2). Потім будуємо графік лінійної функції y = -3x + 6 у х y = -3x + 6

Функції, графіки яких паралельні осі абсцис 2-ой випадок: K=0 У цьому випадку функція набуває вигляду у=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x

Якщо k більше за нуль, то прямі розташовані в першій і третій чвертях. Чим більший коефіцієнт, тим ближче пряма притискається до осі Оу, а чим менший коефіцієнт, тим пряміша ближче до осі Ох. Тобто чим більше кутовий коефіцієнт, тим більше кут між прямою і віссю абсцис.

5 У = 2х +6 У = 2х - 5 х у Дві прямі паралельні, якщо вони мають однаковий кут нахилу, а він залежить від кутового коефіцієнта k 0 Дві прямі паралельні, якщо у них однаковий кутовий коефіцієнт.
Висновки 1. Функція виду у = kх + b, де k і b деякі числа називається лінійною функцією. Графік лінійної є пряма. 2. Функцію виду y = kx називають прямою пропорційністю, і її графік проходить через початок координат. 3.Графік функції у = b паралельний осі абсцис і проходить через точку з координатами (0; b). 4. Коефіцієнт k називається кутовим коефіцієнтом. Від нього залежить кут нахилу прямої до осі Ох. 5.Якщо у двох різних прямих дорівнюють кутові коефіцієнти, то графіки цих функцій будуть паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти не рівні, то графіки будуть перетинатися.

Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.

1. Щоб постояти графік функції, нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити в рівняння функції, і з них обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0;2) та В(3;3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y=x+2:

2. У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.

У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k меньше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)

Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY в різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)

Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0

Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцису x=a.

Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a перестав бути функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значення функції, що відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2

5. Умова перепендикулярності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2

6. Точки перетину графіка функції y=kx+b із осями координат.

З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):

Лінійною функцієюназивається функція виду y = kx + b, Задана на безлічі всіх дійсних чисел. Тут k- Кутовий коефіцієнт (дійсне число), b – вільний член (дійсне число), x- Незалежна змінна.

В окремому випадку, якщо k = 0, отримаємо постійну функцію y = bграфік якої є пряма, паралельна осі Ox, що проходить через точку з координатами (0; b).

Якщо b = 0, то отримаємо функцію y = kx, Яка є прямою пропорційністю.

b – довжина відрізка, Який відсікає пряма по осі Oy, рахуючи від початку координат.

Геометричний зміст коефіцієнта k – кут нахилупрямий до позитивного напрямку осі Ox вважається проти годинникової стрілки.

Властивості лінійної функції:

1) Область визначення лінійної функції є вся речова вісь;

2) Якщо k ≠ 0, то область значень лінійної функції є вся речова вісь. Якщо k = 0, то область значень лінійної функції складається з числа b;

3) Парність та непарність лінійної функції залежать від значень коефіцієнтів kі b.

a) b ≠ 0, k = 0,отже, y = b – парна;

b) b = 0, k ≠ 0,отже y = kx - непарна;

c) b ≠ 0, k ≠ 0,отже y = kx + b - функція загального виду;

d) b = 0, k = 0,отже y = 0 – як парна, і непарна функція.

4) Властивістю періодичності лінійна функція не має;

5) Точки перетину з осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, отже (-b/k; 0)- Точка перетину з віссю абсцис.

Ой: y = 0k + b = b, отже (0; b)- Точка перетину з віссю ординат.

Зауваження.Якщо b = 0і k = 0, то функція y = 0звертається в нуль за будь-якого значення змінної х. Якщо b ≠ 0і k = 0, то функція y = bне звертається в нуль за жодних значень змінної х.

6) Проміжки знаковості залежать від коефіцієнта k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- Позитивна при xз (-b/k; +∞),

y = kx + b- Від'ємна при xз (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- Позитивна при xз (-∞; -b/k),

y = kx + b- Від'ємна при xз (-b/k; +∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + bпозитивна по всій області визначення,

k = 0, b< 0; y = kx + b негативна по всій області визначення.

7) Проміжки монотонності лінійної функції залежить від коефіцієнта k.

k > 0, отже y = kx + bзростає по всій області визначення,

k< 0 , отже y = kx + bзменшується по всій області визначення.

8) Графік лінійної функції є пряма. Для побудови прямої достатньо знати дві точки. Положення прямої на координатній площині залежить від значень коефіцієнтів kі b. Нижче наведено таблицю, яка наочно це ілюструє.

Урок 1 .

Функція у=кх та її графік.

Вчитель математики школи №92

Павловська Ніна Михайлівна

• систематизувати та розвивати у учнів знання

по темі функція, область визначення функції,

графік функції;

• запровадити поняття прямої пропорційності;
• сформувати вміння будувати та читати графік

функції, заданої формулою у = кх;

• навчитися визначати:

- становище графіка на координатній площині,

- Приналежність даної точки графіку;

• навчитися за графіком задавати формулою пряму

пропорційність;

• сприяти розвитку пізнавального інтересу

учнів

• спонукати учнів до само-, взаємоконтролю,

викликати в них потребу в обґрунтуванні своїх

висловлювань.

Цілі уроку:

Розминка.

1. За графіком зміни температури повітря протягом доби, знайти значення температури 6ч,12ч,18ч .

2. Що називають областю допустимих значень змінного алгебраїчного дробу?

3. Знайдіть допустимі значення змінної для дробу:

0 k Функцію виду у = kх називають прямою пропорційністю, де х – змінна, k – кутовий коефіцієнт. Побудувати графіки функцій: у Властивості: 8 7 а) у = 2х; б) у = - 3х. 1. Область визначення 65 2. Графіком є ​​пряма, яка проходить через початок координат. 4 II I 3 2 3. Якщо k 0, графік проходить через I та III чверть і утворює гострий кутіз позитивним напрямом осі х. 1 -3 -2 -1 3 2 1 х -4 Про -1 -2 III IV -3 4 . Якщо k -4 -5 -6 -7 -8" width="640"

у = 2х

у = -3х

k0

k

Функцію виду у = kх називають прямою пропорційністю, де х - Змінна, k - Кутовий коефіцієнт.

Побудувати графіки

функцій :

у

Властивості :

8

7

а) у = 2х; б) у = - 3х.

1. Область визначення

6

5

2. Графіком є ​​пряма, яка проходить через початок координат.

4

II

I

3

2

3. Якщо k 0 графік проходить через I і III чверть і утворює гострий кут з позитивним напрямом осі х.

1

-3

-2

-1

3

2

1

х

-4

Про

-1

-2

III

IV

-3

4 . Якщо k

-4

-5

-6

-7

-8

1 графік витягується вздовж осі у. 2. Якщо |k| вздовж осі х." width="640"

Побудуй графіки функцій у тому ж системі координат. Знайди особливість розташування графіків та зроби висновок.

а) у = 5х;

б) у = - 4х;

г) у = - 0,5 х.

в) у = 0,2 х;

Висновок:

• Якщо |k|1 графік витягується

вздовж осі у.

2. Якщо |k|

вздовж осі х.

За графіком визнач вид функції та задай її формулою, а також дай їй характеристику.

в

г

а) у = 0,5х

б

д

б) у = х

а

е

в) у = 2х

г) у = - 2х

д) у = - х

е) у = - 0,5 х

Вирішити з підручника

• Усно: №490, 491.

• Письменно: № 493, 494 (а, в), 495 (а, в)

Підбиття підсумків уроку:

• Що є графіком функції у = kх ?
• Що називають кутовим коефіцієнтом прямої у = kх ?
• У яких координатних чвертях розташовано графік функції у = kх при k0, при k0?

Запишіть домашнє завдання:

п.6.1, 6.2 підручника,

№ 494(б, г), 495(б, г), 496.

№ 644 – за бажанням.

Лінійна функція– це функція виду

x-аргумент (незалежна змінна),

y- функція (залежна змінна),

k і b- деякі постійні числа

Графік лінійної функції є пряма.

Для побудови графіка достатньо двохточок, т.к. через дві точки можна провести пряму і лише одну.

Якщо k0, то графік розташований в 1-й і 3-й координатних чвертях. Якщо k˂0, то графік розташований у 2-й та 4-й координатних чвертях.

Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої графіка функції y(x)=kx+b. Якщо k 0, то кут нахилу прямий y (x) = kx + b до позитивного напрямку Ох - гострий; якщо k˂0, то цей кут-тупий.

Коефіцієнт b показує точку перетину графіка з віссю ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- окремий випадок типової функції носить назву пряма пропорційність. Графіком є ​​пряма, яка проходить через початок координат, для побудови цього графіка досить однієї точки.

Графік лінійної функції

Де коефіцієнт k = 3, отже

Графік функції зростатиме і матиме гострий кут з віссю Ох т.к. Коефіцієнт k має знак плюс.

ООФ лінійної функції

ОЗФ лінійної функції

Окрім випадку, де

Також лінійна функція виду

Є функцією загального вигляду.

б) Якщо k = 0; b≠0,

У цьому випадку графіком є ​​пряма паралельна осі Ох і проходить через точку (0; b).

В) Якщо k≠0; b≠0, то лінійна функція має вигляд y(x)=k∙x+b.

Приклад 1 . Побудувати графік функції y(x)=-2x+5

Приклад 2 . Знайдемо нулі функції у = 3х + 1, у = 0;

- Нулі функції.

Відповідь: або (;0)

Приклад 3 . Визначити значення функції y=-x+3 для x=1 та x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Відповідь: y_1 = 2; y_2 = 4.

Приклад 4 . Визначити координати їхньої точки перетину або довести, що графіки не перетинаються. Нехай дані функції y 1 =10 x-8 і y 2 = -3 x +5.

Якщо графіки функцій перетинаються, значення функцій у цій точці рівні

Підставимо х=1, y 1 (1)=10∙1-8=2.

Зауваження. Підставити отримане значення аргументу можна й у функцію y 2 =-3∙x+5, тоді отримаємо той самий відповідь y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2-ордината точки перетину.

(1; 2) - точка перетину графіків функцій у = 10х-8 і у = -3х +5.

Відповідь: (1;2)

Приклад 5 .

Побудувати графіки функцій y1(x)=x+3 та y2(x)=x-1.

Можна помітити, що коефіцієнт k=1 обох функций.

З вище сказаного слід, що й коефіцієнти лінійної функції рівні, їх графіки у системі координат розташовані паралельно.

Приклад 6 .

Побудуємо два графіки функції.

Перший графік має формулу

Другий графік має формулу

У даному випадкуперед нами графік двох прямих, що перетинаються в точці (0; 4). Це означає, що коефіцієнт b, відповідальний висоту підйому графіка над віссю Ох, якщо х=0. Отже ми можемо вважати, що коефіцієнт bу обох графіків дорівнює 4.

Редактори: Агєєва Любов Олександрівна, Гаврилина Ганна Вікторівна