Prizma se zove paralelepiped ako su njegove osnove paralelogrami. Cm. Fig.1.

Svojstva kutije:

Suprotne strane paralelepipeda su paralelne (tj. leže u paralelnim ravnima) i jednake.

Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački i dijele tu tačku.

Susedne strane kutije su dva lica koja imaju zajedničku ivicu.

Suprotne strane paralelepipeda su lica koja nemaju zajedničke ivice.

Nasuprotni vrhovi kutije su dva vrha koja ne pripadaju istom licu.

Dijagonala kutije Segment linije koji povezuje suprotne vrhove.

Ako su bočne ivice okomite na ravni baza, onda se paralelepiped naziva direktno.

Zove se pravi paralelepiped čije su osnove pravokutnici pravougaona. Zove se prizma čija su sva lica kvadrati kocka.

Paralelepiped Prizma čije su osnove paralelogrami.

Desni paralelepiped- paralelepiped čije su bočne ivice okomite na ravan osnove.

kuboid je pravi paralelepiped čije su osnove pravokutnici.

Kocka je pravougaoni paralelepiped sa jednakim ivicama.

Paralelepiped naziva se prizma čija je osnova paralelogram; dakle, paralelepiped ima šest lica i sve su paralelogrami.

Suprotna lica su u paru jednaka i paralelna. Paralelepiped ima četiri dijagonale; svi se seku u jednoj tački i u njoj se dele na pola. Svako lice se može uzeti kao osnova; zapremina je jednaka proizvodu površine osnove i visine: V = Sh.

Paralelepiped čije su četiri bočne strane pravougaonici naziva se pravi paralelepiped.

Pravi paralelepiped, u kojem su svih šest lica pravougaoni, naziva se pravougaoni. Cm. Fig.2.

Volumen (V) desnog paralelepipeda jednak je proizvodu površine baze (S) i visine (h): V = Sh .

Za pravokutni paralelepiped, osim toga, formula V=abc, gdje su a,b,c ivice.

Dijagonala (d) kvadra povezana je sa njegovim ivicama relacijom d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .

kuboid- paralelepiped čije su bočne ivice okomite na osnovice, a osnove su pravokutnici.

Svojstva kvadra:

U kvadru, svih šest lica su pravokutnici.

Sve diedarski uglovi pravougaone paralelepipedne prave linije.

Kvadrat dijagonale kvadra jednak je zbiru kvadrati njegove tri dimenzije (dužine tri ivice koje imaju zajednički vrh).

Dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake.

Pravougaoni paralelepiped, čija su sva lica kvadrati, naziva se kocka. Sve ivice kocke su jednake; zapremina (V) kocke je izražena formulom V=a 3, gdje je a ivica kocke.

Jednostavno rečeno, to je povrće kuhano u vodi po posebnoj recepturi. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i voda) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, ovo se može predstaviti kao pravougaonik u kojem jedna strana označava zelenu salatu, a druga vodu. Zbir ove dvije strane će označavati boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisto matematički koncepti i nikada se ne koriste u receptima za boršč.

Kako se zelena salata i voda pretvaraju u boršč u matematičkom smislu? Kako se zbir dva segmenta može pretvoriti u trigonometriju? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam funkcije linearnog ugla.

Nećete naći ništa o funkcijama linearnog ugla u udžbenicima matematike. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, funkcionišu bez obzira da li znamo da postoje ili ne.

Linearne ugaone funkcije su zakoni sabiranja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.

Je li moguće bez linearnih kutnih funkcija? Možete, jer matematičari se i dalje snalaze bez njih. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami mogu riješiti, a nikada nam ne govore o onim problemima koje ne mogu riješiti. Vidi. Ako znamo rezultat sabiranja i jednog člana, koristimo oduzimanje da pronađemo drugi član. Sve. Druge probleme ne poznajemo i nismo u stanju da ih rešimo. Što učiniti ako znamo samo rezultat sabiranja, a ne znamo oba pojma? U ovom slučaju, rezultat sabiranja se mora razložiti na dva člana korištenjem linearnih kutnih funkcija. Nadalje, sami biramo šta može biti jedan pojam, a linearne ugaone funkcije pokazuju kakav bi trebao biti drugi član da bi rezultat sabiranja bio upravo ono što nam treba. Može postojati beskonačan broj takvih parova pojmova. U svakodnevnom životu se jako dobro snalazimo bez razlaganja zbira, dovoljno nam je oduzimanje. Ali u naučno istraživanje zakonima prirode, razlaganje sume u termine može biti vrlo korisno.

Još jedan zakon sabiranja o kojem matematičari ne vole da govore (još jedan od njihovih trikova) zahtijeva da termini imaju istu jedinicu mjere. Za zelenu salatu, vodu i boršč, to mogu biti jedinice težine, zapremine, cijene ili jedinice mjere.

Na slici su prikazana dva nivoa razlike za matematiku. Prvi nivo su razlike u polju brojeva koje su naznačene a, b, c. To rade matematičari. Drugi nivo su razlike u području mjernih jedinica koje su prikazane u uglastim zagradama i označene slovom U. To rade fizičari. Možemo razumjeti treći nivo - razlike u obimu opisanih objekata. Različiti objekti mogu imati isti broj istih jedinica mjere. Koliko je to važno, vidimo na primjeru boršč trigonometrije. Ako dodamo indekse istoj oznaci mjernih jedinica za različite objekte, možemo reći koji točno matematička vrijednost opisuje određeni objekt i kako se mijenja tokom vremena ili u odnosu na naše radnje. pismo W Vodu ću označiti slovom S označimo salatu slovom B- boršč. Evo kako bi izgledale funkcije linearnog ugla za boršč.

Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili da spajamo zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja ispasti. Šta smo onda učili da radimo? Učili su nas da odvajamo jedinice od brojeva i sabiramo brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. Ovo je direktan put ka autizmu moderne matematike – ne razumijemo šta, nije nam jasno zašto, a vrlo slabo razumijemo kako se to odnosi na stvarnost, jer od tri nivoa razlike, matematičari operišu samo na jednom. Bit će ispravnije naučiti kako prijeći s jedne mjerne jedinice na drugu.

I zečići, i patke, i male životinje mogu se izbrojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte nam omogućava da ih saberemo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan problem za odrasle. Šta dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.

Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i dodajemo je raspoloživoj gotovini. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novcu.

Druga opcija. Možete dodati broj zečića sa brojem novčanica koje imamo. Dobit ćemo količinu pokretne imovine u komadima.

Kao što vidite, isti zakon sabiranja vam omogućava da dobijete različite rezultate. Sve zavisi od toga šta tačno želimo da znamo.

Ali vratimo se našem boršu. Sada možemo vidjeti što će se dogoditi za različite vrijednosti ugla funkcija linearnog ugla.

Ugao nula. Imamo salatu, ali nemamo vodu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je također nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednaka nuli vode. Nula borsch može biti i na nula salate (pravi ugao).

Za mene lično, ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To je zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete se odnositi prema ovome kako hoćete, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, pa odbacite svoju logiku i glupo trpajte definicije koje su izmislili matematičari: "dijeljenje nulom je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen nulom jednako nuli" , "iza tačke nula" i druge gluposti. Dovoljno je jednom zapamtiti da nula nije broj i nikada nećete imati pitanje da li je nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje generalno gubi svaki smisao: kako se može smatrati brojem ono što nije broj . To je kao da pitate kojoj boji da pripišete nevidljivu boju. Dodavanje nule broju je kao slikanje bojom koja ne postoji. Mahali su suvim kistom i govorili svima da smo "farbali". Ali malo sam skrenuo pažnju.

Ugao je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stepeni. Imamo puno zelene salate, ali malo vode. Kao rezultat, dobijamo gusti boršč.

Ugao je četrdeset pet stepeni. Imamo jednake količine vode i zelene salate. Ovo je savršeni boršč (neka mi kuvari oproste, to je samo matematika).

Ugao je veći od četrdeset pet stepeni, ali manji od devedeset stepeni. Imamo puno vode i malo zelene salate. Uzmi tečni boršč.

Pravi ugao. Imamo vodu. Ostale su samo uspomene na salatu, dok nastavljamo da merimo ugao od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je nula. U tom slučaju, sačekajte i pijte vodu dok je dostupna)))

Evo. Ovako nešto. Ovdje mogu ispričati druge priče koje će ovdje biti više nego primjerene.

Dva prijatelja su imala svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon ubistva jednog od njih, sve je otišlo na drugog.

Pojava matematike na našoj planeti.

Sve ove priče su ispričane jezikom matematike koristeći linearne ugaone funkcije. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na trigonometriju boršča i razmotrimo projekcije.

Subota, 26.10.2019

Srijeda, 07.08.2019

Završavajući razgovor o , Moramo razmotriti beskonačan skup. Dao u tome da koncept "beskonačnosti" djeluje na matematičare, kao boa constrictor na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdravog razuma. Evo primjera:

Izvorni izvor se nalazi. Alfa označava realan broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima ukazuje na to da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako uzmemo kao primjer beskonačan skup prirodni brojevi, razmatrani primjeri se mogu predstaviti u sljedećem obliku:

Da bi vizuelno dokazali svoj slučaj, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Ja lično na sve ove metode gledam kao na ples šamana s tamburama. U suštini, svi se svode na to da ili neke sobe nisu zauzete i da se u njih nastanjuju novi gosti, ili da se neki od posetilaca izbace u hodnik da se napravi mesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što napustimo prvu gostinjsku sobu, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, vremenski faktor se može glupo zanemariti, ali ovo će već biti iz kategorije "zakon nije pisan za budale". Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičke teorije ili obrnuto.

Šta je "beskonačan hotel"? Infinite Hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj slobodna mjesta, bez obzira koliko je soba zauzeto. Ako su sve prostorije u beskrajnom hodniku "za posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa sobama za "goste". Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Istovremeno, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma stvorenih od beskonačnog broja bogova. Matematičari, s druge strane, nisu u stanju da se odmaknu od banalnih svakodnevnih problema: Bog-Allah-Buda je uvijek samo jedan, hotel je jedan, hodnik je samo jedan. Tako matematičari pokušavaju da žongliraju sa serijskim brojevima hotelskih soba, ubeđujući nas da je moguće "gurnuti nepogurnute".

Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, pošto smo sami izmislili brojeve, u prirodi nema brojeva. Da, priroda zna savršeno računati, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Kako priroda misli, reći ću vam drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva postoji. Razmotrite obje opcije, kako i priliči pravom naučniku.

Opcija jedan. "Neka nam se da" jedan set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nema ih gdje uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedinicu iz seta koji smo već uzeli i vratiti je na policu. Nakon toga možemo uzeti jedinicu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet dobijamo beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete napisati ovako:

Napisao sam operacije u algebarskom zapisu i zapisu teorije skupova, detaljno navodeći elemente skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda isti.

Opcija dva. Na polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzimamo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta ćemo dobiti:

Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako beskonačnom skupu dodate jedan, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako se jedan beskonačan skup doda drugom beskonačnom skupu, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao i ravnalo za mjerenja. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će već biti drugačija linija, koja neće biti jednaka originalu.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite jeste li na putu lažnog rasuđivanja, kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, časovi matematike, prije svega, u nama formiraju stabilan stereotip mišljenja, a tek onda nam dodaju mentalne sposobnosti (ili obrnuto, uskraćuju nam slobodno mišljenje).

pozg.ru

Nedjelja, 04.08.2019

Pisao sam postscript za članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: „...bogat teorijska osnova Babilonska matematika nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajednički sistem i bazu dokaza.

Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je slabo gledati modernu matematiku u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sledeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nema holistički karakter i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.

Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i simbole koji se razlikuju od jezika i simboli mnoge druge grane matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav ciklus publikacija najočiglednijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota, 03.08.2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu jedinicu mjere, koja je prisutna u nekim elementima odabranog skupa. Razmotrimo primjer.

Neka nas bude mnogo ALI koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi" Označimo elemente ovog skupa kroz slovo a, indeks sa brojem će označavati redni broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "seksualna karakteristika" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo ALI o rodu b. Obratite pažnju da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi sa rodom". Nakon toga, polne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženski bw rodne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih spolnih karakteristika, nije važno koja je muška ili ženska. Ako je prisutan u osobi, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda primjenjujemo uobičajenu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.

Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, dobili smo dva podskupa: muški podskup bm i podskup žena bw. Približno na isti način razmišljaju matematičari kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali, oni nas ne puštaju u detalje, već nam daju gotov rezultat – „mnogo ljudi se sastoji od podgrupe muškaraca i podskupa žena“. Naravno, možda imate pitanje, koliko je pravilno primijenjena matematika u gornjim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da su transformacije u stvari urađene ispravno, dovoljno je znati matematičko opravdanje aritmetike, Bulove algebre i drugih dijelova matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o tome.

Što se tiče superskupova, moguće je kombinirati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice koja je prisutna u elementima ova dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i uobičajena matematika čine teoriju skupova prošlošću. Znak da sa teorijom skupova nije sve u redu je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su radili ono što su nekada radili šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Ovom "znanju" nas uče.

Na kraju, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu.

Ponedjeljak, 07.01.2019

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo rezonovanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz uključuje primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Za naredni vremenski interval, jednak prvom, Ahil će trčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u nedogled veliki brojevi, ali u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću proces na primjeru. Odaberemo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odaberemo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako se šamani hrane vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.

Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto u bubuljicu sa mašnom" i ujedinimo ove "cjeline" po boji, odabirom crvenih elemenata. Imamo dosta "crvenih". Sada škakljivo pitanje: da li su primljeni setovi "sa mašnom" i "crvenim" isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, neka bude.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvenih čvrstih bubuljica sa mašnicom". Formiranje se odvijalo prema četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (u kvržici), ukrasi (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica omogućava adekvatno opisivanje stvarnih objekata jezikom matematike. Evo kako to izgleda.

Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice prema kojima se u preliminarnoj fazi dodjeljuje "cjelina". Iz zagrada se vadi mjerna jedinica prema kojoj se formira skup. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. I ovo je matematika, a ne plesovi šamana s tamburama. Šamani mogu “intuitivno” doći do istog rezultata, argumentirajući to “očiglednošću”, jer jedinice mjere nisu uključene u njihov “naučni” arsenal.

Uz pomoć mjernih jedinica vrlo je lako razbiti jedan ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

U ovoj lekciji ćemo definirati kutiju, razgovarati o njenoj strukturi i njenim elementima (dijagonale kutije, stranice kutije i njihova svojstva). Također razmotrite svojstva lica i dijagonala paralelograma. Zatim ćemo riješiti tipičan problem za konstruiranje presjeka u paralelepipedu.

Tema: Paralelizam pravih i ravni

Lekcija: Paralelepiped. Svojstva lica i dijagonala kutije

U ovoj lekciji ćemo dati definiciju paralelepipeda, razgovarati o njegovoj strukturi, svojstvima i njegovim elementima (stranice, dijagonale).

Paralelepiped je formiran pomoću dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 koji su u paralelnim ravnima. Oznaka: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ili AD 1 (Sl. 1.).

2. Festival pedagoške ideje"Javni čas" ()

1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovne institucije(baza i nivoi profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i dopunjeno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 str.: ilustr.

Zadaci 10, 11, 12 strana 50

2. Konstruirajte presjek pravokutnog paralelepipeda ABCDA1B1C1D1 ravan koja prolazi kroz tačke:

a) A, C, B1

b) B1, D1 i sredinu rebra AA1.

3. Ivica kocke je jednaka a. Konstruirajte presjek kocke sa ravninom koja prolazi središtem tri ivice koje izlaze iz istog vrha i izračunajte njen obim i površinu.

4. Koje figure se mogu dobiti kao rezultat presjeka paralelepipeda ravninom?

ili (ekvivalentno) poliedar sa šest lica koja su paralelogrami. Hexagon.

Paralelogrami koji čine paralelepiped su lica ovog paralelepipeda, stranice ovih paralelograma su ivice paralelepipeda, a vrhovi paralelograma su vrhovi paralelepiped. Svako lice paralelepipeda je paralelogram.

U pravilu se razlikuju i nazivaju bilo koja druga suprotna lica osnovice paralelepipeda, i preostala lica bočne strane paralelepipeda. Rubovi paralelepipeda koji ne pripadaju bazama su bočna rebra.

2 lica kvadra koji dijele ivicu su povezane, i one koje nemaju zajedničke ivice - suprotno.

Segment koji povezuje 2 vrha koji ne pripadaju 1. licu je dijagonala paralelepipeda.

Dužine ivica kvadra koje nisu paralelne su linearne dimenzije (mjerenja) paralelepiped. Pravougaoni paralelepiped ima 3 linearne dimenzije.

Vrste paralelepipeda.

Postoji nekoliko vrsta paralelepipeda:

Direktno je paralelepiped sa ivicom, okomito na ravan osnove.

Kvadrat čije su sve 3 dimenzije jednake po veličini kocka. Svaka strana kocke je jednaka kvadrata .

Proizvoljni paralelepiped. Volumen i omjeri u kosoj kutiji su uglavnom definirani pomoću vektorske algebre. Zapremina kutije jednaka je apsolutnoj vrijednosti mješovitog proizvoda 3 vektora, koji su određeni sa 3 strane kutije (koje dolaze iz istog vrha). Odnos između dužina stranica paralelepipeda i uglova između njih pokazuje tvrdnju da je Gramova determinanta data 3 vektora jednaka kvadratu njihovog mješovitog proizvoda.

Svojstva paralelepipeda.

• Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
• Svaki segment sa krajevima koji pripadaju površini paralelepipeda i koji prolazi kroz sredinu njegove dijagonale dijeli se na dva jednaka dijela. Sve dijagonale paralelepipeda seku se u 1. tački i njome se dijele na dva jednaka dijela.
• Suprotne strane paralelepipeda su paralelne i jednake su dimenzije.
• Kvadrat dužine dijagonale kvadra je