आज, आपका ध्यान एक अद्भुत और रहस्यमय विषय पर एक और प्रस्तुति की ओर आकर्षित किया जाता है - ज्यामिति। इस प्रस्तुति में, हम आपको एक नई संपत्ति से परिचित कराएंगे ज्यामितीय आकार, विशेष रूप से, समकोण त्रिभुजों में आनुपातिक खंडों की अवधारणा के साथ।

सबसे पहले आपको यह याद रखना होगा कि त्रिभुज क्या है? यह तीन खंडों से जुड़े तीन शीर्षों से मिलकर बना सबसे सरल बहुभुज है। एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें एक कोण 90 डिग्री का होता है। आप उनके साथ हमारे पिछले में पहले से ही अधिक विस्तार से परिचित हो चुके हैं प्रशिक्षण सामग्रीआपके संज्ञान में लाया गया।

इसलिए, आज अपने विषय पर लौटते हुए, हम इस क्रम में निरूपित करते हैं कि 90 डिग्री के कोण से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करती है, जो एक दूसरे के समान और मूल त्रिभुज के समान होते हैं। आपकी रुचि के सभी चित्र और ग्राफ़ प्रस्तावित प्रस्तुति में दिए गए हैं, और हम अनुशंसा करते हैं कि आप उन्हें वर्णित स्पष्टीकरण के साथ देखें।

उपरोक्त थीसिस का एक चित्रमय उदाहरण दूसरी स्लाइड पर देखा जा सकता है। त्रिभुज समरूप होते हैं क्योंकि उनके दो समान कोण होते हैं। यदि आप अधिक विस्तार से निर्दिष्ट करते हैं, तो कर्ण को कम की गई ऊंचाई इसके साथ एक समकोण बनाती है, अर्थात, पहले से ही समान कोण होते हैं, और प्रत्येक गठित कोण में प्रारंभिक के रूप में एक सामान्य कोण भी होता है। परिणाम एक दूसरे के बराबर दो कोण हैं। अर्थात् त्रिभुज समरूप होते हैं।

आइए हम यह भी निरूपित करें कि "माध्य आनुपातिक" या "ज्यामितीय माध्य" की अवधारणा का अपने आप में क्या अर्थ है? यह खंड AB और CD के लिए एक निश्चित खंड XY है, जब यह बराबर होता है वर्गमूलउनकी लंबाई के उत्पाद।

जिससे यह भी पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और इस पैर के कर्ण, यानी दूसरे पैर के प्रक्षेपण के बीच का ज्यामितीय माध्य है।

एक और गुण सही त्रिकोणयह है कि 90 o के कोण से खींची गई इसकी ऊंचाई, कर्ण पर पैरों के अनुमानों के बीच औसत आनुपातिक है। यदि आप अपने ध्यान में लाए गए प्रस्तुतिकरण और अन्य सामग्री का संदर्भ लें, तो आप देखेंगे कि इस थीसिस का एक बहुत ही सरल और सरल प्रमाण है। सुलभ प्रपत्र. इससे पहले हम पहले ही साबित कर चुके हैं कि परिणामी त्रिभुज एक दूसरे के समरूप होते हैं और मूल त्रिभुज के समान होते हैं। फिर, इन ज्यामितीय आकृतियों के पैरों के अनुपात का उपयोग करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई उन खंडों के गुणनफल के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है जो ऊँचाई को नीचे से कम करने के परिणामस्वरूप बनाए गए थे। मूल त्रिभुज का समकोण।

प्रस्तुति में अंतिम बात यह है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के लिए ज्यामितीय माध्य है और पैर के बीच स्थित इसका खंड और 90 डिग्री के बराबर कोण से खींची गई ऊंचाई है। इस मामले को पक्ष से माना जाना चाहिए कि ये त्रिकोण एक दूसरे के समान हैं, और उनमें से एक का पैर दूसरे के कर्ण से प्राप्त होता है। लेकिन आप प्रस्तावित सामग्रियों का अध्ययन करके इसे और अधिक विस्तार से जान पाएंगे।

समकोण त्रिभुजों की समानता का चिह्न

आइए पहले हम समकोण त्रिभुजों की समरूपता के चिह्न का परिचय दें।

प्रमेय 1

समकोण त्रिभुजों की समानता का चिह्न: दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनका एक बराबर होता है तेज़ कोने(चित्र एक)।

चित्र 1. समान समकोण त्रिभुज

सबूत।

आइए हम दिया जाए कि $\angle B=\angle B_1$. चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$। इसलिए, वे त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह के अनुसार समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई प्रमेय

प्रमेय 2

समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज को दो समरूप समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान होता है।

सबूत।

आइए हमें समकोण $C$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। ऊंचाई $CD$ बनाएं (चित्र 2)।

चित्र 2. प्रमेय 2 . का चित्रण

आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ त्रिभुज $ABC$ के समान हैं और त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समान हैं।

चूँकि $\angle ADC=(90)^0$, त्रिभुज $ACD$ समकोण है। त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ में उभयनिष्ठ कोण $A$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समान हैं।

चूँकि $\angle BDC=(90)^0$, त्रिभुज $BCD$ समकोण है। त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ में उभयनिष्ठ कोण $B$ हैं, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ समान हैं।

अब त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ . पर विचार करें

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

औसत आनुपातिक

प्रमेय 3

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, समकोण के शीर्ष से खींची गई, उन खंडों के लिए औसत समानुपाती होती है जिनमें ऊँचाई इस त्रिभुज के कर्ण को विभाजित करती है।

सबूत।

प्रमेय 2 से, हमारे पास यह है कि त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समान हैं, इसलिए

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 4

एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर के बीच संलग्न कर्ण के खंड और कोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के बीच आनुपातिक है।

सबूत।

प्रमेय के प्रमाण में, हम चित्र 2 से संकेतन का उपयोग करेंगे।

प्रमेय 2 से, हमारे पास यह है कि त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समान हैं, इसलिए

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समकोण त्रिभुजों की समानता का चिह्न

आइए पहले हम समकोण त्रिभुजों की समरूपता के चिह्न का परिचय दें।

प्रमेय 1

समकोण त्रिभुजों की समानता का चिह्न: दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनमें से प्रत्येक में एक समान न्यून कोण होता है (चित्र 1)।

चित्र 1. समान समकोण त्रिभुज

सबूत।

आइए हम दिया जाए कि $\angle B=\angle B_1$. चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$। इसलिए, वे त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह के अनुसार समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई प्रमेय

प्रमेय 2

समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज को दो समरूप समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान होता है।

सबूत।

आइए हमें समकोण $C$ के साथ एक समकोण त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। ऊंचाई $CD$ बनाएं (चित्र 2)।

चित्र 2. प्रमेय 2 . का चित्रण

आइए हम सिद्ध करें कि त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ त्रिभुज $ABC$ के समान हैं और त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समान हैं।

चूँकि $\angle ADC=(90)^0$, त्रिभुज $ACD$ समकोण है। त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ में उभयनिष्ठ कोण $A$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समान हैं।

चूँकि $\angle BDC=(90)^0$, त्रिभुज $BCD$ समकोण है। त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ में उभयनिष्ठ कोण $B$ हैं, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ समान हैं।

अब त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ . पर विचार करें

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

औसत आनुपातिक

प्रमेय 3

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, समकोण के शीर्ष से खींची गई, उन खंडों के लिए औसत समानुपाती होती है जिनमें ऊँचाई इस त्रिभुज के कर्ण को विभाजित करती है।

सबूत।

प्रमेय 2 से, हमारे पास यह है कि त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समान हैं, इसलिए

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 4

एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर के बीच संलग्न कर्ण के खंड और कोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के बीच आनुपातिक है।

सबूत।

प्रमेय के प्रमाण में, हम चित्र 2 से संकेतन का उपयोग करेंगे।

प्रमेय 2 से, हमारे पास यह है कि त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समान हैं, इसलिए

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

पाठ मकसद:

1. दो खंडों के माध्य आनुपातिक (ज्यामितीय माध्य) की अवधारणा का परिचय दें;
2. आनुपातिक खंडों की समस्या पर विचार करें सही त्रिकोण: एक समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई का गुण;
3. समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में अध्ययन किए गए विषय का उपयोग करने में छात्रों के कौशल का निर्माण करना।

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखने का पाठ।

योजना:

1. संगठनात्मक क्षण।
2. ज्ञान अद्यतन।
3. एक समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के गुण का अध्ययन:
   – प्रारंभिक चरण;
   - परिचय;
   - मिलाना।
4. दो खंडों के समानुपाती माध्य की अवधारणा का परिचय।
5. दो खंडों के औसत आनुपातिक की अवधारणा को आत्मसात करना।
6. परिणामों का प्रमाण:
   - समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई, उन खंडों के बीच का औसत आनुपातिक है जिसमें कर्ण को इस ऊंचाई से विभाजित किया जाता है;
   - एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर और ऊंचाई के बीच संलग्न कर्ण के खंड के बीच आनुपातिक है।
7. समस्या को सुलझाना।
8. संक्षेप।
9. होमवर्क सेट करना।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठन

नमस्कार दोस्तों, बैठ जाइए। क्या हर कोई सबक के लिए तैयार है?

हम काम शुरू करते हैं।

द्वितीय. ज्ञान का अद्यतन

पिछले पाठों में आपने कौन-सी महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा सीखी? ( त्रिभुज समानता की अवधारणा के साथ)

- आइए याद करते हैं किन दो त्रिभुजों को समरूप कहा जाता है? (दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समान भुजाओं के समानुपाती हों)

दो त्रिभुजों की समानता को सिद्ध करने के लिए हम किसका प्रयोग करते हैं? (

- इन संकेतों की सूची बनाएं। (त्रिभुजों की समरूपता के तीन चिन्ह बनाइए)

III. एक समकोण के शीर्ष से निकले एक आयताकार त्रिभुज की ऊँचाई के गुणों का अध्ययन

ए) प्रारंभिक चरण

- दोस्तों, कृपया पहली स्लाइड देखें। ( आवेदन पत्र) यहाँ दो समकोण त्रिभुज हैं - और . और क्रमशः ऊँचाई और हैं। .

कार्य 1. क)निर्धारित करें कि क्या और समान हैं।

त्रिभुजों की समानता को सिद्ध करने के लिए हम किसका प्रयोग करते हैं? ( त्रिभुजों की समानता के संकेत)

(पहला संकेत, क्योंकि समस्या में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

. (दो जोड़े: 1. ∟B= ∟B1 (सीधी रेखाएं), 2. ∟A= A 1)

- निष्कर्ष निकालें। ( त्रिभुजों की समरूपता के प्रथम चिह्न से ~)

कार्य 1. ख)निर्धारित करें कि क्या और समान हैं।

हम किस समानता मानदंड का उपयोग करेंगे और क्यों? (पहला संकेत, क्योंकि समस्या में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

- कितने जोड़े समान कोणक्या हमें खोजने की ज़रूरत है? इन जोड़ों को खोजें (क्योंकि त्रिभुज समकोण हैं, बराबर कोणों का एक युग्म पर्याप्त है: A= ∟A 1)

- निष्कर्ष निकालें। (त्रिभुजों की समरूपता के प्रथम चिह्न से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ये त्रिभुज समरूप हैं)।

बातचीत के परिणामस्वरूप, स्लाइड 1 इस तरह दिखती है:

बी) प्रमेय की खोज

कार्य 2.

निर्धारित करें कि क्या और , और समान हैं। बातचीत के परिणामस्वरूप, उत्तर बनते हैं, जो स्लाइड पर दिखाई देते हैं।

- यह आंकड़ा बताता है। क्या हमने कार्यों के प्रश्नों का उत्तर देते समय इस डिग्री माप का उपयोग किया था? ( नहीं, इस्तेमाल नहीं किया गया)

- दोस्तों, एक निष्कर्ष निकालें: समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई किस त्रिभुज में समकोण त्रिभुज को विभाजित करती है? (निष्कर्ष निकालें)

- सवाल उठता है: क्या ये दो समकोण त्रिभुज, जिनमें ऊँचाई समकोण त्रिभुज को विभाजित करती है, एक-दूसरे के समान होंगे? आइए समान कोणों के जोड़े खोजने का प्रयास करें।

बातचीत के परिणामस्वरूप, एक रिकॉर्ड बनाया जाता है:

- और अब एक पूर्ण निष्कर्ष निकालते हैं। ( निष्कर्ष: समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है एक जैसा

- उस। हमने एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई के गुणधर्म पर एक प्रमेय तैयार किया है और सिद्ध किया है।

आइए प्रमेय की संरचना स्थापित करें और एक चित्र बनाएं। प्रमेय में क्या दिया गया है और क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है? छात्र अपनी नोटबुक में लिखते हैं:

आइए नए आरेखण के लिए प्रमेय के पहले बिंदु को सिद्ध करें। हम किस समानता मानदंड का उपयोग करेंगे और क्यों? (पहला, चूंकि प्रमेय में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

हमें बराबर कोणों के कितने जोड़े खोजने होंगे? इन जोड़ों को खोजें। (पर ये मामलाएक जोड़ी काफी है: A-सामान्य)

- निष्कर्ष निकालें। त्रिकोण समान हैं। परिणामस्वरूप, प्रमेय के निरूपण का एक उदाहरण दिखाया गया है

- दूसरे और तीसरे प्वाइंट को घर पर ही लिखें।

ग) प्रमेय को आत्मसात करना

- तो, ​​प्रमेय फिर से तैयार करें (एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, जो समकोण के शीर्ष से खींची जाती है, त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है एक जैसासमकोण त्रिभुज, जिनमें से प्रत्येक इस के समान है)

- "एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण के शीर्ष से ऊँचाई" की रचना में समान त्रिभुजों के कितने जोड़े इस प्रमेय द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं? ( तीन जोड़े)

छात्रों को निम्नलिखित असाइनमेंट दिया जाता है:

चतुर्थ। दो पंक्तियों के औसत अनुपात की अवधारणा का परिचय

अब हम एक नई अवधारणा सीखेंगे।

ध्यान!

परिभाषा।रेखा खंड XYबुलाया औसत आनुपातिक (जियोमेट्रिक माध्य)खंडों के बीच अबतथा सीडी, यदि

(नोटबुक में लिखें)।

V. दो पंक्तियों के औसत अनुपात की अवधारणा का संघ

अब आगे की स्लाइड पर चलते हैं।

अभ्यास 1।औसत आनुपातिक खंडों MN और KP की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि MN = 9 सेमी, KP = 16 सेमी।

- कार्य में क्या दिया गया है? ( दो खंड और उनकी लंबाई: एमएन = 9 सेमी, केपी = 16 सेमी)

- आपको क्या खोजने की ज़रूरत है? ( इन खंडों के औसत आनुपातिक की लंबाई)

- माध्य आनुपातिक का सूत्र क्या है और हम इसे कैसे ज्ञात करते हैं?

(हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और माध्य प्रोप की लंबाई पाते हैं।)

टास्क नंबर 2.खंड AB की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि खंड AB और CD का औसत समानुपाती 90 सेमी और CD = 100 सेमी . है

- कार्य में क्या दिया गया है? (खंड CD की लंबाई = 100 सेमी और खंडों AB और CD का औसत आनुपातिक 90 सेमी है)

समस्या में क्या खोजना चाहिए? ( खंड एबी की लंबाई)

- हम समस्या का समाधान कैसे करेंगे? (आइए औसत आनुपातिक खंडों AB और CD के लिए सूत्र लिखें, इसमें से AB की लंबाई व्यक्त करें और समस्या के डेटा को प्रतिस्थापित करें।)

VI. निष्कर्ष

- अच्छा किया लड़कों। और अब आइए हम त्रिभुजों की समानता पर लौटते हैं, जो हमारे द्वारा प्रमेय में सिद्ध की गई है। प्रमेय को पुन: स्थापित करें। ( समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है एक जैसासमकोण त्रिभुज, जिनमें से प्रत्येक दिए गए के समान है)

- आइए पहले त्रिभुजों की समानता का प्रयोग करें और . इससे क्या होता है? ( समानता की परिभाषा के अनुसार, भुजाएँ समान भुजाओं के समानुपाती होती हैं)

- अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करने पर क्या समानता प्राप्त होगी? ()

- सीडी व्यक्त करें और निष्कर्ष निकालें (;.

निष्कर्ष: समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई उन खंडों के बीच औसत आनुपातिक है जिनमें कर्ण इस ऊंचाई से विभाजित होता है)

- और अब अपने लिए साबित करें कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर और ऊंचाई के बीच संलग्न कर्ण के खंड के बीच औसत आनुपातिक है। हम पाते हैं - ... वे खंड जिनमें कर्ण विभाजित है यह ऊंचाई )

एक समकोण त्रिभुज की टाँग बीच में माध्य समानुपाती होती है... (- ... इस पैर और ऊंचाई के बीच संलग्न कर्ण और कर्ण का खंड )

- हम सीखे गए बयानों को कहां लागू करते हैं? ( समस्याओं का समाधान करते समय)

IX. गृहकार्य सेट करना

डी/जेड:नंबर 571, नंबर 572 (ए, ई), स्वतंत्र कामएक नोटबुक में, सिद्धांत।

पाठ 40 सी.बी. एक। एच। सी ई.पू. एच.ए.सी. A. V. एक समकोण के शीर्ष से खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, त्रिभुज को 2 समरूप समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक किसी दिए गए त्रिभुज के समान होता है। समकोण त्रिभुजों की समानता का चिह्न। दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनमें से प्रत्येक का न्यून कोण समान हो। खंड XY को AB और CD खंडों के लिए माध्य आनुपातिक (ज्यामितीय माध्य) कहा जाता है यदि गुण 1. समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई कर्ण पर पैरों के अनुमानों के बीच आनुपातिक है। संपत्ति 2। एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और इस पैर के कर्ण पर प्रक्षेपण के बीच आनुपातिक है।

स्लाइड 28प्रस्तुति से "ज्यामिति "समान त्रिकोण"". प्रस्तुति के साथ संग्रह का आकार 232 KB है।

ज्यामिति ग्रेड 8

सारांशअन्य प्रस्तुतियाँ

"पाइथागोरस प्रमेय पर समस्याओं का समाधान" - त्रिभुज ABC समद्विबाहु। प्रायोगिक उपयोगपाइथागोरस प्रमेय। ABCD एक चतुर्भुज है। वर्गाकार क्षेत्र। सूरज खोजें। सबूत। एक समद्विबाहु समलम्बाकार के आधार। पाइथागोरस प्रमेय पर विचार करें। एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल। आयताकार त्रिभुज। पाइथागोरस प्रमेय। कर्ण का वर्ग योग के बराबर हैपैरों के वर्ग।

"एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना" - नींव। कद। एक समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करना। समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्षेत्र गुण। मौखिक व्यायाम। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। समांतर चतुर्भुज ऊँचाई। वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। वर्गाकार क्षेत्र।

"क्वाद्रत 8 वीं कक्षा" - काला वर्ग। वर्ग की परिधि के आसपास मौखिक कार्य के लिए कार्य। वर्गाकार क्षेत्र। चौकोर संकेत। चौक हमारे बीच है। एक वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं। वर्ग। एक चौकोर आधार के साथ बैग। मौखिक कार्य। चित्र में कितने वर्ग दिखाए गए हैं। वर्ग गुण। धनी व्यापारी। वर्ग के क्षेत्र में मौखिक कार्य के लिए कार्य। एक वर्ग की परिधि।

"अक्षीय समरूपता की परिभाषा" - एक ही लंबवत पर स्थित बिंदु। दो रेखाएँ खींचे। निर्माण। प्लॉट अंक। संकेत। आंकड़े जिनके पास नहीं है अक्षीय समरूपता. रेखा खंड। लापता निर्देशांक। आकृति। ऐसी आकृतियाँ जिनमें सममिति के दो से अधिक अक्ष होते हैं। समरूपता। कविता में समरूपता। त्रिकोण बनाएं। समरूपता की धुरी। एक खंड का निर्माण। एक बिंदु का निर्माण। समरूपता के दो अक्षों वाले आंकड़े। लोग। त्रिभुज। आनुपातिकता।

"समान त्रिभुजों को परिभाषित करना" - बहुभुज। आनुपातिक कटौती। समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात। दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं। शर्तें। दो कोणों और शीर्ष पर समद्विभाजक दिए गए त्रिभुज की रचना कीजिए। मान लीजिए हमें ध्रुव की दूरी निर्धारित करने की आवश्यकता है। त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह। चलो एक त्रिकोण बनाते हैं। एबीसी. त्रिभुज ABC और ABC की तीन बराबर भुजाएँ हैं। किसी वस्तु की ऊँचाई ज्ञात करना।

"पायथागॉरियन प्रमेय का समाधान" - खिड़कियों के हिस्से। सबसे सरल प्रमाण। हम्मुराबी। विकर्ण। पूर्ण प्रमाण। घटाव द्वारा प्रमाण। पाइथागोरस। अपघटन विधि द्वारा प्रमाण। प्रमेय का इतिहास। व्यास। पूरक विधि द्वारा प्रमाण। एपस्टीन का प्रमाण। कैंटर। त्रिभुज। अनुयायी। पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग। पाइथागोरस प्रमेय। प्रमेय का कथन। पेरिगल का प्रमाण। प्रमेय का अनुप्रयोग।