साइन (), कोसाइन (), स्पर्शरेखा (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इन्हें अच्छी तरह से समझने के लिए, पहली नज़र में, जटिल अवधारणाएँ (जो कई स्कूली बच्चों में डरावनी स्थिति का कारण बनती हैं), और यह सुनिश्चित करें कि "शैतान उतना डरावना नहीं है जितना कि उसे चित्रित किया गया है", आइए शुरुआत से ही शुरू करें और समझें कोण की अवधारणा।
कोण की अवधारणा: रेडियन, डिग्री
आइए तस्वीर को देखें। वेक्टर एक निश्चित राशि से बिंदु के सापेक्ष "मुड़ गया"। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन का माप होगा कोना.
कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? खैर, कोण की इकाइयाँ, बिल्कुल!
कोण, ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में, डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।
वृत्त के भाग के बराबर वृत्ताकार चाप पर आधारित वृत्त का केंद्रीय कोण (एक डिग्री) पर कोण होता है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।
यानी ऊपर दी गई आकृति एक ऐसे कोण को दर्शाती है जो बराबर है, यानी यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है।
रेडियन में एक कोण को वृत्त में केंद्रीय कोण कहा जाता है, जो एक वृत्ताकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, समझे? अगर नहीं तो आइए देखते हैं तस्वीर।
तो, आकृति एक रेडियन के बराबर कोण दिखाती है, यानी यह कोण एक गोलाकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर होती है (लंबाई लंबाई के बराबर होती है या त्रिज्या बराबर होती है चाप की लंबाई)। इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
रेडियन में केंद्रीय कोण कहां है।
अच्छा, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोणों में कितने रेडियन हैं? हां, इसके लिए आपको वृत्त की परिधि का सूत्र याद रखना होगा। वहाँ है वो:
खैर, अब इन दो सूत्रों को सहसंबंधित करते हैं और प्राप्त करते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, मान को डिग्री और रेडियन में सहसंबंधित करने पर, हमें वह मिलता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द छोड़ा गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।
कितने रेडियन हैं? सही बात है!
समझ गया? फिर आगे तेज करें:
कोई कठिनाई? फिर देखो जवाब:
समकोण त्रिभुज: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, एक कोण की कोटैंजेंट
तो, कोण की अवधारणा के साथ पता चला। लेकिन एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट क्या है? आइए इसका पता लगाते हैं। इसके लिए एक समकोण त्रिभुज हमारी मदद करेगा।
एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह पक्ष है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह पक्ष है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं और (वे जो से सटे हैं) समकोण), इसके अलावा, अगर हम पैरों को कोण के सापेक्ष मानते हैं, तो पैर बगल वाला पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट क्या हैं?
कोण की ज्याकर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
कोण की कोज्या- यह कर्ण से सटे (करीबी) पैर का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर से आसन्न (करीब) का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
एक कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किस से विभाजित करना है, आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि स्पर्शरेखातथा कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसतथा कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:
कोसाइन → स्पर्श करें → स्पर्श करें → आसन्न;
Cotangent→स्पर्श करें→स्पर्श करें→आसन्न।
सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि एक त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इन पक्षों की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। भरोसा मत करो? फिर तस्वीर को देखकर सुनिश्चित करें:
उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज से: , लेकिन हम एक त्रिभुज से किसी कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं: . आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।
यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!
नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।
अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोने के लिए समान गणना करें।
इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त
डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं एक. यह त्रिकोणमिति के अध्ययन में बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केंद्रित करते हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल बनाया गया है कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर होती है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।
वृत्त का प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय और अक्ष के साथ समन्वय। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें इस विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।
त्रिभुज से किसके बराबर होता है? सही बात है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और इसलिए, . इस मान को हमारे कोसाइन सूत्र में बदलें। यहाँ क्या होता है:
और त्रिभुज से किसके बराबर होता है? ठीक है, बिल्कुल, ! इस सूत्र में त्रिज्या का मान रखें और प्राप्त करें:
तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? और अगर आप इसे महसूस करते हैं और सिर्फ संख्याएं हैं? यह किस समन्वय से मेल खाता है? खैर, निश्चित रूप से, समन्वय! यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, समन्वय! इस प्रकार, बिंदु।
और फिर क्या बराबर हैं और? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और उसे प्राप्त करें, a.
क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:
इस उदाहरण में क्या बदल गया है? आइए इसका पता लगाते हैं। इसके लिए, हम फिर से मुड़ते हैं सही त्रिकोण. एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: एक कोण (एक कोण के निकट के रूप में)। किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा और कोटंगेंट का मान क्या होता है? यह सही है, हम प्रासंगिक परिभाषाओं का पालन करते हैं त्रिकोणमितीय फलन:
ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संगत अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।
यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाते हैं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन केवल वह नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाते समय, हम प्राप्त करते हैं सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाते समय - नकारात्मक।
तो, हम जानते हैं कि वृत्त के चारों ओर त्रिज्या सदिश का एक संपूर्ण परिक्रमण या है। क्या त्रिज्या सदिश को बारी-बारी से घुमाना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।
दूसरे मामले में, यानी त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।
इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोण जो भिन्न होते हैं या (जहां कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।
नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। एक ही छवि कोने से मेल खाती है, और इसी तरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है या (जहां कोई पूर्णांक है)
अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करके, यह उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:
आपकी सहायता के लिए यहां एक इकाई मंडल है:
कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:
यहां से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोना निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:
अस्तित्व में नहीं है;
इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले इसे स्वयं आजमाएं, फिर उत्तरों की जांच करें।
उत्तर:
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:
इन सभी मूल्यों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:
लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान और, नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद किया जाना चाहिए:
डरो मत, अब हम एक उदाहरण दिखाएंगे बल्कि संबंधित मूल्यों की सरल याद:
इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण के सभी तीन मापों () के लिए साइन के मूल्यों के साथ-साथ कोण के स्पर्शरेखा के मूल्य को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मूल्यों को जानने के बाद, पूरी तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मानों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात्:
यह जानकर, आप के लिए मूल्यों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " का मिलान होगा और हर " " का मिलान होगा। चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार कोटैंजेंट मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ आरेख को याद करते हैं, तो यह तालिका से संपूर्ण मान को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।
एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक
क्या एक वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूमने के कोण को जानना?
ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! आइए बाहर लाते हैं सामान्य सूत्रएक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए.
यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक वृत्त है:
हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। बिंदु को डिग्री से घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का समन्वय खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। एक खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:
फिर हमारे पास उस बिंदु के लिए निर्देशांक है।
उसी तर्क से, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस तरह,
तो में सामान्य दृष्टि सेबिंदु निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
मंडल केंद्र निर्देशांक,
सर्कल त्रिज्या,
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण।
जैसा कि आप देख सकते हैं, हम जिस इकाई सर्कल पर विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:
अच्छा, आइए स्वाद के लिए इन फ़ार्मुलों को आज़माएँ, एक वृत्त पर अंक खोजने का अभ्यास करें?
1. एक बिंदु को चालू करने से प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2. एक इकाई वृत्त पर एक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3. एक इकाई वृत्त पर एक बिंदु को चालू करने पर प्राप्त एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
4. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।
5. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।
वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक खोजने में परेशानी हो रही है?
इन पांच उदाहरणों को हल करें (या समाधान को अच्छी तरह से समझें) और आप सीखेंगे कि उन्हें कैसे खोजना है!
1.
यह देखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के पूर्ण मोड़ से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:
2. सर्कल एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
यह देखा जा सकता है। हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के दो पूर्ण घुमावों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:
साइन और कोसाइन सारणीबद्ध मान हैं। हम उनके मूल्यों को याद करते हैं और प्राप्त करते हैं:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
3. सर्कल एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
यह देखा जा सकता है। आइए चित्र में माना गया उदाहरण चित्रित करें:
त्रिज्या और के बराबर अक्ष के साथ कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के सारणीबद्ध मान समान हैं, और यह निर्धारित करने के बाद कि यहां कोसाइन एक नकारात्मक मान लेता है, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास है:
विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय इसी तरह के उदाहरणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
4.
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)
साइन और कोसाइन के संबंधित संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम एक इकाई सर्कल और एक कोण बनाते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, मान, यानी धनात्मक है, और मान, अर्थात् ऋणात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में बदलें और निर्देशांक खोजें:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,
वृत्त त्रिज्या (शर्त के अनुसार)
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)।
सभी मानों को सूत्र में रखें और प्राप्त करें:
और - तालिका मान। हम उन्हें याद करते हैं और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
सारांश और बुनियादी सूत्र
कोण की ज्या कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।
कोण की कोज्या कर्ण के निकटवर्ती (करीबी) पैर का अनुपात है।
एक कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) पैर का आसन्न (करीब) से अनुपात है।
कोण का कोटैंजेंट आसन्न (करीबी) पैर का विपरीत (दूर) का अनुपात है।
इस लेख में, हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानसमानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और आपको ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।
हम तुरंत मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सूचीबद्ध करते हैं, जिनका विश्लेषण हम इस लेख में करेंगे। हम उन्हें एक तालिका में लिखते हैं, और नीचे हम इन सूत्रों की व्युत्पत्ति देते हैं और आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं।
पृष्ठ नेविगेशन।
एक कोण की ज्या और कोज्या के बीच संबंध
कभी-कभी वे ऊपर दी गई तालिका में सूचीबद्ध मूल त्रिकोणमितीय पहचानों के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं मूल त्रिकोणमितीय पहचानमेहरबान 
. इस तथ्य की व्याख्या काफी सरल है: मूल त्रिकोणमितीय पहचान से समानताएं इसके दोनों भागों को क्रमशः और से विभाजित करने के बाद प्राप्त की जाती हैं, और समानताएं 
तथा 
साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का पालन करें। हम निम्नलिखित पैराग्राफ में इस पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।
अर्थात्, यह समानता है जो विशेष रुचि की है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।
मूल त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। आइए अब इसे साबित करते हैं।
मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग अक्सर किया जाता है परिवर्तन त्रिकोणमितीय भाव . यह एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। कम अक्सर नहीं, मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग उल्टे क्रम में किया जाता है: इकाई को किसी भी कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग से बदल दिया जाता है।
साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट
रूप के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान और 
साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का तुरंत पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, ज्या y की कोटि है, कोज्या x का भुज है, स्पर्शरेखा भुज के कोटि का अनुपात है, अर्थात्, 
, और कोटैंजेंट भुज का कोटि से अनुपात है, अर्थात, 
.
पहचान की इस स्पष्टता के कारण और अक्सर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाएं भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं दी जाती हैं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से दी जाती हैं। तो एक कोण की स्पर्शरेखा इस कोण की ज्या और कोज्या का अनुपात है, और कोटांगेंट, कोज्या और ज्या का अनुपात है।
इस खंड को समाप्त करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और ऐसे सभी कोणों को पकड़ें जिनके लिए उनमें त्रिकोणमितीय कार्य समझ में आते हैं। तो सूत्र किसी अन्य के लिए मान्य है (अन्यथा भाजक शून्य होगा, और हमने विभाजन को शून्य से परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए , से भिन्न , जहाँ z कोई है .
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध
पिछले दो की तुलना में एक और अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचान प्रपत्र के एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह के अलावा किसी भी कोण के लिए होता है, अन्यथा स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट परिभाषित नहीं होता है।
सूत्र का प्रमाण बहुत आसान। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से 
. सबूत थोड़ा अलग तरीके से किया जा सकता था। चूंकि और , फिर 
.
तो, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट, जिस पर वे समझ में आते हैं, है।
गणित की एक शाखा जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह है त्रिकोणमिति। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और गणना में संख्या pi का उपयोग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।
त्रिकोणमिति की उत्पत्ति
इस विज्ञान से परिचित होना कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।
ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न ऑपरेशन करना संभव हो जाता है जो किसी को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक तरफ का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इसे इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक कि कला के निर्माण में सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।
प्रथम चरण
प्रारंभ में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात करते थे। फिर विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे गणित के इस खंड के दैनिक जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।
स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन आज समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद छात्रों द्वारा अर्जित ज्ञान का उपयोग भौतिकी और अमूर्त त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिसके साथ हाई स्कूल में काम शुरू होता है।
गोलाकार त्रिकोणमिति
बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। स्कूल में इस खंड का अध्ययन नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम इसलिए कि पृथ्वी की सतह, और किसी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि सतह का कोई भी अंकन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में "चाप के आकार का" होगा।
ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं से इस प्रकार संलग्न करें कि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार प्राप्त कर लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, सौदों।
सही त्रिकोण
त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटते हैं ताकि आगे यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।
पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत पक्ष है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।
उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को लगभग साढ़े चार हजार साल पहले इस बारे में पता था।
शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
परिभाषा
अंत में, ज्यामितीय आधार की एक ठोस समझ के साथ, हम एक कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।
कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है।
याद रखें कि न तो ज्या और न ही कोज्या एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, यह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।
अंत में, किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का आसन्न भुजा का अनुपात है। वही परिणाम कोज्या द्वारा ज्या का विभाजन देगा। देखो: सूत्र के अनुसार, हम पक्ष की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात मिलता है।
कोटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटी भुजा का विपरीत दिशा में अनुपात है। हम इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर समान परिणाम प्राप्त करते हैं।
इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।
सबसे सरल सूत्र
त्रिकोणमिति में, कोई सूत्र के बिना नहीं कर सकता - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।
त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की जरूरत है, वह कहता है कि एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यह समय बचाता है यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, भुजा का नहीं।
कई छात्रों को दूसरा फॉर्मूला याद नहीं रहता है, जो हल करने में भी काफी लोकप्रिय है स्कूल के कार्य: एक का योग और एक कोण के स्पर्शरेखा के वर्ग को कोण के कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र जानने के बाद, आप किसी भी समय आवश्यक अधिक प्राप्त कर सकते हैं जटिल सूत्रकागज के एक टुकड़े पर।
द्विकोण सूत्र और तर्कों का योग
दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।
फॉर्म में तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं दोहरा कोण. वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - अभ्यास के रूप में, अल्फा कोण लेकर उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें कोण के बराबरबीटा।
अंत में, ध्यान दें कि डबल कोण सूत्रों को साइन, कोसाइन, टेंगेंट अल्फा की डिग्री को कम करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है।
प्रमेयों
मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्र, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।
साइन प्रमेय में कहा गया है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने पर हमें वही संख्या प्राप्त होती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु हों।
कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्य करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके आसन्न कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।
असावधानी के कारण गलतियाँ
साइन, कोसाइन और टेंगेंट क्या हैं, यह जानते हुए भी, अनुपस्थिति या सरल गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।
सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक साधारण अंशों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - आप उत्तर को फॉर्म में छोड़ सकते हैं सामान्य अंशजब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि कार्य के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जो लेखक के विचार के अनुसार कम होनी चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय कार्यों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे हर कदम पर कार्यों में होते हैं। वही "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर लागू होता है।
इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।
तीसरा, साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर होती है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।
आवेदन पत्र
कई छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसे समझ नहीं पाते हैं अनुप्रयुक्त भावना. एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये अवधारणाएं हैं जिनके लिए आप दूर के सितारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये सिर्फ सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग हर जगह किया जाता है।
आखिरकार
तो आप ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणना में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।
त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य से उबलता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन पक्षों की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में पूरा अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।
पैरों की ज्ञात लंबाई या कर्ण के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे खोजें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन पदों का अर्थ अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और अनुपात एक भिन्न है, मुख्य लक्ष्यएक त्रिकोणमितीय समस्या एक साधारण समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली की जड़ें ढूंढती है। और यहां आपको साधारण स्कूली गणित से मदद मिलेगी।
दो कोणों α और β के लिए साइन और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्र आपको संकेतित कोणों के योग से कोणों α + β 2 और α - β 2 के गुणनफल तक जाने की अनुमति देते हैं। हम तुरंत ध्यान दें कि आपको योग और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्रों को योग और अंतर के साइन और कोसाइन के सूत्रों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए। नीचे हम इन सूत्रों को सूचीबद्ध करते हैं, उनकी व्युत्पत्ति देते हैं, और विशिष्ट समस्याओं के लिए उनके आवेदन के उदाहरण दिखाते हैं।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्र
आइए नीचे लिखें कि ज्या और कोज्या के योग और अंतर सूत्र कैसे दिखते हैं
साइन के लिए योग और अंतर सूत्र
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
कोज्या के लिए योग और अंतर सूत्र
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2
ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं। कोण α + β 2 और α - β 2 को क्रमशः अल्फा और बीटा कोणों का आधा-योग और आधा-अंतर कहा जाता है। हम प्रत्येक सूत्र के लिए एक सूत्रीकरण देते हैं।
ज्या और कोज्या के योग और अंतर सूत्रों की परिभाषा
दो कोणों की ज्याओं का योगइन कोणों के आधे योग की ज्या और अर्ध-अंतर की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।
दो कोणों की ज्याओं का अंतरइन कोणों के आधे अंतर की ज्या के गुणनफल और आधे योग की कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।
दो कोणों की कोज्याओं का योगअर्ध-योग की कोज्या और इन कोणों के आधे-अंतर के कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।
दो कोणों की कोज्याओं का अंतरऋणात्मक चिह्न के साथ लिए गए इन कोणों के आधे-अंतर की ज्या और इन कोणों के आधे-अंतर के कोज्या के गुणनफल के दोगुने के बराबर है।
ज्या और कोज्या के योग और अंतर के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति
दो कोणों की ज्या और कोज्या के योग और अंतर के सूत्र व्युत्पन्न करने के लिए योग सूत्र का उपयोग किया जाता है। हम उन्हें नीचे प्रस्तुत करते हैं
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
हम स्वयं कोणों को अर्ध-राशि और अर्ध-अंतरों के योग के रूप में भी निरूपित करते हैं।
α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2
हम पाप और कॉस के योग और अंतर के सूत्रों की व्युत्पत्ति के लिए सीधे आगे बढ़ते हैं।
ज्याओं के योग के सूत्र की व्युत्पत्ति
पाप α + sin β के योग में, हम α और β को ऊपर दिए गए इन कोणों के व्यंजकों से प्रतिस्थापित करते हैं। प्राप्त
पाप α + पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 + पाप α + β 2 - α - β 2
अब हम पहले व्यंजक के योग सूत्र को लागू करते हैं, और कोण के अंतर के साइन सूत्र को दूसरे पर लागू करते हैं (उपरोक्त सूत्र देखें)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 आइए कोष्ठक खोलें, समान पद जोड़ें और वांछित सूत्र प्राप्त करें
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
शेष सूत्र प्राप्त करने के चरण समान हैं।
ज्या के अंतर के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति
पाप α - पाप β = पाप α + β 2 + α - β 2 - पाप α + β 2 - α - β 2 पाप α + β 2 + α - β 2 - पाप α + β 2 - α - β 2 = पाप α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 पाप α - β 2 कॉस α + β 2
कोज्याओं के योग के सूत्र की व्युत्पत्ति
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 कॉस α - β 2
कोज्या अंतर सूत्र की व्युत्पत्ति
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 पाप α + β 2 पाप α - β 2
व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के उदाहरण
आरंभ करने के लिए, हम इसमें विशिष्ट कोण मानों को प्रतिस्थापित करके सूत्रों में से एक की जांच करेंगे। मान लीजिए α = 2 , β = π 6 । आइए इन कोणों की ज्याओं के योग के मान की गणना करें। सबसे पहले, हम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मूल्यों की तालिका का उपयोग करते हैं, और फिर हम साइन के योग के लिए सूत्र लागू करते हैं।
उदाहरण 1. दो कोणों की ज्याओं के योग के सूत्र की जाँच करना
α \u003d π 2, β \u003d π 6 पाप 2 + पाप π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 पाप π 2 + पाप π 6 \u003d 2 पाप π 2 + 6 2 cos 2 - π 6 2 \u003d 2 पाप 3 कॉस 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
आइए अब उस मामले पर विचार करें जब कोणों के मान तालिका में प्रस्तुत मूल मानों से भिन्न होते हैं। मान लीजिए α = 165°, β = 75°। आइए हम इन कोणों की ज्याओं के बीच के अंतर के मान की गणना करें।
उदाहरण 2. ज्या अंतर सूत्र लागू करना
α = 165 ° , β = 75 ° पाप α - पाप β = पाप 165 ° - पाप 75 ° पाप 165 - पाप 75 = 2 पाप 165 ° - पाप 75 ° 2 cos 165 ° + पाप 75 ° 2 = = 2 पाप 45 ° क्योंकि 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
साइन और कोसाइन के योग और अंतर के लिए सूत्रों का उपयोग करके, आप योग या अंतर से त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद तक जा सकते हैं। अक्सर इन सूत्रों को योग से उत्पाद में संक्रमण के लिए सूत्र कहा जाता है। साइन और कोसाइन के योग और अंतर के सूत्रों का व्यापक रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने में उपयोग किया जाता है।
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मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच अनुपात - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट - दिए गए हैं त्रिकोणमितीय सूत्र. और चूँकि त्रिकोणमितीय फलनों के बीच काफी संबंध हैं, यह त्रिकोणमितीय सूत्रों की प्रचुरता की व्याख्या भी करता है। कुछ सूत्र एक ही कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों को जोड़ते हैं, अन्य - एक से अधिक कोण के कार्य, अन्य - आपको डिग्री कम करने की अनुमति देते हैं, चौथा - आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से सभी कार्यों को व्यक्त करने के लिए, आदि।
इस लेख में, हम सभी मुख्य . के क्रम में सूचीबद्ध करेंगे त्रिकोणमितीय सूत्र, जो त्रिकोणमिति की अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त हैं। याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, हम उन्हें उनके उद्देश्य के अनुसार समूहित करेंगे, और उन्हें तालिकाओं में दर्ज करेंगे।
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मूल त्रिकोणमितीय पहचान
मूल त्रिकोणमितीय पहचानएक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध सेट करें। वे साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषा के साथ-साथ यूनिट सर्कल की अवधारणा का पालन करते हैं। वे आपको एक त्रिकोणमितीय फलन को किसी अन्य के माध्यम से व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।
इन त्रिकोणमिति सूत्रों, उनकी व्युत्पत्ति और अनुप्रयोग उदाहरणों के विस्तृत विवरण के लिए, लेख देखें।
कास्ट सूत्र
कास्ट सूत्रसाइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के गुणों से अनुसरण करें, यानी, वे त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता की संपत्ति, समरूपता की संपत्ति, और किसी दिए गए कोण द्वारा शिफ्ट की संपत्ति को भी दर्शाते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र आपको मनमाने कोणों के साथ काम करने से शून्य से 90 डिग्री तक के कोणों के साथ काम करने की अनुमति देते हैं।
इन फ़ार्मुलों का औचित्य, उन्हें याद रखने का एक स्मरणीय नियम और उनके आवेदन के उदाहरणों का अध्ययन लेख में किया जा सकता है।
जोड़ सूत्र
त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्रदिखाएँ कि इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं। ये सूत्र निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सूत्रों की व्युत्पत्ति के आधार के रूप में कार्य करते हैं।
डबल, ट्रिपल, आदि के लिए सूत्र। कोना
डबल, ट्रिपल, आदि के लिए सूत्र। कोण (इन्हें बहुकोण सूत्र भी कहा जाता है) यह दर्शाता है कि कैसे दोहरे, तिहरे, आदि के त्रिकोणमितीय फलन कार्य करते हैं। कोण () को एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। उनकी व्युत्पत्ति योग सूत्रों पर आधारित है।
डबल, ट्रिपल आदि के लिए लेख सूत्रों में अधिक विस्तृत जानकारी एकत्र की जाती है। कोण ।
आधा कोण सूत्र
आधा कोण सूत्रदिखाएँ कि एक पूर्णांक कोण के कोज्या के रूप में एक आधे कोण के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र दोहरे कोण वाले सूत्रों का अनुसरण करते हैं।
उनके निष्कर्ष और आवेदन के उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं।
कमी सूत्र
डिग्री घटाने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रत्रिकोणमितीय कार्यों की प्राकृतिक शक्तियों से पहली डिग्री में साइन और कोसाइन में संक्रमण की सुविधा के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, लेकिन कई कोण हैं। दूसरे शब्दों में, वे पहले त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों को कम करने की अनुमति देते हैं।
त्रिकोणमितीय कार्यों के योग और अंतर के लिए सूत्र
मुख्य गंतव्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर सूत्रकार्यों के उत्पाद में संक्रमण शामिल है, जो त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल करते समय बहुत उपयोगी होता है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में इन सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे साइन और कोसाइन के योग और अंतर को फैक्टरिंग करने की अनुमति देते हैं।
कोज्या द्वारा ज्या, कोज्या और ज्या के गुणनफल के सूत्र
त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल से योग या अंतर में संक्रमण, कोज्या द्वारा ज्या, कोज्या और ज्या के गुणनफल के सूत्रों के माध्यम से किया जाता है।
चतुर छात्रों द्वारा कॉपीराइट
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