हम अक्सर एक ही समय में कई घटनाओं के घटित होने की संभावना में रुचि रखते हैं, जैसे कि दो सिक्के उछालने पर दो शीर्ष, या दो पासा रोल पर कम से कम एक छक्का। ऐसी स्थितियों को कहा जाता है कई संभावित परिणामों के साथ स्थितियां।

ट्री डायग्राम का उपयोग करना

यद्यपि यह समझना काफी आसान है कि एक निष्पक्ष सिक्के के एक बार पलटने पर चित आने की प्रायिकता है?, एक निष्पक्ष सिक्के के चार बार उछालने पर चार शीर्षों की प्रायिकता को सहज रूप से निर्धारित करना कुछ अधिक कठिन है। हालांकि सिक्का उदाहरण कृत्रिम लग सकता है, यह कई प्रयासों पर संभावनाओं के संयोजन की व्याख्या करने के लिए उपयुक्त है। चलो गणना करते हैं। (मेरे तर्क का पालन करें, भले ही आप गणित से बहुत डरते हों। यदि आप उदाहरणों के माध्यम से काम करते हैं, तो गणना और गणितीय तर्क आपको काफी सरल लगेंगे। अगले कुछ नंबरों को देखने के बाद चिल्लाने की आवश्यकता नहीं है: "नहीं, कोई रास्ता नहीं , मैं इसे अभी छोड़ दूंगा संख्याओं और संख्याओं के बारे में सोचने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है।)

पहले रोल पर, दो संभावित परिणामों में से केवल एक ही हो सकता है; सिर (ओ) या पूंछ (पी)। यदि एक सिक्के को दो बार उछाला जाए तो क्या होता है? चार संभावित परिणाम हैं: दोनों बार सिर (ओओ), पहली बार सिर और दूसरी बार पूंछ (ओआर), पहली बार पूंछ और दूसरी बार (आरओ), और दोनों बार (आरआर) पूंछ। चूंकि चार संभावित परिणाम हैं और दो शीर्ष प्राप्त करने का केवल एक ही तरीका है, इस घटना की संभावना 1/4 है (फिर से, हम मानते हैं कि सिक्का "निष्पक्ष" है, यानी हेड और टेल समान रूप से होने की संभावना है)। किसी भी स्थिति में कई घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना की गणना के लिए एक सामान्य नियम है - नियम "और"। यदि आप पहले के सह-घटना की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं तथादूसरी घटना (पहले पर ईगल तथादूसरे फेंक पर), हमें इन घटनाओं की संभावनाओं को अलग से गुणा करना होगा। "और" नियम को लागू करने पर, हम पाते हैं कि एक सिक्के को दो बार उछालने पर दो पट आने की प्रायिकता बराबर होती है? एक्स? = 1/4। सहज रूप से, ऐसा लगता है कि दो घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना उनमें से प्रत्येक की अलग-अलग संभावना से कम होनी चाहिए; तो यह पता चला है।

इस संभावना की गणना करने का एक आसान तरीका सभी संभावित घटनाओं का प्रतिनिधित्व करके प्राप्त किया जाता है वृक्षारेख।अध्याय 4 में वृक्ष आरेखों का उपयोग किया गया था जब हमने "if...then..." कथनों की वैधता का परीक्षण किया था। इस अध्याय में, हम परिणामों के विभिन्न संयोजनों की संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए पेड़ की शाखाओं को संभाव्य मान निर्दिष्ट करेंगे। बाद के अध्यायों में, जब मैं समस्याओं के रचनात्मक समाधान खोजने के तरीकों को देखूंगा, तो मैं वृक्ष आरेखों पर लौटूंगा।

जब कोई सिक्का पहली बार उछाला जाता है, तो वह या तो चित या पट पर उतरेगा। एक "निष्पक्ष" सिक्के के लिए, चित और पट की प्रायिकता 0.5 समान होती है। आइए इसे इस तरह चित्रित करें:

जब आप एक सिक्के को दूसरी बार उछालते हैं, तो या तो पहले चित के बाद दूसरा चित या पट आएगा, या पहले पट के बाद दूसरा चित या पट आएगा। दूसरे टॉस पर चित और पट आने की प्रायिकताएँ अभी भी 0.5 हैं। दूसरे रोल के परिणाम आरेख पर पेड़ की अतिरिक्त शाखाओं के रूप में दिखाए जाते हैं।

जैसा कि आप आरेख से देख सकते हैं, चार संभावित परिणाम हैं। आप अन्य घटनाओं की संभावनाओं को खोजने के लिए इस पेड़ का उपयोग कर सकते हैं। एक सिक्के के दो उछाल पर एक चित आने की प्रायिकता क्या है? चूँकि एक टेल (OR या RO) प्राप्त करने के दो तरीके हैं, उत्तर 2/4 या ? है। यदि आप दो या दो से अधिक भिन्न परिणामों की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं, तो सभी परिणामों की प्रायिकताएँ जोड़ें। इसे "या" नियम कहा जाता है। दूसरे तरीके से, इस समस्या को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: "प्राप्त करने की संभावना क्या है" यापहले सिर, फिर पूंछ (1/4), यापहले पूंछ, और फिर सिर (1/4)?" उत्तर खोजने की सही प्रक्रिया इन मूल्यों को एक साथ जोड़ना है, जिसके परिणामस्वरूप ?. सहज रूप से, ऐसा लगता है कि कई घटनाओं में से एक के घटित होने की संभावना उनमें से प्रत्येक के घटित होने की संभावना से अधिक होनी चाहिए; तो यह पता चला है।

नियम "और" और "या" का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब हमारे लिए रुचि की घटनाएं हों स्वतंत्र।दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना को प्रभावित नहीं करती है। इस उदाहरण में, पहले सिक्के के टॉस का परिणाम दूसरे टॉस के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इसके अलावा, "या" नियम लागू होने के लिए, ईवेंट असंगत होना चाहिए, अर्थात वे एक ही समय में नहीं हो सकते हैं। इस उदाहरण में, परिणाम असंगत हैं क्योंकि हम एक ही टॉस पर हेड और टेल दोनों नहीं प्राप्त कर सकते हैं।

घटनाओं को ट्री आरेख के रूप में प्रस्तुत करना कई स्थितियों में उपयोगी होता है। आइए हमारे उदाहरण का विस्तार करें। मान लीजिए कि एक धारीदार सूट में एक लंबी, मुड़ी हुई मूंछें और छोटी आंखों वाला एक आदमी आपको गली में रोकता है और एक सिक्का उछालकर पैसे के लिए खेलने की पेशकश करता है। वह हमेशा चील पर दांव लगाता है। पहले टॉस पर, सिक्का लैंड करता है। दूसरे रोल में भी ऐसा ही होता है। तीसरे टॉस पर, सिर फिर से ऊपर आता है। आपको कब संदेह होने लगता है कि उसके पास "गलत" सिक्का है? अधिकांश लोगों को अपने तीसरे या चौथे प्रयास पर संदेह होता है। तीन और चार निष्पक्ष सिक्के उछालने पर कुछ चित आने की प्रायिकता परिकलित कीजिए (शीर्ष आने की प्रायिकता 0.5 है)।

तीन प्रयासों में तीन सिर प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए, आपको "नोड्स" की तीन पंक्तियों के साथ एक पेड़ खींचने की जरूरत है, जिसमें प्रत्येक नोड से दो "शाखाएं" निकलती हैं।

इस उदाहरण में, हम एक पंक्ति में तीन चित आने की प्रायिकता में रुचि रखते हैं, बशर्ते कि सिक्का निष्पक्ष हो। "परिणाम" लेबल वाले कॉलम को देखें और एलएलसी परिणाम खोजें। चूंकि यह तीन शीर्षों वाला एकमात्र परिणाम है, 000 शाखा के साथ संभावनाओं को गुणा करें (आरेख में परिचालित) और आपको 0.5 x 0.5 x 0.5 = 0.125 मिलता है। 0.125 की संभावना का मतलब है कि यदि सिक्का "निष्पक्ष" है, तो औसतन यह 12.5% ​​​​समय की पंक्ति में तीन बार सिर गिरेगा। चूंकि यह संभावना कम है, जब एक पंक्ति में तीन सिर गिर जाते हैं, तो अधिकांश लोगों को संदेह होने लगता है कि सिक्का "एक रहस्य के साथ" है।

चार प्रयासों में चार शीर्ष प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए, पेड़ में अतिरिक्त शाखाएं जोड़ें।

चार शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता 0.5 x 0.5 x 0.5 x 0.5 = 0.0625, या 6.25% है। जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, गणितीय रूप से यह 0.5 4 के बराबर है; अर्थात्, किसी संख्या को अपने आप से चार गुना गुणा करना, उसे चौथी घात तक बढ़ाने के समान है। यदि आप एक कैलकुलेटर पर भरोसा करते हैं जहां एक घातांक ऑपरेशन होता है, तो आपको वही उत्तर मिलेगा - 0.0625। हालांकि ऐसा परिणाम संभव है और किसी दिन होगा, यह संभावना नहीं है। वास्तव में, वह इतना अविश्वसनीय और असामान्य है कि कई लोग कहेंगे कि बदली हुई आंखों वाला व्यक्ति शायद धोखा दे रहा है। निस्संदेह, लगातार पांचवें बिंदु पर, यह निष्कर्ष निकालना उचित होगा कि आप एक घोटालेबाज के साथ काम कर रहे हैं। अधिकांश वैज्ञानिक उद्देश्यों के लिए, किसी घटना को "असामान्य" माना जाता है यदि उसके 5% से कम की संभावना के साथ होने की उम्मीद है। (प्रायिकता सिद्धांत की भाषा में इसे p‹0.05 लिखा जाता है।)

आइए कृत्रिम सिक्के के उदाहरण को छोड़ दें और उसी तर्क को अधिक उपयोगी संदर्भ में लागू करें। मुझे यकीन है कि किसी भी छात्र ने कभी भी बहुविकल्पीय परीक्षणों में भाग लिया है जिसमें आपको प्रस्तावित विकल्पों में से सही उत्तर चुनने की आवश्यकता होती है। इनमें से अधिकांश परीक्षणों में, प्रत्येक प्रश्न के पाँच संभावित उत्तर होते हैं, जिनमें से केवल एक ही सही होता है। मान लीजिए कि प्रश्न इतने कठिन हैं कि आप केवल यादृच्छिक रूप से सही उत्तर का अनुमान लगा सकते हैं। पहले प्रश्न का उत्तर देते समय सही अनुमान लगाने की प्रायिकता क्या है? यदि आपको पता नहीं है कि कौन सा विकल्प सही उत्तर है, तो आप पांच विकल्पों में से किसी एक को समान संभावना के साथ चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि उनमें से कोई भी सही हो सकता है। चूंकि सभी विकल्पों को चुनने की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होना चाहिए, तो सभी विकल्पों में से प्रत्येक विकल्प को चुनने की प्रायिकता 0.20 है। विकल्पों में से एक सही है और बाकी गलत हैं, इसलिए सही विकल्प चुनने की प्रायिकता 0.20 है। इस स्थिति का एक ट्री आरेख नीचे दिखाया गया है।

परीक्षण के पहले दो प्रश्नों के उत्तर का सही अनुमान लगाने की प्रायिकता क्या है? हमें पेड़ में नई शाखाएं जोड़नी होंगी, जो जल्द ही बहुत घनी हो जाएंगी। स्थान बचाने और गणनाओं को सरल बनाने के लिए, आप "गलत" लेबल वाली एकल शाखा के रूप में सभी गलत विकल्पों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। एक प्रश्न का उत्तर देने में गलती होने की प्रायिकता 0.8 है।

दो प्रश्नों के उत्तर का सही अनुमान लगाने की प्रायिकता 0.2 x 0.2 = 0.04 है। यानी संयोग से यह केवल 4% प्रयासों में ही हो सकता है। मान लें कि हम अपने उदाहरण को तीन प्रश्नों तक विस्तारित करते हैं। मैं एक पेड़ नहीं खींचूंगा, लेकिन आपको पहले से ही समझना चाहिए कि संभावना 0.2 x 0.2 x 0.2 = 0.008 है। यह इतनी असामान्य घटना है कि 1% से भी कम प्रयासों में यह संयोग से हो सकता है। आप उस व्यक्ति के बारे में क्या सोचते हैं जिसने तीनों प्रश्नों का सही उत्तर दिया? अधिकांश लोग (और शिक्षक भी लोग हैं) यह निष्कर्ष निकालेंगे कि छात्र ने यादृच्छिक रूप से उत्तर नहीं चुना, लेकिन वास्तव में कुछ जानता था। बेशक, यह संभव है कि वह सिर्फ भाग्यशाली था, लेकिन यह बेहद असंभव है। इस प्रकार, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि प्राप्त परिणाम को केवल भाग्य द्वारा नहीं समझाया जा सकता है।

मैं इस तरह के तर्क के एक जिज्ञासु पहलू की ओर इशारा करना चाहूंगा। ज़रा सोचिए कि सारा ने अपने आप को जिस दयनीय स्थिति में पाया है। उसने 15 परीक्षण प्रश्नों के उत्तर दिए, जहाँ प्रत्येक प्रश्न का उत्तर पाँच विकल्पों में से चुनना था। सारा ने सभी 15 सवालों के गलत जवाब दिए। क्या आप इसकी प्रायिकता निर्धारित कर सकते हैं कि यह संयोग से हुआ? मैं इस स्थिति को स्पष्ट करने के लिए एक ट्री आरेख नहीं बनाऊंगा, लेकिन यह देखना आसान है कि एक प्रश्न का गलत उत्तर देने की संभावना 0.8 है; अतः सभी 15 प्रश्नों के गलत उत्तर देने की प्रायिकता 0.8 15 है। वह संख्या 0.8 को अपने आप से 15 गुना गुणा करती है, जिसके परिणामस्वरूप 0.0352 प्राप्त होता है। चूंकि इस तरह की दुर्घटना की संभावना 3.52% है, शायद सारा को शिक्षक को बताना चाहिए कि इस तरह के असामान्य परिणाम को संयोग से नहीं समझाया जा सकता है? बेशक, सारा भी इसी तरह का तर्क दे सकती है, लेकिन क्या आप उस पर विश्वास करेंगे यदि आप एक शिक्षक होते? मान लीजिए वह सभी सवालों के जवाब जानने का दावा करती है। और वह लगातार 15 प्रश्नों में सही उत्तर कैसे नहीं चुन सकती थी? मुझे नहीं पता कि कितने शिक्षक उसके इस दावे पर विश्वास करेंगे कि 15 गलत उत्तर साबित करते हैं कि उसके पास ज्ञान है, हालांकि सिद्धांत रूप में तर्क की इस पंक्ति का उपयोग ज्ञान को साबित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि सभी उत्तरों का सही अनुमान लगाने की संभावना लगभग समान है। (इस उदाहरण में, यादृच्छिक रूप से सभी 15 प्रश्नों के सही उत्तर देने की प्रायिकता 0.2015 है, जो संख्या 0.0001 से काफी नीचे है।) यदि मैं सारा की शिक्षिका होती, तो मैं उसकी रचनात्मकता और सांख्यिकीय सिद्धांतों की समझ के लिए उसे उच्च अंक देता। यह संभव है कि सारा वास्तव में इस विषय के बारे में कुछ जानती थी, लेकिन इस "कुछ" में एक व्यवस्थित त्रुटि थी। मैं उसे यह भी बताऊंगा कि उसने परीक्षा के लिए तैयारी नहीं की होगी, और इसके अलावा, वह भी बदकिस्मत थी, और उसने 15 गलत अनुमान लगाए। अंत में, कभी-कभी ऐसा होता है और बहुत असामान्य घटनाएं.

अगले भाग को पढ़ने से पहले, जांच लें कि आप प्रायिकता की गणना करने के लिए ट्री डायग्राम का उपयोग कैसे करते हैं और सभी संभावित परिणामों के लिए खाते हैं। मैं इस अध्याय में बाद में ऐसे आरेखों पर लौटूंगा। एक बार जब आप उनका उपयोग करना सीख जाते हैं, तो आपको आश्चर्य होगा कि उन्हें कितनी स्थितियों में लागू किया जा सकता है।

रात। पूर्णिमा की रोशनी, तारों वाले आकाश में लटकी हुई, खिड़कियों पर सना हुआ ग्लास खिड़कियों के माध्यम से, ज़मीउलान के उदास गलियारों को रोशन करती थी, जिसकी दीवारों से चलने की गूँज सुनाई देती थी। - अच्छा, क्या लड़की है! फ्लैश बेदम बुदबुदाया। - वह डर गई थी, तुम्हें पता है ... केवल समय बर्बाद हुआ! मुझे उम्मीद है कि मैं अब भी बच निकलूंगा... इस बार... स्टोन हॉल की ओर दौड़ते हुए, उसने प्रार्थना की कि कोई भी उसके रास्ते में न आए। लेकिन सब कुछ ठीक इसके विपरीत हुआ। गलियारों के अंधेरे में (जहां उन्होंने खिड़कियां बनाने की जहमत नहीं उठाई) ड्रैगॉट्सी किसी से टकरा गई, एक परिचित आवाज सुनकर: "कौन पागलों की तरह इधर-उधर भाग रहा है ?! ""। ब्रुनेट ने एक घंटे का तीर बुलाया और उसकी नोक पर एक रोशनी जलाई। एक अचूक दीपक की रोशनी में ... वासिलिसा?! -आप?! दोनों एक ही समय में चिल्लाए। फ्लैश एक साथ आश्चर्यचकित और राहत महसूस कर रहा था: आखिरकार, वे ओगनेवा के साथ अच्छी शर्तों पर हैं, और वह उसे धोखा नहीं देगी ... ठीक है, उसे उम्मीद थी। उस आदमी ने सोचा कि रेडहेड ने कुछ ऐसा ही अनुभव किया है। -तू यहाँ क्या कर रहा है? ड्रैगोत्सी ने अपना हाथ वासिलिसा के सामने रखा। मदद स्वीकार कर वह उठी और अपने आप को साफ किया: - मैं आपसे वही प्रश्न पूछना चाहूंगी। "मैंने सबसे पहले पूछा," फ्लैश ने अपनी बाहों को पार किया। -कोई फर्क नहीं पड़ता। वास्तव में, यह आपके किसी काम का नहीं है, - वासिलिसा ने कहा। "ठीक है, इसका मतलब है कि मैं जो करता हूं वह आपके किसी काम का नहीं है," ड्रैगोटियस ने शांति से सिर हिलाया। रेडहेड ने अपने होठों को थपथपाया और सोच-समझकर श्यामला की ओर देखा: - मैं तुम्हें तुम्हारे बाद ही बताऊंगा। "ठीक है...मैं..." फ्लैश शुरू हुआ, शब्दों को खोजने की कोशिश कर रहा था, लेकिन कुछ भी नहीं निकला। "ठीक है, मैं भागना चाहता हूँ," ड्रैगोटियस ने कहा। वासिलिसा की आँखें चौड़ी हो गईं: - क्या तुम पागल हो? फ्लैश ने अपनी आँखें घुमाईं और ओगनेवा को चिढ़कर देखा: - नहीं, लेकिन मैं यहाँ नहीं रहना चाहता। - पकड़े जाने पर दंडित किया जाएगा। याद कीजिए पिछली बार क्या हुआ था, - लाल बालों वाली महिला ने अपनी बाहों को अपनी छाती के ऊपर से पार कर लिया। ड्रैगोटियस मुस्कराया: -सुनो, मुझे परेशान न करना बेहतर है। वासिलिसा ने सोच-समझकर श्यामला को देखा: - ठीक है, मैं हस्तक्षेप नहीं करूँगा ... और भी, मैं आज इतना दयालु हूँ कि मैं तुम्हें धोखा भी नहीं दूँगा, - ओगनेवा गिड़गिड़ाया और, मुड़कर, छोड़ना चाहता था, लेकिन फ्लैश ने उसे ओलों से रोका: - वासिलिसा, - लड़की ने मुड़कर श्यामला की ओर देखा, - धन्यवाद, - ड्रैगोटियस मुस्कुराया और भाग गया। ओगनेवा मुस्कुराया और उसकी ओर चला गया ... *** - यह एक बहुत बड़ी गलती थी, भतीजे, - अस्त्रगोर लेटे हुए आधे-नग्न फेश पर चढ़ गया। छात्र धीरे से कानाफूसी करने लगे। - आपने एक से अधिक बार भागने की कोशिश की और हमेशा दंडित किया ... - हत्याकांड को अंजाम देने के लिए विशेष रूप से आए हथकड़ी ने एक डंडा निकाला और एक दो बार लहराया। कर्कश आवाज सुनाई दी। - मुझे आशा है कि आप समझेंगे कि दौड़ना बेकार है, - ओसला की महान भावना ने अपनी पीठ को अपराधी, उसके चेहरे - बाकी छात्रों के लिए बदल दिया: - मुझे लगता है कि यह आपके लिए भी एक उदाहरण के रूप में काम करेगा। रॉड, हवा के माध्यम से काटते हुए, लाल, यहां तक ​​​​कि खूनी धारियों को छोड़कर, तुरंत फ्लैश के पीछे चला गया। झटका के बाद झटका। श्यामला ने सभी प्रहारों को दृढ़ता से सहन किया, केवल कभी-कभी आधा-आधा-आधा-गर्जना उत्सर्जित करता था। शिष्यों ने इसे एक प्रकार की द्वेष की दृष्टि से देखा। केवल वासिलिसा और ज़खर्रा ने उत्साह से श्यामला को देखा ... *** फ्लैश कालकोठरी में बैठ गया और सोचा। पहले, वे उसे बिना भोजन के छोड़ कर एक कालकोठरी में डाल देते थे, लेकिन अब, जाहिरा तौर पर, उसके चाचा अपने भतीजे को इतनी हल्की सजा दिए जाने से थक चुके हैं। श्यामला सिकुड़ गया, दर्द से कराह रहा था। उसने अपने विचारों में डूबी ठंड, नमी पर ध्यान नहीं दिया। गलियारे से नीचे गूँजती कदमों की आवाज़ से वह अपने विचारों से बाहर हो गया था। जल्द ही वासिलिसा मशाल की रोशनी में बाहर आ गई। फ्लैश तुरंत सलाखों के पास गया: -तुम यहाँ क्या कर रहे हो? - इसे पकड़ो, - ओगनेवा ने सलाखों के बीच अपना हाथ रखा और ड्रैगोत्सी को काफी सभ्य टुकड़ा दिया गर्म रोटीबीज के साथ। फ्लैश ने खाना ले लिया। - और उदारता के ये मुकाबलों क्या हैं? वह मुस्कराया। - ज़हरा ने मुझे इसे पास करने के लिए कहा। उन्होंने उसे जाने नहीं दिया, - ओगनेवा ने उसके कंधे उचका दिए। - यानी, ज़खर्रा को अंदर जाने की अनुमति नहीं थी, लेकिन आप, जो एस्ट्रागोर के रिश्तेदार नहीं हैं, को चुपचाप अंदर जाने दिया गया? श्यामला ने चुटकी ली। "ठीक है, मैं तय नहीं करता," वासिलिसा ने फिर से अपने कंधे उचकाए, हालाँकि, फ्लैश ने उसकी आँखों में उत्साह देखा। "ठीक है, मैं इसके बारे में ज़हर्रा से बाद में पूछूंगा," ड्रैगोटियस ने शांति से कहा, कुछ रोटी काटते हुए। "मुझसे पूछो, लेकिन मुझे पहले ही जाना होगा," ओगनेवा घूमा और शांति से कोने में चला गया और उसके पीछे हो गया। जल्द ही, फ्लैश ने दौड़ने और हंसने की आवाज सुनी। हालाँकि, यह उनकी पहल है। शायद, वह अपनी बहन के पास सिर्फ "" के मामले में बातचीत करने के लिए दौड़ी थी ...

आपका अंक बारहवां है, - एक छोटी सी किताब में कुछ लिखते हुए, देवदार ने कहा। फ्लैश ने उस व्यक्ति को धन्यवाद दिया और अपने केबिन के लिए उड़ान भरी। , अब मुख्य बात समायोजित नहीं करना है। मुझे आशा है कि जब हम प्रदर्शन करेंगे तो परी आपको निराश नहीं करेगी…"" - इन विचारों के साथ, श्यामला गज़ेबो के बगल में एक शाखा पर उतरी, जहाँ दो लोग पहले से ही उसकी प्रतीक्षा कर रहे थे। "आखिरकार, तुम आ गए," प्रतीक्षा करने वालों में से एक, निक ने मुस्कुराते हुए उसकी ओर इशारा किया। ग्रे-आंखों वाली लड़की एक काले बॉब के साथ, जो दूसरा व्यक्ति है, केवल अभिवादन के संकेत के रूप में सिर हिलाया, सीधे बिंदु पर जा रहा है: - और हम किस संख्या के तहत प्रदर्शन करते हैं? उसने टेबल पर सुगंधित कॉफी के प्याले रखते हुए पूछा। - बारह, - टेबल पर बैठ कर उस आदमी ने जवाब दिया। - हमें पूर्वाभ्यास करने की आवश्यकता है: हमें यह जानना होगा कि हम तीनों की आवाज कैसी है। - हमें बहुत अच्छा प्रदर्शन करने की ज़रूरत नहीं है, ड्रैगोटियस, - लड़की ने तुरंत उसे ठंडा कर दिया, - यह एक कवर है। प्रदर्शन के बाद, आप बस हमारी मालकिन से चाबी प्राप्त करेंगे, जैसा कि वादा किया गया था, - इन शब्दों पर, फैश ने कहा जैसे उसने एक नींबू खाया हो, - और निक को दीक्षा दी जाएगी। "मैं पूरी अदालत के सामने अपना चेहरा नहीं खोना चाहता," ड्रैगोटियस ने उत्तर दिया। "फैश, डायना," निक ने भीख मांगी, दोनों को बारी-बारी से देखते हुए, "कृपया रुक जाओ। मुझे लगता है कि हमें वास्तव में पूर्वाभ्यास करना चाहिए। - मूड गाना नहीं है, - फश बुदबुदाया और बिना खाए भी अपने कमरे में चला गया। *कुछ दिन पहले* - तो, ​​- कॉन्स्टेंटिन ने हर्षित मुस्कान के साथ वर्कशॉप में फैश और निक को इकट्ठा करते हुए कहा, - मेरे पास दो खबरें हैं। सबसे पहले, मैंने आपकी दीक्षा, निक के लिए व्हाइट क्वीन के साथ व्यवस्था की। - तुमने ये कैसे किया? फ्लैश ने आश्चर्य से लाज़रेव को देखा। "मैं आपको बाद में बताऊंगा," निक के पिता मुस्कुराए। - बेटा, क्या तुम हमें छोड़ सकते हो? गोरा कमरे से निकल गया, उसके पीछे का दरवाजा बंद कर दिया। कॉन्स्टेंटिन गंभीर हो गया, उसने अपनी निगाह श्यामला की ओर घुमाई: -फेश, एस्टारियस ने मुझे आपको यह बताने के लिए कहा कि व्हाइट क्वीन ने उसे सिल्वर की देने का वादा किया था। आपको चारोडोल जाना चाहिए, मंत्रमुग्धता में भाग लेना चाहिए और रानी से चांदी की चाबी लेनी चाहिए, - ड्रैगोटियस चकित था कि एस्टारियस ने उसे यह चाबी ले जाने के लिए सौंपा, भले ही उसने इसके बारे में दूसरी बार सुना। शिक्षक ने उसे पहले ही चेतावनी दे दी थी, यह समझाते हुए कि श्यामला एस्ट्रोगोर से भाग गई थी ... *** उनके प्रदर्शन ने परियों के राज्य में धूम मचा दी: छह पंखों वाले जीवों ने घड़ी के तीर उठाए, तालियां बजाई और उत्साह से चिल्लाए। फ्लैश का डर निराधार था, जिससे वह खुश था। जल्द ही उन्हें वॉचलिस्ट पर एक पत्र मिला, जिसमें कहा गया था कि उन्हें, चार्म्स के विजेता के रूप में, आधी रात को आना चाहिए। सफेद महल . श्यामला ने गज़ेबो से संपर्क किया, जहां निक और डायना पहले से ही बैठे थे, जो इस बात से भी खुश थे कि प्रदर्शन सफल रहा। "ठीक है," वह एक चंचल तरीके से फ्रेजर की ओर मुड़ा, "क्या आप हमें व्हाइट कैसल तक ले जाएंगे, मैडम ऑफ ऑनर?" - निक कप में सूंघ गया, और डायना बस मुस्कुरा दी। आपने यह क्यों नहीं कहा कि आप प्रतीक्षारत महिला हैं? - फ़ैश टेबल पर बैठ गया - जब उन्होंने मुझसे संपर्क किया तो मुझे मूर्ख की तरह महसूस हुआ और कहा कि श्रीमती डायना फ्रेज़र, हर मेजेस्टी की मेड ऑफ ऑनर के साथ मेरे प्रदर्शन ने धूम मचा दी! - न तो निक और न ही डायना हँसने में मदद नहीं कर सके ... * आधी रात * -फशियार ड्रैगोट्सी, - सफेद रानी, ​​जो अपने सिंहासन से उठी, पन्ना के पत्तों के साथ सुनहरी टहनियों से सजी हुई, ने अपना हाथ एक पर लहराया लड़कियों, - जादू और वादे में जीत के लिए एस्टारियस, मैं तुम्हें चांदी की चाबी दूंगा। मुझे लगता है कि आप जानते हैं कि यह एक बड़ी जिम्मेदारी है। उसकी रक्षा करो, उसे आँख के पुतले की तरह रखो। "मैं वादा करता हूँ," फ्लैश ने सिर हिलाया, फेयरी क्वीन की ओर आत्मविश्वास से देखा। दरवाजा खुला और लड़की लाल रेशम के तकिये पर टिकी हुई चांदी की चाबी लेकर आई। परी उसके पास आई और एक धनुष में एक चाबी के साथ एक तकिया पकड़े हुए रुक गई। फ्लैश ने ध्यान से चाबी ली और रानी को प्रणाम किया:- मुझे जो सम्मान दिया गया उसके लिए मैं विनम्रतापूर्वक आपका धन्यवाद करता हूं। परी शासक ने सिर हिलाया और अपना हाथ लहराया, जिससे फश को विश्राम गृह में जाने की अनुमति मिली। शुरुआत में निक को दीक्षा लेने के लिए ले जाया गया था। ***-...और उन्होंने मुझे किसी प्रकार की औषधि दी। खैर, मैंने इसे पी लिया। नतीजतन, तीसरे घंटे की डिग्री, - निक खुशी से मुस्कुराया, अपने दोस्त को बताया कि व्हाइट कैसल में उसके साथ क्या हुआ था। डायना उनके साथ बैठी और शांति से रोटी खाकर कॉफी पी। - वैसे, मेरे पास भी कुछ खबर है। कप को एक तरफ रख कर डायना मुस्कुराई, मेज पर लोहे की एक छोटी सी चाबी रख दी। एक सेकंड के लिए, फ्लैश और निक ने आश्चर्य से चाबी की ओर देखा, फिर लड़की की ओर, लेकिन अगले ही पल ड्रैगॉत्सी अपनी सीट से कूद गया और खुशी से मुस्कुराते हुए डायना को गले लगाने के लिए दौड़ा। -मैं जानता था! उन्होंने कहा। शरमाती परी बमुश्किल लड़के की बाहों से बच निकली: -पहले, जाने दो, तुम मेरा गला घोंटोगे! दूसरा, आपको कैसे पता चला? - - लगता है, निश्चित रूप से, यह मुश्किल नहीं था, - एक प्रसन्न Fash ने कहा। - दरबारी परी, सबसे अच्छी छात्रा, और यहां तक ​​​​कि हताश भी ... मैंने आपको देखते ही अनुमान लगाया कि आप भी एक हाउसकीपर थे। - हाँ, - हैरान निक, जो आश्चर्य से उबर गया था, - जंगल में आपसे मिलना थोड़ा अप्रत्याशित था। -इतना अप्रत्याशित क्या था? डायना ने अपने दोस्त को दिलचस्पी से देखा। "उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि आप अचानक अंधेरे से बाहर कूद गए," फ्लैश ने कहा। - हाँ, - छोटे-अब-पहले से ही-घड़ी बनाने वाले लाज़रेव ने सिर हिलाया, - बेशक, हम जानते थे कि हम आपसे जंगल में मिलेंगे, लेकिन यह हमारे लिए अप्रत्याशित रूप से अंधेरे से बाहर कूदने के लायक नहीं था। "लेकिन यह अच्छा है कि हम तुरंत चारोडोल चले गए," ड्रैगोटियस ने चुटकी ली। लोगों ने सहमति में सिर हिलाया और नाश्ता जारी रखा ...

एक संभाव्यता वृक्ष बनाने के लिए, सबसे पहले, आपको स्वयं पेड़ खींचने की आवश्यकता है, फिर इस समस्या के लिए ज्ञात सभी जानकारी को चित्र में लिखें, और अंत में, लापता संख्याओं की गणना करने और पेड़ को पूरा करने के लिए बुनियादी नियमों का उपयोग करें।

1. संभावनाओं को प्रत्येक समापन बिंदु पर दर्शाया गया है और परिक्रमा की गई है। पेड़ के प्रत्येक स्तर पर, इन संभावनाओं का योग 1 (या 100%) के बराबर होना चाहिए। तो, उदाहरण के लिए, अंजीर में। 6.5.1 पहले स्तर पर प्रायिकताओं का योग 0.20 + 0.80 = 1.00 और दूसरे स्तर पर - 0.03 + 0.17 + 0.56 + 0.24 = 1.00 है। यह नियम एक कॉलम में एक खाली सर्कल को भरने में मदद करता है यदि इस स्तर की अन्य सभी संभावनाओं के मूल्य ज्ञात हैं।

चावल। 6.5.1

2. सशर्त संभावनाओं को प्रत्येक शाखा के बगल में दर्शाया गया है (छोड़कर,
संभवतः प्रथम-स्तर की शाखाएँ)। एक बिंदु से निकलने वाली शाखाओं के प्रत्येक समूह के लिए, इन संभावनाओं का योग भी 1 (या 100%) के बराबर होता है।
उदाहरण के लिए, अंजीर में। 6.5.1 शाखाओं के पहले समूह के लिए हमें 0.15 + 0.85 = . मिलता है
1.00 और दूसरे समूह के लिए - 0.70 + 0.30 = 1.00। यह नियम अनुमति देता है
एक बिंदु से निकलने वाली शाखाओं के समूह में सशर्त संभाव्यता के एक अज्ञात मान की गणना करें।

3. शाखा की शुरुआत में परिचालित संभाव्यता को सशर्त से गुणा किया जाता है
इस शाखा के आगे की प्रायिकता एक वृत्त में लिखी प्रायिकता देती है
शाखा का अंत। उदाहरण के लिए, अंजीर में। 6.5.1 ऊपरी शाखा के लिए जो दाईं ओर जाती है
अगली शाखा के लिए हमारे पास 0.20 x 0.15 = 0.03 है - 0.20 x 0.85 = 0.17; अन्य दो शाखाओं के लिए समान संबंध हैं। इस नियम का उपयोग एकल अज्ञात मान की गणना करने के लिए किया जा सकता है
किसी शाखा के अनुरूप तीन की प्रायिकता।

4. एक वृत्त में लिखी प्रायिकता का मान इस वृत्त से निकलने वाली सभी शाखाओं के सिरों पर वृत्तीय प्रायिकताओं के योग के बराबर होता है
दांई ओर। तो, उदाहरण के लिए, अंजीर के लिए। 6.5.1 0.20 . के मान के साथ सर्कल से बाहर निकलें
दो शाखाएँ, जिनके सिरे पर वृत्तीय प्रायिकताएँ हैं, जिनका योग इस मान के बराबर है: 0.03 + 0.17 = 0.20। यह नियम आपको एक समूह में एक अज्ञात संभाव्यता मान खोजने की अनुमति देता है,
पेड़ की शाखाओं के सिरों पर इस संभावना और सभी संभावनाओं सहित,
संबंधित सर्कल से बाहर आ रहा है।

इन नियमों का उपयोग करते हुए, यह संभव है, किसी शाखा के लिए या किसी स्तर पर एक संभावना मान को छोड़कर, इस अज्ञात मूल्य को खोजने के लिए।

37. किस नमूने को प्रतिनिधि कहा जाता है? एक प्रतिनिधि नमूना कैसे लिया जा सकता है?

प्रातिनिधिकताअध्ययन के तहत जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए नमूने की क्षमता है। नमूने की संरचना जितनी अधिक सटीक रूप से अध्ययन के तहत मुद्दों पर जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करती है, उतनी ही अधिक इसकी प्रतिनिधित्वशीलता।

एक प्रतिनिधि नमूना डेटा विश्लेषण की प्रमुख अवधारणाओं में से एक है। एक प्रतिनिधि नमूना एक वितरण के साथ आबादी से एक नमूना है एफ(एक्स) सामान्य आबादी की मुख्य विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करना। उदाहरण के लिए, यदि एक शहर में 100,000 लोग हैं, जिनमें से आधे पुरुष हैं और आधे महिलाएं हैं, तो 1,000 लोगों का एक नमूना, जिनमें से 10 पुरुष हैं और 990 महिलाएं हैं, निश्चित रूप से प्रतिनिधि नहीं हैं। इसके आधार पर बनाया गया एक जनमत सर्वेक्षण, निश्चित रूप से अनुमानों में पूर्वाग्रह रखता है और गलत परिणाम देता है।

निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त प्रतिनिधि नमूनासामान्य जनसंख्या के प्रत्येक तत्व के इसमें शामिल होने की समान संभावना है।

नमूना (अनुभवजन्य) वितरण फ़ंक्शन, बड़े नमूना आकार के साथ, वितरण फ़ंक्शन का काफी अच्छा विचार देता है एफ(एक्स) मूल सामान्य आबादी का।

इस तरह की प्रक्रिया में अंतर्निहित प्रमुख सिद्धांत यादृच्छिकरण, यादृच्छिकता का सिद्धांत है। एक नमूना यादृच्छिक कहा जाता है (कभी-कभी हम साधारण यादृच्छिक या शुद्ध यादृच्छिक कहेंगे) यदि दो शर्तें पूरी होती हैं। सबसे पहले, नमूने को इस तरह से डिजाइन किया जाना चाहिए कि आबादी के भीतर कोई भी व्यक्ति या वस्तु हो समान अवसरविश्लेषण के लिए चुना जाएगा। दूसरा, नमूने को इस तरह से डिजाइन किया जाना चाहिए कि n वस्तुओं के किसी भी संयोजन (जहाँ n नमूने में केवल वस्तुओं की संख्या, या मामले हैं) को विश्लेषण के लिए चुने जाने की समान संभावना है।

वास्तविक लॉटरी चलाने के लिए बहुत बड़ी आबादी की जांच करते समय, साधारण यादृच्छिक नमूने अक्सर उपयोग किए जाते हैं। कई लाख वस्तुओं के नाम लिखना, उन्हें एक ड्रम में डालना और कुछ हजार का चयन करना अभी भी आसान काम नहीं है। ऐसे मामलों में, एक अलग, लेकिन समान रूप से विश्वसनीय विधि का उपयोग किया जाता है। संग्रह में प्रत्येक वस्तु को एक संख्या सौंपी जाती है। ऐसी तालिकाओं में संख्याओं का क्रम आमतौर पर एक कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा दिया जाता है जिसे एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर कहा जाता है, जो अनिवार्य रूप से बड़ी संख्या में संख्याओं को एक ड्रम में डालता है, उन्हें यादृच्छिक रूप से खींचता है, और उन्हें क्रम से प्रिंट करता है। दूसरे शब्दों में, वही प्रक्रिया होती है जो लॉटरी की विशेषता होती है, लेकिन कंप्यूटर, नामों के बजाय संख्याओं का उपयोग करते हुए, एक सार्वभौमिक विकल्प बनाता है। इस विकल्प का उपयोग केवल हमारी प्रत्येक वस्तु को एक संख्या निर्दिष्ट करके किया जा सकता है।

उस तरह की यादृच्छिक संख्याओं की एक तालिका का उपयोग कई अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, और प्रत्येक मामले में तीन निर्णय किए जाने चाहिए। सबसे पहले, हमें यह तय करने की आवश्यकता है कि हम कितने अंकों का उपयोग करेंगे, और दूसरी बात, हमें विकसित करने की आवश्यकता है निर्णय नियमउनके उपयोग के लिए; तीसरा, आपको प्रारंभिक बिंदु और तालिका से गुजरने की विधि चुनने की आवश्यकता है।

एक बार ऐसा करने के बाद, हमें एक नियम विकसित करना चाहिए जो तालिका में संख्याओं को हमारे ऑब्जेक्ट नंबरों से जोड़ता है। यहां दो संभावनाएं हैं। सबसे आसान तरीका (हालांकि जरूरी नहीं कि सबसे सही हो) केवल उन नंबरों का उपयोग करना है जो हमारी वस्तुओं को दी गई संख्याओं की संख्या में आते हैं। इसलिए यदि हमारे पास 250 सुविधाओं की आबादी है (और इस प्रकार तीन अंकों की संख्या का उपयोग करते हैं) और तालिका के ऊपरी बाएं कोने से शुरू करने का निर्णय लेते हैं और कॉलम के नीचे अपना काम करते हैं, तो हम फीचर नंबर 100, 084, और 128 को अपने में शामिल करेंगे। नमूना, और संख्या 375 और 990 को छोड़ दें, जो हमारी वस्तुओं के अनुरूप नहीं हैं। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक कि हमारे नमूने के लिए आवश्यक वस्तुओं की संख्या निर्धारित नहीं हो जाती।

एक अधिक समय लेने वाली, लेकिन पद्धतिगत रूप से अधिक सही प्रक्रिया इस आधार पर आधारित है कि तालिका की यादृच्छिकता विशेषता को संरक्षित करने के लिए, किसी दिए गए आयाम की प्रत्येक संख्या (उदाहरण के लिए, प्रत्येक तीन अंकों की संख्या) का उपयोग किया जाना चाहिए। इस तर्क का पालन करते हुए, और फिर से 250 वस्तुओं के संग्रह से निपटने के लिए, हमें तीन अंकों की संख्या के क्षेत्र को 000 से 999 तक 250 बराबर अंतराल में विभाजित करना होगा। चूँकि ऐसी 1000 संख्याएँ हैं, हम 1000 को 250 से विभाजित करते हैं और पाते हैं कि प्रत्येक भाग में चार संख्याएँ हैं। तो 000 से 003 तक की तालिका संख्याएँ वस्तु 004 से 007 - वस्तु 2, और इसी तरह के अनुरूप होंगी। अब, यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी वस्तु संख्या तालिका में संख्या से मेल खाती है, आपको तालिका से तीन अंकों की संख्या को विभाजित करना चाहिए और निकटतम पूर्ण संख्या में गोल करना चाहिए।

और अंत में, हमें तालिका में प्रारंभिक बिंदु और पारित होने की विधि को चुनना होगा। शुरुआती बिंदु ऊपरी बाएँ कोने (जैसा कि पिछले उदाहरण में है), निचला दायाँ कोना, दूसरी पंक्ति का बायाँ किनारा या कहीं और हो सकता है। यह चुनाव पूरी तरह से मनमाना है। हालाँकि, तालिका के साथ काम करते समय, हमें व्यवस्थित रूप से कार्य करना चाहिए। हम प्रत्येक पांच अंकों के अनुक्रम के पहले तीन अंक, मध्य तीन अंक, अंतिम तीन अंक, या यहां तक ​​​​कि पहले, दूसरे और चौथे अंक भी ले सकते हैं। (पहले पांच अंकों के अनुक्रम से, ये विभिन्न प्रक्रियाएं क्रमशः 100, 009, 097, और 109 संख्याएं उत्पन्न करती हैं।) हम 790, 900, 001, और 791 प्राप्त करते हुए इन प्रक्रियाओं को दाएं से बाएं लागू कर सकते हैं। हम जा सकते हैं पंक्तियों के साथ, प्रत्येक अगले अंक को बारी-बारी से देखते हुए और विभाजन को पांच में अनदेखा करते हुए (पहली पंक्ति के लिए, संख्या 100, 973, 253, 376 और 520 प्राप्त की जाएगी)। हम केवल अंकों के हर तीसरे समूह (जैसे 10097, 99019, 04805, 99970) से निपट सकते हैं। कई अलग-अलग संभावनाएं हैं, और प्रत्येक अगला पिछले वाले से भी बदतर नहीं है। हालांकि, एक बार जब हम एक या दूसरे तरीके के बारे में निर्णय लेते हैं, तो हमें तालिका में तत्वों की यादृच्छिकता का यथासंभव सम्मान करने के लिए व्यवस्थित रूप से इसका पालन करना चाहिए।

38. हम किस अंतराल को विश्वास अंतराल कहते हैं?

विश्वास अंतराल वास्तविक मूल्यों से देखे गए मूल्यों का स्वीकार्य विचलन है। जानकारी की सटीकता के लिए आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए, इस धारणा का आकार शोधकर्ता द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि त्रुटि का मार्जिन बढ़ता है, तो नमूने का आकार कम हो जाता है, भले ही आत्मविश्वास का स्तर 95% पर ही क्यों न हो।

विश्वास अंतराल से पता चलता है कि नमूना अवलोकन (सर्वेक्षण) के परिणाम किस श्रेणी में स्थित होंगे। यदि हम एक ही जनसंख्या से समान नमूनों में 100 समान सर्वेक्षण करते हैं (उदाहरण के लिए, 50 लाख की आबादी वाले शहर में 1000 लोगों के 100 नमूने), तो 95% विश्वास स्तर पर, 100 में से 95 परिणाम निम्न होंगे विश्वास अंतराल (उदाहरण के लिए, 28% से 32% के वास्तविक मान के साथ 30%)।

उदाहरण के लिए, धूम्रपान करने वाले शहर के निवासियों की सही संख्या 30% है। यदि हम लगातार 100 बार 1000 लोगों का चयन करते हैं और इन नमूनों में हम प्रश्न पूछते हैं "क्या आप धूम्रपान करते हैं?", इन 100 नमूनों में से 95 में 2% विश्वास अंतराल पर, मान 28% से 32% तक होगा।

39 आत्मविश्वास का स्तर (आत्मविश्वास स्तर) क्या कहलाता है?

आत्मविश्वास का स्तर मूल्यांकनकर्ता द्वारा आवश्यक डेटा की मात्रा को दर्शाता है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि जांच किए जा रहे कार्यक्रम का वांछित प्रभाव है। पर सामाजिक विज्ञानपरंपरागत रूप से 95% विश्वास स्तर का उपयोग किया जाता है। हालांकि, अधिकांश सामुदायिक कार्यक्रमों के लिए, 95% अधिक है। कार्यक्रम के पर्याप्त मूल्यांकन के लिए 80-90% की सीमा में आत्मविश्वास का स्तर पर्याप्त है। इस तरह, प्रतिनिधि समूह के आकार को कम किया जा सकता है, जिससे मूल्यांकन की लागत कम हो सकती है।

सांख्यिकीय मूल्यांकन प्रक्रिया शून्य परिकल्पना का परीक्षण करती है कि कार्यक्रम का इच्छित प्रभाव नहीं था। यदि प्राप्त परिणाम शून्य परिकल्पना की शुद्धता के बारे में प्रारंभिक धारणाओं से काफी भिन्न होते हैं, तो बाद वाली परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है।

40. दो में से कौन सा विश्वास अंतराल बड़ा है: दो-पूंछ 99% या दो-पूंछ 95%? समझाना।

2-तरफा 99% विश्वास अंतराल 95% से बड़ा है क्योंकि इसमें अधिक मूल्य आते हैं। डॉक-इन:

z-scores का उपयोग करके, आप कॉन्फिडेंस इंटरवल का अधिक सटीक अनुमान लगा सकते हैं और कॉन्फिडेंस इंटरवल के समग्र आकार को निर्धारित कर सकते हैं। नमूना माध्य के लिए विश्वास अंतराल का सटीक सूत्रीकरण इस प्रकार है:

इस प्रकार, एक सामान्य वितरण को संतुष्ट करने वाले 25 अवलोकनों के यादृच्छिक नमूने के लिए, नमूना माध्य के विश्वास अंतराल का निम्न रूप है:

इस प्रकार, आप 95% सुनिश्चित हो सकते हैं कि मान नमूना माध्य के ±1.568 इकाइयों के भीतर है। उसी विधि का उपयोग करके, यह निर्धारित किया जा सकता है कि 99% विश्वास अंतराल नमूना माध्य के ±2.0608 इकाइयों के भीतर है

मूल्य इस प्रकार, हमारे पास है और यहाँ से, इसी तरह, हम निचली सीमा प्राप्त करते हैं, जो बराबर है

1. = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● ए = (16,61,34, 43, 25, 52);

● बी = (11.12, 21.13,31.14, 41.15, 51.16, 61)

सी = (12, 21.36,63.45, 54.33.15, 51, 24.42.66)।

● डी= (योग अंक 2 या 3 है);

● इ= (कुल अंक 10 हैं)।

घटना का वर्णन करें: से= (सर्किट बंद) प्रत्येक मामले के लिए।

समाधान।आइए संकेतन का परिचय दें: घटना ए- संपर्क 1 बंद है; प्रतिस्पर्धा पर- संपर्क 2 बंद है; प्रतिस्पर्धा से- सर्किट बंद है, लाइट चालू है।

1. समानांतर कनेक्शन के लिए, कम से कम एक संपर्क बंद होने पर सर्किट बंद हो जाता है, इसलिए सी = ए + बी;

2. एक श्रृंखला कनेक्शन के लिए, दोनों संपर्क बंद होने पर सर्किट बंद हो जाता है, इसलिए सी \u003d ए बी.

एक कार्य। 1.1.4दो विद्युत सर्किट तैयार किए गए हैं:

घटना ए - सर्किट बंद है, घटना ए i - मैं-वें संपर्क बंद है। उनमें से किसके लिए अनुपात है

A1 (A2 + A3 A4) A5 = A?

समाधान. पहले सर्किट के लिए, ए = ए 1 · (ए 2 · ए 3 + ए 4 · ए 5), चूंकि घटनाओं का योग समानांतर कनेक्शन से मेल खाता है, और घटनाओं का उत्पाद सीरियल कनेक्शन से मेल खाता है। दूसरी योजना के लिए ए = ए1 (ए2+ए3 ए4 ए5)। इसलिए, यह संबंध दूसरी योजना के लिए मान्य है।

एक कार्य। 1.1.5व्यंजक (ए + बी) (बी + सी) (सी + ए) को सरल बनाएं।

समाधान। आइए हम घटनाओं के योग और गुणन की संक्रियाओं के गुणों का उपयोग करें।

(ए+ बी) (बी + सी) (ए + सी) =

(एबी+ एसी + बी बी + बीसी) (ए + सी) =

= (एबी+ एसी + बी + बीसी) (ए + सी) =

(एबी + एसी + बी) (ए + सी) = (बी + एसी) (ए + सी) =

= बीए + बीसी + एसीए + एसीसी = बी ए + बीसी + एसी।

एक कार्य। 1.1.6सिद्ध कीजिए कि घटनाएँ A, AB औरए+बी एक पूरा समूह बनाएं।

समाधान। समस्या को हल करते समय, हम घटनाओं पर संचालन के गुणों का उपयोग करेंगे। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि ये घटनाएँ जोड़ीदार असंगत हैं।

आइए अब हम दिखाते हैं कि इन घटनाओं का योग प्रारंभिक घटनाओं का स्थान देता है।

एक कार्य। 1.1.7यूलर-वेन योजना का उपयोग करते हुए, मॉर्गन नियम की जाँच करें:

ए) घटना एबी छायांकित है।

बी) घटना ए - ऊर्ध्वाधर हैचिंग; घटना बी - क्षैतिज हैचिंग। आयोजन

(ए+बी) - छायांकित क्षेत्र।

आंकड़ों की तुलना से a) और c) यह निम्नानुसार है:

एक कार्य। 1.2.18 व्यक्तियों को कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है?

1. एक पंक्ति में?

2. प्रति गोल मेज़?

समाधान।

1. तरीकों की वांछित संख्या 8 में से क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है, अर्थात।

पी8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. चूंकि गोल मेज पर पहले व्यक्ति की पसंद तत्वों के प्रत्यावर्तन को प्रभावित नहीं करती है, तो किसी को भी पहले लिया जा सकता है, और शेष को चुने हुए के सापेक्ष आदेश दिया जाएगा। यह क्रिया 8!/8 = 5040 तरीकों से की जा सकती है।

एक कार्य। 1.2.2पाठ्यक्रम में 5 विषय शामिल हैं। यदि उस दिन दो अलग-अलग जोड़े हों तो आप कितने तरीकों से शनिवार का कार्यक्रम बना सकते हैं?

समाधान। तरीकों की वांछित संख्या नियुक्तियों की संख्या है

5 से 2 तक, चूंकि आपको जोड़े के क्रम को ध्यान में रखना होगा:

एक कार्य। 1.2.3कैसे परीक्षा बोर्ड, 7 लोगों से मिलकर, 15 शिक्षकों से मिलकर बनाया जा सकता है?

समाधान। कमीशन की वांछित संख्या (आदेश की परवाह किए बिना) 15 से 7 के संयोजनों की संख्या है:

एक कार्य। 1.2.4बीस अंकों वाली एक टोकरी में से 5 गेंदें सौभाग्य के लिए चुनी जाती हैं। इस अनुभव की प्राथमिक घटनाओं के स्थान में तत्वों की संख्या निर्धारित करें यदि:

प्रत्येक निष्कर्षण के बाद वापसी के साथ गेंदों को क्रमिक रूप से एक के बाद एक चुना जाता है;

गेंदों को बिना वापस लौटे एक-एक करके चुना जाता है;

एक बार में 5 गेंदों का चयन किया जाता है।

समाधान।

टोकरी से पहली गेंद निकालने के तरीकों की संख्या 20 है। चूंकि निकाली गई गेंद टोकरी में वापस आ जाती है, दूसरी गेंद निकालने के तरीकों की संख्या भी 20 है, और इसी तरह। फिर 5 निकालने के तरीकों की संख्या इस मामले में गेंदें 20 20 20 20 20 = 320000 है।

टोकरी से पहली गेंद निकालने के तरीकों की संख्या 20 है। चूंकि निकाली गई गेंद निकासी के बाद टोकरी में वापस नहीं आई, दूसरी गेंद निकालने के तरीकों की संख्या 19 हो गई, आदि। फिर निकालने के तरीकों की संख्या प्रतिस्थापन के बिना 5 गेंदें हैं 20 19 18 17 16 = A52 0

टोकरी से 5 गेंदों को एक साथ निकालने के तरीकों की संख्या 20 बटा 5 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:

एक कार्य। 1.2.5दो पासे फेंके जाते हैं। घटना A की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक 1 लुढ़क जाएगा।

समाधान। 1 से 6 तक के अंक प्रत्येक पासे पर गिर सकते हैं। इसलिए, प्रारंभिक घटनाओं के स्थान में 36 समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं। घटना ए 11 परिणामों का पक्षधर है: (1.1), (1.2), (2.1), (1.3), (3.1), (1.4), (4.1), (1 .5), (5.1), (1.6), (6.1), सो

एक कार्य। 1.2.6अक्षर y, i, i, k, c, f, n लाल कार्डों पर लिखे जाते हैं, अक्षर a, a, o, t, t, s, h नीले कार्ड पर लिखे जाते हैं। पूरी तरह से मिलाने के बाद, जो अधिक संभावना है : पहली बार अक्षरों से लाल कार्ड का उपयोग शब्द "फ़ंक्शन" बनाने के लिए या नीले कार्ड पर अक्षरों से "फ़्रीक्वेंसी" शब्द बनाने के लिए?

समाधान।घटना ए शब्द "फ़ंक्शन" को यादृच्छिक रूप से 7 अक्षरों से बना है, घटना बी - शब्द "फ़्रीक्वेंसी" यादृच्छिक रूप से 7 अक्षरों से बना है। चूँकि 7 अक्षरों के दो सेटों को क्रमित किया गया है, घटनाओं A और B के सभी परिणामों की संख्या n = 7! है। घटना ए एक परिणाम एम = 1 के पक्ष में है, क्योंकि लाल कार्ड पर सभी अक्षर अलग-अलग हैं। इवेंट B, m = 2 का पक्षधर है! · 2! परिणाम, चूंकि "ए" और "टी" अक्षर दो बार आते हैं। तब पी(ए) = 1/7! , पी (बी) = 2! 2! /7! , पी (बी)> पी (ए)।

एक कार्य। 1.2.7परीक्षा में, छात्र को 30 टिकट दिए जाते हैं; प्रत्येक टिकट में दो प्रश्न होते हैं। टिकटों में शामिल 60 प्रश्नों में से, छात्र केवल 40 जानता है। छात्र द्वारा लिए गए टिकट में शामिल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

1. उसे ज्ञात मुद्दों से;

2. उसके लिए अज्ञात प्रश्नों से;

3. एक ज्ञात और एक अज्ञात प्रश्न से।

समाधान।मान लीजिए कि छात्र दोनों प्रश्नों के उत्तर जानता है; बी - दोनों सवालों के जवाब नहीं जानता; सी - वह एक प्रश्न का उत्तर जानता है, वह दूसरे का उत्तर नहीं जानता। 60 में से दो प्रश्नों का चुनाव n = C260 = 60 2 59 = 1770 तरीकों से किया जा सकता है।

1. छात्र को ज्ञात प्रश्नों के m = C240 ​​= 40 2 39 = 780 विकल्प हैं। तब पी(ए) = एम एन = 17 78 70 0 = 0.44

2. 20 में से दो अज्ञात प्रश्नों का चुनाव m = C220 = 20 2 19 = 190 तरीकों से किया जा सकता है। इस मामले में

पी (बी) = एम एन = 11 79 70 0 = 0.11

3. एक ज्ञात और एक अज्ञात प्रश्न के साथ टिकट चुनने के m = C14 0 C21 0 = 40 20 = 800 तरीके हैं। तब P(C) = 18 70 70 0 = 0.45।

एक कार्य। 1.2.8कुछ जानकारी तीन चैनलों के माध्यम से भेजी गई है। चैनल एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। सूचना के लक्ष्य तक पहुँचने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

1. केवल एक चैनल पर;

2. कम से कम एक चैनल।

समाधान। ए को एक ऐसी घटना होने दें जिसमें इस तथ्य से युक्त हो कि जानकारी केवल एक चैनल के माध्यम से लक्ष्य तक पहुंचती है; बी - कम से कम एक चैनल। अनुभव तीन चैनलों के माध्यम से सूचना का प्रसारण है। अनुभव का परिणाम - सूचना लक्ष्य तक पहुँच गई है। एआई को निरूपित करें - सूचना आई-वें चैनल के माध्यम से लक्ष्य तक पहुंचती है। प्राथमिक घटनाओं के स्थान का रूप है:

घटना बी 7 परिणामों के पक्ष में है: तब n = 8 को छोड़कर सभी परिणाम; एमए = 3; एमबी = 7; पी (ए) = 3 8; पी (बी) = 7 8.

एक कार्य। 1.2.9इकाई लंबाई के एक खंड पर एक बिंदु बेतरतीब ढंग से दिखाई देता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खंड के बिंदु से छोर तक की दूरी 1/8 से अधिक है।

समाधान। समस्या की स्थिति के अनुसार, वांछित घटना अंतराल (ए; बी) पर दिखाई देने वाले सभी बिंदुओं से संतुष्ट होती है।

चूंकि इसकी लंबाई s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4 है, और पूरे खंड की लंबाई S = 1 है, इसलिए आवश्यक संभावना P = s/S = 3/14 = 0.75 है।

एक कार्य। 1.2.10के एक बैच मेंएनउत्पादोंकउत्पाद खराब हैं। नियंत्रण के लिए, एम उत्पादों का चयन किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सेएम उत्पादोंली वे दोषपूर्ण हो जाते हैं (घटना ए)।

समाधान। n से m उत्पादों का चुनाव तरीकों से किया जा सकता है, और चुनाव ली k दोषपूर्ण में से दोषपूर्ण - तरीकों से। चयन के बाद लीदोषपूर्ण उत्पाद बने रहेंगे (एम - ली) फिट, (एन - के) उत्पादों के बीच स्थित है। तो घटना A के पक्ष में परिणामों की संख्या है

और वांछित संभावना

एक कार्य। 1.3.1बीएक कलश में 30 गेंदें होती हैं: 15 लाल, 10 नीली और 5 सफेद। यादृच्छिक रूप से खींची गई गेंद के रंगीन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान लीजिए घटना A - एक लाल गेंद खींची जाती है, घटना B - एक नीली गेंद खींची जाती है। फिर घटनाएँ (A + B) - एक रंगीन गेंद खींची जाती है। हमारे पास P(A) = 1 3 5 0 = 1 2, P(B) = 1 3 0 0 = 1 3 है।

घटनाएँ A और B असंगत हैं, तो P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0.83।

एक कार्य। 1.3.2हिमपात होने की प्रायिकता (एक घटनाए ), के बराबर है 0.6, और तथ्य यह है कि बारिश होगी (घटना)बी ), के बराबर है 0.45. खराब मौसम की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि वर्षा और हिमपात की प्रायिकता (घटना)अब ) के बराबर है 0.25.

समाधान। घटनाएँ A और B संयुक्त हैं, इसलिए P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.6 + 0.45 - 0.25 = 0.8

एक कार्य। 1.3.3बीपहले डिब्बे में 2 सफेद और 10 काली गेंदें हैं, दूसरी - 3 सफेद और 9 काली गेंदें, और तीसरी - 6 सफेद और 6 काली गेंदें हैं। प्रत्येक बॉक्स से एक गेंद ली गई। निकाली गई सभी गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। घटना ए - पहले बॉक्स से एक सफेद गेंद निकाली जाती है, बी - दूसरे बॉक्स से, सी - तीसरे से। तब P(A) = 12 2 = 1 6; पी(बी) = 13 2 = 1 4; पी(सी) = 16 2 = 1 2. घटना एबीसी - सभी निकाले गए

गेंदें सफेद हैं। घटनाएँ A, B, C स्वतंत्र हैं, इसलिए

पी (एबीसी) = पी (ए) पी(बी) पी(सी) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0.02

एक कार्य। 1.3.4बीश्रृंखला में जुड़ा विद्युत परिपथ 5 तत्व जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं। क्रमशः पहले, दूसरे, तीसरे, चौथे, पांचवें तत्वों के विफल होने की प्रायिकता है 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. परिपथ में कोई धारा न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (घटनाए ).

समाधान। चूंकि तत्व श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, कम से कम एक तत्व विफल होने पर सर्किट में कोई करंट नहीं होगा। घटना ऐ(i = 1...5) - विफल हो जाएगी मैं-वें तत्व। घटनाक्रम

एक कार्य। 1.3.5सर्किट में एक इनपुट और एक आउटपुट के साथ सिस्टम में जुड़े स्वतंत्र ब्लॉक होते हैं।

समय में विफलता टी विभिन्न तत्वजंजीर - स्वतंत्र कार्यक्रमनिम्नलिखित संभावनाएं हैंपी 1 = 0.1; पी 2 = 0.2; पी 3 = 0.3; पी 4 = 0.4। किसी भी तत्व की विफलता से सर्किट की शाखा में सिग्नल में रुकावट आती है जहां यह तत्व स्थित है। प्रणाली की विश्वसनीयता ज्ञात कीजिए।

समाधान। यदि घटना A - (सिस्टम विश्वसनीय है), Ai - (i - th यूनिट खराब काम करती है), तो A = (A1 + A2) (A3 + A4)। घटनाएँ A1+A2, A3+A4 स्वतंत्र हैं, घटनाएँ A1 और A2, A3 और A4 संयुक्त हैं। गुणा और प्रायिकताओं के योग के सूत्रों के अनुसार

एक कार्य। 1.3.6कार्यकर्ता 3 मशीनों की सेवा करता है। संभावना है कि एक घंटे के भीतर मशीन को एक कार्यकर्ता के ध्यान की आवश्यकता नहीं होगी पहली मशीन के लिए 0.9, दूसरी मशीन के लिए 0.8 और तीसरी मशीन के लिए 0.7 है।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कुछ घंटों के दौरान

1. दूसरी मशीन पर ध्यान देने की आवश्यकता होगी;

2. दो मशीनों पर ध्यान देने की आवश्यकता होगी;

3. कम से कम दो मशीनों पर ध्यान देने की आवश्यकता होगी।

समाधान। बता दें कि एआई - आई-थ मशीन को कार्यकर्ता का ध्यान चाहिए, - आई-थ मशीन को कार्यकर्ता के ध्यान की आवश्यकता नहीं होगी। फिर

प्रारंभिक घटनाओं का स्थान:

1. घटना ए - दूसरी मशीन पर ध्यान देने की आवश्यकता होगी: फिर

चूंकि घटनाएं असंगत और स्वतंत्र हैं। पी(ए) = 0.9 0.8 0.7 + 0.1 0.8 0.7 + 0.9 0.8 0.3 + 0.1 0.8 0.3 = 0.8

2. घटना बी - दो मशीनों पर ध्यान देने की आवश्यकता होगी:

3. घटना सी - कम से कम दो स्टन पर ध्यान देने की आवश्यकता होगी
सीओवी:

एक कार्य। 1.3.7बीमशीन "परीक्षक" पेश किया गया 50 प्रशन। छात्र की पेशकश की है 5 यदि सभी प्रश्नों का सही उत्तर दिया जाता है तो प्रश्न और एक "उत्कृष्ट" अंक दिया जाता है। "उत्कृष्ट" होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि विद्यार्थी केवल तैयारी करता है 40 प्रशन।

समाधान। ए - (प्राप्त "उत्कृष्ट"), एआई - (मैं - वें प्रश्न का उत्तर)। तब A = A1A2A3A4A5, हमारे पास है:

या, दूसरे तरीके से - शास्त्रीय संभाव्यता सूत्र का उपयोग करना: और

एक कार्य। 1.3.8संभावना है कि कोडांतरक द्वारा आवश्यक भाग में हैमैं, द्वितीय, तृतीय, चतुर्थबॉक्स, क्रमशः, बराबर हैं 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. संग्राहक द्वारा सभी 4 बक्सों की जांच करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिएए).

समाधान। मान लीजिए ऐ - (असेंबलर द्वारा आवश्यक भाग i-वें बॉक्स में है।) तब

चूँकि घटनाएँ असंगत और स्वतंत्र हैं, तब

एक कार्य। 1.4.1 60 वर्ष से अधिक आयु के 10,000 लोगों के समूह की जांच की गई। यह पता चला कि 4000 लोग स्थायी धूम्रपान करने वाले हैं। 1800 धूम्रपान करने वालों ने फेफड़ों में गंभीर परिवर्तन दिखाया। धूम्रपान न करने वालों में 1500 लोगों के फेफड़ों में बदलाव आया। इस बात की क्या प्रायिकता है कि फेफड़े में परिवर्तन के साथ यादृच्छिक रूप से जांचा गया व्यक्ति धूम्रपान करने वाला हो?

समाधान।आइए परिकल्पनाओं का परिचय दें: H1 - परीक्षित एक स्थायी धूम्रपान करने वाला है, H2 - एक धूम्रपान न करने वाला है। फिर समस्या की स्थिति से

पी(एच1)=----------=0.4, पी(एच2)=----------=0.6

इस घटना को ए द्वारा निरूपित करें कि परीक्षित व्यक्ति के फेफड़ों में परिवर्तन हुआ है। फिर समस्या की स्थिति से

सूत्र (1.15) से हम पाते हैं

बेयस सूत्र के अनुसार, जांचा गया व्यक्ति धूम्रपान करने वाला है, इसकी वांछित संभावना के बराबर है

एक कार्य। 1.4.2तीन फैक्ट्रियों के टेलीविजन बिक्री पर जाते हैं: पहली फैक्ट्री से 30%, दूसरे से 20%, तीसरे से 50%। पहले कारखाने के उत्पादों में एक छिपे हुए दोष के साथ 20% टीवी होते हैं, दूसरे - 10%, तीसरे - 5%। एक कार्यशील टीवी प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समाधान। आइए निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें: ए - एक सेवा योग्य टीवी खरीदा गया था; परिकल्पना H1, H2, H3 - टीवी क्रमशः पहले, दूसरे, तीसरे कारखाने से बिक्री पर चला गया। कार्य के अनुसार

सूत्र (1.15) से हम पाते हैं

एक कार्य। 1.4.3तीन समान बक्से हैं। पहली में 20 सफेद गेंदें हैं, दूसरी में 10 सफेद और 10 काली गेंदें हैं, और तीसरे में 20 काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से चयनित बॉक्स से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। इस गेंद के दूसरे डिब्बे से निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान लीजिए कि घटना A - एक सफेद गेंद निकाली जाती है, परिकल्पना H1, H2, H3 - गेंद को क्रमशः पहले, दूसरे, तीसरे बॉक्स से निकाला जाता है। समस्या की स्थिति से हम पाते हैं

फिर
सूत्र (1.15) से हम पाते हैं

सूत्र (1.16) से हम पाते हैं

एक कार्य। 1.4.4टेलीग्राफ संदेश में डॉट और डैश सिग्नल होते हैं। हस्तक्षेप के सांख्यिकीय गुण ऐसे हैं कि वे औसतन विकृत हो जाते हैं 2/5 डॉट संदेश और 1/3 डैश संदेश। यह ज्ञात है कि प्रेषित संकेतों के बीच "डॉट" और "डैश" अनुपात में होते हैं 5: 3. संचरित संकेत प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि:

ए) एक "बिंदु" संकेत प्राप्त होता है;

बी)डैश सिग्नल प्राप्त हुआ।

समाधान। घटना ए - "डॉट" सिग्नल प्राप्त होने दें, और ईवेंट बी - "डैश" सिग्नल प्राप्त होता है।

दो परिकल्पनाएँ बनाई जा सकती हैं: H1 - "डॉट" सिग्नल प्रेषित होता है, H2 - "डैश" सिग्नल प्रेषित होता है। शर्त के अनुसार P(H1) : P(H2) =5:3। इसके अलावा, P(H1 .) ) + पी (एच 2)= 1. इसलिए पी(एच 1 ) = 5/8, पी(एच2 ) = 3/8। यह जाना जाता है कि

घटना की संभावनाएं एऔर बीहम कुल संभावना के सूत्र द्वारा पाते हैं:

वांछित संभावनाएं होंगी:

एक कार्य। 1.4.510 रेडियो चैनलों में से 6 चैनल हस्तक्षेप से सुरक्षित हैं। समय के साथ एक सुरक्षित चैनल होने की प्रायिकताटीविल नॉट फेल 0.95, असुरक्षित चैनल के लिए - 0.8. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दो यादृच्छिक रूप से चयनित चैनल समय पर विफल नहीं होंगेटी, और दोनों चैनल हस्तक्षेप से सुरक्षित नहीं हैं।

समाधान। बता दें कि घटना ए - समय टी के दौरान दोनों चैनल विफल नहीं होंगे, घटना ए1-सुरक्षित चैनल चयनित A2-एक असुरक्षित चैनल चुना गया है।

आइए प्रयोग के लिए प्राथमिक घटनाओं का स्थान लिखें - (दो चैनल चुने गए हैं):

= (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

परिकल्पना:

H1 - दोनों चैनल हस्तक्षेप से सुरक्षित हैं;

H2 - पहला चयनित चैनल सुरक्षित है, दूसरा चयनित चैनल हस्तक्षेप से सुरक्षित नहीं है;

H3 - पहला चयनित चैनल सुरक्षित नहीं है, दूसरा चयनित चैनल हस्तक्षेप से सुरक्षित है;

H4 - दोनों चयनित चैनल हस्तक्षेप से सुरक्षित नहीं हैं। फिर

और

एक कार्य। 1.5.1संचार चैनल पर प्रेषित 6 संदेश। प्रत्येक संदेश को संभावना के साथ शोर से विकृत किया जा सकता है 0.2 दूसरों की परवाह किए बिना। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

1. 6 में से 4 संदेश विकृत नहीं हैं;

2. 6 में से कम से कम 3 विकृत रूप से प्रसारित हुए;

3. 6 में से कम से कम एक संदेश विकृत है;

4. 6 में से 2 से अधिक विकृत नहीं हैं;

5. सभी संदेश विरूपण के बिना प्रसारित किए जाते हैं।

समाधान। चूंकि विरूपण की संभावना 0.2 है, बिना किसी हस्तक्षेप के संदेश प्रसारित करने की संभावना 0.8 है।

1. बर्नौली सूत्र (1.17) का प्रयोग करते हुए, हम प्रायिकता ज्ञात करते हैं
बिना किसी व्यवधान के 6 में से 4 संदेशों की संचरण क्षमता:

2. 6 में से कम से कम 3 विकृत रूप से प्रेषित होते हैं:

3. 6 में से कम से कम एक संदेश विकृत है:

4. 6 में से कम से कम एक संदेश विकृत है:

5. सभी संदेश विरूपण के बिना प्रेषित होते हैं:

एक कार्य। 1.5.2गर्मियों में दिन साफ ​​रहने की प्रायिकता 0.42 है; बादल छाए रहने की संभावना 0.36 और आंशिक रूप से बादल छाए रहने की संभावना 0.22 है। 59 में से कितने दिन साफ ​​और बादल छाए रहने की उम्मीद की जा सकती है?

समाधान। समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि स्पष्ट और बादल वाले दिनों की सबसे संभावित संख्या की तलाश करना आवश्यक है।

स्पष्ट दिनों के लिए पी= 0.42, एन= 59. हम असमानताओं की रचना करते हैं (1.20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ एमओ≤ 25.2 → एमओ= 25.

बादल दिनों के लिए पी = 0.36, एन = 59 और

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ एम0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

इसलिए 20.16 एम0 ≤ 21.60; → एम0 = 21.

इस प्रकार, स्पष्ट दिनों की सबसे संभावित संख्या एमओ= 25, बादल दिन - M0 = 21. फिर गर्मियों में हम उम्मीद कर सकते हैं एमओ+ M0 = 46 साफ़ और बादल वाले दिन।

एक कार्य। 1.5.3संभाव्यता सिद्धांत पर व्याख्यान में पाठ्यक्रम के 110 छात्र हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

1. उपस्थित लोगों में से k छात्रों (k = 0,1,2) का जन्म पहली सितंबर को हुआ था;

2. पाठ्यक्रम के कम से कम एक छात्र का जन्म पहली सितंबर को हुआ था।

पी = 1/365बहुत छोटा है, इसलिए हम पॉइसन सूत्र (1.22) का उपयोग करते हैं। आइए पॉइसन पैरामीटर खोजें। इसलिये

एन= 110, तो = एनपी = 110 1/365 = 0.3।

फिर पॉइसन सूत्र द्वारा

एक कार्य। 1.5.4एक भाग के मानक नहीं होने की प्रायिकता है 0.1. कितने विवरणों का चयन करने की आवश्यकता है ताकि प्रायिकता के साथ P = 0.964228 यह तर्क दिया जा सकता है कि गैर-मानक भागों की घटना की सापेक्ष आवृत्ति निरंतर संभावना से विचलित होती है p = 0.1 निरपेक्ष रूप से, इससे अधिक नहीं 0.01 ?

समाधान।

आवश्यक संख्या एनहम सूत्र (1.25) द्वारा पाते हैं। हमारे पास है:

पी = 1.1; क्यू = 0.9; पी = 0.96428. डेटा को सूत्र में बदलें:

हम कहाँ पाते हैं

फ़ंक्शन के मानों की तालिका के अनुसार ( एक्स) हम पाते हैं कि

एक कार्य। 1.5.5एक संधारित्र के T समय में विफल होने की प्रायिकता 0.2 है। इस संभावना को निर्धारित करें कि समय में 100 कैपेसिटर में से T विफल हो जाएगा।

1. बिल्कुल 10 कैपेसिटर;

2. कम से कम 20 कैपेसिटर;

3. 28 से कम कैपेसिटर;

4. 14 से 26 कैपेसिटर से।

समाधान। हमारे पास है पी = 100, पी = 0.2, क्यू = 1 - पी = 0.8.

1. बिल्कुल 10 कैपेसिटर।

इसलिये पीवेलिको, आइए स्थानीय डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय का उपयोग करें:

गणना करना

समारोह के बाद से (एक्स)- सम, तब (-2.5) = (2.50) = 0.0175 (हम फलन मानों की तालिका से पाते हैं) (एक्स)।वांछित संभावना

2. कम से कम 20 कैपेसिटर;

आवश्यकता है कि 100 में से कम से कम 20 कैपेसिटर विफल हो जाएं, इसका मतलब है कि या तो 20, या 21, ..., या 100 विफल हो जाएंगे। इस प्रकार, टी1 = 20, टी 2=100. फिर

फ़ंक्शन मानों की तालिका के अनुसार (एक्स)आइए हम (x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = (20) = 0.5 खोजें। आवश्यक संभावना:

3. 28 से कम कैपेसिटर;

(यहाँ यह ध्यान में रखा गया था कि लैपलेस फ़ंक्शन (x) विषम है)।

4. 14 से 26 कैपेसिटर तक। शर्त के अनुसार एम1= 14, एम2 = 26.
x 1,x2 की गणना करें:

एक कार्य। 1.5.6एक प्रयोग में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.6 के बराबर होती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह घटना 60 परीक्षणों में से अधिकांश में घटित होगी?

समाधान। मात्रा एमपरीक्षणों की एक श्रृंखला में एक घटना की घटना अंतराल में होती है। "अधिकांश प्रयोगों में" का अर्थ है कि एमअंतराल के अंतर्गत आता है शर्त के अनुसार एन = 60, पी = 0.6, क्यू = 0.4, एम1 = 30, m2 = 60. x1 और x2 की गणना करें:

यादृच्छिक चर और उनके वितरण

एक कार्य। 2.1.1एक तालिका दी गई है, जहां शीर्ष रेखा एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों को इंगित करती हैएक्स , और सबसे नीचे - उनकी संभावनाएं।

क्या यह तालिका एक वितरण श्रृंखला हो सकती हैएक्स ?

उत्तर: हाँ, चूँकि p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

एक कार्य। 2.1.2मुक्त 500 लॉटरी टिकट, तथा 40 टिकट उनके मालिकों के लिए एक पुरस्कार लाएंगे 10000 रगड़ना।, 20 टिकट - by 50000 रगड़ना।, 10 टिकट - by 100000 रगड़ना।, 5 टिकट - by 200000 रगड़ना।, 1 टिकट - 500000 रगड़।, बाकी - बिना जीत के। एक टिकट के मालिक के लिए विजयी वितरण कानून खोजें।

समाधान।

X के संभावित मान: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. इन संभावित मानों की संभावनाएं हैं:

वांछित वितरण कानून:

एक कार्य। 2.1.3निशानेबाज, होने 5 लक्ष्य पर पहली हिट तक कारतूस, गोली मारता है। प्रत्येक शॉट मारने की संभावना है 0.7. उपयोग किए गए कारतूसों की संख्या के वितरण के नियम की रचना कीजिए, वितरण फलन ज्ञात कीजिएएफ(एक्स) और उसका ग्राफ खींचिए, P(2 .) ज्ञात कीजिए< x < 5).

समाधान।

अनुभव की प्रारंभिक घटनाओं का स्थान

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

जहां घटना (1) - निशाने पर लगी, घटना (0) - निशाने पर नहीं लगी। प्राथमिक परिणाम उपयोग किए गए कारतूसों की संख्या के यादृच्छिक मूल्य के निम्नलिखित मूल्यों के अनुरूप हैं: 1, 2, 3, 4, 5। चूंकि प्रत्येक अगले शॉट का परिणाम पिछले एक पर निर्भर नहीं करता है, संभावित मूल्यों की संभावनाएं हैं:

पी1 = पी(x1= 1) = पी(1)= 0.7; पी2 = पी(x2= 2) = पी(01)= 0.3 0.7 = 0.21;

पी 3 = पी(x3= 3) = पी (001) = 0.32 0.7 = 0.063;

पी4 = पी(x4= 4) = पी(0001) = 0.33 0.7 = 0.0189;

पी 5 = पी(x5= 5) = पी(00001 + 0000) = 0.34 0.7 + 0.35 = 0.0081।

वांछित वितरण कानून:

वितरण समारोह खोजें एफ(एक्स), सूत्र का उपयोग करना (2.5)

एक्स≤1, एफ (एक्स)= पी(एक्स< x) = 0

1 < x ≤2, एफ (एक्स)= पी(एक्स< x) = पी1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = पी1(एक्स= 1) + P2(x = 2) = 0.91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0.973 + 0.0189 = 0.9919

एक्स >5, एफ(एक्स) = 1

पी खोजें(2 .)< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < एक्स< 5) = एफ(5) - एफ(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

एक कार्य। 2.1.4दानएफ(एक्स) कुछ यादृच्छिक चर के:

X के लिए वितरण श्रृंखला लिखिए।

समाधान।

संपत्तियों से एफ(एक्स) यह इस प्रकार है कि यादृच्छिक चर के संभावित मान एक्स - समारोह विराम बिंदु एफ(एक्स), और संबंधित संभावनाएं फ़ंक्शन के कूद हैं एफ(एक्स). यादृच्छिक चर X=(0,1,2,3,4) के संभावित मान ज्ञात कीजिए।

एक कार्य। 2.1.5कौन सा फ़ंक्शन सेट करें

किसी यादृच्छिक चर का वितरण फलन है।

यदि उत्तर हाँ है, तो संगत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यादृच्छिक मूल्यमान लेता है[-3,2].

समाधान। आइए फलन F1(x) और F2(x) को प्लॉट करें:

फलन F2(x) एक वितरण फलन नहीं है, क्योंकि यह कम नहीं होता है। फलन F1(x) है

कुछ यादृच्छिक चर का वितरण कार्य, क्योंकि यह गैर-घटता है और स्थिति (2.3) को संतुष्ट करता है। आइए अंतराल से टकराने की प्रायिकता ज्ञात करें:

एक कार्य। 2.1.6एक सतत यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व को देखते हुएएक्स :

पाना:

1. गुणकसी ;

2. वितरण समारोहएफ (एक्स) ;

3. एक यादृच्छिक चर के अंतराल में गिरने की प्रायिकता(1, 3).

समाधान। सामान्यीकरण की स्थिति (2.9) से हम पाते हैं

फलस्वरूप,

सूत्र (2.10) से हम पाते हैं:

इस तरह,

सूत्र (2.4) से हम पाते हैं

एक कार्य। 2.1.7कुछ मामलों में इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों के रैंडम डाउनटाइम की संभावना घनत्व होती है

कहाँ पेएम = एलजी = 0.4343...

वितरण समारोह खोजेंएफ (एक्स) .

समाधान। सूत्र (2.10) से हम पाते हैं

कहाँ पे

एक कार्य। 2.2.1एक असतत यादृच्छिक चर की एक वितरण श्रृंखला दी गई हैएक्स :

पाना अपेक्षित मूल्य, विचरण, मानक विचलन,एम, डी [-3X + 2]।

समाधान।

सूत्र (2.12) के अनुसार हम गणितीय अपेक्षा पाते हैं:

एम [एक्स] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0.2 + 20 0.15 + 30 0.25 + 40 0.4 = 28.5

एम = 2 एम [एक्स] + एम = 2 एम [एक्स] + 5 = 2 28.5 + 5 = 62. सूत्र (2.19) का उपयोग करके, हम फैलाव पाते हैं:

एक कार्य। 2.2.2एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिएएक्स , जिसका वितरण कार्य

.

समाधान। प्रायिकता घनत्व ज्ञात कीजिए:

गणितीय अपेक्षा सूत्र (2.13) द्वारा पाई जाती है:

हम सूत्र (2.19) द्वारा फैलाव पाते हैं:

आइए सबसे पहले यादृच्छिक चर के वर्ग की गणितीय अपेक्षा खोजें:

मानक विचलन

एक कार्य। 2.2.3एक्सकई वितरण हैं:

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिएयू = भूतपूर्व .

समाधान। एम[ यू] = एम [भूतपूर्व ] = ई-- 1 0.2 + ई0 0.3 + ई1 0.4 + ई2 0.1 =

0.2 0.3679 + 1 0.3 + 2.71828 0.4 + 7.389 0.1 = 2.2।

डी [वाई] = डी = एम [(ईएक्स) 2 - एम2[इएक्स] =

[(ई-1)2 0.2 + (ई0)2 0.3 + (ई1)2 0.4 + (ई2)2 0.1] - (2.2)2 =

= (ई--2 0.2 + 0.3 + ई2 0.4 + ई4 0.1) - 4.84 = 8.741 - 4.84 = 3.9।

एक कार्य। 2.2.4असतत यादृच्छिक चरएक्स केवल दो मान ले सकते हैं X1 और X2 , तथा X1< x2. ज्ञात संभावनापी1 = 0.2 संभावित मूल्य X1 , अपेक्षित मूल्यएम [एक्स] = 3.8 और फैलावडी [एक्स] = 0.16. यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का पता लगाएं।

समाधान। चूँकि यादृच्छिक चर X केवल दो मान x1 और x2 लेता है, तो प्रायिकता p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0.2 = 0.8।

समस्या की स्थिति से, हमारे पास है:

एम [एक्स] = x1p1 + x2p2 = 0.2x1 + 0.8x2 = 3.8;

डी [एक्स] = (x21p1 + x22p2) - M2 [X] = (0.2x21 + 0.8x22) - (0.38)2 = 0.16।

इस प्रकार, हमें समीकरणों की प्रणाली मिली:

शर्त X1

एक कार्य। 2.2.5यादृच्छिक चर X वितरण कानून के अधीन है, जिसके घनत्व ग्राफ का रूप है:

गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए हम अवकल बंटन फलन f(x) ज्ञात करें। अंतराल के बाहर (0, 3) f(x) = 0. अंतराल (0, 3) पर घनत्व ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसमें ढलान k = 2/9 मूल बिंदु से होकर गुजरती है। इस तरह,

अपेक्षित मूल्य:

प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए:

एक कार्य। 2.2.6एक रोल में चार पासों पर अंकों के योग की गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए ए को निरूपित करें - एक बार में एक पासे पर अंकों की संख्या, बी - दूसरे पासे पर अंकों की संख्या, सी - तीसरे पासे पर, डी - चौथे पासे पर। यादृच्छिक चर ए, बी, सी, डी, वितरण कानून के लिए एक।

फिर एम [ए] = एम [बी] = एम [सी] = एम [डी] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.5

एक कार्य। 2.3.1एक रेडियोधर्मी स्रोत से उत्सर्जित एक कण के एक काउंटर द्वारा पंजीकृत होने की प्रायिकता के बराबर है 0.0001. अवलोकन अवधि के दौरान, 30000 कण। काउंटर के पंजीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

1. बिल्कुल 3 कण;

2. एक कण नहीं;

3. कम से कम 10 कण।

समाधान। शर्त के अनुसार पी= 30000, पी= 0.0001. घटनाएँ इस तथ्य में शामिल हैं कि एक रेडियोधर्मी स्रोत से उत्सर्जित कण पंजीकृत हैं स्वतंत्र हैं; संख्या पीबढ़िया, लेकिन संभावना पीछोटा, इसलिए हम पॉइसन वितरण का उपयोग करते हैं: आइए खोजें : λ = एनपी = 30000 0.0001 = 3 = एम [एक्स]। वांछित संभावनाएं:

एक कार्य। 2.3.2लॉट में 5% गैर-मानक भाग हैं। 5 आइटम यादृच्छिक रूप से चुने गए थे। असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम लिखिएएक्स - चयनित पांच में से गैर-मानक भागों की संख्या; गणितीय अपेक्षा और विचरण का पता लगाएं।

समाधान। असतत यादृच्छिक चर X - गैर-मानक भागों की संख्या - एक द्विपद वितरण है और निम्नलिखित मान ले सकता है: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. की संभावना बैच पी = 5/100 = 0.05 में एक गैर-मानक भाग। आइए इन संभावित मूल्यों की संभावनाएं खोजें:

आइए वांछित वितरण कानून लिखें:

आइए संख्यात्मक विशेषताओं को खोजें:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

एम [एक्स] = एनपी= 5 0.05 = 0.25.

डी [एक्स] = एम– एम2 [एक्स]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

या डी[ एक्स] = एनपी (1 - पी) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

एक कार्य। 2.3.3रडार लक्ष्य का पता लगाने का समय घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है

कहाँ पे1/ = 10 सेक। - औसत लक्ष्य का पता लगाने का समय। समय के भीतर लक्ष्य के मिल जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए5 पहले15 सेक। खोज शुरू होने के बाद।

समाधान। यादृच्छिक चर के टकराने की प्रायिकता एक्स अंतराल में (5, 15) आइए हम सूत्र (2.8) द्वारा ज्ञात करें:

पर हम पाते हैं

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

एक कार्य। 2.3.4यादृच्छिक माप त्रुटियां सामान्य कानून के अधीन होती हैं जिनमें पैरामीटर a = . होता है 0, = 20 मिमी. डिफरेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन लिखेंएफ(एक्स) और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि माप से अंतराल में त्रुटि हुई है 5 पहले 10 मिमी.

समाधान। आइए हम पैरामीटर ए और σ के मानों को अंतर वितरण फ़ंक्शन (2.35) में प्रतिस्थापित करें:

सूत्र (2.42) का उपयोग करके, हम एक यादृच्छिक चर के हिट होने की प्रायिकता पाते हैं एक्स अंतराल में, अर्थात्। ए = 0, बी = 0.1. फिर डिफरेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन एफ (एक्स)ऐसा दिखाई देगा