यूडीके 681.51.011

उद्यम प्रबंधन प्रणाली में मैट्रिक्स विश्लेषण

© 2006 ए.वी. वोल्गिन1, जी.ई. बेलाशेव्स्की2

एलएलसी "समारा - अवियागज़"

समारा स्टेट एयरोस्पेस यूनिवर्सिटी

पेपर उद्यम प्रबंधन में मैट्रिक्स का उपयोग करने के विभिन्न तरीकों का विश्लेषण करता है। दो या दो से अधिक समुच्चयों के तत्वों के बीच संबंध (कनेक्शन) को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है। संबंधों की संरचना आपको सेट के तत्वों के बीच संबंधों के विश्लेषण को सरल बनाने की अनुमति देती है। उद्यम प्रबंधन प्रणाली में प्राथमिकता वाले मैट्रिक्स के उपयोग का एक उदाहरण दिया गया है।

मैट्रिक्स, एक विश्लेषण उपकरण के रूप में, लंबे समय से उद्यम प्रबंधन प्रणाली में उपयोग किया जाता है। गुणवत्ता फ़ंक्शन परिनियोजन में मैट्रिक्स चार्ट, प्राथमिकता मैट्रिक्स, मैट्रिक्स विश्लेषण जैसे गुणवत्ता वाले उपकरणों का नाम देना पर्याप्त है।

1. प्रबंधन में मैट्रिक्स का उपयोग इस तथ्य के कारण है कि लगभग किसी भी उद्यम में वस्तुओं के एक बड़े सेट (विभिन्न उपकरण, डिवीजन, आपूर्तिकर्ता, उपभोक्ता) की विशेषता होती है, और उनके बीच संबंधों का वर्णन करना मुश्किल होता है जैसे कि y \u003d च (एक्स) । वास्तविक संबंध बहुआयामी और निहित हैं। दूसरी ओर, मैट्रिसेस ऐसे संबंधों को काफी दृश्य रूप में पहचानना और उनका विश्लेषण करना संभव बनाता है। एक उद्यम की उत्पादन संरचना बनाने के कार्य में, भागों के समूहों के बीच संबंधों का एक मैट्रिक्स बी =], जहां ^ इकाइयों की संख्या है, का उपयोग किया जा सकता है।

1 और] -वें भागों के प्रसंस्करण में प्रयुक्त सामान्य उपकरण, in विपणन अनुसंधानतकनीकी स्तर मैट्रिक्स का उपयोग यू = \u^] किया जाता है, जहां

और y - ] -वें बाजार और मूल्य मैट्रिक्स में पहले उद्यम का तकनीकी स्तर।

गणित के दृष्टिकोण से, मैट्रिक्स के असाइनमेंट की व्याख्या दो सेटों की वस्तुओं के बीच संबंध (कनेक्शन) के विनिर्देश के रूप में की जा सकती है। इस मामले में मैट्रिक्स तत्व का अर्थ वस्तुओं के कनेक्शन (जैसे "हां" या "नहीं"), और कनेक्शन की ताकत, एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तीन या अधिक सेटों के मामले में, कोई बहुआयामी संबंध बना सकता है और, तदनुसार, बहुआयामी मैट्रिक्स। हालांकि, यह दृष्टिकोण स्पष्टता और व्याख्या में आसानी खो देता है। बहुआयामी संबंधों के विश्लेषण की जटिलता

संबंधों की संरचना की मदद से आयनों को दूर किया जा सकता है।

2. मान लेते हैं कि कंपनी के आपूर्तिकर्ता P1 P2, ... P5 हैं, जो Mі, M2, M3 सामग्री (पुर्ज़े, असेंबली, घटक) की आपूर्ति करते हैं। इन सामग्रियों से, उद्यम ग्राहकों (उपभोक्ताओं) Zi, Z2, ... Z5 के लिए उत्पादों Ib I2, ... I का निर्माण करता है। इन सेटों के लिए, आप कनेक्शन के मैट्रिक्स बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, आपूर्तिकर्ताओं और उनके द्वारा आपूर्ति की जाने वाली सामग्रियों (तालिका 1), उत्पादों और . के बीच संबंध स्थापित होने दें आवश्यक सामग्री(तालिका 2), ग्राहक और उत्पाद (तालिका 3)। संकेत "x" दो सेटों की वस्तुओं के कनेक्शन को दर्शाता है।

तालिका 1. आपूर्तिकर्ता संबंध मैट्रिक्स

और आपूर्ति की गई सामग्री (पीएम)

PM Pі P2 Pz P4 P5

तालिका 2. उत्पादों और सामग्रियों के बीच संबंधों का मैट्रिक्स (आईएम)

आईएम मी एम2 एमजेड

तालिका 3. ग्राहकों और उत्पादों के बीच संबंधों का मैट्रिक्स (पीआई)

ZI II I2 From

मैट्रिक्स PM, MI, और ZI द्वारा दिए गए अनुपातों की संरचना का उपयोग करके, PP के अनुपात का एक मैट्रिक्स बनाना मुश्किल नहीं है। PZ मैट्रिक्स (तालिका 4) उद्यम द्वारा आपूर्तिकर्ताओं P और ग्राहकों Z^ के बीच स्थापित लिंक दिखाता है, उदाहरण के लिए, उद्यम के साथ ग्राहक Z3 की बातचीत उत्पाद I3 पर होती है, जिसके लिए सामग्री M की आवश्यकता होती है! और M3 की आपूर्ति Pn P3 और P5 द्वारा की जाती है।

तालिका 4. आपूर्तिकर्ता के बीच संबंध मैट्रिक्स-

रिलेशनशिप मैट्रिसेस की मदद से तकनीकी प्रक्रियाओं (उत्पाद लाइनों) का विस्तृत शेड्यूलिंग ग्राहक के लिए अतिरिक्त मूल्य, उद्यम के लाभ और उसके नुकसान के निर्धारण को सरल बनाता है।

3. एक उद्यम गुणवत्ता प्रबंधन प्रणाली का निर्माण प्रक्रियाओं के नेटवर्क के आवंटन से जुड़ा है। व्यावसायिक इकाइयों के बीच प्रक्रियाओं का वितरण, मानक की आवश्यकताओं का कार्यान्वयन, उदाहरण के लिए, आईएसओ 9001-2000, मैट्रिसेस का उपयोग करके किया जा सकता है। मान लें कि प्रक्रियाओं पर प्रकाश डाला गया है: अनुबंध, क्यूएमएस प्रलेखन प्रबंधन, आंतरिक लेखा परीक्षा, खरीद, निर्माण, ग्राहकों की संतुष्टि की निगरानी, ​​और कंपनी के विभाग हैं: विपणन विभाग, क्रय विभाग, मुख्य डिजाइनर विभाग, मुख्य प्रौद्योगिकीविद् विभाग, उत्पादन, वारंटी सहायता विभाग। विभागों के प्रतिनिधियों के साथ चर्चा के परिणामों के आधार पर, एक पीपी मैट्रिक्स संकलित किया जा सकता है (तालिका 5)। दूसरी ओर, समर्पित प्रक्रियाओं को मानक की आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए, जैसे कि आईएसओ 9001-2000। प्रक्रियाओं को ISO 9001-2000 से जोड़ने से एक TP मैट्रिक्स (तालिका 6) बनता है।

संबंधों की संरचना का उपयोग करके, हम आईएसओ मैट्रिक्स (तालिका 7) प्राप्त करते हैं।

हमें और ग्राहक (पीपी)

32 34 35

तालिका 5. प्रक्रियाओं और विभागों के बीच संबंधों का मैट्रिक्स (एसपी)

पीपी मैट्रिक्स विपणन विभाग खरीद विभाग मुख्य डिजाइनर विभाग मुख्य प्रौद्योगिकीविद् विभाग उत्पादन वारंटी सहायता विभाग

अनुबंध एक्स एक्स

आंतरिक लेखापरीक्षा X

खरीद X

विनिर्माण एक्स

तालिका 6. आईएसओ 9001-2000 के साथ प्रक्रियाओं का संबंध

टीपी मैट्रिक्स गुणवत्ता प्रबंधन प्रणाली प्रबंधन जिम्मेदारी संसाधन प्रबंधन उत्पाद जीवन चक्र प्रक्रियाएं मापन, विश्लेषण और सुधार

अनुबंध X

QMS प्रलेखन प्रबंधन X X

आंतरिक लेखापरीक्षा X X

खरीद X

उत्पादन एक्स एक्स एक्स

ग्राहक संतुष्टि निगरानी X

आईएसओ मैट्रिक्स विपणन विभाग क्रय विभाग चैप। डिजाइनर विभाग चैप। प्रौद्योगिकीविद् उत्पादन वारंटी सहायता विभाग

गुणवत्ता प्रबंधन प्रणाली X X

प्रबंधन की जिम्मेदारी X X X

संसाधन प्रबंधन X

उत्पाद जीवन चक्र प्रक्रियाएं X X X

मापन, विश्लेषण और सुधार X X

जाहिर है, आईएसओ आवश्यकताओं के इस तरह के वितरण के साथ, खंड 5 "प्रबंधन जिम्मेदारी" में विसंगतियों की उम्मीद की जा सकती है, क्योंकि गुणवत्ता नीति शीर्ष प्रबंधन की जिम्मेदारी है।

4. संबंध मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व का विस्तार करना, उदाहरण के लिए, "प्रबंधन उत्तरदायित्व - विपणन विभाग" पदानुक्रम विश्लेषण पद्धति में अंतर्निहित प्राथमिकता मैट्रिक्स का उपयोग कर सकता है। आईएसओ 9000-2000 श्रृंखला की आवश्यकताएं उद्यम के क्यूएमएस के कामकाज के लिए आवश्यक नियामक और तकनीकी दस्तावेज के दायरे और गहराई को स्थापित करती हैं। उद्यम के क्यूएमएस के अनिवार्य दस्तावेजों में से एक गुणवत्ता के क्षेत्र में नीति और लक्ष्य हैं। उद्यम के लक्ष्य विभिन्न क्षेत्रों में तैयार किए जाते हैं: वित्त, बाजार, प्रतिस्पर्धा

(बेंचमार्किंग), ग्राहकों की संतुष्टि, उत्पाद में सुधार और प्रक्रिया प्रदर्शन। पूरे संगठन के लक्ष्यों को इसके प्रभागों में प्रक्षेपित (तैनात, विघटित) किया जाना चाहिए, ताकि कर्मचारियों को पूरे संगठन के एक विशेष लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए उनकी भागीदारी और जिम्मेदारी के बारे में पता हो।

योजना बनाना, लक्ष्य चुनना, प्रतिस्पर्धी माहौल में व्यवहार का अनुकूलन करना हमेशा एक निश्चित स्तर पर निर्णय की आवश्यकता होती है। यह व्यावहारिक रूप से स्पष्ट हो गया कि सामाजिक प्रक्रियाएं, विशेष रूप से, प्रबंधन प्रक्रियाएं, शास्त्रीय ढांचे के भीतर खराब रूप से औपचारिक हैं।

विषय। इस मामले में, पदानुक्रमों का विश्लेषण करने की विधि काफी प्रभावी हो सकती है।

पदानुक्रमों के विश्लेषण की विधि तथाकथित प्राथमिकता मैट्रिक्स पर आधारित है। मान लें कि कार्य चयनित वस्तु को प्रभावित करने वाले कारकों की तुलना करना है। एक नियम के रूप में, प्रभावित करने वाले कारकों की संख्या काफी बड़ी है, सटीक निर्भरता अज्ञात है, और समस्या का गणितीय औपचारिककरण करना व्यावहारिक रूप से असंभव है। वस्तु पर कारकों के प्रभाव का आकलन करने में विशेषज्ञ को भी कठिनाइयों का अनुभव होता है। हैरानी की बात है कि यदि वस्तु पर कारकों के प्रभाव की जोड़ीदार तुलना की जाए तो समस्या अधिक आसानी से हल हो जाती है। (लब्बोलुआब यह है कि इस सवाल का जवाब देना मुश्किल है कि ए का वजन कितना है, यह तय करना बहुत आसान है कि कौन सा भारी है: ए या बी)

एक उद्यम के विकास की विश्लेषणात्मक योजना के लिए, प्रारंभिक अवस्था ("जैसी है" स्थिति), लक्ष्य स्थिति (लक्ष्य) और इन राज्यों को जोड़ने के साधनों का वर्णन करना आवश्यक है। नीचे पदानुक्रमों के विश्लेषण की पद्धति को लागू करने का एक उदाहरण है, एक वस्तु के रूप में, गुणवत्ता नीति से लक्ष्य "उद्यम लाभ में सतत विकास" का चयन किया जाता है और लक्ष्य को प्रभावित करने वाले कुछ कारकों पर प्रकाश डाला गया है (तालिका 8)।

विशेषज्ञ - उद्यम के विशेषज्ञ चयनित मानदंडों के अनुसार प्राथमिकता वाले मैट्रिक्स संकलित करते हैं (एक उदाहरण तालिका 9 में दिया गया है)।

प्रबंधन रसद

योजना, खरीद,

निवेश, आपूर्तिकर्ता संबंध,

विज्ञापन, प्रवेश नियंत्रण,

कीमतों को बेचना, संसाधनों का नियंत्रण।

विपणन रणनीति। कार्मिक और विकास

उत्पादन योग्यता,

समय सीमा का अनुपालन, स्टाफ प्रशिक्षण,

प्रौद्योगिकी, कर्मचारियों की प्रेरणा,

गुणवत्ता, रचनात्मकता,

उत्पादन का संगठन, लागत नियंत्रण। नए विकास की योजना बनाना

तालिका 9. मैट्रिक्स "उत्पादन" का उदाहरण

उत्पादों के वितरण की शर्तों के साथ उत्पादन अनुपालन प्रौद्योगिकी गुणवत्ता उत्पादन का संगठन लागत नियंत्रण

उत्पाद वितरण तिथियों का अनुपालन 1 5 1 3 3

प्रौद्योगिकी 1/5 1 3 1 3

गुणवत्ता 1 1/3 1 3 1

उत्पादन का संगठन 1/3 1 1/3 1 1

लागत नियंत्रण 1/3 1/3 1 1 1

संबंधों का पैमाना और तालिकाओं में भरना 1 - कारकों की तुल्यता, 3 - एक कारक का दूसरे कारक पर प्रभुत्व,

5 - एक कारक का दूसरे कारक पर प्रबल प्रभुत्व, 2.4 - संभावित मध्यवर्ती मान।

मैट्रिक्स के गणितीय प्रसंस्करण में प्राथमिकता वाले वेक्टर को अधिकतम eigenvalue के अनुरूप एक eigenvector के रूप में खोजने में शामिल था। एक उदाहरण के रूप में, विशेषज्ञ एन (तालिका 10) के अनुमानों को संसाधित करने के परिणाम नीचे दिए गए हैं। कॉलम प्राथमिकता वाले वेक्टर के घटकों को इंगित करते हैं कई कारक, उदाहरण के लिए, "प्रबंधन" मानदंड के अनुसार

निवेश को प्राथमिकता दी जाती है।

अंजीर पर। 1. उपरोक्त मानदंडों के अनुसार विशेषज्ञों की प्राथमिकताओं की गणना के परिणाम दिए गए हैं। लक्ष्य प्राप्ति निवेश, गुणवत्ता,

नए विकास की योजना बनाना और संसाधनों को नियंत्रित करना।

तालिका 10. विशेषज्ञ N . के अनुमानों के प्रसंस्करण के परिणाम

लक्ष्य - कंपनी के लाभ की सतत वृद्धि

प्रबंधन उत्पादन चटाई - तकनीकी आपूर्ति कार्मिक और विकास

0,1084 0,3268 0,3072 0,1625

0,4198 0,1280 0,2059 0,0773

0,1084 0,2829 0,1552 0,1007

0,2356 0,1002 0,3316 0,2080

0,1279 0,1621 0,4516

प्रबंधन

उत्पादन

एस एंड आई ^ टू ओ i_CO

कार्मिक और विकास

चावल। 1. विशेषज्ञों की प्राथमिकताओं की गणना के परिणाम

चयनित मानदंडों के अनुसार प्राथमिकताओं के वितरण को जानने से उद्यम के शीर्ष प्रबंधन को लक्ष्य प्राप्त करने के लिए एक उचित नीति का अनुसरण करने की अनुमति मिलती है।

ग्रन्थसूची

1. ग्लडकिन ओ.पी., गोर्बुनोव एनएम।, गुरोव ए.आई., ज़ोरिन यू.वी. सम्पूर्ण गुणवत्ता प्रबंधन। - एम.: रेडियो और संचार, 1999।

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उद्यम कार्यकारी प्रणाली में मैट्रिक्स विश्लेषण

© 2006 ए.वी. वोल्गिन1, जी.ई. बेलाचेवस्कीज2

\cसमारा - अविआगस»

समारा स्टेट एयरोस्पेस यूनिवर्सिटी

काम में व्यापार संचालन में मैट्रिक्स के आवेदन के विभिन्न तरीकों का विश्लेषण किया जाता है। दो या दो से अधिक सेटों के तत्वों के बीच संबंध (कनेक्शन) मैट्रिक्स रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। संबंधों की संरचना सेट के तत्वों के बीच संबंधों के विश्लेषण को सरल बनाने की अनुमति देती है। उद्यम की नियंत्रण प्रणाली में प्राथमिकता मैट्रिक्स के उपयोग का उदाहरण परिणाम है।

विभिन्न आर्थिक प्रणालियों (उद्यमों, उद्यमों के व्यक्तिगत विभाजन, आदि) के तुलनात्मक मूल्यांकन में मैट्रिक्स विश्लेषण या मैट्रिक्स विधि व्यापक हो गई है। मैट्रिक्स विधि आपको कई संकेतकों के लिए प्रत्येक उद्यम के अभिन्न मूल्यांकन को निर्धारित करने की अनुमति देती है। इस मूल्यांकन को उद्यम की रेटिंग कहा जाता है। एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करते हुए चरणों में मैट्रिक्स विधि के अनुप्रयोग पर विचार करें।

1. मूल्यांकन संकेतकों का चयन और प्रारंभिक डेटा के मैट्रिक्स का निर्माण, वह है, टेबल, जहां सिस्टम (उद्यमों) की संख्या पंक्तियों में परिलक्षित होती है, और संकेतकों की संख्या (i = 1,2 ... .n) - सिस्टम कॉलम में परिलक्षित होते हैं; (j=1,2…..n) - संकेतक। चयनित संकेतकों पर समान फोकस होना चाहिए (जितना अधिक, उतना बेहतर)।

2. मानकीकृत गुणांकों के एक मैट्रिक्स का संकलन।प्रत्येक कॉलम में, अधिकतम तत्व निर्धारित किया जाता है, और फिर इस कॉलम के सभी तत्वों को अधिकतम तत्व से विभाजित किया जाता है। गणना के परिणामों के आधार पर, मानकीकृत गुणांक का एक मैट्रिक्स बनाया जाता है।

हम प्रत्येक कॉलम में अधिकतम तत्व का चयन करते हैं।

तरीका वैज्ञानिक अनुसंधानमैट्रिसेस के सिद्धांत के नियमों के उपयोग के आधार पर वस्तुओं के गुण, जो आर्थिक वस्तुओं के संबंध को दर्शाते हुए मॉडल के तत्वों के मूल्य को निर्धारित करते हैं। इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां अध्ययन का मुख्य उद्देश्य लागत और उत्पादन और आर्थिक गतिविधियों के परिणामों और लागत और आउटपुट के मानकों का संतुलन अनुपात होता है।

• - स्यूडोब्रिज, मैट्रिक्स ब्रिज

  आणविक जीव विज्ञानऔर आनुवंशिकी। शब्दकोष

• - अंग्रेज़ी। मैट्रिक्स विश्लेषण; जर्मन मैट्रिक्स विश्लेषण। समाजशास्त्र में - सामाजिक के गुणों का अध्ययन करने की एक विधि। मैट्रिक्स सिद्धांत के नियमों के उपयोग पर आधारित वस्तुएं ...

  समाजशास्त्र का विश्वकोश

• - मुद्रण उद्योग में - स्टीरियोटाइपिकल मैट्रिसेस या गैर-धातु को उभारने के लिए एक प्रेस। स्टीरियोटाइप आमतौर पर हाइड्रोलिक होते हैं ...

  बड़ा विश्वकोश पॉलिटेक्निक शब्दकोश

• - कार्डबोर्ड या विनाइल प्लास्टिक मैट्रिसेस के साथ-साथ प्लास्टिक स्टीरियोटाइप को दबाने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला उपकरण ...

  पॉलीग्राफी का संक्षिप्त व्याख्यात्मक शब्दकोश

• - देखें: डॉट मैट्रिक्स प्रिंटर...

  व्यापार शर्तों की शब्दावली

• - मैट्रिसेस के सिद्धांत के नियमों के उपयोग के आधार पर वस्तुओं के गुणों के वैज्ञानिक अध्ययन की एक विधि, जो आर्थिक वस्तुओं के संबंध को दर्शाते हुए मॉडल के तत्वों के मूल्य को निर्धारित करती है ...

  बड़ा आर्थिक शब्दकोश

• - अर्थशास्त्र में, मैट्रिसेस के सिद्धांत के नियमों के उपयोग के आधार पर वस्तुओं के गुणों के वैज्ञानिक अध्ययन की एक विधि, जो मॉडल के तत्वों के मूल्य को निर्धारित करती है, आर्थिक वस्तुओं के संबंध को दर्शाती है ...

  महान सोवियत विश्वकोश

• - के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए एक विधि आर्थिक वस्तुएंउनके मैट्रिक्स मॉडलिंग के साथ ...

  बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

• - ...

  रूसी भाषा की वर्तनी शब्दकोश

• - मैत्री-ए, -एस, डब्ल्यू। ...

  Ozhegov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

• - मैट्रिक्स, मैट्रिक्स, मैट्रिक्स। विशेषण मैट्रिक्स के लिए। मैट्रिक्स कार्डबोर्ड...

  Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

• - मैट्रिक्स मैं adj. संबंध संज्ञा के साथ। मैट्रिक्स I इसके साथ जुड़ा हुआ है II adj। 1. अनुपात संज्ञा के साथ। मैट्रिक्स II, इससे जुड़ा 2. मैट्रिक्स का उपयोग करके प्रिंटिंग प्रदान करता है। तृतीय adj. अनुपात...

  Efremova . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

• - एम "...

  रूसी शब्दावली शब्दकोश

• - ...

  शब्द रूप

• - adj।, समानार्थक शब्द की संख्या: 1 मैट्रिक्स-वेक्टर ...

  पर्यायवाची शब्दकोश

• - adj।, समानार्थक शब्द की संख्या: 1 चार ...

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8.11. मैट्रिक्स विधि RUR

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5. राजनीतिक, आर्थिक, सामाजिक और तकनीकी विश्लेषण (कीट विश्लेषण)

11.3. मैट्रिक्स रणनीति विकास विधि

सामरिक प्रबंधन पुस्तक से: ट्यूटोरियल लेखक लापिजिन यूरी निकोलाइविच

11.3. रणनीतियों को विकसित करने के लिए मैट्रिक्स विधि एक संगठन की दृष्टि का विकास संगठनों के बाहरी और आंतरिक वातावरण के विभिन्न राज्य संगठनों की विविधता और उनकी वास्तविक स्थिति की व्याख्या करते हैं। मापदंडों की बहुक्रियात्मक प्रकृति जो प्रत्येक की स्थिति निर्धारित करती है

अनुशासन पर व्याख्यान का कोर्स

"मैट्रिक्स विश्लेषण"

द्वितीय वर्ष के छात्रों के लिए

गणित विशेषता के संकाय

"आर्थिक साइबरनेटिक्स"

(व्याख्याता दिमित्रुक मारिया अलेक्जेंड्रोवना)

अध्याय 3. मैट्रिक्स कार्य।

1. फ़ंक्शन परिभाषा।

डीएफ.फ़ंक्शन को एक अदिश तर्क होने दें। यह परिभाषित करना आवश्यक है कि f(A) से क्या अभिप्राय है, अर्थात्। हमें फ़ंक्शन f(x) को तर्क के मैट्रिक्स मान तक विस्तारित करने की आवश्यकता है।

इस समस्या का हल तब ज्ञात होता है जब f(x) एक बहुपद: हो।

सामान्य मामले में f(A) की परिभाषा।

मान लें कि m(x) एक न्यूनतम बहुपद A है और इसका विहित अपघटन इस प्रकार है कि eigenvalues A. माना बहुपद g(x) और h(x) समान मान लेते हैं।

चलो g(A)=h(A) (1), फिर बहुपद d(x)=g(x)-h(x) ए के लिए विनाशकारी बहुपद है, क्योंकि डी (ए) = 0, इसलिए डी (एक्स ) एक रैखिक बहुपद से विभाज्य है, अर्थात्। डी (एक्स) = एम (एक्स) * क्यू (एक्स) (2)।

फिर, यानी। (3), .

आइए हम मैट्रिक्स ए के स्पेक्ट्रम पर f(x) फ़ंक्शन के ऐसे मानों के लिए m संख्याओं को कॉल करने के लिए सहमत हों, और इन मानों के सेट को निरूपित किया जाएगा।

यदि सेट f(Sp A) को f(x) के लिए परिभाषित किया गया है, तो फ़ंक्शन को मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया गया है।

यह (3) से इस प्रकार है कि बहुपद h(x) और g(x) मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर समान मान रखते हैं।

हमारा तर्क प्रतिवर्ती है, अर्थात। (3) (3) (1) से। इस प्रकार, यदि मैट्रिक्स A दिया गया है, तो बहुपद f(x) का मान पूरी तरह से मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर इस बहुपद के मानों से निर्धारित होता है, अर्थात। मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम पर समान मान लेने वाले सभी बहुपद gi (x) में समान मैट्रिक्स मान gi (A) होते हैं। हम चाहते हैं कि सामान्य स्थिति में f(A) के मान की परिभाषा उसी सिद्धांत का पालन करे।

मैट्रिक्स ए के स्पेक्ट्रम पर फ़ंक्शन f(x) के मानों को पूरी तरह से f(A) निर्धारित करना चाहिए, अर्थात। स्पेक्ट्रम पर समान मान वाले फ़ंक्शंस में समान मैट्रिक्स मान f (A) होना चाहिए। जाहिर है, सामान्य मामले में एफ (ए) को निर्धारित करने के लिए, यह एक बहुपद जी (एक्स) खोजने के लिए पर्याप्त है जो स्पेक्ट्रम ए पर समान मान लेता है जैसे फ़ंक्शन एफ (ए) = जी (ए)।

डीएफ.यदि f(x) को मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया गया है, तो f(A)=g(A), जहां g(A) एक बहुपद है जो स्पेक्ट्रम पर f(A) के समान मान लेता है,

डीएफ. मैट्रिक्स A . से फ़ंक्शन का मान हम इस मैट्रिक्स में बहुपद का मान कहते हैं।

С[x] से बहुपदों में, मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर समान मान लेते हुए, f(x), डिग्री (m-1) से अधिक नहीं, स्पेक्ट्रम A पर समान मान लेते हुए , जैसा कि f(x) किसी बहुपद g(x) के विभाजन का शेष भाग है जिसका मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर न्यूनतम बहुपद m(x)=g(x) द्वारा f(x) के समान मान है। = एम (एक्स) * जी (एक्स) + आर (एक्स)।

इस बहुपद r(x) को मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर फलन f(x) के लिए लैग्रेंज-सिलवेस्टर प्रक्षेप बहुपद कहा जाता है।

टिप्पणी। यदि मैट्रिक्स A के न्यूनतम बहुपद m(x) में कोई बहुमूल नहीं है, अर्थात। , फिर स्पेक्ट्रम पर फ़ंक्शन का मान।

उदाहरण:

मनमाने ढंग से f(x) के लिए r(x) खोजें यदि मैट्रिक्स

. आइए हम f(H .) की रचना करें1 ) न्यूनतम बहुपद H . ज्ञात कीजिए1 अंतिम अपरिवर्तनीय कारक:

, डीएन-1=x2 ; डीएन-1=1;

एमएक्स= एफएन(एक्स) = डीएन(एक्स)/डीएन-1(एक्स) = एक्सएन 0 एनएकाधिक रूट एम (एक्स), यानी। n-गुना eigenvalues ​​H1 .

, r(0)=f(0), r(0) = एफ(0),…, आर(एन -1)(0) = एफ(एन -1)(0) .

1. मैट्रिक्स से कार्यों के गुण।

संपत्ति # 1। यदि मैट्रिक्स में eigenvalues ​​​​हैं (उनके बीच गुणक हो सकते हैं), a, तो मैट्रिक्स f(A) के eigenvalues ​​बहुपद f(x) के eigenvalues ​​​​हैं।

सबूत:

मान लें कि मैट्रिक्स A के अभिलक्षणिक बहुपद का रूप है:

गिनती करते हैं। आइए समानता से निर्धारकों की ओर बढ़ते हैं:

आइए समानता में बदलाव करें:

समानता (*) किसी भी समुच्चय f(x) के लिए मान्य है, इसलिए हम बहुपद f(x) को इसके साथ प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर, हमने मैट्रिक्स f(A) के लिए अभिलक्षणिक बहुपद प्राप्त किया है, जिसे दाईं ओर विस्तारित किया गया है रैखिक कारक, जहां से यह इस प्रकार है कि मैट्रिक्स f(A) के eigenvalues.

सी.एच.टी.डी.

संपत्ति # 2। मैट्रिक्स ए, एफ (एक्स) के मैट्रिक्स और आइजेनवैल्यू को मैट्रिक्स ए के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित एक मनमाना कार्य होने दें, फिर मैट्रिक्स एफ (ए) के ईजेनवैल्यू बराबर हैं।

सबूत:

इसलिये फ़ंक्शन f(x) को मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया गया है, फिर मैट्रिक्स r(x) का एक इंटरपोलेशन बहुपद है, और फिर f(A)=r(A), और मैट्रिक्स r(A) संपत्ति संख्या 1 के अनुसार eigenvalues ​​​​है जो क्रमशः बराबर हैं।

सी.एच.टी.डी.

संपत्ति #3। यदि A और B समरूप आव्यूह हैं, अर्थात् , और f(x) मैट्रिक्स ए के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित एक मनमाना कार्य है, तो

सबूत:

इसलिये A और B समान हैं, तो उनके अभिलक्षणिक बहुपद समान हैं और उनके eigenvalues ​​हैं, इसलिए मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर f(x) का मान मैट्रिक्स B के स्पेक्ट्रम पर फ़ंक्शन f(x) के मान के साथ मेल खाता है, और एक प्रक्षेप बहुपद r(x) इस प्रकार है कि f(A)=r(A), ।

सी.एच.टी.डी.

संपत्ति संख्या 4. यदि A एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स है, तो

परिणाम: यदि, तब, जहाँ f(x) मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित एक फलन है।

1. लैग्रेंज-सिलवेस्टर प्रक्षेप बहुपद।

केस नंबर 1.

दिया जाए। पहले मामले पर विचार करें: विशेषता बहुपद की बिल्कुल n जड़ें हैं, जिनमें से कोई भी गुणज नहीं है, अर्थात। मैट्रिक्स A के सभी eigenvalues ​​​​अलग हैं, अर्थात। , एसपी ए सरल है। इस स्थिति में, हम मूल बहुपद lk(x) की रचना करते हैं:

चलो f(x) मैट्रिक्स ए के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और स्पेक्ट्रम पर इस फ़ंक्शन के मान होने दें। हमें निर्माण करना चाहिए।

चलो बनाये:

आइए ध्यान दें कि।

उदाहरण: एक मैट्रिक्स के लिए लैग्रेंज-सिलवेस्टर इंटरपोलेशन बहुपद की रचना करें.

आइए बुनियादी बहुपदों का निर्माण करें:

तब मैट्रिक्स A के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित फलन f(x) के लिए, हम प्राप्त करते हैं:

चलो ले लो, फिर प्रक्षेप बहुपद

केस नंबर 2.

मैट्रिक्स ए की विशेषता बहुपद की कई जड़ें हैं, लेकिन इस मैट्रिक्स का न्यूनतम बहुपद विशेषता बहुपद का विभाजक है और इसकी केवल सरल जड़ें हैं, यानी। . इस मामले में, पिछले मामले की तरह ही प्रक्षेप बहुपद का निर्माण किया जाता है।

केस नंबर 3.

आइए सामान्य मामले पर विचार करें। मान लें कि न्यूनतम बहुपद का रूप है:

जहाँ m1+m2+…+ms=m, डिग्री r(x)

आइए एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन की रचना करें:

और इसे साधारण भिन्नों में विघटित करें।

आइए निरूपित करें:। (*) से गुणा करें और प्राप्त करें

जहां कुछ फ़ंक्शन है जो अनंत तक नहीं जाता है।

यदि हम (**) डालते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

ak3 खोजने के लिए किसी को (**) दो बार अंतर करना पड़ता है, और इसी तरह। इस प्रकार, गुणांक अकी विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

सभी गुणांक ज्ञात करने के बाद, हम (*) पर लौटते हैं, m(x) से गुणा करते हैं और प्रक्षेप बहुपद r(x) प्राप्त करते हैं, अर्थात्।

उदाहरण: f(A) ज्ञात कीजिए यदि, जहां टीकुछ पैरामीटर,

आइए देखें कि क्या फ़ंक्शन मैट्रिक्स A . के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित है

गुणा (*) से (x-3)

एक्स = 3 . पर

(x-5) से (*) गुणा करें

इस तरह,एक प्रक्षेप बहुपद है।

उदाहरण 2

यदि एक, तो साबित करें कि

आइए मैट्रिक्स A का न्यूनतम बहुपद ज्ञात करें:

विशेषता बहुपद है।

डी2 (x)=1, तो न्यूनतम बहुपद

मैट्रिक्स स्पेक्ट्रम पर f(x)=sin x पर विचार करें:

फ़ंक्शन को स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया गया है।

से गुणा करो

.

से गुणा करो:

व्युत्पन्न (**) लेकर गणना करें:

. यह मानते हुए,

, अर्थात।.

इसलिए,,

उदाहरण 3

मान लीजिए f(x) को मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया जाता है जिसका न्यूनतम बहुपद का रूप होता है. फलन f(x) के लिए प्रक्षेप बहुपद r(x) ज्ञात कीजिए।

हल: शर्त के अनुसार f(x) को मैट्रिक्स A f(1), f . के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया गया है(1), एफ(2), एफ(2), एफ(2) परिभाषित।

हम अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करते हैं:

अगर f(x)=लॉग x

च(1)=0एफ(1)=1

च(2)=लॉग 2एफ(2)=0.5 एफ(2)=-0.25

4. सरल मैट्रिक्स।

मान लीजिए आव्यूह, क्योंकि C बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, तो x