2). Zatim gradimo graf linearne funkcije y \u003d -3x + 6 y x y \u003d -3x + 6

Funkcije čiji su grafikoni paralelni s x-osi 2. slučaj: K=0 U ovom slučaju funkcija ima oblik y=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x

Ako je k veći od nule, tada se linije nalaze u prvom i trećem kvadrantu. Što je veći koeficijent, to je pravac bliže osi Oy, a što je koeficijent manji, to je pravac bliže osi Ox. Odnosno, što je veći nagib, to je veći kut između ravne crte i x-osi.

5 Y \u003d 2x +6 Y \u003d 2x - 5 x y Dva pravca su paralelna ako imaju isti kut nagiba, a to ovisi o nagibu k 0 Dva pravca su paralelna ako imaju isti nagib.
Zaključci 1. Funkcija oblika y = kx + b, gdje su k i b neki brojevi, naziva se linearna funkcija. Linijski grafikon je ravna linija. 2. Funkcija oblika y= kx zove se izravna proporcionalnost, a njen graf prolazi kroz ishodište. 3. Graf funkcije y \u003d b paralelan je s osi x i prolazi kroz točku s koordinatama (0; b). 4. Koeficijent k naziva se nagib. Određuje kut nagiba ravne linije prema osi x. 5. Ako dva različita pravca imaju jednake koeficijente nagiba, tada će grafovi ovih funkcija biti paralelni, ako im koeficijenti nagiba nisu jednaki, tada će se grafovi sijeći.

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, a k i b bilo koji brojevi.
Graf linearne funkcije je pravac.

1. Graditi graf funkcije, potrebne su nam koordinate dviju točaka koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, morate uzeti dvije x vrijednosti, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i izračunati odgovarajuće y vrijednosti iz njih.

Na primjer, za iscrtavanje funkcije y= x+2, zgodno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate tih točaka biti jednake y=2 i y=3. Dobivamo točke A(0;2) i B(3;3). Spojimo ih i dobijemo graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva faktor proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafa funkcije duž OY osi:
ako je b>0, tada se graf funkcije y=kx+b dobiva iz grafa funkcije y=kx pomicanjem b jedinica prema gore duž osi OY
ako b
Na donjoj slici prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Primijetimo da u svim ovim funkcijama koeficijent k Iznad nule, a funkcije su povećavajući se.Štoviše, što je veća vrijednost k, to je veći kut nagiba ravne linije prema pozitivnom smjeru osi OX.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku os OY u točki (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent k manje od nule i značajke smanjenje. Koeficijent b=3, a grafovi kao i u prethodnom slučaju sijeku os OY u točki (0;3)

Promotrimo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada, u svim jednadžbama funkcija, koeficijenti k su jednaki 2. I dobili smo tri paralelne crte.

Ali koeficijenti b su različiti, a ti dijagrami sijeku os OY u razne točke:
Graf funkcije y=2x+3 (b=3) siječe os OY u točki (0;3)
Graf funkcije y=2x (b=0) siječe os OY u točki (0;0) - ishodištu.
Graf funkcije y=2x-3 (b=-3) siječe os OY u točki (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda odmah možemo zamisliti kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
Ako a k 0

Ako a k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k=0, tada se funkcija y=kx+b pretvara u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih točaka grafa funkcije y=b jednake su b Ako b=0, tada graf funkcije y=kx (direktne proporcionalnosti) prolazi kroz ishodište:

3. Zasebno bilježimo graf jednadžbe x=a. Graf ove jednadžbe je pravac paralelan s osi OY čije sve točke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x=a nije funkcija, jer jedna vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uvjet paralelnosti dviju linija:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je paralelan s grafom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uvjet da su dvije ravne crte okomite:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na graf funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Sječne točke grafa funkcije y=kx+b s koordinatnim osama.

s OY osi. Apscisa bilo koje točke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OY, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobivamo y=b. To jest, točka presjeka s osi OY ima koordinate (0;b).

S x-osi: Ordinata bilo koje točke koja pripada x-osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobivamo 0=kx+b. Stoga je x=-b/k. Odnosno, točka sjecišta s osi OX ima koordinate (-b / k; 0):

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika y = kx + b, definiran na skupu svih realnih brojeva. Ovdje k– kutni koeficijent (realni broj), b – slobodan član (pravi broj), x je nezavisna varijabla.

U konkretnom slučaju, ako k = 0, dobivamo konstantnu funkciju y=b, čiji je grafikon ravna linija paralelna s osi Ox, koja prolazi točkom s koordinatama (0;b).

Ako a b = 0, tada dobivamo funkciju y=kx, koji je u izravnom odnosu.

b – duljina segmenta, koja odsijeca liniju duž osi Oy, računajući od ishodišta.

Geometrijsko značenje koeficijenta k – kut nagiba ravno u pozitivan smjer osi Ox smatra se suprotno od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Područje linearne funkcije je cijela realna os;

2) Ako a k ≠ 0, tada je raspon linearne funkcije cijela realna os. Ako a k = 0, tada se raspon linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, Posljedično, y = b je paran;

b) b = 0, k ≠ 0, Slijedom toga y = kx je neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, Slijedom toga y = kx + b je opća funkcija;

d) b = 0, k = 0, Slijedom toga y = 0 je i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Sječne točke s koordinatnim osima:

Vol: y = kx + b = 0, x = -b/k, Posljedično (-b/k; 0)- točka presjeka s osi apscisa.

Oj: y=0k+b=b, Posljedično (0;b) je točka presjeka s osi y.

Napomena.Ako b = 0 i k = 0, zatim funkcija y=0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable x. Ako a b ≠ 0 i k = 0, zatim funkcija y=b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali konstantnosti predznaka ovise o koeficijentu k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- pozitivno na x iz (-b/k; +∞),

y = kx + b- negativno na x iz (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- pozitivno na x iz (-∞; -b/k),

y = kx + b- negativno na x iz (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivno u cijeloj domeni definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b je negativan u cijeloj domeni definicije.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije ovise o koeficijentu k.

k > 0, Posljedično y = kx + b povećava se u cijeloj domeni definicije,

k< 0 , Posljedično y = kx + b opada u cijeloj domeni definicije.

8) Graf linearne funkcije je pravac. Za crtanje ravne linije dovoljno je poznavati dvije točke. Položaj ravne linije na koordinatnoj ravnini ovisi o vrijednostima koeficijenata k i b. Ispod je tablica koja to jasno ilustrira.

Lekcija 1 .

Funkcija y=kh i njezin raspored.

Profesor matematike škole broj 92

Pavlovskaya Nina Mikhailovna

• usustavljivati ​​i razvijati znanja učenika

o funkciji teme, opsegu funkcije,

graf funkcije;

• uvesti pojam izravne proporcionalnosti;
• razvijati sposobnost građenja i čitanja grafikona

funkcija dana formulom y \u003d kx;

• naučiti identificirati:

- položaj grafa na koordinatnoj ravnini,

- pripadnost ove točke grafu;

• naučiti kako postaviti ravnu liniju prema grafu

razmjernost;

• promicati razvoj kognitivnog interesa

učenicima

• poticati učenike na samokontrolu,

izazvati potrebu da opravdaju svoje

izjave.

Ciljevi lekcije:

Zagrijati se.

1. Prema grafikonu promjena temperature zraka tijekom dana, pronađite vrijednost temperature u 6:00, 12:00, 18:00 sati .

2. Što se zove raspon dopuštenih vrijednosti varijabilnog algebarskog ulomka?

3. Pronađite važeće vrijednosti varijable za razlomak:

0 k Funkcija oblika y = kx naziva se izravna proporcionalnost, gdje je x varijabla, k je nagib. Konstruirajte grafove funkcija: y Svojstva: 8 7 a) y = 2x; b) y \u003d - 3x. 1. Područje definicije 6 5 2. Graf je pravac koji prolazi kroz ishodište. 4 II I 3 2 3. Ako je k 0, graf prolazi kroz četvrtine I i III i oblikuje oštar kut s pozitivnim smjerom x-osi. 1 -3 -2 -1 3 2 1 x -4 O -1 -2 III IV -3 4 . Ako je k -4 -5 -6 -7 -8" width="640"

y = 2x

y = -3x

k0

k

Pregled funkcija y = kx naziva se izravna proporcionalnost, gdje x - varijabla, k - kutni koeficijent.

Izgradite grafikone

funkcije :

na

Svojstva :

8

7

a) y \u003d 2x; b) y \u003d - 3x.

1. Domena definicije

6

5

2. Graf je pravac koji prolazi kroz ishodište.

4

II

ja

3

2

3. Ako je k 0, graf prolazi kroz I i III četvrtinu i tvori oštar kut s pozitivnim smjerom x-osi.

1

-3

-2

-1

3

2

1

x

-4

O

-1

-2

III

IV

-3

4 . Ako k

-4

-5

-6

-7

-8

1 graf je razvučen duž y-osi. 2. Ako je |k| duž x-osi." width="640"

Graditi grafove funkcija u istom koordinatnom sustavu. Pronađite osobitost položaja grafova i izvedite zaključak.

a) y = 5x;

b) y \u003d - 4x;

d) y \u003d - 0,5x.

c) y = 0,2x;

Zaključak:

• Ako je |k|1 graf je rastegnut

duž y osi.

2. Ako je |k|

duž x osi.

Prema grafu odredite vrstu funkcije i postavite je formulom te joj također dajte karakteristiku.

u

G

a) y \u003d 0,5x

b

d

b) y = x

a

e

c) y \u003d 2x

d) y \u003d - 2x

e) y \u003d - x

e) y \u003d - 0,5x

Riješite iz udžbenika

• Usmeno: br. 490, 491.

• Pisano: br. 493, 494 (a, c), 495 (a, c)

Sažimanje lekcije:

• Što je graf funkcije y = kx ?
• Ono što se naziva nagibom ravne linije y = kx ?
• U kojim koordinatnim četvrtinama se nalazi graf funkcije y = kx na k 0, na k 0?

Napiši domaću zadaću:

str.6.1, 6.2 udžbenika,

№ 494(b,d), 495(b,d), 496.

№ 644 - izborno.

Linearna funkcija je funkcija forme

x-argument (neovisna varijabla),

y- funkcija (ovisna varijabla),

k i b su neki konstantni brojevi

Graf linearne funkcije je ravno.

dovoljno za iscrtavanje grafikona. dva bodova, jer kroz dvije točke možete povući ravnu liniju, i štoviše, samo jednu.

Ako je k˃0, tada se graf nalazi u 1. i 3. koordinatnoj četvrtini. Ako je k˂0, tada se graf nalazi u 2. i 4. koordinatnoj četvrtini.

Broj k nazivamo nagibom izravnog grafa funkcije y(x)=kx+b. Ako je k˃0, tada je kut nagiba pravca y(x)= kx+b na pozitivan smjer Ox šiljast; ako je k˂0, onda je ovaj kut tup.

Koeficijent b pokazuje sjecište grafa s osi y (0; b).

y(x)=k∙x-- poseban slučaj tipične funkcije naziva se izravna proporcionalnost. Graf je ravna linija koja prolazi kroz ishodište, tako da je jedna točka dovoljna da se izgradi ovaj graf.

Grafikon linearne funkcije

Gdje je koeficijent k = 3, dakle

Graf funkcije će rasti i imati oštar kut s osi Ox. koeficijent k ima predznak plus.

OOF linearne funkcije

FRF linearne funkcije

Osim slučaja kada

Također linearna funkcija forme

To je opća funkcija.

B) Ako je k=0; b≠0,

U ovom slučaju, graf je ravna linija paralelna s osi Ox koja prolazi točkom (0;b).

C) Ako je k≠0; b≠0, tada linearna funkcija ima oblik y(x)=k∙x+b.

Primjer 1 . Nacrtajte funkciju y(x)= -2x+5

Primjer 2 . Nađi nulte točke funkcije y=3x+1, y=0;

su nule funkcije.

Odgovor: ili (;0)

Primjer 3 . Odredite vrijednost funkcije y=-x+3 za x=1 i x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Odgovor: y_1=2; y_2=4.

Primjer 4 . Odredite koordinate njihove sjecišne točke ili dokažite da se grafovi ne sijeku. Neka su zadane funkcije y 1 =10∙x-8 i y 2 =-3∙x+5.

Ako se grafovi funkcija sijeku, tada je vrijednost funkcija u ovoj točki jednaka

Zamijenite x=1, tada je y 1 (1)=10∙1-8=2.

Komentar. Dobivenu vrijednost argumenta također možete zamijeniti u funkciju y 2 =-3∙x+5, tada ćemo dobiti isti odgovor y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2 - ordinata presječne točke.

(1; 2) - točka sjecišta grafova funkcija y \u003d 10x-8 i y \u003d -3x + 5.

Odgovor: (1;2)

Primjer 5 .

Konstruirajte grafove funkcija y 1 (x)= x+3 i y 2 (x)= x-1.

Vidi se da je koeficijent k=1 za obje funkcije.

Iz navedenog proizlazi da ako su koeficijenti linearne funkcije jednaki, onda su njihovi grafovi u koordinatnom sustavu paralelni.

Primjer 6 .

Izgradimo dva grafa funkcije.

Prvi graf ima formulu

Drugi grafikon ima formulu

NA ovaj slučaj pred nama je graf dviju ravnih linija koje se sijeku u točki (0; 4). To znači da koeficijent b, koji je odgovoran za visinu uspona grafa iznad x-osi, ako je x=0. Stoga možemo pretpostaviti da je koeficijent b oba grafa 4.

Urednice: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna