विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों की परिधि कैसे ज्ञात करें। एक सरल कार्य: परिधि कैसे ज्ञात करें? एक ठोस आकृति का परिमाप कैसे ज्ञात करें

निम्नलिखित परीक्षण कार्यों में, आपको आकृति में दिखाए गए चित्र की परिधि को खोजने की आवश्यकता है।

किसी आकृति की परिधि ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आप मूल आकार को इस तरह से बदल सकते हैं कि नए आकार की परिधि की गणना आसानी से की जा सके (उदाहरण के लिए, आयत में परिवर्तन)।

एक अन्य उपाय यह है कि आकृति की परिधि को सीधे देखें (इसके सभी पक्षों की लंबाई के योग के रूप में)। लेकिन इस मामले में, केवल ड्राइंग पर भरोसा नहीं किया जा सकता है, बल्कि समस्या के डेटा के आधार पर खंडों की लंबाई का पता लगाया जा सकता है।

मैं आपको चेतावनी देना चाहता हूं: कार्यों में से एक में, प्रस्तावित उत्तरों में से, मुझे वह नहीं मिला जो मेरे लिए निकला।

सी) .

आइए छोटे आयतों के किनारों को आंतरिक क्षेत्र से बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। नतीजतन, बड़ा आयत बंद हो जाता है। आयत का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र

इस मामले में, a=9a, b=3a+a=4a. अत: P=2(9a+4a)=26a. बड़े आयत की परिधि में हम चार खंडों की लंबाई का योग जोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक 3a के बराबर होता है। परिणामस्वरूप, P=26a+4∙3a= 38a .

सी) .

छोटे आयतों के आंतरिक पक्षों को बाहरी क्षेत्र में स्थानांतरित करने के बाद, हमें एक बड़ा आयत मिलता है, जिसकी परिधि P=2(10x+6x)=32x है, और चार खंड, x लंबाई के दो, 2x लंबाई के दो खंड हैं।

कुल, पी=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

आइए 6 क्षैतिज "कदम" को अंदर से बाहर की ओर ले जाएं। परिणामी बड़े आयत का परिमाप P=2(6y+8y)=28y है। आयत 4y+6∙y=10y के अंदर के खंडों की लंबाई का योग ज्ञात करना बाकी है। अत: आकृति का परिमाप P=28y+10y= . है 38y .

डी) .

आइए ऊर्ध्वाधर खंडों को आकृति के आंतरिक क्षेत्र से बाईं ओर, बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। एक बड़ा आयत पाने के लिए, 4x लंबाई में से किसी एक को निचले बाएँ कोने में ले जाएँ।

हम मूल आकृति की परिधि को इस बड़े आयत की परिधि और शेष तीन खंडों की लंबाई के योग के रूप में पाते हैं P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

इ) .

छोटे आयतों की भीतरी भुजाओं को बाहरी क्षेत्र में ले जाने पर हमें एक बड़ा वर्ग प्राप्त होता है। इसका परिमाप P=4∙10x=40x है। मूल आकृति की परिधि प्राप्त करने के लिए, आपको वर्ग की परिधि में आठ खंडों की लंबाई, प्रत्येक 3x लंबे, का योग जोड़ना होगा। कुल, पी=40x+8∙3x= 64x .

बी) .

आइए सभी क्षैतिज "चरणों" और ऊर्ध्वाधर ऊपरी खंडों को बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। परिणामी आयत का परिमाप P=2(7y+4y)=22y है। मूल आकृति की परिधि को खोजने के लिए, आपको आयत की परिधि में चार खंडों की लंबाई का योग जोड़ना होगा, प्रत्येक की लंबाई y: P=22y+4∙y= 26वर्ष .

डी) .

सभी क्षैतिज रेखाओं को आंतरिक क्षेत्र से बाहरी क्षेत्र में ले जाएँ और दो ऊर्ध्वाधर बाहरी रेखाओं को क्रमशः बाएँ और दाएँ कोनों में, z को बाएँ और दाएँ घुमाएँ। परिणामस्वरूप, हमें एक बड़ा आयत मिलता है, जिसका परिमाप P=2(11z+3z)=28z है।

मूल आकृति का परिमाप बड़े आयत के परिमाप और z में छह खंडों की लंबाई के योग के बराबर है: P=28z+6∙z= 34z .

बी) .

समाधान पूरी तरह से पिछले उदाहरण के समाधान के समान है। आकृति को बदलने के बाद, हम बड़े आयत का परिमाप पाते हैं:

पी=2(5z+3z)=16z। आयत की परिधि में हम शेष छह खंडों की लंबाई का योग जोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक z के बराबर है: P=16z+6∙z= 22z .

, टूटी हुई रेखा, आदि:

यदि आप इन सभी आकृतियों को बारीकी से देखें, तो आप इनमें से दो का चयन कर सकते हैं, जो बंद रेखाओं (एक वृत्त और एक त्रिभुज) से बनी हैं। इन आकृतियों में एक प्रकार की सीमा होती है जो अंदर की चीज़ों को बाहर से अलग करती है। अर्थात्, सीमा विमान को दो भागों में विभाजित करती है: उस आकृति के सापेक्ष आंतरिक और बाहरी क्षेत्र जिससे वह संबंधित है:

परिमाप

परिधि एक सपाट ज्यामितीय आकृति की एक बंद सीमा है जो इसके आंतरिक क्षेत्र को बाहरी क्षेत्र से अलग करती है।

किसी भी बंद ज्यामितीय आकृति का परिमाप होता है:

आकृति में, परिधि को एक लाल रेखा से चिह्नित किया गया है। ध्यान दें कि एक वृत्त की परिधि को अक्सर लंबाई के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिधि को लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है: मिमी, सेमी, डीएम, मी, किमी।

सभी बहुभुजों के लिए, परिमाप ज्ञात करना सभी भुजाओं की लंबाई को जोड़ने के लिए घटाया जाता है, अर्थात बहुभुज का परिमाप हमेशा उसकी भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होता है। परिधि की गणना करते समय, इसे अक्सर बड़े लैटिन अक्षर P द्वारा दर्शाया जाता है:

वर्ग

क्षेत्रफल समतल का वह भाग है जिस पर एक बंद समतल ज्यामितीय आकृति रहती है।

किसी भी समतल बंद ज्यामितीय आकृति का एक निश्चित क्षेत्रफल होता है। रेखाचित्रों में, ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्र आंतरिक क्षेत्र होता है, अर्थात विमान का वह भाग जो परिधि के अंदर होता है।

माप क्षेत्रआंकड़े - इसका मतलब यह पता लगाना है कि माप की एक इकाई के रूप में ली गई किसी दिए गए आंकड़े में कितनी बार एक और आंकड़ा रखा गया है। आमतौर पर, एक वर्ग को क्षेत्र माप की एक इकाई के रूप में लिया जाता है, जिसमें पक्ष लंबाई माप की इकाई के बराबर होता है: मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर, आदि।

आंकड़ा एक वर्ग सेंटीमीटर दिखाता है। - एक वर्ग जिसकी प्रत्येक भुजा 1 सेमी लंबी हो:

क्षेत्रफल को लंबाई की वर्ग इकाइयों में मापा जाता है। क्षेत्र इकाइयों में शामिल हैं: मिमी 2, सेमी 2, मी 2, किमी 2, आदि।

वर्ग इकाई रूपांतरण तालिका

	मिमी 2	सेमी 2	डीएम 2	मी 2	एआर (बुनाई)	हेक्टेयर (हेक्टेयर)	किमी 2
मिमी 2	1 मिमी 2	0.01 सेमी2	10 -4 डीएम 2	10 -6 मीटर 2	10 -8 अर	10 -10 हेक्टेयर	10 -12 किमी 2
सेमी 2	100 मिमी 2	1 सेमी 2	0.01 डीएम 2	10 -4 मीटर 2	10 -6 हैं	10 -8 हेक्टेयर	10 -10 किमी 2
डीएम 2	10 4 मिमी 2	100 सेमी 2	1 डीएम 2	0.01 एम2	10 -4 एआर	10 -6 हेक्टेयर	10 -8 किमी 2
मी 2	10 6 मिमी 2	10 4 सेमी 2	100 डीएम 2	1 मीटर 2	0.01 हैं	10 -4 हेक्टेयर	10 -6 किमी 2
एआर	10 8 मिमी 2	10 6 सेमी 2	10 4 डीएम 2	100 एम2	1 हैं	0.01 हेक्टेयर	10 -4 किमी 2
हा	10 10 मिमी 2	10 8 सेमी 2	10 6 डीएम 2	10 4 मी 2	100 हैं	1 हेक्टेयर	0.01 किमी2
किमी 2	10 12 मिमी 2	10 10 सेमी 2	10 8 डीएम 2	10 6 मी 2	10 4 अर	100 हेक्टेयर	1 किमी 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

छात्र प्राथमिक विद्यालय में परिधि का पता लगाना सीखते हैं। फिर इस जानकारी का लगातार गणित और ज्यामिति के पाठ्यक्रम में उपयोग किया जाता है।

सभी आंकड़ों के लिए सामान्य सिद्धांत

पार्टियों को आमतौर पर लैटिन अक्षरों में दर्शाया जाता है। इसके अलावा, उन्हें खंडों के रूप में नामित किया जा सकता है। फिर आपको प्रत्येक पक्ष के लिए दो अक्षरों की आवश्यकता होगी और बड़े अक्षरों में लिखे जाएंगे। या एक अक्षर के साथ पदनाम दर्ज करें, जो अनिवार्य रूप से छोटा होगा।
अक्षरों को हमेशा वर्णानुक्रम में चुना जाता है। एक त्रिभुज के लिए, वे पहले तीन होंगे। षट्भुज में उनमें से 6 होंगे - ए से एफ तक। यह सूत्रों को दर्ज करने के लिए उपयोगी है।

अब परिधि कैसे ज्ञात करें के बारे में। यह आकृति के सभी पक्षों की लंबाई का योग है। पदों की संख्या इसके प्रकार पर निर्भर करती है। परिधि को लैटिन अक्षर P द्वारा दर्शाया गया है। माप की इकाइयाँ वही हैं जो भुजाओं के लिए दी गई हैं।

विभिन्न आकृतियों के लिए परिधि सूत्र

त्रिभुज के लिए: P \u003d a + b + c। यदि यह समद्विबाहु है, तो सूत्र परिवर्तित होता है: P \u003d 2a + c। यदि त्रिभुज समबाहु है तो उसका परिमाप कैसे ज्ञात करें? इससे मदद मिलेगी: पी \u003d 3 ए।

एक मनमाना चतुर्भुज के लिए: P=a+b+c+d. इसका विशेष मामला वर्ग है, परिधि सूत्र: पी = 4 ए। एक आयत भी है, तो निम्नलिखित समानता की आवश्यकता है: पी \u003d 2 (ए + बी)।

क्या होगा यदि आप त्रिभुज के एक या अधिक पक्षों की लंबाई नहीं जानते हैं?

कोसाइन प्रमेय का उपयोग करें यदि डेटा के बीच दो पक्ष हैं और उनके बीच का कोण है, जिसे अक्षर ए द्वारा दर्शाया गया है। फिर, परिधि को खोजने से पहले, आपको तीसरी तरफ की गणना करनी होगी। इसके लिए निम्न सूत्र उपयोगी है: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A)।

इस प्रमेय का एक विशेष मामला एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस द्वारा तैयार किया गया है। इसमें, समकोण की कोज्या का मान शून्य के बराबर हो जाता है, जिसका अर्थ है कि अंतिम पद बस गायब हो जाता है।

ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब आप यह पता लगा सकते हैं कि एक तरफ त्रिभुज का परिमाप कैसे ज्ञात किया जाए। लेकिन साथ ही, आकृति के कोण भी ज्ञात होते हैं। यहां साइन प्रमेय बचाव के लिए आता है, जब पक्षों की लंबाई और संबंधित विपरीत कोणों की ज्या का अनुपात बराबर होता है।

ऐसी स्थिति में जहां किसी आकृति का परिमाप क्षेत्रफल के आधार पर ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, अन्य सूत्र काम में आएंगे। उदाहरण के लिए, यदि अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात है, तो त्रिभुज की परिधि कैसे ज्ञात की जाए, इस प्रश्न में, निम्न सूत्र उपयोगी है: S \u003d p * r, यहाँ p अर्ध-परिधि है। इसे इस सूत्र से प्राप्त किया जाना चाहिए और दो से गुणा किया जाना चाहिए।

कार्य उदाहरण

पहली शर्त।एक त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 3, 4 और 5 सेमी हैं।
समाधान।आपको ऊपर बताई गई समानता का उपयोग करने की आवश्यकता है, और बस डेटा को मूल्य कार्य में इसमें स्थानापन्न करें। गणना आसान है, वे संख्या 12 सेमी तक ले जाते हैं।
उत्तर।एक त्रिभुज का परिमाप 12 सेमी.

दूसरी शर्त।त्रिभुज की एक भुजा 10 सेमी है यह ज्ञात है कि दूसरा पहले से 2 सेमी बड़ा है, और तीसरा पहले से 1.5 गुना बड़ा है। इसकी परिधि की गणना करना आवश्यक है।
समाधान. यह पता लगाने के लिए, आपको दो पक्षों को गिनना होगा। दूसरे को 10 और 2 के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, तीसरा 10 और 1.5 के गुणनफल के बराबर है। फिर यह केवल तीन मानों का योग गिनने के लिए रहता है: 10, 12 और 15। परिणाम 37 सेमी होगा।
उत्तर।परिधि 37 सेमी है।

तीसरी शर्त।एक आयत और एक वर्ग है। आयत की एक भुजा 4 सेमी और दूसरी 3 सेमी लंबी है। वर्ग की भुजा के मान की गणना करना आवश्यक है यदि इसका परिमाप आयत के परिमाप से 6 सेमी कम है।
समाधान।आयत की दूसरी भुजा 7 है। इसे जानकर इसकी परिधि की गणना करना आसान है। गणना 22 सेमी देती है।
वर्ग की भुजा ज्ञात करने के लिए, आपको पहले आयत के परिमाप से 6 घटाना होगा, और फिर परिणामी संख्या को 4 से भाग देना होगा। नतीजतन, हमारे पास संख्या 4 है।
उत्तर।वर्ग की भुजा 4 सेमी.

परिमापआकृति इसके सभी पक्षों की लंबाई है। सभी आकृतियों का परिमाप नहीं होता, उदाहरण के लिए, गेंद का परिमाप नहीं होता। मानक पदनाम गणित में परिधि -पत्र पी

एक वर्ग का परिमाप

माना वर्ग की भुजा की लंबाई a है। एक वर्ग की चार बराबर भुजाएँ होती हैं, इसलिए वर्ग की परिधिपी = ए + ए + ए + ए या है:

एक आयत का परिमाप

माना आयत की भुजाओं की लंबाई a और b है।
इसकी सभी भुजाओं की लंबाई P = a + b + a + b या है:

समांतर चतुर्भुज परिधि

माना समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई a और b
इसकी सभी भुजाओं की लंबाई P = a + b + a + b है, इसलिए समांतर चतुर्भुज का परिमाप है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप के बराबर होता है।

समद्विबाहु समलम्बाकार का परिमाप

माना समलम्ब चतुर्भुज a और b की समानांतर भुजाओं की लंबाई और अन्य दो भुजाओं की लंबाई c के बराबर है (जैसा कि आप जानते हैं, एक समद्विबाहु समलम्ब की दो समान भुजाएँ होती हैं)।

पी = ए + बी + सी + सी = ए + बी + 2सी

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप

जैसा कि आप जानते हैं, एक समबाहु त्रिभुज की 3 बराबर भुजाएँ होती हैं। यदि भुजा की लंबाई a है, तो परिमाप ज्ञात करने का सूत्र P = a + a + a . है

बॉक्स की परिधि

एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है, जिसके सभी पक्ष समांतर चतुर्भुज होते हैं। (घनाभ एक ऐसी आकृति है जिसकी भुजाएँ आयत हैं।)
यदि आधार की भुजाओं की लंबाई a और b है तो आधार का परिमाप P = 2a + 2b है। प्रत्येक बॉक्स में दो आधार होते हैं, इसलिए दो आधारों का परिमाप (2a + 2b).2 = 4a + 4b है। जैसा कि हम जानते हैं, पैरामीटर सभी पक्षों का योग है। तो हमें चार गुना c . जोड़ना होगा

पी = 4ए + 4बी + 4सी

घन परिधि

एक घन एक समानांतर चतुर्भुज है, जिसकी सभी भुजाएँ वर्ग हैं (सभी भुजाएँ समान हैं)।
फिर, एक घन का परिमाप भुजाओं की संख्या * लंबाई है।
प्रत्येक घन में 12 भुजाएँ होती हैं।
तब, घन का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र है:

जहाँ a इसकी भुजा की लंबाई है।

विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों का परिमाप कैसे ज्ञात करें

विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों की परिधि को खोजने का तरीका समझने में परेशानी हो रही है? ज्योमेट्री को पहले से कहीं ज्यादा आसान बनाकर बिजनेस साइट आपके बचाव में आती है! आनंद तथ्य पृथ्वी की परिधि या परिधि 24,901 मील है, i. इ। लगभग 40.075 किमी गणित में ज्यामिति, आकार, आकार, सापेक्ष स्थिति, अंतरिक्ष में आंकड़ों का त्रि-आयामी अभिविन्यास माना जाता है। यह आंकड़ों के तीन बुनियादी आयामों से संबंधित है: क्षेत्रफल, आयतन और परिधि।

क्षेत्रफल एक द्वि-आयामी आकृति या आकृति की सीमा का माप है; एक सतह को किसी वस्तु की सतह की सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यह किसी वस्तु के पास 3D अंतरिक्ष में एक माप है।

परिधि को केवल एक पथ की लंबाई के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो दो-आयामी आकार को घेरता है। दूसरे शब्दों में, यह आकृति के चारों ओर की दूरी है। आइए अब देखें कि विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों का परिमाप कैसे ज्ञात करें।

अनुक्रमणिका
वर्ग
आयत
एक क्षेत्र में
आधा गोला

क्षेत्र
त्रिकोण
समलम्बाकार
बहुभुज
वर्ग
एक वर्ग एक चतुर्भुज होता है जिसमें चारों भुजाएँ और चार कोण बराबर (सभी 90°) होते हैं।

उदाहरण: 5 सेमी भुजा वाले एक वर्ग का परिमाप ज्ञात करने के लिए हम आकृति में दर्शाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।
पी = ए + ए + ए + ए
पी = 5 + 5 + 5 + 5
पी = 20 सेमी
समचतुर्भुज के परिमाप की गणना के लिए इसी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।
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आयत
आयत एक चतुर्भुज होता है जिसके चारों कोण बराबर (सभी 90°) होते हैं। एक आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं (जबकि आसन्न भुजाएँ नहीं होती हैं)।

उदाहरण: एक आयत का परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम चित्र में दर्शाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।
एल = 15 सेमी
बी = 25 सेमी
पी = 2 (15 + 25)
पी = 2 (40)
आर = 80 सेमी
आप समांतर चतुर्भुज की परिधि ज्ञात करने के लिए उसी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
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एक क्षेत्र में
एक वृत्त को एक विशेष बिंदु (केंद्र के रूप में जाना जाता है) से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है। एक वृत्त की परिधि को एक वृत्त कहा जाता है, जिसे c से निरूपित किया जाता है।

उदाहरण: एक वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए, हम चित्र में दर्शाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।
अगर सी = 2πR और d
सी = 2 x 3.14 x 7 या 3.14 x 14
सी = 43.96 सेमी
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आधा गोला
एक अर्धवृत्त, दूसरे शब्दों में, आधा वृत्त, इसका परिमाप इस वृत्त का आधा होगा।

उदाहरण: अर्धवृत्त का परिमाप ज्ञात करने के लिए हम चित्र में दर्शाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।
पी = 7 सेमी या डी = 14 सेमी (डी = पी + पी)
पी \u003d R और d / 2
आर = 2 x 3.14 x 7 या 3.14 x 14/2
पी = 21.98 सेमी
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क्षेत्र
एक सेक्टर को एक सर्कल के हिस्से के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

उदाहरण: किसी त्रिज्यखंड का परिमाप ज्ञात करने के लिए हम आकृति में दर्शाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

= 60°
पी = 7 सेमी
पी \u003d 60/360 एक्स 2 एक्स 3. 14 x 7
आर = 7.33 सेमी
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त्रिकोण
त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष होते हैं। आइए इसकी परिधि निर्धारित करने के लिए तीन मामलों पर विचार करें।

एक। जब तीनों पक्षों को जाना जाता है।

त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए हम चित्र में दर्शाए गए सूत्र का प्रयोग करते हैं।
ए = 14 सेमी
बी = 16 सेमी
सी = 15 सेमी
पी = 14 + 16 + 15
पी = 45 सेमी
बी। एक समकोण त्रिभुज के लिए यदि उसका कर्ण अज्ञात है।

एक समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम चित्र में दर्शाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।
बी = 3 सेमी
एच = 4 सेमी
पी \u003d बी + एच + बी 2 + एच 2
पी \u003d 3 + 4 + 32 + 4 2
पी = 3 + 4 + 5
पी = 12 सेमी

यदि कोई अन्य पक्ष अज्ञात है, तो पहले पक्ष को खोजने के लिए पाइथागोरस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और फिर परिधि की गणना कर सकते हैं।
साथ। किसी अन्य त्रिभुज के लिए, जब केवल दो भुजाएँ और एक कोण ज्ञात हो।

सबसे पहले हमें कोज्या के नियम का उपयोग करके भुजा की लंबाई ज्ञात करनी होगी,
जब A, B, और C एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं, और a, b, और C में क्रमशः भुजाओं A, B और C के विपरीत कोण हैं, तो हम अज्ञात भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं (जैसे, ग) सूत्र द्वारा:

सी 2 \u003d ए 2 + बी 2 - 2 में। बी क्योंकि (सी)

उदाहरण के लिए
ए = 4 सेमी
बी = 2 सेमी
सी2 \u003d 4 2 + 2 2 - 2 4. 2 कॉस (45)
सी2 = 16 + 4 - 2 (0.876)
सी2 = 20 - 1.752
सी2 = 18.284
सी = 4. 272 सेमी

पी = ए + बी + सी
पी = 4 + 2 + 4.272
पी = 10.272 सेमी
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समलम्ब
एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें कम से कम एक जोड़ी समानांतर रेखाएँ होती हैं। समांतर रेखाओं को समलम्ब चतुर्भुज का आधार कहा जाता है, और दूसरे पक्ष को समलम्ब चतुर्भुज के पैर के रूप में नहीं जाना जाता है। समांतर रेखाओं के बीच की दूरी को समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कहते हैं।
आइए परिधि को खोजने के लिए तीन अलग-अलग परिदृश्य देखें।

एक। जब सभी पार्टियों को पता है।

ए = 4 सेमी
बी = 16 सेमी
सी = 5 सेमी
डी = 8 सेमी
पी = 4 + 16 + 5 + 8
पी = 33 सेमी
बी। जब इसकी भुजाएँ (पैर) अज्ञात हों।

एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए हम चित्र में दर्शाए गए सूत्र का प्रयोग करते हैं।
बी = 16 सेमी
एच = 3 सेमी
डी = 8 सेमी
पी = बी + डी + एच
1
+
1
पाप (एस)
पाप (ए)

पी = 16 + 8 + 3
1
+
1
पाप(53)
पाप(45)

पी = 16 + 8 + 33.3
पी = 57.3 सेमी
साथ। जब आधार और ऊंचाई में से कोई एक अज्ञात हो।

कल्पना कीजिए कि यदि हम समलम्ब चतुर्भुज को दो भुजाओं से इस प्रकार काटें कि आधारों की लंबाई समान हो, और जब हम कटे हुए भाग को जोड़ते हैं, तो हमें एक त्रिभुज प्राप्त होता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

जब और ∠c बराबर हों; तीनों कोण 60° हैं। यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है, और इसलिए जब एक भुजा की लंबाई को आधार में जोड़ा जाता है, तो हमें बड़े आधार की लंबाई प्राप्त होती है।
जब कोण बराबर हों; कोणों का योग 180° घटाया जाता है।

इस त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है
ए \u003d ½ एक्स एक्स एक्स पाप (बी)
एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए,
ए = 4 सेमी
सी = 6 सेमी
डी = 11 सेमी
ए = 53°
सी = 65°
∠ बी = 78°
क्षेत्रफल = ½ x 4 x 6 x पाप 78
क्षेत्रफल = 6.12 सेमी2
त्रिभुज आधार =
वर्ग
½ x x पाप

आधार =
6. 12
½ x 4 x पाप (65)

आधार =
6. 12
2 एक्स 0.826

आधार = 3.70 सेमी
समलम्ब चतुर्भुज का आधार = 11 + 3.70 = 14.70 सेमी

अब हमारे पास समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ और आधार हैं, हम परिमाप ज्ञात कर सकते हैं।
पी = 14. 7 + 4 + 6 + 11
पी = 35.7 सेमी
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बहुभुज
कोई भी बंद आकृति, जहां खंड एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, एक बहुभुज की ओर जाता है। एक बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 360° होता है, और उनकी भुजाओं की संख्या के अनुसार उनके नाम रखे जाते हैं।

एक। एक नियमित बहुभुज में सभी समान भुजाएँ होती हैं, इसलिए जब भुजाओं की संख्या और प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात हो, तो आकृति में दिखाए गए सूत्र का उपयोग करके बहुभुज की परिधि की गणना की जा सकती है।

उदाहरण: यदि एक षट्भुज की भुजाएँ 5 सेमी लंबी हैं, तो उसके परिमाप की गणना नीचे दर्शाए अनुसार की जा सकती है।
n = 6 (एक षट्भुज की छह भुजाएँ होती हैं)
सी = 5 सेमी
पी = 6 x 5
आर = 30 सेमी
बी। जब बहुभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात न हो, तो उसके परिमाप की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जा सकती है।

एक्स = 2 एक्स टैन (180/पी)
यहाँ एक-एपोथेम है।
एपोथेम बहुभुज के केंद्र से भुजा के मध्य तक का एक खंड है।

एस = 2 एक्स आर एक्स टैन (180/पी)
आर-त्रिज्या।
एक नियमित बहुभुज के केंद्र से किसी भी शीर्ष की दूरी।

उदाहरण: 4 सेमी एपोथेम षट्भुज पर, इसकी भुजा की गणना नीचे दर्शाए अनुसार की जा सकती है।
सी = 2 एक्स 4 एक्स टैन (180/6)
एक्स = 8 एक्स टैन (30)
एस = 8 x 0.58
एस = 4.62 सेमी

पी = 6 x 4.62 = 27.71 सेमी

4 सेमी त्रिज्या वाले एक षट्भुज के लिए, इसकी भुजा की गणना नीचे दर्शाए अनुसार की जा सकती है।
x = 2 x 4 x पाप (180/6)
एस = 8 एक्स पाप (30)
एस = 8 x 0.5
एस = 4.00 सेमी

पी = 6 x 4. 00 = 24 सेमी
साथ। एक अनियमित बहुभुज के लिए, यदि इसकी सभी भुजाएँ समान हैं, तो हम इसकी सभी भुजाओं की लंबाई जोड़कर इसकी परिधि की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण: छह भुजाओं वाला एक अनियमित बहुभुज
सी1 = 8 सेमी
सी2 = 6 सेमी
सी3 = 4 सेमी
सी 4 = 7 सेमी
सी5 = 5 सेमी
C6 = 4 सेमी

पी \u003d C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
पी \u003d 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
पी = 36 सेमी
अनुक्रमणिका पर वापस जाएं
हम जानते हैं कि ज्यामिति पहली बार में थोड़ी मुश्किल हो सकती है (हम पर विश्वास करें, हम जानते हैं), लेकिन अभ्यास करते रहें और आप निश्चित रूप से हर कोशिश के साथ बेहतर होते जाएंगे।

कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एक आयत की परिधि को खोजने की क्षमता बहुत महत्वपूर्ण है। नीचे विभिन्न आयतों का परिमाप ज्ञात करने का तरीका बताया गया है।

एक नियमित आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें

एक नियमित आयत एक चतुर्भुज होता है जिसकी समानांतर भुजाएँ समान होती हैं और सभी कोण = 90º होते हैं। इसकी परिधि ज्ञात करने के 2 तरीके हैं:

सभी पक्षों को जोड़ें।

एक आयत के परिमाप की गणना कीजिए, यदि उसकी चौड़ाई 3 सेमी है और उसकी लंबाई 6 है।

समाधान (कार्यों और तर्कों का क्रम):

चूँकि हम आयत की चौड़ाई और लंबाई जानते हैं, इसलिए इसका परिमाप ज्ञात करना कठिन नहीं है। चौड़ाई चौड़ाई के समानांतर है, और लंबाई लंबाई है। इस प्रकार, एक नियमित आयत में, 2 चौड़ाई और 2 लंबाई होती है।
सभी पक्षों को जोड़ें (3 + 3 + 6 + 6) = 18 सेमी।

उत्तर: पी = 18 सेमी।

दूसरा तरीका इस प्रकार है:

आपको चौड़ाई और लंबाई जोड़ने और 2 से गुणा करने की आवश्यकता है। इस विधि का सूत्र इस प्रकार है: 2 × (a + b), जहाँ a चौड़ाई है, b लंबाई है।

इस कार्य के भाग के रूप में, हमें निम्नलिखित समाधान मिलते हैं:

2x(3 + 6) = 2x9 = 18.

उत्तर: पी = 18।

आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें - वर्ग

एक वर्ग एक नियमित चतुर्भुज है। सही है क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर हैं। इसकी परिधि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

इसके सभी पक्षों को जोड़ें।
इसकी भुजा को 4 से गुणा करें।

उदाहरण: एक वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि उसकी भुजा = 5 सेमी.

सभी आंकड़ों के लिए सामान्य सिद्धांत

विभिन्न आकृतियों के लिए परिधि सूत्र

क्या होगा यदि आप त्रिभुज के एक या अधिक पक्षों की लंबाई नहीं जानते हैं?

कार्य उदाहरण

ज्यामितीय आकृतियों की परिधि और क्षेत्र का निर्धारण एक महत्वपूर्ण कार्य है जो कई व्यावहारिक या रोजमर्रा की समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होता है। यदि आपको वॉलपेपर चिपकाने, बाड़ लगाने, पेंट या टाइलों की खपत की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको निश्चित रूप से ज्यामितीय गणनाओं से निपटना होगा।

सूचीबद्ध रोज़मर्रा के मुद्दों को हल करने के लिए, आपको विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के साथ काम करना होगा। हम आपको ऑनलाइन कैलकुलेटर की एक सूची प्रस्तुत करते हैं जो आपको सबसे लोकप्रिय विमान के आंकड़ों के मापदंडों की गणना करने की अनुमति देता है। आइए उन पर विचार करें।

एक क्षेत्र में

विशेष स्थितियां

समान भुजाओं वाला एक चतुर्भुज। एक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज बन जाता है यदि उसके विकर्ण 90 डिग्री पर प्रतिच्छेद करते हैं और उनके कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

यह समकोण वाला एक समांतर चतुर्भुज है। इसके अलावा, एक समांतर चतुर्भुज को एक आयत माना जाता है यदि इसकी भुजाएँ और विकर्ण पाइथागोरस प्रमेय की शर्तों को पूरा करते हैं।

यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं और सभी कोण समान होते हैं। एक वर्ग के विकर्ण एक आयत और एक समचतुर्भुज के विकर्णों के गुणों को पूरी तरह से दोहराते हैं, जो वर्ग को एक अद्वितीय आकृति बनाता है जो अधिकतम समरूपता की विशेषता है।

बहुभुज

एक नियमित बहुभुज एक समतल पर एक उत्तल आकृति है जिसमें समान भुजाएँ और समान कोण होते हैं। पक्षों की संख्या के आधार पर बहुभुज के अपने नाम होते हैं:

- पंचकोण;
- षट्भुज;
आठ - अष्टकोना;
बारह - डोडेकागन।

और इसी तरह। जियोमीटर मजाक करते हैं कि एक वृत्त एक बहुभुज है जिसमें अनंत कोण होते हैं। हमारे कैलकुलेटर को केवल नियमित बहुभुजों की परिधि और क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए प्रोग्राम किया गया है। यह सभी नियमित बहुभुजों के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग करता है। परिधि की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

जहाँ n बहुभुज की भुजाओं की संख्या है, a भुजा की लंबाई है।

क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाता है:

एस = एन / 4 × ए ^ 2 × सीटीजी (पीआई / एन)।

उपयुक्त n को प्रतिस्थापित करते हुए, हम किसी भी नियमित बहुभुज के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें एक समबाहु त्रिभुज और एक वर्ग भी शामिल है।

वास्तविक जीवन में बहुभुज बहुत आम हैं। तो एक पेंटागन का आकार अमेरिकी रक्षा विभाग की इमारत है - पेंटागन, एक षट्भुज - मधुकोश या बर्फ के टुकड़े क्रिस्टल, एक अष्टकोण - सड़क के संकेत। इसके अलावा, कई प्रोटोजोआ, जैसे कि रेडिओलेरियन, में नियमित बहुभुज का आकार होता है।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

आइए वास्तविक जीवन की गणनाओं में हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

बाड़ पेंटिंग

भूतल पेंटिंग और पेंट गणना कुछ सबसे स्पष्ट रोजमर्रा के कार्य हैं जिनमें न्यूनतम गणितीय गणना की आवश्यकता होती है। अगर हमें 1.5 मीटर ऊंचे और 20 मीटर लंबे बाड़ को पेंट करने की आवश्यकता है, तो हमें पेंट के कितने डिब्बे चाहिए? ऐसा करने के लिए, आपको बाड़ के कुल क्षेत्रफल और 1 वर्ग मीटर में पेंट और वार्निश की खपत का पता लगाने की आवश्यकता है। हम जानते हैं कि तामचीनी की खपत 130 ग्राम प्रति मीटर है। अब आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करके बाड़ के क्षेत्र का निर्धारण करते हैं। यह S = 30 वर्ग मीटर होगा। स्वाभाविक रूप से, हम दोनों तरफ बाड़ को पेंट करेंगे, इसलिए पेंटिंग का क्षेत्र बढ़कर 60 वर्ग हो जाएगा। फिर हमें 60 × 0.13 = 7.8 किलोग्राम पेंट, या 2.8 किलोग्राम के तीन मानक डिब्बे चाहिए।

फ्रिंज ट्रिम

सिलाई एक अन्य उद्योग है जिसके लिए व्यापक ज्यामितीय ज्ञान की आवश्यकता होती है। मान लीजिए हमें एक स्कार्फ को फ्रिंज करने की आवश्यकता है, जो कि 150, 100, 75 और 75 सेमी के पक्षों के साथ एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। फ्रिंज खपत की गणना करने के लिए, हमें समलम्ब चतुर्भुज की परिधि को जानना होगा। यहीं पर ऑनलाइन कैलकुलेटर काम आता है। यह सेल डेटा दर्ज करें और उत्तर प्राप्त करें:

इस प्रकार, स्कार्फ को खत्म करने के लिए हमें 4 मीटर फ्रिंज की आवश्यकता होती है।

निष्कर्ष

सपाट आंकड़े आसपास की वास्तविक दुनिया का निर्माण करते हैं। हम अक्सर स्कूल में खुद से सवाल पूछते हैं, क्या भविष्य में ज्यामिति हमारे लिए उपयोगी होगी? उपरोक्त उदाहरणों से पता चलता है कि दैनिक जीवन में गणित का लगातार उपयोग किया जाता है। और यदि एक आयत का क्षेत्रफल हमें ज्ञात है, तो दोडेकागन के क्षेत्रफल की गणना करना एक कठिन कार्य हो सकता है। स्कूल के सत्रीय कार्यों या रोजमर्रा की समस्याओं को हल करने के लिए कैलकुलेटर के हमारे कैटलॉग का उपयोग करें।

गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक आयत का परिमाप है। इस विषय पर कई समस्याएं हैं, जिनका समाधान परिधि सूत्र और इसकी गणना करने के कौशल के बिना नहीं हो सकता।

मूल अवधारणा

आयत एक चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण समकोण होते हैं और विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समान और समानांतर होती हैं। हमारे जीवन में, कई आकृतियाँ एक आयत के आकार की होती हैं, उदाहरण के लिए, एक मेज की सतह, एक नोटबुक, इत्यादि।

एक उदाहरण पर विचार करें:भूमि की सीमाओं के साथ एक बाड़ लगाई जानी चाहिए। प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें मापने की आवश्यकता है।

चावल। 1. एक आयत के आकार में भूमि भूखंड।

भूमि भूखंड की लंबाई 2 मीटर, 4 मीटर, 2 मीटर, 4 मीटर है। इसलिए, बाड़ की कुल लंबाई का पता लगाने के लिए, आपको सभी पक्षों की लंबाई जोड़नी होगी:

2+2+4+4= 2 2+4 2 =(2+4) 2 =12 मी.

यह वह मान है जिसे आम तौर पर परिधि कहा जाता है। इस प्रकार, परिधि को खोजने के लिए, आपको आकृति के सभी पक्षों को जोड़ना होगा। P अक्षर का प्रयोग परिमाप को निरूपित करने के लिए किया जाता है।

एक आयताकार आकृति की परिधि की गणना करने के लिए, आपको इसे आयतों में विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, आपको केवल इस आकृति के सभी पक्षों को एक शासक (टेप माप) के साथ मापने और उनका योग खोजने की आवश्यकता है।

एक आयत का परिमाप मिमी, सेमी, मी, किमी आदि में मापा जाता है। यदि आवश्यक हो, तो कार्य में डेटा को उसी माप प्रणाली में परिवर्तित कर दिया जाता है।

एक आयत की परिधि को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है: मिमी, सेमी, मी, किमी, और इसी तरह। यदि आवश्यक हो, तो कार्य में डेटा को माप की एक प्रणाली में बदल दिया जाता है।

आकार परिधि सूत्र

यदि हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हैं कि एक आयत की सम्मुख भुजाएँ समान हैं, तो हम आयत के परिमाप के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

$P = (a+b) * 2$, जहाँ a, b आकृति की भुजाएँ हैं।

चावल। 2. आयत, विपरीत पक्षों के साथ चिह्नित।

परिधि को खोजने का एक और तरीका है। यदि कार्य केवल एक पक्ष और आकृति का क्षेत्र दिया गया है, तो आप क्षेत्र के माध्यम से दूसरे पक्ष को व्यक्त करने के लिए उपयोग कर सकते हैं। तब सूत्र इस तरह दिखेगा:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, जहां S आयत का क्षेत्रफल है।

चावल। 3. भुजाओं a, b के साथ आयत।

व्यायाम : एक आयत का परिमाप परिकलित करें यदि उसकी भुजाएँ 4 सेमी और 6 सेमी हैं।

समाधान:

हम सूत्र $P = (a+b)*2$ . का उपयोग करते हैं

$P = (4+6)*2=20 सेमी$

अत: आकृति का परिमाप $P = 20 cm$ है।

चूँकि परिमाप किसी आकृति की सभी भुजाओं का योग होता है, अर्ध-परिधि केवल एक लंबाई और चौड़ाई का योग होता है। परिधि प्राप्त करने के लिए अर्ध-परिधि को 2 से गुणा करें।

क्षेत्रफल और परिमाप किसी भी आकृति को मापने की दो बुनियादी अवधारणाएँ हैं। उन्हें भ्रमित नहीं होना चाहिए, हालांकि वे संबंधित हैं। यदि आप क्षेत्रफल बढ़ाते या घटाते हैं, तो, तदनुसार, इसकी परिधि बढ़ेगी या घटेगी।

हमने क्या सीखा?

हमने सीखा है कि एक आयत का परिमाप कैसे ज्ञात किया जाता है। और इसकी गणना के सूत्र से भी परिचित हुए। इस विषय का सामना न केवल गणितीय समस्याओं को हल करते समय किया जा सकता है, बल्कि वास्तविक जीवन में भी किया जा सकता है।

विषय प्रश्नोत्तरी

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परिमाप

वर्ग

वर्ग इकाई रूपांतरण तालिका

सभी आंकड़ों के लिए सामान्य सिद्धांत

विभिन्न आकृतियों के लिए परिधि सूत्र

क्या होगा यदि आप त्रिभुज के एक या अधिक पक्षों की लंबाई नहीं जानते हैं?

कार्य उदाहरण

एक वर्ग का परिमाप

एक आयत का परिमाप

समांतर चतुर्भुज परिधि

समद्विबाहु समलम्बाकार का परिमाप

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप

बॉक्स की परिधि

घन परिधि

एक नियमित आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें

आयत का परिमाप कैसे ज्ञात करें - वर्ग

सभी आंकड़ों के लिए सामान्य सिद्धांत

विभिन्न आकृतियों के लिए परिधि सूत्र

क्या होगा यदि आप त्रिभुज के एक या अधिक पक्षों की लंबाई नहीं जानते हैं?

कार्य उदाहरण

एक क्षेत्र में

विशेष स्थितियां

बहुभुज

वास्तविक जीवन के उदाहरण

बाड़ पेंटिंग

फ्रिंज ट्रिम

निष्कर्ष

मूल अवधारणा

आकार परिधि सूत्र

हमने क्या सीखा?

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