DSW के लक्षण और उनके गुण। गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन

वितरण कानून पूरी तरह से यादृच्छिक चर की विशेषता है। हालांकि, जब वितरण कानून को खोजना असंभव है, या इसकी आवश्यकता नहीं है, तो कोई खुद को मूल्यों को खोजने के लिए सीमित कर सकता है, जिसे यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं कहा जाता है। ये मात्राएँ कुछ औसत मान निर्धारित करती हैं जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मूल्यों को समूहीकृत किया जाता है, और इस औसत मूल्य के आसपास उनके फैलाव की डिग्री।

गणितीय अपेक्षाएक असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

गणितीय अपेक्षा मौजूद है यदि समानता के दाईं ओर की श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण करती है।

संभाव्यता के संदर्भ में, हम कह सकते हैं कि अपेक्षित मूल्ययादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर।

उदाहरण। असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम ज्ञात है। गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।

एक्स
पी	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान:

9.2 प्रत्याशित गुण

1. गणितीय अपेक्षा नियत मानसबसे स्थिर के बराबर।

2. उम्मीद के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है।

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है।

यह गुण यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के लिए मान्य है।

4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

यह गुण यादृच्छिक चरों की मनमानी संख्या के लिए भी सत्य है।

मान लीजिए n स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, घटना A के घटित होने की प्रायिकता जिसमें p बराबर है।

प्रमेय। n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा M(X) परीक्षणों की संख्या और प्रत्येक परीक्षण में घटना के घटित होने की संभावना के गुणनफल के बराबर है।

उदाहरण। एक यादृच्छिक चर Z की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए यदि X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ ज्ञात हैं: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y।

समाधान:

9.3 असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

हालाँकि, गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक प्रक्रिया को पूरी तरह से चित्रित नहीं कर सकती है। गणितीय अपेक्षा के अलावा, एक ऐसा मान प्रस्तुत करना आवश्यक है जो गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के मानों के विचलन की विशेषता है।

यह विचलन यादृच्छिक चर और इसकी गणितीय अपेक्षा के बीच के अंतर के बराबर है। इस मामले में, विचलन की गणितीय अपेक्षा शून्य है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि कुछ संभावित विचलन सकारात्मक हैं, अन्य नकारात्मक हैं, और उनके पारस्परिक रद्दीकरण के परिणामस्वरूप, शून्य प्राप्त होता है।

फैलाव (बिखरने)असतत यादृच्छिक चर को उसकी गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

व्यवहार में, प्रसरण की गणना करने की यह विधि असुविधाजनक है, क्योंकि एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में मूल्यों के लिए बोझिल गणना की ओर जाता है।

इसलिए, एक और विधि का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय। विचरण यादृच्छिक चर X के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और उसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर है.

सबूत। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि गणितीय अपेक्षा M (X) और गणितीय अपेक्षा M 2 (X) का वर्ग स्थिर मान हैं, हम लिख सकते हैं:

उदाहरण। वितरण नियम द्वारा दिए गए असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

एक्स
एक्स 2
आर	0.2	0.3	0.1	0.4

समाधान: ।

9.4 फैलाव गुण

1. एक स्थिर मान का परिक्षेपण शून्य होता है। .

2. एक अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से वर्ग करके निकाला जा सकता है। .

3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

4. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। .

प्रमेय। n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या का विचरण, जिनमें से प्रत्येक में घटना के घटित होने की संभावना p स्थिर है, परीक्षणों की संख्या और घटना और गैर-घटना की संभावनाओं के गुणनफल के बराबर है। प्रत्येक परीक्षण में घटना की।

9.5 असतत यादृच्छिक चर का मानक विचलन

मानक विचलनयादृच्छिक चर X को प्रसरण का वर्गमूल कहा जाता है।

प्रमेय। परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की एक परिमित संख्या के योग का मूल माध्य वर्ग विचलन है वर्गमूलइन राशियों के मानक विचलन के वर्गों के योग से।

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संभाव्यता सिद्धांत 15: गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा और विचरण। लिखित

ट्रेडिंग में गणितीय अपेक्षा

उपशीर्षक

परिभाषा

एक प्रायिकता (स्पेस दिया जाए) दें (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))और उस पर परिभाषित यादृच्छिक मूल्य एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स). यानी परिभाषा के अनुसार, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) )एक मापने योग्य कार्य है। यदि मौजूद है a Lebesgue का अभिन्न अंग एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)अंतरिक्ष से (\displaystyle \Omega ), तो इसे गणितीय अपेक्षा, या औसत (अपेक्षित) मान कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है एम [एक्स] (\displaystyle एम[एक्स])या ई [एक्स] (\displaystyle \mathbb (ई) [एक्स]).

एम [एक्स] = एक्स (ω) पी (डी ω) । (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega )\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega)।)

गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र

एम [ एक्स ] = ∫ - ∞ एक्स डी एफ एक्स (एक्स) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).

असतत वितरण की गणितीय अपेक्षा

P (X = x i) = p i , ∑ i = 1 p i = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1 )^(\infty )p_(i)=1),

तो यह सीधे लेबेसेग इंटीग्रल की परिभाषा से आता है कि

एम [ एक्स ] = ∑ i = 1 x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).

पूर्णांक मान की गणितीय अपेक्षा

पी (एक्स = जे) = पी जे, जे = 0, 1,। . . ; ∑ j = 0 ∞ p j = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)

तब इसकी गणितीय अपेक्षा को अनुक्रम के सृजन (कार्य) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))

P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))

एकता पर पहले व्युत्पन्न के मूल्य के रूप में: एम [ एक्स ] = पी ′ (1) (\displaystyle एम[एक्स]=पी”(1)). यदि गणितीय अपेक्षा एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)अनंत, तो लिम एस → 1 पी ′ (एस) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty )और हम लिखेंगे पी ′ (1) = एम [ एक्स ] = ∞ (\displaystyle पी"(1)=M[X]=\infty )

अब जनरेटिंग फंक्शन लेते हैं क्यू (एस) (\displaystyle क्यू(एस))वितरण के "पूंछ" के अनुक्रम ( क्यू के ) (\displaystyle \(q_(k)\))

क्यू के = पी (एक्स> के) = ∑ जे = के + 1 ∞ पी जे; क्यू (एस) = ∑ के = 0 क्यू के एस के। (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)

यह जनरेटिंग फ़ंक्शन पहले से परिभाषित फ़ंक्शन से संबंधित है पी (एस) (\displaystyle पी(एस))संपत्ति: Q (s) = 1 - P (s) 1 - s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))पर | एस |< 1 {\displaystyle |s|<1} . इससे, माध्य-मूल्य प्रमेय के अनुसार, यह इस प्रकार है कि गणितीय अपेक्षा एकता में इस फ़ंक्शन के मूल्य के बराबर है:

एम [ एक्स ] = पी ′ (1) = क्यू (1) (\displaystyle एम[एक्स]=पी”(1)=क्यू(1))

बिल्कुल निरंतर वितरण की गणितीय अपेक्षा

M [ X ] = ∫ x f X (x) d x (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).

एक यादृच्छिक वेक्टर की गणितीय अपेक्षा

होने देना X = (X 1 ,… , X n) : → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( आर) ^(एन))एक यादृच्छिक वेक्टर है। फिर परिभाषा के अनुसार

एम [ एक्स ] = (एम [ एक्स 1 ] , … , एम [ एक्स एन ]) ⊤ (\displaystyle एम[एक्स]=(एम,\डॉट्स ,एम)^(\top )),

यानी, वेक्टर की गणितीय अपेक्षा घटक द्वारा निर्धारित की जाती है।

यादृच्छिक चर के परिवर्तन की गणितीय अपेक्षा

होने देना g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) )एक बोरेल (फ़ंक्शन) ऐसा है कि यादृच्छिक चर Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X))एक सीमित गणितीय अपेक्षा है। तब सूत्र इसके लिए मान्य है:

एम [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (x i) p i (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_(i )),

यदि एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)एक असतत वितरण है;

एम [ जी (एक्स) ] = ∫ जी (एक्स) एफ एक्स (एक्स) डी एक्स (\displaystyle एम\बाएं=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x) f_(X)(x)\,dx),

यदि एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बिल्कुल निरंतर वितरण है।

यदि वितरण पी एक्स (\displaystyle \mathbb (पी) ^(एक्स))अनियमित चर एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)सामान्य रूप, फिर

एम [ जी (एक्स) ] = ∫ - ∞ जी (एक्स) पी एक्स (डी एक्स) (\displaystyle एम\बाएं=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\, \mathbb (पी) ^(एक्स)(डीएक्स)).

विशेष मामले में जब g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), अपेक्षित मूल्य एम [जी (एक्स)] = एम [ एक्स के] (\displaystyle एम\बाएं=एम)बुलाया k (\displaystyle k)यादृच्छिक चर का -वाँ क्षण।

गणितीय अपेक्षा के सबसे सरल गुण

• किसी संख्या की गणितीय अपेक्षा ही वह संख्या होती है।

एम [ए] = ए (\डिस्प्लेस्टाइल एम[ए]=ए) a R (\displaystyle a\in \mathbb (R) )- लगातार;

• गणितीय अपेक्षा रैखिक है, अर्थात्

एम [ ए एक्स + बी वाई ] = ए एम [ एक्स ] + बी एम [ वाई ] (\displaystyle M=aM[X]+bM[Y]), कहाँ पे एक्स , वाई (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स, वाई)एक परिमित गणितीय अपेक्षा के साथ यादृच्छिक चर हैं, और a , b ∈ R (\displaystyle a,b\in \mathbb (R) )- मनमाना स्थिरांक; 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] (\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]); एम [ एक्स ] = एम [ वाई ] (\ डिस्प्लेस्टाइल एम [एक्स] = एम [वाई]). एम [ एक्स वाई ] = एम [ एक्स ] एम [ वाई ] (\ डिस्प्लेस्टाइल एम = एम [एक्स] एम [वाई]).

1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं स्थिरांक के बराबर होती है एम (एस) = एस .
2. उम्मीद के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है: एम (सीएक्स) = सीएम (एक्स)
3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के गुणनफल के बराबर होती है: एम (एक्सवाई) = एम (एक्स) एम (वाई)।
4. दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा पदों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है: एम (एक्स + वाई) = एम (एक्स) + एम (वाई)।

प्रमेय। स्वतंत्र परीक्षणों में घटनाओं ए की घटनाओं की संख्या की गणितीय अपेक्षा एम (एक्स) प्रत्येक परीक्षण में घटनाओं की घटना की संभावना से इन परीक्षणों के उत्पाद के बराबर है: एम (एक्स) = एनपी।

होने देना एक्स एक यादृच्छिक चर है और एम (एक्स) इसकी गणितीय अपेक्षा है। एक नए यादृच्छिक चर के रूप में अंतर पर विचार करें एक्स - एम (एक्स)।

विचलन एक यादृच्छिक चर और इसकी गणितीय अपेक्षा के बीच का अंतर है।

विचलन में निम्नलिखित वितरण कानून है:

हल: गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

आइए वर्ग विचलन का वितरण नियम लिखें:

हल: अपेक्षा ज्ञात कीजिए M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

आइए यादृच्छिक चर X 2 . का वितरण नियम लिखें

x2
पी	0.1	0.6	0.3

आइए गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं एम (एक्स 2): एम (एक्स 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

वांछित फैलाव डी (एक्स) \u003d एम (एक्स 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05

फैलाव गुण:

1. एक स्थिर मूल्य का फैलाव से शून्य के बराबर: डी (सी) = 0
2. एक अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से वर्ग करके निकाला जा सकता है। डी (सीएक्स) = सी 2 डी (एक्स)
3. स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है। डी(एक्स 1 +एक्स 2 +...+एक्स एन)=डी(एक्स 1)+डी(एक्स 2)+...+डी(एक्स एन)
4. द्विपद बंटन का प्रसरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होता है डी (एक्स) = एनपीक्यू

एक यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के उसके औसत मूल्य के आसपास फैलाव का अनुमान लगाने के लिए, विचरण के अलावा, कुछ अन्य विशेषताएँ भी काम करती हैं। उनमें से मानक विचलन है।

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सविचरण का वर्गमूल कहा जाता है:

(X) = D(X) (4)

उदाहरण। यादृच्छिक चर X वितरण नियम द्वारा दिया गया है

एक्स
पी	0.1	0.4	0.5

मानक विचलन ज्ञात कीजिए (x)

हल: गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
आइए X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54 की गणितीय अपेक्षा खोजें।
फैलाव ज्ञात कीजिए: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
वांछित मानक विचलन σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

प्रमेय। परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों की एक परिमित संख्या के योग का मानक विचलन इन चरों के वर्ग मानक विचलनों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है:

उदाहरण। 6 किताबों की शेल्फ पर गणित की 3 और भौतिकी की 3 किताबें हैं। यादृच्छिक रूप से तीन पुस्तकों का चयन किया जाता है। चयनित पुस्तकों में गणित में पुस्तकों की संख्या के वितरण का नियम ज्ञात कीजिए। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

गणितीय अपेक्षा है, परिभाषा

चटाई प्रतीक्षा हैगणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, मूल्यों के वितरण की विशेषता या संभावनाओंअनियमित चर। आमतौर पर एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह जोखिमों का आकलन करने, वित्तीय बाजारों में व्यापार करते समय मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में महत्वपूर्ण है, और इसका उपयोग रणनीतियों और खेल रणनीति के तरीकों के विकास में किया जाता है। जुआ सिद्धांत.

चेकमेट प्रतीक्षा- ये हैयादृच्छिक चर का माध्य मान, वितरण संभावनाओंसंभाव्यता सिद्धांत में यादृच्छिक चर माना जाता है।

चटाई प्रतीक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य का माप। एक यादृच्छिक चर की गणित अपेक्षा एक्सलक्षित एम (एक्स).

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

चटाई प्रतीक्षा है

चटाई प्रतीक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मूल्यों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।

चटाई प्रतीक्षा हैइन मानों की प्रायिकताओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के गुणनफल का योग।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

चटाई प्रतीक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है।

चटाई प्रतीक्षा हैजुए के सिद्धांत में, जीत की वह राशि जो एक सट्टेबाज प्रत्येक दांव के लिए औसतन कमा या खो सकता है। जुए की भाषा में सट्टेबाजोंइसे कभी-कभी "लाभ" कहा जाता है सट्टेबाज़"(यदि यह सट्टेबाज के लिए सकारात्मक है) या" घर का किनारा "(यदि यह सट्टेबाज के लिए नकारात्मक है)।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

चटाई प्रतीक्षा हैप्रति जीत लाभ को औसत से गुणा किया जाता है फायदा, घटाकर हानि को औसत हानि से गुणा किया जाता है।

गणितीय सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

एक यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। यादृच्छिक चर के एक सेट पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक है, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मूल्यों के लिए परिभाषित एक फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, संयुक्त कानूनयादृच्छिक चर का वितरण और, जो सेट से मान लेते हैं और संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।

शब्द "मैट। उम्मीद" पियरे साइमन मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और "अदायगी के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से उत्पन्न हुआ था, जो पहली बार 17 वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल और क्रिश्चियन ह्यूजेंस के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दिया था। हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन Pafnuty Lvovich Chebyshev (19 वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।

कानूनयादृच्छिक संख्यात्मक चर के वितरण (वितरण फ़ंक्शन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का वर्णन करते हैं। लेकिन कई समस्याओं में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) जानना पर्याप्त है। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं अपेक्षा, विचरण, मोड और माध्यिका हैं।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है। कभी-कभी चटाई। अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों पर यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर है। उम्मीद चटाई की परिभाषा से, यह निम्नानुसार है कि इसका मूल्य यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभव मूल्य से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। एक यादृच्छिक चर की गणित अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।

गणित की अपेक्षा का एक सरल भौतिक अर्थ है: यदि एक इकाई द्रव्यमान को एक सीधी रेखा पर रखा जाता है, तो कुछ द्रव्यमान को कुछ बिंदुओं पर रखा जाता है (के लिए असतत वितरण), या इसे एक निश्चित घनत्व (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए) के साथ "स्मीयरिंग" करें, तो अपेक्षा के अनुरूप बिंदु सीधी रेखा के "गुरुत्वाकर्षण केंद्र" का समन्वय होगा।

एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य एक निश्चित संख्या है, जो कि इसका "प्रतिनिधि" है और इसे अनुमानित अनुमानित गणना में बदल देता है। जब हम कहते हैं: "औसत दीपक संचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है", हम इसके द्वारा एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता का संकेत देते हैं जो इसका वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर स्थान, अर्थात। स्थान का विवरण।

संभाव्यता के सिद्धांत में स्थिति की विशेषताओं में, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य कहा जाता है।

एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, जिसके संभावित मूल्य हैं x1, x2,…, xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2,…, पीएन. हमें x-अक्ष पर यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्याओं द्वारा चिह्नित करने की आवश्यकता है ध्यान में रखनाकि इन मूल्यों की अलग-अलग संभावनाएं हैं। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है ग्यारहवीं, और औसत के दौरान प्रत्येक मान xi को इस मूल्य की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करेंगे एम|एक्स|:

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की चटाई अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक पर विचार किया - चटाई की अवधारणा। अपेक्षाएं। चटाई। एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

चटाई। एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा एक्सबड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एक यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के साथ एक अजीबोगरीब निर्भरता के कारण। यह निर्भरता उसी प्रकार की होती है जैसे आवृत्ति और संभाव्यता के बीच निर्भरता, अर्थात्: बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ, एक यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य (संभाव्यता में अभिसरण) इसकी चटाई तक पहुंच जाता है। प्रतीक्षा करना। आवृत्ति और संभाव्यता के बीच संबंध की उपस्थिति से, कोई परिणाम के रूप में अंकगणितीय माध्य और गणितीय अपेक्षा के बीच एक समान संबंध के अस्तित्व का अनुमान लगा सकता है। दरअसल, एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, वितरण की एक श्रृंखला द्वारा विशेषता:

इसे उत्पादित होने दें एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित मूल्य लेता है। मान लीजिए मान x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, सामान्य अर्थ ग्यारहवींमील बार दिखाई दिया। आइए हम एक्स के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो कि अपेक्षा मैट के विपरीत है एम|एक्स|हम निरूपित करेंगे एम*|एक्स|:

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनआवृत्तियों अनुकरणीय(संभाव्यता में अभिसरण) संबंधित संभावनाओं तक पहुंच जाएगा। इसलिए, यादृच्छिक चर के प्रेक्षित मानों का अंकगणितीय माध्य एम|एक्स|प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह अपनी अपेक्षा के अनुरूप (संभाव्यता में अभिसरण) होगा। अंकगणित माध्य और चटाई के बीच ऊपर तैयार किया गया संबंध। अपेक्षा बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री है।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के कानून के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि कुछ औसत बड़ी संख्या में प्रयोगों पर स्थिर होते हैं। यहां हम समान मान वाले प्रेक्षणों की श्रृंखला से अंकगणित माध्य के स्थायित्व के बारे में बात कर रहे हैं। प्रयोगों की एक छोटी संख्या के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - चटाई तक पहुंच जाता है। प्रतीक्षा करना।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, प्रयोगशाला में किसी पिंड को सटीक पैमानों पर तौलना, तोलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मान मिलता है; अवलोकन की त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम और कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता चटाई है। अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चरों के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए mat. कोई अपेक्षा नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन। हालांकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, हम जिन यादृच्छिक चरों से निपटते हैं, उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक चटाई की अपेक्षा होती है।

एक यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - अपेक्षा मूल्य - स्थिति की अन्य विशेषताओं को कभी-कभी व्यवहार में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के मोड और माध्यिका।

यादृच्छिक चर का बहुलक इसका सबसे संभावित मान है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्रा पर लागू होता है; एक सतत मात्रा के लिए, बहुलक वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "बहुविध" कहा जाता है।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनमें बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है। इस तरह के वितरण को "एंटीमॉडल" कहा जाता है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और अपेक्षा मेल नहीं खाते। विशेष मामले में जब वितरण सममित और मोडल (यानी एक मोड है) और एक चटाई है। उम्मीद है, तो यह वितरण के मोड और सममिति के केंद्र के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक और विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से एक असंतत चर के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र द्विभाजित होता है।

एक सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका चटाई के साथ मेल खाती है। उम्मीद और फैशन।

गणित अपेक्षा एक औसत मान है, यादृच्छिक चर - एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण की एक संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की चटाई अपेक्षा एक्स (डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:

चटाई। उम्मीद की गणना Lebesgue अभिन्न के रूप में भी की जा सकती है एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलमात्रा एक्स:

स्वाभाविक रूप से, कोई भी अनंत अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर की अवधारणा को परिभाषित कर सकता है। एक विशिष्ट उदाहरण कुछ यादृच्छिक सैर में प्रत्यावर्तन समय है।

मैट की मदद से। उम्मीदों को वितरण की कई संख्यात्मक और कार्यात्मक विशेषताओं (एक यादृच्छिक चर के संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में) द्वारा परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन उत्पन्न करना, विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से भिन्नता, सहप्रसरण।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

गणित अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका स्थिर क्षण की भूमिका के समान होती है - बड़े पैमाने पर वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समन्वय - यांत्रिकी में। स्थान की अन्य विशेषताओं से, जिसकी सहायता से वितरण को सामान्य शब्दों में वर्णित किया जाता है - माध्यिका, मोड, अपेक्षा अधिक मूल्य में भिन्न होती है कि यह और संबंधित प्रकीर्णन विशेषता - विचरण - में संभाव्यता सिद्धांत के सीमा प्रमेय होते हैं। सबसे बड़ी पूर्णता के साथ, उम्मीद मैट का अर्थ बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा प्रकट होता है।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

कुछ यादृच्छिक चर होने दें जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकता है (उदाहरण के लिए, एक डाई रोल में अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5, या 6) हो सकती है। अक्सर व्यवहार में, इस तरह के मूल्य के लिए सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य लेता है? प्रत्येक जोखिम भरे कार्य से हमारा औसत प्रतिफल (या हानि) क्या होगा?

मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या नियमित रूप से बार-बार भाग लेना)। मान लीजिए कि हर चौथा टिकट जीतता है, पुरस्कार 300 रूबल होगा, और कोई भी टिकट - 100 रूबल। असीमित संख्या में भागीदारी के साथ, ऐसा ही होता है। तीन-चौथाई मामलों में, हम हारेंगे, हर तीन नुकसान में 300 रूबल की लागत आएगी। हर चौथे मामले में हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार माइनस कॉस्ट), यानी चार भागीदारी के लिए, हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर प्रति टिकट 25 रूबल होगी।

हम एक पासा फेंकते हैं। यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को स्थानांतरित किए बिना, आदि), तो हमारे पास एक समय में औसतन कितने अंक होंगे? चूँकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से सम्भाव्य है, हम गूढ़ अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूंकि यह औसत है, इसलिए नाराज होने की कोई आवश्यकता नहीं है कि कोई विशेष थ्रो 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन में इतनी संख्या वाला चेहरा नहीं है!

आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

आइए ऊपर की तस्वीर पर एक नजर डालते हैं। बाईं ओर एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। X का मान n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिया गया)। कोई अन्य मूल्य नहीं हो सकता। प्रत्येक संभावित मूल्य के तहत, इसकी संभावना नीचे हस्ताक्षरित है। दाईं ओर एक सूत्र है, जहाँ M(X) को चटाई कहा जाता है। प्रतीक्षा करना। इस मूल्य का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मूल्य इस अपेक्षा की ओर अग्रसर होगा।

चलिए वापस उसी प्लेइंग क्यूब पर चलते हैं। चटाई। फेंकते समय अंकों की संख्या की अपेक्षा 3.5 है (यदि आप इस पर विश्वास नहीं करते हैं तो सूत्र का उपयोग करके स्वयं की गणना करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। 4 और 6 गिर गए। औसतन, यह 5 निकला, यानी 3.5 से बहुत दूर। उन्होंने इसे फिर से फेंक दिया, 3 गिर गए, यानी औसतन (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... किसी तरह चटाई से दूर। अपेक्षाएं। अब एक पागल प्रयोग करें - घन को 1000 बार रोल करें! और अगर औसत बिल्कुल 3.5 नहीं है, तो यह उसके करीब होगा।

चलो मैट गिनते हैं। ऊपर वर्णित लॉटरी की प्रतीक्षा कर रहा है। तालिका इस तरह दिखेगी:

तब उम्मीद चेकमेट होगा, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है।

एक और बात यह है कि यह "उंगलियों पर" भी है, बिना सूत्र के, अधिक विकल्प होने पर यह मुश्किल होगा। ठीक है, मान लें कि 75% हारने वाले टिकट, 20% जीतने वाले टिकट और 5% जीतने वाले टिकट थे।

अब उम्मीद के कुछ गुण चटाई।

चटाई। प्रतीक्षा रैखिक है।इसे साबित करना आसान है:

निरंतर गुणक को चेकमेट साइन से बाहर निकालने की अनुमति है। अपेक्षाएं, अर्थात्:

यह अपेक्षा मैट की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।

चटाई की रैखिकता का एक और परिणाम। अपेक्षाएं:

वह चटाई है। यादृच्छिक चरों के योग की अपेक्षा यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।

मान लीजिए X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, फिर:

यह साबित करना भी आसान है) XYअपने आप में एक यादृच्छिक चर है, जबकि यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनतथा एममान, क्रमशः, तब XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा किया जाता है। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभाव्यता घनत्व) जैसी विशेषता होती है। यह, वास्तव में, इस स्थिति की विशेषता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, कुछ - कम बार। उदाहरण के लिए, इस चार्ट पर विचार करें:

यहां एक्स- वास्तव में एक यादृच्छिक चर, एफ (एक्स)- वितरण घनत्व। इस ग्राफ को देखते हुए, प्रयोगों के दौरान, मान एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी। अधिक होने की संभावना 3 या कम हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक।

यदि वितरण घनत्व ज्ञात है, तो अपेक्षा चटाई को निम्नानुसार खोजा जाता है:

आइए, उदाहरण के लिए, एक समान वितरण है:

चलो एक चटाई ढूंढते हैं। अपेक्षा:

यह सहज ज्ञान युक्त समझ के अनुरूप है। मान लीजिए कि अगर हमें एक समान वितरण के साथ बहुत सारी यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं, तो प्रत्येक खंड |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।

उम्मीद मैट के गुण - रैखिकता, आदि, असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू होते हैं, यहां भी लागू होते हैं।

अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के साथ गणितीय अपेक्षा का संबंध

पर सांख्यिकीयविश्लेषण, मैट अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली है जो घटना और स्थिरता की एकरूपता को दर्शाती है प्रक्रियाओं. अक्सर, भिन्नता संकेतकों का स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और आगे के डेटा विश्लेषण के लिए उपयोग किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो एकरूपता की विशेषता है जानकारीमूल्यवान क्या है सांख्यिकीयविशेषता।

परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री प्रक्रियाओंसांख्यिकीय विज्ञान में कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

सबसे महत्वपूर्ण संकेतक विशेषता परिवर्तनशीलतायादृच्छिक चर, is फैलाव, जो सबसे निकट और सीधे चटाई से जुड़ा हुआ है। प्रतीक्षा करना। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माध्य रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी प्रसार के माप को दर्शाता है जानकारीऔसत के आसपास।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। यह पता चला है कि विचरण विचलन का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच के अंतर को लिया जाता है, चुकता किया जाता है, जोड़ा जाता है और फिर इस जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। अंतरएकल मान और औसत के बीच विचलन के माप को दर्शाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए चुकता किया जाता है कि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्या बन जाते हैं और जब उन्हें योग किया जाता है तो सकारात्मक और नकारात्मक विचलन के पारस्परिक रद्दीकरण से बचने के लिए। फिर, वर्ग विचलन को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - चुकता - विचलन। विचलन चुकता है, और औसत माना जाता है। जादुई शब्द "फैलाव" का उत्तर सिर्फ तीन शब्द है।

हालांकि, अपने शुद्ध रूप में, जैसे, उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य, या फैलाव का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। उसके पास माप की एक सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र को देखते हुए, यह मूल डेटा इकाई का वर्ग है।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस गुना मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। माध्य मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

या हम पासे को कई बार घुमाएंगे। प्रत्येक थ्रो के दौरान पासे पर गिरने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकता है। एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या - चटाई के लिए जाता है। अपेक्षा एमएक्स. इस मामले में, एमएक्स = 3.5।

यह मूल्य कैसे आया? भीतर आएं एनपरीक्षणों एन 1एक बार 1 अंक गिर जाने पर, एन 2बार - 2 अंक और इसी तरह। फिर परिणामों की संख्या जिसमें एक बिंदु गिर गया:

इसी तरह परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक गिरे।

आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर x के वितरण को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर x x1, x2,..., xk के मानों को p1, p2,... के साथ मान सकता है। , पी.के.

एक यादृच्छिक चर x की चटाई अपेक्षा Mx है:

गणित की अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। इसलिए, औसत वेतन का अनुमान लगाने के लिए, माध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात ऐसा मूल्य जो माध्यिका से कम प्राप्त करने वाले लोगों की संख्या है वेतनऔर बड़ा, मैच।

प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से कम है और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से बड़ा है, समान और 1/2 के बराबर है। माध्यिका सभी वितरणों के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।

मानक या मानक विचलनआँकड़ों में, औसत मान से अवलोकन डेटा या सेट के विचलन की डिग्री को कहा जाता है। अक्षर s या s द्वारा निरूपित। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा को माध्य के आसपास समूहीकृत किया गया है, और एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे बहुत दूर है। मानक विचलन एक मात्रा के वर्गमूल के बराबर होता है जिसे प्रसरण कहा जाता है। यह माध्य से विचलन वाले प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है। एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है:

उदाहरण। एक लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, एक यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना करें:

उतार-चढ़ाव- उतार-चढ़ाव, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य की परिवर्तनशीलता। एक विशेषता के अलग-अलग संख्यात्मक मान जो अध्ययन की गई आबादी में होते हैं, मूल्य वेरिएंट कहलाते हैं। जनसंख्या के पूर्ण लक्षण वर्णन के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करना आवश्यक बनाती है जो अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करना संभव बनाता है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

अवधि भिन्नता(आर) अध्ययन की गई आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है। यह संकेतक अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव का सबसे सामान्य विचार देता है, जैसा कि यह दिखाता है अंतरकेवल वेरिएंट के सीमा मूल्यों के बीच। विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता की सीमा को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र देती है।

औसत रैखिक विचलनउनके औसत मूल्य से विश्लेषित जनसंख्या के सभी मूल्यों के निरपेक्ष (मॉड्यूलो) विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

जुआ सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा

चटाई प्रतीक्षा हैएक जुआ सट्टेबाज किसी दिए गए दांव पर जीत या हार की औसत राशि। सट्टेबाज के लिए यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह अधिकांश गेमिंग स्थितियों के आकलन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और गेम स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए मेट अपेक्षा भी सबसे अच्छा उपकरण है।

मान लीजिए कि आप एक दोस्त के साथ सिक्का खेल रहे हैं, हर बार बराबर $1 की बाजी लगा रहे हैं, चाहे कुछ भी हो। पूंछ - तुम जीत गए, सिर - तुम हार गए। इसके पूंछ आने की संभावना एक से एक है और आप $ 1 से $ 1 पर दांव लगा रहे हैं। इस प्रकार, आपकी चेकमेट अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय रूप से बोलते हुए, आप यह नहीं जान सकते कि आप दो रोल के बाद आगे बढ़ेंगे या हारेंगे या 200 के बाद।

आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है। प्रति घंटा भुगतान वह राशि है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक घंटे में एक सिक्के को 500 बार पलट सकते हैं, लेकिन आप न तो जीतेंगे और न ही हारेंगे क्योंकि आपकी संभावनाएं न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। एक गंभीर सट्टेबाज की नजर से देखें तो रेट का ऐसा सिस्टम खराब नहीं है। लेकिन यह सिर्फ समय की बर्बादी है।

लेकिन मान लीजिए कि कोई व्यक्ति उसी गेम में आपके $1 के विरुद्ध $2 का दांव लगाना चाहता है। फिर आपको तुरंत प्रत्येक बेट से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद है। क्यों 50 सेंट? औसतन, आप एक बेट जीतते हैं और दूसरा हार जाते हैं। पहले पर बेट लगाएं और $1 हारें, दूसरे पर बेट लगाएं और $2 जीतें। आपने $1 पर दो बार बेट लगाया है और $1 से आगे हैं। तो आपके प्रत्येक एक डॉलर के दांव ने आपको 50 . दिया सेंट.

यदि सिक्का एक घंटे में 500 बार गिरता है, तो आपका प्रति घंटा लाभ पहले से ही $250 होगा, क्योंकि। औसतन आपने एक खो दिया डॉलर 250 बार और दो जीते डॉलर 250 बार। $500 माइनस $250 बराबर $250 है, जो कि कुल जीत है। ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो कि एक दांव पर आपके द्वारा औसतन जीती जाने वाली राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर की शर्त लगाकर 250 डॉलर जीते, जो आपके दांव के 50 सेंट के बराबर है।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

चटाई। उम्मीद का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $2 की शर्त लगाने का फैसला किया है, आपको लगातार पहले दस टॉस पर हरा सकता है, लेकिन आप, 2-टू-1 बेटिंग लाभ के साथ, बाकी सभी बराबर होने के कारण, आप किसी भी शर्त के तहत प्रत्येक $1 के दांव पर 50 सेंट बनाते हैं। परिस्थितियां। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक शर्त या कई दांव जीतते हैं या हारते हैं, लेकिन केवल इस शर्त पर कि आपके पास लागतों की आसानी से भरपाई करने के लिए पर्याप्त नकदी है। यदि आप इसी तरह से दांव लगाना जारी रखते हैं, तो लंबी अवधि में आपकी जीत व्यक्तिगत रोल में अपेक्षित मूल्यों के योग के करीब पहुंच जाएगी।

हर बार जब आप सबसे अच्छा दांव लगाते हैं (एक शर्त जो लंबे समय में लाभदायक हो सकती है) जब ऑड्स आपके पक्ष में होते हैं, तो आप उस पर कुछ जीतने के लिए बाध्य होते हैं, चाहे आप इसे किसी दिए गए हाथ में खो दें या नहीं। इसके विपरीत, यदि आपने एक बदतर शर्त (एक शर्त जो लंबे समय में लाभहीन है) बनाई है, जब ऑड्स आपके पक्ष में नहीं हैं, तो आप कुछ खो देते हैं, चाहे आप जीतें या हारें।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ शर्त लगाते हैं, और यदि ऑड्स आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। सबसे खराब परिणाम के साथ दांव लगाने से, आप एक नकारात्मक उम्मीद रखते हैं, जो तब होता है जब ऑड्स आपके खिलाफ होते हैं। गंभीर सट्टेबाज केवल सबसे अच्छे परिणाम के साथ दांव लगाते हैं, सबसे खराब के साथ - वे गुना करते हैं। आपके पक्ष में बाधाओं का क्या अर्थ है? आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत हासिल कर सकते हैं। टेल मारने की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन सट्टेबाजी अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिलता है। इस मामले में संभावनाएं आपके पक्ष में हैं। आपको निश्चित रूप से 50 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक उम्मीद के साथ सबसे अच्छा परिणाम मिलता है।

यहाँ एक अधिक जटिल उदाहरण है। अपेक्षाएं। मित्र एक से पांच तक की संख्या लिखता है और आपके $1 के विरुद्ध $5 की शर्त लगाता है कि आप संख्या नहीं चुनेंगे। क्या आप ऐसी शर्त से सहमत हैं? यहाँ क्या उम्मीद है?

औसतन, आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 होगी। संभावना है कि आप एक प्रयास में एक डॉलर खो देंगे। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, 4 से 1 हारने की संभावना के साथ। इसलिए, ऑड्स आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और सर्वोत्तम परिणाम की आशा कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो आप औसतन चार गुना $1 खो देंगे और एक बार $5 जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए आप 20 सेंट प्रति दांव की सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ $1 अर्जित करेंगे।

एक सट्टेबाज जो दांव से अधिक जीतने जा रहा है, जैसा कि ऊपर के उदाहरण में है, बाधाओं को पकड़ रहा है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह अवसरों को बर्बाद कर देता है। सट्टेबाजी के सट्टेबाज या तो सकारात्मक या नकारात्मक उम्मीद कर सकते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि वह बाधाओं को पकड़ रहा है या बर्बाद कर रहा है।

यदि आप $50 जीतने के लिए $10 जीतने के लिए 4 से 1 मौका देते हैं, तो आपको $ 2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी, क्योंकि औसतन, आप $10 का चार गुना जीतेंगे और एक बार $50 खो देंगे, जो दर्शाता है कि प्रति बेट का नुकसान $10 होगा। लेकिन अगर आप $30 जीतने के लिए $30 की शर्त लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान बाधाओं के साथ, तो इस मामले में आपको $2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप फिर से $10 का चार गुना जीतते हैं और एक बार $30 हारते हैं, जो है फायदा$ 10 पर। इन उदाहरणों से पता चलता है कि पहला दांव खराब है और दूसरा अच्छा है।

चटाई। उम्मीद किसी भी खेल की स्थिति का केंद्र है। जब कोई सट्टेबाज फ़ुटबॉल प्रशंसकों को $11 जीतने के लिए $10 की शर्त लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उन्हें प्रत्येक $10 के लिए 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसिनो क्रेप्स पास लाइन से भी पैसे का भुगतान करता है, तो घर की सकारात्मक अपेक्षा प्रत्येक $100 के लिए लगभग $1.40 है; इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि इस लाइन पर दांव लगाने वाला हर व्यक्ति औसतन 50.7% खो देता है और 49.3% बार जीतता है। निस्संदेह, यह प्रतीत होता है कि न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों के लिए भारी मुनाफा लाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने टिप्पणी की, "एक हजारवां" प्रतिशतलंबी दूरी पर नकारात्मक संभावना दुनिया के सबसे अमीर आदमी को दिवालिया कर देगी।

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा

पोकर का खेल वेटिंग मैट के सिद्धांत और गुणों के उपयोग के संदर्भ में सबसे अधिक उदाहरण और उदाहरण है।

चटाई। पोकर में अपेक्षित मूल्य - किसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है। सफल पोकर हमेशा सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ चालों को स्वीकार करने के बारे में है।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

गणितीय अर्थ। पोकर खेलते समय अपेक्षा इस तथ्य में निहित है कि हम निर्णय लेते समय अक्सर यादृच्छिक चर का सामना करते हैं (हम नहीं जानते कि प्रतिद्वंद्वी के हाथ में कौन से कार्ड हैं, कौन से कार्ड बाद के दौर में आएंगे व्यापार) हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जो कहता है कि पर्याप्त रूप से बड़े नमूने के साथ, एक यादृच्छिक चर का औसत मान इसके माध्य की ओर जाएगा।

उम्मीद मैट की गणना के लिए विशेष फ़ार्मुलों में, पोकर में निम्नलिखित सबसे अधिक लागू होता है:

पोकर मैट खेलते समय। उम्मीद की गणना दांव और कॉल दोनों के लिए की जा सकती है। पहले मामले में, गुना इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में, पॉट की अपनी बाधाओं को। मैट का मूल्यांकन करते समय। इस या उस चाल की अपेक्षा, यह याद रखना चाहिए कि तह की हमेशा एक शून्य अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड छोड़ना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

अपेक्षा आपको बताती है कि आप जो जोखिम उठाते हैं उसके लिए आप क्या उम्मीद कर सकते हैं (या खो सकते हैं)। कैसीनो कमाते हैं पैसेक्योंकि उनमें अभ्यास किए जाने वाले सभी खेलों से चेकमेट की अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में है। खेलों की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, यह उम्मीद की जा सकती है कि ग्राहक अपना खो देगा पैसेक्योंकि "संभावना" कैसीनो के पक्ष में है। हालांकि, पेशेवर कैसीनो सट्टेबाज अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे उनके पक्ष में संभावनाएं बढ़ जाती हैं। वही निवेश के लिए जाता है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। अवधिसमय। अपेक्षा आपके प्रति जीत के लाभ का प्रतिशत है जो आपके औसत लाभ से गुणा करके आपके नुकसान की संभावना को आपके औसत नुकसान से गुणा कर देता है।

पोकर को चेकमेट के रूप में भी देखा जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित कदम लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सबसे अच्छा नहीं हो सकता है, क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लें कि आपने पांच कार्ड ड्रा पोकर में एक पूरा घर मारा है। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है। आप जानते हैं कि यदि आप आगे बढ़ेंगे, तो वह फोन करेगा। तो उठाना सबसे अच्छी रणनीति की तरह दिखता है। लेकिन अगर आप शर्त बढ़ाते हैं, तो बाकी दो सट्टेबाज निश्चित रूप से मुड़ेंगे। लेकिन अगर आप दांव लगाते हैं, तो आप पूरी तरह से आश्वस्त होंगे कि आपके बाद के अन्य दो सट्टेबाज भी ऐसा ही करेंगे। जब आप बेट बढ़ाते हैं, तो आपको एक यूनिट मिलती है, और बस कॉल करने पर - दो। इसलिए कॉल करने से आपको एक उच्च सकारात्मक अपेक्षित मूल्य मिलता है और यह सबसे अच्छी रणनीति है।

चटाई। प्रतीक्षा से यह भी पता चल सकता है कि कौन सी पोकर रणनीति कम लाभदायक है और कौन सी अधिक लाभदायक है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक विशेष हाथ खेलते हैं और आपको लगता है कि एंट्स सहित आपका औसत नुकसान 75 सेंट है, तो आपको उस हाथ को खेलना चाहिए क्योंकि यह फोल्डिंग से बेहतर है जब पूर्व $ 1 हो।

चटाई के सार को समझने का एक और महत्वपूर्ण कारण। उम्मीद यह है कि यह आपको मन की शांति की भावना देता है कि आपने शर्त जीती है या नहीं: यदि आपने एक अच्छा दांव लगाया या समय पर मुड़ा हुआ है, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि बनाई या बचाई है जो कमजोर सट्टेबाज कर सकता था कोई बचाव नहीं। यदि आप निराश हैं कि आपके प्रतिद्वंद्वी का ड्रॉ पर बेहतर हाथ है, तो इसे मोड़ना बहुत कठिन है। इस सब के साथ, आप सट्टेबाजी के बजाय न खेलकर जो बचत करते हैं, वह आपकी प्रति रात या प्रति माह जीत में जुड़ जाता है।

बस याद रखें कि यदि आप हाथ बदलते हैं, तो आपका विरोधी आपको कॉल करेगा, और जैसा कि आप पोकर के मौलिक प्रमेय लेख में देखेंगे, यह आपके लाभों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुशी मनानी चाहिए। आप खोए हुए हाथ का आनंद लेना भी सीख सकते हैं, क्योंकि आप जानते हैं कि आपके स्थान पर अन्य सट्टेबाज बहुत अधिक खो देंगे।

जैसा कि शुरुआत में सिक्का खेल उदाहरण में बताया गया है, प्रति घंटा लाभ अनुपात मैट अपेक्षा से संबंधित है, और यह अवधारणा पेशेवर सट्टेबाजों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जब आप पोकर खेलने जा रहे हों, तो आपको मानसिक रूप से यह अनुमान लगाना होगा कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणितीय गणनाओं का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप ड्रा लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $ 10 की शर्त लगाते हैं और फिर दो कार्ड बनाते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, तो आप अपने लिए गणना कर सकते हैं कि हर बार जब वे $ 10 की शर्त लगाते हैं तो वे लगभग $ 2 खो देते हैं। उनमें से प्रत्येक इसे एक घंटे में आठ बार करता है, जिसका अर्थ है कि तीनों को लगभग $48 प्रति घंटे का नुकसान होता है। आप शेष चार सट्टेबाजों में से एक हैं, जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार सट्टेबाजों (और उनमें से आप) को $48 साझा करना होगा, और प्रत्येक $12 प्रति घंटे का लाभ कमाएगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा की दर केवल एक घंटे में तीन खराब सट्टेबाजों द्वारा खोए गए धन की राशि का आपका हिस्सा है।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

लंबी अवधि में, सट्टेबाज का कुल लाभ अलग-अलग वितरणों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग है। जितना अधिक आप सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप जीतते हैं, और इसके विपरीत, जितना अधिक आप नकारात्मक उम्मीद के साथ खेलते हैं, उतना ही आप हारते हैं। नतीजतन, आपको एक ऐसे खेल को प्राथमिकता देनी चाहिए जो आपकी सकारात्मक अपेक्षा को अधिकतम कर सके या आपके नकारात्मक को नकार सके ताकि आप अपने प्रति घंटा लाभ को अधिकतम कर सकें।

खेल रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा

यदि आप जानते हैं कि कार्ड कैसे गिनें, तो आपको कैसीनो पर एक फायदा हो सकता है यदि वे आपको नोटिस नहीं करते हैं और आपको बाहर निकाल देते हैं। कैसीनो नशे में सट्टेबाजी और नफरत कार्ड काउंटर से प्यार करते हैं। लाभ आपको समय के साथ हारने से अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। चेकमेट गणनाओं का उपयोग करके अच्छा धन प्रबंधन आपको अपनी बढ़त से बाहर निकलने और अपने नुकसान को कम करने में मदद कर सकता है। एक लाभ के बिना, आप दान के लिए पैसा देना बेहतर समझते हैं। स्टॉक एक्सचेंज पर खेल में लाभ खेल की व्यवस्था द्वारा दिया जाता है, जो नुकसान से अधिक लाभ पैदा करता है, अंतर कीमतोंऔर कमीशन। कोई भी नहीं पूंजी प्रबंधनखराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचाएगा।

एक सकारात्मक अपेक्षा शून्य से अधिक मूल्य द्वारा परिभाषित की जाती है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है, तो उम्मीद भी नकारात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मापांक जितना अधिक होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो उम्मीद भी टूट जाती है। आप तभी जीत सकते हैं जब आपके पास एक सकारात्मक गणितीय अपेक्षा, एक उचित खेल प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान पर खेलने से आपदा आती है।

गणितीय अपेक्षा और

वित्तीय बाजारों पर विनिमय व्यापार के कार्यान्वयन में गणित की अपेक्षा काफी व्यापक रूप से मांग और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। बाजार. सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है व्यापार. यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं है कि यह मूल्य जितना बड़ा होगा, अध्ययन के तहत व्यापार को सफल मानने का उतना ही अधिक कारण होगा। बेशक, विश्लेषण कामकेवल इस पैरामीटर की मदद से ट्रेडर नहीं बनाया जा सकता है। हालांकि, गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन के साथ परिकलित मूल्य काम, विश्लेषण की सटीकता में काफी सुधार कर सकता है।

मैट अपेक्षा की गणना अक्सर ट्रेडिंग खाता निगरानी सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। अपवाद के रूप में, हम उन रणनीतियों का हवाला दे सकते हैं जो ट्रेडों को खोने के "ओवरस्टेयिंग" का उपयोग करती हैं। व्यापारीभाग्य कुछ समय के लिए उसका साथ दे सकता है, और इसलिए, उसके काम में बिल्कुल भी नुकसान नहीं हो सकता है। इस मामले में, केवल अपेक्षा से नेविगेट करना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य में उपयोग किए जाने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

ट्रेडिंग में मंडीव्यापार रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या आय की भविष्यवाणी करते समय मैट अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है व्यापारीउनके पिछले आँकड़ों के आधार पर बोली लगाने.

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

धन प्रबंधन के संबंध में यह समझना बहुत जरूरी है कि नकारात्मक अपेक्षा के साथ व्यापार करते समय कोई योजना नहीं होती है प्रबंधनपैसा, जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सकता है। यदि आप खेलना जारी रखते हैं शेयर बाजारइन शर्तों के तहत, विधि की परवाह किए बिना प्रबंधनपैसा, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।

यह स्वयंसिद्ध न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या ट्रेडों के लिए सही है, यह ऑड्स गेम्स के लिए भी सही है। इसलिए, एकमात्र मामला जहां आपको लंबे समय में लाभ उठाने का मौका मिलता है, वह है सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ सौदे करना।

नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; क्या मायने रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, प्रबंधन के मुद्दों पर विचार करने से पहले राजधानीआपको एक सकारात्मक उम्मीद के साथ एक खेल खोजना होगा।

यदि आपके पास वह खेल नहीं है, तो दुनिया में कोई भी राशि प्रबंधन आपको नहीं बचाएगा। दूसरी ओर, यदि आपके पास सकारात्मक उम्मीद है, तो उचित धन प्रबंधन के माध्यम से, इसे एक घातीय वृद्धि समारोह में बदलना संभव है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी छोटी है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक अनुबंध पर आधारित ट्रेडिंग सिस्टम कितना लाभदायक है। यदि आपके पास एक प्रणाली है जो एक व्यापार (कमीशन और स्लिपेज के बाद) पर प्रति अनुबंध $ 10 जीतती है, तो प्रबंधन तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है राजधानीएक तरह से इसे एक प्रणाली से अधिक लाभदायक बनाने के लिए जो प्रति व्यापार $ 1,000 का औसत लाभ दिखाता है (फीस और स्लिपेज के बाद)।

महत्वपूर्ण यह नहीं है कि प्रणाली कितनी लाभदायक थी, बल्कि यह कहा जा सकता है कि यह प्रणाली भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाएगी। इसलिए, सबसे महत्वपूर्ण तैयारी जो की जा सकती है वह यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाता है।

भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य प्राप्त करने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि यथासंभव अधिक से अधिक सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़े गए प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाए गए प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किए गए प्रत्येक छोटे परिवर्तन से स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या कम हो जाती है। आदर्श रूप से, आप एक काफी आदिम और सरल प्रणाली बनाना चाहते हैं जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार एक छोटा सा लाभ लाएगा। फिर, यह महत्वपूर्ण है कि आप समझें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई सिस्टम कितना लाभदायक है, जब तक कि यह लाभदायक है। जो आप ट्रेडिंग में कमाते हैं वह प्रभावी धन प्रबंधन के माध्यम से अर्जित किया जाएगा।

गणितीय अपेक्षा (जनसंख्या माध्य) है

एक व्यापार प्रणाली केवल एक उपकरण है जो आपको सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है ताकि धन प्रबंधन का उपयोग किया जा सके। सिस्टम जो केवल एक या कुछ बाजारों में काम करते हैं (कम से कम एक न्यूनतम लाभ दिखाते हैं), या अलग-अलग बाजारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर हैं, संभवतः वास्तविक समय में लंबे समय तक काम नहीं करेंगे। अधिकांश तकनीकी व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे एक व्यापार प्रणाली के विभिन्न नियमों और मानकों को अनुकूलित करने में बहुत अधिक समय और प्रयास करते हैं। यह बिल्कुल विपरीत परिणाम देता है। ट्रेडिंग सिस्टम के मुनाफे को बढ़ाने पर ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ प्राप्त करने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने के लिए निर्देशित करें।

जानते हुए भी पूंजी प्रबंधन- यह सिर्फ एक संख्या का खेल है जिसमें सकारात्मक उम्मीदों के उपयोग की आवश्यकता होती है, व्यापारी एक्सचेंज पर ट्रेडिंग की "पवित्र कब्र" की तलाश करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, पता लगा सकता है कि यह तरीका कितना तार्किक है, क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देता है। किसी भी, यहां तक ​​कि बहुत ही औसत दर्जे के व्यापारिक तरीकों पर लागू उचित धन प्रबंधन विधियां, बाकी काम करेंगी।

किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफल होने के लिए, उसे तीन सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को हल करना होगा: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सफल लेनदेन की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत गणनाओं से अधिक है; अपना ट्रेडिंग सिस्टम सेट करें ताकि जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों का एक स्थिर सकारात्मक परिणाम प्राप्त करें।

और यहाँ, हमारे लिए, कामकाजी व्यापारी, चेकमेट एक अच्छी मदद हो सकते हैं। अपेक्षा। संभाव्यता के सिद्धांत में यह शब्द कुंजी में से एक है। इसके साथ, आप कुछ यादृच्छिक मूल्य का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणित अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान है, यदि हम विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में सभी संभावित संभावनाओं की कल्पना करते हैं।

एक व्यापारिक रणनीति के संबंध में, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने के लिए, लाभ (या हानि) की अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को दिए गए लाभ और हानि स्तरों के उत्पादों के योग और उनके घटित होने की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित ट्रेडिंग रणनीति मानती है कि सभी परिचालनों का 37% लाभ लाएगा, और शेष - 63% - लाभहीन होगा। साथ ही, औसत आयएक सफल लेनदेन से 7 डॉलर होंगे, और औसत नुकसान 1.4 डॉलर के बराबर होगा। आइए मैट की गणना करें। ऐसी प्रणाली पर व्यापार की अपेक्षा:

इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद लेनदेन से औसतन 1.708 डॉलर प्राप्त होंगे। चूंकि परिणामी दक्षता स्कोर शून्य से अधिक है, इस तरह की प्रणाली का उपयोग वास्तविक कार्य के लिए किया जा सकता है। यदि, चटाई की गणना के परिणामस्वरूप, उम्मीद नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही औसत नुकसान का संकेत देता है और इससे बर्बादी होगी।

प्रति व्यापार लाभ की मात्रा को सापेक्ष मूल्य के रूप में% के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

प्रति 1 लेन-देन आय का प्रतिशत - 5%;

सफल व्यापारिक संचालन का प्रतिशत - 62%;

प्रति 1 व्यापार हानि का प्रतिशत - 3%;

असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;

इस मामले में, मैट। उम्मीद होगी:

यानी औसत लेन-देन 1.96% लाएगा।

एक ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है, जो ट्रेडों को खोने की प्रबलता के बावजूद, सकारात्मक परिणाम देगी, क्योंकि इसका MO>0 है।

हालांकि, अकेले इंतजार करना काफी नहीं है। अगर सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, यह बैंक ब्याज के बराबर होगा। प्रत्येक ऑपरेशन को औसतन केवल 0.5 डॉलर लाने दें, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम प्रति वर्ष 1000 लेनदेन मानता है? यह अपेक्षाकृत कम समय में बहुत गंभीर राशि होगी। यह तार्किक रूप से इसका अनुसरण करता है कि एक अच्छी ट्रेडिंग सिस्टम की एक और पहचान को एक छोटी होल्डिंग अवधि माना जा सकता है।

स्रोत और लिंक

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nsu.ru - नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी की शैक्षिक वेबसाइट

webmath.ru - छात्रों, आवेदकों और स्कूली बच्चों के लिए एक शैक्षिक पोर्टल।

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ru.tradimo.com - मुफ्त ऑनलाइन ट्रेडिंग स्कूल

Crypto.hut2.ru - बहु-विषयक सूचना संसाधन

poker-wiki.ru - पोकर का मुक्त विश्वकोश

sernam.ru - चयनित प्राकृतिक विज्ञान प्रकाशनों का वैज्ञानिक पुस्तकालय

reshim.su - वेबसाइट

unfx.ru - यूएनएफएक्स में विदेशी मुद्रा: प्रशिक्षण, व्यापारिक संकेत, विश्वास प्रबंधन

- - गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं में से एक, जिसे अक्सर इसका सैद्धांतिक औसत कहा जाता है। एक असतत यादृच्छिक चर X के लिए, गणितीय ... ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

अपेक्षित मूल्य- (अपेक्षित मूल्य) आर्थिक चर के वितरण का औसत मूल्य जो वह ले सकता है। यदि pt समय t पर वस्तु की कीमत है, तो इसकी गणितीय अपेक्षा को Ept द्वारा निरूपित किया जाता है। उस बिंदु को इंगित करने के लिए जिसमें ... ... आर्थिक शब्दकोश

अपेक्षित मूल्य- एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य। गणितीय अपेक्षा एक नियतात्मक मान है। एक यादृच्छिक चर की प्राप्ति का अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा का एक अनुमान है। औसत… … आधिकारिक शब्दावली एक यादृच्छिक चर का (माध्य मान) एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषता है। यदि प्रायिकता स्थान पर दिया गया एक यादृच्छिक चर (संभाव्यता सिद्धांत देखें), तो इसका M. o. MX (या EX) को Lebesgue इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है: जहां... भौतिक विश्वकोश

अपेक्षित मूल्य- एक यादृच्छिक चर इसकी संख्यात्मक विशेषता है। यदि एक यादृच्छिक चर X का वितरण फलन F(x) है, तो इसका M. o. होगा: । यदि X का वितरण असतत है, तो .о.: , जहाँ x1, x2, ... असतत यादृच्छिक चर X के संभावित मान हैं; पी1 ... भूवैज्ञानिक विश्वकोश

अपेक्षित मूल्य- अंग्रेज़ी। अपेक्षित मूल्य; जर्मन एर्वर्टंग गणित। यादृच्छिक चर के स्टोकेस्टिक माध्य या फैलाव का केंद्र। एंटीनाज़ी। समाजशास्त्र का विश्वकोश, 2009 ... समाजशास्त्र का विश्वकोश

अपेक्षित मूल्य- यह भी देखें: सशर्त अपेक्षा गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का माध्य मान है, एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण, संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है। अंग्रेजी साहित्य में और गणित में ... ... विकिपीडिया

अपेक्षित मूल्य- 1.14 गणितीय अपेक्षा ई (एक्स) जहां एक असतत यादृच्छिक चर के xi मान; पी = पी (एक्स = xi); f(x) एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व है * यदि यह व्यंजक निरपेक्ष अभिसरण के अर्थ में मौजूद है स्रोत ... मानक और तकनीकी दस्तावेज की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

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पासा फेंकने के उदाहरण का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर विचार किया जा सकता है। प्रत्येक फेंक के साथ, गिराए गए अंक दर्ज किए जाते हैं। उन्हें व्यक्त करने के लिए 1 - 6 की सीमा में प्राकृतिक मूल्यों का उपयोग किया जाता है।

थ्रो की एक निश्चित संख्या के बाद, सरल गणनाओं का उपयोग करके, आप गिरे हुए बिंदुओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कर सकते हैं।

किसी भी श्रेणी मान को छोड़ने के साथ-साथ, यह मान यादृच्छिक होगा।

और अगर आप कई बार थ्रो की संख्या बढ़ाते हैं? बड़ी संख्या में थ्रो के साथ, अंक का अंकगणितीय माध्य मान एक विशिष्ट संख्या तक पहुंच जाएगा, जिसे संभाव्यता सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा कहा जाता है।

तो, गणितीय अपेक्षा को एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में समझा जाता है। इस सूचक को संभावित मूल्यों के भारित योग के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है।

इस अवधारणा के कई पर्यायवाची शब्द हैं:

• अर्थ;
• औसत मूल्य;
• केंद्रीय प्रवृत्ति संकेतक;
• पहला क्षण।

दूसरे शब्दों में, यह एक संख्या से अधिक कुछ नहीं है जिसके चारों ओर एक यादृच्छिक चर के मान वितरित किए जाते हैं।

मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में, गणितीय अपेक्षा को समझने के दृष्टिकोण कुछ भिन्न होंगे।

इसे इस प्रकार देखा जा सकता है:

• किसी निर्णय को अपनाने से प्राप्त औसत लाभ, उस स्थिति में जब इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से माना जाता है;
• जीतने या हारने की संभावित राशि (जुआ सिद्धांत), प्रत्येक दांव के लिए औसतन गणना की जाती है। कठबोली में, वे "खिलाड़ी के लाभ" (खिलाड़ी के लिए सकारात्मक) या "कैसीनो लाभ" (खिलाड़ी के लिए नकारात्मक) की तरह लगते हैं;
• जीत से प्राप्त लाभ का प्रतिशत।

सभी यादृच्छिक चरों के लिए गणितीय अपेक्षा अनिवार्य नहीं है। यह उन लोगों के लिए अनुपस्थित है जिनके पास संबंधित योग या अभिन्न में विसंगति है।

उम्मीद गुण

किसी भी सांख्यिकीय पैरामीटर की तरह, गणितीय अपेक्षा में निम्नलिखित गुण होते हैं:

गणितीय अपेक्षा के लिए बुनियादी सूत्र

गणितीय अपेक्षा की गणना निरंतरता (सूत्र ए) और विसंगति (सूत्र बी) दोनों की विशेषता वाले यादृच्छिक चर दोनों के लिए की जा सकती है:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, जहां xi यादृच्छिक चर के मान हैं, pi संभावनाएं हैं:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, जहां f(x) एक निश्चित संभाव्यता घनत्व है।

गणितीय अपेक्षा की गणना के उदाहरण

उदाहरण ए.

क्या स्नो व्हाइट के बारे में परी कथा में सूक्ति की औसत ऊंचाई का पता लगाना संभव है। यह ज्ञात है कि 7 सूक्तियों में से प्रत्येक की एक निश्चित ऊँचाई थी: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 और 0.81 मी.

गणना एल्गोरिथ्म काफी सरल है:

• विकास संकेतक (यादृच्छिक चर) के सभी मूल्यों का योग ज्ञात करें:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• परिणामी राशि को सूक्ति की संख्या से विभाजित किया जाता है:
  6,31:7=0,90.

इस प्रकार, एक परी कथा में सूक्ति की औसत ऊंचाई 90 सेमी है। दूसरे शब्दों में, यह सूक्ति के विकास की गणितीय अपेक्षा है।

कार्य सूत्र - एम (एक्स) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

गणितीय अपेक्षा का व्यावहारिक कार्यान्वयन

व्यावहारिक गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय अपेक्षा के सांख्यिकीय संकेतक की गणना का सहारा लिया जाता है। सबसे पहले, हम वाणिज्यिक क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। वास्तव में, हाइजेंस द्वारा इस सूचक की शुरूआत उन संभावनाओं के निर्धारण से जुड़ी है जो किसी घटना के लिए अनुकूल, या इसके विपरीत, प्रतिकूल हो सकती हैं।

इस पैरामीटर का व्यापक रूप से जोखिम मूल्यांकन के लिए उपयोग किया जाता है, खासकर जब वित्तीय निवेश की बात आती है।
इसलिए, व्यवसाय में, गणितीय अपेक्षा की गणना कीमतों की गणना करते समय जोखिम का आकलन करने के लिए एक विधि के रूप में कार्य करती है।

इसके अलावा, इस सूचक का उपयोग कुछ उपायों की प्रभावशीलता की गणना करते समय किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, श्रम सुरक्षा पर। इसके लिए धन्यवाद, आप किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना कर सकते हैं।

इस पैरामीटर के आवेदन का एक अन्य क्षेत्र प्रबंधन है। इसकी गणना उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, मैट का उपयोग करना। उम्मीदों, आप दोषपूर्ण भागों के निर्माण की संभावित संख्या की गणना कर सकते हैं।

वैज्ञानिक अनुसंधान के दौरान प्राप्त परिणामों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण के दौरान गणितीय अपेक्षा भी अपरिहार्य है। यह आपको लक्ष्य की उपलब्धि के स्तर के आधार पर किसी प्रयोग या अध्ययन के वांछित या अवांछनीय परिणाम की संभावना की गणना करने की भी अनुमति देता है। आखिरकार, इसकी उपलब्धि लाभ और लाभ से जुड़ी हो सकती है, और इसकी गैर-उपलब्धि - हानि या हानि के रूप में।

विदेशी मुद्रा में गणितीय अपेक्षा का उपयोग करना

विदेशी मुद्रा बाजार में लेनदेन करते समय इस सांख्यिकीय पैरामीटर का व्यावहारिक अनुप्रयोग संभव है। इसका उपयोग व्यापार लेनदेन की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, अपेक्षा के मूल्य में वृद्धि उनकी सफलता में वृद्धि का संकेत देती है।

यह भी याद रखना महत्वपूर्ण है कि गणितीय अपेक्षा को एक व्यापारी के प्रदर्शन का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एकमात्र सांख्यिकीय पैरामीटर के रूप में नहीं माना जाना चाहिए। औसत मूल्य के साथ-साथ कई सांख्यिकीय मापदंडों के उपयोग से कई बार विश्लेषण की सटीकता बढ़ जाती है।

ट्रेडिंग खातों की टिप्पणियों की निगरानी में इस पैरामीटर ने खुद को अच्छी तरह साबित कर दिया है। उसके लिए धन्यवाद, जमा खाते पर किए गए कार्यों का त्वरित मूल्यांकन किया जाता है। ऐसे मामलों में जहां व्यापारी की गतिविधि सफल होती है और वह नुकसान से बचता है, केवल गणितीय अपेक्षा की गणना का उपयोग करने की अनुशंसा नहीं की जाती है। इन मामलों में, जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, जो विश्लेषण की प्रभावशीलता को कम करता है।

व्यापारियों की रणनीति के किए गए अध्ययनों से संकेत मिलता है कि:

• यादृच्छिक इनपुट पर आधारित रणनीति सबसे प्रभावी हैं;
• संरचित इनपुट पर आधारित रणनीति सबसे कम प्रभावी हैं।

सकारात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए, यह समान रूप से महत्वपूर्ण है:

• धन प्रबंधन रणनीति;
• बाहर निकलने की रणनीतियाँ।

गणितीय अपेक्षा के रूप में इस तरह के एक संकेतक का उपयोग करके, हम मान सकते हैं कि 1 डॉलर का निवेश करने पर लाभ या हानि क्या होगी। यह ज्ञात है कि कैसीनो में अभ्यास किए जाने वाले सभी खेलों के लिए गणना की गई यह सूचक संस्था के पक्ष में है। यह वही है जो आपको पैसा बनाने की अनुमति देता है। खेलों की एक लंबी श्रृंखला के मामले में, ग्राहक द्वारा पैसे खोने की संभावना काफी बढ़ जाती है।

पेशेवर खिलाड़ियों के खेल छोटे समय अवधि तक सीमित होते हैं, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है और हारने का जोखिम कम हो जाता है। निवेश संचालन के प्रदर्शन में भी यही पैटर्न देखा जाता है।

एक निवेशक सकारात्मक अपेक्षा और कम समय में बड़ी संख्या में लेनदेन के साथ एक महत्वपूर्ण राशि कमा सकता है।

प्रत्याशा को लाभ के प्रतिशत (पीडब्लू) के औसत लाभ (एडब्ल्यू) और हानि की संभावना (पीएल) के औसत नुकसान (एएल) के बीच के अंतर के रूप में माना जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित पर विचार करें: स्थिति - 12.5 हजार डॉलर, पोर्टफोलियो - 100 हजार डॉलर, प्रति जमा जोखिम - 1%। लेनदेन की लाभप्रदता 20% के औसत लाभ के साथ 40% मामलों में है। हानि की स्थिति में, औसत हानि 5% है। एक व्यापार के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करने से $625 का मूल्य मिलता है।