Teorija vjerovatnoće, riješeni problemi. Negde tamo mogu postojati izuzetno čudni svetovi

osobe sadrži određeni plan s kojim je duša došla ovamo, sve varijante razvoja događaja, uključujući. Možete otići tamo i vidjeti posljedice važnih odluka koje donosimo. Na primjer, o promjeni posla i načina života. To se može učiniti i u nezavisnim meditacijama i u zajedničkim procesima gospodar-rob. Ispod je opis kako je to urađeno na sesiji

Linije vjerovatnoće

Projektujem tri grane:

1) ostati u Moskvi na postojećem poslu;

2) prodati ili iznajmiti stan i otići sa prijateljima u Aziju kako bi postali partner u svom turističkom poslu;

3) idealna opcija: napuštam posao, učestvujem u poslovima prijatelja na projektnoj bazi, dok imam svoju kuću, ali ne u Moskvi (ili Azija, ali drugačija, ili Istočna Evropa, ili Latinska Amerika - velika svijetla vila u kojoj možete primati goste i provoditi odmor), postoji par - vlastitih partnerstava, i oni imaju svoj posao.

Sva tri kraka gradimo kao puteve, vidi da li ima krakova.

Moskovska grana je snažno debelo sivo uže, dosadno i pouzdano, nećete se otrgnuti, nećete se izgubiti. Iz užeta dolazi nekoliko tanjih užadi, neki od njih su svjetliji i zanimljiviji, ali nijedan od njih ne privlači, ne zove i ne svijetli. Osećam da još uvek volim Moskvu, ali ova tema je zastarela.


Filijala sa Azijom i prijateljima je veoma svetla i vizuelna, ali kratka i tečna, ili tako nešto. Nedostaje joj potencijal da se samouvjereno okrene u budućnosti. Nema dovoljno resursa.

Idealna treća slika podijeljena je na nekoliko geografskih tačaka na karti, od kojih svaka ima svoj specifični okus. Treća grana, unutar koje se nalazi moja priča, meni je, naravno, najatraktivnija. Ona sada nije tako opipljiva kao Moskva i nije šarena kao druga, Ali ona je zove. I sija, ispunjen iznutra. Poput tankog živog zraka, pulsira i svjetluca.

Birajući svoj put

U ovoj verziji događaja slobodno se krećem po svijetu po svojoj volji. Moja primanja su niža nego u Moskvi, ali dovoljno je da ništa ne trebam i da sebi ništa ne uskraćujem, iako umjereno. Dolazim na projekte sa prijateljima, oni ostaju sa mnom. Pišem nešto i radim sa ljudima, radim to iz zadovoljstva. Postoji i neka vrsta sekularnog poslovnog projekta, koji je također manje-više uspješan, a donosi stabilan prihod.

Istovremeno, postoji bliska osoba, sa kojima ćemo zajedno realizovati ovu priču, u paru. Da bi se to manifestovalo, nije potrebna samo moja namjera, već će biti potrebna određena naplata s obje strane, naravno, kao i za svaki izbor. Čim nešto odaberete, automatski nešto odbijate.. Uvek je strašno i nesigurno, osim toga. Plaćanje kao odricanje od postojećeg komfora ili slobode. Plaćanje kao dozvola da u svoj život uđete nešto sasvim novo i nepoznato, iako primamljivo. Čista slobodna volja i čistoća namera sa obe strane. A i tamo - kako će ispasti.. Drugačije (ne čistom voljom) ova tema jednostavno neće poletjeti.

Cijeli ovaj proces je trenutno u razvoju. Ova grana je u fazi sazrijevanja i ako sve bude kako treba, onda se može u potpunosti manifestirati u mojoj stvarnosti. Vidi ima li prepreka ili kamenja na ovoj idealnoj liniji za mene. Vidim srušeno drvo, tačno na putu. To je strah i sumnja u sebe. Iz serije - predobro je da sve tako ispadne, ne biva tako, sve su to iluzije i bajke koje su same izmislile. Raščišćavam put.

Sljedeći važan korak je donošenje vlastite konačne odluke – da li je uopće potrebno skrenuti pažnju tamo, na ovu granu snova, jer je kasnije neće biti tako lako "premotati". Shvatam za sebe da ga na ovaj ili onaj način energiziram već duže vrijeme i aktiviram iznutra. I to čak nije zbog tvrdoglavosti ili želje da bude po mom.

Mnogo suptilnije stvari i znakovi koji signaliziraju da je ovo sudbina, ma koliko glasno zvučalo. Ova grana postepeno postaje sve opipljivija. Kondenzira se, polako i sigurno. Iako je, naravno, još uvijek krajnje neizvjesno i može se srušiti svakog trenutka, ali postoji osjećaj da ona sama dolazi do mene, ova tema.

Budući da je odavno osmišljen i unaprijed određen, naručen, moglo bi se reći. I razumijem kuda ovo vodi. I kako se razvija. I da je to ispravan razvoj događaja. Iako se ponekad plašim da u to poverujem.

I još uvijek ne bi bilo poželjno cementirati ovu granu. Učinite ga krutim i nedvosmislenim.. Nema potrebe da se u njega ugrađuje kruta veza za određeno mjesto ili zanimanje, ili za nešto drugo. Želim da ima puno elemenata: vazduh, vodu, vatru, zemlju, da diše, da bude fleksibilan i neuništiv - mobilan, transformabilan i rekonfigurabilan. I kako bi sve što se u njemu događa bilo rezultat ko-kreacije, a ne autonomnog djelovanja. U svakom slucaju ovo je uparena prica, ne moze se roditi kao prinuda, ovde je vazna maksimalna korektnost - ni u kom slucaju ne nametati ili pritiskati.. Sve je slobodna volja. A onda - gde će zvati *

Jačanje grane pažnjom

Protežem zrak od svoje Iskre u pravcu ove grane, do tačke ka kojoj teži, povezujem se s njom svojom pažnjom. Tako iskra počinje da radi ka ostvarenju ovog cilja, usidri se u njemu. Možda toga nisam svjestan, ali posao će biti obavljen: formiranje događaja u svemiru odvijat će se na način da taj cilj bude što bliži mojoj stvarnosti, njegovoj realizaciji.

Spark Beam se pretvara u gravitacijski snop i privlači mi objekte i događaje iz te grane vjerovatnoća poput magneta. Cilj je veoma blizu, može se reći da sam sada u njemu. Poput teleporta, kada se ne pokušavate prebaciti na novo mjesto cijelim tijelom, već materijalizirate željeni prostor oko sebe: podešavate se na metu i privlačite je k sebi. I što vam je bliže, to se vaša volja više proteže do njenog ostvarenja. I već je Iskra zaslužna za oblikovanje onih događaja koji će za sobom povući oličenje ove grane u stvarnosti, koji će joj omogućiti da se igra.

Svoju budućnost slikam svjetlošću moje Iskre. Tako je kul tamo, u ovoj liniji verovatnoća je jedna jako lepa priča gde želim da pozovem sve da posete.. Velika svetla prostorija ispunjena životom, suncem i vazduhom.. Dajem joj gorivo, punim je potencijalom tako da ima priliku da se manifestuje u stvarnosti. Kada ste spremni donijeti konačnu odluku ili trebate vidjeti neke odgovore o razvoju ove grane, jednostavno se možete sjetiti ovog stanja privlačnosti, upijati emotivnu atmosferu i raspoloženje ove sobe, osjetiti emociju kreativnosti i partnerstva . Emocija stvaranja je uvijek ljubav.

Manifestacija i konsolidacija rezultata

Da biste uhvatili tu sliku koja izgleda tako privlačno, ali sada nestabilna, trebate pustiti svjetlost kroz nju, uliti emocije, napuniti je pozitivnom. Uđite u stanje anande - radosnog uspona, voljenog i voljenog bića, zaljubljenog i ispunjenog ljubavlju, i preusmjerite ovo unutrašnje gorivo u idealan scenario.

Očistite putanju i uklonite pitanja. Uskladite se s drugim granama stvarnosti koje me okružuju i uključenim igračima tako da sve ovo bude sinhronizirano na mjestu i vremenu. Poklopilo se sa namjerama, voljom i slobodom izbora. Zasitite sve to svojom vlastitom svjetlošću, toplinom i ljubavlju za ostvarenje svoje budućnosti. kreativnost na način koji voliš. Izložiti željeni rezultat na način da se slika utisne svjetlom na osjetljivi film - platno budućih događaja, sagori svoj otisak u njemu kao svjetlosna projekcija. I zadržite malo da efekat bude što svetliji.

Sada morate obraditi stvoreni otisak sna tako da pređe u sloj materijalne stvarnosti. Sljedeći korak je stabilizacija. Potrebno je dodati malo energije tame i hladnoće u sliku kako bi se kristalizirala i dobila čvršći obris, prešla iz stanja magične fatamorgane u gušće slojeve, konsolidirala se i manifestirala.

Rad sa negativnim otiskom.. Rezultat je bukvalno fiksiran na listu stvarnosti, otprilike isto kao kada projektujemo sliku sa analognog fotografskog filma na analogni fotografski papir, a zatim izlijemo naizmjence razvijač i fiksator kako bismo mogli pogledajte detaljno šta smo snimili uz pomoć svjetla i namjera i uđite tamo kada je prikladno i na vrijeme.

Jer za komunikaciju sa svijetom i kreativna realizacija Grlena čakra odgovara, šaljem zrak iz grlene čakre na odabranu granu. Iza njega je tražio zrak iz druge čakre, a zatim iz treće. Zatim su se ostale čakre spojile, ispalo je takav pljusak zraka, kao iz cvijeta od sedam boja. Perem i sušim sve što je ispalo, punim pokretom, materijalnom energijom zemlje, vizijom, svim kvalitetima životne sile i magnetizma, još više privlačim granu vjerovatnoće u svoju stvarnost, direktno povezujem sa svakim od čakri centara, ja to propisujem tamo u njima..

* osoba zaboravlja da je budućnost multivarijantna i često se pridržava šablonskih modela (oni se obično određuju numerologijom, astrologijom itd.). Zapravo, svako od nas je tok, a tok treba da teče, a ne da se zakači za okvire, da lako otpusti staro i pusti novo, da se prilagodi. Stoga, ako radite takve prakse, ni u kom slučaju ne "cementirajte" svoju namjeru, jer svijet uvijek nudi još više cool opcija kojih mi sami možda nismo ni svjesni, pogotovo sada.


Stvarnost je višedimenzionalna, mišljenja o njoj su višestruka. Ovdje je prikazano samo jedno ili nekoliko lica. Ne treba ih uzimati kao konačnu istinu, jer, već za svaki nivo svijesti i. Učimo da odvajamo ono što je naše od onoga što nije naše, ili da autonomno izvlačimo informacije)

TEMATSKE SEKCIJE:
| | | | | | | | |

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52);

● B = (11.12, 21.13, 31.14, 41.15, 51.16, 61)

● C = (12, 21.36, 63.45, 54.33.15, 51, 24.42.66).

● D= (ZBIR BOOVA JE 2 ILI 3);

● E= (UKUPAN BODOVI JE 10).

Opišite događaj: OD= (KRUG ZATVORENO) za svaki slučaj.

Rješenje. Hajde da uvedemo notaciju: događaj A- kontakt 1 je zatvoren; događaj AT- kontakt 2 je zatvoren; događaj OD- krug je zatvoren, lampica je upaljena.

1. Za paralelnu vezu, kolo je zatvoreno kada je barem jedan od kontakata zatvoren, dakle C = A + B;

2. Za serijsku vezu, kolo je zatvoreno kada su oba kontakta zatvorena, dakle C \u003d A B.

Zadatak. 1.1.4 Izrađena su dva električna kola:

Događaj A - krug je zatvoren, događaj A i - I-ti kontakt je zatvoren. Za koji od njih je omjer

A1 (A2 + A3 A4) A5 = A?

Rješenje. Za prvo kolo, A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), pošto zbir događaja odgovara paralelnoj vezi, a proizvod događaja odgovara serijskoj vezi. Za drugu šemu A = A1 (A2+A3 A4 A5). Dakle, ova relacija vrijedi za drugu shemu.

Zadatak. 1.1.5 Pojednostavite izraz (A + B)(B + C)(C + A).

Rješenje. Koristimo svojstva operacija sabiranja i množenja događaja.

(A+ B)(B + C)(A + C) =

(AB+ AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB+ AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Zadatak. 1.1.6Dokazati da su događaji A, AB i A+B formiraju kompletnu grupu.

Rješenje. Prilikom rješavanja problema koristit ćemo svojstva operacija nad događajima. Prvo, pokazujemo da su ovi događaji parno nekompatibilni.

Pokažimo sada da zbir ovih događaja daje prostor elementarnih događaja.

Zadatak. 1.1.7Koristeći Euler-Venn shemu, provjerite de Morganovo pravilo:

A) Događaj AB je osenčen.

B) Događaj A - vertikalno šrafiranje; događaj B - horizontalno šrafiranje. Događaj

(A+B) - zasjenjeno područje.

Iz poređenja slika a) i c) slijedi:

Zadatak. 1.2.1Na koliko načina se može sjesti 8 osoba?

1. U jednom redu?

2. Per okrugli stol?

Rješenje.

1. Željeni broj načina jednak je broju permutacija od 8, tj.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Budući da izbor prve osobe za okruglim stolom ne utiče na izmjenu elemenata, onda se bilo ko može prvi uzeti, a ostali će biti poređani u odnosu na izabranog. Ova akcija se može izvesti na 8!/8 = 5040 načina.

Zadatak. 1.2.2Kurs obuhvata 5 predmeta. Na koliko načina možete napraviti raspored za subotu ako će tog dana biti dva različita para?

Rješenje. Željeni broj načina je broj plasmana

Od 5 do 2, pošto morate voditi računa o redosledu parova:

Zadatak. 1.2.3Kako ispitne komisije, koji se sastoji od 7 ljudi, može biti sastavljeno od 15 nastavnika?

Rješenje. Željeni broj provizija (bez obzira na redosled) je broj kombinacija od 15 do 7:

Zadatak. 1.2.4 Iz korpe koja sadrži dvadeset numerisanih loptica bira se 5 lopti za sreću. Odredite broj elemenata u prostoru elementarnih događaja ovog iskustva ako:

Kuglice se biraju uzastopno jedna za drugom s povratkom nakon svakog vađenja;

Kuglice se biraju jedna po jedna bez vraćanja;

5 loptica se bira odjednom.

Rješenje.

Broj načina da se izvuče prva lopta iz koša je 20. Pošto se izvučena loptica vraća u koš, broj načina da se izvuče i druga loptica je takođe 20 itd. Zatim broj načina da se izvuče 5 loptice u ovom slučaju je 20 20 20 20 20 = 3200000.

Broj načina da se izvuče prva lopta iz koša je 20. Pošto se izvučena loptica nije vratila u koš nakon vađenja, broj načina da se izvuče druga loptica je postao 19, itd. Zatim broj načina za izvlačenje loptice. 5 loptica bez zamjene je 20 19 18 17 16 = A52 0

Broj načina da se odjednom izvuče 5 lopti iz korpe jednak je broju kombinacija 20 puta 5:

Zadatak. 1.2.5 Bacaju se dvije kocke. Nađite vjerovatnoću događaja A da će barem jedan 1 biti izbačen.

Rješenje. Na svaku kockicu može pasti bilo koji broj bodova od 1 do 6. Dakle, prostor elementarnih događaja sadrži 36 jednako mogućih ishoda. Događaju A favorizira 11 ishoda: (1.1), (1.2), (2.1), (1.3), (3.1), (1.4), (4.1), (1.5), (5.1), (1.6), (6.1), dakle

Zadatak. 1.2.6 Slova y, i, i, k, c, f, n su ispisana na crvenim kartonima, slova a, a, o, t, t, s, h su ispisana na plavim kartonima. Nakon temeljitog miješanja, što je vjerovatnije : od prvog puta od slova koristiti crvene karte da se napravi riječ "funkcija" ili slova na plavim kartama da se napravi riječ "frekvencija"?

Rješenje. Neka događaj A bude riječ "funkcija" nasumično sastavljena od 7 slova, događaj B - riječ "frekvencija" nasumično sastavljena od 7 slova. Pošto su dva skupa od po 7 slova poredana, broj svih ishoda za događaje A i B je n = 7!. Događaju A favorizuje jedan ishod m = 1, pošto su sva slova na crvenim kartonima različita. Događaj B favorizuje m = 2! · 2! ishoda, jer se slova "a" i "t" pojavljuju dva puta. Tada je P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Zadatak. 1.2.7 Na ispitu se studentu nudi 30 karata; Svaka karta ima dva pitanja. Od 60 pitanja uključenih u ulaznice, učenik zna samo 40. Nađite vjerovatnoću da će se karta koju je student uzeo sastojati od

1. od pitanja koja su mu poznata;

2. od njemu nepoznatih pitanja;

3. od jednog poznatog i jednog nepoznatog pitanja.

Rješenje. Neka je A događaj da učenik zna odgovor na oba pitanja; B - ne zna odgovor na oba pitanja; C - zna odgovor na jedno pitanje, ne zna odgovor na drugo. Izbor dva pitanja od 60 može se izvršiti na n = C260 = 60 2 59 = 1770 načina.

1. Postoji m = C240 ​​= 40 2 39 = 780 izbora pitanja poznatih učeniku. Tada je P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Izbor dva nepoznata pitanja od 20 može se izvršiti na m = C220 = 20 2 19 = 190 načina. U ovom slučaju

P(B) = M N = 11 79 70 0 = 0,11

3. Postoji m = C14 0 C21 0 = 40 20 = 800 načina da odaberete kartu sa jednim poznatim i jednim nepoznatim pitanjem. Tada je P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Zadatak. 1.2.8Neke informacije su poslane kroz tri kanala. Kanali rade nezavisno jedan od drugog. Pronađite vjerovatnoću da će informacija doći do cilja

1. Samo na jednom kanalu;

2. Najmanje jedan kanal.

Rješenje. Neka je A događaj koji se sastoji u činjenici da informacija stiže do cilja samo jednim kanalom; B - najmanje jedan kanal. Iskustvo je prijenos informacija kroz tri kanala. Ishod iskustva - informacija je dostigla cilj. Označiti Ai - informacija stiže do cilja kroz i-ti kanal. Prostor elementarnih događaja ima oblik:

Događaju B favorizuje 7 ishoda: svi ishodi osim Tada n = 8; mA = 3; mB = 7; P(A) = 3 8 ; P(B) = 7 8.

Zadatak. 1.2.9Tačka se nasumično pojavljuje na segmentu jedinične dužine. Nađite vjerovatnoću da je udaljenost od tačke do krajeva segmenta veća od 1/8.

Rješenje. Prema uslovu zadatka, željeni događaj zadovoljavaju sve tačke koje se pojavljuju na intervalu (a; b).

Pošto je njegova dužina s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4, a dužina cijelog segmenta S = 1, tražena vjerovatnoća je P = s/S = 3/14 = 0,75.

Zadatak. 1.2.10U seriji odNproizvodiKproizvodi su neispravni. Za kontrolu se bira m proizvoda. Pronađite vjerovatnoću da od M Proizvodi L Ispostavilo se da su neispravni (događaj A).

Rješenje. Izbor m proizvoda iz n može se izvršiti na načine i izbor L defektan od k neispravan - na načine. Nakon selekcije L neispravni proizvodi će ostati (m - L) fit, koji se nalazi među (n - k) proizvodima. Tada je broj ishoda koji favorizuju događaj A

I željenu vjerovatnoću

Zadatak. 1.3.1BUrna sadrži 30 kuglica: 15 crvenih, 10 plavih i 5 bijelih. Pronađite vjerovatnoću da je nasumično izvučena lopta obojena.

Rješenje. Neka događaj A - izvučena je crvena lopta, događaj B - izvučena je plava lopta. Zatim događaji (A + B) - izvlači se kuglica u boji. Imamo P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3.

Događaji A i B su nekompatibilni, tada je P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

Zadatak. 1.3.2Vjerovatnoća da će pasti snijeg (događaj A ), je jednako 0.6, I činjenica da će padati kiša (događaj B ), je jednako 0.45. Pronađite vjerovatnoću lošeg vremena ako je vjerovatnoća kiše i snijega (događaj AB ) je jednako 0.25.

Rješenje. Događaji A i B su zajednički, pa je P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,25 = 0,8

Zadatak. 1.3.3BPrva kutija sadrži 2 bijele i 10 crnih loptica, druga - 3 bijele i 9 crnih lopti, a treća - 6 bijelih i 6 crnih lopti. Iz svake kutije je uzeta po jedna lopta. Odrediti vjerovatnoću da su sve izvučene kuglice bijele.

Rješenje. Događaj A - iz prve kutije se izvlači bijela lopta, B - iz druge kutije, C - iz treće. Tada je P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Događaj ABC - sve izvađeno

Lopte su bele. Dakle, događaji A, B, C su nezavisni

P(ABC) = P(A) P(B) P(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

Zadatak. 1.3.4Belektrično kolo spojeno u seriju 5 Elementi koji rade nezavisno jedan od drugog. Verovatnoća kvarova prvog, drugog, trećeg, četvrtog, petog elementa je 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Pronađite vjerovatnoću da u strujnom kolu neće biti struje (događaj A ).

Rješenje. Budući da su elementi povezani serijski, neće biti struje u kolu ako barem jedan element pokvari. Događaj Ai(i =1...5) - neće uspjeti I-th element. Razvoj

Zadatak. 1.3.5Kolo se sastoji od nezavisnih blokova povezanih u sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom.

Neuspjeh u vremenu T razni elementi lanci - nezavisnih događaja ima sledeće verovatnoćeP 1 = 0,1; P 2 = 0,2; P 3 = 0,3; P 4 = 0,4. Kvar bilo kojeg od elemenata dovodi do prekida signala u grani kola u kojoj se ovaj element nalazi. Pronađite pouzdanost sistema.

Rješenje. Ako je događaj A - (SISTEM JE POUZDAN), Ai - (i - TA JEDINICA RADI KVAR), onda je A = (A1 + A2)(A3 + A4). Događaji A1+A2, A3+A4 su nezavisni, događaji A1 i A2, A3 i A4 su zajednički. Prema formulama za množenje i sabiranje vjerovatnoća

Zadatak. 1.3.6Radnik opslužuje 3 mašine. Vjerovatnoća da u roku od sat vremena mašina neće zahtijevati pažnju radnika je 0,9 za prvu mašinu, 0,8 za drugu mašinu i 0,7 za treću mašinu.

Odrediti vjerovatnoću da u toku nekog sata

1. Druga mašina će zahtijevati pažnju;

2. Dvije mašine će zahtijevati pažnju;

3. Najmanje dve mašine će zahtevati pažnju.

Rješenje. Neka Ai - i-ta mašina zahteva pažnju radnika, - i-ta mašina neće zahtevati pažnju radnika. Onda

Prostor elementarnih događaja:

1. Događaj A - zahtijevat će pažnju druge mašine: Zatim

Pošto su događaji nespojivi i nezavisni. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Događaj B - dvije mašine će zahtijevati pažnju:

3. Događaj C - najmanje dva omamljenja će zahtijevati pažnju
cov:

Zadatak. 1.3.7Buvedena mašina "Examiner". 50 pitanja. Student je ponuđen 5 Pitanja i ocjena “odličan” se daje ako se na sva pitanja odgovori tačno. Pronađite vjerovatnoću da dobijete "odličan" ako se učenik samo pripremi 40 pitanja.

Rješenje. A - (PRIMLJENO "ODLIČNO"), Ai - (ODGOVORIO NA i-to PITANJE). Tada je A = A1A2A3A4A5, imamo:

Ili, na drugi način - koristeći klasičnu formulu vjerovatnoće: I

Zadatak. 1.3.8Vjerojatnosti u kojima se nalazi dio koji je potreban asembleruI, II, III, IVkutije su, respektivno, jednake 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Pronađite vjerovatnoću da će sakupljač morati provjeriti sva 4 polja (događajA).

Rješenje. Neka Ai - (Dio potreban asembleru je u i-tom polju.) Zatim

Pošto su događaji nespojivi i nezavisni, onda

Zadatak. 1.4.1 Ispitana je grupa od 10.000 ljudi starijih od 60 godina. Ispostavilo se da je 4000 ljudi stalnih pušača. 1800 pušača pokazalo je ozbiljne promjene na plućima. Među nepušačima, 1500 ljudi imalo je promjene na plućima. Kolika je vjerovatnoća da je slučajno pregledana osoba sa promjenama na plućima pušač?

Rješenje. Hajde da uvedemo hipoteze: H1 - ispitanik je stalni pušač, H2 - je nepušač. Zatim uslovom problema

P(H1)= -------=0,4, P(H2)=--------=0,6

Sa A označiti događaj da ispitana osoba ima promjene na plućima. Zatim uslovom problema

Formulom (1.15) nalazimo

Željena vjerovatnoća da je ispitana osoba pušač, prema Bayesovoj formuli, jednaka je

Zadatak. 1.4.2U prodaju su televizori iz tri fabrike: 30% iz prve fabrike, 20% iz druge, 50% iz treće. Proizvodi prve fabrike sadrže 20% televizora sa skrivenim nedostatkom, druge - 10%, treće - 5%. Kolika je vjerovatnoća da dobijete ispravan TV?

Rješenje. Razmotrimo sljedeće događaje: A - kupljen je servisni TV; hipoteze H1, H2, H3 - televizor je pušten u prodaju iz prve, druge, odnosno treće fabrike. Prema zadatku

Formulom (1.15) nalazimo

Zadatak. 1.4.3Postoje tri identične kutije. Prvi ima 20 bijelih lopti, drugi 10 bijelih i 10 crnih lopti, a treći 20 crnih lopti. Bijela kugla se izvlači iz nasumično odabrane kutije. Nađite vjerovatnoću da je ova lopta iz druge kutije.

Rješenje. Neka događaj A - vađena bela lopta, hipoteze H1, H2, H3 - vađenje lopte iz prve, druge, treće kutije. Iz stanja problema nalazimo

Onda
Formulom (1.15) nalazimo

Formulom (1.16) nalazimo

Zadatak. 1.4.4Telegrafska poruka se sastoji od signala tačke i crtice. Statistička svojstva interferencije su takva da su u prosjeku iskrivljena 2/5 Dot poruke i 1/3 Dash poruke. Poznato je da se među signalima koji se prenose pojavljuju u omjeru "tačka" i "crtica". 5: 3. Odredite vjerovatnoću da će se poslati signal primljen ako:

A) primljen je signal "tačke";

B)primljen signal na pločici.

Rješenje. Neka se primi događaj A - signal "tačka", a događaj B - signal "crtica".

Mogu se postaviti dvije hipoteze: H1 - signal "tačka" se prenosi, H2 - signal "crtica" se prenosi. Po uslovu P(H1) : P(H2) =5: 3. Osim toga, P(H1 ) + P(H2)= 1. Dakle P( H1 ) = 5/8, P(H2 ) = 3/8. To je poznato

Vjerovatnoće događaja A I B Pronalazimo po formuli ukupne vjerovatnoće:

Željene vjerovatnoće će biti:

Zadatak. 1.4.5Od 10 radio kanala, 6 kanala je zaštićeno od smetnji. Vjerovatnoća da je siguran kanal tokom vremenaTneće otkazati je 0,95, za nezaštićeni kanal - 0,8. Pronađite vjerovatnoću da dva nasumično odabrana kanala neće otkazati na vrijemeT, a oba kanala nisu zaštićena od smetnji.

Rješenje. Neka događaj A - oba kanala neće otkazati tokom vremena t, događaja A1- Odabran je siguran kanal A2- Odabran je nezaštićeni kanal.

Napišimo prostor elementarnih događaja za eksperiment - (odabrana su dva kanala):

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

hipoteze:

H1 - oba kanala su zaštićena od smetnji;

H2 - prvi odabrani kanal je zaštićen, drugi odabrani kanal nije zaštićen od smetnji;

H3 - prvi odabrani kanal nije zaštićen, drugi odabrani kanal je zaštićen od smetnji;

H4 - oba odabrana kanala nisu zaštićena od smetnji. Onda

I

Zadatak. 1.5.1Prenosi se komunikacijskim kanalom 6 Poruke. Svaka od poruka može biti izobličena bukom sa vjerovatnoćom 0.2 Bez obzira na druge. Pronađite vjerovatnoću da

1. 4 poruke od 6 nisu iskrivljene;

2. Najmanje 3 od 6 su prenesene iskrivljeno;

3. Najmanje jedna poruka od 6 je iskrivljena;

4. Ne više od 2 od 6 nije izobličeno;

5. Sve poruke se prenose bez izobličenja.

Rješenje. Budući da je vjerovatnoća izobličenja 0,2, vjerovatnoća prenošenja poruke bez smetnji je 0,8.

1. Koristeći Bernoullijevu formulu (1.17), nalazimo vjerovatnoću
brzina prijenosa 4 od 6 poruka bez smetnji:

2. najmanje 3 od 6 se prenose iskrivljeno:

3. barem jedna poruka od 6 je iskrivljena:

4. barem jedna poruka od 6 je iskrivljena:

5. sve poruke se prenose bez izobličenja:

Zadatak. 1.5.2Vjerovatnoća da će dan biti vedar ljeti je 0,42; vjerovatnoća oblačnog dana je 0,36, a promjenjive oblačnosti 0,22. Koliko dana od 59 se može očekivati ​​da bude vedro i oblačno?

Rješenje. Iz stanja zadatka se vidi da je potrebno tražiti najvjerovatniji broj vedrih i oblačnih dana.

Za vedrih dana P= 0.42, N= 59. Sastavljamo nejednačine (1.20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Mo≤ 25.2 → Mo= 25.

Za oblačne dane P= 0.36, N= 59 i

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Dakle 20.16 ≤ M0 ≤ 21.60; → M0 = 21.

Dakle, najvjerovatniji broj vedrih dana Mo= 25, oblačni dani - M0 = 21. Tada možemo očekivati ​​ljeto Mo+ M0 =46 vedrih i oblačnih dana.

Zadatak. 1.5.3Na predavanju iz teorije vjerovatnoće pohađa 110 studenata predmeta. Pronađite vjerovatnoću da

1. k učenika (k = 0,1,2) prisutnih rođeno je 1. septembra;

2. najmanje jedan polaznik predmeta rođen je 1. septembra.

P=1/365 je vrlo mala, pa koristimo Poissonovu formulu (1.22). Nađimo Poissonov parametar. Jer

N= 110, tada je λ = np = 110 1 /365 = 0,3.

Zatim po Poissonovoj formuli

Zadatak. 1.5.4Vjerovatnoća da dio nije standardan je 0.1. Koliko detalja treba odabrati tako da sa vjerovatnoćom P = 0.964228 Moglo bi se tvrditi da relativna učestalost pojavljivanja nestandardnih dijelova odstupa od konstantne vjerovatnoće p = 0.1 U apsolutnom smislu, ne više od 0.01 ?

Rješenje.

Potreban broj N Nalazimo po formuli (1.25). Imamo:

P = 1,1; q = 0,9; P= 0,96428. Zamijenite podatke u formuli:

Gde da nađemo

Prema tabeli vrijednosti funkcije Φ( X) nalazimo to

Zadatak. 1.5.5Vjerovatnoća kvara u vremenu T jednog kondenzatora je 0,2. Odrediti vjerovatnoću da će u vremenu T od 100 kondenzatora otkazati.

1. Tačno 10 kondenzatora;

2. Najmanje 20 kondenzatora;

3. Manje od 28 kondenzatora;

4. Od 14 do 26 kondenzatora.

Rješenje. Imamo P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Tačno 10 kondenzatora.

Jer P Veliko, upotrijebimo lokalnu de Moivre-Laplaceovu teoremu:

Compute

Od funkcije φ(x)- paran, tada je φ (-2,5) = φ (2,50) = 0,0175 (nalazimo iz tabele vrijednosti funkcije φ(x).Željena vjerovatnoća

2. Najmanje 20 kondenzatora;

Zahtjev da najmanje 20 od 100 kondenzatora pokvari znači da će ili 20, ili 21, ... ili 100 otkazati. T1 = 20, T 2=100. Onda

Prema tablici vrijednosti funkcije Φ(x) Nađimo Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0,5. Potrebna vjerovatnoća:

3. Manje od 28 kondenzatora;

(ovdje je uzeto u obzir da je Laplaceova funkcija F(x) neparna).

4. Od 14 do 26 kondenzatora. Po uslovu M1= 14, m2 = 26.
Izračunaj x 1,x2:

Zadatak. 1.5.6Vjerovatnoća pojave nekog događaja u jednom eksperimentu jednaka je 0,6. Kolika je vjerovatnoća da će se ovaj događaj dogoditi u većini od 60 ispitivanja?

Rješenje. Količina M Pojava događaja u nizu testova je u intervalu. "U većini eksperimenata" to znači M Pripada intervalu Po stanju N= 60, P= 0.6, Q = 0.4, M1 = 30, m2 = 60. Izračunajte x1 i x2:

Slučajne varijable i njihove distribucije

Zadatak. 2.1.1Data je tabela u kojoj gornja linija označava moguće vrijednosti slučajne varijable X , a na dnu - njihove vjerovatnoće.

Može li ova tabela biti distributivna serija X ?

Odgovor: Da, pošto je p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Zadatak. 2.1.2Oslobođen 500 Lutrija, i 40 Ulaznice će svojim vlasnicima donijeti nagradu za 10000 rub., 20 Ulaznice - do 50000 rub., 10 Ulaznice - do 100000 rub., 5 Ulaznice - do 200000 rub., 1 Ulaznica - 500000 Rub., ostalo - bez pobjede. Pronađite pobjednički zakon o raspodjeli za vlasnika jedne karte.

Rješenje.

Moguće vrijednosti X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Vjerovatnoće ovih mogućih vrijednosti su:

Željeni zakon distribucije:

Zadatak. 2.1.3strijelac, imajući 5 Patrone, puca do prvog pogotka u metu. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki hitac je 0.7. Konstruirajte zakon raspodjele broja upotrijebljenih patrona, pronađite funkciju raspodjeleF(X) i nacrtajte njegov graf, pronađite P(2< x < 5).

Rješenje.

Prostor elementarnih događaja iskustva

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Gdje je događaj (1) - pogodio metu, događaj (0) - nije pogodio metu. Elementarni ishodi odgovaraju sledećim vrednostima slučajne vrednosti broja upotrebljenih metaka: 1, 2, 3, 4, 5. Pošto rezultat svakog sledećeg hica ne zavisi od prethodnog, verovatnoće mogućih vrednosti su:

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 0,7 = 0,21;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 0,7 = 0,063;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 0,7 = 0,0189;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 0,7 + 0,35 = 0,0081.

Željeni zakon distribucije:

Pronađite funkciju distribucije F(X), Korištenje formule (2.5)

X≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X= 1) + P2(x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X >5, F(x) = 1

Nađi P(2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X< 5) = F(5) - F(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Zadatak. 2.1.4DanaF(X) neke slučajne varijable:

Zapišite seriju distribucije za X.

Rješenje.

Od nekretnina F(X) Iz toga slijedi da su moguće vrijednosti slučajne varijable X - Tačke prekida funkcije F(X), A odgovarajuće vjerovatnoće su skokovi funkcije F(X). Pronađite moguće vrijednosti slučajne varijable X=(0,1,2,3,4).

Zadatak. 2.1.5Podesite koju funkciju

Je funkcija distribucije neke slučajne varijable.

Ako je odgovor potvrdan, pronađite vjerovatnoću da odgovara slučajna vrijednost preuzima vrijednosti[-3,2].

Rješenje. Nacrtajmo funkcije F1(x) i F2(x):

Funkcija F2(x) nije funkcija distribucije, jer nije neopadajuća. Funkcija F1(x) je

Funkcija raspodjele neke slučajne varijable, budući da nije opadajuća i zadovoljava uvjet (2.3). Nađimo vjerovatnoću da ćemo pogoditi interval:

Zadatak. 2.1.6S obzirom na gustinu vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X :

Nađi:

1. Koeficijent C ;

2. funkcija distribucije F(x) ;

3. Vjerovatnoća da slučajna varijabla padne u interval(1, 3).

Rješenje. Iz uslova normalizacije (2.9) nalazimo

shodno tome,

Formulom (2.10) nalazimo:

Na ovaj način,

Formulom (2.4) nalazimo

Zadatak. 2.1.7Nasumični prekid rada elektronske opreme u nekim slučajevima ima gustinu vjerovatnoće

Gdje M = lge = 0,4343...

Pronađite funkciju distribucije F(x) .

Rješenje. Formulom (2.10) nalazimo

Gdje

Zadatak. 2.2.1Dat je niz distribucije diskretne slučajne varijable X :

Nađi očekivanu vrijednost, varijansa, standardna devijacija, M, D[-3X + 2].

Rješenje.

Prema formuli (2.12) nalazimo matematičko očekivanje:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28,5 + 5 = 62. Koristeći formulu (2.19), nalazimo disperziju:

Zadatak. 2.2.2Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju kontinuirane slučajne varijable X , čija funkcija distribucije

.

Rješenje. Pronađite gustinu vjerovatnoće:

Matematičko očekivanje se nalazi po formuli (2.13):

Disperziju nalazimo po formuli (2.19):

Nađimo prvo matematičko očekivanje kvadrata slučajne varijable:

Standardna devijacija

Zadatak. 2.2.3Xima nekoliko distribucija:

Pronađite matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijableY = EX .

Rješenje. M[ Y] = M[ EX ] = e-- 1 0,2 + e0 0,3 + e1 0,4 + e2 0,1 =

0,2 0,3679 + 1 0,3 + 2,71828 0,4 + 7,389 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2[E X] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (e--2 0,2 ​​+ 0,3 + e2 0,4 + e4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

Zadatak. 2.2.4Diskretna slučajna varijabla X Može uzeti samo dvije vrijednosti X1 I X2 , i X1< x2. Poznata verovatnoća P1 = 0,2 Moguća vrijednost X1 , očekivana vrijednost M[X] = 3,8 I disperzija D[X] = 0,16. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable.

Rješenje. Budući da slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti x1 i x2, tada je vjerovatnoća p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0,2 = 0,8.

Po uslovu problema imamo:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2x1 + 0,8x2 = 3,8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0,2x21 + 0,8x22) - (0,38)2 = 0,16.

Tako smo dobili sistem jednačina:

Stanje x1

Zadatak. 2.2.5Slučajna varijabla X podliježe zakonu distribucije, čiji graf gustine ima oblik:

Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju.

Rješenje. Nađimo funkciju diferencijalne distribucije f(x). Izvan intervala (0, 3) f(x) = 0. Na intervalu (0, 3) grafik gustine je prava linija sa nagibom k = 2/9 koja prolazi kroz ishodište. Na ovaj način,

Očekivana vrijednost:

Pronađite varijansu i standardnu ​​devijaciju:

Zadatak. 2.2.6Pronađite matematičko očekivanje i varijansu zbira bodova na četiri kocke u jednom bacanju.

Rješenje. Označimo A - broj bodova na jednoj kockici u jednom bacanju, B - broj bodova na drugoj kockici, C - na trećoj kockici, D - na četvrtoj kockici. Za slučajne varijable A, B, C, D, zakon raspodjele jedan.

Tada je M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

Zadatak. 2.3.1Vjerovatnoća da će čestica emitirana iz radioaktivnog izvora biti registrirana brojačem je jednaka 0.0001. Tokom perioda posmatranja, 30000 čestice. Pronađite vjerovatnoću da je brojač registrirao:

1. Tačno 3 čestice;

2. Niti jedne čestice;

3. Najmanje 10 čestica.

Rješenje. Po uslovu P= 30000, P= 0,0001. Događaji koji se sastoje u činjenici da se registruju čestice emitovane iz radioaktivnog izvora su nezavisni; broj P Odlično, ali vjerovatnoća P Mala, pa koristimo Poissonovu distribuciju: Nađimo λ: λ = n P = 30000 0,0001 = 3 = M[X]. Željene vjerovatnoće:

Zadatak. 2.3.2U seriji ima 5% nestandardnih dijelova. 5 predmeta je nasumično odabrano. Napišite zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj nestandardnih dijelova među pet odabranih; pronaći matematičko očekivanje i varijansu.

Rješenje. Diskretna slučajna varijabla X - broj nestandardnih dijelova - ima binomnu distribuciju i može imati sljedeće vrijednosti: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Vjerovatnoća nestandardni dio u seriji p = 5 /100 = 0,05. Nađimo vjerovatnoće ovih mogućih vrijednosti:

Napišimo željeni zakon distribucije:

Nađimo numeričke karakteristike:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– M2 [X]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Or D[ X] = np (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Zadatak. 2.3.3Vrijeme otkrivanja radarskog cilja raspoređuje se prema eksponencijalnom zakonu

Gdje1/ λ = 10 Sec. - prosječno vrijeme detekcije cilja. Nađite vjerovatnoću da će se meta pronaći unutar vremena5 Prije15 Sec. nakon početka potrage.

Rješenje. Vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X U intervalu (5, 15) Nađimo po formuli (2.8):

At Dobijamo

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Zadatak. 2.3.4Slučajne greške mjerenja podliježu normalnom zakonu s parametrima a = 0, σ = 20 Mm. Napišite diferencijalnu distribucijsku funkcijuF(X) i pronađite vjerovatnoću da je mjerenje napravilo grešku u intervalu od 5 Prije 10 Mm.

Rješenje. Zamijenimo vrijednosti parametara a i σ u funkciju diferencijalne distribucije (2.35):

Koristeći formulu (2.42), nalazimo vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X U intervalu, tj. A= 0, B= 0.1. Zatim diferencijalna funkcija raspodjele F(x) Izgledaće kao

Šta je vjerovatnoća?

Suočen s ovim terminom po prvi put, ne bih razumio šta je to. Zato ću pokušati da objasnim na razumljiv način.

Vjerovatnoća je šansa da će se željeni događaj dogoditi.

Na primjer, odlučili ste posjetiti prijatelja, sjetiti se ulaza, pa čak i sprata na kojem živi. Ali sam zaboravio broj i lokaciju stana. A sada stojite na stepeništu, a ispred vas su vrata za izbor.

Koja je šansa (vjerovatnoća) da će vam prijatelj otvoriti ako pozvonite na prva vrata? Cijeli stan, a samo iza jednog od njih živi prijatelj. Uz jednake šanse, možemo izabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je ovo šansa?

Vrata, desna vrata. Vjerovatnoća pogađanja zvonjavom na prva vrata: . Odnosno, jednom od tri sigurno ćete pogoditi.

Želimo znati ako jednom pozovemo, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

  1. zvali ste 1st Vrata
  2. zvali ste 2nd Vrata
  3. zvali ste 3rd Vrata

A sada razmotrite sve opcije na kojima prijatelj može biti:

a. Per 1st vrata
b. Per 2nd vrata
in. Per 3rd vrata

Uporedimo sve opcije u obliku tabele. Kvačica označava opcije kada se vaš izbor poklapa sa lokacijom prijatelja, križić - kada se ne poklapa.

Kako vidite sve Možda opcije lokacija prijatelja i vaš izbor na koja vrata ćete zvoniti.

ALI povoljni ishodi svih . Odnosno, vremena ćete pogoditi tako što ćete jednom pozvoniti na vrata, tj. .

Ovo je vjerovatnoća - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor poklopio sa lokacijom prijatelja) prema broju mogućih događaja.

Definicija je formula. Verovatnoća se obično označava sa p, pa:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa uzmimo za - broj povoljnih ishoda, a za - ukupan broj ishoda.

Vjerovatnoća se može napisati kao postotak, za to morate pomnožiti rezultirajući rezultat sa:

Vjerovatno vam je za oko zapela riječ “ishodi”. Budući da matematičari razne akcije (za nas je takva akcija zvono na vratima) nazivaju eksperimentima, uobičajeno je rezultat takvih eksperimenata nazvati ishodom.

Pa, ishodi su povoljni i nepovoljni.

Vratimo se na naš primjer. Recimo da smo pozvonili na jedna od vrata, ali nam je otvorio stranac. Nismo pogodili. Kolika je vjerovatnoća da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste tako mislili, onda je ovo greška. Hajde da to shvatimo.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Pozovite na 1st Vrata
2) Pozovite 2nd Vrata

Prijatelj uz sve ovo definitivno stoji iza jednog od njih (uostalom, nije stajao iza onoga koga smo zvali):

a) prijatelj 1st vrata
b) prijatelj za 2nd vrata

Ponovo nacrtajmo tabelu:

Kao što vidite, postoje sve opcije, od kojih - povoljne. Odnosno, vjerovatnoća je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmatrali je primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

A nazivaju se zavisnim jer utiču na sledeće radnje. Na kraju krajeva, ako bi prijatelj otvorio vrata nakon prvog zvona, kolika bi bila vjerovatnoća da je on bio iza jednog od druga dva? Ispravno, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih mora biti nezavisni? Istina, postoje.

Primjer iz udžbenika je bacanje novčića.

  1. Bacamo novčić. Kolika je vjerovatnoća da će, na primjer, iskrsnuti glave? Tako je – jer opcije za sve (bilo glave ili repa, zanemarićemo verovatnoću da novčić stane na ivicu), već samo nama odgovara.
  2. Ali repovi su ispali. Ok, uradimo to ponovo. Kolika je vjerovatnoća da ćete se sada pojaviti? Ništa se nije promenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. Koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka ispadnu repovi barem hiljadu puta zaredom. Vjerovatnoća pada glava odjednom će biti ista. Uvek postoje opcije, ali one povoljne.

Lako je razlikovati zavisne događaje od nezavisnih:

  1. Ako se eksperiment izvede jednom (jednom kada se baci novčić, jednom zazvoni zvono na vratima itd.), tada su događaji uvijek nezavisni.
  2. Ako se eksperiment izvodi nekoliko puta (jednom se baci novčić, nekoliko puta se zvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek nezavisan. I onda, ako se promijeni broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji zavisni, a ako ne, nezavisni.

Vježbajmo malo da odredimo vjerovatnoću.

Primjer 1

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da se dva puta uzastopno nađete protivnici?

Rješenje:

Razmotrite sve moguće opcije:

  1. eagle eagle
  2. tails eagle
  3. repovi orao
  4. Repovi-repovi

Kao što vidite, sve opcije. Od ovih smo samo zadovoljni. To je vjerovatnoća:

Ako uvjet traži jednostavno pronalaženje vjerovatnoće, onda se odgovor mora dati kao decimalni razlomak. Ako bi bilo naznačeno da se odgovor mora dati kao procenat, onda bismo pomnožili sa.

odgovor:

Primjer 2

U kutiji čokolade svi bomboni su upakovani u isti omot. Međutim, od slatkiša - s orasima, konjakom, trešnjama, karamelom i nugatom.

Kolika je vjerovatnoća da uzmete jedan slatkiš i dobijete bombon sa orasima. Odgovor dajte u procentima.

Rješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, ako uzmete jedan slatkiš, to će biti jedan od onih u kutiji.

I koliko je povoljnih ishoda?

Jer kutija sadrži samo čokolade sa orasima.

odgovor:

Primjer 3

U kutiji loptica. od kojih su bijele i crne.

  1. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?
  2. Dodali smo još crnih loptica u kutiju. Kolika je vjerovatnoća da sada izvučete bijelu loptu?

Rješenje:

a) U kutiji su samo lopte. od kojih su bijele.

Vjerovatnoća je:

b) Sada su loptice u kutiji. I belaca je ostalo isto toliko.

odgovor:

Puna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja je ().

Na primjer, u kutiji crvenih i zelenih kuglica. Kolika je vjerovatnoća da se izvuče crvena kugla? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Verovatnoća izvlačenja crvene lopte

zelena lopta:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbir svih mogućih događaja je jednak (). Razumijevanje ove tačke pomoći će vam da riješite mnoge probleme.

Primjer 4

U kutiji se nalaze flomasteri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerovatnoća da NE nacrtate crveni marker?

Rješenje:

Hajde da izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleno, plavo, žuto ili crno.

Vjerovatnoća svih događaja. A vjerovatnoća događaja koje smatramo nepovoljnim (kada izvučemo crveni flomaster) je .

Dakle, vjerovatnoća da NE nacrtate crveni flomaster je -.

odgovor:

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Već znate šta su nezavisni događaji.

A ako trebate pronaći vjerovatnoću da će se dva (ili više) nezavisnih događaja dogoditi zaredom?

Recimo da želimo da znamo kolika je verovatnoća da ćemo, ako jednom bacimo novčić, dvaput videti orla?

Već smo razmotrili - .

Šta ako bacimo novčić? Kolika je vjerovatnoća da ćete vidjeti orla dvaput zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

  1. Eagle-eagle-eagle
  2. Eagle-head-tails
  3. Glava-rep-orao
  4. Glava-rep-rep
  5. tails-eagle-eagle
  6. Repovi-glavi-repovi
  7. Repovi-repovi-glave
  8. Repovi-repovi-repovi

Ne znam za vas, ali ja sam jednom pogrešio ovu listu. Vau! I jedina opcija (prva) nam odgovara.

Za 5 rolni možete sami napraviti listu mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako marljivi kao vi.

Stoga su prvo uočili, a zatim i dokazali, da se vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja svaki put smanjuje za vjerovatnoću jednog događaja.

Drugim riječima,

Razmotrimo primjer istog, nesretnog novčića.

Vjerovatnoća da će doći do problema u suđenju? . Sada bacamo novčić.

Kolika je vjerovatnoća da dobijete repove u nizu?

Ovo pravilo ne funkcionira samo ako se od nas traži da pronađemo vjerovatnoću da će se isti događaj dogoditi nekoliko puta zaredom.

Ako želimo da pronađemo sekvencu REP-ORA-REP na uzastopnim okretima, uradili bismo isto.

Verovatnoća dobijanja repova - , glava - .

Verovatnoća dobijanja sekvence REPOVI-ORAO-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti tako što ćete napraviti tabelu.

Pravilo za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja.

Zato prestani! Nova definicija.

Hajde da to shvatimo. Uzmimo naš istrošeni novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

  1. Eagle-eagle-eagle
  2. Eagle-head-tails
  3. Glava-rep-orao
  4. Glava-rep-rep
  5. tails-eagle-eagle
  6. Repovi-glavi-repovi
  7. Repovi-repovi-glave
  8. Repovi-repovi-repovi

Dakle, ovdje su nespojivi događaji, ovo je određeni, dati slijed događaja. su nekompatibilni događaji.

Ako želimo da odredimo kolika je verovatnoća dva (ili više) nekompatibilnih događaja, tada sabiramo verovatnoće tih događaja.

Morate shvatiti da su gubitak orla ili repova dva nezavisna događaja.

Ako želimo da odredimo kolika je verovatnoća da niz) (ili bilo koji drugi) ispadne, onda koristimo pravilo množenja verovatnoća.
Kolika je vjerovatnoća da dobijete glavu pri prvom bacanju, a rep pri drugom i trećem?

Ali ako želimo da znamo kolika je verovatnoća da dobijemo jednu od nekoliko sekvenci, na primer, kada se glave pojave tačno jednom, tj. opcije i tada moramo dodati vjerovatnoće ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti ako zbrojimo vjerovatnoće pojavljivanja svakog niza:

Stoga, dodajemo vjerovatnoće kada želimo da odredimo vjerovatnoću nekih, nekompatibilnih, nizova događaja.

Postoji odlično pravilo koje će vam pomoći da se ne zbunite kada množite, a kada zbrajate:

Vratimo se na primjer gdje smo bacili novčić puta i želimo znati vjerovatnoću da ćemo jednom vidjeti glave.
Šta će se dogoditi?

Trebalo bi pasti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) OR (repovi I repovi I glave).
I tako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narandžasta i žuta i crna. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvene ili zelene olovke?

Rješenje:

Šta će se dogoditi? Moramo se izvući (crveno ILI zeleno).

Sada je jasno, zbrajamo vjerovatnoće ovih događaja:

odgovor:

Primjer 6

Kocka je bačena dvaput, kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti ukupno 8?

Rješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerovatnoća ispadanja s jednog (bilo kojeg) lica je .

Izračunavamo vjerovatnoću:

odgovor:

Vježbati.

Mislim da vam je sada postalo jasno kada treba da brojite verovatnoće, kada da ih saberete, a kada da ih pomnožite. Nije li? Hajde da malo vežbamo.

Zadaci:

Uzmimo špil karata u kojem su karte pik, srca, 13 batina i 13 tambura. Od do Asa svake boje.

  1. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja štapa u nizu (prvu izvučenu kartu vraćamo u špil i miješamo)?
  2. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja crne karte (pik ili trefa)?
  3. Kolika je vjerovatnoća da se izvuče slika (valet, dama, kralj ili as)?
  4. Kolika je vjerovatnoća da se izvuku dvije slike zaredom (izvlačimo prvu izvučenu kartu iz špila)?
  5. Kolika je vjerovatnoća da se, uzimajući dvije karte, sakupi kombinacija - (Valet, Dama ili Kralj) i Kec Niz u kojem će karte biti izvučene nije bitan.

odgovori:

  1. U špilu karata svake vrijednosti to znači:
  2. Događaji su zavisni, jer se nakon prve izvučene karte smanjio broj karata u špilu (kao i broj „slika“). Ukupan broj džekova, dama, kraljeva i asova u špilu na početku, što znači vjerovatnoću izvlačenja "slike" s prvom kartom:

    S obzirom da vadimo prvu kartu iz špila, to znači da je u špilu već ostala karta na kojoj se nalaze slike. Vjerovatnoća crtanja slike drugom karticom:

    Pošto nas zanima situacija kada iz špila dobijemo: "slika" I "slika", onda trebamo pomnožiti vjerovatnoće:

    odgovor:

  3. Nakon što se izvuče prva karta, broj karata u špilu će se smanjiti, tako da imamo dvije opcije:
    1) Prvom kartom vadimo asa, drugom - džaka, damu ili kralja
    2) Prvom kartom vadimo džaka, damu ili kralja, drugom - asa. (kec i (valet ili dama ili kralj)) ili ((valet ili dama ili kralj) i as). Ne zaboravite na smanjenje broja karata u špilu!

Ako si uspeo sam da rešiš sve probleme, onda si odličan momak! Sada ćete zadatke iz teorije vjerovatnoće na ispitu kliknuti kao ludi!

TEORIJA VEROVATNOSTI. PROSJEČAN NIVO

Razmotrimo primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znaš li? Ovo je naziv kocke sa brojevima na stranama. Koliko lica, toliko brojeva: od do koliko? Prije.

Zato bacamo kockicu i želimo da se pojavi ili. I ispali smo.

U teoriji vjerovatnoće kažu šta se dogodilo povoljan događaj(ne brkati sa dobrim).

Ako bi ispao, događaj bi takođe bio povoljan. Ukupno se mogu desiti samo dva povoljna događaja.

Koliko loših? Pošto su svi mogući događaji, onda su nepovoljni od njih događaji (ovo je ako ispadne ili).

definicija:

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja.. Odnosno, vjerovatnoća pokazuje koliki je udio svih mogućih događaja povoljan.

Označavaju vjerovatnoću latiničnim slovom (navodno, od engleske riječi vjerovatnoća - vjerovatnoća).

Uobičajeno je da se vjerovatnoća mjeri u procentima (pogledajte teme i). Da biste to učinili, vrijednost vjerovatnoće se mora pomnožiti sa. U primjeru s kockicama, vjerovatnoća.

I u procentima: .

Primjeri (odlučite sami):

  1. Kolika je vjerovatnoća da će bacanje novčića pasti na glave? A kolika je vjerovatnoća repa?
  2. Kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti paran broj kada se baci kocka? I sa čime - čudnim?
  3. U ladici običnih, plavih i crvenih olovaka. Nasumično crtamo jednu olovku. Kolika je vjerovatnoća izvlačenja jednostavnog?

rješenja:

  1. Koliko opcija postoji? Glave i repovi - samo dva. A koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerovatnoća

    Isto sa repovima: .

  2. Ukupno opcija: (koliko strana ima kocka, toliko različitih opcija). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi :).
    Vjerovatnoća. Uz čudno, naravno, istu stvar.
  3. Ukupno: . Povoljno: . Verovatnoća: .

Puna vjerovatnoća

Sve olovke u fioci su zelene. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati crvenu olovku? Nema šanse: vjerovatnoća (na kraju krajeva, povoljni događaji -).

Takav događaj se naziva nemogućim.

Kolika je vjerovatnoća da nacrtate zelenu olovku? Pogodnih događaja ima tačno onoliko koliko je ukupno (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerovatnoća je ili.

Takav događaj se naziva izvjesnim.

Ako se u kutiji nalaze zelene i crvene olovke, kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zelenu ili crvenu? Još jednom. Obratite pažnju na sljedeću stvar: vjerovatnoća izvlačenja zelene boje je jednaka, a crvene je .

Sve u svemu, ove vjerovatnoće su potpuno jednake. To je, zbir vjerovatnoća svih mogućih događaja jednak je ili.

primjer:

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, jednostavne, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ne nacrtate zeleno?

Rješenje:

Zapamtite da se sve vjerovatnoće sabiraju. I vjerovatnoća da se izvuče zeleno je jednaka. To znači da je vjerovatnoća da se ne izvuče zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Nezavisni događaji i pravilo množenja

Bacate novčić dva puta i želite da oba puta padne na glavu. Kolika je vjerovatnoća ovoga?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Orao-Orao, Repovi-Orao, Orao-Repi, Repovi-Repi. Šta još?

Cela varijanta. Od njih nam samo jedan odgovara: Orao-Orao. Dakle, vjerovatnoća je jednaka.

Dobro. Sada bacimo novčić. Broji se. Desilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se sa dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerovatnoća smanjuje za faktor. Opšte pravilo se zove pravilo množenja:

Vjerovatnoće nezavisnih događaja se mijenjaju.

Šta su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne zavise jedni od drugih. Na primjer, kada bacimo novčić nekoliko puta, svaki put se napravi novo bacanje, čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. Sa istim uspjehom možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Više primjera:

  1. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će se pojaviti oba puta?
  2. Novčić se baca puta. Kolika je vjerovatnoća da se prvo dobije glava, a zatim dva puta rep?
  3. Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerovatnoća da će zbir brojeva na njima biti jednak?

odgovori:

  1. Događaji su nezavisni, što znači da pravilo množenja radi: .
  2. Vjerovatnoća orla je jednaka. Verovatnoća repova takođe. množimo:
  3. 12 se može dobiti samo ako dva -ki ispadnu: .

Nekompatibilni događaji i pravilo zbrajanja

Nekompatibilni događaji su događaji koji se međusobno nadopunjuju s punom vjerovatnoćom. Kao što naziv implicira, ne mogu se desiti u isto vrijeme. Na primjer, ako bacimo novčić, može ispasti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji olovaka, među njima su plave, crvene, zelene, jednostavne, žute, a ostale su narandžaste. Kolika je vjerovatnoća da ćete nacrtati zeleno ili crveno?

Rješenje .

Vjerovatnoća da se nacrta zelena olovka je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji od svih: zeleno + crveno. Dakle, vjerovatnoća da se izvuče zeleno ili crveno je jednaka.

Ista vjerovatnoća se može predstaviti u sljedećem obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Mješoviti zadaci

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će rezultat bacanja biti drugačiji?

Rješenje .

To znači da ako se glave pojave prve, repovi bi trebali biti drugi, i obrnuto. Ispostavilo se da ovdje postoje dva para nezavisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje pomnožiti, a gdje dodati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte da opišete šta treba da se desi povezujući događaje sa sindikatima "I" ili "ILI". Na primjer, u ovom slučaju:

Mora se kotrljati (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Gdje je spoj "i", bit će množenje, a gdje je "ili" zbrajanje:

Probajte sami:

  1. Kolika je vjerovatnoća da dva bacanja novčića oba puta dođu na istu stranu?
  2. Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerovatnoća da će zbir pasti na poene?

rješenja:

  1. (Glava gore i glava gore) ili (podiže se i podiže rep): .
  2. Koje su opcije? i. onda:
    Valjani (i) ili (i) ili (i): .

Drugi primjer:

Bacimo novčić jednom. Kolika je vjerovatnoća da će se glave barem jednom pojaviti?

Rješenje:

Oh, kako ne želim da prebirem po opcijama... Glava-rep-rep, Orao-glav-rep,... Ali ne morate! Hajde da pričamo o punoj verovatnoći. Zapamtite? Kolika je vjerovatnoća da je orao nikada neće pasti? Jednostavno je: repovi stalno lete, znači.

TEORIJA VEROVATNOSTI. UKRATKO O GLAVNOM

Vjerovatnoća je omjer broja povoljnih događaja i broja svih mogućih događaja.

Nezavisni događaji

Dva događaja su nezavisna ako pojava jednog ne mijenja vjerovatnoću da se drugi dogodi.

Puna vjerovatnoća

Vjerovatnoća svih mogućih događaja je ().

Vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi je minus vjerovatnoća da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja

Vjerovatnoća određenog niza nezavisnih događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća svakog od događaja

Nekompatibilni događaji

Nekompatibilni događaji su oni događaji koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Brojni nekompatibilni događaji čine kompletnu grupu događaja.

Vjerovatnoće nekompatibilnih događaja se zbrajaju.

Nakon što smo opisali šta bi se trebalo dogoditi, koristeći sindikate "AND" ili "OR", umjesto "AND" stavljamo znak množenja, a umjesto "OR" - sabiranje.

Postanite student YouClevera,

Pripremite se za OGE ili USE iz matematike,

I također dobijte neograničen pristup YouClever tutorialu...

Vaš broj je dvanaesti, - reče jela, zapisujući nešto u knjižicu. Flash se zahvalio čovjeku i odletio u njegovu kabinu. , Sada je glavna stvar da se ne prilagođavate. Nadam se da vas vila neće izneveriti kada budemo nastupali..."" - sa ovim mislima brineta je sletela na granu pored vidikovca, gde su ga već čekale dve osobe. „Konačno, došao si“, sa osmehom mu je mahnuo jedan od onih koji su čekali, Nik. Sivooka djevojka sa tamnim bobom, koja je druga osoba, samo je klimnula glavom u znak pozdrava, prešavši pravo na stvar: - A pod kojim brojem nastupamo? upitala je, stavljajući šolje aromatične kafe na sto. - Dvanaest, - sjedajući za sto, odgovori momak. - Moramo da uvežbamo: moramo da znamo kako nas troje zvučimo. - Ne moramo da igramo baš dobro, Dragotijuse, - odmah ga je ohladila devojka, - ovo je omot. Jednostavno ćete dobiti ključ od naše ljubavnice nakon nastupa, kao što je obećano, - na ove riječi, Fash je napravio grimasu kao da je pojeo limun, - i Nick će biti iniciran. “Ne želim da izgubim obraz pred cijelim sudom”, odgovorio je Dragotius. „Fash, Diana“, preklinjao je Nik, gledajući redom u njih dvoje, „molim te, prestani. Mislim da bi zaista trebali probati. - Raspoloženje nije pesma - promrmljao je Faš i, čak ni ne pojevši, otišao u svoju sobu. *pre nekoliko dana* - Dakle, - rekao je Konstantin uz radosni osmeh, okupivši Faša i Nika u radionici, - imam dve vesti. Prvo, dogovorio sam se sa Bijelom kraljicom za tvoju inicijaciju, Nick. - Kako si to uradio? Fleš je iznenađeno pogledao Lazareva. „Reći ću ti kasnije“, osmehnuo se Nikov otac. - sine, možeš li nas ostaviti? Plavuša je izašla iz sobe, zatvorivši vrata za sobom. Konstantin se uozbilji, prebacivši pogled na brinetu: -Feš, Astarijus me je zamolio da ti kažem da mu je Bela kraljica obećala Srebrni ključ. Morate otići u Charodol, učestvovati u Čarolijama i uzeti Srebrni ključ od kraljice, - Dragotius se začudio što mu je Astarius povjerio da nosi ovaj ključ, iako je za to čuo drugi put. Učitelj ga je već upozorio, objašnjavajući da je brineta pobegla iz Astrogora... *** Njihov nastup je odjeknuo u kraljevstvu vila: šestokrila stvorenja su podizala strelice na satu, aplaudirala i oduševljeno vikala. Flešov strah je bio neosnovan, što mu je bilo drago. Ubrzo je dobio pismo na listi za posmatranje u kojem je pisalo da on, kao pobjednik Čarolije, treba da dođe u Bijeli zamak u ponoć. Brineta je prišla sjenici, u kojoj su već sedeli Nik i Dajana, kojima je takođe bilo drago što je nastup uspeo. „Pa“, okrenuo se Frejzeru na razigran način, „hoćete li da nas otpratite do Belog zamka, gospođo deveruše?“ - Nick je frknuo u šolju, a Dajana se samo nasmešila. Zašto nisi rekao da si dama na čekanju? - Faš je seo za sto - Osećao sam se kao budala kada su mi prišli i rekli da je moj nastup sa gospođom Dajanom Frejzer, deverušicom Njenog Veličanstva, odjeknuo! - ni Nik ni Dajana nisu mogli da se suzdrže od smeha... *ponoć* -Fashiar Dragotsiy, - Bela kraljica, koja je ustala sa trona, ukrašena na leđima zlatnim grančicama sa smaragdnim listovima, mahnula je rukom jednoj od devojaka , - za pobjedu u čarolijama i obećanja Astariju, dat ću ti Srebrni ključ. Mislim da znate da je to ogromna odgovornost. Čuvajte ga, čuvajte ga kao zjenicu oka. "Obećavam", klimnuo je Fleš, samouvereno gledajući u Kraljicu vila. Vrata su se otvorila i djevojka je unijela Srebrni ključ na jastuku od crvene svile. Vila mu je prišla i zastala u naklonu, pružajući jastuk sa ključem. Fleš je pažljivo uzeo ključ i poklonio se kraljici: - Ponizno vam zahvaljujem na ukazanoj časti. Vladarica vila je klimnula glavom i odmahnula rukom, dozvoljavajući Fašu da ode do kuće za odmor. Nik je na početku odveden kako bi prošao inicijaciju. *** -...i dali su mi nekakav napitak vremena. Pa, popio sam ga. Kao rezultat, treći sat stepena, - Nick se radosno osmehnuo, pričajući svom prijatelju šta mu se dogodilo u Belom dvorcu. Diana je sjedila s njima i mirno pila kafu, jedući lepinju. - Uzgred, imam i neke novosti.. Odloživši šoljicu na stranu, Diana se nasmešila i stavila mali gvozdeni ključ na sto. Na trenutak su Fleš i Nik iznenađeno gledali u ključ, a zatim u devojku, ali sledećeg trenutka Dragotsy je skočio sa svog mesta i pojurio da zagrli Dajanu, radosno se smešeći. -Znao sam! uzviknuo je. jedva se zarumenjela vila iz naručja momka: -Prvo pusti, zadavićeš me! Drugo, kako ste znali? - -Pogodi, naravno, nije bilo teško - rekao je zadovoljan Fash. - Dvorska vila, najbolji đak, pa čak i očajan... Pogodio sam da si i domaćica, čim sam te vidio. - Da, - provukao je Nik, koji se oporavio od iznenađenja, - susret s tobom u šumi bio je pomalo neočekivan. - Šta je bilo tako neočekivano? Diana je sa zanimanjem pogledala svoju prijateljicu. „Na primjer, činjenica da si iznenada skočio iz mraka na nas“, ubacio je Flash. - Da, - klimnu mlađi-sada već-časovnik Lazarev, - Naravno, znali smo da ćemo te sresti u šumi, ali nije vredelo tako neočekivano skočiti iz mraka na nas. „Ali dobro je da smo odmah otišli u Čarodol“, nasmijao se Dragotius. Momci su klimnuli u znak slaganja i nastavili doručak...

Noć. Svjetlost punog mjeseca, koja je visila na zvjezdanom nebu, kroz vitraže na prozorima obasjavala je tmurne hodnike Zmiulana, iz čijih se zidova odbijao zvuk trčanja. - Pa kakva devojka! promrmlja Flash bez daha. - Bila je uplašena, znate... Samo uzalud izgubljeno vrijeme! Nadam se da ću ipak uspjeti pobjeći... ovaj put... Žureći prema Kamenoj dvorani, molio se da mu niko ne stane na put. Ali sve se dogodilo upravo suprotno. U mraku hodnika (gde se nisu potrudili da naprave prozore) Dragotsy se sudario sa nekim, čuvši poznati glas: „Ko tu trči kao lud?! "". Brineta je prizvala jednočasovnu strelu i upalila svetlo na njenom vrhu. U svjetlu improvizirane lampe pogodila ... Vasilisa ?! -Ti?! uzviknuše njih dvoje u isto vrijeme. Flash je istovremeno bio iznenađen i olakšan: na kraju krajeva, oni su u dobrim odnosima s Ognevom, a ona ga neće izdati... pa, nadao se. Momak je pomislio da je crvenokosa doživjela nešto slično. -Sta radis ovdje? Dragotsy je pružio ruku Vasilisi. Prihvativši pomoć, ustala je i odbrusila se: - I ja bih vas isto pitala. "Ja sam prvi pitao," Fleš je prekrstio ruke. -Nije bitno. Uopšte, to se tebe ne tiče - odbrusila je Vasilisa. „Pa, ​​to znači da se to što ja radim ne tiče tebe“, Dragotius je mirno slegnuo ramenima. Crvenokosa je stisnula usne i zamišljeno pogledala brinetu: - Reći ću ti tek posle tebe. "Pa... ja..." počeo je Flash, pokušavajući pronaći riječi, ali ništa nije izašlo. „U redu, želim da pobegnem“, izlanuo je Dragotius. Vasilisine oči su se raširile: -Jesi li luda? Fleš je zakolutao očima i razdraženo pogledao Ognevu: -Ne, ali ne želim da ostanem ovde. - Ako vas uhvate, bićete kažnjeni. Setite se šta se dogodilo prošli put, - crvenokosa žena je prekrstila ruke na grudima. Dragotius je napravio grimasu: -Slušaj, bolje je da mi ne smetaš. Vasilisa je zamišljeno pogledala brinetu: - Pa, neću da se mešam ... štaviše, danas sam tako ljubazan da te neću ni izdati - zakikota se Ogneva i, okrenuvši se, htede da ode, ali Bljesak ju je zaustavio uz tuču: - Vasilisa, - djevojka se okrenula i s iščekivanjem pogledala u brinetu, - hvala, - Dragotius se nasmiješio i pobjegao. Ogneva se nasmiješila i krenula prema njoj... *** - Bila je to velika greška, nećače, - Astragor se nadvio nad ležećim polugolim Fešom. Učenici su počeli tiho da šapuću. - Više puta ste pokušavali da pobegnete i uvek ste bili kažnjeni... - Shackle, koji je došao specijalno da izvrši masakr, izvadio je jedan štap i nekoliko puta mahnuo. Začulo se pucketanje. - Nadam se da ćete i dalje shvatiti da je beskorisno trčati, - veliki duh Osle okrenuo je leđa prestupniku, lice - ostalim učenicima: - Mislim da će i vama ovo poslužiti kao primjer. Štap je, presecajući vazduh, odmah prešao preko leđa Flasha, ostavljajući crvene, čak i krvave pruge. Udarac za udarcem. Crnka je stoički podnosila sve udarce, samo povremeno ispuštajući polujecanje-polu urlik. Učenici su to gledali sa nekom vrstom zlobe. Samo su Vasilisa i Zahara uzbuđeno gledale u brinetu... *** Bljesak je sjedio u tamnici i razmišljao. Ranije su ga jednostavno stavili u tamnicu, ostavljajući ga bez hrane, ali sada je, očigledno, njegov ujak umoran što je njegov nećak tako olako kažnjen. Crnka je slegnula ramenima, praveći grimasu od bola. Nije obraćao pažnju na hladnoću, vlagu, uronjen u svoje misli. Iz misli ga je trgnuo zvuk koraka koji su odjekivali hodnikom. Ubrzo je Vasilisa izašla pod svjetlo baklje. Flash je odmah otišao do lokala: -Šta radiš ovdje? - Sačekaj, - Ogneva je stavila ruku između rešetki i dala Dragotsiju prilično pristojan komad još toplog kruha sa sjemenkama. Flash je uzeo hranu. - A kakvi su to napadi velikodušnosti? nasmijao se. - Ova Zakharra me je zamolila da prođem. Nisu je pustili - slegnula je ramenima Ogneva. - Odnosno, Zahari nije dozvoljeno da uđe, ali ti, onaj koji nije Astragorov rođak, tiho si pušten? Brineta se nasmijala. „Pa, ​​ja ne odlučujem“, Vasilisa je ponovo slegnula ramenima, međutim, Fleš je primetio uzbuđenje u njenim očima. „Pa, ​​pitaću Zaharu o tome kasnije“, rekao je Dragotius mirno, odgrizajući hleb. „Pitaj me, ali već moram da idem“, Ognjeva se okrenula i mirno otišla do ugla i okrenula se iza njega. Ubrzo je Fleš čuo zvuk trčanja i nasmejao se. Međutim, ovo je njena inicijativa. Vjerovatno je otrčala do sestre da pregovara za svaki slučaj "" ...

Pročitajte također