Однією з найважливіших завдань диференціального обчислення є розробка загальних прикладів вивчення поведінки функций.

Якщо функція y=f(x) безперервна на відрізку , а її похідна позитивна або дорівнює 0 на інтервалі (a,b), y=f(x) зростає на (f"(x)0). Якщо функція y=f (x) безперервна на відрізку , а її похідна негативна або дорівнює 0 на інтервалі (a,b), то y=f(x) зменшується на (f"(x)0)

Інтервали, у яких функція не зменшується чи зростає, називаються інтервалами монотонності функції. Характер монотонності функції може змінюватися лише тих точках її області визначення, у якій змінюється знак першої похідної. Точки, у яких перша похідна функції перетворюється на нуль чи терпить розрив, називаються критичними.

Теорема 1 (перша достатня умова існування екстремуму).

Нехай функція y=f(x) визначена в точці х 0 і нехай існує околиця δ>0 таке, що функція безперервна на відрізку диференціюється на інтервалі (x 0 -δ,x 0)u(x 0 , x 0 +δ) , причому її похідна зберігає постійний знак кожному з цих інтервалів. Тоді якщо на x 0 -δ, x 0) і (x 0 x 0 +δ) знаки похідної різні, то х 0 - точка екстремуму, а якщо збігаються, то х 0 - не є точкою екстремуму. При цьому якщо при переході через точку х0 похідна змінює знак з плюсу на мінус (ліворуч від х 0 виконується f"(x)>0, то х 0 - точка максимуму; якщо ж похідна змінює знак з мінуса на плюс (праворуч від х 0 виконується f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Точки максимуму та мінімуму називають точками екстремуму функції, а максимуми та мінімуми функції – її екстремальними значеннями.

Теорема 2 (необхідна ознака локального екстремуму).

Якщо функція y=f(x) має у струмі x=x 0 екстремум, або f'(x 0)=0, або f'(x 0) немає.
У точках екстремуму функції, що диференціюється, дотична до її графіка паралельна осі Ox.

Алгоритм дослідження функції на екстремум:

1)Знайти похідну функції.
2)Выйти критичні точки, тобто. точки, у яких функція безперервна, а похідна дорівнює нулю чи немає.
3)Розглянути околицю кожної з точок, і дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від цієї точки.
4) Визначити координати екстремальних точок, для цього значення критичних точок підставити на цю функцію. Використовуючи достатні умови екстремуму, зробити відповідні висновки.

Приклад 18. Дослідити на екстремум функцію у = х 3 -9х 2 +24х

Рішення.
1) y"=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Прирівнявши похідну нулю, знаходимо х 1 =2, х 2 =4. У разі похідна визначена всюди; отже, крім двох знайдених точок, інших критичних точок немає.
3) Знак похідної y"=3(x-2)(x-4) змінюється в залежності від проміжку так, як показано на малюнку 1. При переході через точку x=2, похідна змінює знак з плюсу на мінус, а при переході через точку x=4 - з мінусу плюс.
4) У точці x=2 функція має максимум y max =20, а точці x=4 - мінімум y min =16.

Теорема 3. (Друга достатня умова існування екстремуму).

Нехай f"(x 0) і в точці х 0 існує f""(x 0). Тоді якщо f"(x 0)>0, то х 0 - точка мінімуму, а якщо f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

На відрізку функція y=f(x) може досягати найменшого (у найм) або найбільшого (у найб) значення або в критичних точках функції, що лежать в інтервалі (а; b), або на кінцях відрізка .

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень безперервної функції y = f (x) на відрізку:

1) Знайти f "(x).
2) Знайти точки, в яких f "(x) = 0 або f" (x) - не існує, і відібрати з них ті, що лежать усередині відрізка .
3) Обчисліть значення функції y=f(x) у точках, отриманих у п.2), а як і на кінцях відрізка і вибрати їх найбільше і найменше: вони є відповідно найбільшим (у наиб) і найменшим (у наим) значеннями функції на відрізку.

Приклад 19. Знайти найбільше значення безперервної функції y=x3-3x2-45+225 на відрізку.

1) Маємо y"=3x2-6x-45 на відрізку
2) Похідна y" існує при всіх х. Знайдемо точки, в яких y"=0; отримаємо:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15 = 0
x 1 = -3; x 2 = 5
3) Обчислимо значення функції у точках x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Відрізку належить лише точка x=5. Найбільшим із знайдених значень функції є 225, а найменшим – число 50. Отже, у найб =225, у найм =50.

Дослідження функції на опуклості

На малюнку зображено графіки двох функцій. Перший звернений опуклістю вгору, другий – опуклістю вниз.

Функція y=f(x) безперервна на відрізку і диференційована в інтервалі (а;b), називається опуклою вгору (вниз) на цьому відрізку, якщо при axb її графік лежить не вище (не нижче) дотичної, проведеної в будь-якій точці M 0 (x 0 f (x 0)), де axb.

Теорема 4. Нехай функція y=f(x) має другу похідну у будь-якій внутрішній точці х відрізка і безперервна на кінцях цього відрізка. Тоді, якщо на інтервалі (а;b) виконується нерівність f""(x)0, то функція випукла вниз на відрізку ; якщо інтервалі (а;b) виконується нерівність f""(x)0, то функція опукла вгору на .

Теорема 5. Якщо функція y=f(x) має другу похідну на інтервалі (а;b) і якщо вона змінює знак при переході через точку x 0 тоді M(x 0 ;f(x 0)) є точка перегину.

Правило знаходження точок перегину:

1) Знайти точки, в яких f""(x) не існує або перетворюється на нуль.
2) Дослідити знак f""(x) ліворуч і праворуч від кожної знайденої на першому кроці точки.
3) На підставі теореми 4 дійти невтішного висновку.

Приклад 20. Знайти точки екстремуму та точки перегину графіка функції y=3x4-8x3+6x2+12.

Маємо f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Очевидно, що f"(x)=0 при x 1 =0, x 2 =1. Похідна під час переходу через точку x=0 змінює знак з мінусу на плюс, а під час переходу через точку x=1 не змінює знака. Отже, x=0 - точка мінімуму (у min =12), а точці x=1 екстремуму немає. Далі, знаходимо . Друга похідна перетворюється на нуль у точках x 1 =1, x 2 =1/3. Знаки другої похідної змінюються так: На промені (-∞;) маємо f""(x)>0, на інтервалі (;1) маємо f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Отже, x= - точка перегину графіка функції (перехід з опуклості вниз на опуклість вгору) і x=1 - як і точка перегину (перехід з опуклості вгору на опуклість вниз). Якщо x=, то y=; якщо, x=1, y=13.

Алгоритм відшукання асимптоти графіка

I. Якщо y=f(x) при x → a , то x=a є вертикальна асимптота.
ІІ. Якщо y=f(x) при x → ∞ або x → -∞ тоді у=А - горизонтальна асимптота.
ІІІ. Для знаходження похилої асимптоти використовуємо наступний алгоритм:
1) Обчислити. Якщо межа існує і дорівнює b, y = b - горизонтальна асимптота; Якщо , то перейти до другого кроку.
2) Обчислити. Якщо це межа немає, то асимптоти немає; якщо вона існує і дорівнює k, то перейти до третього кроку.
3) Обчислити. Якщо це межа немає, то асимптоти немає; якщо вона існує і дорівнює b, то перейти до четвертого кроку.
4) Записати рівняння похилої асимптоти y=kx+b.

Приклад 21: Знайти асимптоту для функції

1)
2)
3)
4) Рівняння похилої асимптоти має вигляд

Схема дослідження функції та побудова її графіка

I. Знайти область визначення функції.
ІІ. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.
ІІІ. Знайти асимптоти.
IV. Знайти точки можливого екстремуму.
V. Знайти критичні точки.
VI. За допомогою допоміжного малюнка дослідити знак першої та другої похідних. Визначити ділянки зростання та зменшення функції, знайти напрям опуклості графіка, точки екстремумів і точок перегину.
VII. Побудувати графік з огляду на дослідження, проведене в п.1-6.

Приклад 22: Побудувати за наведеною вище схемою графік функції

Рішення.
I. Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, крім x=1.
ІІ. Так рівняння x 2 +1=0 немає речових коренів, то графік функції немає точок перетину з віссю Ох, але перетинає вісь Оу у точці (0;-1).
ІІІ. З'ясуємо питання існування асимптот. Досліджуємо поведінку функції поблизу точки розриву x=1. Оскільки y → ∞ за х → -∞, у → +∞ за х → 1+, то пряма x=1 є вертикальною асимптотою графіка функції.
Якщо х → +∞(x → -∞), то → +∞(y → -∞); отже, горизонтальної асимптоти у графіка немає. Далі, із існування меж

Вирішуючи рівняння x 2 -2x-1=0 отримуємо дві точки можливого екстремуму:
x 1 =1-√2 та x 2 =1+√2

V. Для знаходження критичних точок обчислимо другу похідну:

Оскільки f""(x) в нуль не звертається, то критичних точок немає.
VI. Досліджуємо знак першої та другої похідних. Точки можливого екстремуму, що підлягають розгляду: x 1 =1-√2 та x 2 =1+√2, поділяють область існування функції на інтервали (-∞;1-√2),(1-√2;1+√2) та (1+√2;+∞).

У кожному з цих інтервалів похідна зберігає знак: у першому – плюс, у другому – мінус, у третьому – плюс. Послідовність знаків першої похідної запишеться так: +, -, +.
Отримуємо, що функція на (-∞;1-√2) зростає, на (1-√2;1+√2) зменшується, а на (1+√2;+∞) знову зростає. Точки екстремуму: максимум при x=1-√2, причому f(1-√2)=2-2√2 мінімум при x=1+√2, причому f(1+√2)=2+2√2. На (-∞;1) графік спрямований опуклістю вгору, але в (1;+∞) - вниз.
VII Складемо таблицю отриманих значень

VIII За отриманими даними будуємо ескіз графіка функції

Провести повне дослідження та побудувати графік функції

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Область визначення функції. Так як функція є дріб, потрібно знайти нулі знаменника.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Виключаємо єдину точку x=1x=1 з області визначення функції та отримуємо:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Досліджуємо поведінку функції на околиці точки розриву. Знайдемо односторонні межі:

Оскільки межі дорівнюють нескінченності, точка x=1x=1 є розривом другого роду, пряма x=1x=1 - вертикальна асимптота.

3) Визначимо точки перетину графіка функції з осями координат.

Знайдемо точки перетину з віссю ординат OyOy, навіщо прирівнюємо x=0x=0:

Таким чином, точка перетину з віссю OyOy має координати (0; 8) (0; 8).

Знайдемо точки перетину з віссю абсцис OxOx, навіщо покладемо y=0y=0:

Рівняння немає коренів, тому точок перетину з віссю OxOx немає.

Зауважимо, що x2+8>0x2+8>0 для будь-яких xx. Тому при x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) функція y>0y>0(приймає позитивні значення, графік знаходиться вище осі абсцис), при x∈(1;+∞)x∈(1; +∞) функція y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функція не є ні парною, ні непарною, оскільки:

5) Досліджуємо функцію на періодичність. Функція не є періодичною, оскільки є дробово-раціональною функцією.

6) Досліджуємо функцію на екстремуми та монотонність. Для цього знайдемо першу похідну функції:

Прирівняємо першу похідну до нуля і знайдемо стаціонарні точки (у яких y=0y=0):

Отримали три критичні точки: x = -2, x = 1, x = 4x = -2, x = 1, x = 4. Розіб'ємо всю область визначення функції на інтервали даними точками та визначимо знаки похідної у кожному проміжку:

При x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) похідна y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

При x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) похідна y′>0y′>0, функція зростає на даних проміжках.

У цьому x=−2x=−2 - точка локального мінімуму (функція зменшується, та був зростає), x=4x=4 - точка локального максимуму (функція збільшується, та був меншає).

Знайдемо значення функції у цих точках:

Отже, точка мінімуму (−2;4)(−2;4), точка максимуму (4;−8)(4;−8).

7) Досліджуємо функцію на перегини та опуклість. Знайдемо другу похідну функції:

Прирівняємо другу похідну до нуля:

Отримане рівняння немає коренів, тому точок перегину немає. При цьому, коли x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) виконується y′′>0y″>0, тобто функція увігнута, коли x∈(1;+∞)x∈(1;+ ∞) виконується y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Досліджуємо поведінку функції на нескінченності, тобто за .

Так як межі нескінченні, горизонтальних асимптотів немає.

Спробуємо визначити похилі асимптоти виду y=kx+by=kx+b. Обчислюємо значення k,bk,b за відомими формулами:

Отримали, що функції є одна похила асимптота y=−x−1y=−x−1.

9) Додаткові точки. Обчислимо значення функції деяких інших точках, щоб точніше побудувати графік.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) За отриманими даними побудуємо графік, доповнимо його асимптотами x=1x=1(синій), y=−x−1y=−x−1 (зелений) та відзначимо характерні точки (фіолетовим перетином з віссю ординат, помаранчевим екстремуми, чорним додаткові точки) :

Завдання 4: Геометричні, Економічні задачі (не маю поняття які, тут зразкова добірка задач з розв'язком та формулами)

Приклад 3.23. a

Рішення. xі y y
y = a – 2×a/4 =a/2. Оскільки x = a/4 - єдина критична точка, перевіримо, чи змінюється знак похідної під час переходу цю точку. За xa/4 S " > 0, а за x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет найбільшим значеннямфункції. Таким чином, найбільш вигідним співвідношенням сторін майданчика за даних умов завдання є y = 2x.

Приклад 3.24.

Рішення.
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Приклад 3.22.Знайти екстремуми функції f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 14.

Рішення.Так як f "(x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), то критичні точки функції x 1 = 2 і x 2 = 3. Екстремуми можуть бути тільки в цих точках. Так як у переході через точку x 1 = 2 похідна змінює знак плюс на мінус, то у цій точці функція має максимум. Обчисливши значення функції у точках
x 1 = 2 та x 2 = 3, знайдемо екстремуми функції: максимум f(2) = 14 і мінімум f(3) = 13.

Приклад 3.23.Потрібно побудувати прямокутний майданчик біля кам'яної стіни так, щоб з трьох боків вона була відгороджена дротяною сіткою, а четвертою стороною примикала до стіни. Для цього є aсітки погонних метрів. При якому співвідношенні сторін майданчик матиме найбільшу площу?

Рішення.Позначимо сторони майданчика через xі y. Площа майданчика дорівнює S = xy. Нехай y- Це довжина сторони, що примикає до стіни. Тоді за умовою має виконуватись рівність 2x + y = a. Тому y = a - 2x та S = x(a - 2x), де
0 ≤ x ≤ a/2 (довжина та ширина майданчика не можуть бути негативними). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, звідки
y = a – 2×a/4 =a/2. Оскільки x = a/4 - єдина критична точка, перевіримо, чи змінюється знак похідної під час переходу цю точку. За xa/4 S " > 0, а за x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Приклад 3.24.Потрібно виготовити закритий циліндричний бак місткістю V = 16p 50 м 3 . Які мають бути розміри бака (радіус R і висота Н), щоб його виготовлення пішло найменшу кількість матеріалу?

Рішення.Площа повної поверхні циліндра дорівнює S = 2pR(R+Н). Ми знаємо об'єм циліндра V = pR 2 Н = Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Отже, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Знаходимо похідну цієї функції:
S "(R) = 2p(2R-16/R 2) = 4p (R-8/R 2). S" (R) = 0 при R 3 = 8, отже,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Подібна інформація.

Інструкція

Знайдіть область визначення функції. Наприклад, функція sin(x) визначена по всьому інтервалі від -∞ до +∞, а функція 1/x - від -∞ до +∞ за винятком точки x = 0.

Визначте області безперервності та точки розриву. Зазвичай функція безперервна в тій же області, де вона визначена. Щоб виявити розриви, потрібно обчислити при наближенні аргументу до ізольованих точок всередині області визначення. Наприклад, функція 1/x прагне нескінченності, коли x→0+, і мінус нескінченності, коли x→0-. Це означає, що у точці x = 0 вона має розрив другого роду.
Якщо межі у точці розриву кінцеві, але з рівні, це розрив першого роду. Якщо вони рівні, то функція вважається безперервною, хоча у ізольованій точці вона й не визначена.

Знайдіть вертикальні асимптоти, якщо вони є. Тут вам допоможуть обчислення попереднього кроку, оскільки вертикальна асимптота практично завжди знаходиться у точці розриву другого роду. Однак іноді з області визначення виключені окремі точки, а цілі інтервали точок, і тоді вертикальні асимптоти можуть розташовуватися на краях цих інтервалів.

Перевірте, чи має функція особливі властивості: парність, непарність і періодичність.
Функція буде парною, якщо для будь-якого x області визначення f(x) = f(-x). Наприклад, cos(x) та x^2 - парні функції.

Періодичність - властивість, що говорить про те, що є деяке число T, яке називається періодом, що для будь-якого x f(x) = f(x + T). Наприклад, всі основні тригонометричні функції(синус, косинус, тангенс) – періодичні.

Знайдіть точки. Для цього обчисліть похідну від заданої функціїі знайдіть значення x, де вона звертається в нуль. Наприклад, функція f(x) = x^3 + 9x^2 -15 має похідну g(x) = 3x^2 + 18x, яка перетворюється на нуль при x = 0 і x = -6.

Щоб визначити, які точки екстремуму є максимумами, а які мінімумами, відстежте зміну похідних знаків у знайдених нулях. g(x) змінює знак із плюса в точці x = -6, а в точці x = 0 назад з мінусу на плюс. Отже, функція f(x) у першій точці має , а у другій – мінімум.

Таким чином, ви знайшли і області монотонності: f(x) монотонно зростає на проміжку -∞;-6, монотонно зменшується на -6;0 і знову зростає на 0;+∞.

Знайдіть другу похідну. Її коріння покаже, де графік заданої функції буде опуклим, а де - увігнутим. Наприклад, другий похідний від функції f(x) буде h(x) = 6x + 18. Вона звертається в нуль при x = -3 змінюючи при цьому знак з мінусу на плюс. Отже, графік f(x) до цієї точки буде опуклим, після неї - увігнутим, а ця точка буде точкою перегину.

У функції можуть бути інші асимптоти, крім вертикальних, але тільки в тому випадку, якщо в її область визначення входить . Щоб їх знайти, обчисліть межу f(x), коли x→∞ або x→-∞. Якщо він є кінцевим, то ви знайшли горизонтальну асимптоту.

Похила асимптота – пряма виду kx + b. Щоб знайти k, обчисліть межу f(x)/x за x→∞. Щоб знайти b - межа (f(x) – kx) у тому ж x→∞.

Побудуйте графік функції за обчисленими даними. Позначте асимптоти, якщо вони є. Позначте точки екстремуму та значення функції у них. Для більшої точності графіка обчисліть значення функції ще кількох проміжних точках. Дослідження завершено.

Для повного дослідження функції та побудови її графіка рекомендується використовувати таку схему:

1) визначити область визначення функції;

2) знайти точки розриву функції та вертикальні асимптоти (якщо вони існують);

3) дослідити поведінку функції в нескінченності, знайти горизонтальні та похилі асимптоти;

4) дослідити функцію на парність (непарність) та на періодичність (для тригонометричних функцій);

5) знайти екстремуми та інтервали монотонності функції;

6) визначити інтервали опуклості та точки перегину;

7) знайти точки перетину з осями координат, якщо можливо, і деякі додаткові точки, що уточнюють графік.

Дослідження функції проводиться одночасно із побудовою її графіка.

Приклад 9Дослідити функцію та побудувати графік.

1. Область визначення: ;

2. Функція терпить розрив у точках
,
;

Досліджуємо функцію наявність вертикальних асимптот.

;
,
─ вертикальна асимптота.

;
,
─ вертикальна асимптота.

3. Досліджуємо функцію на наявність похилих та горизонтальних асимптот.

Пряма
─ похила асимптота, якщо
,
.

,
.

Пряма
─ горизонтальна асимптота.

4. Функція є парною т.к.
. парність функції свідчить про симетричність графіка щодо осі ординат.

5. Знайдемо інтервали монотонності та екстремуми функції.

Знайдемо критичні точки, тобто. точки в яких похідна дорівнює 0 або немає:
;
. Маємо три крапки
;

. Ці точки розбивають усю дійсну вісь на чотири проміжки. Визначимо знаки кожному з них.

На інтервалах (-∞; -1) та (-1; 0) функція зростає, на інтервалах (0; 1) та (1 ; +∞) ─ зменшується. При переході через точку
похідна змінює знак з плюсу на мінус, отже, у цій точці функція має максимум
.

6. Знайдемо інтервали опуклості, точки перегину.

Знайдемо точки, в яких дорівнює 0, чи немає.

не має дійсних коренів.
,
,

Крапки
і
розбивають дійсну вісь на три інтервали. Визначимо знак на кожному проміжку.

Таким чином, крива на інтервалах
і
опукла вниз, на інтервалі (-1; 1) опукла вгору; точок перегину немає, тому що функція в точках
і
не визначена.

7. Знайдемо точки перетину з осями.

З віссю
графік функції перетинається у точці (0; -1), і з віссю
графік не перетинається, т.к. чисельник цієї функції немає дійсних коренів.

Графік заданої функції зображено малюнку 1.

Малюнок 1 ─ Графік функції

Застосування поняття похідної економіки. Еластичність функції

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних завданьНайчастіше використовується поняття еластичності функції.

Визначення.Еластичність функції
називається межа відношення відносного збільшення функції до відносного збільшення змінної при
, . (VII)

Еластичність функції показує приблизно, на скільки відсотків зміниться функція
при зміні незалежної змінної на 1%.

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та споживання. Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною)
, то попит вважають еластичним, якщо
─ нейтральним, якщо
─ нееластичним щодо ціни (або доходу).

Приклад 10Розрахувати еластичність функції
і знайти значення показника еластичності для = 3.

Рішення: за формулою (VII) еластичність функції:

Нехай х = 3, тоді
.Це означає, що й незалежна змінна зросте на 1%, то значення залежної змінної збільшиться на 1,42 %.

Приклад 11Нехай функція попиту щодо ціни має вигляд
, де ─ постійний коефіцієнт. Знайти значення показника еластичності функції попиту за ціни х = 3 грош. од.

Рішення: розрахуємо еластичність функції попиту за формулою (VII)

Вважаючи
ден.од., отримаємо
. Це означає, що за ціною
ден. підвищення ціни на 1% викликає зниження попиту 6%, тобто. попит еластичний.

Сьогодні ми пропонуємо разом з нами досліджувати та побудувати графік функції. Після уважного вивчення цієї статті вам не доведеться довго потіти над виконанням такого роду завдання. Дослідити та побудувати графік функції нелегко, робота об'ємна, що вимагає максимальної уваги та точності обчислень. Для полегшення сприйняття матеріалу ми будемо поетапно вивчати ту саму функцію, пояснимо всі наші дії та обчислення. Ласкаво просимо до дивовижного і захоплюючий світматематики! Поїхали!

Область визначення

Для того щоб дослідити та побудувати графік функції, необхідно знати кілька визначень. Функція одна із основних (базових) понять у математиці. Вона відображає залежність між декількома змінними (двома, трьома та більше) при змінах. Також функція показує залежність множин.

Уявіть, що ми маємо дві змінні, які мають певний діапазон зміни. Так ось, у – це функція від х, за умови, що кожному значенню другої змінної відповідає одне значення другої. У цьому змінна у - залежна, її називають функцією. Для більшої наочності цієї залежності будують графік функції. Що таке графік функції? Це безліч точок на координатної площини, де кожному значенню x відповідає одне значення у. Графіки можуть бути різні - пряма лінія, гіпербола, парабола, синусоїда і таке інше.

Графік функції неможливо збудувати без дослідження. Сьогодні ми навчимося проводити дослідження та побудуємо графік функції. Дуже важливо в ході дослідження наносити позначки. Так упоратися із завданням буде набагато простіше. Найбільш зручний план дослідження:

1. Область визначення.
2. Безперервність.
3. Парність чи непарність.
4. Періодичність.
5. Асимптоти.
6. Нулі.
7. Знакопостійність.
8. Зростання та спадання.
9. Екстремуми.
10. Випуклість та увігнутість.

Почнемо із першого пункту. Знайдемо область визначення, тобто яких проміжках існує наша функція: у=1/3(х^3-14х^2+49х-36). У нашому випадку, функція існує за будь-яких значень х, тобто область визначення дорівнює R. Записати це можна наступним чином хÎR.

Безперервність

Зараз ми з вами досліджуватимемо функцію на розрив. У математиці термін «безперервність» виник у результаті вивчення законів руху. Що нескінченне? Простір, час, деякі залежності (прикладом може бути залежність змінних S і t у завданнях на рух), температура об'єкта, що нагрівається (води, сковороди, термометра і так далі), безперервна лінія (тобто та, яку можна намалювати, не відриваючи від листа олівець).

Безперервним вважається графік, який не розривається у певній точці. Одним із найнаочніших прикладів такого графіка є синусоїда, яку ви можете побачити на картинці в даному розділі. Функція безперервна в деякій точці х0, якщо дотримано ряду умов:

• у цій точці визначено функцію;
• праву та ліву межу в точці рівні;
• межа дорівнює значенню функції у точці х0.

При недотриманні хоча б однієї умови говорять, що функція зазнає розриву. А крапки, в яких розривається функція, прийнято називати точками розриву. Прикладом функції, яка при графічному відображенні «розриватиметься», може бути: у=(х+4)/(х-3). У цьому немає у точці х=3 (оскільки нуль ділити не можна).

У функції, яку досліджуємо ми (у = 1/3 (х ^ 3-14х ^ 2 + 49х-36)) виявилося все просто, так як графік буде безперервним.

Парність, непарність

Тепер досліджуйте функцію на парність. Спочатку трохи теорії. Парною називають ту функцію, яка задовольняє умову f(-x)=f(x) за будь-якого значення змінної х (з області значень). Прикладами можуть бути:

• модуль х (графік схожий на галку, бісектриса першої та другої чверті графіка);
• х у квадраті (парабола);
• косинус х (косинусоїда).

Всі ці графіки симетричні, якщо розглядати це щодо осі ординат (тобто у).

А що тоді називають непарною функцією? Такими є ті функції, які задовольняють умові: f(-х)=-f(х) за будь-якого значення змінної х. Приклади:

• гіпербола;
• кубічна парабола;
• синусоїда;
• тангенсоіда і так далі.

Зверніть увагу, що ці функції мають симетрію щодо точки (0:0), тобто початку координат. Виходячи з того, що було сказано в цьому розділі статті, парна та непарна функціяповинна мати властивість: х належить безлічі визначення і -х теж.

Досліджуємо функцію на парність. Ми можемо помітити, що вона не підходить під жодне з описів. Отже, наша функція не є ні парною, ні непарною.

Асимптоти

Почнемо з визначення. Асимптота - це крива, яка максимально наближена до графіка, тобто відстань від певної точки прямує до нуля. Усього виділяють три види асимптоту:

• вертикальні, тобто паралельні осі у;
• горизонтальні, тобто паралельні осі х;
• похилі.

Щодо першого виду, то дані прямі варто шукати в деяких точках:

• розрив;
• кінці області визначення.

У нашому випадку функція безперервна, а область визначення дорівнює R. Отже вертикальні асимптоти відсутні.

Горизонтальна асимптота має графік функції, який відповідає наступній вимогі: якщо х прагне до нескінченності або мінус нескінченності, а межа дорівнює деякому числу (наприклад, а). У разі у=а - і є горизонтальна асимптота. У досліджуваній нами функції горизонтальних асимптотів немає.

Похила асимптота існує тільки в тому випадку, якщо дотримано двох умов:

• lim (f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Тоді її можна знайти за формулою: у = kx + b. Знову ж таки, у нашому випадку похилих асимптот немає.

Нулі функції

Наступним етапом необхідно досліджувати графік функції на нулі. Дуже важливо відзначити і те, що завдання, пов'язане зі знаходженням нулів функції, зустрічається не тільки при дослідженні та побудові графіка функції, але і як самостійне завдання, і як спосіб розв'язання нерівностей. Від вас можуть вимагати знайти нулі функції на графіку або використовувати математичний запис.

Знаходження даних значень допоможе вам точніше скласти графік функції. Якщо говорити простою мовою, то нуль функції - значення змінної х, коли він у=0. Якщо ви шукаєте нулі функції на графіку, то варто звернути увагу на точки, в яких відбувається перетинання графіка з віссю абсцис.

Щоб знайти нулі функції, необхідно вирішити наступне рівняння: у = 1/3 (х ^ 3-14х ^ 2 + 49х-36) = 0. Після проведення необхідних обчислень ми отримуємо наступну відповідь:

Знакопостійність

Наступний етап дослідження та побудови функції (графіка) – це знаходження проміжків знакопостійності. Це означає, що ми маємо визначити, яких проміжках функція приймає позитивне значення, але в яких - негативне. Це нам допоможе зробити знайдені в минулому розділі нулі функції. Отже, нам потрібно побудувати пряму (окремо від графіка) і правильно розподілити по ній нулі функції від меншого до більшого. Тепер потрібно визначити, який із отриманих проміжків має знак «+», а який «-».

У нашому випадку, функція набуває позитивного значення на проміжках:

• від 1 до 4;
• від 9 до нескінченності.

Негативне значення:

• від мінус нескінченності до 1;
• від 4 до 9

Це визначити досить просто. Підставте будь-яке число із проміжку в функцію і подивіться з яким знаком вийшла відповідь (мінус або плюс).

Зростання та зменшення функції

Для того щоб дослідити та побудувати функцію, нам необхідно дізнатися, де графік зростатиме (йти вгору по Оу), а де падатиме (повзти вниз по осі ординат).

Функція зростає тільки в тому випадку, якщо більшому значенню змінної х відповідає більше значення. Тобто х2 більше х1, а f(х2) більше f(x1). І зовсім протилежне явище ми спостерігаємо у спадної функції (чим більше х, тим менше у). Для визначення проміжків зростання та спадання необхідно знайти наступне:

• область визначення (у нас вже є);
• похідну (у разі: 1/3(3х^2-28х+49);
• розв'язати рівняння 1/3(3х^2-28х+49)=0.

Після обчислень ми отримуємо результат:

Отримуємо: функція зростає на проміжках від мінусу нескінченності до 7/3 і від 7 до нескінченності, а меншає на проміжку від 7/3 до 7.

Екстремуми

Досліджувана функція y=1/3(х^3-14х^2+49х-36) є безперервною і існує за будь-яких значень змінної х. Точка екстремуму показує максимум і мінімум цієї функції. У нашому випадку таких немає, що спрощує завдання побудови. В іншому випадку також знаходяться за допомогою похідної функції. Після знаходження не забувайте відзначати їх на графіку.

Випуклість та увігнутість

Продовжуємо далі досліджувати функцію y(x). Зараз нам потрібно перевірити її на опуклість та увігнутість. Визначення цих понять досить важко сприйняти, краще проаналізувати на прикладах. Для тесту: функція опукла, якщо є незменшуюча функція. Погодьтеся, це незрозуміло!

Нам потрібно знайти похідну функції другого порядку. Ми отримуємо: у = 1/3 (6х-28). Тепер прирівняємо праву частинудо нуля і розв'яжемо рівняння. Відповідь: х = 14/3. Ми знайшли точку перегину, тобто місце, де графік змінює опуклість на увігнутість чи навпаки. На проміжку від мінус нескінченності до 14/3 функція опукла, а від 14/3 до плюс нескінченності - увігнута. Дуже важливо відзначити і те, що точка перегину на графіку має бути плавною і м'якою, ніяких гострих кутівбути не повинно.

Визначення додаткових точок

Наше завдання – дослідити та побудувати графік функції. Ми закінчили дослідження, побудувати графік функції тепер не складе труднощів. Для більш точного і детального відтворення кривої або прямої координатної площині можна знайти кілька допоміжних точок. Їх вирахувати досить просто. Наприклад, ми візьмемо х=3, розв'язуємо отримане рівняння та знаходимо у=4. Або х = 5, а у = -5 і так далі. Додаткових точок ви можете брати стільки, скільки вам потрібно для побудови. Щонайменше їх знаходять 3-5.

Побудова графіка

Нам необхідно було дослідити функцію (x^3-14х^2+49х-36)*1/3=у. Усі необхідні позначки в ході обчислень було нанесено на координатній площині. Все, що залишилося зробити - побудувати графік, тобто з'єднати всі точки між собою. З'єднувати точки варто плавно та акуратно, це справа майстерності – трохи практики і ваш графік буде ідеальним.