U svakom poglavlju će biti zadaci za samostalno rješavanje, na koje možete vidjeti odgovore.

Pojam određenog integrala i Newton-Leibnizova formula

određeni integral iz kontinuirane funkcije f(x) na konačnom intervalu [ a, b] (gdje je ) prirast nekih njegovih antiderivata na ovom segmentu. (Općenito, razumijevanje će biti znatno lakše ako ponovite temu o neodređenom integralu) U ovom slučaju, zapis

Kao što se može vidjeti na grafikonima ispod (inkrement antiderivacijske funkcije označen je sa ), Određeni integral može biti pozitivan ili negativan.(Izračunava se kao razlika između vrijednosti antiderivacije u gornjoj granici i njegove vrijednosti u donjoj granici, tj. F(b) - F(a)).

Brojke a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije, a interval [ a, b] je segment integracije.

Dakle, ako F(x) je neka antiderivativna funkcija za f(x), tada je prema definiciji

(38)

Jednakost (38) se zove Newton-Leibnizova formula . Razlika F(b) – F(a) se ukratko piše ovako:

Stoga će Newton-Leibnizova formula biti zapisana na sljedeći način:

(39)

Dokažimo da određeni integral ne ovisi o tome koja se antiderivacija integranda uzima pri njegovom izračunavanju. Neka F(x) i F( x) su proizvoljne antiderivacije integranda. Budući da se radi o antiderivacijama iste funkcije, razlikuju se konstantnim članom: F( x) = F(x) + C. Zato

Dakle, utvrđuje se da je na segmentu [ a, b] inkrementi svih antiderivacija funkcije f(x) odgovarati.

Dakle, za izračunavanje određenog integrala potrebno je pronaći bilo koju antiderivaciju integranda, tj. Prvo morate pronaći neodređeni integral. Konstantno IZ isključeni iz naknadnih izračuna. Zatim se primjenjuje Newton-Leibnizova formula: vrijednost gornje granice zamjenjuje se u antiderivacijsku funkciju b , dalje - vrijednost donje granice a i izračunajte razliku F(b) - F(a) . Rezultirajući broj bit će određeni integral..

Na a = b prihvaćen po definiciji

Primjer 1

Riješenje. Nađimo prvo neodređeni integral:

Primjena Newton-Leibnizove formule na antiderivaciju

(na IZ= 0), dobivamo

Međutim, pri računanju određenog integrala bolje je ne pronaći antiderivaciju zasebno, već integral odmah napisati u obliku (39).

Primjer 2 Izračunajte određeni integral

Riješenje. Pomoću formule

Pronađite sami određeni integral, a zatim pogledajte rješenje

Svojstva određenog integrala

Teorem 2.Vrijednost određenog integrala ne ovisi o oznaci integracijske varijable, tj.

(40)

Neka F(x) je antiderivat za f(x). Za f(t) antiderivat je ista funkcija F(t), u kojem je nezavisna varijabla drugačije označena. Posljedično,

Na temelju formule (39) posljednja jednakost znači jednakost integrala

Teorem 3.Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka određenog integrala, tj.

(41)

Teorem 4.Određeni integral algebarskog zbroja konačnog broja funkcija jednak je algebarskom zbroju određenih integrala tih funkcija, tj.

(42)

Teorem 5.Ako je segment integracije podijeljen na dijelove, tada je određeni integral po cijelom segmentu jednak zbroju određenih integrala po njegovim dijelovima., tj. ako

(43)

Teorem 6.Preuređivanjem granica integracije ne mijenja se apsolutna vrijednost određenog integrala, već samo njegov predznak, tj.

(44)

Teorem 7(teorem o srednjoj vrijednosti). Određeni integral jednak je umnošku duljine segmenta integracije i vrijednosti integranda u nekoj točki unutar njega, tj.

(45)

Teorem 8.Ako je gornja granica integracije veća od donje, a integrand je nenegativan (pozitivan), tada je i definitivni integral nenegativan (pozitivan), tj. ako

Teorem 9.Ako je gornja granica integracije veća od donje granice, a funkcije i su neprekidne, tada je nejednakost

može se integrirati pojam po pojam, tj.

(46)

Svojstva određenog integrala omogućuju nam da pojednostavimo izravan izračun integrala.

Primjer 5 Izračunajte određeni integral

Koristeći teoreme 4 i 3, te pri pronalaženju antiderivacija - tabličnih integrala (7) i (6), dobivamo

Određeni integral s promjenjivom gornjom granicom

Neka f(x) kontinuirana je na segmentu [ a, b] funkcija, i F(x) je njegov prototip. Promotrimo određeni integral

(47)

i kroz t integracijska varijabla je označena kako je ne bi zamijenili s gornjom granicom. Kad se promijeni x mijenja se i određeni integral (47), tj. to je funkcija gornje granice integracije x, što označavamo sa F(x), tj.

(48)

Dokažimo da funkcija F(x) je antiderivat za f(x) = f(t). Doista, razlikovanje F(x), dobivamo

jer F(x) je antiderivat za f(x), a F(a) je konstantna vrijednost.

Funkcija F(x) je jedan od beskonačnog skupa antiderivacija za f(x), naime onaj koji x = a ide na nulu. Ovu tvrdnju dobivamo ako u jednakost (48) stavimo x = a i upotrijebite teorem 1 iz prethodnog odjeljka.

Izračunavanje određenih integrala metodom integracije po dijelovima i metodom promjene varijable

gdje je, po definiciji, F(x) je antiderivat za f(x). Ako u integrandu izvršimo promjenu varijable

tada u skladu s formulom (16) možemo pisati

U ovom izrazu

antiderivativna funkcija za

Dapače, njegova izvedenica, prema pravilo diferenciranja složene funkcije, jednako je

Neka su α i β vrijednosti varijable t, za koju je funkcija

uzima odgovarajuće vrijednosti a i b, tj.

Ali, prema Newton-Leibnizovoj formuli, razlika F(b) – F(a) tamo je

Rješavanje integrala je lak zadatak, ali samo za elitu. Ovaj članak je za one koji žele naučiti razumjeti integrale, ali znaju malo ili nimalo o njima. Integral... Zašto je potreban? Kako to izračunati? Što su određeni i neodređeni integrali?

Ako je jedina upotreba integrala koju poznajete izvlačenje nečega korisnog s teško dostupnih mjesta pomoću kuke u obliku ikone integrala, onda dobrodošli! Naučite kako rješavati jednostavne i druge integrale i zašto bez toga ne možete u matematici.

Proučavamo koncept « sastavni »

Integracija je bila poznata još u starom Egiptu. Naravno, ne u modernom obliku, ali ipak. Od tada su matematičari napisali jako puno knjiga na tu temu. Osobito istaknuti Newton i Leibniz ali se bit stvari nije promijenila.

Kako razumjeti integrale od nule? Nema šanse! Da biste razumjeli ovu temu, i dalje ćete trebati osnovno znanje o osnovama matematičke analize. Informacije o limitima i derivacijama, potrebne za razumijevanje integrala, već imamo na našem blogu.

Neodređeni integral

Imajmo neku funkciju f(x) .

Neodređeni integral funkcije f(x) zove se takva funkcija F(x) , čija je derivacija jednaka funkciji f(x) .

Drugim riječima, integral je obrnuta derivacija ili antiderivacija. Usput, pročitajte naš članak o tome kako izračunati izvedenice.

Antiderivacija postoji za sve neprekidne funkcije. Također, antiderivatu se često dodaje predznak konstante, jer se derivacije funkcija koje se razlikuju po konstanti podudaraju. Proces pronalaženja integrala naziva se integracija.

Jednostavan primjer:

Kako ne bi stalno računali antiderivacije elementarnih funkcija, zgodno ih je unijeti u tablicu i koristiti gotove vrijednosti.

Kompletna tablica integrala za studente

Određeni integral

Kada govorimo o pojmu integrala, imamo posla s infinitezimalnim veličinama. Integral će vam pomoći izračunati površinu figure, masu nehomogenog tijela, put prijeđen tijekom neravnomjernog kretanja i još mnogo toga. Treba imati na umu da je integral zbroj beskonačno velikog broja beskonačno malih članova.

Kao primjer, zamislite graf neke funkcije.

Kako pronaći područje figure ograničene grafom funkcije? Uz pomoć integrala! Razbijmo krivolinijski trapez, omeđen koordinatnim osima i grafom funkcije, na infinitezimalne segmente. Tako će lik biti podijeljen u tanke stupce. Zbroj površina stupaca bit će površina trapeza. Ali zapamtite da će takav izračun dati približan rezultat. Međutim, što su segmenti manji i uži, izračun će biti točniji. Ako ih smanjimo do te mjere da duljina teži nuli, tada će zbroj površina segmenata težiti površini figure. Ovo je definitivan integral koji se piše na sljedeći način:

Točke a i b nazivamo limesima integracije.

« Sastavni »

Usput! Za naše čitatelje sada postoji popust od 10% na bilo kakav posao

Pravila za izračunavanje integrala za lutke

Svojstva neodređenog integrala

Kako riješiti neodređeni integral? Ovdje ćemo razmotriti svojstva neodređenog integrala, što će biti korisno u rješavanju primjera.

• Derivacija integrala jednaka je integrandu:

• Konstanta se može izvući ispod znaka integrala:

• Integral zbroja jednak je zbroju integrala. Također vrijedi za razliku:

Svojstva određenog integrala

• Linearnost:

• Predznak integrala se mijenja ako se granice integracije obrnu:

• Na bilo koji bodova a, b i S:

Već smo ustanovili da je definitivni integral limit zbroja. Ali kako dobiti određenu vrijednost prilikom rješavanja primjera? Za to postoji Newton-Leibnizova formula:

Primjeri rješavanja integrala

U nastavku razmatramo neodređeni integral i primjere s rješenjima. Nudimo vam da samostalno razumijete zamršenost rješenja, a ako nešto nije jasno, postavite pitanja u komentarima.

Za učvršćivanje gradiva pogledajte video kako se integrali rješavaju u praksi. Ne očajavajte ako integral ne dobijete odmah. Obratite se stručnom studentskom servisu i svaki trostruki ili krivocrtni integral po zatvorenoj plohi bit će vam u moći.

>> >> >> Metode integracije

Osnovne metode integracije

Definicija integrala, određenog i neodređenog, tablica integrala, Newton-Leibnizova formula, integracija po dijelovima, primjeri izračunavanja integrala.

Neodređeni integral

Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije koje imaju kontinuiranu . Zatim, prema radovima,

d(uv))= udv + vdu ili udv = d(uv) - vdu.

Za izraz d(uv), antiderivacija će očito biti uv, tako da vrijedi formula:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ova formula izražava pravilo integracija po dijelovima. Dovodi integraciju izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.

Neka je, na primjer, potrebno pronaći ∫xcosx dx. Neka je u = x, dv = cosxdx, pa du=dx, v=sinx. Zatim

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravilo integracije po dijelovima ima ograničeniji opseg od promjene varijable. Ali postoje čitave klase integrala, na primjer, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi, koji se izračunavaju korištenjem integracije po dijelovima.

Određeni integral

Metode integracije, pojam određenog integrala uvodi se na sljedeći način. Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu. Podijelimo odsječak [ a,b] na n dijelova točkama a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Zbroj oblika f(ξ i)Δ x i zove se integralni zbroj, a njegova granica pri λ = maxΔx i → 0, ako postoji i konačna je, naziva se određeni integral funkcije f(x) od a do b i označava se:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) u ovom slučaju se zove integrabilan na segmentu, nazivaju se brojevi a i b donja i gornja granica integrala.

Metode integracije imaju sljedeća svojstva:

Posljednje svojstvo se zove teorem srednje vrijednosti.

Neka je f(x) neprekidan na . Tada na tom segmentu postoji neodređeni integral

∫f(x)dx = F(x) + C

i odvija se Newton-Leibnizova formula, koji povezuje određeni integral s neodređenim:

F(b) - F(a). (8,6)

Geometrijska interpretacija: predstavlja površinu krivocrtnog trapeza omeđenog odozgo krivuljom y=f(x), pravim linijama x = a i x = b i segmentom osi Ox.

Nepravilni integrali

Integrali s beskonačnim limitima i integrali diskontinuiranih (neomeđenih) funkcija nazivaju se nepravim. Nepravilni integrali prve vrste - to su integrali preko beskonačnog intervala, definirani na sljedeći način:

(8.7)

Ako ta granica postoji i konačna je, tada se naziva konvergentnim nevlastitim integralom od f(x) na intervalu [a,+ ∞), a funkcija f(x) se naziva integrabilnom na beskonačnom intervalu [a,+ ∞ ). U protivnom se kaže da integral ne postoji ili divergira.

Nepravi integrali na intervalima (-∞,b] i (-∞, + ∞) definirani su na sličan način:

Definirajmo pojam integrala neograničene funkcije. Ako je f(x) kontinuiran za sve x vrijednosti segmenta osim c, gdje f(x) ima beskonačni diskontinuitet, tada nepravi integral druge vrste f(x) u rasponu od a do b zove zbroj:

ako te granice postoje i konačne su. Oznaka:

Primjeri izračunavanja integrala

Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).

Riješenje. Označimo t = x+2, tada je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Primjer 3.31. Nađi ∫ tgxdx.

Rješenje.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Neka je t=cosx, tada je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Primjer3.32 . Pronađite ∫dx/sinx

Primjer3.33. Pronaći .

Riješenje. =

.

Primjer3.34 . Pronađite ∫arctgxdx.

Riješenje. Integriramo po dijelovima. Označimo u=arctgx, dv=dx. Tada je du = dx/(x 2 +1), v=x, odakle je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; jer
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Primjer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.

Riješenje. Primjenom formule integracije po dijelovima dobivamo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Primjer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.

Riješenje. Primjenjujemo formulu za integraciju po dijelovima. Označimo u = e x , dv = sinxdx, tada du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx također je integrabilan po dijelovima: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relaciju ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odakle je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Primjer 3.37. Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

Rješenje Kako je dx/x = dlnx, onda je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zamjenom lnx kroz t dolazimo do tabličnog integrala J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Primjer 3.38 . Izračunajte J = .

Riješenje. Uzimajući u obzir da je = d(lnx), vršimo zamjenu lnx = t. Tada je J = .

Primjer 3.39 . Izračunajte J = .

Riješenje. Imamo: . Zato =

Čemu služe integrali? Pokušajte sami odgovoriti na ovo pitanje.

Objašnjavajući temu integrala, učitelji navode područja primjene koja su malo korisna školskim umovima. Među njima:

• izračunavanje površine figure.
• izračun tjelesne težine s neujednačenom gustoćom.
• određivanje prijeđene udaljenosti pri kretanju promjenjivom brzinom.
• i tako dalje.

Nije uvijek moguće povezati sve te procese, pa se mnogi učenici zbune, čak i ako imaju sva osnovna znanja za razumijevanje integrala.

Glavni razlog neznanja– nerazumijevanje praktičnog značaja integrala.

Integral - što je to?

Preduvjeti. Potreba za integracijom javila se u antičkoj Grčkoj. U to vrijeme, Arhimed je počeo koristiti metode slične u suštini modernom integralnom računu za pronalaženje površine kruga. Glavni pristup za određivanje površine neravnih figura tada je bila "Metoda iscrpljivanja", što je prilično lako razumjeti.

Suština metode. U taj se lik upisuje monotoni niz drugih likova, a zatim se izračunava granica niza njihovih površina. Ova granica je uzeta kao površina date figure.

U ovoj metodi lako se može pratiti ideja integralnog računa, a to je pronaći granicu beskonačnog zbroja. Kasnije su ovu ideju znanstvenici primijenili za rješavanje primijenjenih zadataka astronautika, ekonomija, mehanika itd.

Moderni integral. Klasičnu teoriju integracije općenito su formulirali Newton i Leibniz. Oslanjao se na tada postojeće zakone diferencijalnog računa. Da biste ga razumjeli, morate imati neko osnovno znanje koje će vam pomoći da vizualne i intuitivne ideje o integralima opišete matematičkim jezikom.

Objasnite pojam "Integral"

Postupak nalaženja derivacije naziva se diferencijacija, i pronalaženje antiderivacije - integracija.

Sastavni matematički jezik je antiderivacija funkcije (ono što je bilo prije derivacije) + konstanta "C".

Sastavni jednostavnim rječnikom rečeno je površina zakrivljene figure. Neodređeni integral je cijelo područje. Određeni integral je površina u određenom području.

Integral se piše ovako:

Svaki integrand se množi s "dx" komponentom. Pokazuje koja se varijabla integrira. "dx" je povećanje argumenta. Umjesto X može postojati bilo koji drugi argument, poput t (vrijeme).

Neodređeni integral

Neodređeni integral nema granica integracije.

Za rješavanje neodređenih integrala dovoljno je pronaći antiderivaciju integranda i dodati mu "C".

Određeni integral

U određenom integralu restrikcije "a" i "b" ispisane su na znaku integracije. Oni su prikazani na x-osi na donjem grafikonu.

Da biste izračunali određeni integral, morate pronaći antiderivaciju, zamijeniti vrijednosti "a" i "b" u nju i pronaći razliku. U matematici se to zove Newton-Leibnizova formula:

Tablica integrala za studente (osnovne formule)

Preuzmite formule integrala, i dalje će vam biti od koristi

Kako pravilno izračunati integral

Postoji nekoliko jednostavnih operacija za transformaciju integrala. Evo glavnih:

Uklanjanje konstante ispod znaka integrala

Rastavljanje integrala zbroja na zbroj integrala

Ako zamijenite a i b, predznak će se promijeniti

Integral možete podijeliti na intervale na sljedeći način

To su najjednostavnija svojstva, na temelju kojih će kasnije biti formulirani složeniji teoremi i metode računanja.

Primjeri izračunavanja integrala

Rješavanje neodređenog integrala

Rješavanje određenog integrala

Osnovni pojmovi za razumijevanje teme

Kako biste razumjeli bit integracije i ne zatvorili stranicu zbog nesporazuma, objasnit ćemo nekoliko osnovnih pojmova. Što je funkcija, derivacija, limit i antiderivacija.

Funkcija- pravilo prema kojem su svi elementi iz jednog skupa povezani sa svim elementima iz drugog.

Izvedenica je funkcija koja opisuje brzinu promjene druge funkcije u svakoj specifičnoj točki. Strogo rečeno, ovo je granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta. Izračunava se ručno, no lakše je koristiti tablicu izvedenica koja sadrži većinu standardnih funkcija.

Povećanje- kvantitativna promjena funkcije s nekom promjenom argumenta.

Ograničiti- vrijednost kojoj teži vrijednost funkcije, kada argument teži određenoj vrijednosti.

Primjer granice: recimo za X jednako 1, Y će biti jednako 2. Ali što ako X nije jednako 1, nego teži 1, odnosno nikada ga ne dosegne? U ovom slučaju, y nikada neće dosegnuti 2, već će samo težiti ovoj vrijednosti. Matematičkim jezikom to se piše na sljedeći način: limY (X), pri čemu je X –> 1 = 2. Čita se: granica funkcije Y (X), pri čemu x teži 1, je 2.

Kao što je već spomenuto, izvod je funkcija koja opisuje drugu funkciju. Izvorna funkcija može se izvesti iz neke druge funkcije. Ova druga funkcija se zove primitivna.

Zaključak

Integrale nije teško pronaći. Ako ne razumijete kako to učiniti, . Od drugog puta postaje jasnije. Zapamtiti! Rješavanje integrala svodi se na jednostavne transformacije integranda i njegovo traženje u .

Ako vam tekstualno objašnjenje ne odgovara, pogledajte video o značenju integrala i derivacije:

Integrali - što je to, kako ga riješiti, primjeri rješenja i objašnjenje za lutke ažurirano: 22. studenog 2019. od: Znanstveni članci.Ru