Հավանականությունների տեսությունը, ինչպես մաթեմատիկայի ցանկացած ճյուղ, գործում է հասկացությունների որոշակի շրջանակով։ Հավանականությունների տեսության հասկացությունների մեծ մասը սահմանվում է, բայց որոշները վերցվում են որպես առաջնային, ոչ սահմանված, ինչպես երկրաչափության մեջ կետ, ուղիղ, հարթություն: Առաջնային հայեցակարգհավանականությունների տեսությունը իրադարձություն է. Իրադարձությունը մի բան է, որի մասին ժամանակի որոշակի պահից հետո երկուսից միայն մեկը կարելի է ասել.
- · Այո, դա եղել է:
- · Ոչ, դա տեղի չի ունեցել:
Օրինակ ես ունեմ վիճակախաղի տոմս. Վիճակախաղի արդյունքների հրապարակումից հետո ինձ հետաքրքրող իրադարձությունը՝ հազար ռուբլի շահելը կամ տեղի է ունենում, կամ չի լինում։ Ցանկացած իրադարձություն տեղի է ունենում թեստի (կամ փորձի) արդյունքում: Թեստի (կամ փորձի) ներքո հասկանալ այն պայմանները, որոնց արդյունքում տեղի է ունենում իրադարձություն: Օրինակ՝ մետաղադրամ նետելը փորձություն է, իսկ դրա վրա «զինանշանի» հայտնվելը՝ իրադարձություն։ Իրադարձությունը սովորաբար նշվում է լատինատառ մեծատառերով՝ A, B, C, .... Իրադարձությունները նյութական աշխարհում կարելի է բաժանել երեք կատեգորիայի՝ որոշակի, անհնարին և պատահական:
Որոշակի իրադարձություն այն իրադարձությունն է, որը նախապես հայտնի է, որ տեղի է ունենում: Այն նշվում է W տառով։ Այսպիսով, սովորական զառ նետելիս վստահելի է ոչ ավելի, քան վեց միավոր, միայն սպիտակ գնդիկներ պարունակող սափորից սպիտակ գնդակի տեսքը և այլն։
Անհնարին իրադարձությունն այն իրադարձությունն է, որը նախապես հայտնի է, որ չի լինելու։ Այն նշվում է E տառով: Անհնարին իրադարձությունների օրինակներ են սովորական խաղաքարտերից չորսից ավելի էյս քաշելը, միայն սպիտակ և սև գնդակներ պարունակող urn-ից կարմիր գնդակի տեսքը և այլն:
Պատահական իրադարձությունը այն իրադարձությունն է, որը կարող է տեղի ունենալ թեստի արդյունքում, թե ոչ: A և B իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի, եթե դրանցից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսի առաջացման հնարավորությունը: Այսպիսով, ցանկացածի տեսքը հնարավոր համարըմիավորներ, երբ մեռնոց նետելը (իրադարձություն A) անհամապատասխան է մեկ այլ թվի տեսքին (իրադարձություն B): Զույգ թվով միավորներ գլորելը անհամատեղելի է կենտ թվի հետ: Ընդհակառակը, միավորների զույգ թիվը (իրադարձություն A) և մի քանի կետեր, որոնք բաժանվում են երեքի (իրադարձություն B) անհամատեղելի չեն լինի, քանի որ վեց միավորի կորուստը նշանակում է ինչպես A, այնպես էլ իրադարձության B դեպք, այնպես որ մեկի առաջացումը. դրանցից չի բացառում մյուսի առաջացումը։ Գործողությունները կարող են իրականացվել իրադարձությունների վրա: Երկու իրադարձությունների միությունը C=AUB-ը C իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս իրադարձություններից առնվազն մեկը տեղի է ունենում A և B: Երկու իրադարձությունների հատում D=A?? B-ն իրադարձություն է, որը տեղի է ունենում, եթե և միայն այն դեպքում, երբ երկու իրադարձություններն էլ տեղի են ունենում A և B:
5-րդ դասարան Ներածություն հավանականությանը (4 ժամ)
(այս թեմայով 4 դասի մշակում)
ուսուցման նպատակներ : - ներկայացնել պատահական, հուսալի և անհնարին իրադարձության սահմանումը.
Առաջնորդեք առաջին գաղափարները կոմբինատոր խնդիրներ լուծելու վերաբերյալ՝ օգտագործելով տարբերակների ծառը և օգտագործելով բազմապատկման կանոնը:
կրթական նպատակ. ուսանողների մտածողության զարգացում.
Զարգացման նպատակ : տարածական երևակայության զարգացում, քանոնի հետ աշխատելու հմտության կատարելագործում.
Հուսալի, անհնարին և պատահական իրադարձություններ (2 ժամ)
Համակցված առաջադրանքներ (2 ժամ)
Հուսալի, անհնարին և պատահական իրադարձություններ:
Առաջին դաս
Դասի սարքավորումներ. զառ, մետաղադրամ, նարդի.
Մեր կյանքը հիմնականում բաղկացած է դժբախտ պատահարներից: Նման գիտություն կա «Հավանականության տեսություն». Օգտագործելով նրա լեզուն՝ կարելի է նկարագրել բազմաթիվ երեւույթներ ու իրավիճակներ։
Նույնիսկ պարզունակ առաջնորդը հասկանում էր, որ տասնյակ որսորդներ ավելի մեծ «հավանականություն» ունեն նիզակով հարվածելու բիզոնին, քան մեկին։ Հետեւաբար, նրանք այն ժամանակ կոլեկտիվ որս էին անում։
Այնպիսի հնագույն հրամանատարներ, ինչպիսիք են Ալեքսանդր Մակեդոնացին կամ Դմիտրի Դոնսկոյը, պատրաստվելով ճակատամարտի, ապավինում էին ոչ միայն ռազմիկների քաջության և հմտության, այլև պատահականության վրա:
Շատերը սիրում են մաթեմատիկան հավերժական ճշմարտությունների համար երկու անգամ երկուսը միշտ չորս է, զույգ թվերի գումարը զույգ է, ուղղանկյան մակերեսը հավասար է հարակից կողմերի արտադրյալին և այլն: Ցանկացած խնդրի դեպքում, որը դուք լուծում եք, բոլորը ստանում են նույն պատասխանը. պարզապես անհրաժեշտ է սխալներ թույլ չտալ որոշման մեջ:
Իրական կյանքն այնքան էլ պարզ ու միանշանակ չէ։ Շատ իրադարձությունների արդյունքները հնարավոր չէ նախապես կանխատեսել։ Անհնար է, օրինակ, միանշանակ ասել, թե նետված մետաղադրամը որ կողմն է ընկնելու, հաջորդ տարի երբ է գալու առաջին ձյունը կամ առաջիկա մեկ ժամվա ընթացքում քաղաքում քանի մարդ կցանկանա հեռախոսազանգ անել։ Նման անկանխատեսելի իրադարձությունները կոչվում են պատահական .
Սակայն գործն ունի նաև իր օրենքները, որոնք սկսում են դրսևորվել պատահական երևույթների կրկնվող կրկնությամբ։ Եթե մետաղադրամը նետեք 1000 անգամ, ապա «արծիվը» կթափվի մոտավորապես կես անգամ, ինչը չի կարելի ասել երկու կամ նույնիսկ տասը նետումի մասին։ «Մոտավորապես» չի նշանակում կեսը։ Սա, որպես կանոն, կարող է լինել կամ չլինել։ Օրենքը, ընդհանուր առմամբ, հաստատ ոչինչ չի ասում, բայց որոշակի աստիճանի վստահություն է տալիս, որ ինչ-որ պատահական իրադարձություն տեղի կունենա: Նման օրինաչափությունները ուսումնասիրվում են մաթեմատիկայի հատուկ ճյուղի կողմից. Հավանականությունների տեսություն . Դրանով դուք կարող եք ավելի վստահորեն (բայց դեռ ոչ հաստատ) կանխատեսել ինչպես առաջին ձյան օրը, այնպես էլ հեռախոսազանգերի քանակը:
Հավանականությունների տեսությունը անքակտելիորեն կապված է մեր առօրյա կյանքի հետ: Սա մեզ հրաշալի հնարավորություն է տալիս էմպիրիկ կերպով հաստատել բազմաթիվ հավանականական օրենքներ՝ բազմիցս կրկնելով պատահական փորձերը: Այս փորձերի նյութերն ամենից հաճախ կլինեն սովորական մետաղադրամ, զառ, դոմինոյի հավաքածու, նարդի, ռուլետկա կամ նույնիսկ քարտերի տախտակ: Այս կետերից յուրաքանչյուրն այս կամ այն կերպ կապված է խաղերի հետ: Փաստն այն է, որ դեպքն այստեղ հայտնվում է ամենահաճախակի տեսքով։ Իսկ առաջին հավանական առաջադրանքները կապված էին խաղացողների հաղթելու հնարավորությունների գնահատման հետ։
Հավանականությունների ժամանակակից տեսությունը հեռացել է մոլախաղերից, բայց նրանց հենարանները դեռևս ամենապարզ և ամենահուսալի պատահական աղբյուրն են: Զբաղվելով ռուլետկա անիվով և ձիթապտղով, դուք կսովորեք, թե ինչպես հաշվարկել պատահական իրադարձությունների հավանականությունը իրական կյանքի իրավիճակներում, ինչը թույլ կտա գնահատել հաջողության ձեր հնարավորությունները, փորձարկել վարկածները և օպտիմալ որոշումներ կայացնել ոչ միայն խաղերում և վիճակախաղերում: .
Հավանական խնդիրներ լուծելիս շատ զգույշ եղեք, փորձեք հիմնավորել յուրաքանչյուր քայլը, քանի որ մաթեմատիկայի ոչ մի այլ ոլորտ չի պարունակում նման թվով պարադոքսներ: Հավանականության տեսության նման: Եվ թերեւս դրա հիմնական բացատրությունը նրա կապն է իրական աշխարհի հետ, որտեղ մենք ապրում ենք։
Բազմաթիվ խաղերում օգտագործվում է ձողիկ, որն ունի տարբեր քանակի միավորներ՝ 1-ից 6-ը յուրաքանչյուր կողմում: Խաղացողը գլորում է ձողը, նայում, թե քանի միավոր է ընկել (վերևում գտնվող կողմում) և կատարում համապատասխան քանակի շարժումներ՝ 1,2,3,4,5 կամ 6: Մեռնոց նետելը կարելի է համարել փորձ, փորձ, փորձություն, իսկ ստացված արդյունքը՝ իրադարձություն: Մարդիկ սովորաբար շատ հետաքրքրված են գուշակել իրադարձության սկիզբը, կանխատեսել դրա արդյունքը: Ի՞նչ կանխատեսումներ կարող են անել նրանք, երբ գլորվում են զառերը: Առաջին կանխատեսում. 1,2,3,4,5 կամ 6 թվերից մեկը դուրս կգա, ի՞նչ եք կարծում, կգա՞, թե՞ ոչ: Իհարկե, անպայման կգա։ Իրադարձությունը, որը անպայման տեղի կունենա տվյալ փորձառության մեջ, կոչվում է հուսալի իրադարձություն.
Երկրորդ կանխատեսում : 7 թիվը դուրս կգա, ի՞նչ եք կարծում, կանխատեսված իրադարձությունը կգա՞, թե՞ ոչ։ Իհարկե չի լինի, ուղղակի անհնար է: Այն իրադարձությունը, որը չի կարող տեղի ունենալ տվյալ փորձի մեջ, կոչվում է անհնարին իրադարձություն.
Երրորդ կանխատեսում : թիվ 1-ը դուրս կգա, ի՞նչ եք կարծում, կանխատեսված իրադարձությունը կգա՞, թե՞ ոչ։ Մենք չենք կարող լիովին վստահորեն պատասխանել այս հարցին, քանի որ կանխատեսված իրադարձությունը կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել: Իրադարձությունը, որը կարող է կամ տեղի ունենալ տվյալ փորձառության մեջ, կոչվում է պատահական իրադարձություն.
Զորավարժություններ : նկարագրեք այն իրադարձությունները, որոնք քննարկվում են ստորև ներկայացված առաջադրանքներում: Որպես որոշակի, անհնարին կամ պատահական:
Մենք մետաղադրամ ենք նետում: Հայտնվեց զինանշանը։ (պատահական)
Որսորդը կրակել է գայլի վրա ու հարվածել. (պատահական)
Ուսանողն ամեն երեկո զբոսնում է։ Զբոսանքի ժամանակ երկուշաբթի օրը նա հանդիպեց երեք ծանոթների. (պատահական)
Եկեք մտովի կատարենք հետևյալ փորձը՝ մի բաժակ ջուրը տակնուվրա անել։ Եթե այս փորձը կատարվի ոչ թե տիեզերքում, այլ տանը կամ դասարանում, ապա ջուրը դուրս կթափվի։ (իսկական)
Երեք կրակոց է արձակվել թիրախի ուղղությամբ. Հինգ հարված է եղել» (անհնար է)
Մենք քարը վեր ենք նետում։ Քարը մնում է օդում կախված։ (անհնար է)
«Անտագոնիզմ» բառի տառերը պատահականորեն վերադասավորվում են: Ստացեք «անախրոիզմ» բառը: (անհնար է)
№959. Պետյան հղիացավ բնական թիվ. Միջոցառումը հետևյալն է.
ա) բեղմնավորված է զույգ թիվ. (պատահական) բ) մտածված է կենտ թիվ. (պատահական)
գ) բեղմնավորված թիվ է, որը ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ. (անհնար է)
դ) մտահղացվել է զույգ կամ կենտ թիվ: (իսկական)
№ 961. Պետյան և Տոլյան համեմատում են իրենց ծննդյան օրերը։ Միջոցառումը հետևյալն է.
ա) նրանց ծննդյան օրերը չեն համընկնում. (պատահական) բ) նրանց ծննդյան օրերը նույնն են. (պատահական)
դ) երկու ծննդյան օրերն էլ ընկնում են տոներին՝ Նոր տարի (հունվարի 1) և Ռուսաստանի Անկախության օրը (հունիսի 12): (պատահական)
№ 962. Նարդի խաղալիս օգտագործվում է երկու զառ: Խաղացողի կատարած շարժումների քանակը որոշվում է` ավելացնելով թվերը մաշիկի երկու երեսների վրա, որոնք դուրս են եկել, և եթե «կրկնակի» դուրս է գալիս (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6), ապա շարժումների թիվը կրկնապատկվում է: Դուք գցում եք զառերը և հաշվարկում, թե քանի քայլ պետք է կատարեք: Միջոցառումը հետևյալն է.
ա) դուք պետք է մեկ քայլ կատարեք. բ) դուք պետք է կատարեք 7 քայլ.
գ) դուք պետք է կատարեք 24 քայլ. դ) դուք պետք է կատարեք 13 քայլ:
ա) - անհնար է (1 քայլ կարելի է անել, եթե 1 + 0 համակցությունը դուրս է գալիս, բայց զառի վրա 0 թիվը չկա):
բ) - պատահական (եթե 1 + 6 կամ 2 + 5 ընկնում է):
գ) - պատահական (եթե 6 +6 համակցությունը ընկնում է):
դ) - անհնար է (չկան 1-ից 6 թվերի համակցություններ, որոնց գումարը 13 է, այս թիվը հնարավոր չէ ստանալ նույնիսկ «կրկնակի» գլորվելիս, քանի որ այն կենտ է):
Ստուգեք ինքներդ: (մաթեմատիկական թելադրանք)
1) Նշե՛ք հետևյալ իրադարձություններից որոնք են անհնար, որոնք են՝ որոշակի, որոնք՝ պատահական.
«Սպարտակ» - «Դինամո» ֆուտբոլային հանդիպումը կավարտվի ոչ-ոքի. (պատահական)
Դուք կշահեք՝ մասնակցելով շահումով շահող վիճակախաղին (իսկական)
Կեսգիշերին ձյուն կտեղա, իսկ 24 ժամ հետո արևը կշողա։ (անհնար է)
Վաղը մաթեմատիկայի քննություն է լինելու։ (պատահական)
Դուք կընտրվեք Միացյալ Նահանգների նախագահ։ (անհնար է)
Դուք կընտրվեք Ռուսաստանի նախագահ. (պատահական)
2) Դուք խանութից հեռուստացույց եք գնել, որի համար արտադրողը տալիս է երկու տարվա երաշխիք։ Հետևյալ իրադարձություններից որո՞նք են անհնար, որոնք են պատահական, որոնք են որոշակի.
Մեկ տարվա ընթացքում հեռուստացույցը չի փչանա. (պատահական)
Հեռուստացույցը երկու տարի չի փչանա. (պատահական)
Երկու տարվա ընթացքում դուք ստիպված չեք լինի վճարել հեռուստացույցի վերանորոգման համար։ (իսկական)
Հեռուստացույցը կփչանա երրորդ տարում. (պատահական)
3) 15 ուղևոր տեղափոխող ավտոբուսն ունի 10 կանգառ: Հետևյալ իրադարձություններից որո՞նք են անհնար, որոնք են պատահական, որոնք են որոշակի.
Բոլոր ուղեւորները ավտոբուսից կիջնեն տարբեր կանգառներում։ (անհնար է)
Բոլոր ուղեւորները կիջնեն նույն կանգառում։ (պատահական)
Ամեն կանգառում ինչ-որ մեկը կիջնի։ (պատահական)
Կլինի կանգառ, որից ոչ ոք չի իջնի։ (պատահական)
Բոլոր կանգառներում զույգ թվով ուղեւորներ կիջնեն։ (անհնար է)
Բոլոր կանգառներում կենտ թվով ուղեւորներ կիջնեն։ (անհնար է)
Տնային աշխատանք : 53 No. 960, 963, 965 (ինքներդ հորինեք երկու հուսալի, պատահական և անհնարին իրադարձություններ):
Երկրորդ դաս.
Փորձաքննություն Տնային աշխատանք. (բանավոր)
ա) Բացատրե՛ք, թե որոնք են որոշակի, պատահական և անհնարին իրադարձությունները:
բ) Նշեք, թե ստորև նշված իրադարձություններից որն է որոշակի, որը անհնար է, որը պատահական է.
Ամառային արձակուրդներ չեն լինելու. (անհնար է)
Սենդվիչը ներքև կընկնի կարագի կողմից: (պատահական)
Ուսումնական տարին ի վերջո կավարտվի։ (իսկական)
Ինձ վաղը դասարանում կհարցնեն. (պատահական)
Այսօր ես հանդիպում եմ սև կատվի հետ: (պատահական)
№ 960. Դուք բացեցիք այս դասագիրքը ցանկացած էջում և ընտրեցիք առաջին գոյականը, որը հանդիպեց: Միջոցառումը հետևյալն է.
ա) ընտրված բառի ուղղագրության մեջ ձայնավոր կա. ((իսկական)
բ) ընտրված բառի ուղղագրության մեջ կա «ո» տառ: (պատահական)
գ) ընտրված բառի ուղղագրության մեջ ձայնավորներ չկան. (անհնար է)
դ) ընտրված բառի ուղղագրության մեջ կա փափուկ նշան. (պատահական)
№ 963. Դու նորից նարդի ես խաղում։ Նկարագրեք հետևյալ իրադարձությունը.
ա) խաղացողը պետք է կատարի ոչ ավելի, քան երկու քայլ: (անհնար է. 1 + 1 ամենափոքր թվերի համադրությամբ խաղացողը կատարում է 4 քայլ, 1 + 2 համակցությունը տալիս է 3 քայլ, մնացած բոլոր համակցությունները տալիս են 3-ից ավելի քայլ)
բ) խաղացողը պետք է կատարի ավելի քան երկու քայլ: (հուսալի - ցանկացած համակցություն տալիս է 3 կամ ավելի շարժում)
գ) խաղացողը պետք է կատարի ոչ ավելի, քան 24 քայլ: (վստահելի - 6 + 6 ամենամեծ թվերի համակցությունը տալիս է 24 քայլ, իսկ մնացած բոլորը՝ 24 քայլից պակաս)
դ) խաղացողը պետք է կատարի երկնիշ թվով շարժումներ: (պատահական - օրինակ, 2 + 3 համակցությունը տալիս է քայլերի միանիշ թիվ՝ 5, իսկ երկու քառյակի անկումը տալիս է երկնիշ թվով շարժումներ)
2. Խնդիրների լուծում.
№ 964. Պայուսակի մեջ կա 10 գնդակ՝ 3 կապույտ, 3 սպիտակ և 4 կարմիր։ Նկարագրեք հետևյալ իրադարձությունը.
ա) պայուսակից հանվում է 4 գնդակ, և բոլորը կապույտ են. (անհնար է)
բ) պայուսակից հանվում է 4 գնդակ, և բոլորը կարմիր են. (պատահական)
գ) պայուսակից հանել են 4 գնդակ, և պարզվել է, որ դրանք բոլորը տարբեր գույնի են. (անհնար է)
դ) պայուսակից հանում են 4 գնդակ, որոնց մեջ սև գնդակ չկա։ (իսկական)
Առաջադրանք 1. Տուփը պարունակում է 10 կարմիր, 1 կանաչ և 2 կապույտ գրիչ։ Տուփից պատահականության սկզբունքով վերցված են երկու առարկա: Հետևյալ իրադարձություններից որո՞նք են անհնար, որոնք են պատահական, որոնք են որոշակի.
ա) հանվում են երկու կարմիր բռնակներ (պատահական)
բ) հանված են երկու կանաչ բռնակներ. (անհնար է)
գ) հանված են երկու կապույտ բռնակներ. (պատահական)
դ) հանվում են երկու տարբեր գույների բռնակներ. (պատահական)
ե) հանված է երկու բռնակ. (իսկական)
ե) երկու մատիտ են հանում. (անհնար է)
Առաջադրանք 2. Վինի Թուխը, Դնչիկը և բոլորը` բոլորը, բոլորը նստում են կլոր սեղանի շուրջ` նշելու ծննդյան տարեդարձը: «Վինի Թուխն ու Դնչիկը կողք կողքի նստելու են» միջոցառումը բոլորից - բոլորից ո՞ր թվով է հուսալի, իսկ ինչո՞վ է պատահական:
(եթե բոլորից միայն 1-ը կա - բոլորը - բոլորը, ապա իրադարձությունը հուսալի է, եթե 1-ից ավելին, ապա պատահական է):
Առաջադրանք 3. 100 բարեգործական վիճակախաղի տոմսերից 20-ը շահած Քանի՞ տոմս է անհրաժեշտ գնել «դու ոչինչ չես շահում» միջոցառումն անհնարին դարձնելու համար։
Առաջադրանք 4. Դասարանում սովորում է 10 տղա և 20 աղջիկ։ Հետևյալ իրադարձություններից որո՞նք են անհնար այդպիսի դասի համար, որոնք են պատահական, որոնք՝ որոշակի
Դասարանում կան երկու հոգի, ովքեր ծնվել են տարբեր ամիսների ընթացքում: (պատահական)
Դասարանում երկու հոգի կա, ովքեր ծնվել են նույն ամսում։ (իսկական)
Դասարանում երկու տղա կա, ովքեր ծնվել են նույն ամսում։ (պատահական)
Դասարանում երկու աղջիկ կա, ովքեր ծնվել են նույն ամսում։ (իսկական)
Բոլոր տղաները ծնվել են տարբեր ամիսների։ (իսկական)
Բոլոր աղջիկները ծնվել են տարբեր ամիսների։ (պատահական)
Մի ամսում ծնված տղա և աղջիկ կա։ (պատահական)
Տարբեր ամիսների ծնված տղա ու աղջիկ կա։ (պատահական)
Առաջադրանք 5. Տուփում կա 3 կարմիր, 3 դեղին, 3 կանաչ գնդակ։ Պատահականորեն նկարեք 4 գնդակ: Դիտարկենք «Նկարված գնդակների մեջ կլինեն հենց M գույնի գնդակներ» իրադարձությունը։ 1-ից 4-ի յուրաքանչյուր M-ի համար որոշեք, թե որ իրադարձությունն է դա՝ անհնար, որոշակի կամ պատահական, և լրացրեք աղյուսակը.
Անկախ աշխատանք.
Իտարբերակ
ա) ձեր ընկերոջ ծննդյան օրը 32-ից պակաս է.
գ) վաղը կլինի մաթեմատիկայի քննություն.
դ) Հաջորդ տարի Մոսկվայում առաջին ձյունը կտեղա կիրակի օրը։
Զառ գցել: Նկարագրեք իրադարձությունը.
ա) խորանարդը, ընկնելով, կկանգնի իր եզրին.
բ) թվերից մեկը դուրս կգա՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6;
գ) 6 թիվը դուրս կգա.
դ) դուրս կգա մի թիվ, որը 7-ի բազմապատիկ է:
Տուփը պարունակում է 3 կարմիր, 3 դեղին և 3 կանաչ գնդակներ։ Նկարագրեք իրադարձությունը.
ա) բոլոր գծված գնդակները նույն գույնի են.
բ) տարբեր գույների բոլոր գծված գնդակները.
գ) գծված գնդակների մեջ կան տարբեր գույների գնդակներ.
գ) գծված գնդակների մեջ կա կարմիր, դեղին և կանաչ գնդակ:
IIտարբերակ
Նկարագրեք խնդրո առարկա իրադարձությունը որպես որոշակի, անհնարին կամ պատահական.
ա) սեղանից ընկած սենդվիչը կընկնի հատակին, կարագի կողմը ներքև.
բ) Մոսկվայում կեսգիշերին ձյուն կտեղա, իսկ 24 ժամից արևը կշողա.
գ) շահում ես՝ մասնակցելով շահումով շահող վիճակախաղին.
դ) հաջորդ տարի մայիսին առաջին գարնանային որոտը կլսվի։
Բոլոր երկնիշ թվերը գրված են քարտերի վրա: Մեկ քարտ ընտրվում է պատահականության սկզբունքով: Նկարագրեք իրադարձությունը.
ա) քարտը զրո է.
բ) քարտի վրա կա թիվ, որը 5-ի բազմապատիկ է.
գ) քարտի վրա կա թիվ, որը 100-ի բազմապատիկ է.
դ) քարտը պարունակում է 9-ից մեծ և 100-ից փոքր թիվ:
Տուփը պարունակում է 10 կարմիր, 1 կանաչ և 2 կապույտ գրիչ։ Տուփից պատահականության սկզբունքով վերցված են երկու առարկա: Նկարագրեք իրադարձությունը.
ա) հանվում են երկու կապույտ բռնակներ.
բ) հանված են երկու կարմիր բռնակներ.
գ) հանված են երկու կանաչ բռնակներ.
դ) հանվում են կանաչ և սև բռնակներ.
Տնային աշխատանք: 1). Գտեք երկու հուսալի, պատահական և անհնարին իրադարձություններ:
2). Առաջադրանք . Տուփում կա 3 կարմիր, 3 դեղին, 3 կանաչ գնդակ։ Պատահականորեն նկարում ենք N գնդակ։ Դիտարկենք իրադարձությունը «գծված գնդակների մեջ կլինեն ուղիղ երեք գույնի գնդակներ»: 1-ից 9-ի յուրաքանչյուր N-ի համար որոշեք, թե որ իրադարձությունն է դա՝ անհնար, որոշակի կամ պատահական, և լրացրեք աղյուսակը.
կոմբինատոր առաջադրանքներ.
Առաջին դաս
Տնային առաջադրանքների ստուգում. (բանավոր)
ա) Ստուգում ենք աշակերտների առաջ քաշած խնդիրները.
բ) լրացուցիչ առաջադրանք.
Կարդում եմ մի հատված Վ.Լևշինի «Երեք օր Կարլիկանիում» գրքից.
«Նախ, սահուն վալսի հնչյունների ներքո թվերը կազմեցին խումբ՝ 1+ 3 + 4 + 2 = 10: Այնուհետև երիտասարդ չմշկորդները սկսեցին փոխել տեղերը՝ ստեղծելով ավելի ու ավելի շատ նոր խմբեր՝ 2 + 3 + 4 + 1: = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 և այլն:
Դա շարունակվեց այնքան ժամանակ, մինչև չմշկորդները վերադարձան իրենց սկզբնական դիրքը։
Քանի՞ անգամ են նրանք փոխել տեղերը։
Այսօր դասի ընթացքում մենք կսովորենք, թե ինչպես լուծել նման խնդիրները: Նրանք կոչվում են կոմբինատոր.
3. Նոր նյութի ուսուցում.
Առաջադրանք 1. Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է կազմել 1, 2, 3 թվերից։
Լուծում: 11, 12, 13
31, 32, 33. Ընդամենը 9 թիվ։
Այս խնդիրը լուծելիս մենք թվարկեցինք բոլոր հնարավոր տարբերակները, կամ, ինչպես սովորաբար ասում են այս դեպքերում։ Բոլոր հնարավոր համակցությունները. Հետեւաբար, նման առաջադրանքները կոչվում են կոմբինատոր. Կյանքում հնարավոր (կամ անհնարին) տարբերակները հաշվարկելը բավականին տարածված է, ուստի օգտակար է ծանոթանալ կոմբինատոր խնդիրներին։
№ 967. Մի քանի երկրներ որոշել են իրենց ազգային դրոշի համար օգտագործել տարբեր գույներով նույն լայնությամբ երեք հորիզոնական շերտերի խորհրդանիշներ՝ սպիտակ, կապույտ, կարմիր: Քանի՞ երկիր կարող է օգտագործել նման խորհրդանիշներ՝ պայմանով, որ յուրաքանչյուր երկիր ունենա իր դրոշը:
Լուծում. Ենթադրենք, որ առաջին շերտը սպիտակ է։ Այնուհետեւ երկրորդ շերտը կարող է լինել կապույտ կամ կարմիր, իսկ երրորդը, համապատասխանաբար, կարմիր կամ կապույտ: Պարզվեց երկու տարբերակ՝ սպիտակ, կապույտ, կարմիր կամ սպիտակ, կարմիր, կապույտ։
Եկեք հիմա առաջին էջը կապույտ գույնի, ապա կրկին ստանում ենք երկու տարբերակ՝ սպիտակ, կարմիր, կապույտ կամ կապույտ, կարմիր, սպիտակ։
Թող առաջին շերտը լինի կարմիր, հետո ևս երկու տարբերակ՝ կարմիր, սպիտակ, կապույտ կամ կարմիր, կապույտ, սպիտակ:
Ընդհանուր առմամբ կա 6 հնարավոր տարբերակ։ Այս դրոշը կարող է օգտագործել 6 երկիր։
Այսպիսով, այս խնդիրը լուծելիս մենք ուղիներ էինք փնտրում հնարավոր տարբերակները թվարկելու համար։ Շատ դեպքերում, պարզվում է, որ օգտակար է նկար կառուցելը` տարբերակները թվարկելու սխեմա: Սա, առաջին հերթին, պատկերավոր է Երկրորդ, թույլ է տալիս ամեն ինչ հաշվի առնել, ոչինչ բաց չթողնել։
Այս սխեման կոչվում է նաև հնարավոր տարբերակների ծառ:
Առաջին էջ
Երկրորդ գիծ
երրորդ նրբ
Ստացված համակցություն
№ 968. Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է կազմել 1, 2, 4, 6, 8 թվերից:
Լուծում. Մեզ հետաքրքրող երկնիշ թվերի դեպքում տրված թվանշաններից որևէ մեկը կարող է լինել առաջին տեղում, բացառությամբ 0-ի։ Եթե առաջին տեղում դնենք 2 թիվը, ապա տրված թվերից որևէ մեկը կարող է լինել երկրորդ տեղում։ Կլինեն հինգ երկնիշ թվեր՝ 2.,22, 24, 26, 28։ Նմանապես, կլինեն հինգ երկնիշ թվեր՝ առաջին 4 թվանշանով, հինգ երկնիշ թիվ՝ առաջին 6 թվով և հինգ երկնիշ թիվ։ թվանշաններ առաջին նիշով 8.
Պատասխան՝ Ընդհանուր առմամբ 20 թիվ կա։
Եկեք կառուցենք այս խնդրի լուծման հնարավոր տարբերակների ծառը:
Կրկնակի թվեր
Առաջին թվանշան
Երկրորդ թվանշան
Ստացված համարներ
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Լուծե՛ք հետևյալ խնդիրները՝ կառուցելով հնարավոր տարբերակների ծառ։
№ 971. Ինչ-որ երկրի ղեկավարությունը որոշել է իր ազգային դրոշը դարձնել այսպես՝ միագույն ուղղանկյուն ֆոնի վրա անկյուններից մեկում այլ գույնի շրջան է դրված։ Որոշվել է գույներ ընտրել երեք հնարավորից՝ կարմիր, դեղին, կանաչ։ Այս դրոշի քանի տարբերակ
գոյություն ունի՞ Նկարը ցույց է տալիս հնարավոր տարբերակներից մի քանիսը:
Պատասխան՝ 24 տարբերակ։
№ 973. ա) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 1,3, 5, թվերից. (27 համար)
բ) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 1,3, 5 թվերից, պայմանով, որ թվերը չկրկնվեն։ (6 համար)
№ 979. Ժամանակակից հնգամարտիկները երկու օր մրցում են հինգ մարզաձևերում՝ շոու ցատկ, սուսերամարտ, լող, հրաձգություն և վազք:
ա) Քանի՞ տարբերակ կա մրցույթի տեսակների անցնելու կարգի համար. (120 տարբերակ)
բ) Քանի՞ տարբերակ կա մրցույթի միջոցառումների անցման կարգի համար, եթե հայտնի է, որ վերջին միջոցառումը պետք է լինի վազք։ (24 տարբերակ)
գ) Քանի՞ տարբերակ կա մրցույթի տեսակների անցնելու հերթականության համար, եթե հայտնի է, որ վերջին տեսակը պետք է լինի վազքը, իսկ առաջինը՝ շոու ցատկը։ (6 տարբերակ)
№ 981. Երկու urns պարունակում են հինգ գնդակներ յուրաքանչյուր հինգում տարբեր գույներ՝ սպիտակ, կապույտ, կարմիր, դեղին, կանաչ: Յուրաքանչյուր urn-ից միանգամից մեկ գնդակ է քաշվում:
ա) գծված գնդակների քանի՞ տարբեր համակցություն կա («սպիտակ-կարմիր» և «կարմիր-սպիտակ» համակցությունները համարվում են նույնը):
(15 համակցություն)
բ) Քանի՞ համակցություն կա, որում գծված գնդիկները նույն գույնի են:
(5 համակցություն)
գ) քանի՞ համակցություն կա, որում գծված գնդերը տարբեր գույնի են:
(15 - 5 = 10 համակցություն)
Տնային աշխատանք: 54, թիվ 969, 972, ինքներս եկեք կոմբինատոր խնդիր.
№ 969. Մի քանի երկրներ որոշել են իրենց ազգային դրոշի համար օգտագործել նույն լայնությամբ երեք ուղղահայաց գծերի տեսքով տարբեր գույների խորհրդանիշներ՝ կանաչ, սև, դեղին: Քանի՞ երկիր կարող է օգտագործել նման խորհրդանիշներ՝ պայմանով, որ յուրաքանչյուր երկիր ունենա իր դրոշը:
№ 972. ա) Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է կազմել 1, 3, 5, 7, 9 թվերից։
բ) Քանի՞ երկնիշ թիվ կարելի է կազմել 1, 3, 5, 7, 9 թվերից, պայմանով, որ թվերը չկրկնվեն։
Երկրորդ դաս
Տնային առաջադրանքների ստուգում. ա) No 969 և No 972a) և No 972b) - տախտակի վրա կառուցել հնարավոր տարբերակների ծառ։
բ) բանավոր ստուգել կազմված առաջադրանքները.
Խնդրի լուծում.
Այսպիսով, մինչ այդ մենք սովորել ենք, թե ինչպես լուծել կոմբինատոր խնդիրներ՝ օգտագործելով տարբերակների ծառը։ Սա լա՞վ միջոց է: Հավանաբար, այո, բայց շատ ծանր: Թիվ 972 տան խնդիրը փորձենք այլ կերպ լուծել։ Ո՞վ կարող է գուշակել, թե ինչպես կարելի է դա անել:
Պատասխան. Շապիկների հինգ գույներից յուրաքանչյուրի համար կա 4 գույնի շորտեր։ Ընդհանուր՝ 4 * 5 = 20 տարբերակ:
№ 980. Սուրը պարունակում է հինգ գնդակ հինգ տարբեր գույներով՝ սպիտակ, կապույտ, կարմիր, դեղին, կանաչ: Յուրաքանչյուր urn-ից միանգամից մեկ գնդակ է քաշվում: Հետևյալ իրադարձությունը նկարագրեք որպես որոշակի, պատահական կամ անհնարին.
ա) տարբեր գույների գծված գնդակներ. (պատահական)
բ) նույն գույնի գծված գնդակներ. (պատահական)
գ) նկարվում են սև և սպիտակ գնդակներ. (անհնար է)
դ) հանվում է երկու գնդակ, և երկուսն էլ գունավորվում են հետևյալ գույներից մեկով՝ սպիտակ, կապույտ, կարմիր, դեղին, կանաչ։ (իսկական)
№ 982. Զբոսաշրջիկների խումբը նախատեսում է ուղևորություն կատարել Անտոնովո - Բորիսովո - Վլասովո - Գրիբովո երթուղով: Անտոնովոյից Բորիսովո կարող եք լաստանավով իջնել գետով կամ քայլել: Բորիսովոյից Վլասովո կարող եք քայլել կամ հեծանիվ վարել։ Վլասովոյից Գրիբովո կարող եք լողալ գետի երկայնքով, հեծանիվ վարել կամ քայլել։ Քանի՞ քայլարշավ կարող են ընտրել զբոսաշրջիկները: Քայլարշավի քանի՞ տարբերակ կարող են ընտրել զբոսաշրջիկները, պայմանով, որ երթուղու գոնե մեկ հատվածից նրանք պետք է օգտագործեն հեծանիվներ:
(երթուղու 12 տարբերակ, որոնցից 8-ը՝ հեծանիվներով)
Անկախ աշխատանք.
1 տարբերակ
ա) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 0, 1, 3, 5, 7 թվերից։
բ) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 0, 1, 3, 5, 7 թվերից, պայմանով, որ թվերը չկրկնվեն։
Աթոսը, Պորտոսը և Արամիսն ունեն միայն սուր, դաշույն և ատրճանակ։
ա) Քանի՞ եղանակով կարող են զինվել հրացանակիրները:
բ) Զենքի քանի՞ տարբերակ կա, եթե Արամիսը պետք է սուր օգտագործի:
գ) Զենքի քանի՞ տարբերակ կա, եթե Արամիսը պետք է սուր ունենա, իսկ Պորտոսը՝ ատրճանակ:
Ինչ-որ տեղ Աստված ագռավին ուղարկեց մի կտոր պանիր, ինչպես նաև պանիր, երշիկեղեն, սպիտակ և սև հաց։ Ագռավը, նստած եղևնու վրա, պատրաստվում էր նախաճաշել, բայց նա մտածեց. քանի՞ ձևով կարելի է սենդվիչներ պատրաստել այս ապրանքներից:
Տարբերակ 2
ա) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 0, 2, 4, 6, 8 թվերից։
բ) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 0, 2, 4, 6, 8 թվերից, պայմանով, որ թվերը չկրկնվեն։
Կոմս Մոնտե Քրիստոն որոշել է արքայադուստր Հայդին նվիրել ականջօղեր, վզնոց և թեւնոց։ Զարդի յուրաքանչյուր կտոր պետք է պարունակի հետևյալ ակնեղեններից մեկը՝ ադամանդ, սուտակ կամ նռնաքար:
ա) Թանկարժեք զարդերի քանի՞ համադրություն կա:
բ) Զարդերի քանի՞ տարբերակ կա, եթե ականջօղերը պետք է լինեն ադամանդե:
գ) Զարդերի քանի՞ տարբերակ կա, եթե ականջօղերը պետք է լինեն ադամանդե, իսկ ապարանջանի նռնաքարը:
Նախաճաշին կարող եք ընտրել բուլկի, սենդվիչ կամ կոճապղպեղ սուրճով կամ կեֆիրով։ Նախաճաշի քանի՞ տարբերակ կարող եք պատրաստել:
Տնային աշխատանք : No 974, 975. (կազմելով տարբերակների ծառը և օգտագործելով բազմապատկման կանոնը)
№ 974 . ա) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 0, 2, 4 թվերից։
բ) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 0, 2, 4 թվերից՝ պայմանով, որ թվերը չկրկնվեն։
№ 975 . ա) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 1.3, 5.7 թվերից.
բ) Քանի՞ եռանիշ թիվ կարելի է կազմել 1.3, 5.7 թվերից՝ տրամադրված։ Ո՞ր թվերը չպետք է կրկնվեն:
Խնդրի համարները վերցված են դասագրքից
«Մաթեմատիկա-5», Ի.Ի. Զուբարևա, Ա.Գ. Մորդկովիչ, 2004 թ.
1.1. Որոշ տեղեկություններ կոմբինատորիկայից
1.1.1. Տեղավորումներ
Դիտարկենք ամենապարզ հասկացությունները, որոնք կապված են որոշակի օբյեկտների ընտրության և գտնվելու վայրի հետ:
Այս գործողությունների կատարման եղանակների քանակը հաշվելը հաճախ կատարվում է հավանականական խնդիրներ լուծելիս:
Սահմանում. Տեղավորում սկսած nտարրեր ըստ կ (կ ≤n) ցանկացած պատվիրված ենթաբազմություն է կկազմված հավաքածուի տարրեր nտարբեր տարրեր.
Օրինակ.Թվերի հետևյալ հաջորդականությունները բազմության (1;2;3) 3 տարրերից 2 տարրի դասավորություններ են՝ 12, 13, 23, 21, 31, 32:
Նկատի ունեցեք, որ տեղաբաշխումները տարբերվում են իրենց բաղկացուցիչ տարրերի հերթականությամբ և կազմով: 12-րդ և 21-րդ տեղերը պարունակում են նույն թվերը, սակայն դրանց հերթականությունը տարբեր է: Հետեւաբար, այս տեղաբաշխումները համարվում են տարբեր:
ից տարբեր տեղաբաշխումների քանակը nտարրեր ըստ կնշվում և հաշվարկվում է բանաձևով.
,
որտեղ n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(կարդա" nգործոնային):
Երկնիշ թվերի թիվը, որոնք կարող են կազմվել 1, 2, 3 թվանշաններից, պայմանով, որ թվանշան չկրկնվի, հետևյալն է.
1.1.2. Փոխադարձություններ
Սահմանում. Փոխակերպումներ ից nտարրերը կոչվում են այդպիսի տեղաբաշխումներ nտարրեր, որոնք տարբերվում են միայն տարրերի դասավորությամբ.
ից փոխակերպումների քանակը nտարրեր Պ նհաշվարկվում է բանաձևով. Պ ն=n!
Օրինակ.Քանի՞ ձևով կարող են հերթագրվել 5 հոգի: Ճանապարհների թիվը հավասար է 5 տարրերի փոխակերպումների թվին, այսինքն.
Պ 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Սահմանում. Եթե շարքում nտարրեր կնույնական, ապա դրանց փոխակերպումը nտարրերը կոչվում են կրկնություններով փոխակերպում:
Օրինակ.Ենթադրենք, որ 6 գրքերից 2-ը նույնն են։ Դարակի բոլոր գրքերի ցանկացած դասավորություն կրկնություններով փոխակերպում է:
Կրկնություններով տարբեր փոխակերպումների քանակը (դուրս nտարրեր, որոնց թվում կնույնական) հաշվարկվում է բանաձևով.
Մեր օրինակում գրքերը դարակի վրա դասավորելու եղանակների թիվը հետևյալն է.
1.1.3. Համակցություններ
Սահմանում. Համադրություններ ից nտարրեր ըստ կայդպիսի տեղաբաշխումները կոչվում են nտարրեր ըստ կ, որոնք միմյանցից տարբերվում են առնվազն մեկ տարրով։
Տարբեր համակցությունների քանակը nտարրեր ըստ կնշվում և հաշվարկվում է բանաձևով.
Ըստ սահմանման՝ 0՛=1։
Համակցություններն ունեն հետևյալ հատկությունները.
1.
2.
3.
4.
Օրինակ.Տարբեր գույների 5 ծաղիկ կա։ Ծաղկեփնջի համար ընտրվում է 3 ծաղիկ։ 5-ից 3 ծաղիկների տարբեր ծաղկեփնջերի քանակը հետևյալն է.
1.2. պատահական իրադարձություններ
1.2.1. Զարգացումներ
Իրականության ճանաչումը բնական գիտություններում տեղի է ունենում թեստերի արդյունքում (փորձ, դիտում, փորձ):
փորձարկում
կամ փորձը որոշակի որոշակի պայմանների իրականացումն է, որը կարող է կամայականորեն վերարտադրվել մեծ թիվմեկ անգամ.
Պատահական
կոչվում է իրադարձություն, որը կարող է կամ տեղի ունենալ ինչ-որ փորձության (փորձի) արդյունքում։
Այսպիսով, իրադարձությունը համարվում է թեստի արդյունք։
Օրինակ.Մետաղադրամ նետելը փորձություն է: Արծվի հայտնվելը, երբ նետվում է, իրադարձություն է:
Իրադարձությունները, որոնք մենք դիտարկում ենք, տարբերվում են դրանց առաջացման հավանականության աստիճանով և իրենց հարաբերությունների բնույթով:
Միջոցառումը կոչվում է իսկական
եթե վստահ է, որ դա տեղի է ունենում թեստի արդյունքում:
Օրինակ.Քննությունում դրական կամ բացասական գնահատական ստացած ուսանողը որոշակի իրադարձություն է, եթե քննությունն ընթանում է սովորական կանոններով:
Միջոցառումը կոչվում է անհնարին
եթե դա չի կարող առաջանալ այս թեստի արդյունքում:
Օրինակ.Միայն գունավոր (ոչ սպիտակ) գնդիկներ պարունակող կարասից սպիտակ գնդակ հանելը անհնարին իրադարձություն է: Նշենք, որ փորձի այլ պայմաններում չի բացառվում սպիտակ գնդակի հայտնվելը. Այսպիսով, այս իրադարձությունն անհնար է միայն մեր փորձառության պայմաններում։
Ավելին, պատահական իրադարձությունները կնշվեն մեծ լատիներենով A, B, C տառերը... Հաստատ իրադարձությունը կնշանակվի Ω տառով, անհնարինը՝ Ø:
Երկու կամ ավելի իրադարձություններ են կոչվում հավասարապես հնարավոր է
տվյալ թեստի դեպքում, եթե հիմքեր կան ենթադրելու, որ այս իրադարձություններից ոչ մեկն ավելի հավանական կամ պակաս հավանական չէ, քան մյուսները:
Օրինակ.Զառի մեկ նետումով 1, 2, 3, 4, 5 և 6 միավորների հայտնվելը հավասարապես հնարավոր իրադարձություններ են: Ենթադրվում է, իհարկե, որ ձողը պատրաստված է միատարր նյութից և ունի կանոնավոր ձև։
Երկու իրադարձությունները կոչվում են անհամատեղելի
տվյալ դատավարության մեջ, եթե դրանցից մեկի առաջացումը բացառում է մյուսի առաջացումը, և համատեղ
հակառակ դեպքում.
Օրինակ.Տուփը պարունակում է ստանդարտ և ոչ ստանդարտ մասեր։ Վերցնենք մեկ մանրամասն. Ստանդարտ մասի տեսքը բացառում է ոչ ստանդարտ մասի տեսքը։ Այս իրադարձություններն անհամատեղելի են։
Ձևավորվում են մի քանի իրադարձություն միջոցառումների ամբողջական խումբ
այս թեստում, եթե այս թեստի արդյունքում դրանցից գոնե մեկը անպայման տեղի ունենա։
Օրինակ.Օրինակի իրադարձությունները կազմում են հավասարապես հնարավոր և զույգերով անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական խումբ:
Կոչվում են երկու տարանջատված իրադարձություններ, որոնք կազմում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ տվյալ դատավարության ընթացքում հակադիր իրադարձություններ.
Եթե դրանցից մեկը նշվում է Ա, ապա մյուսը սովորաբար նշվում է միջոցով (այն կարդում է «ոչ Ա»).
Օրինակ.Թիրախին մեկ կրակոցով խփելն ու անհետանալը հակադիր իրադարձություններ են։
1.2.2. Հավանականության դասական սահմանումը
Իրադարձության հավանականություն
դրա առաջացման հնարավորության թվային չափումն է։
Իրադարձություն ԲԱՅՑկանչեց բարենպաստ
իրադարձություն ATեթե ինչ-որ իրադարձություն տեղի ունենա ԲԱՅՑ, իրադարձությունը տեղի է ունենում AT.
Զարգացումներ ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 , ..., ԲԱՅՑnձեւը դեպքի գծապատկեր
, Եթե նրանք:
1) հավասարապես հնարավոր են.
2) զույգերով անհամատեղելի են.
3) կազմել ամբողջական խումբ.
Դեպքերի սխեմայում (և միայն այս սխեմայում) տեղի է ունենում հավանականության դասական սահմանումը Պ(Ա) զարգացումներ ԲԱՅՑ. Այստեղ հավասարապես հնարավոր և զույգ անհամատեղելի իրադարձությունների ընտրված ամբողջական խմբին պատկանող իրադարձություններից յուրաքանչյուրը կոչվում է դեպք։
Եթե nսխեմայի բոլոր դեպքերի թիվն է, և մ- միջոցառմանը նպաստավոր դեպքերի թիվը ԲԱՅՑ, ապա իրադարձության հավանականությունը
ԲԱՅՑսահմանվում է հավասարությամբ.
Հավանականության սահմանումից բխում են հետևյալ հատկությունները.
1. Հավանականություն հաստատ իրադարձությունհավասար է մեկին։
Իսկապես, եթե իրադարձությունը որոշակի է, ապա իրադարձությունների սխեմայի յուրաքանչյուր երևույթ նպաստում է իրադարձությանը: Այս դեպքում մ = nև հետևաբար 
2. Անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է:
Իսկապես, եթե իրադարձությունն անհնար է, ապա գործերի սխեմայից ոչ մի դեպք չի նպաստում իրադարձությանը: Ահա թե ինչու մ=0 և, հետևաբար, 
Պատահական իրադարձության հավանականությունը դրական թիվ է զրոյի և մեկի միջև:
Իրոք, պատահական իրադարձությունը նախընտրում է միայն մի մասը ընդհանուր թիվըդեպքեր դեպքի գծապատկերում: Հետևաբար 0<մ<n, ինչը նշանակում է 0<մ/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Այնպես որ, ցանկացած իրադարձության հավանականությունը բավարարում է անհավասարությունները
0 ≤ P(Ա) ≤ 1.
Ներկայումս հավանականության հատկությունները սահմանվում են Ա.Ն.-ի կողմից ձևակերպված աքսիոմների տեսքով: Կոլմոգորովը.
Հավանականության դասական սահմանման հիմնական առավելություններից մեկը իրադարձության հավանականությունն ուղղակիորեն հաշվարկելու ունակությունն է, այսինքն. առանց փորձերի դիմելու, որոնք փոխարինվում են տրամաբանական դատողություններով։
Հավանականությունների ուղղակի հաշվարկի խնդիրներ
Առաջադրանք 1.1. Որքա՞ն է մեկ գլանվածքում զույգ միավորներ ստանալու հավանականությունը (A իրադարձություն):
Լուծում. Հաշվի առեք իրադարձությունները ԲԱՅՑես- դուրս է մնացել եսմիավորներ, ես= 1, 2, ..., 6: Ակնհայտ է, որ այս իրադարձությունները դեպքերի օրինաչափություն են կազմում։ Հետո բոլոր դեպքերի թիվը n= 6. Գործերը ձեռնտու են զույգ թվով միավորներին ԲԱՅՑ 2 , ԲԱՅՑ 4 , ԲԱՅՑ 6, այսինքն. մ= 3. Հետո 
.
Առաջադրանք 1.2. Սուրը պարունակում է 5 սպիտակ և 10 սև գնդակներ: Գնդիկները մանրակրկիտ խառնում են, որից հետո պատահական 1 գունդ հանում։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գծված գնդակը սպիտակ է:
Լուծում. Ընդհանուր առմամբ կա 15 դեպք, որոնք կազմում են դեպքերի օրինաչափությունը։ Եվ սպասվող իրադարձությունը ԲԱՅՑ- սպիտակ գնդակի տեսքը բարենպաստ է նրանցից 5-ի կողմից, հետևաբար 
.
Առաջադրանք 1.3. Երեխան խաղում է այբուբենի վեց տառերով՝ A, A, E, K, P, T: Գտեք հավանականությունը, որ նա կարող է պատահականության սկզբունքով ավելացնել ԿԱՌՈՎ բառը (իրադարձություն A):
Լուծում. Որոշումը բարդանում է նրանով, որ տառերի մեջ նույնն է՝ երկու «Ա» տառ։ Հետևաբար, այս դատավարության բոլոր հնարավոր դեպքերի թիվը հավասար է 6 տառերի կրկնությամբ փոխակերպումների թվին.
.
Այս դեպքերը հավասարապես հնարավոր են, զույգերով անհամատեղելի են և կազմում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ, այսինքն. կազմել դեպքի դիագրամ: Միայն մեկ հնարավորություն է նպաստում իրադարձությանը ԲԱՅՑ. Ահա թե ինչու
.
Առաջադրանք 1.4. Տանյան և Վանյան պայմանավորվել են Ամանորը նշել 10 հոգանոց ընկերակցությամբ։ Նրանք երկուսն էլ շատ էին ուզում նստել իրար կողքի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նրանց ցանկությունը կիրականանա, եթե ընդունված է վիճակահանությամբ տեղերը բաժանել ընկերների միջև։
Լուծում. Նշել ըստ ԲԱՅՑմիջոցառում «Տանյայի և Վանյայի ցանկության իրականացում». 10 հոգի կարող է նստել 10 հոգանոց սեղանի շուրջ։ տարբեր ճանապարհներ. Սրանցից քանիսը n= 10 Տանյայի և Վանյայի համար հավասարապես հնարավոր ուղիներ են ձեռնտու: Տանյան և Վանյան, կողք կողքի նստած, կարող են 20 տարբեր դիրքեր գրավել։ Միևնույն ժամանակ, նրանց ընկերներից ութը կարող են նստել 8-րդ սեղանի շուրջ: տարբեր ձևերով, այնպես որ մ= 20∙8!. հետևաբար, 
.
Առաջադրանք 1.5. 5 կանանց և 20 տղամարդկանցից բաղկացած խումբն ընտրում է երեք պատվիրակ։ Ենթադրելով, որ ներկաներից յուրաքանչյուրը հավասարապես ընտրվելու հավանականություն ունի, գտեք հավանականությունը, որ կընտրվեն երկու կին և մեկ տղամարդ:
Լուծում. Թեստի հավասարապես հավանական արդյունքների ընդհանուր թիվը հավասար է 25 հոգուց երեք պատվիրակների ընտրելու եղանակների քանակին, այսինքն. . Այժմ հաշվարկենք բարենպաստ դեպքերի թիվը, այսինքն. քանի անգամ է տեղի ունենում հետաքրքրություն ներկայացնող իրադարձությունը: Տղամարդ պատվիրակին կարելի է ընտրել քսան եղանակով. Միևնույն ժամանակ, մնացած երկու պատվիրակները պետք է լինեն կանայք, իսկ հինգից կարող եք ընտրել երկու կնոջ։ Հետևաբար, . Ահա թե ինչու
.
Խնդիր 1.6.Չորս գնդակներ պատահականորեն ցրված են չորս անցքերի վրա, յուրաքանչյուր գնդակ ընկնում է այս կամ այն անցքի մեջ նույն հավանականությամբ և մյուսներից անկախ (մի քանի գնդակներ նույն անցքը մտցնելու համար խոչընդոտներ չկան): Գտե՛ք հավանականությունը, որ անցքերից մեկում կլինեն երեք գնդակ, մեկը մյուսում, իսկ մյուս երկու անցքերում ոչ մի գնդակ:
Լուծում. Դեպքերի ընդհանուր թիվը n=4 4. Այն եղանակների քանակը, որոնցով կարելի է ընտրել մեկ անցք, որտեղ կլինեն երեք գնդակներ, . Այն եղանակների քանակը, որոնցով դուք կարող եք ընտրել այն անցքը, որտեղ կլինի մեկ գնդակ, . Այն եղանակների քանակը, որոնցով դուք կարող եք չորս գնդակից ընտրել երեք գնդակ՝ դրանք առաջին անցքի մեջ դնելու համար, . Բարենպաստ դեպքերի ընդհանուր թիվը. Իրադարձության հավանականություն. 
Խնդիր 1.7.Տուփում կա 10 միանման գնդակ՝ նշված 1, 2, ..., 10 թվերով։ Հաջողության համար խաղարկվում է վեց գնդակ։ Գտե՛ք հավանականությունը, որ հանված գնդերի մեջ կլինի՝ ա) թիվ 1 գնդակը. բ) #1 և #2 գնդակներ:
Լուծում. ա) Թեստի հնարավոր տարրական արդյունքների ընդհանուր թիվը հավասար է այն եղանակների քանակին, որոնցով կարելի է տասը գնդակից վեց գնդակ հանել, այսինքն.
Գտնենք մեզ հետաքրքրող իրադարձությանը նպաստող արդյունքների քանակը. ընտրված վեց գնդակների մեջ կա թիվ 1 գնդակը և, հետևաբար, մնացած հինգ գնդակներն ունեն տարբեր թվեր: Նման արդյունքների թիվը ակնհայտորեն հավասար է այն ձևերի քանակին, որոնցով կարելի է ընտրել հինգ գնդակ մնացած ինը, այսինքն.
Ցանկալի հավանականությունը հավասար է դիտարկվող իրադարձությանը նպաստող արդյունքների քանակի հարաբերակցությանը հնարավոր տարրական արդյունքների ընդհանուր թվին.
բ) Մեզ հետաքրքրող իրադարձությանը նպաստող արդյունքների քանակը (ընտրված գնդակների թվում կան թիվ 1 և 2 գնդակներ, հետևաբար չորս գնդակներ ունեն տարբեր թվեր) հավասար է չորս գնդակների թվին: արդյունահանված մնացած ութից, այսինքն. Ցանկալի հավանականություն 
1.2.3. Վիճակագրական հավանականություն
Հավանականության վիճակագրական սահմանումն օգտագործվում է, երբ փորձի արդյունքները հավասարապես հավանական չեն:
Իրադարձությունների հարաբերական հաճախականությունը
ԲԱՅՑսահմանվում է հավասարությամբ.
,
որտեղ մայն փորձությունների քանակն է, որոնցում տեղի է ունենում իրադարձություն ԲԱՅՑայն եկել է nկատարված թեստերի ընդհանուր քանակն է:
Ջ. Բերնուլին ապացուցեց, որ փորձերի քանակի անսահմանափակ աճի դեպքում իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը գործնականում կամայականորեն կտարբերվի ինչ-որ հաստատուն թվից։ Պարզվեց, որ այս հաստատուն թիվը իրադարձության առաջացման հավանականությունն է։ Ուստի, բնականաբար, բավական մեծ թվով փորձարկումներով իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունը կոչվում է վիճակագրական հավանականություն՝ ի տարբերություն նախկինում ներկայացված հավանականության։
Օրինակ 1.8. Ինչպե՞ս կարող եք մոտավոր հաշվարկել ձկների թիվը լճում:
Թողեք լիճը Xձուկ. Մենք նետում ենք ցանցը և, ասենք, գտնում ենք դրա մեջ nձուկ. Մենք նշում ենք դրանցից յուրաքանչյուրը և հետ ենք բաց թողնում: Մի քանի օր հետո նույն եղանակին ու նույն տեղում նույն ցանցը նետեցինք։ Ենթադրենք, դրա մեջ գտնում ենք մ ձուկ, որոնց թվում կպիտակավորված. Թող իրադարձությունը ԲԱՅՑ- «Բռնված ձուկը պիտակավորված է»: Այնուհետև հարաբերական հաճախականության սահմանմամբ:
Բայց եթե լճում Xձուկը, և մենք այն բաց թողեցինք nպիտակավորված, ապա .
Որովհետեւ Ռ * (ԲԱՅՑ) » Ռ(ԲԱՅՑ), ապա.
1.2.4. Գործողություններ իրադարձությունների վրա. Հավելման թեորեմ
գումար, կամ մի քանի իրադարձությունների միավորումը իրադարձություն է, որը բաղկացած է այս իրադարձություններից առնվազն մեկի (նույն թեստում) տեղի ունեցածից:
Գումար ԲԱՅՑ 1 + ԲԱՅՑ 2 + … + ԲԱՅՑnնշվում է այսպես. 
կամ 
.
Օրինակ. Երկու զառ է նետվում: Թող իրադարձությունը ԲԱՅՑբաղկացած է 4 միավոր գլորվելուց 1 մեռնելու վրա, և իրադարձությունը AT- մեկ այլ ձողի վրա 5 միավորի գլորում: Զարգացումներ ԲԱՅՑև ATհամատեղ. Հետևաբար իրադարձությունը ԲԱՅՑ +ATբաղկացած է 4 բալ առաջին ձողի վրա, կամ 5 բալ երկրորդ ձողի վրա, կամ 4 բալ առաջին թաղանթին և 5 բալ երկրորդի վրա միաժամանակ:
Օրինակ.Իրադարձություն ԲԱՅՑ– շահել 1 վարկով, իրադարձություն AT- շահել 2 վարկով: Հետո միջոցառումը A+B- շահել առնվազն մեկ վարկ (հնարավոր է միանգամից երկու):
աշխատանքկամ մի քանի իրադարձությունների հատումը մի իրադարձություն է, որը բաղկացած է այս բոլոր իրադարձությունների համատեղ առաջացումից (նույն թեստի մեջ):
Աշխատանք ATիրադարձություններ ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 , …, ԲԱՅՑnնշվում է այսպես.
.
Օրինակ.Զարգացումներ ԲԱՅՑև ATբաղկացած է համապատասխանաբար I և II փուլերի հաջող անցումից՝ ինստիտուտ ընդունվելուց հետո: Հետո միջոցառումը ԲԱՅՑ×Բբաղկացած է երկու փուլերի հաջող ավարտից:
Իրադարձությունների գումարի և արտադրյալի հասկացություններն ունեն հստակ երկրաչափական մեկնաբանություն։ Թող իրադարձությունը ԲԱՅՑտարածքում կա կետի հարված ԲԱՅՑ, և միջոցառումը AT- տարածքի կետին հարվածելը AT. Հետո միջոցառումը A+Bայս տարածքների միավորման մեջ կա կետի հարված (նկ. 2.1), իսկ իրադարձությունը ԲԱՅՑATայս տարածքների հատման կետում կա կետի հարված (նկ. 2.2):
Բրինձ. 2.1 Նկ. 2.2
Թեորեմ. Եթե իրադարձություններ Աի(ես = 1, 2, …, n) զույգերով անհամատեղելի են, ապա իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարին. 
.
Թող ԲԱՅՑև Ā
- հակադիր իրադարձություններ, այսինքն. Ա + ա= Ω, որտեղ Ω-ն որոշակի իրադարձություն է: Հավելման թեորեմից հետևում է, որ
P(Ω) = Ռ(ԲԱՅՑ) + Ռ(Ā
) = 1, հետևաբար
Ռ(Ā
) = 1 – Ռ(ԲԱՅՑ).
Եթե իրադարձություններ ԲԱՅՑ 1 և ԲԱՅՑ 2-ը համատեղ են, ապա երկու համատեղ իրադարձությունների գումարի հավանականությունը հավասար է.
Ռ(ԲԱՅՑ 1 + ԲԱՅՑ 2) = Ռ(ԲԱՅՑ 1) + Ռ(ԲԱՅՑ 2) – P( ԲԱՅՑ 1× ԲԱՅՑ 2).
Հավանականությունների գումարման թեորեմները հնարավորություն են տալիս հավանականությունների ուղղակի հաշվարկից անցնել բարդ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունների որոշմանը։
Առաջադրանք 1.8. Կրակողը մեկ կրակոց է արձակում թիրախի ուղղությամբ։ 10 միավոր նոկաուտի հավանականությունը (իրադարձություն ԲԱՅՑ), 9 միավոր (իրադարձություն AT) և 8 միավոր (իրադարձություն ԻՑ) հավասար են համապատասխանաբար 0,11-ի. 0,23; 0.17. Գտեք հավանականությունը, որ մեկ կրակոցով հրաձիգը վաստակի 8 միավորից պակաս (իրադարձություն Դ).
Լուծում. Անցնենք հակառակ իրադարձությանը` մեկ հարվածով հրաձիգը նվազագույնը 8 միավոր կնոկաուտի: Իրադարձությունը տեղի է ունենում, եթե ԲԱՅՑկամ AT, կամ ԻՑ, այսինքն. . Իրադարձություններից ի վեր Ա, Բ, ԻՑզույգերով անհամապատասխան են, ապա գումարման թեորեմով,
, որտեղ.
Առաջադրանք 1.9. Բրիգադի թիմից, որը բաղկացած է 6 տղամարդուց և 4 կնոջից, արհմիութենական համաժողովի համար ընտրվում է երկու հոգի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընտրվածներից առնվազն մեկ կին (միջոցառում ԲԱՅՑ).
Լուծում. Եթե իրադարձություն տեղի ունենա ԲԱՅՑ, ապա անպայման տեղի կունենա հետևյալ անհամատեղելի իրադարձություններից մեկը. AT- «ընտրված են տղամարդ և կին»; ԻՑ«Ընտրվել է երկու կին». Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել. A=B+C. Գտեք իրադարձությունների հավանականությունը ATև ԻՑ. 10-ից երկու հոգի կարելի է ընտրել եղանակներով. 4 կանանցից երկուսը կարելի է ընտրել եղանակներով. Արուն և էգը կարելի է ընտրել 6×4 ձևերով։ Հետո . Իրադարձություններից ի վեր ATև ԻՑանհամապատասխան են, ուրեմն, գումարման թեորեմով,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Խնդիր 1.10.Գրադարանում պատահականության սկզբունքով դասավորված են 15 դասագիրք, որոնցից հինգը փակցված են։ Գրադարանավարը պատահականության սկզբունքով վերցնում է երեք դասագիրք: Գտեք հավանականությունը, որ վերցված դասագրքերից գոնե մեկը կփակվի (իրադարձություն ԲԱՅՑ).
Լուծում. Առաջին ճանապարհը. Պահանջը՝ վերցված երեք կապակցված դասագրքերից առնվազն մեկը, կկատարվի, եթե տեղի ունենա հետևյալ երեք անհամատեղելի իրադարձություններից որևէ մեկը. AT- 1 փակցված դասագիրք ԻՑ- երկու կապակցված դասագիրք Դ- Երեք կապակցված դասագիրք.
Իրադարձություն, որը մեզ հետաքրքրում է ԲԱՅՑկարող է ներկայացվել որպես իրադարձությունների գումար. A=B+C+D. Ըստ գումարման թեորեմի՝
P(A) = P(B) + P(C) + P(D): (2.1)
Գտեք իրադարձությունների հավանականությունը Բ, Գև Դ(տես համակցական սխեմաներ): 
Ներկայացնելով այս հավանականությունները հավասարության մեջ (2.1), մենք վերջապես ստանում ենք
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Երկրորդ ճանապարհը. Իրադարձություն ԲԱՅՑ(վերցված երեք դասագրքերից առնվազն մեկը պարտադիր է) և Ā
(վերցված դասագրքերից ոչ մեկը պարտադիր չունի) հակադիր են, հետևաբար P(A) + P(Ā) = 1 (երկու հակադիր իրադարձությունների հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի): Այստեղից Պ(Ա) = 1 – P(a).Իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը Ā
(վերցված դասագրքերից ոչ մեկը պարտադիր չէ)
Ցանկալի հավանականություն
Պ(Ա) = 1 - P (Ա) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Պայմանական հավանականություն. Հավանականության բազմապատկման թեորեմ
Պայմանական հավանականություն P(B/ԲԱՅՑ) B իրադարձության հավանականությունն է, որը հաշվարկվում է այն ենթադրությամբ, որ A իրադարձությունն արդեն տեղի է ունեցել:
Թեորեմ. Երկու իրադարձությունների համատեղ առաջացման հավանականությունը հավասար է դրանցից մեկի հավանականությունների արտադրյալին մյուսի պայմանական հավանականությամբ՝ հաշվարկված այն ենթադրությամբ, որ առաջին իրադարձությունն արդեն տեղի է ունեցել.
Պ(Ա∙B) = P (A)∙P( AT/ԲԱՅՑ). (2.2)
Երկու իրադարձություն կոչվում են անկախ, եթե դրանցից որևէ մեկի առաջացումը չի փոխում մյուսի առաջացման հավանականությունը, այսինքն.
P(A) = P(A/B) կամ P(B) = P(B/ԲԱՅՑ). (2.3)
Եթե իրադարձություններ ԲԱՅՑև ATանկախ են, ապա (2.2) և (2.3) բանաձևերը ենթադրում են
Պ(Ա∙B) = P (A)∙P(B). (2.4)
Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը, այսինքն. եթե հավասարությունը (2.4) գործում է երկու իրադարձության համար, ապա այդ իրադարձությունները անկախ են: Իրոք, (2.4) և (2.2) բանաձևերը ենթադրում են
Պ(Ա∙B) = P (A)∙P(B) = Պ(Ա) × P(B/ԲԱՅՑ), որտեղ Պ(Ա) = P(B/ԲԱՅՑ).
Բանաձևը (2.2) կարելի է ընդհանրացնել սահմանափակ թվով իրադարձությունների դեպքում ԲԱՅՑ 1 , ԲԱՅՑ 2 ,…,A n:
Պ(Ա 1 ∙ԲԱՅՑ 2 ∙…∙A n)=Պ(Ա 1)∙Պ(Ա 2 /ԲԱՅՑ 1)∙Պ(Ա 3 /ԲԱՅՑ 1 ԲԱՅՑ 2)∙…∙P(A n/ԲԱՅՑ 1 ԲԱՅՑ 2 …A n -1).
Առաջադրանք 1.11. 5 սպիտակ և 10 սև գնդիկ պարունակող սափորից անընդմեջ գծվում է երկու գնդակ։ Գտեք հավանականությունը, որ երկու գնդակներն էլ սպիտակ են (իրադարձություն ԲԱՅՑ).
Լուծում. Դիտարկենք իրադարձությունները. AT- առաջին խաղարկված գնդակը սպիտակ է; ԻՑ– երկրորդ խաղարկված գնդակը սպիտակ է: Հետո A = մ.թ.ա.
Փորձը կարող է իրականացվել երկու եղանակով.
1) վերադարձով. գույնը ամրացնելուց հետո գծված գունդը վերադարձվում է կարասի մեջ: Այս դեպքում իրադարձությունները ATև ԻՑանկախ:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) առանց փոխարինման՝ գծված գնդակը դրվում է մի կողմ։ Այս դեպքում իրադարձությունները ATև ԻՑկախված:
P(A) = P(B)∙P(C/AT).
Միջոցառման համար ATպայմանները նույնն են, և համար ԻՑիրավիճակը փոխվել է. Տեղի է ունեցել AT, այսպիսով 14 գնդիկ է մնացել ափսեի մեջ, որից 4-ը՝ սպիտակ։
Այսպիսով, .
Առաջադրանք 1.12. 50 լամպերից 3-ը ոչ ստանդարտ են։ Գտեք հավանականությունը, որ միաժամանակ վերցված երկու լամպերը ոչ ստանդարտ են:
Լուծում. Դիտարկենք իրադարձությունները. ԲԱՅՑ- առաջին լամպը ոչ ստանդարտ է, AT- երկրորդ լամպը ոչ ստանդարտ է, ԻՑ- երկու լամպերն էլ ոչ ստանդարտ են: Պարզ է, որ C = A∙AT. իրադարձություն ԲԱՅՑնպաստել 50 հնարավորից 3 դեպքին, այսինքն. Պ(Ա) = 3/50: Եթե իրադարձությունը ԲԱՅՑարդեն տեղի է ունեցել, իրադարձությունը ATձեռնտու 49 հնարավորից երկու դեպք, այսինքն. P(B/ԲԱՅՑ) = 2/49։ հետևաբար,
.
Առաջադրանք 1.13. Երկու մարզիկներ ինքնուրույն կրակում են նույն թիրախի վրա։ Առաջին մարզիկի թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,7 է, իսկ երկրորդինը՝ 0,8։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ թիրախը խոցվի:
Լուծում. Թիրախը խոցվելու է, եթե նրան խոցեն կամ առաջինը, կամ երկրորդը, կամ երկուսն էլ, այսինքն. իրադարձություն տեղի կունենա A+B, որտեղ միջոցառումը ԲԱՅՑբաղկացած է առաջին մարզիկի կողմից թիրախին խոցելուց և իրադարձությունից AT- երկրորդ. Հետո
Պ(Ա+AT)=Պ(Ա)+P(B)–Պ(Ա∙AT)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Խնդիր 1.14.Ընթերցասրահում կա հավանականության տեսության վեց դասագիրք, որոնցից երեքը կապակցված են։ Գրադարանավարը պատահականության սկզբունքով վերցրեց երկու դասագիրք: Գտեք հավանականությունը, որ երկու դասագիրք կկապվեն:
Լուծում. Ներկայացնենք իրադարձությունների նշումը : Ա– վերցված առաջին դասագիրքը պարտադիր է, AT- Երկրորդ դասագիրքը ամրացված է։ Հավանականությունը, որ առաջին դասագիրքը պարտադիր է,
Պ(Ա) = 3/6 = 1/2.
Հավանականությունը, որ երկրորդ դասագիրքը փակված է, հաշվի առնելով, որ առաջին վերցված գիրքը փակված էր, այսինքն. իրադարձության պայմանական հավանականություն AT, սա է: P(B/ԲԱՅՑ) = 2/5.
Ցանկալի հավանականությունը, որ երկու դասագրքերն էլ ունեն պարտադիր, ըստ իրադարձությունների հավանականությունների բազմապատկման թեորեմի, հավասար է.
P(AB) = Պ(Ա) ∙ P(B/ԲԱՅՑ)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2:
Խնդիր 1.15.Խանութում աշխատում է 7 տղամարդ և 3 կին։ Պատահականության սկզբունքով ընտրվել են երեք հոգի` ըստ անձնակազմի համարների: Գտեք հավանականությունը, որ ընտրված բոլոր անձինք տղամարդիկ են:
Լուծում. Ներկայացնենք իրադարձությունների նշումը. Ա- առաջինը ընտրված է տղամարդը AT- երկրորդ ընտրված տղամարդը, ԻՑ -երրորդ ընտրված մարդը. Հավանականությունը, որ առաջինն արու է ընտրվել Պ(Ա) = 7/10.
Հավանականությունը, որ տղամարդն ընտրվել է երկրորդը, պայմանով, որ տղամարդն արդեն ընտրվել է առաջինը, այսինքն. իրադարձության պայմանական հավանականություն ATհաջորդ P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Հավանականությունը, որ տղամարդը կընտրվի երրորդ, պայմանով, որ երկու տղամարդ արդեն ընտրված են, այսինքն. իրադարձության պայմանական հավանականություն ԻՑէ: P(C/ԱԲ) = 5/8.
Ցանկալի հավանականությունը, որ բոլոր երեք ընտրված անձինք տղամարդիկ են, P(ABC) = P(A) P(B/ԲԱՅՑ) P(C/ԱԲ) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24:
1.2.6. Ընդհանուր հավանականության բանաձև և Բեյսի բանաձև
Թող Բ 1 , Բ 2 ,…, B nզույգերով անհամատեղելի իրադարձություններ են (վարկածներ) և ԲԱՅՑ- իրադարձություն, որը կարող է տեղի ունենալ միայն դրանցից մեկի հետ միասին:
Տեղեկացրե՛ք նաև մեզ Р(B i) և Պ(Ա/Բ i) (ես = 1, 2, …, n).
Այս պայմաններում բանաձևերը վավեր են. 
(2.5)
(2.6)
Բանաձևը (2.5) կոչվում է ընդհանուր հավանականության բանաձևը
. Այն հաշվարկում է իրադարձության հավանականությունը ԲԱՅՑ(ամբողջական հավանականություն):
Բանաձևը (2.6) կոչվում է Բեյսի բանաձևը
. Այն թույլ է տալիս վերահաշվարկել վարկածների հավանականությունը, եթե իրադարձությունը ԲԱՅՑտեղի է ունեցել.
Օրինակներ կազմելիս հարմար է համարել, որ վարկածները կազմում են ամբողջական խումբ։
Առաջադրանք 1.16. Զամբյուղը պարունակում է նույն սորտի չորս ծառերի խնձոր: Առաջինից՝ բոլոր խնձորների 15%-ը, երկրորդից՝ 35%-ը, երրորդից՝ 20%-ը, չորրորդից՝ 30%-ը։ Հասած խնձորները համապատասխանաբար կազմում են 99%, 97%, 98%, 95%:
ա) Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված խնձորը հասունացել է: ԲԱՅՑ).
բ) Պայմանով, որ պատահականորեն վերցված խնձորը հասունացել է, հաշվարկե՛ք այն հավանականությունը, որ այն առաջին ծառից է:
Լուծում. ա) Մենք ունենք 4 վարկած.
B 1 - պատահականորեն վերցված խնձորը վերցված է 1-ին ծառից.
B 2 - պատահականորեն վերցված խնձորը վերցված է 2-րդ ծառից.
B 3 - պատահականորեն վերցված խնձորը վերցված է 3-րդ ծառից.
B 4 - պատահականորեն վերցված խնձորը վերցված է 4-րդ ծառից:
Նրանց հավանականությունը ըստ պայմանի. P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Պայմանական իրադարձությունների հավանականությունները ԲԱՅՑ:
Պ(Ա/Բ 1) = 0,99; Պ(Ա/Բ 2) = 0,97; Պ(Ա/Բ 3) = 0,98; Պ(Ա/Բ 4) = 0,95.
Հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված խնձորը հասուն կլինի, հայտնաբերվում է ընդհանուր հավանականության բանաձևով.
Պ(Ա)=P(B 1)∙Պ(Ա/Բ 1)+P(B 2)∙Պ(Ա/Բ 2)+P(B 3)∙Պ(Ա/Բ 3)+P(B 4)∙Պ(Ա/Բ 4)=0,969.
բ) Բեյսի բանաձևը մեր գործի համար ունի հետևյալ ձևը. 
.
Խնդիր 1.17.Սպիտակ գունդը գցում են երկու գնդիկ պարունակող անոթի մեջ, որից հետո պատահականորեն մեկ գնդակ է քաշվում: Գտեք հավանականությունը, որ գծված գնդակը սպիտակ կլինի, եթե գնդակների սկզբնական կազմի վերաբերյալ բոլոր հնարավոր ենթադրությունները (ըստ գույնի) հավասարապես հնարավոր են։
Լուծում. Նշել ըստ ԲԱՅՑիրադարձություն - սպիտակ գնդակ է նկարվում: Գնդակների սկզբնական կազմի վերաբերյալ հնարավոր են հետևյալ ենթադրությունները (վարկածները). B1ոչ մի սպիտակ գնդակ 2-ՈՒՄ- մեկ սպիտակ գնդակ 3-ում- երկու սպիտակ գնդակ:
Քանի որ ընդհանուր առմամբ կան երեք վարկածներ, և վարկածների հավանականությունների գումարը հավասար է 1-ի (քանի որ դրանք կազմում են իրադարձությունների ամբողջական խումբ), ապա վարկածներից յուրաքանչյուրի հավանականությունը հավասար է 1/3-ի, այսինքն.
P(B 1) = P(B 2)= P (B 3) = 1/3.
Պայմանական հավանականությունը, որ սպիտակ գնդակ կկազմվի, հաշվի առնելով, որ սկզբնական շրջանում սպիտակ գնդիկներ չեն եղել, Պ(Ա/Բ 1)=1/3. Պայմանական հավանականությունը, որ սպիտակ գնդիկ կնկարվի, հաշվի առնելով, որ սափորը սկզբում պարունակում էր մեկ սպիտակ գնդակ, Պ(Ա/Բ 2)=2/3. Պայմանական հավանականությունը, որ սպիտակ գնդիկ կկազմվի, հաշվի առնելով, որ սափորն ի սկզբանե պարունակում էր երկու սպիտակ գնդակ: Պ(Ա/Բ 3)=3/ 3=1.
Ցանկալի հավանականությունը, որ սպիտակ գնդակը գծվելու է, հայտնաբերվում է ընդհանուր հավանականության բանաձևով.
Ռ(ԲԱՅՑ)=P(B 1)∙Պ(Ա/Բ 1)+P(B 2)∙Պ(Ա/Բ 2)+P(B 3)∙Պ(Ա/Բ 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Առաջադրանք 1.18. Երկու մեքենաներ արտադրում են նույն մասերը, որոնք սնվում են ընդհանուր փոխակրիչին: Առաջին մեքենայի աշխատանքը երկու անգամ գերազանցում է երկրորդին: Առաջին մեքենան արտադրում է միջինը գերազանց որակի դետալների 60%-ը, իսկ երկրորդը՝ 84%-ը։ Հավաքման գծից պատահականորեն վերցված մասը գերազանց որակի է ստացվել։ Գտեք հավանականությունը, որ այս նյութը արտադրվել է առաջին մեքենայի կողմից:
Լուծում. Նշել ըստ ԲԱՅՑմիջոցառումը գերազանց որակի իր է: Երկու ենթադրություն կարելի է անել. B1- մասը արտադրվում է առաջին մեքենայի կողմից, և (քանի որ առաջին մեքենան արտադրում է երկու անգամ ավելի շատ մասեր, քան երկրորդը) Պ(Ա/Բ 1) = 2/3; Բ 2 - մասը արտադրվել է երկրորդ մեքենայի կողմից, և P(B 2) = 1/3.
Պայմանական հավանականությունը, որ մասը կլինի գերազանց որակի, եթե այն արտադրվի առաջին մեքենայի կողմից, Պ(Ա/Բ 1)=0,6.
Պայմանական հավանականությունը, որ մասը կլինի գերազանց որակի, եթե այն արտադրվի երկրորդ մեքենայի կողմից, Պ(Ա/Բ 1)=0,84.
Հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված մասը կլինի գերազանց որակի, ըստ ընդհանուր հավանականության բանաձևի, հավասար է.
Պ(Ա)=P(B 1) ∙Պ(Ա/Բ 1)+P(B 2) ∙Պ(Ա/Բ 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68։
Ցանկալի հավանականությունը, որ գերազանց մասը արտադրվում է առաջին ավտոմատի կողմից, ըստ Բեյսի բանաձևի, հավասար է.
Առաջադրանք 1.19. Առկա է մասերի երեք խմբաքանակ՝ յուրաքանչյուրը 20 մասով։ Առաջին, երկրորդ և երրորդ խմբաքանակների ստանդարտ մասերի քանակը համապատասխանաբար 20, 15, 10 է, ընտրված խմբաքանակից պատահականորեն դուրս է բերվել մի մասը, որը պարզվել է, որ ստանդարտ է: Մասերը վերադարձվում են խմբաքանակին և երկրորդ անգամ պատահականորեն մի մասը հանվում է նույն խմբաքանակից, որը նույնպես ստացվում է ստանդարտ։ Գտեք հավանականությունը, որ մասերը վերցված են երրորդ խմբաքանակից:
Լուծում. Նշել ըստ ԲԱՅՑիրադարձություն - երկու թեստերից յուրաքանչյուրում (վերադարձով) վերցվել է ստանդարտ մաս: Երեք վարկած կարելի է անել. Բ 1 - մասերը հանվում են առաջին խմբաքանակից, AT 2
- մասերը վերցված են երկրորդ խմբաքանակից, AT 3 - մասերը հանվում են երրորդ խմբաքանակից:
Մանրամասները պատահականորեն վերցվել են վերցված խմբաքանակից, ուստի վարկածների հավանականությունը նույնն է. P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Գտեք պայմանական հավանականությունը Պ(Ա/Բ 1), այսինքն. հավանականությունը, որ առաջին խմբաքանակից հաջորդաբար կքաշվեն երկու ստանդարտ մասեր: Այս իրադարձությունը հուսալի է, քանի որ. առաջին խմբաքանակում բոլոր մասերը ստանդարտ են, ուստի Պ(Ա/Բ 1) = 1.
Գտեք պայմանական հավանականությունը Պ(Ա/Բ 2), այսինքն. հավանականությունը, որ երկրորդ խմբաքանակից երկու ստանդարտ մասեր հաջորդաբար կարտահանվեն (վերադարձով). Պ(Ա/Բ 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Գտեք պայմանական հավանականությունը Պ(Ա/Բ 3), այսինքն. հավանականությունը, որ երկու ստանդարտ մասերը հաջորդաբար կհեռացվեն (վերադարձով) երրորդ խմբաքանակից. Պ(Ա/Բ 3) = 10/20 10/20 = 1/4:
Ցանկալի հավանականությունը, որ երկու արդյունահանված ստանդարտ մասերն էլ վերցվեն երրորդ խմբաքանակից, ըստ Բեյսի բանաձևի, հավասար է. 
1.2.7. Կրկին փորձարկումներ
Եթե մի քանի թեստեր են կատարվում, և իրադարձության հավանականությունը ԲԱՅՑյուրաքանչյուր դատավարության դեպքում կախված չէ այլ փորձարկումների արդյունքներից, ապա այդպիսի փորձարկումներ են կոչվում անկախ իրադարձության առումով Ա.Տարբեր անկախ դատավարություններում միջոցառումը ԲԱՅՑկարող է ունենալ կամ տարբեր հավանականություններ կամ նույն հավանականությունը: Մենք հետագայում կքննարկենք միայն այնպիսի անկախ դատավարությունները, որոնցում տեղի կունենա իրադարձություն ԲԱՅՑնույն հավանականությունն ունի.
Թող արտադրվի Պանկախ դատավարություններ, որոնցից յուրաքանչյուրում իրադարձություն ԲԱՅՑկարող է հայտնվել կամ չհայտնվել: Ենթադրենք, որ իրադարձության հավանականությունը ԲԱՅՑյուրաքանչյուր թեստում նույնն է, այսինքն հավասար է Ռ.Հետեւաբար, իրադարձության չառաջանալու հավանականությունը ԲԱՅՑյուրաքանչյուր թեստում նույնպես հաստատուն է և հավասար է 1-ի Ռ.Նման հավանականական սխեման կոչվում է Բեռնուլիի սխեման. Եկեք մեզ խնդիր դնենք հաշվարկել դրա հավանականությունը ՊԲեռնուլիի իրադարձությունների փորձարկումներ ԲԱՅՑճշգրիտ իրականություն կդառնա կմեկ անգամ ( կ- հաջողությունների թիվը) և, հետևաբար, չի իրականացվի Պ-մեկ անգամ. Կարևոր է ընդգծել, որ միջոցառումը պարտադիր չէ ԲԱՅՑճշգրտորեն կրկնվեց կանգամ որոշակի հաջորդականությամբ: Նշեք ցանկալի հավանականությունը R p (k).
Օրինակ, խորհրդանիշը Ռ 5 (3) նշանակում է հավանականություն, որ հինգ փորձարկումներում իրադարձությունը կհայտնվի ուղիղ 3 անգամ և, հետևաբար, չի պատահի 2 անգամ:
Խնդիրը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով այսպես կոչված Բեռնուլիի բանաձևերը,որը նման է. 
.
Խնդիր 1.20.Հավանականությունը, որ էլեկտրաէներգիայի սպառումը մեկ օրվա ընթացքում չի գերազանցի սահմանված նորմը, հավասար է Ռ=0,75. Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ առաջիկա 6 օրվա ընթացքում էլեկտրաէներգիայի սպառումը 4 օրվա ընթացքում չի գերազանցի նորման։
Լուծում.Էլեկտրաէներգիայի նորմալ սպառման հավանականությունը 6 օրվա ընթացքում հաստատուն է և հավասար Ռ=0,75. Ուստի ամեն օր էլեկտրաէներգիայի գերծախսման հավանականությունը նույնպես հաստատուն է և հավասար q= 1–Ռ=1–0,75=0,25.
Ցանկալի հավանականությունը ըստ Բեռնուլիի բանաձևի հավասար է
.
Առաջադրանք 1.21. Երկու հավասար շախմատիստներ շախմատ են խաղում։ Ո՞րն է ավելի հավանական՝ հաղթել չորս խաղերից երկու կամ վեցից երեք խաղերում (ոչ-ոքիները հաշվի չեն առնվում):
Լուծում. Խաղում են հավասար շախմատիստներ, ուրեմն՝ հաղթելու հավանականությունը Ռ= 1/2, հետեւաբար կորցնելու հավանականությունը քնույնպես հավասար է 1/2-ի։ Որովհետեւ բոլոր խաղերում հաղթելու հավանականությունը հաստատուն է, և կարևոր չէ, թե ինչ հաջորդականությամբ են հաղթել խաղերը, ապա կիրառելի է Բեռնուլիի բանաձևը։
Գտեք հավանականությունը, որ չորս խաղերից երկուսը հաղթելու են.
Գտեք հավանականությունը, որ վեց խաղերից երեքը կհաղթեն.
Որովհետեւ Պ 4 (2) > Պ 6 (3), ավելի հավանական է հաղթել չորս խաղերից երկու, քան վեցից երեքը:
Այնուամենայնիվ, կարելի է տեսնել, որ օգտագործելով Բեռնուլիի բանաձևը մեծ արժեքների համար nդա բավականին դժվար է, քանի որ բանաձևը պահանջում է գործողություններ կատարել հսկայական թվերի վրա, և, հետևաբար, հաշվարկների ընթացքում սխալներ են կուտակվում. արդյունքում վերջնական արդյունքը կարող է էականորեն տարբերվել իրականից։
Այս խնդիրը լուծելու համար կան մի քանի սահմանային թեորեմներ, որոնք օգտագործվում են մեծ թվով փորձարկումների դեպքում։
1. Պուասոնի թեորեմ
Բեռնուլիի սխեմայի համաձայն մեծ թվով թեստեր անցկացնելիս (հետ n=> ∞) և փոքր թվով բարենպաստ արդյունքներով կ(ենթադրելով, որ հաջողության հավանականությունը էջփոքր), Բեռնուլիի բանաձեւը մոտենում է Պուասոնի բանաձեւին 
.
Օրինակ 1.22.Ձեռնարկության կողմից արտադրության միավորի արտադրության մեջ ամուսնության հավանականությունը հավասար է էջ=0,001. Որքա՞ն է հավանականությունը, որ 5000 միավոր արտադրանքի արտադրության մեջ կլինի 4-ից պակաս թերի (իրադարձություն) ԲԱՅՑ Լուծում. Որովհետեւ nմեծ է, մենք օգտագործում ենք տեղական Լապլասի թեորեմը. 
Հաշվել x:
Գործառույթ 
զույգ է, հետևաբար φ(–1.67) = φ(1.67):
Հավելված Ա.1-ի աղյուսակի համաձայն՝ մենք գտնում ենք φ(1.67) = 0.0989:
Ցանկալի հավանականություն Պ 2400 (1400) = 0,0989.
3. Լապլասի ինտեգրալ թեորեմ
Եթե հավանականությունը Ռիրադարձության առաջացում Այուրաքանչյուր փորձարկում, ըստ Բեռնուլիի սխեմայի, հաստատուն է և տարբերվում է զրոյից և մեկից, այնուհետև մեծ թվով փորձարկումներով n, հավանականություն R p (k 1 , կ 2) իրադարձություն Աայս փորձություններում կ 1 դեպի կ 2 անգամ մոտավորապես հավասար
R p(կ 1 , կ 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), որտեղ 
Լապլասի ֆունկցիան է,
Լապլասի ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը չի հաշվարկվում վերլուծական ֆունկցիաների դասի վրա, ուստի այն հաշվարկելու համար օգտագործվում է Աղյուսակ 1: 2-րդ կետ՝ տրված հավելվածում.
Օրինակ 1.24.Հարյուր անկախ փորձարկումներից յուրաքանչյուրում իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը հաստատուն է և հավասար էջ= 0,8. Գտեք հավանականությունը, որ իրադարձությունը տեղի կունենա. ա) առնվազն 75 և առավելագույնը 90 անգամ. բ) առնվազն 75 անգամ. գ) ոչ ավելի, քան 74 անգամ:
Լուծում. Եկեք օգտագործենք Լապլասի ինտեգրալ թեորեմը.
R p(կ 1 , կ 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), որտեղ Ф( x) Լապլասի ֆունկցիան է,
ա) Ըստ պայմանի n = 100, էջ = 0,8, ք = 0,2, կ 1 = 75, կ 2 = 90. Հաշվիր x""և x" :
Հաշվի առնելով, որ Լապլասի ֆունկցիան կենտ է, այսինքն. F(- x) = – F( x), ստանում ենք
Պ 100 (75; 90) \u003d F (2.5) - F (-1.25) \u003d F (2.5) + F (1.25):
Ըստ աղյուսակի P.2. գտնել հավելվածներ.
F (2.5) = 0.4938; Ф(1.25) = 0.3944:
Ցանկալի հավանականություն
Պ 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
բ) Պահանջը, որ իրադարձությունը տեղի ունենա առնվազն 75 անգամ, նշանակում է, որ իրադարձության դեպքերի թիվը կարող է հավասար լինել 75-ի կամ 76-ի, ... կամ 100-ի: Այսպիսով, քննարկվող դեպքում պետք է ընդունել. կ 1 = 75, կ 2 = 100. Հետո 
.
Ըստ աղյուսակի P.2. դիմումները, մենք գտնում ենք Ф (1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0,5:
Ցանկալի հավանականություն
Պ 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
գ) Իրադարձություն - « ԲԱՅՑհայտնվել է առնվազն 75 անգամ» և « ԲԱՅՑհայտնվել է ոչ ավելի, քան 74 անգամ» հակադիր են, ուստի այս իրադարձությունների հավանականությունների գումարը 1 է: Հետևաբար, ցանկալի հավանականությունը.
Պ 100 (0;74) = 1 – Պ 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Պարզապես ոչ առցանց թարգմանիչում:
Ոսկե դարպասը Կիևի խորհրդանիշն է, ճարտարապետության ամենահին նմուշներից մեկը, որը հասել է մեր ժամանակներին: Կիևի ոսկե դարպասները կառուցվել են Կիևի հայտնի արքայազն Յարոսլավ Իմաստունի օրոք 1164 թվականին։ Սկզբում դրանք կոչվում էին հարավային և մտնում էին քաղաքի պաշտպանական ամրությունների համակարգի մեջ՝ գործնականում ոչնչով չտարբերվելով քաղաքի մյուս պահակային դարպասներից։ Հենց Հարավային դարպասներն էին, որ ռուս առաջին մետրոպոլիտ Իլարիոնն իր «Օրենքի և շնորհքի քարոզում» անվանեց «Մեծ»: Հոյակապ Սուրբ Սոֆիայի կառուցումից հետո «Մեծ» դարպասները դարձան դեպի Կիև գլխավոր ցամաքային մուտքը հարավ-արևմտյան կողմից: Հասկանալով դրանց նշանակությունը՝ Յարոսլավ Իմաստունը հրամայեց դարպասների վրա կառուցել Ավետման փոքրիկ եկեղեցի՝ տուրք մատուցելու քաղաքում և Ռուսաստանում տիրող քրիստոնեական կրոնին։ Այդ ժամանակվանից բոլոր ռուսական տարեգրության աղբյուրները Կիևի հարավային դարպասները սկսեցին անվանել Ոսկե դարպասներ։ Դարպասի լայնությունը 7,5 մ էր, անցման բարձրությունը՝ 12 մ, երկարությունը՝ մոտ 25 մ։
le sport ce n "est pas seulement des cours de gym. C" est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l «escalier et non pas l» ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l "ecole, tu fais du sport.
Դասի նպատակը.
- Ներկայացրե՛ք որոշակի, անհնարին և պատահական իրադարձությունների հասկացությունը:
- Ձևավորել գիտելիքներ և հմտություններ իրադարձությունների տեսակը որոշելու համար:
- Զարգացնել՝ հաշվողական հմտություններ; Ուշադրություն; վերլուծելու, տրամաբանելու, եզրակացություններ անելու ունակություն; խմբային աշխատանքի հմտություններ.
Դասերի ժամանակ
1) Կազմակերպչական պահ.
Ինտերակտիվ վարժություն. երեխաները պետք է լուծեն օրինակներ և վերծանեն բառերը, ըստ արդյունքների բաժանվեն խմբերի (վստահելի, անհնարին և պատահական) և որոշեն դասի թեման:
1 քարտ.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 քարտ
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 քարտ
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) ուսումնասիրված գիտելիքների ակտուալացում.
«Ծափ» խաղը՝ զույգ թիվ՝ ծափ, կենտ թիվ՝ կանգնել:
Առաջադրանք՝ 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... թվերի տրված շարքից որոշե՛ք զույգ և կենտ։
3) Նոր թեմա սովորելը.
Սեղանների վրա խորանարդներ ունեք: Եկեք մանրամասն նայենք դրանց: Ինչ ես դու տեսնում?
Որտե՞ղ են օգտագործվում զառերը: Ինչպե՞ս:
Խմբային աշխատանք.
Փորձի անցկացում.
Ի՞նչ կանխատեսումներ կարող եք անել զառ գլորելիս:
Առաջին կանխատեսում. 1,2,3,4,5 կամ 6 թվերից մեկը դուրս կգա։
Իրադարձությունը, որը անպայման տեղի կունենա տվյալ փորձառության մեջ, կոչվում է իսկական.
Երկրորդ կանխատեսում. դուրս կգա 7 թիվը։
Ի՞նչ եք կարծում, կանխատեսված իրադարձությունը տեղի կունենա՞, թե՞ ոչ։
Անհնար է։
Այն իրադարձությունը, որը չի կարող տեղի ունենալ տվյալ փորձի մեջ, կոչվում է անհնարին.
Երրորդ կանխատեսում. դուրս կգա թիվ 1.
Կլինի՞ այս իրադարձությունը։
Իրադարձությունը, որը կարող է կամ տեղի ունենալ տվյալ փորձառության մեջ, կոչվում է պատահական.
4) ուսումնասիրված նյութի համախմբում.
I. Որոշեք միջոցառման տեսակը
-Վաղը կարմիր ձյուն է գալու.
Վաղը առատ ձյուն կտեղա.
Վաղը թեև հուլիս ամիս է, բայց ձյուն կտեղա։
Վաղը թեև հուլիս ամիս է, բայց ձյուն չի լինի։
Վաղը ձյուն կտեղա և բուք.
II. Այս նախադասությանը մի բառ ավելացրեք այնպես, որ իրադարձությունը դառնա անհնարին:
Կոլյան ստացել է պատմության Ա.
Սաշան թեստի վրա ոչ մի խնդիր չի կատարել։
Օքսանա Միխայլովնան (պատմության ուսուցիչ) կբացատրի նոր թեման։
III. Բերե՛ք անհնարին, պատահական և որոշակի իրադարձությունների օրինակներ:
IV. Աշխատանք ըստ դասագրքի (խմբերով).
Նկարագրեք ստորև առաջադրանքներում քննարկված իրադարձությունները որպես որոշակի, անհնարին կամ պատահական:
Թիվ 959. Պետյան հղիացել է բնական թիվ։ Միջոցառումը հետևյալն է.
ա) բեղմնավորված է զույգ թիվ.
բ) բեղմնավորված է կենտ թիվ.
գ) բեղմնավորված թիվ է, որը ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ.
դ) մտահղացվել է զույգ կամ կենտ թիվ:
Թիվ 960. Դուք բացեցիք այս դասագիրքը ցանկացած էջի վրա և ընտրեցիք առաջին գոյականը, որը հանդիպեց: Միջոցառումը հետևյալն է.
ա) ընտրված բառի ուղղագրության մեջ կա ձայնավոր.
բ) ընտրված բառի ուղղագրության մեջ կա «o» տառը.
գ) ընտրված բառի ուղղագրության մեջ ձայնավորներ չկան.
դ) ընտրված բառի ուղղագրության մեջ կա փափուկ նշան.
Լուծել #961, #964.
Լուծված խնդիրների քննարկում.
5) արտացոլում.
1. Ի՞նչ իրադարձությունների հանդիպեցիք դասին:
2. Նշեք, թե ստորև նշված իրադարձություններից որն է որոշակի, որը անհնարին և որը պատահական.
ա) ամառային արձակուրդներ չեն լինի.
բ) սենդվիչը կարագի կողքով ցած կընկնի.
գ) ուսումնական տարին մի օր կավարտվի:
6) տնային աշխատանք.
Գտեք երկու հուսալի, պատահական և անհնարին իրադարձություններ:
Նկարիր դրանցից մեկը։
