հանգիստ քայլեց դեպի անկյունը և շրջվեց նրա հետևից: Շուտով Ֆլեշը լսեց վազքի ձայնը և քրքջաց։ Սակայն սա նրա նախաձեռնությունն է։ Հավանաբար, նա վազել է քրոջ մոտ՝ բանակցելու, միայն թե «» ...

Քո համարը տասներկուերորդն է,- ասաց եղևնին մի գրքում ինչ-որ բան գրելով: Ֆլեշը շնորհակալություն հայտնեց տղամարդուն և թռավ դեպի նրա տնակ: , Հիմա գլխավորը չհարմարվելն է։ Հուսով եմ, որ փերին ձեզ չի հիասթափեցնի, երբ մենք ելույթ ունենանք…» - այս մտքերով թխահերը վայրէջք կատարեց ամառանոցի կողքին գտնվող ճյուղի վրա, որտեղ երկու հոգի արդեն սպասում էին նրան: «Վերջապես, դու եկել ես», - ժպտալով ձեռքով ցույց տվեց նրան սպասողներից մեկը՝ Նիկը։ Մոխրագույն աչքերով մուգ բոբով աղջիկը, որը երկրորդ դեմքն է, միայն գլխով արեց՝ ի նշան ողջույնի, ուղիղ գնալով կետին. Հարցրեց նա՝ սեղանին դնելով անուշաբույր սուրճի գավաթները։ - Տասներկու, - նստելով սեղանի մոտ, պատասխանեց տղան: -Պետք է փորձեր անենք. մենք պետք է իմանանք, թե ինչպես ենք երեքով հնչում: -Պետք չէ, որ մենք շատ լավ հանդես գանք, Դրագոտիուս,- աղջիկն անմիջապես զովացրեց նրան,- սա շապիկ է: Ելույթից հետո դուք ուղղակի բանալին կստանաք մեր տիրուհուց, ինչպես խոստացել եք,- այս խոսքերի վրա Ֆլեշը ծամածռաց այնպես, կարծես կիտրոն է կերել,- և Նիկը կսկսվի: «Ես չեմ ուզում կորցնել դեմքը ամբողջ դատարանի առաջ», - պատասխանեց Դրագոտիուսը: «Ֆա՛շ, Դիանա»,— աղաչեց Նիկը, հերթով նայելով երկուսին,— խնդրում եմ, վերջ տուր։ Կարծում եմ, որ մենք իսկապես պետք է փորձենք: - Տրամադրությունը երգ չէ,- մրթմրթաց Ֆաշը և, անգամ չուտելով, գնաց իր սենյակ: *մի քանի օր առաջ* - Ուրեմն,- ուրախ ժպիտով ասաց Կոնստանտինը, հավաքելով Ֆաշին և Նիկին արհեստանոցում,- երկու նորություն ունեմ։ Նախ, ես պայմանավորվեցի Սպիտակ թագուհու հետ քո նախաձեռնության համար, Նիկ: -Ինչպե՞ս ես դա արել: Ֆլեշը զարմացած նայեց Լազարևին։ «Ես ձեզ ավելի ուշ կասեմ», - ժպտաց Նիկի հայրը: - Տղա՛ս, կարո՞ղ ես մեզ թողնել: Շիկահերը դուրս եկավ սենյակից՝ իր հետևից փակելով դուռը։ Կոնստանտինը լրջացավ՝ հայացքը ուղղելով դեպի թխահերը. - Ֆեշ, Աստարիուսը խնդրեց ինձ ասել, որ Սպիտակ թագուհին իրեն խոստացել է արծաթե բանալի։ Դուք պետք է գնաք Չարոդոլ, մասնակցեք կախարդանքներին և թագուհուց վերցնեք արծաթե բանալին, - Դրագոտիուսը զարմացավ, որ Աստարիուսը վստահել է իրեն այս բանալին կրել, թեև երկրորդ անգամ է լսել դրա մասին։ Ուսուցիչն արդեն զգուշացրել էր նրան՝ բացատրելով, որ թխահերը փախել է Աստրոգորից... *** Նրանց կատարումը աղմուկ բարձրացրեց փերիների թագավորությունում. վեցթև արարածները բարձրացնում էին ժամացույցի սլաքները, ծափահարում և ոգևորված բղավում։ Ֆլեշի մտավախություններն անհիմն էին, ինչի համար նա ուրախ էր։ Շուտով նա նամակ ստացավ դիտացուցակում, որտեղ ասվում էր, որ ինքը՝ որպես Charms-ի հաղթող, պետք է գա կեսգիշերին ժ. Սպիտակ ամրոց . Թխահերը մոտեցավ ամառանոցին, որտեղ արդեն նստած էին Նիքն ու Դիանան, ովքեր նույնպես ուրախ էին, որ ներկայացումը հաջող է անցել։ «Դե,- նա ժիր ձևով դիմեց Ֆրեյզերին,- կուղեկցե՞ք մեզ Սպիտակ ամրոց, տիկին պատվո աղախին»: - Նիկը խռմփացրեց բաժակի մեջ, իսկ Դիանան պարզապես ժպտաց: Ինչո՞ւ չասացիք, որ սպասող տիկին եք: - Ֆաշը նստեց սեղանի մոտ, - ես ինձ հիմարի պես զգացի, երբ նրանք մոտեցան ինձ և ասացին, որ իմ ելույթը տիկին Դիանա Ֆրեյզերի՝ Նորին Մեծության պատվո սպասուհու հետ, աղմուկ բարձրացրեց: - ո՛չ Նիկը, ո՛չ Դիանան չկարողացան զսպել ծիծաղը... *կեսգիշեր* - Ֆաշիար Դրագոցիյ,- գահից վեր կացավ Սպիտակ թագուհին, մեջքին ոսկե ճյուղերով զարդարված զմրուխտի տերևներով, ձեռքը թափահարեց աղջիկներից մեկին։ , - հմայումներում հաղթանակի և Աստարիուսին տված խոստումների համար ես քեզ կտամ Արծաթե բանալին։ Կարծում եմ, դուք գիտեք, որ դա հսկայական պատասխանատվություն է: Պաշտպանե՛ք նրան, պահե՛ք աչքի լույսի պես։ - Խոստանում եմ,- գլխով արեց Ֆլեշը՝ վստահ նայելով Հեքիաթային թագուհուն։ Դուռը բացվեց, և աղջիկը ներս բերեց կարմիր մետաքսե բարձի վրա դրված արծաթե բանալին։ Փերին մոտեցավ նրան ու կանգ առավ աղեղի մեջ՝ բանալիով բարձը մեկնելով։ Ֆլեշը զգուշորեն վերցրեց բանալին և խոնարհվեց թագուհուն. - Խոնարհաբար շնորհակալություն եմ հայտնում ինձ արված պատվի համար: Հեքիաթային Քանոնը գլխով արեց և թափահարեց ձեռքը՝ թույլ տալով Ֆաշին գնալ հանգստյան տուն։ Նիկին սկզբում տարել են, որպեսզի նա ինիցացիայի ենթարկվի։ *** -…և նրանք ինձ ժամանակի խմիչք տվեցին: Դե ես խմեցի։ Արդյունքում երրորդ ժամ աստիճանը,- ուրախ ժպտաց Նիկը ընկերոջը պատմելով Սպիտակ դղյակում իր հետ կատարվածի մասին։ Դիանան նստել է նրանց հետ և հանգիստ սուրճ է խմել՝ բուլկի ուտելով։ -Ի դեպ, ես էլ ունեմ մի նորություն, բաժակը մի կողմ դնելով Դիանան ժպտաց՝ փոքրիկ երկաթե բանալի դնելով սեղանին: Ֆլեշն ու Նիկը մի վայրկյան զարմացած նայեցին բանալիին, հետո աղջկան, բայց հաջորդ պահին Դրագոցին վեր թռավ տեղից և շտապեց գրկել Դիանային՝ ուրախ ժպտալով։ -Ես գիտեի! նա բացականչեց. կարմրած փերին հազիվ պրծավ տղայի գրկից. - Նախ, թող գնա, ինձ կխեղդես։ Երկրորդ, որտեղի՞ց իմացար: - -Գուշակիր, իհարկե, դժվար չէր,- ասաց գոհ Ֆաշը: - Պալատական ​​փերին, լավագույն աշակերտուհին, և նույնիսկ հուսահատ... Ես կռահեցի, որ դու էլ տնային տնտեսուհի ես, հենց քեզ տեսա։ - Այո, - քաշեց Նիկը, ով ուշքի էր եկել անակնկալից, - անտառում հանդիպելը քեզ հետ մի փոքր անսպասելի էր: -Ի՞նչն էր այդքան անսպասելի։ Դիանան հետաքրքրությամբ նայեց ընկերուհուն։ «Օրինակ, այն փաստը, որ դուք անսպասելիորեն դուրս թռաք խավարից մեզ վրա», - ասաց Ֆլեշը: - Այո,- կրտսեր-արդեն արդեն ժամագործ Լազարևը գլխով արեց,- Իհարկե, մենք գիտեինք, որ ձեզ կհանդիպենք անտառում, բայց չարժե մեզ վրա այդքան անսպասելիորեն դուրս թռնել խավարից: «Բայց լավ է, որ մենք անմիջապես գնացինք Չարոդոլ», - ժպտաց Դրագոտիուսը: Տղաները գլխով արեցին՝ ի նշան համաձայնության և շարունակեցին նախաճաշը…

Հավանականության ծառ կառուցելու համար նախ և առաջ պետք է նկարել ծառը, այնուհետև գրեք նկարում այս խնդրի համար հայտնի բոլոր տեղեկությունները և, վերջապես, օգտագործեք հիմնական կանոնները՝ հաշվարկելու բաց թողնված թվերը և լրացրեք ծառը:

1. Հավանականությունները նշվում են վերջնակետերից յուրաքանչյուրում և շրջանագծվում: Ծառի յուրաքանչյուր մակարդակում այս հավանականությունների գումարը պետք է հավասար լինի 1-ի (կամ 100%): Այսպիսով, օրինակ, Նկ. 6.5.1 Առաջին մակարդակի հավանականությունների գումարը 0.20 + 0.80 = 1.00 է, իսկ երկրորդ մակարդակում՝ 0.03 + 0.17 + 0.56 + 0.24 = 1.00: Այս կանոնը օգնում է լրացնել մեկ դատարկ շրջան սյունակում, եթե հայտնի են այս մակարդակի մյուս բոլոր հավանականությունների արժեքները:

Բրինձ. 6.5.1

2. Յուրաքանչյուր ճյուղի կողքին նշվում են պայմանական հավանականությունները (բացառությամբ.
հնարավոր է առաջին մակարդակի մասնաճյուղեր): Մեկ կետից առաջացող ճյուղերի խմբերից յուրաքանչյուրի համար այս հավանականությունների գումարը նույնպես հավասար է 1-ի (կամ 100%)։
Օրինակ, նկ. 6.5.1 ճյուղերի առաջին խմբի համար մենք ստանում ենք 0.15 + 0.85 =
1.00 իսկ երկրորդ խմբի համար՝ 0.70 + 0.30 = 1.00: Այս կանոնը թույլ է տալիս
հաշվարկել պայմանական հավանականության մեկ անհայտ արժեքը մի կետից բխող ճյուղերի խմբում:

3. Շրջված հավանականությունը ճյուղի սկզբում բազմապատկված պայմանականով
այս ճյուղի կողքին հավանականությունը տալիս է շրջանագծի մեջ գրված հավանականությունը
մասնաճյուղի վերջը. Օրինակ, նկ. 6.5.1 դեպի աջ տանող վերին ճյուղի համար
մենք ունենք 0,20 x 0,15 = 0,03, հաջորդ ճյուղի համար՝ 0,20 x 0,85 = 0,17; նմանատիպ հարաբերություններ պահպանվում են մյուս երկու ճյուղերի համար: Այս կանոնը կարող է օգտագործվել մեկ անհայտ արժեք հաշվարկելու համար
ինչ-որ ճյուղին համապատասխան երեքի հավանականությունները:

4. Շրջանակում գրված հավանականության արժեքը հավասար է այս շրջանից դուրս եկող բոլոր ճյուղերի ծայրերում պտտվող հավանականությունների գումարին։
դեպի աջ. Այսպիսով, օրինակ, Նկ. 6.5.1 դուրս գալ 0.20 արժեք ունեցող շրջանից
երկու ճյուղ, որոնց ծայրերում շրջագծված են հավանականություններ, որոնց գումարը հավասար է այս արժեքին՝ 0,03 + 0,17 = 0,20։ Այս կանոնը թույլ է տալիս գտնել մեկ անհայտ հավանականության արժեք խմբում,
ներառյալ այս հավանականությունը և ծառի ճյուղերի ծայրերում գտնվող բոլոր հավանականությունները,
դուրս գալով համապատասխան շրջանից։

Օգտագործելով այս կանոնները, հնարավոր է, իմանալով բոլոր հավանականության արժեքը, բացառությամբ մեկ ճյուղի կամ ինչ-որ մակարդակի, գտնել այս անհայտ արժեքը:

37. Ո՞ր նմուշն է կոչվում ներկայացուցչական: Ինչպե՞ս կարելի է ներկայացուցչական նմուշ վերցնել:

Ներկայացուցչականությունհետազոտվող բնակչությանը ներկայացնելու ընտրանքի հնարավորությունն է: Որքան ավելի ճշգրիտ է ընտրանքի կազմը ներկայացնում բնակչությանն ուսումնասիրվող հարցերի վերաբերյալ, այնքան բարձր է նրա ներկայացուցչականությունը:

Ներկայացուցչական նմուշը տվյալների վերլուծության հիմնական հասկացություններից մեկն է: Ներկայացուցչական ընտրանքը բաշխվածությամբ պոպուլյացիայի ընտրանքն է Ֆ(x) ընդհանուր բնակչության հիմնական հատկանիշները ներկայացնող. Օրինակ, եթե մի քաղաքում կա 100 հազար մարդ, որից կեսը տղամարդիկ են, կեսը կանայք, ապա 1000 մարդու ընտրանքը, որից 10-ը տղամարդ է, 990-ը՝ կին, հաստատ ներկայացուցչական չի լինի։ Դրա հիման վրա կառուցված հասարակական կարծիքի հարցումն, անշուշտ, գնահատականների մեջ կողմնակալություն կպարունակի և կհանգեցնի կեղծ արդյունքների:

Շինարարության համար անհրաժեշտ պայման ներկայացուցչական նմուշդրանում ընդհանուր բնակչության յուրաքանչյուր տարրի ընդգրկման հավասար հավանականությունն է։

Նմուշի (էմպիրիկ) բաշխման ֆունկցիան մեծ նմուշի չափով տալիս է բաշխման ֆունկցիայի բավականին լավ պատկերացում Ֆ(x) սկզբնական ընդհանուր բնակչության.

Նման ընթացակարգի հիմքում ընկած առաջատար սկզբունքը պատահականության, պատահականության սկզբունքն է: Նմուշն ասում են, որ պատահական է (երբեմն մենք կասենք պարզ պատահական կամ մաքուր պատահական), եթե երկու պայման կա: Նախ, նմուշը պետք է նախագծված լինի այնպես, որ ունենա բնակչության ցանկացած անձ կամ առարկա հավասար հնարավորություններընտրվել վերլուծության համար: Երկրորդ, նմուշը պետք է նախագծվի այնպես, որ n տարրի ցանկացած համակցություն (որտեղ n-ը պարզապես նմուշի տարրերի կամ դեպքերի քանակն է) վերլուծության համար ընտրվելու հավասար հնարավորություն ունենա:

Իրական վիճակախաղ անցկացնելու համար չափազանց մեծ պոպուլյացիաներ ուսումնասիրելիս հաճախ օգտագործվում են պարզ պատահական նմուշներ: Մի քանի հարյուր հազար առարկաների անուններ գրելը, դրանք թմբուկի մեջ դնելը և մի քանի հազար ընտրելը դեռ հեշտ գործ չէ։ Նման դեպքերում կիրառվում է այլ, բայց նույնքան հուսալի մեթոդ։ Հավաքածուի յուրաքանչյուր օբյեկտին տրվում է համար: Նման աղյուսակներում թվերի հաջորդականությունը սովորաբար տրվում է պատահական թվերի գեներատոր կոչվող համակարգչային ծրագրի միջոցով, որը, ըստ էության, մեծ թվով թվեր է դնում թմբուկի մեջ, պատահականորեն նկարում է դրանք և հերթականությամբ տպում: Այսինքն՝ տեղի է ունենում նույն գործընթացը, որը բնորոշ է վիճակախաղին, սակայն համակարգիչը, օգտագործելով թվեր, քան անուններ, կատարում է համընդհանուր ընտրություն։ Այս ընտրությունը կարող է օգտագործվել՝ պարզապես մեր յուրաքանչյուր օբյեկտին թիվ վերագրելով:

Նման պատահական թվերի աղյուսակը կարող է օգտագործվել մի քանի տարբեր ձևերով, և յուրաքանչյուր դեպքում պետք է կայացվի երեք որոշում: Նախ, մենք պետք է որոշենք, թե քանի թվանշան ենք օգտագործելու, և երկրորդը, մենք պետք է զարգացնենք որոշման կանոնդրանց օգտագործման համար; երրորդ, դուք պետք է ընտրեք մեկնարկային կետը և աղյուսակի միջով անցնելու եղանակը:

Երբ դա արվի, մենք պետք է մշակենք կանոն, որը կապում է աղյուսակի թվերը մեր օբյեկտների համարներին: Այստեղ երկու հնարավորություն կա. Ամենահեշտ ձևը (թեև պարտադիր չէ, որ ամենաճիշտը) օգտագործել միայն այն թվերը, որոնք պատկանում են մեր օբյեկտներին հատկացված թվերին: Այսպիսով, եթե մենք ունենանք 250 հատկանիշից բաղկացած բնակչություն (և այդպիսով օգտագործենք եռանիշ թվեր) և որոշենք սկսել աղյուսակի վերևի ձախ անկյունից և շարժվել սյունակներով ներքև, մենք կներառենք 100, 084 և 128 հատկանիշերը մեր ընտրանքում: , եւ բաց թողնենք մեր օբյեկտներին չհամապատասխանող 375 եւ 990 թվերը։ Այս գործընթացը կշարունակվի այնքան ժամանակ, մինչև որոշվի մեր նմուշի համար անհրաժեշտ օբյեկտների քանակը:

Ավելի ժամանակատար, բայց մեթոդաբանորեն ավելի ճիշտ ընթացակարգը հիմնված է այն նախադրյալի վրա, որ աղյուսակի պատահականության բնութագրիչը պահպանելու համար պետք է օգտագործվի տրված չափման յուրաքանչյուր թիվ (օրինակ՝ յուրաքանչյուր եռանիշ թիվը): Հետևելով այս տրամաբանությանը և կրկին գործ ունենալով 250 օբյեկտների հավաքածուի հետ՝ մենք պետք է եռանիշ թվերի շրջանը 000-ից մինչև 999-ը բաժանենք 250 հավասար ընդմիջումների: Քանի որ կան 1000 այդպիսի թվեր, մենք 1000-ը բաժանում ենք 250-ի և գտնում ենք, որ յուրաքանչյուր մաս պարունակում է չորս թվեր։ Այսպիսով, 000-ից մինչև 003 աղյուսակի համարները կհամապատասխանեն 004-ից 007 օբյեկտին՝ 2-րդ օբյեկտին և այլն: Այժմ, որոշելու համար, թե որ առարկայի համարն է համապատասխանում աղյուսակի թվին, պետք է եռանիշ թիվը բաժանել աղյուսակից և կլորացնել մինչև մոտակա ամբողջ թիվը։

Եվ վերջապես, աղյուսակում պետք է ընտրենք մեկնարկային կետը և անցման եղանակը։ Մեկնարկային կետը կարող է լինել վերին ձախ անկյունը (ինչպես նախորդ օրինակում), ներքևի աջ անկյունը, երկրորդ գծի ձախ եզրը կամ որևէ այլ տեղ: Այս ընտրությունը լիովին կամայական է: Սակայն սեղանի հետ աշխատելիս պետք է համակարգված գործել։ Մենք կարող ենք վերցնել յուրաքանչյուր հնգանիշ հաջորդականության առաջին երեք թվանշանները, միջին երեք թվանշանները, վերջին երեք թվանշանները կամ նույնիսկ առաջին, երկրորդ և չորրորդ թվանշանները: (Առաջին հնգանիշ հաջորդականությունից այս տարբեր ընթացակարգերը տալիս են համապատասխանաբար 100, 009, 097 և 109:) Մենք կարող ենք կիրառել այս ընթացակարգերը աջից ձախ՝ ստանալով 790, 900, 001 և 791: տողեր, հերթով հաշվի առնելով յուրաքանչյուր հաջորդ թվանշանը և անտեսելով հինգերի բաժանումը (առաջին շարքի համար կստացվեն 100, 973, 253, 376 և 520 թվերը): Մենք կարող էինք գործ ունենալ միայն թվանշանների յուրաքանչյուր երրորդ խմբի հետ (օրինակ՝ 10097, 99019, 04805, 99970): Կան բազմաթիվ տարբեր հնարավորություններ, և յուրաքանչյուր հաջորդը նախորդից վատը չէ: Այնուամենայնիվ, այս կամ այն ​​ձևի վերաբերյալ որոշում կայացնելուց հետո մենք պետք է համակարգված հետևենք դրան, որպեսզի հնարավորինս հարգենք աղյուսակի տարրերի պատահականությունը:

38. Ո՞ր միջակայքն ենք անվանում վստահության միջակայք:

Վստահության միջակայքը դիտարկվող արժեքների թույլատրելի շեղումն է իրական արժեքներից: Այս ենթադրության չափը որոշվում է հետազոտողի կողմից՝ հաշվի առնելով տեղեկատվության ճշգրտության պահանջները։ Եթե ​​սխալի սահմանը մեծանում է, ընտրանքի չափը նվազում է, նույնիսկ եթե վստահության մակարդակը մնում է 95%:

Վստահության միջակայքը ցույց է տալիս, թե ինչ միջակայքում կտեղակայվեն ընտրանքային դիտարկումների (հարցումների) արդյունքները: Եթե ​​մենք 100 նույնական հետազոտություն անցկացնենք միանման նմուշներում մեկ բնակչությունից (օրինակ, 1000-ական նմուշ 1000-ական մարդուց 5 միլիոն բնակչություն ունեցող քաղաքում), ապա 95% վստահության մակարդակի դեպքում 100 արդյունքներից 95-ը կհայտնվեն սահմաններում: վստահության միջակայքը (օրինակ, 28% -ից մինչև 32% 30% իրական արժեքով):

Օրինակ, քաղաքի բնակիչների իրական թիվը, ովքեր ծխում են, կազմում է 30%: Եթե ​​100 անգամ անընդմեջ ընտրենք 1000 հոգու և այս նմուշներում տանք «դու ծխո՞ւմ ես» հարցը, ապա այս 100 նմուշներից 95-ում 2% վստահության միջակայքում արժեքը կլինի 28%-ից մինչև 32%:

39 Ի՞նչ է կոչվում վստահության մակարդակ (վստահության մակարդակ):

Վստահության մակարդակը արտացոլում է գնահատողին անհրաժեշտ տվյալների քանակը՝ պնդելու համար, որ հետազոտվող ծրագիրն ունի ցանկալի ազդեցություն: AT հասարակական գիտություններիԱվանդաբար օգտագործվում է 95% վստահության մակարդակ: Այնուամենայնիվ, համայնքային ծրագրերի մեծ մասի համար 95%-ը գերհոգնածություն է: Ծրագրի համարժեք գնահատման համար բավարար է վստահության մակարդակը 80-90%-ի սահմաններում: Այսպիսով, ներկայացուցչական խմբի չափը կարող է կրճատվել՝ դրանով իսկ նվազեցնելով գնահատման արժեքը:

Վիճակագրական գնահատման գործընթացը ստուգում է զրոյական վարկածը, որ ծրագիրը չի ունեցել նախատեսված ազդեցությունը: Եթե ​​ստացված արդյունքները էականորեն տարբերվում են զրոյական վարկածի ճշտության վերաբերյալ նախնական ենթադրություններից, ապա վերջինս մերժվում է։

40. Երկու վստահության միջակայքներից որն է ավելի մեծ՝ երկպոչ 99% թե երկպոչ 95%: Բացատրիր.

Երկկողմանի 99% վստահության միջակայքը ավելի մեծ է, քան 95%, քանի որ դրա մեջ ավելի շատ արժեքներ են ընկնում: Փաստաթղթում.

Օգտագործելով z-scores, դուք կարող եք ավելի ճշգրիտ գնահատել վստահության միջակայքը և որոշել վստահության միջակայքի ընդհանուր ձևը: Ընտրանքային միջինի վստահության միջակայքի ճշգրիտ ձևակերպումը հետևյալն է.

Այսպիսով, նորմալ բաշխումը բավարարող 25 դիտարկումների պատահական նմուշի համար ընտրանքի միջինի վստահության միջակայքը ունի հետևյալ ձևը.

Այսպիսով, դուք կարող եք 95% վստահ լինել, որ արժեքը գտնվում է նմուշի միջինի ±1,568 միավորի սահմաններում: Օգտագործելով նույն մեթոդը, կարելի է որոշել, որ 99% վստահության միջակայքը գտնվում է ընտրանքային միջինի ±2,0608 միավորի սահմաններում:

արժեքը Այսպիսով, մենք ունենք և այստեղից , Նմանապես, մենք ստանում ենք ստորին սահմանը, որը հավասար է

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52);

● B = (11.12, 21.13, 31.14, 41.15, 51.16, 61)

● C = (12, 21.36,63.45, 54.33.15, 51, 24.42.66):

● Դ= (ՄԻԱՎՈՐՆԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐԸ 2 ԿԱՄ 3 է);

● Ե= (ԸՆԴԱՄԵՆԸ ՄԻԱՎՈՐՆԵՐԸ 10 են):

Նկարագրեք իրադարձությունը. ԻՑ= (ՇՐՋԱՆԸ ՓԱԿ Է) յուրաքանչյուր դեպքի համար:

Լուծում.Ներկայացնենք նշումը՝ իրադարձություն Ա- կոնտակտ 1 փակ է; իրադարձություն AT- կոնտակտ 2 փակ է; իրադարձություն ԻՑ- միացումը փակ է, լույսը միացված է:

1. Զուգահեռ միացման համար շղթան փակ է, երբ կոնտակտներից գոնե մեկը փակ է, ուստի C = A + B;

2. Սերիայի միացման համար շղթան փակ է, երբ երկու կոնտակտները փակ են, ուստի C \u003d A B.

Առաջադրանք. 1.1.4Կազմված է երկու էլեկտրական սխեման.

Իրադարձություն A - շղթան փակ է, իրադարձություն A i - Ի-րդ կոնտակտը փակ է: Նրանցից ում համար է հարաբերակցությունը

A1 (A2 + A3 A4) A5 = A?

Լուծում. Առաջին շղթայի համար՝ A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), քանի որ իրադարձությունների գումարը համապատասխանում է զուգահեռ կապին, իսկ իրադարձությունների արտադրյալը՝ սերիական կապին։ Երկրորդ սխեմայի համար Ա = Ա1 (A2+A3 A4 A5): Հետևաբար, այս հարաբերությունը վավեր է երկրորդ սխեմայի համար:

Առաջադրանք. 1.1.5Պարզեցրեք (A + B) (B + C) (C + A) արտահայտությունը:

Լուծում. Եկեք օգտագործենք իրադարձությունների գումարման և բազմապատկման գործողությունների հատկությունները:

(Ա+ B) (B + C) (A + C) =

(AB+ AC + B B + BC) (A + C) =

= (AB+ AC + B + BC) (A + C) =

(AB + AC + B) (A + C) = (B + AC) (A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC:

Առաջադրանք. 1.1.6Ապացուցեք, որ A, AB և A+B կազմել ամբողջական խումբ.

Լուծում. Խնդիրը լուծելիս մենք կօգտագործենք իրադարձությունների գործողությունների հատկությունները: Նախ, մենք ցույց ենք տալիս, որ այս իրադարձությունները զույգերով անհամատեղելի են:

Հիմա ցույց տանք, որ այս իրադարձությունների գումարը տալիս է տարրական իրադարձությունների տարածություն:

Առաջադրանք. 1.1.7Օգտվելով Էյլեր-Վենի սխեմայից՝ ստուգեք դե Մորգանի կանոնը.

Ա) AB իրադարձությունը ստվերված է:

Բ) Իրադարձություն A - ուղղահայաց ելք; իրադարձություն B - հորիզոնական ելուստ: Իրադարձություն

(A+B) - ստվերավորված տարածք:

ա) և գ) պատկերների համեմատությունից հետևում է.

Առաջադրանք. 1.2.1Քանի՞ ձևով կարող են նստել 8 հոգի:

1. Մեկ շարքով?

2. Պեր կլոր սեղան?

Լուծում.

1. Ճանապարհների ցանկալի թիվը հավասար է 8-ից փոխատեղումների քանակին, այսինքն.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Քանի որ կլոր սեղանի առաջին անձի ընտրությունը չի ազդում տարրերի փոփոխության վրա, ապա առաջինը կարելի է վերցնել ցանկացածին, իսկ մնացածները կպատվիրվեն ընտրվածի համեմատ։ Այս գործողությունը կարող է կատարվել 8!/8 = 5040 եղանակով:

Առաջադրանք. 1.2.2Դասընթացը ներառում է 5 առարկա։ Քանի՞ ձևով կարող եք կազմել շաբաթ օրը, եթե այդ օրը երկու տարբեր զույգեր լինեն:

Լուծում. Ճանապարհների ցանկալի քանակը տեղաբաշխումների քանակն է

5-ից 2-ը, քանի որ անհրաժեշտ է հաշվի առնել զույգերի կարգը.

Առաջադրանք. 1.2.3Ինչպես քննական խորհուրդներ 7 հոգուց բաղկացած, կարո՞ղ է լինել 15 ուսուցիչ։

Լուծում. Հանձնաժողովների ցանկալի թիվը (առանց պատվերի) 15-ից 7 համակցությունների թիվն է.

Առաջադրանք. 1.2.4Քսան համարակալված գնդակ պարունակող զամբյուղից հաջողության համար ընտրվում է 5 գնդակ։ Որոշեք տարրերի քանակը այս փորձառության տարրական իրադարձությունների տարածության մեջ, եթե.

Գնդակներն ընտրվում են հաջորդաբար մեկը մյուսի հետևից՝ յուրաքանչյուր հանելուց հետո վերադարձով.

Գնդակներն ընտրվում են մեկ առ մեկ՝ առանց վերադարձի;

Միանգամից ընտրվում է 5 գնդակ:

Լուծում.

Առաջին գնդակը զամբյուղից հանելու եղանակների թիվը 20 է։ Քանի որ հանված գնդակը վերադարձվում է զամբյուղ, երկրորդ գնդակը հանելու եղանակների թիվը նույնպես 20 է և այլն։ Այնուհետև հանելու եղանակների թիվը՝ 5։ գնդակներ այս դեպքում կազմում է 20 20 20 20 20 = 3200000:

Առաջին գնդակը զամբյուղից հանելու եղանակների թիվը 20 է։ Քանի որ հանված գնդակը հանելուց հետո չվերադարձավ զամբյուղ, երկրորդ գնդակը հանելու եղանակների թիվը դարձավ 19 և այլն։ Այնուհետև հանելու եղանակների թիվը։ 5 գնդակ առանց փոխարինման 20 19 18 17 16 = A52 0

Զամբյուղից միանգամից 5 գնդակ հանելու եղանակների թիվը հավասար է 20-ի 5-ի համակցությունների թվին.

Առաջադրանք. 1.2.5Երկու զառ է նետվում: Գտե՛ք Ա իրադարձության հավանականությունը, որ գլորվի առնվազն մեկ 1:

Լուծում. 1-ից 6-ի ցանկացած միավոր կարող է ընկնել յուրաքանչյուր ցուպիկի վրա, հետևաբար տարրական իրադարձությունների տարածությունը պարունակում է 36 հավասարապես հնարավոր արդյունք: A իրադարձությունը նպաստում է 11 արդյունքի՝ (1.1), (1.2), (2.1), (1.3), (3.1), (1.4), (4.1), (1.5), (5.1), (1.6), (6.1), այսպես

Առաջադրանք. 1.2.6Կարմիր քարտերի վրա գրվում են y, i, i, k, c, f, n տառերը, կապույտ քարտերի վրա՝ a, a, o, t, t, s, h տառերը, մանրակրկիտ խառնելուց հետո, որն ավելի հավանական է։ Առաջին անգամից տառերից օգտագործել կարմիր քարտերը «գործառույթ» բառը կազմելու համար, թե՞ կապույտ քարտերի տառերը՝ «հաճախականություն» բառը:

Լուծում.Թող իրադարձություն A լինի 7 տառից պատահականորեն կազմված «գործառույթ» բառը, իրադարձություն B՝ 7 տառից պատահականորեն կազմված «հաճախականություն» բառը: Քանի որ 7 տառից բաղկացած երկու հավաքածու է պատվիրված, A և B իրադարձությունների բոլոր արդյունքների թիվը n = 7 է: A իրադարձությունը ձեռնտու է մեկ արդյունքի m = 1, քանի որ կարմիր քարտերի բոլոր տառերը տարբեր են: B իրադարձությունը բարենպաստ է m = 2-ի կողմից: · 2! արդյունքները, քանի որ «ա» և «թ» տառերը հանդիպում են երկու անգամ: Այնուհետև P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Առաջադրանք. 1.2.7Քննության ժամանակ ուսանողին առաջարկվում է 30 տոմս; Յուրաքանչյուր տոմս ունի երկու հարց. Տոմսերում ներառված 60 հարցերից ուսանողը գիտի միայն 40-ը: Գտեք հավանականությունը, որ ուսանողի վերցրած տոմսը բաղկացած կլինի.

1. իրեն հայտնի խնդիրներից.

2. իրեն անհայտ հարցերից;

3. մեկ հայտնի և մեկ անհայտ հարցից.

Լուծում.Թող A լինի այն իրադարձությունը, երբ ուսանողը գիտի երկու հարցերի պատասխանը. Բ - չգիտի երկու հարցերի պատասխանը. Գ - նա գիտի մի հարցի պատասխանը, նա չգիտի մյուսի պատասխանը: 60-ից երկու հարցի ընտրությունը կարող է կատարվել n = C260 = 60 2 59 = 1770 եղանակով:

1. Ուսանողին հայտնի է m = C240 ​​= 40 2 39 = 780 հարցերի ընտրություն: Այնուհետեւ P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0.44

2. 20-ից երկու անհայտ հարցերի ընտրությունը կարելի է անել m = C220 = 20 2 19 = 190 եղանակով: Այս դեպքում

P(B) = M N = 11 79 70 0 = 0.11

3. Մեկ հայտնի և մեկ անհայտ հարցով տոմս ընտրելու m = C14 0 C21 0 = 40 20 = 800 եղանակ կա: Այնուհետեւ P(C) = 18 70 70 0 = 0.45:

Առաջադրանք. 1.2.8Որոշ տեղեկություններ ուղարկվել են երեք ուղիներով։ Ալիքները գործում են միմյանցից անկախ: Գտեք հավանականությունը, որ տեղեկատվությունը կհասնի նպատակին

1. Միայն մեկ ալիքով;

2. Առնվազն մեկ ալիք:

Լուծում. Թող A-ն լինի իրադարձություն, որը բաղկացած է նրանից, որ տեղեկատվությունը նպատակին հասնում է միայն մեկ ալիքով. B - առնվազն մեկ ալիք: Փորձը տեղեկատվության փոխանցումն է երեք ուղիներով: Փորձի արդյունքը՝ տեղեկատվությունը հասել է նպատակին: Նշեք Ai - տեղեկատվությունը թիրախին հասնում է i-րդ ալիքով: Տարրական իրադարձությունների տարածությունն ունի ձև.

B իրադարձությունը նպաստում է 7 արդյունքի. բոլոր արդյունքները բացառությամբ Հետո n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 3 8; P(B) = 7 8:

Առաջադրանք. 1.2.9Միավոր երկարության հատվածի վրա պատահականորեն հայտնվում է կետ: Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ կետից մինչև հատվածի ծայրերը հեռավորությունը մեծ է 1/8-ից:

Լուծում. Ըստ խնդրի պայմանի՝ ցանկալի իրադարձությունը բավարարվում է բոլոր կետերով, որոնք հայտնվում են միջակայքում (a; b):

Քանի որ դրա երկարությունը s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4 է, իսկ ամբողջ հատվածի երկարությունը S = 1 է, պահանջվող հավանականությունը P = s/S = 3/14 = 0,75 է:

Առաջադրանք. 1.2.10Մի խմբաքանակումՆապրանքներԿապրանքները թերի են. Վերահսկողության համար ընտրվում են մ ապրանքներ: Գտեք հավանականությունը, որիցՄ ԱպրանքներԼ Պարզվում է, որ դրանք թերի են (իրադարձություն Ա):

Լուծում. m ապրանքների ընտրությունը n-ից կարող է կատարվել եղանակներով, իսկ ընտրությունը Լթերի դուրս k-ից թերի - ուղիներով. Ընտրությունից հետո Լթերի արտադրանքները կմնան (մ - Լ) տեղավորվում է (n - k) ապրանքների մեջ։ Այնուհետև A իրադարձությանը նպաստող արդյունքների թիվն է

Եվ ցանկալի հավանականությունը

Առաջադրանք. 1.3.1ԲՍուրը պարունակում է 30 գնդակ՝ 15 կարմիր, 10 կապույտ և 5 սպիտակ։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն գծված գնդակը գունավորված է:

Լուծում. Թող իրադարձություն A - կարմիր գնդակ է նկարվում, իրադարձություն B - կապույտ գնդակ: Այնուհետև իրադարձություններ (A + B) - նկարվում է գունավոր գնդակ: Մենք ունենք P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Քանի որ

Իրադարձությունները A և B անհամատեղելի են, ապա P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0.83:

Առաջադրանք. 1.3.2Ձյուն գալու հավանականությունը (իրադարձությունԱ ), հավասար է 0.6, Եվ այն, որ անձրև է գալու (միջոցառումԲ ), հավասար է 0.45. Գտեք վատ եղանակի հավանականությունը, եթե անձրևի և ձյան հավանականությունը (իրադարձությունԱԲ ) հավասար է 0.25.

Լուծում. A և B իրադարձությունները համատեղ են, ուստի P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.45 - 0.25 = 0.8

Առաջադրանք. 1.3.3ԲԱռաջին տուփը պարունակում է 2 սպիտակ և 10 սև գնդակ, երկրորդում՝ 3 սպիտակ և 9 սև գնդակ, իսկ երրորդում՝ 6 սպիտակ և 6 սև գնդակ։ Յուրաքանչյուր տուփից մի գնդակ վերցվեց։ Գտեք հավանականությունը, որ գծված բոլոր գնդակները սպիտակ են:

Լուծում. Իրադարձություն A - առաջին տուփից նկարվում է սպիտակ գնդակ, B-ն երկրորդ տուփից, C-ն երրորդից: Այնուհետեւ P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Իրադարձություն ABC - բոլորը հանված են

Գնդակները սպիտակ են: Հետևաբար, իրադարձությունները A, B, C անկախ են

P(ABC) = P(A) Պ(Բ) Պ(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0.02

Առաջադրանք. 1.3.4Բէլեկտրական սխեման միացված շարքով 5 Տարրեր, որոնք աշխատում են միմյանցից անկախ: Համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ, երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ տարրերի խափանումների հավանականությունը. 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Գտեք հավանականությունը, որ շղթայում հոսանք չի լինի (իրադարձությունԱ ).

Լուծում. Քանի որ տարրերը միացված են շարքով, միացումում հոսանք չի լինի, եթե առնվազն մեկ տարր ձախողվի: Իրադարձություն Ai(i =1...5) - չի հաջողվի Ի-րդ տարրը. Զարգացումներ

Առաջադրանք. 1.3.5Շղթան բաղկացած է անկախ բլոկներից, որոնք միացված են համակարգում մեկ մուտքով և մեկ ելքով:

Տարբեր միացման տարրերի T ժամանակի ձախողում. անկախ միջոցառումներունենալով հետևյալ հավանականություններըՊ 1 = 0,1; Պ 2 = 0,2; Պ 3 = 0.3; Պ 4 = 0,4. Տարրերից որևէ մեկի խափանումը հանգեցնում է ազդանշանի ընդհատմանը շղթայի այն ճյուղում, որտեղ գտնվում է այս տարրը: Գտեք համակարգի հուսալիությունը:

Լուծում. Եթե ​​իրադարձությունը A - (ՀԱՄԱԿԱՐԳԸ ՀԱՎԱՍՏԻ Է), Ai - (i --րդ ՄԻԱՎՈՐԸ ԱՇԽԱՏՈՒՄ Է ՍԽԱԼ), ապա A = (A1 + A2)(A3 + A4): A1+A2, A3+A4 իրադարձությունները անկախ են, A1 և A2, A3 և A4 իրադարձությունները՝ համատեղ: Ըստ հավանականությունների բազմապատկման և գումարման բանաձևերի

Առաջադրանք. 1.3.6Աշխատողը սպասարկում է 3 մեքենա։ Հավանականությունը, որ մեկ ժամվա ընթացքում մեքենան չի պահանջում աշխատողի ուշադրությունը, առաջին մեքենայի համար 0,9 է, երկրորդ մեքենայի համար՝ 0,8 և երրորդ մեքենայի համար՝ 0,7։

Գտեք հավանականությունը, որ մի քանի ժամվա ընթացքում

1. Երկրորդ մեքենան ուշադրություն կպահանջի.

2. Երկու մեքենաներ ուշադրություն կպահանջեն.

3. Առնվազն երկու մեքենա ուշադրության կարիք կունենա:

Լուծում. Թող Ai - i-րդ մեքենան պահանջի աշխատողի ուշադրությունը, - i-րդ մեքենան չի պահանջի աշխատողի ուշադրությունը: Հետո

Տարրական իրադարձությունների տարածք.

1. Իրադարձություն A - կպահանջի երկրորդ մեքենայի ուշադրությունը. Հետո

Քանի որ իրադարձություններն անհամատեղելի են և անկախ։ P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Իրադարձություն B - երկու մեքենաներ ուշադրություն կպահանջեն.

3. Իրադարձություն C - առնվազն երկու ցնցում կպահանջի ուշադրություն
cov:

Առաջադրանք. 1.3.7Բներկայացվել է «Examiner» մեքենա 50 հարցեր. Ուսանողին առաջարկվում է 5 Հարցեր և «գերազանց» գնահատական ​​է տրվում, եթե բոլոր հարցերին տրված են ճիշտ պատասխաններ: Գտեք «գերազանց» ստանալու հավանականությունը, եթե ուսանողը պատրաստ լիներ միայն 40 հարցեր.

Լուծում. Ա - (ՍՏԱՑԵԼ Է «ԳԵՐԱԶԱՆՑ»), Աի - (ՊԱՏԱՍԽԱՆԵԼ Է i-րդ ՀԱՐՑԻՆ): Այնուհետև A = A1A2A3A4A5, մենք ունենք.

Կամ այլ կերպ՝ օգտագործելով հավանականության դասական բանաձևը. Եվ

Առաջադրանք. 1.3.8Հավանականությունները, որոնց մեջ է մոնտաժողին անհրաժեշտ հատվածըԻ, II, III, IVտուփը, համապատասխանաբար, հավասար են 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Գտեք հավանականությունը, որ կոլեկցիոները պետք է ստուգի բոլոր 4 վանդակները (իրադարձությունԱ).

Լուծում. Թող Ai - (Ասամբլերին անհրաժեշտ մասը գտնվում է i-րդ վանդակում։) Հետո

Քանի որ իրադարձություններն անհամատեղելի են ու անկախ, ուրեմն

Առաջադրանք. 1.4.1Հետազոտվել է 60 տարեկանից բարձր 10000 հոգուց բաղկացած խումբ։ Պարզվել է, որ 4000 մարդ մշտական ​​ծխող է։ 1800 ծխողների մոտ թոքերի լուրջ փոփոխություններ են եղել. Չծխողների շրջանում 1500 մարդու մոտ թոքերի փոփոխություններ են եղել։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն հետազոտված թոքերի փոփոխություններով անձը ծխող է:

Լուծում.Ներկայացնենք վարկածները՝ H1՝ հետազոտվողը մշտական ​​ծխող է, Հ2՝ չծխող։ Հետո խնդրի պայմանով

P(H1)= -------=0.4, P(H2)=---------=0.6

A-ով նշեք այն իրադարձությունը, որ հետազոտվողի մոտ թոքերի մեջ փոփոխություններ կան: Հետո խնդրի պայմանով

Բանաձևով (1.15) գտնում ենք

Ցանկալի հավանականությունը, որ հետազոտվողը ծխող է, ըստ Բայեսի բանաձեւի, հավասար է

Առաջադրանք. 1.4.2Վաճառվում են երեք գործարանների հեռուստացույցներ՝ 30% առաջին գործարանից, 20% երկրորդից, 50% երրորդից։ Առաջին գործարանի արտադրանքը պարունակում է թաքնված թերությամբ հեռուստացույցների 20%-ը, երկրորդը՝ 10%-ը, երրորդը՝ 5%-ը։ Որքա՞ն է աշխատող հեռուստացույց ստանալու հավանականությունը:

Լուծում. Դիտարկենք հետևյալ իրադարձությունները. Ա - գնվել է սպասարկող հեռուստացույց. վարկածներ H1, H2, H3 - հեռուստացույցը վաճառքի է հանվել համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ, երրորդ գործարանից։ Ըստ առաջադրանքի

Բանաձևով (1.15) գտնում ենք

Առաջադրանք. 1.4.3Կան երեք նույնական տուփեր. Առաջինն ունի 20 սպիտակ գնդակ, երկրորդը՝ 10 սպիտակ և 10 սև, իսկ երրորդը՝ 20 սև գնդակ։ Պատահականորեն ընտրված տուփից նկարվում է սպիտակ գնդակ: Գտեք հավանականությունը, որ այս գնդակը երկրորդ տուփից է:

Լուծում. Թող իրադարձությունը A - հանվում է սպիտակ գնդիկ, վարկածներ H1, H2, H3 - գնդակը հանվում է համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ, երրորդ տուփերից: Խնդրի վիճակից մենք գտնում ենք

Հետո
Բանաձևով (1.15) գտնում ենք

Բանաձևով (1.16) գտնում ենք

Առաջադրանք. 1.4.4Հեռագրական հաղորդագրությունը բաղկացած է կետից և գծիկից: Միջամտության վիճակագրական հատկություններն այնպիսին են, որ միջինում դրանք խեղաթյուրված են 2/5 Կետային հաղորդագրություններ և 1/3 Դաշային հաղորդագրություններ. Հայտնի է, որ փոխանցվող ազդանշանների շարքում «կետ» և «գծիկ» տեղի են ունենում հարաբերակցությամբ 5: 3. Որոշեք փոխանցված ազդանշանի ստացման հավանականությունը, եթե.

Ա) ստացվել է «կետ» ազդանշան.

Բ)գծիկ ազդանշան է ստացվել:

Լուծում. Թող իրադարձությունը A - ստացվի «կետ» ազդանշանը, իսկ իրադարձությունը B - ստացվի «գծիկ» ազդանշանը:

Երկու վարկած կարելի է անել՝ H1՝ փոխանցվում է «կետ» ազդանշանը, H2՝ «գծիկ» ազդանշանը։ Ըստ P(H1) պայմանի՝ P(H2) =5: 3. Բացի այդ, P(H1 ) + P(H2)= 1. Հետեւաբար P(Հ1 ) = 5/8, Պ(Հ2 ) = 3/8. Հայտնի է, որ

Իրադարձությունների հավանականությունները ԱԵվ ԲԸնդհանուր հավանականության բանաձևով մենք գտնում ենք.

Ցանկալի հավանականությունները կլինեն.

Առաջադրանք. 1.4.510 ռադիոալիքներից 6-ը պաշտպանված են միջամտությունից։ Հավանականությունը, որ ժամանակի ընթացքում ապահով ալիք էՏչի ձախողվի 0,95, անպաշտպան ալիքի համար՝ 0,8: Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված երկու ալիքները ժամանակին չեն խափանվիՏ, և երկու ալիքներն էլ պաշտպանված չեն միջամտությունից:

Լուծում. Թող իրադարձություն A - երկու ալիքները չեն ձախողվի t ժամանակի ընթացքում, իրադարձությունը A1-Ընտրված է անվտանգ ալիք A2-Ընտրված է անապահով ալիք:

Փորձի համար գրենք տարրական իրադարձությունների տարածությունը - (ընտրված է երկու ալիք).

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

Վարկածներ.

H1 - երկու ալիքներն էլ պաշտպանված են միջամտությունից.

H2 - առաջին ընտրված ալիքը պաշտպանված է, երկրորդ ընտրված ալիքը պաշտպանված չէ միջամտությունից.

H3 - առաջին ընտրված ալիքը պաշտպանված չէ, երկրորդ ընտրված ալիքը պաշտպանված է միջամտությունից;

H4 - երկու ընտրված ալիքներն էլ պաշտպանված չեն միջամտությունից: Հետո

Եվ

Առաջադրանք. 1.5.1Հաղորդվում է կապի ալիքով 6 Հաղորդագրություններ. Հաղորդագրություններից յուրաքանչյուրը կարող է աղավաղվել աղմուկի պատճառով, ամենայն հավանականությամբ 0.2 Անկախ ուրիշներից։ Գտեք դրա հավանականությունը

1. 6 հաղորդագրություններից 4-ը աղավաղված չեն.

2. 6-ից առնվազն 3-ը փոխանցվել են աղավաղված;

3. 6-ից առնվազն մեկը խեղաթյուրված է.

4. 6-ից ոչ ավելի, քան 2-ը աղավաղված չեն.

5. Բոլոր հաղորդագրությունները փոխանցվում են առանց աղավաղումների:

Լուծում. Քանի որ աղավաղման հավանականությունը 0,2 է, առանց միջամտության հաղորդագրություն փոխանցելու հավանականությունը 0,8 է։

1. Օգտագործելով Բեռնուլիի բանաձեւը (1.17) մենք գտնում ենք հավանականությունը
6 հաղորդագրություններից 4-ի փոխանցման արագությունը առանց միջամտության.

2. 6-ից առնվազն 3-ը փոխանցվում են աղավաղված.

3. 6-ից առնվազն մեկը խեղաթյուրված է.

4. 6-ից առնվազն մեկը խեղաթյուրված է.

5. բոլոր հաղորդագրությունները փոխանցվում են առանց խեղաթյուրման.

Առաջադրանք. 1.5.2Հավանականությունը, որ ամռանը օրը պարզ կլինի 0,42; Ամպամած օրվա հավանականությունը 0,36 է, իսկ մասամբ ամպամածությունը՝ 0,22։ 59-ից քանի՞ օր է սպասվում պարզ և ամպամած.

Լուծում. Խնդրի վիճակից երեւում է, որ պետք է ամենահավանական թվով պարզ ու ամպամած օրեր փնտրել։

Պարզ օրերի համար Պ= 0.42, Ն= 59. Մենք կազմում ենք անհավասարություններ (1.20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Մո≤ 25.2 → Մո= 25.

Ամպամած օրերի համար P= 0.36, N= 59 և

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ Մ0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Հետևաբար 20.16 ≤ Մ0 ≤ 21.60; → Մ0 = 21.

Այսպիսով պարզ օրերի ամենահավանական թիվը Մո= 25, ամպամած օրեր - M0 = 21. Հետո ամռանը կարող ենք սպասել Մո+ M0 =46 պարզ և ամպամած օր:

Առաջադրանք. 1.5.3Հավանականությունների տեսության դասախոսությանը կուրսի 110 ուսանող է մասնակցում։ Գտեք դրա հավանականությունը

Ներկաներից 1. k աշակերտ (k = 0,1,2) ծնվել է սեպտեմբերի 1-ին;

2. սեպտեմբերի 1-ին ծնվել է կուրսի առնվազն մեկ ուսանող։

P=1/365շատ փոքր է, ուստի մենք օգտագործում ենք Պուասոնի բանաձևը (1.22): Եկեք գտնենք Poisson պարամետրը: Որովհետեւ

Ն= 110, ապա λ = np = 110 1 /365 = 0.3:

Այնուհետև Պուասոնի բանաձևով

Առաջադրանք. 1.5.4Հավանականությունը, որ մի մասը ստանդարտ չէ 0.1. Քանի՞ դետալ պետք է ընտրել, որպեսզի P = հավանականությամբ 0.964228 Կարելի է պնդել, որ ոչ ստանդարտ մասերի առաջացման հարաբերական հաճախականությունը շեղվում է հաստատուն հավանականությունից p = 0.1 Բացարձակ թվերով՝ ոչ ավելի, քան 0.01 ?

Լուծում.

Պահանջվող համարը ՆՄենք գտնում ենք բանաձևով (1.25). Մենք ունենք:

P = 1.1; q = 0,9; P= 0.96428. Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.

Որտեղ ենք մենք գտնում

Ըստ Φ ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակի X) մենք գտնում ենք, որ

Առաջադրանք. 1.5.5Մեկ կոնդենսատորի T ժամանակում ձախողման հավանականությունը 0,2 է: Որոշեք հավանականությունը, որ ժամանակի ընթացքում 100 կոնդենսատորներից T-ն կխափանվի:

1. Ուղիղ 10 կոնդենսատոր;

2. Առնվազն 20 կոնդենսատոր;

3. 28-ից պակաս կոնդենսատորներ;

4. 14-ից 26 կոնդենսատոր:

Լուծում. Մենք ունենք P = 100, P= 0.2, Ք = 1 - P= 0.8.

1. Ուղիղ 10 կոնդենսատոր։

Որովհետեւ ՊՎելիկո, եկեք օգտագործենք տեղական de Moivre-Laplace թեորեմը.

Հաշվել

Քանի որ գործառույթը φ(x)- զույգ, ապա φ (-2,5) = φ (2,50) = 0,0175 (գտնում ենք ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակից φ(x).Ցանկալի հավանականություն

2. Առնվազն 20 կոնդենսատոր;

Պահանջը, որ 100 կոնդենսատորներից առնվազն 20-ը խափանվեն, նշանակում է, որ կամ 20-ը, կամ 21-ը, ... կամ 100-ը կխափանվեն: Այսպիսով. T1 = 20, Տ 2=100. Հետո

Ըստ ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակի Φ(x)Եկեք գտնենք Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0.5: Պահանջվող հավանականություն:

3. 28-ից պակաս կոնդենսատոր;

(այստեղ հաշվի է առնվել, որ Լապլասի Ф(x) ֆունկցիան կենտ է):

4. 14-ից 26 կոնդենսատոր: Ըստ պայմանի M1= 14, մ2 = 26:
Հաշվարկել x 1,x2:

Առաջադրանք. 1.5.6Մեկ փորձի ժամանակ ինչ-որ իրադարձության առաջացման հավանականությունը հավասար է 0,6-ի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս իրադարձությունը տեղի կունենա 60 փորձարկումների մեծ մասում:

Լուծում. Քանակ ՄԻրադարձության առաջացումը մի շարք թեստերում գտնվում է միջակայքում: «Փորձերի մեծ մասում» նշանակում է ՄՊատկանում է ինտերվալին Ըստ պայմանի N= 60, P= 0.6, Ք = 0.4, Մ1 = 30, m2 = 60. Հաշվել x1 եւ x2:

Պատահական փոփոխականները և դրանց բաշխումները

Առաջադրանք. 2.1.1Տրվում է աղյուսակ, որտեղ վերին տողը ցույց է տալիս պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները X , իսկ ներքեւում՝ նրանց հավանականությունները։

Կարո՞ղ է այս աղյուսակը լինել բաշխման շարք X ?

Պատասխան. Այո, քանի որ p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Առաջադրանք. 2.1.2Ազատ է արձակվել 500 Վիճակախաղի տոմսեր, և 40 Տոմսերը իրենց տերերին մրցանակ կբերեն 10000 Ռուբ., 20 Տոմսերը՝ ըստ 50000 Ռուբ., 10 Տոմսերը՝ ըստ 100000 Ռուբ., 5 Տոմսերը՝ ըստ 200000 Ռուբ., 1 Տոմս - 500000 Ռուբ., մնացածը՝ առանց հաղթանակի։ Գտեք շահող բաշխման օրենքը մեկ տոմսի սեփականատիրոջ համար:

Լուծում.

X-ի հնարավոր արժեքները՝ x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0: Այս հնարավոր արժեքների հավանականություններն են.

Բաշխման ցանկալի օրենքը.

Առաջադրանք. 2.1.3հրաձիգ, ունենալով 5 Փամփուշտներ, կրակում է մինչև առաջին հարվածը թիրախին։ Յուրաքանչյուր կրակոց խփելու հավանականությունը մեծ է 0.7. Կառուցեք օգտագործված փամփուշտների քանակի բաշխման օրենքը, գտեք բաշխման ֆունկցիանՖ(X) և գծեք դրա գրաֆիկը, գտեք P(2< x < 5).

Լուծում.

Փորձառության տարրական իրադարձությունների տարածություն

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Որտեղ իրադարձություն (1) - հարվածել է թիրախին, իրադարձություն (0) - չի հարվածել թիրախին: Տարրական արդյունքները համապատասխանում են օգտագործված փամփուշտների քանակի պատահական արժեքի հետևյալ արժեքներին՝ 1, 2, 3, 4, 5։ Քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ կրակոցի արդյունքը կախված չէ նախորդից, հնարավոր արժեքների հավանականությունը։ են՝

P1 = P (x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P (x2= 2) = P(01)= 0,3 0,7 = 0,21;

P3 = P (x3= 3) = P (001) = 0,32 0,7 = 0,063;

P4 = P (x4= 4) = P (0001) = 0,33 0,7 = 0,0189;

P5 = P (x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 0,7 + 0,35 = 0,0081:

Բաշխման ցանկալի օրենքը.

Գտեք բաշխման գործառույթը Ֆ(X), Օգտագործելով բանաձևը (2.5)

X≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X= 1) + P2 (x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4 (x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X >5, Ֆ(x) = 1

Գտեք P (2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X< 5) = F(5) - Ֆ(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Առաջադրանք. 2.1.4ԴանաՖ(X) որոշ պատահական փոփոխականի.

Գրեք X-ի բաշխման շարքը:

Լուծում.

Հատկություններից Ֆ(X) Հետևում է, որ պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները X - Ֆունկցիայի ընդմիջման կետեր Ֆ(X), Իսկ համապատասխան հավանականությունները ֆունկցիայի թռիչքներն են Ֆ(X). Գտեք X=(0,1,2,3,4) պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքները:

Առաջադրանք. 2.1.5Սահմանեք, թե որ գործառույթը

Որոշ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա է:

Եթե ​​պատասխանը այո է, գտե՛ք համապատասխանության հավանականությունը պատահական արժեքարժեքներ է ընդունում[-3,2].

Լուծում. Եկեք գծագրենք F1(x) և F2(x) ֆունկցիաները.

F2(x) ֆունկցիան բաշխման ֆունկցիա չէ, քանի որ այն չի նվազում: F1(x) ֆունկցիան է

Որոշ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան, քանի որ այն չնվազող է և բավարարում է պայմանը (2.3): Եկեք գտնենք միջակայքը հարվածելու հավանականությունը.

Առաջադրանք. 2.1.6Հաշվի առնելով շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը X :

Գտնել.

1. ԳործակիցԳ ;

2. բաշխման գործառույթ F(x) ;

3. Պատահական փոփոխականի ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը(1, 3).

Լուծում. Նորմալացման պայմանից (2.9) մենք գտնում ենք

հետևաբար,

Բանաձևով (2.10) մենք գտնում ենք.

Այս կերպ,

Բանաձևով (2.4) գտնում ենք

Առաջադրանք. 2.1.7Էլեկտրոնային սարքավորումների պատահական պարապուրդը որոշ դեպքերում ունի հավանականության խտություն

Որտեղ M = lge = 0,4343...

Գտեք բաշխման գործառույթը F(x) .

Լուծում. Բանաձևով (2.10) գտնում ենք

Որտեղ

Առաջադրանք. 2.2.1Տրված է դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման շարք X :

Գտեք ակնկալվող արժեքը, շեղում, ստանդարտ շեղում, M, D[-3X + 2]:

Լուծում.

Համաձայն բանաձևի (2.12) մենք գտնում ենք մաթեմատիկական ակնկալիքը.

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0.2 + 20 0.15 + 30 0.25 + 40 0.4 = 28.5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28.5 + 5 = 62. Օգտագործելով բանաձևը (2.19), մենք գտնում ենք դիսպերսիան.

Առաջադրանք. 2.2.2Գտեք շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը X , որի բաշխման ֆունկցիան

.

Լուծում. Գտեք հավանականության խտությունը.

Մաթեմատիկական ակնկալիքը հայտնաբերվում է (2.13) բանաձևով.

Մենք գտնում ենք դիսպերսիան բանաձևով (2.19).

Եկեք նախ գտնենք պատահական փոփոխականի քառակուսու մաթեմատիկական ակնկալիքը.

Ստանդարտ շեղում

Առաջադրանք. 2.2.3Xունի մի շարք բաշխումներ.

Գտեք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումըՅ = EX .

Լուծում. Մ[ Յ] = Մ[ EX ] = էլ-- 1 0.2 + e0 0.3 + e1 0.4 + e2 0.1 =

0,2 0,3679 + 1 0,3 + 2,71828 0,4 + 7,389 0,1 = 2,2։

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2[Ե X] =

[(e-1)2 0.2 + (e0)2 0.3 + (e1)2 0.4 + (e2)2 0.1] - (2.2)2 =

= (e--2 0.2 + 0.3 + e2 0.4 + e4 0.1) - 4.84 = 8.741 - 4.84 = 3.9:

Առաջադրանք. 2.2.4Դիսկրետ պատահական փոփոխական X Կարող է վերցնել միայն երկու արժեք X1 Եվ X2 , և X1< x2. Հայտնի հավանականություն P1 = 0.2 Հնարավոր արժեք X1 , ակնկալվող արժեք M[X] = 3,8 Եվ ցրվածություն D[X] = 0,16: Գտեք պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը:

Լուծում. Քանի որ X պատահական փոփոխականը վերցնում է ընդամենը երկու արժեք x1 և x2, ապա հավանականությունը p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0.2 = 0.8:

Խնդրի պայմանով մենք ունենք.

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0.2x1 + 0.8x2 = 3.8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0.2x21 + 0.8x22) - (0.38)2 = 0.16:

Այսպիսով, մենք ստացանք հավասարումների համակարգը.

Վիճակ x1

Առաջադրանք. 2.2.5X պատահական փոփոխականը ենթակա է բաշխման օրենքին, որի խտության գրաֆիկն ունի ձև.

Գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը:

Լուծում. Գտնենք f(x) դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան։ Միջակայքից դուրս (0, 3) f(x) = 0: (0, 3) ինտերվալի վրա խտության գրաֆիկը ուղիղ գիծ է՝ k = 2/9 թեքությամբ, որն անցնում է սկզբնաղբյուրով: Այս կերպ,

Ակնկալվող արժեքը.

Գտեք շեղումը և ստանդարտ շեղումը.

Առաջադրանք. 2.2.6Գտեք միավորների գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը չորս զառերի վրա մեկ գլորում:

Լուծում. Նշանակենք A-ն մեկ նետում մեկ ձողի վրա միավորների քանակը, B-նշենք երկրորդ մատիտի միավորների քանակը, C-երրորդ դիակի վրա, D-չորրորդ դիակի վրա: A, B, C, D պատահական փոփոխականների համար՝ բաշխման օրենքը մեկ.

Այնուհետև M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.5

Առաջադրանք. 2.3.1Հավանականությունը, որ ռադիոակտիվ աղբյուրից արտանետվող մասնիկը կգրանցվի հաշվիչի միջոցով, հավասար է 0.0001. Դիտարկման ժամանակահատվածում, 30000 մասնիկներ. Գտեք հաշվիչը գրանցելու հավանականությունը.

1. Ուղիղ 3 մասնիկ;

2. Ոչ մի մասնիկ;

3. Առնվազն 10 մասնիկ:

Լուծում. Ըստ պայմանի Պ= 30000, Պ= 0,0001: Իրադարձությունները, որոնք բաղկացած են նրանից, որ ռադիոակտիվ աղբյուրից արտանետվող մասնիկները գրանցված են, անկախ են. թիվ ՊՀիանալի է, բայց հավանականությունը ՊՓոքր, ուստի մենք օգտագործում ենք Poisson բաշխումը. Եկեք գտնենք λ: λ = nՊ = 30000 0,0001 = 3 = M[X]: Ցանկալի հավանականություններ.

Առաջադրանք. 2.3.2Լոտում կա 5% ոչ ստանդարտ մասեր։ Պատահականության սկզբունքով ընտրվել է 5 առարկա։ Գրե՛ք դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը X - ընտրված հինգի մեջ ոչ ստանդարտ մասերի քանակը. գտեք մաթեմատիկական ակնկալիքը և տարբերությունը:

Լուծում. Դիսկրետ պատահական փոփոխական X - ոչ ստանդարտ մասերի քանակը - ունի երկանդամ բաշխում և կարող է վերցնել հետևյալ արժեքները՝ x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5: ոչ ստանդարտ մաս խմբաքանակում p = 5 /100 = 0.05: Եկեք գտնենք այս հնարավոր արժեքների հավանականությունները.

Եկեք գրենք ցանկալի բաշխման օրենքը.

Եկեք գտնենք թվային բնութագրերը.

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Նպ= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = Մ– Մ2 [X]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Կամ Դ[ X] = np (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Առաջադրանք. 2.3.3Ռադարային թիրախի հայտնաբերման ժամանակը բաշխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի

Որտեղ1/ λ = 10 վրկ. - թիրախի հայտնաբերման միջին ժամանակը: Գտեք հավանականությունը, որ թիրախը կգտնվի ժամանակի ընթացքում5 Նախքան15 վրկ. որոնումների մեկնարկից հետո։

Լուծում. Պատահական փոփոխականին հարվածելու հավանականությունը X Ընդմիջումով (5, 15) Եկեք գտնենք բանաձևով (2.8).

ժամը Մենք ստանում ենք

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Առաջադրանք. 2.3.4Պատահական չափման սխալները ենթարկվում են նորմալ օրենքին a = պարամետրերով 0, σ = 20 Մմ. Գրեք դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիաՖ(X) և գտնել այն հավանականությունը, որ չափումը սխալ է թույլ տվել միջակայքում 5 Նախքան 10 Մմ.

Լուծում. Եկեք փոխարինենք a և σ պարամետրերի արժեքները դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիայի մեջ (2.35).

Օգտագործելով բանաձևը (2.42), մենք գտնում ենք պատահական փոփոխականին հարվածելու հավանականությունը X Ընդմիջումով, այսինքն. A= 0, B= 0.1. Այնուհետեւ դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան F(x)Նման կլինի