Դիտարկենք այժմ քառակուսի հավասարումը

որտեղ անհայտ մեծություն է, հավասարման պարամետրերն են (գործակիցները):

Պարամետրի կրիտիկական արժեքները պետք է ներառեն, առաջին հերթին, արժեքը Պարամետրի նշված արժեքով, հավասարումը (1) ստանում է ձև.

հետևաբար, հավասարման կարգը կրճատվում է մեկով: Հավասարումը (2) գծային հավասարում է, և դրա լուծման եղանակը դիտարկվել է ավելի վաղ:

Այլ կրիտիկական արժեքների համար պարամետրերը որոշվում են հավասարման տարբերակիչով: Հայտնի է, որ ժամը , հավասարումը (1) արմատներ չունի. քանի որ այն ունի մեկ արմատ (1) հավասարման համար ունի երկու տարբեր արմատներ և

մեկը): Գտեք բոլոր պարամետրերի արժեքները, որոնց համար նախատեսված է քառակուսի հավասարումը

ա) ունի երկու տարբեր արմատներ.

բ) արմատներ չունի.

գ) ունի երկու հավասար արմատներ.

Լուծում.Այս հավասարումը ըստ պայմանի քառակուսի է, և հետևաբար, հաշվի առեք այս հավասարման տարբերակիչը

Երբ հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ, քանի որ

Երբ հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ Այս քառակուսի հավասարումը չի կարող ունենալ երկու հավասար արմատներ, քանի որ համար և դա հակասում է խնդրի վիճակին։

Պատասխան. Երբ հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ:

Երբ հավասարումը արմատներ չունի:

2) Լուծե՛ք հավասարումը. Պարամետրի յուրաքանչյուր թույլատրելի արժեքի համար լուծեք հավասարումը

Լուծում.Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ

(այս դեպքում սկզբնական հավասարումը դառնում է գծային հավասարում): Այսպիսով, պարամետրի արժեքը և նրա կրիտիկական արժեքներն են: Հասկանալի է, որ համար , այս հավասարման արմատը և համար , դրա արմատն է

Եթե ​​դրանք. և ապա այս հավասարումը քառակուսի է: Գտնենք դրա տարբերակիչը.

Բոլոր արժեքների համար դիսկրիմինատորը վերցնում է ոչ բացասական արժեքներ, և այն անհետանում է (պարամետրի այս արժեքները նաև նրա կրիտիկական արժեքներն են):

Հետևաբար, եթե ուրեմն այս հավասարումն ունի մեկ արմատ

Այս դեպքում պարամետրի արժեքը համապատասխանում է արմատին

իսկ արժեքը համապատասխանում է արմատին

Եթե ​​ուրեմն հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ։ Գտնենք այս արմատները։

Պատասխանել.Եթե ​​ապա, եթե, ապա, եթե այն ժամանակ

Եթե, ապա , .

3) Լուծե՛ք հավասարումը. Պարամետրի ինչ արժեքներով աարդյո՞ք հավասարումը ունի եզակի լուծում:

Լուծում.Այս հավասարումը համարժեք է համակարգին

Քառակուսային հավասարման առկայությունը և լուծման եզակիության պայմանը, բնականաբար, կհանգեցնեն տարբերակիչի արմատների որոնմանը: Այնուամենայնիվ, x ≠ -3 պայմանը պետք է ուշադրություն գրավի: Իսկ «նուրբ կետն» այն է, որ համակարգի քառակուսի հավասարումը կարող է ունենալ երկու արմատ։ Բայց դրանցից միայն մեկը պետք է հավասար լինի -3-ի։ Մենք ունենք

D= ա 2 - 4, հետևաբար D = 0, եթե ա= ± 2; x \u003d -3 - հավասարման արմատը x 2 - ա x +1 = 0 ժամը

ա= -10/3, և այս արժեքով աքառակուսի հավասարման երկրորդ արմատը տարբեր է

Պատասխանել. ա= ±2 կամ ա = -10/3.

4) Լուծե՛ք հավասարումը. Պարամետրի ինչ արժեքներով ահավասարումը

(ա- 2)x 2 + (4 - 2ա) X+3 = 0 ունի եզակի լուծում:

Լուծում.Հասկանալի է, որ պետք է սկսել գործից ա= 2. Բայց ժամը a = 2Սկզբնական հավասարումը բացարձակապես լուծում չունի։ Եթե ա ≠ 2, ապա այս հավասարումը քառակուսի է, և, թվում է, պարամետրի ցանկալի արժեքները տարբերակիչի արմատներն են: Այնուամենայնիվ, խտրականությունը անհետանում է, երբ a = 2կամ a = 5. Քանի որ մենք դա հաստատել ենք a=2չի տեղավորվում, ուրեմն

Պատասխանել, a = 5.

9) Լուծե՛ք հավասարումը. Պարամետրի ինչ արժեքներով ահավասարումը Օ՜ 2 - 4X + ա+ 3 = 0-ն ունի մեկից ավելի արմատ:

Լուծում. ժամը ա= 0 հավասարումն ունի մեկ արմատ, որը չի բավարարում պայմանը: ժամը ա≠ 0 սկզբնական հավասարումը, լինելով քառակուսի, ունի երկու արմատ, եթե դրա տարբերակիչը 16-4 է ա 2 – 12ադրական. Այստեղից մենք ստանում ենք -4<ա<1.

Այնուամենայնիվ, ստացված միջակայքը (-4; 1) ներառում է 0 թիվը: Պատասխանել. -4<ա<0 или 0<ա<1.

տասը): Պարամետրի ինչ արժեքներով ահավասարումը ա(ա+3)X 2 + (2ա+6)X– 3ա– 9 = 0-ն ունի մեկից ավելի արմատ:

Լուծում. Ստանդարտ քայլ - սկսեք դեպքերից ա= 0 և ա= -3. ժամը ա= 0 հավասարումն ունի եզակի լուծում: Հետաքրքիր է, որ ժ ա= -3 հավասարման լուծումը ցանկացած իրական թիվ է: ժամը ա≠ -3 և ա≠ 0, այս հավասարման երկու կողմերը բաժանելով a + 3-ով, ստանում ենք քառակուսի հավասարումը. Օ՜ 2 + 2X- 3 = 0, որի դիսկրիմինատորը 4 է (1 + Զ ա) դրական է > ⅓-ի համար: Նախորդ օրինակների փորձը հուշում է, որ ընդմիջումից

(-⅓ ;∞) պետք է բացառել կետը ա= 0, և մի մոռացեք ներառել ա = -3.

Պատասխանել. ա= -3, կամ - ⅓< а < 0, или а > 0.

11) Լուծե՛ք հավասարումը :

Լուծում.Նախ, նշեք, որ այս հավասարումը համարժեք է լուծումներ չունեցող հավասարմանը: Եթե

Տիպի հավասարում զ(x; ա) = 0 կոչվում է փոփոխական հավասարում Xև պարամետր ա.

Լուծե՛ք հավասարումը պարամետրով աՍա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր արժեքի համար ագտնել արժեքներ Xբավարարելով այս հավասարումը:

Օրինակ 1 Օ՜= 0

Օրինակ 2 Օ՜ = ա

Օրինակ 3

x + 2 = կացին
x - կացին \u003d -2
x (1 - ա) \u003d -2

Եթե ​​1 - ա= 0, այսինքն. ա= 1, ապա X 0 = -2 առանց արմատների

Եթե ​​1 - ա 0, այսինքն. ա 1, ապա X =

Օրինակ 4

(ա 2 – 1) X = 2ա 2 + ա – 3
(ա – 1)(ա + 1)X = 2(ա – 1)(ա – 1,5)
(ա – 1)(ա + 1)X = (1ա – 3)(ա – 1)

Եթե ա= 1, ապա 0 X = 0
X- ցանկացած իրական թիվ

Եթե ա= -1, ապա 0 X = -2
ոչ մի արմատ

Եթե ա 1, ա- 1 հետո X= (միակ լուծումը):

Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր վավեր արժեքի համար ահամապատասխանում է մեկ արժեքի X.

Օրինակ:

եթե ա= 5, ապա X = = ;

եթե ա= 0, ապա X= 3 և այլն:

Դիդակտիկ նյութ

1. Օ՜ = X + 3

2. 4 + Օ՜ = 3X – 1

3. ա = +

ժամը ա= 1 արմատներ չկան:

ժամը ա= 3 առանց արմատների:

ժամը ա = 1 Xցանկացած իրական թիվ, բացի X = 1

ժամը ա = -1, ա= 0 լուծումներ չկան:

ժամը ա = 0, ա= 2 լուծումներ չկան:

ժամը ա = -3, ա = 0, 5, ա= -2 լուծումներ չկան

ժամը ա = -Հետ, Հետ= 0 լուծումներ չկան:

Պարամետրով քառակուսի հավասարումներ

Օրինակ 1լուծել հավասարումը

(ա – 1)X 2 = 2(2ա + 1)X + 4ա + 3 = 0

ժամը ա = 1 6X + 7 = 0

Երբ ա 1 ընտրեք պարամետրի այն արժեքները, որոնց համար Դգնում է զրոյի:

D = (2 (2 ա + 1)) 2 – 4(ա – 1)(4ա + 30 = 16ա 2 + 16ա + 4 – 4(4ա 2 + 3ա – 4ա – 3) = 16ա 2 + 16ա + 4 – 16ա 2 + 4ա + 12 = 20ա + 16

20ա + 16 = 0

20ա = -16

Եթե ա < -4/5, то Դ < 0, уравнение имеет действительный корень.

Եթե ա> -4/5 և ա 1, ապա Դ > 0,

X =

Եթե ա= 4/5, ապա Դ = 0,

Օրինակ 2Պարամետրի ինչ արժեքներով է հավասարումը

x 2 + 2 ( ա + 1)X + 9ա– 5 = 0 ունի 2 տարբեր բացասական արմատ:

D = 4 ( ա + 1) 2 – 4(9ա – 5) = 4ա 2 – 28ա + 24 = 4(ա – 1)(ա – 6)

4(ա – 1)(ա – 6) > 0

ըստ t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(ա + 1)
X 1 X 2 = 9ա – 5

Ըստ պայմանի X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(ա + 1) < 0 и 9ա – 5 > 0

Ի վերջո

4(ա – 1)(ա – 6) > 0 - 2(ա + 1) < 0 9ա – 5 > 0

ա < 1: а > 6 ա > - 1 ա > 5/9

(Բրինձ. մեկ) < ա < 1, либо ա > 6

Օրինակ 3Գտեք արժեքներ աորի համար այս հավասարումն ունի լուծում.

x 2 - 2 ( ա – 1)X + 2ա + 1 = 0

D = 4 ( ա – 1) 2 – 4(2ա + 10 = 4ա 2 – 8ա + 4 – 8ա – 4 = 4ա 2 – 16ա

4ա 2 – 16 0

4ա(ա – 4) 0

ա( ա – 4)) 0

ա( ա – 4) = 0

a = 0 կամ ա – 4 = 0
ա = 4

(Բրինձ. 2)

Պատասխան. ա 0 և ա 4

Դիդակտիկ նյութ

1. Ինչ արժեքով ահավասարումը Օ՜ 2 – (ա + 1) X + 2ա– 1 = 0-ն ունի մեկ արմատ:

2. Ինչ արժեքով ահավասարումը ( ա + 2) X 2 + 2(ա + 2)X+ 2 = 0-ն ունի մեկ արմատ:

3. a-ի ինչ արժեքների համար է հավասարումը ( ա 2 – 6ա + 8) X 2 + (ա 2 – 4) X + (10 – 3ա – ա 2) = 0-ն ունի ավելի քան երկու արմատ:

4. 2-րդ հավասարման ինչ արժեքների համար X 2 + X – ա= 0-ն ունի առնվազն մեկ ընդհանուր արմատ 2-րդ հավասարմամբ X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Ա-ի ինչ արժեքներով են հավասարումները X 2 +Օ՜+ 1 = 0 և X 2 + X + ա= 0 ունեն գոնե մեկ ընդհանուր արմատ:

1. Երբ ա = - 1/7, ա = 0, ա = 1

2. Երբ ա = 0

3. Երբ ա = 2

4. Երբ ա = 10

5. Երբ ա = - 2

Էքսպոնենցիալ հավասարումներ պարամետրով

Օրինակ 1.Գտեք բոլոր արժեքները ա, որի համար հավասարումը

9 x - ( ա+ 2) * 3 x-1 / x +2 ա*3 -2/x = 0 (1) ունի ուղիղ երկու արմատ:

Լուծում. Բազմապատկելով (1) հավասարման երկու կողմերը 3 2/x-ով, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում.

3 2 (x+1/x) – ( ա+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 ա = 0 (2)

Թող 3 x+1/x = ժամը, ապա (2) հավասարումը ստանում է ձև ժամը 2 – (ա + 2)ժամը + 2ա= 0, կամ

(ժամը – 2)(ժամը – ա) = 0, որտեղից ժամը 1 =2, ժամը 2 = ա.

Եթե ժամը= 2, այսինքն. 3 x + 1/x = 2 ապա X + 1/X= log 3 2, կամ X 2 – Xմատյան 3 2 + 1 = 0:

Այս հավասարումը չունի իրական արմատներ, քանի որ այն Դ= մատյան 2 3 2 – 4< 0.

Եթե ժամը = ա, այսինքն. 3 x+1/x = աապա X + 1/X= մատյան 3 ա, կամ X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)

Հավասարումը (3) ունի ուղիղ երկու արմատ, եթե և միայն, եթե

D = log 2 3 2 – 4 > 0, կամ |log 3 a| > 2.

Եթե ​​log 3 a > 2, ապա ա> 9, և եթե մատյան 3 ա< -2, то 0 < ա < 1/9.

Պատասխան՝ 0< ա < 1/9, ա > 9.

Օրինակ 2. Հավասարման ինչ արժեքներով է 2 2x - ( ա - 3) 2 x - 3 ա= 0-ն ունի լուծումներ:

Դեպի տրված հավասարումըունի լուծումներ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ հավասարումը տ 2 – (ա - 3) տ – 3ա= 0-ն ունի առնվազն մեկ դրական արմատ: Գտնենք արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը. X 1 = -3, X 2 = ա = >

a-ն դրական թիվ է:

Պատասխան՝ երբ ա > 0

Դիդակտիկ նյութ

1. Գտեք a-ի բոլոր արժեքները, որոնց համար հավասարումը

25 x - (2 ա+ 5) * 5 x-1 / x + 10 ա* 5 -2/x = 0-ն ունի ուղիղ 2 լուծում:

2. a-ի ինչ արժեքներով է հավասարումը

2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4-ն ունի մեկ արմատ:

3. Պարամետրի ինչ արժեքների համար է հավասարումը

4 x - (5 ա-3) 2 x +4 ա 2 – 3ա= 0-ն ունի եզակի լուծում:

Լոգարիթմական հավասարումներ պարամետրով

Օրինակ 1Գտեք բոլոր արժեքները ա, որի համար հավասարումը

տեղեկամատյան 4x (1 + Օ՜) = 1/2 (1)

ունի յուրահատուկ լուծում.

Լուծում. Հավասարումը (1) համարժեք է հավասարմանը

1 + Օ՜ = 2Xժամը X > 0, X 1/4 (3)

X = ժամը

կամ 2 - ժամը + 1 = 0 (4)

(3)-ից (2) պայմանը չի բավարարվում։

Թող ա 0, ապա կամ 2 – 2ժամը+ 1 = 0 իրական արմատներ ունի, եթե և միայն եթե Դ = 4 – 4ա 0, այսինքն. ժամը ա 1. Անհավասարությունը (3) լուծելու համար մենք կառուցում ենք ֆունկցիաների գրաֆիկներ Գալիցկի Մ.Լ., Մոշկովիչ Մ.Մ., Շվարցբուրդ Ս.Ի.Հանրահաշվի և մաթեմատիկական վերլուծության դասընթացի խորը ուսումնասիրություն. - Մ.: Լուսավորություն, 1990

Կրամոր Վ.Ս.. Կրկնում և համակարգում ենք հանրահաշվի դպրոցական դասընթացը և վերլուծության սկիզբը։ - Մ.: Լուսավորություն, 1990:

Գալիցկի Մ.Լ., Գոլդման Ա.Մ., Զվավիչ Լ.Ի.. Հանրահաշվի խնդիրների ժողովածու. - Մ.: Լուսավորություն, 1994:

Զվավիչ Լ.Ի., Գլխարկավոր Լ.Յա.Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Քննության խնդիրների լուծում. - Մ.: Բուստարդ, 1998:

Մակարիչև Յու.Ն.և այլն Դիդակտիկ նյութեր հանրահաշիվ 7, 8, 9 բջիջների վերաբերյալ։ - Մ.: Կրթություն, 2001:

Սաակյան Ս.Ի., Գոլդման Ա.Մ., Դենիսով Դ.Վ.Հանրահաշվի խնդիրները և վերլուծության սկիզբը 10–11-րդ դասարանների համար. - Մ.: Լուսավորություն, 1990:

Ամսագրեր «Մաթեմատիկան դպրոցում».

Լ.Ս. Լապպոև ուրիշներ ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ. Ուսուցողական. - Մ .: Քննություն, 2001-2008 թթ.

1. Առաջադրանք.
Պարամետրի ինչ արժեքներով ահավասարումը ( ա - 1)x 2 + 2x + ա- 1 = 0-ն ունի ճիշտ մեկ արմատ:

1. Որոշում.
ժամը ա= 1 հավասարումը ունի 2 ձև x= 0 և ակնհայտորեն ունի մեկ արմատ x= 0. Եթե աԹիվ 1, ապա այս հավասարումը քառակուսի է և ունի մեկ արմատ այն պարամետրի արժեքների համար, որոնց համար տարբերակիչ է քառակուսի եռանկյուն զրո. Հավասարեցնելով դիսկրիմինատորը զրոյի, մենք ստանում ենք պարամետրի հավասարում ա 4ա 2 - 8ա= 0, որտեղից ա= 0 կամ ա = 2.

1. Պատասխան.հավասարումը ունի մեկ արմատ ա O(0; 1; 2):

2. Առաջադրանք.
Գտեք բոլոր պարամետրերի արժեքները ա, որի համար հավասարումը երկու տարբեր արմատներ ունի x 2 +4կացին+8ա+3 = 0.
2. Որոշում.
Հավասարումը x 2 +4կացին+8ա+3 = 0-ն ունի երկու տարբեր արմատներ, եթե և միայն եթե Դ = 16ա 2 -4(8ա+3) > 0. Ստանում ենք (4 ընդհանուր գործակցով կրճատելուց հետո) 4 ա 2 -8ա-3 > 0, որտեղից

2. Պատասխան.

ա O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) ԵՎ (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Առաջադրանք.
Հայտնի է, որ
զ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ա) Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան զ 1 (x) ժամը ա = 1.
բ) Ինչ արժեքով աֆունկցիայի գրաֆիկներ զ 1 (x) և զ 2 (x) ունե՞ք մեկ ընդհանուր կետ:

3. Լուծում.
3.ա.Եկեք փոխակերպվենք զ 1 (x) հետևյալ կերպ
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ա= 1 ցույց է տրված աջ կողմում գտնվող նկարում:
3.բ.Մենք անմիջապես նշում ենք, որ ֆունկցիայի գրաֆիկները y = kx+բև y = կացին 2 +bx+գ (աԹիվ 0) հատվում են մեկ կետում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե քառակուսի հավասարումը kx+բ = կացին 2 +bx+գունի մեկ արմատ. Օգտագործելով View զ 1-ից 3.ա, հավասարում ենք հավասարման դիսկրիմինանտը ա = 6x-x 2-6-ից զրո: 36-24-4 հավասարումից ա= 0 մենք ստանում ենք ա= 3. Նույնն անել 2-րդ հավասարման հետ x-ա = 6x-x 2 -6 գտնել ա= 2. Հեշտ է ստուգել, ​​որ այս պարամետրերի արժեքները բավարարում են խնդրի պայմանները: Պատասխան. ա= 2 կամ ա = 3.

4. Առաջադրանք.
Գտեք բոլոր արժեքները ա, որի տակ անհավասարության լուծումների բազմությունը x 2 -2կացին-3ա i 0-ը պարունակում է հատվածը:

4. Լուծում.
Պարաբոլայի գագաթի առաջին կոորդինատը զ(x) = x 2 -2կացին-3ահավասար է x 0 = ա. Քառակուսային ֆունկցիայի հատկություններից պայմանը զ(x) միջակայքում i 0-ը համարժեք է երեք համակարգերի ամբողջությանը
ուղիղ երկու լուծում ունի՞

5. Որոշում.
Եկեք այս հավասարումը վերաշարադրենք ձևով x 2 + (2ա-2)x - 3ա+7 = 0. Սա քառակուսի հավասարում է, այն ունի ուղիղ երկու լուծում, եթե նրա դիսկրիմինանտը խիստ մեծ է զրոյից: Հաշվելով դիսկրիմինանտը՝ ստանում ենք, որ ուղիղ երկու արմատ ունենալու պայմանը անհավասարության կատարումն է. ա 2 +ա-6 > 0. Լուծելով անհավասարությունը՝ գտնում ենք ա < -3 или ա> 2. Անհավասարություններից առաջինն ակնհայտորեն լուծումներն են բնական թվերչունի, իսկ երկրորդի ամենափոքր բնական լուծումը 3 թիվն է։

5. Պատասխան. 3.

6. Առաջադրանք (10 բջիջ)
Գտեք բոլոր արժեքները ա, որի համար ֆունկցիայի գրաֆիկը կամ ակնհայտ փոխակերպումներից հետո, ա-2 = | 2-ա| . Վերջին հավասարումը համարժեք է անհավասարությանը աես 2.

6. Պատասխան. աՕ)