Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, a k i b bilo koji brojevi.
Graf linearne funkcije je pravac.

1. Za iscrtavanje grafa funkcije, potrebne su nam koordinate dviju točaka koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije x vrijednosti, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i izračunati odgovarajuće y vrijednosti iz njih.

Na primjer, za iscrtavanje funkcije y= x+2, zgodno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate tih točaka biti jednake y=2 i y=3. Dobivamo točke A(0;2) i B(3;3). Spojimo ih i dobijemo graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva faktor proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafa funkcije duž OY osi:
ako je b>0, tada se graf funkcije y=kx+b dobiva iz grafa funkcije y=kx pomicanjem b jedinica prema gore duž osi OY
ako b
Na donjoj slici prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Primijetimo da u svim ovim funkcijama koeficijent k Iznad nule, a funkcije su povećavajući se.Štoviše, što je veća vrijednost k, to je veći kut nagiba ravne linije prema pozitivnom smjeru osi OX.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku os OY u točki (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovaj put u svim funkcijama koeficijent k manje od nule i značajke smanjenje. Koeficijent b=3, a grafovi kao i u prethodnom slučaju sijeku os OY u točki (0;3)

Promotrimo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada, u svim jednadžbama funkcija, koeficijenti k su jednaki 2. I dobili smo tri paralelne crte.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafikoni sijeku os OY u različitim točkama:
Graf funkcije y=2x+3 (b=3) siječe os OY u točki (0;3)
Graf funkcije y=2x (b=0) siječe os OY u točki (0;0) - ishodištu.
Graf funkcije y=2x-3 (b=-3) siječe os OY u točki (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda odmah možemo zamisliti kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
Ako a k 0

Ako a k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k=0, tada se funkcija y=kx+b pretvara u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih točaka grafa funkcije y=b jednake su b Ako b=0, tada graf funkcije y=kx (direktne proporcionalnosti) prolazi kroz ishodište:

3. Zasebno bilježimo graf jednadžbe x=a. Graf ove jednadžbe je pravac paralelan s osi OY čije sve točke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x=a nije funkcija, jer jedna vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uvjet paralelnosti dviju linija:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je paralelan s grafom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uvjet da su dvije ravne crte okomite:

Graf funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na graf funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Sječne točke grafa funkcije y=kx+b s koordinatnim osama.

s OY osi. Apscisa bilo koje točke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OY, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobivamo y=b. To jest, točka presjeka s osi OY ima koordinate (0;b).

S x-osi: Ordinata bilo koje točke koja pripada x-osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku sjecišta s osi OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobivamo 0=kx+b. Stoga je x=-b/k. Odnosno, točka sjecišta s osi OX ima koordinate (-b / k; 0):

Linearna funkcija y = kx + m kada je m = 0 postaje y = kx. U ovom slučaju možete vidjeti da:

1. Ako je x = 0, onda je y = 0. Dakle, graf linearne funkcije y = kx prolazi kroz ishodište, bez obzira na vrijednost k .
2. Ako je x = 1, tada je y = k.

Razmotrite različite vrijednosti k i kako to mijenja y.

Ako je k pozitivan (k > 0), tada će pravac (graf funkcije), koji prolazi kroz ishodište, ležati u I i III koordinatnoj četvrtini. Uostalom, za pozitivan k, kada je x pozitivan, tada će i y biti pozitivan. A kada je x negativan, y će također biti negativan. Na primjer, za funkciju y = 2x, ako je x = 0,5, tada je y = 1; ako je x = –0,5, tada je y = –1.

Sada, pod uvjetom pozitivnog k, razmotrite tri različite linearne jednadžbe. Neka bude: y = 0,5x i y = 2x i y = 3x. Kako se mijenja vrijednost y s istim x? Očito raste s k: što je više k, to je više y. A to znači da će pravac (graf funkcije) s većom vrijednošću k imati veći kut između x-osi (apscisne osi) i grafa funkcije. Dakle, o k ovisi pod kojim kutom ravna os siječe x, pa se o k govori kao nagib linearne funkcije.

Sada proučimo situaciju kada je k x pozitivno, tada će y biti negativno; i obrnuto: ako je x y > 0. Dakle, graf funkcije y = kx za kada je k

Pretpostavimo da postoje linearne jednadžbe y = –0,5x, y = –2x, y = –3x. Za x = 1 dobivamo y = –0,5, y = –2, y = –3. Za x = 2 dobivamo y = –1, y = –2, y = –6. Dakle, što je veći k, veći je y ako je x pozitivan.

Međutim, ako je x = –1, tada je y = 0,5, y = 2, y = 3. Kod x = –2, dobivamo y = 1, y = 4, y = 6. Ovdje, kako se vrijednost k smanjuje, y raste na x

Graf funkcije za k

Grafovi funkcija poput y = kx + m razlikuju se od grafova y = km samo po paralelnom pomaku.

Linearna funkcija je funkcija forme

x-argument (neovisna varijabla),

y- funkcija (ovisna varijabla),

k i b su neki konstantni brojevi

Graf linearne funkcije je ravno.

dovoljno za iscrtavanje grafikona. dva bodova, jer kroz dvije točke možete povući ravnu liniju, i štoviše, samo jednu.

Ako je k˃0, tada se graf nalazi u 1. i 3. koordinatnoj četvrtini. Ako je k˂0, tada se graf nalazi u 2. i 4. koordinatnoj četvrtini.

Broj k nazivamo nagibom izravnog grafa funkcije y(x)=kx+b. Ako je k˃0, tada je kut nagiba pravca y(x)= kx+b na pozitivan smjer Ox šiljast; ako je k˂0, onda je ovaj kut tup.

Koeficijent b pokazuje sjecište grafa s osi y (0; b).

y(x)=k∙x-- poseban slučaj tipične funkcije naziva se izravna proporcionalnost. Graf je ravna linija koja prolazi kroz ishodište, tako da je jedna točka dovoljna da se izgradi ovaj graf.

Grafikon linearne funkcije

Gdje je koeficijent k = 3, dakle

Graf funkcije će rasti i imati oštar kut s osi Ox. koeficijent k ima predznak plus.

OOF linearne funkcije

FRF linearne funkcije

Osim slučaja kada

Također linearna funkcija forme

To je opća funkcija.

B) Ako je k=0; b≠0,

U ovom slučaju, graf je ravna linija paralelna s osi Ox koja prolazi točkom (0;b).

C) Ako je k≠0; b≠0, tada linearna funkcija ima oblik y(x)=k∙x+b.

Primjer 1 . Nacrtajte funkciju y(x)= -2x+5

Primjer 2 . Nađi nulte točke funkcije y=3x+1, y=0;

su nule funkcije.

Odgovor: ili (;0)

Primjer 3 . Odredite vrijednost funkcije y=-x+3 za x=1 i x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Odgovor: y_1=2; y_2=4.

Primjer 4 . Odredite koordinate njihove sjecišne točke ili dokažite da se grafovi ne sijeku. Neka su zadane funkcije y 1 =10∙x-8 i y 2 =-3∙x+5.

Ako se grafovi funkcija sijeku, tada je vrijednost funkcija u ovoj točki jednaka

Zamijenite x=1, tada je y 1 (1)=10∙1-8=2.

Komentar. Dobivenu vrijednost argumenta također možete zamijeniti u funkciju y 2 =-3∙x+5, tada ćemo dobiti isti odgovor y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2 - ordinata presječne točke.

(1; 2) - točka sjecišta grafova funkcija y \u003d 10x-8 i y \u003d -3x + 5.

Odgovor: (1;2)

Primjer 5 .

Konstruirajte grafove funkcija y 1 (x)= x+3 i y 2 (x)= x-1.

Vidi se da je koeficijent k=1 za obje funkcije.

Iz navedenog proizlazi da ako su koeficijenti linearne funkcije jednaki, onda su njihovi grafovi u koordinatnom sustavu paralelni.

Primjer 6 .

Izgradimo dva grafa funkcije.

Prvi graf ima formulu

Drugi grafikon ima formulu

U ovom slučaju imamo graf dviju ravnih linija koje se sijeku u točki (0; 4). To znači da koeficijent b, koji je odgovoran za visinu uspona grafa iznad x-osi, ako je x=0. Stoga možemo pretpostaviti da je koeficijent b oba grafa 4.

Urednice: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Klasa: 8

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: lekcija u otkrivanju novih znanja.

Osnovni ciljevi:

• stvoriti predodžbu o funkciji y = kx 2 , njegova svojstva i grafika;
• ponovite i prikvačite: pojedinosti značajke y = x 2 , svojstva funkcije, poznata u tečaju 7. razreda.

Demo materijal:

1) algoritam za konstruiranje grafa funkcije:

2) Pravilo za određivanje položaja grafa ovisno o koeficijentu k:

3) samostalan rad: Na sl. prikazani su grafovi funkcija y \u003d kx 2 .

Za svaki graf označite odgovarajuću vrijednost koeficijenta do.

4) uzorak za samoprovjeru samostalnog rada.

Brošura:

1) kartica:

1, 2 grupa:

Plot funkcije y= 2x 2 , y = 4x

3, 4 grupa:

Plot funkcije y=– 2x 2 , y = - 4x 2 i odredite u kojim se koordinatnim četvrtinama nalaze grafovi ovih funkcija. Izvedite zaključak o koeficijentu k.

2) kartica za razmišljanje:

TIJEKOM NASTAVE

1. Motivacija za aktivnosti učenja

Ciljevi:

• organizirati aktualizaciju zahtjeva za studenta sa strane obrazovnih aktivnosti;
• organizirati aktivnosti učenika postaviti tematski okvir: nastavljamo raditi s funkcijama;
• stvoriti uvjete za pojavu učenikove unutarnje potrebe za uključivanjem u obrazovne aktivnosti.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 1:

- Zdravo! Što ste zanimljivosti naučili u prethodnim lekcijama? (Proučavali smo funkciju y = | x |, graf te funkcije i njezina svojstva.)
– Danas ćete nastaviti s upoznavanjem novih značajki.
- Kako ćeš danas raditi? (U lijepom raspoloženju).
- Želim ti uspjeh!

2. Aktualizacija znanja i fiksacija poteškoća u individualnoj aktivnosti

Ciljevi:

• ažurirati obrazovne sadržaje, potrebne i dostatne za percepciju novog gradiva.
• popraviti ažurirane metode djelovanja u govoru i znakovima;
• organizirati sintezu ažuriranih metoda djelovanja;
• motivirati za izvršenje individualnog zadatka;
• organizirati samostalno ispunjavanje individualnog zadatka za nova znanja;
• organizirati fiksiranje pojedinačnih poteškoća u izvedbi učenika pojedinačnog zadatka ili u njegovu opravdanju.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 2:

Analizirajte nekoliko slajdova 2-5 i odgovorite na pitanje:

Po kojem ćete rasporedu danas raditi? (S parabolom).

– Odaberite koji je graf funkcije parabola na = x + 2, na = 2/x, y = x 2 ?(y=x 2 . Tu smo funkciju učili u 7. razredu).

- Imenovati numerički koeficijent funkcije y = x 2 . (Jednako je 1)

- U kojim koordinatnim četvrtinama se nalazi graf funkcije? y = x 2 , koja je domena definicije i opseg ove funkcije, intervali porasta i opadanja? (Graf funkcije y = x 2 leži u 1 i 2 koordinatnim četvrtinama ili u gornjoj poluravnini, domena definicije je cijeli brojevni pravac, raspon vrijednosti je funkcija y \u003d x 2 uzima nenegativne vrijednosti; raste na x > 0, opadajući na x < 0.)

Razmotrimo što se događa s drugim vrijednostima koeficijenta.

- Formulirajte temu lekcije. (Funkcija y = kx 2 , njegova svojstva i graf).

1) Na ploči je pripremljena tablica. Pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije:

y= 2x 2
y= 4x 2
y=– 2x 2
y=– 4x 2

- Ispunite stol. Redom se pred ploču prozivaju 4 učenika.

2) Grafikon funkcije y = kx 2 prolazi točkom A(2;8). Odredite vrijednost koeficijenta. Zapiši funkciju. (k = 2, y = 2x 2 ).

3) Prema kojem planu obično gradite grafove funkcija? Slajd 7.

(Potrebno -
1. Ispunite tablicu vrijednosti
2. Konstruirati točke na koordinatnoj ravnini
3. Spojite konstruirane točke glatkom linijom
4. Potpišite naziv funkcije.)

- Što si ponovio?

- A sada, koristeći sve što ste upravo ponovili i naučili, predlažem da riješite sljedeći zadatak:
Plot funkcije y= 2x 2 , y = - 4x 2 i odredite u kojim se koordinatnim četvrtinama nalaze grafovi ovih funkcija. Zaključite kako se nalazi graf ovisno o koeficijentu k.

Učenici rade na milimetarskom papiru.

Tko ne postiže rezultate?
Što nisi mogao učiniti? (Nisam mogao__________________)
- Pokažite rezultate, tko je završio izgradnju.
Kako možete dokazati da ste učinili pravu stvar? (Trebao bih___________)
Što ćete koristiti kao dokaz? (____________.)
Što nisi mogao učiniti?
Koje ste pravilo koristili prilikom gradnje?
- To ne možete učiniti?

3. Identificiranje uzroka poteškoća

Ciljevi:

• organizirati korelaciju svojih postupaka s korištenim standardima (algoritam, koncept itd.);
• na temelju toga organizirati identifikaciju i fiksaciju u vanjskom govoru uzroka poteškoća – onih specifičnih znanja i vještina koje nisu dovoljne za rješavanje izvornog problema.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 3:

Koji ste zadatak morali izvršiti?
Što ste upotrijebili za dovršetak zadatka?
- Gdje je nastao problem?
- Što je uzrok poteškoća? (Nemamo načina da odredimo kako se nalazi graf funkcije y \u003d kx2 ovisno o koeficijentu k.)

4. Problemsko obrazlaganje novih znanja

Ciljevi:

• organizirati postavljanje ciljeva lekcije;
• organizirati pojašnjenje i koordinaciju teme lekcije;
• organizirati vođenje ili poticanje dijaloga o problematičnom uvođenju novih znanja;
• organizirati korištenje predmetnih radnji s modelima, shemama, svojstvima itd.;
• organizirati fiksiranje novog načina djelovanja u govoru;
• organizirati fiksiranje novog načina djelovanja u znakovima;
• korelacija novih znanja s pravilom u udžbeniku, priručniku, rječniku i sl.
• organizirati fiksaciju prevladavanja poteškoće.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 4:

- Navedite svrhu svoje aktivnosti. (Pronađite način da odredite kako se nalazi graf funkcije y \u003d kx 2 ovisno o koeficijentu k.)

- Odredite temu lekcije. (Funkcija y = kx 2 , njegova svojstva i graf). slajd 6.

- A sada ćete raditi u grupama: Slajd 8.

1, 2 grupa:

Plot funkcije y= 2x 2 , y = 4x 2 i odredite u kojim se koordinatnim četvrtinama nalaze grafovi ovih funkcija. Izvedite zaključak o koeficijentu k.

3, 4 grupa:

Plot funkcije y = - 2x 2 ,y = - 4x 2 i odredite u kojim se koordinatnim četvrtinama nalaze grafovi ovih funkcija. Izvedite zaključak o koeficijentu k.

Svaka grupa dobiva karticu. (Učenici mogu koristiti udžbenik ili priručnik ako imaju poteškoća.)

- Predstavite svoju verziju algoritma.

Svaka od skupina predstavlja svoju verziju, ostale dopunjuju, pojašnjavaju. Nakon dogovora, pravilo se postavlja na ploču:

Učiteljica dodaje:

- Svaka linija koju nacrtate naziva se parabola. U tom slučaju se točka (0;0) naziva vrhom parabole, a os na je os simetrije parabole.
“Brzina aspiracije” grana parabole prema gore (dolje), “stupanj strmosti” parabole ovisi o vrijednosti koeficijenta k.
Što ste sada otkrili?
- Što biste sada trebali učiniti?

5. Primarna konsolidacija u vanjskom govoru

Cilj: organizirati asimilaciju od strane djece novog načina djelovanja s njihovim izgovorom u vanjskom govoru.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 5:

- U kojim koordinatnim četvrtinama se nalaze grafovi funkcija na = 1/5x 2 , na = x 2 /2, na = – x 2 /2, na = 3x 2 ?

Zadatak se izvodi u parovima, jedan par radi za pločom.

6. Samostalan rad uz samopregled prema uzorku

Ciljevi:

• organizirati samostalno izvođenje učenika standardnih zadataka za novi način djelovanja;
• na temelju rezultata samostalnog rada organizirati utvrđivanje i ispravljanje pogrešaka;
• na temelju rezultata samostalnog rada stvoriti situaciju uspjeha.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 6:

Za samostalan rad nudi se zadatak na kartici. slajd 9.

Na sl. prikazani su grafovi funkcija na = kx 2 .

Za svaki graf označite vrijednost koeficijenta k koji mu odgovara.

Nakon završenog rada učenici ga provjeravaju prema modelu: Slajd 10.

Koja ste pravila koristili da biste izvršili zadatak?
- Kome je teško - kako odrediti predznak koeficijenta k?
- Tko je imao poteškoća pri određivanju vrijednosti koeficijenta k?
Tko je dobro obavio posao?

7. Uključivanje u sustav znanja i ponavljanje

Ciljevi:

• uvježbati vještine korištenja novih sadržaja u kombinaciji s prethodno proučavanim materijalom;
• pregledajte sadržaj učenja koji će biti potreban u sljedećim lekcijama:

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 7:

Zadatak iz GIA-9 izvodi se na ploči. Slajdovi 11-16.

- Odredite pojam koji se danas mnogo puta ponovio u lekciji. (Grafikon)

1. Graf koje od navedenih funkcija je parabola koja se nalazi u donjoj poluravnini?

3. Pronađite raspon funkcije y \u003d - 5x2

a) na = –15x 2 b) na = – 9x 2 u) na = – x 2 G) na = – 5x 2

c uh f i

5. Navedite intervale povećanja funkcije y \u003d - 5x 2

a) na x > 0 b) kada x < 0 c) na x< 0 d) na x > 0

h oko i t

6. Odredite najmanju vrijednost funkcije y \u003d - 5x 2

a) 0 b) ne postoji u 5 d) 5

s do d u.

Zadaci iz fizike: slajd 17.

Put koji prijeđe tijelo u prvih t sekundi slobodnog pada izračunava se po formuli: H = gt 2/2, gdje g\u003d 9,8 m/s 2. Pronađite s grafa ovisnost H o t:

A) udaljenost koju će kamen u padu preletjeti u prvih 6 sekundi;
B) vrijeme za koje će kamen preletjeti prvih 250 m?

8. Refleksija aktivnosti na satu

Ciljevi:

• organizirati fiksiranje novog sadržaja proučavanog u lekciji;
• organizirati fiksiranje stupnja usklađenosti s postavljenim ciljem i rezultatima aktivnosti;
• organizirati verbalnu fiksaciju koraka za postizanje cilja;
• na temelju rezultata analize rada u lekciji organizirati fiksiranje smjernica za buduće aktivnosti;
• organizirati samoprovjeru rada učenika na satu;
• organizirati raspravu i bilježiti domaću zadaću.

Organizacija obrazovnog procesa u fazi 8:

- Što si učio danas?
- Što ste novo naučili na lekciji?
- Koje ste si ciljeve postavili?
– Jeste li ostvarili svoje ciljeve?
- Što vam je pomoglo da se nosite s poteškoćama?
- Pregledajte svoj rad u razredu.

Učenici rade s karticama za razmišljanje (P).

Domaća zadaća: slajd 18.

• odlomak P.17 pročitanog udžbenika
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Bibliografija:

1. A.G. Mordkovich. Algebra, razred 8. U dva dijela. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova. M.: Mnemozina, 2011.
2. Internet resursi.

2). Zatim gradimo graf linearne funkcije y \u003d -3x + 6 y x y \u003d -3x + 6

Funkcije čiji su grafikoni paralelni s x-osi 2. slučaj: K=0 U ovom slučaju funkcija ima oblik y=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x

Ako je k veći od nule, tada se linije nalaze u prvom i trećem kvadrantu. Što je veći koeficijent, to je pravac bliže osi Oy, a što je koeficijent manji, to je pravac bliže osi Ox. Odnosno, što je veći nagib, to je veći kut između ravne crte i x-osi.

5 Y \u003d 2x +6 Y \u003d 2x - 5 x y Dva pravca su paralelna ako imaju isti kut nagiba, a to ovisi o nagibu k 0 Dva pravca su paralelna ako imaju isti nagib.
Zaključci 1. Funkcija oblika y = kx + b, gdje su k i b neki brojevi, naziva se linearna funkcija. Linijski grafikon je ravna linija. 2. Funkcija oblika y= kx zove se izravna proporcionalnost, a njen graf prolazi kroz ishodište. 3. Graf funkcije y \u003d b paralelan je s osi x i prolazi kroz točku s koordinatama (0; b). 4. Koeficijent k naziva se nagib. Određuje kut nagiba ravne linije prema osi x. 5. Ako dva različita pravca imaju jednake koeficijente nagiba, tada će grafovi ovih funkcija biti paralelni, ako im koeficijenti nagiba nisu jednaki, tada će se grafovi sijeći.