Системата от неравенстваОбичайно е да се нарича всеки набор от две или повече неравенства, съдържащи неизвестно количество.
Тази формулировка е ясно илюстрирана например от такова системи от неравенства:
Решете системата от неравенства - означава да се намерят всички стойности на неизвестната променлива, за които се реализира всяко неравенство на системата, или да се докаже, че няма такива .
И така, за всеки индивид системни неравенстваизчислете неизвестната променлива. Освен това от получените стойности избира само онези, които са верни както за първото, така и за второто неравенство. Следователно при заместване на избраната стойност и двете неравенства на системата стават правилни.
Нека анализираме решението на няколко неравенства:
Поставете едната под другата двойка числови линии; поставете стойността отгоре х, при което първото неравенство o ( х> 1) става истина, а отдолу стойността х, които са решение на второто неравенство ( х> 4).
Сравнявайки данните за числови редове, имайте предвид, че решението и за двете неравенстваще бъде х> 4. Отговор, х> 4.
Пример 2
Изчисляване на първия неравенствополучаваме -3 х< -6, или х> 2, втората - х> -8, или х < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения х, по който първият системно неравенство, и на долната числова ос, всички тези стойности х, при което се реализира второто неравенство на системата.
Сравнявайки данните, установяваме, че и двете неравенстваще бъдат приложени за всички стойности хпоставени от 2 до 8. Набори от стойности хобозначавам двойно неравенство 2 < х< 8.
Пример 3Да намерим
В този урок ще започнем изучаването на системи от неравенства. Първо, ще разгледаме системи от линейни неравенства. В началото на урока ще разгледаме къде и защо възникват системи от неравенства. След това ще проучим какво означава да се реши система и ще си спомним обединението и пресичането на множества. Накрая ще решим конкретни примери за системи от линейни неравенства.
Тема: диетареални неравенства и техните системи
Урок:Основенпонятия, решение на системи от линейни неравенства
Досега сме решавали отделни неравенства и сме прилагали метода на интервалите към тях, това може да бъде линейни неравенства, и квадратно и рационално. Сега да преминем към решаване на системи от неравенства - първо линейни системи. Нека да разгледаме един пример, откъдето идва необходимостта да се разглеждат системи от неравенства.
Намерете обхвата на функция
Намерете обхвата на функция
Функцията съществува, когато съществуват и двата квадратни корена, т.е.
Как да се реши такава система? Необходимо е да се намерят всички x, които удовлетворяват както първото, така и второто неравенство.
Начертайте върху оста x множеството от решения на първото и второто неравенство.
Интервалът на пресичане на два лъча е нашето решение.
Този метод за представяне на решението на система от неравенства понякога се нарича покривен метод.
Решението на системата е пресечната точка на две множества.
Нека представим това графично. Имаме множество A с произволна природа и множество B с произволна природа, които се пресичат.
Определение: Пресечната точка на две множества A и B е трето множество, което се състои от всички елементи, включени в A и B.
Помислете, като използвате конкретни примери за решаване на линейни системи от неравенства, как да намерите пресечни точки на наборите от решения на отделни неравенства, включени в системата.
Решете системата от неравенства:
Отговор: (7; 10].
4. Решете системата 
Откъде може да дойде второто неравенство на системата? Например от неравенството
Обозначаваме графично решенията на всяко неравенство и намираме интервала на тяхното пресичане.
По този начин, ако имаме система, в която едно от неравенствата удовлетворява произволна стойност на x, тогава то може да бъде елиминирано.
Отговор: системата е непоследователна.
Разгледахме типични опорни задачи, до които се свежда решението на всяка линейна система от неравенства.
Помислете за следната система.
7. 
Понякога линейна система се дава от двойно неравенство; разгледайте този случай.
8. 
Разгледахме системи от линейни неравенства, разбрахме откъде идват, разгледахме типични системи, до които се свеждат всички линейни системи, и решихме някои от тях.
1. Мордкович А.Г. и др.Алгебра 9 клас: Учеб. За общо образование Институции.- 4-то изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Задачна тетрадка за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4-то изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Ю. Н. Макаричев, Алгебра. 9 клас: учебник. за общообразователни ученици. институции / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. - 7-мо издание, Рев. и допълнителни - М .: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас 16-то изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-то изд., изтрито. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 клас На 2 ч. Част 2. Задачна книга за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Изд. А. Г. Мордкович. - 12-то изд., Рев. — М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Портал за природни науки ().
2. Електронен учебно-методически комплекс за подготовка на 10-11 клас за входни изпитипо информатика, математика, руски език ().
4. Образователен център "Технология на обучението" ().
5. Секция по математика на College.ru ().
1. Мордкович А.Г. и др.. Алгебра 9 клас: Задачна тетрадка за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. - 4-то изд. - М .: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. No 53; 54; 56; 57.
Програмата за решаване на линейни, квадратни и дробни неравенства не просто дава отговор на задачата, тя води подробно решениес обяснения, т.е. показва процеса на решаване с цел проверка на знанията по математика и/или алгебра.
Освен това, ако в процеса на решаване на едно от неравенствата е необходимо да се реши, например, квадратно уравнение, тогава се показва и подробното му решение (включено е в спойлера).
Тази програма може да бъде полезна за ученици в гимназията в подготовка за контролна работа, родителите да контролират решаването на неравенства от децата си.
Тази програма може да бъде полезна за ученици от гимназията общообразователни училищапри подготовката за контролни и изпити, при проверка на знанията преди изпита, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-скоро? домашна работаматематика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.
По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.
Правила за въвеждане на неравенства
Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.н.
Числата могат да се въвеждат като цели числа или дроби.
Освен това, дробни числаможе да се въведе не само като десетична, но и като обикновена дроб.
Правила за въвеждане на десетични дроби.
В десетичните дроби дробната част от цялото число може да бъде разделена или с точка, или със запетая.
Например можете да въведете десетични знацитака: 2,5x - 3,5x^2
Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.
Знаменателят не може да бъде отрицателен.
При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
цяла частразделени от дробта с амперсанд: &
Вход: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
При въвеждане на изрази могат да се използват скоби. В този случай при решаване на неравенството първо се опростяват изразите.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Изберете желания знак за неравенство и въведете полиномите в полетата по-долу.
Решете системата от неравенства Беше установено, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.
защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...
Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.
Нашите игри, пъзели, емулатори:
Малко теория.
Системи неравенства с едно неизвестно. Числови обхвати
Запознахте се с понятието система в 7. клас и научихте как да решавате системи от линейни уравнения с две неизвестни. След това ще бъдат разгледани системи от линейни неравенства с едно неизвестно. Наборите от решения на системи от неравенства могат да бъдат записани с интервали (интервали, полуинтервали, отсечки, лъчи). Ще научите и за записа на числови интервали.
Ако в неравенствата \(4x > 2000 \) и \(5x \leq 4000 \) неизвестното число x е едно и също, тогава тези неравенства се разглеждат заедно и се казва, че образуват система от неравенства: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Къдравата скоба показва, че трябва да намерите такива стойности на x, за които и двете неравенства на системата се превръщат в истински числени неравенства. Тази система е пример за система от линейни неравенства с едно неизвестно.
Решението на система от неравенства с едно неизвестно е стойността на неизвестното, при която всички неравенства на системата се превръщат в истински числени неравенства. Да се реши система от неравенства означава да се намерят всички решения на тази система или да се установи, че няма такива.
Неравенствата \(x \geq -2 \) и \(x \leq 3 \) могат да бъдат записани като двойно неравенство: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Решенията на системи от неравенства с едно неизвестно са различни числови множества. Тези набори имат имена. И така, върху реалната ос наборът от числа x, така че \(-2 \leq x \leq 3 \) е представен от сегмент с краища в точки -2 и 3.
| -2 | 3 |
Ако \(a е сегмент и се обозначава с [a; b]
Ако \(интервал и означен с (a; b)
Набори от числа \(x \), удовлетворяващи неравенствата \(a \leq x чрез полуинтервали и се означават съответно с [a; b) и (a; b]
Отсечки, интервали, полуинтервали и лъчи се наричат числови интервали.
По този начин, пропуски в числатамогат да бъдат дадени под формата на неравенства.
Решение на неравенство с две неизвестни е двойка числа (x; y), която превръща това неравенство в истинско числено неравенство. Да се реши едно неравенство означава да се намери множеството от всички негови решения. И така, решенията на неравенството x > y ще бъдат например двойки числа (5; 3), (-1; -1), тъй като \(5 \geq 3 \) и \(-1 \geq - 1\)
Решаване на системи от неравенства
Вече се научихте как да решавате линейни неравенства с едно неизвестно. Знае какво е система от неравенства и решение на системата. Следователно процесът на решаване на системи от неравенства с едно неизвестно няма да ви създаде никакви затруднения.
И все пак си спомняме: за да разрешите система от неравенства, трябва да решите всяко неравенство поотделно и след това да намерите пресечната точка на тези решения.
Например, оригиналната система от неравенства беше намалена до формата:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$
За да разрешите тази система от неравенства, маркирайте решението на всяко неравенство на реалната ос и намерете пресечната им точка:
| -2 | 3 |
Пресечната точка е отсечката [-2; 3] - това е решението на оригиналната система от неравенства.
ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 23 Системи линейни неравенства
Система от линейни неравенства е всеки набор от две или повече линейни неравенства, съдържащи една и съща неизвестна величина.
Примери за такива системи са:
Да се реши система от неравенства означава да се намерят всички стойности на неизвестното количество, за което всяко неравенство на системата е изпълнено.
Нека решим горните системи.
Нека поставим една под друга две числови оси (фиг. 31); на горната бележка тези стойности х , при което първото неравенство ( х > 1), а отдолу - тези стойности х , при което е изпълнено второто неравенство ( х > 4).
Сравнявайки резултатите на числовите прави, отбелязваме, че и двете неравенства ще бъдат едновременно изпълнени за х > 4. Отговор, х > 4.
Първото неравенство дава -3 х < -б, или х > 2, а вторият - х > -8, или х < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения х , при което е изпълнено първото неравенство на системата, а на втората реална права, разположена под първата, всички тези стойности х , за които е изпълнено второто неравенство на системата (фиг. 32).
Сравнението на тези два резултата показва, че и двете неравенства ще са валидни едновременно за всички стойности х , сключени от 2 до 8. Наборът от такива стойности х се записва като двойно неравенство 2< х < 8.
Пример 3. Решете система от неравенства
Първото неравенство на системата дава 5 х < 10, или х < 2, второе х > 4. Следователно всяко число, което удовлетворява и двете неравенства едновременно, трябва да бъде не повече от 2 и не повече от 4 (фиг. 33).
Но такива номера няма. Следователно тази система от неравенства не е изпълнена за никакви стойности х . Такива системи от неравенства се наричат непоследователни.
Упражнения
Решете тези системи от неравенства (№ 179 -184):
Решете неравенства (№ 185, 186):
185. (2х + 3) (2 - 2х ) > 0. 186. (2 - π ) (2х - 15) (х + 4) > 0.
Намерете валидните стойности на буквите, включени в данните за равенство (№ 187, 188):
Решете неравенства (№ 189, 190):
189. 1 < 2х - 5 < 2. 190. -2 < 1 - о < 5.
191. Каква трябва да бъде температурата на 10 литра вода, така че когато се смеси с 6 литра вода с температура 15 °, да се получи вода с температура най-малко 30 ° и не повече от 40 °?
192. Едната страна на триъгълник е 4 см, а сборът от другите две е 10 см. Намерете тези страни, ако са представени като цели числа.
193. Известно е, че системата от две линейни неравенства не е изпълнена за никакви стойности на неизвестното количество. Възможно ли е да се каже, че отделните неравенства на тази система не са изпълнени за никакви стойности на неизвестното количество?
Определение 1 . набор от точки в пространството Р n , чиито координати удовлетворяват уравнението а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ ан хн = b, е наречен ( н - 1 )-мерна хиперравнина в н-измерно пространство.
Теорема 1. Хиперравнината разделя цялото пространство на две полупространства. Полупространството е изпъкнало множество.
Пресечната точка на краен брой полупространства е изпъкнало множество.
Теорема 2 . Решаване на линейно неравенство с ннеизвестен
а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ ан хн b
е едно от полупространствата, на които цялото пространство е разделено от хиперравнината
а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ан х n= b.
Помислете за система от млинейни неравенства с ннеизвестен.
Решението на всяко неравенство от системата е определено полупространство. Решението на системата ще бъде пресечната точка на всички полупространства. Този набор ще бъде затворен и изпъкнал.
Решаване на системи от линейни неравенства
с две променливи
Нека се даде система млинейни неравенства на две променливи.
Решението на всяко неравенство ще бъде една от полуравнините, на които цялата равнина е разделена от съответната права. Решението на системата ще бъде пресечната точка на тези полуравнини. Тази задача може да се реши графично на равнината х 1 0 х 2 .
37. Представяне на изпъкнал многостен
Определение 1. Затворено изпъкналограничен набор Р n с краен брой ъглови точки, се нарича изпъкнал н-мерен многостен.
Определение 2 . Затворено изпъкнало неограничено множество Р n , който има краен брой ъглови точки, се нарича изпъкнала многостенна област.
Определение 3 . Много НОР n се нарича ограничено, ако има н-измерна топка, съдържаща това множество.
Определение 4. Изпъкнала линейна комбинация от точки е израз, където t i , .
Теорема (теорема за представяне за изпъкнал многостен).Всяка точка на изпъкнал полиедър може да бъде представена като изпъкнала линейна комбинация от неговите ъглови точки.
38. Областта на допустимите решения на системата от уравнения и неравенства.
Нека се даде система млинейни уравнения и неравенства с ннеизвестен.
Определение 1 . Точка Р n се нарича възможно решение на системата, ако неговите координати удовлетворяват уравненията и неравенствата на системата. Съвкупността от всички възможни решениясе нарича област на възможните решения (ROA) на системата.
Определение 2. Възможно решение, чиито координати са неотрицателни, се нарича допустимо решение на системата. Наборът от всички допустими решения се нарича област на допустимите решения (DDR) на системата.
Теорема 1 . ODE е затворено, изпъкнало, ограничено (или неограничено) подмножество в Рн.
Теорема 2. Допустимо решение на системата е референтно тогава и само тогава, когато тази точка е ъгловата точка на ODS.
Теорема 3 (теорема за представянето на ODT).Ако ODE е ограничено множество, тогава всяко допустимо решение може да бъде представено като изпъкнала линейна комбинация от ъгловите точки на ODE (под формата на изпъкнала линейна комбинация от опорните решения на системата).
Теорема 4 (теорема за съществуването на опорно решение на системата). Ако системата има поне едно допустимо решение (ODR), тогава сред допустимите решения има поне едно референтно решение.
