2-й етап. Підготовка до оцінки. Визначення факторів, їх ваги, розробка бальної шкали факторів Вибір факторів Насамперед потрібно визначитися з факторами, за якими проводитиметься оцінка. Їх вибір залежить від специфіки діяльності компанії та стратегічного

Центрованою випадковою величиною, що відповідає СВXназивається різниця між випадковою величиною X та її математичним очікуванням

Випадкова величина називається нормованою, якщо її дисперсія рана 1. Центрована та нормована випадкова величина називається стандартною.

Стандартна випадкова величина Z, що відповідає випадковій величині Xзнаходиться за формулою:

(1.24)

1.2.5. Інші числові характеристики

Мода дискретної СВ Xвизначається як таке можливе значення x m, для котрого

Модою безперервної СВXназивається дійсне число M 0 (X), що визначається як точка максимуму щільності розподілу ймовірностей f(x).

Таким чином, мода СВ Xє її найімовірніше значення, якщо таке значення єдине. Мода може не існувати, мати єдине значення (унімодальний розподіл) чи мати кілька значень (мультимодальний розподіл).

Медіаною безперервної СВXназивається дійсне число M D (X), що задовольняє умові

Так як це рівняння може мати безліч коренів, то медіана визначається, взагалі кажучи, неоднозначно.

Початковим моментомm-го порядку СВX (якщо він існує) називається дійсне число m, що визначається за формулою

(1.27)

Центральним моментом m-го порядку СВX(якщо він існує) називається число m, що визначається за формулою

(1.28)

Математичне очікування СВ Xє її перший початковий момент, а дисперсія другий центральний.

Серед моментів вищих порядків особливе значення мають центральні моменти 3-го та 4-го порядків.

Коефіцієнтом асиметрії ("скошеності") А(X) називається величина

Коефіцієнтом ексцесу ("гостровершинності") E(X) СВXназивається величина

1.3. Деякі закони розподілу дискретних випадкових величин

1.3.1. Геометричний розподіл

Дискретна СВ Xмає геометричний розподіл, якщо її можливим значенням 0, 1, 2, …, m, … відповідають ймовірності, що обчислюються за формулою

де 0< p< 1,q= 1 –p.

На практиці геометричний розподіл зустрічається, коли проводиться низка незалежних спроб досягти якогось результату Ата ймовірність появи події Ау кожній спробі P(A) =P. СВ X– кількість непотрібних спроб (до першого досвіду, в якому з'явиться подія А), має геометричний розподіл з рядом розподілу:

та числовими характеристиками:

(1.30)

1.3.2. Гіпергеометричний розподіл

Дискретна СВ Xз можливими значеннями 0, 1, …, m, …,Mмає гіпергеометричний розподіл із параметрами N,M,n, якщо

(1.31)

де M≤N,m ≤n,n≤N,m,n,N,M- натуральні числа.

Гіпергеометричний розподіл виникає у випадках, подібних до наступного: є Nоб'єктів, з яких Mмають певну ознаку. З наявних Nоб'єктів навмання вибираються nоб'єктів.

СВ X – кількість об'єктів із зазначеною ознакою серед обраних, розподілена за гіпергеометричним законом.

Гіпергеометричне розподіл використовується, зокрема, під час вирішення завдань, що з контролем якості продукції.

Математичне очікування випадкової величини, що має гіпергеометричний розподіл, дорівнює:

(1.32)

Вище ми познайомилися із законами розподілу випадкових величин. Кожен закон розподілу вичерпним чином визначає властивості ймовірностей випадкової величини та дає можливість обчислювати ймовірності будь-яких подій, пов'язаних із випадковою величиною. Однак у багатьох питаннях практики немає потреби в такому повному описіі досить вказати лише окремі числові параметри, що характеризують істотні риси розподілу. Наприклад, середнє, навколо якого розкидані значення випадкової величини, якесь число, що характеризує величину цього розкиду. Ці числа покликані висловити у стиснутій формі найбільш суттєві риси розподілу, і називаються числовими характеристиками довільної величини.

Серед числових характеристиквипадкових величин передусім розглядають характеристики, фіксують становище випадкової величини числової осі, тобто. деяке середнє значення випадкової величини, біля якого групуються її можливі значення. З показників становища теорії ймовірностей найбільшу роль грає математичне очікування, Яке іноді просто називають середнім значенням випадкової величини.

Припустимо, що дискретна СВ, приймає значення х ( , х 2 ,..., х пз ймовірностями р j, р 2 ,... у Ptvтобто. задана поруч розподілу

Можливо, що у цих дослідах значення х хспостерігалося N (раз, значення х 2 - N 2раз,..., значення х п - N nразів. При цьому + N 2 +... + N n = N.

Середнє арифметичне результатів спостережень

Якщо Nвелике, тобто. N-» оо, то

описує центр розподілу. Отримане в такий спосіб середнє значення випадкової величини назвемо математичним очікуванням. Дамо словесне формулювання визначення.

Визначення 3.8. Математичним очікуванням (МО) дискретної СВ % називається число, рівну сумітворів всіх можливих її значень на ймовірності цих значень (позначення М;):

Тепер розглянемо випадок, коли кількість можливих значень дискретної СВ?, Рахунково, тобто. маємо РР

Формула для математичного очікування залишається тією ж, тільки у верхній межі суми пзамінюється оо, тобто.

І тут отримуємо вже ряд, який може і розходитися, тобто. відповідна СВ може і не мати математичного очікування.

Приклад 3.8. СВ?, задана поруч розподілу

Знайдемо МО цієї СВ.

Рішення.За визначенням. тобто. Mt,не існує.

Таким чином, у разі лічильника значень СВ отримуємо наступне визначення.

Визначення 3.9. Математичним очікуванням, або середнім значенням, дискретної СВ,що має лічильне число значень, називається число, що дорівнює сумі ряду творів всіх можливих її значень на відповідні ймовірності, за умови що цей ряд сходиться абсолютно, тобто.

Якщо цей ряд розходиться або сходиться умовно, то кажуть, що СВ не має математичного очікування.

Перейдемо від дискретної СВ до безперервної із щільністю р(х).

Визначення 3.10. Математичним очікуванням, або середнім значенням, безперервний СВназивається число, що дорівнює

за умови, що цей інтеграл сходиться абсолютно.

Якщо цей інтеграл розходиться чи сходиться умовно, то кажуть, що безперервна СВ, не має математичного очікування.

Зауваження 3.8.Якщо можливі значення випадкової величини J;

належать лише інтервалу ( а; Ь),то

Математичне очікування - єдина характеристика становища, застосовувана теоретично ймовірностей. Іноді застосовуються такі, наприклад, як мода та медіана.

Визначення 3.11. МодоюСВ^ (позначення Mot,)називається її найімовірніше значення, тобто. те, для якого ймовірність p iабо щільність ймовірності р(х)сягає найбільшого значення.

Визначення 3.12. МедіаноюСВ?, (позначення Met)називається таке її значення, для якого P(t> Met) = Р(?> Met) = 1/2.

Геометрично для безперервної СВ медіана - це абсцис тієї точки осі Ох,для якої площі, що лежать ліворуч і праворуч від неї, однакові і дорівнюють 1/2.

Приклад 3.9. СВt,має ряд розподілу

Знайдемо математичне очікування, моду та медіану СВ

Рішення. МЪ,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. Л/о? = 2. Ме(?) немає.

Приклад 3.10. Безперервна СВ% має щільність

Знайдемо математичне очікування, медіану та моду.

Рішення.

р(х)досягає максимуму, то Очевидно, медіана також дорівнює так як площі праворуч і ліву сторонувід лінії, що проходить через точку, рівні.

Крім показників становища теорії ймовірностей використовують ще ряд числових показників різного призначення. Серед них особливе значення мають моменти – початкові та центральні.

Визначення 3.13. Початковим моментом k-го порядку СВ?, називається математичне очікування k-йступеня цієї величини: = M(t > k).

З визначень математичного очікування для дискретної та безперервної випадкових величин випливає, що

Зауваження 3.9.Зрозуміло, початковий момент 1-го порядку - це математичне очікування.

Перед тим, як дати визначення центрального моменту, введемо нове поняття центрованої випадкової величини.

Визначення 3.14. Центрованою СВ називається відхилення випадкової величини з її математичного очікування, тобто.

Неважко переконатися, що

Центрування випадкової величини, очевидно, рівносильне перенесення початку відліку в точку М; Моменти центрованої випадкової величини називаються центральними моментами.

Визначення 3.15. Центральним моментом k-го порядку СВ% називається математичне очікування k-йступеня центрованої випадкової величини:

З визначення математичного очікування випливає, що

Очевидно, для будь-якої випадкової величини ^ центральний момент 1-го порядку дорівнює нулю: з х= М (? 0) = 0.

Особливого значення для практики має другий центральний момент з 2 .Він називається дисперсією.

Визначення 3.16. ДисперсієюСВ?, називається математичне очікування квадрата відповідної центрованої величини (позначення D?)

Для обчислення дисперсії можна отримати такі формули безпосередньо з визначення:

Перетворюючи формулу (3.4), можна отримати таку формулу для обчислення DL;.

Дисперсія СВ є характеристика розсіювання, розкиданості значень випадкової величини при її математичному очікуванні

Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини, що завжди зручно. Тому для наочності як характеристику розсіювання зручно користуватися числом, розмірність якого збігається з розмірністю випадкової величини. Для цього витягають з дисперсії квадратний корінь. Отриману величину називають середнім квадратичним відхиленнямдовільної величини. Позначатимемо його а: а = л/щ.

Для невід'ємної СВ?, як характеристика іноді застосовується коефіцієнт варіації, рівний відношенню середнього квадратичного відхилення до математичного очікування:

Знаючи математичне очікування та середнє квадратичне відхилення випадкової величини, можна скласти собі наближене уявлення про діапазон її можливих значень. У багатьох випадках вважатимуться, що значення випадкової величини % лише зрідка виходять межі інтервалу М; ± За. Це правило для нормального розподілу, яке ми обґрунтуємо надалі, має назву правило трьох сигм.

Математичне очікування та дисперсія – найчастіше застосовувані числові характеристики випадкової величини. З визначення математичного очікування та дисперсії випливають деякі найпростіші та досить очевидні властивості цих числових характеристик.

Найпростішівластивості математичного очікування та дисперсії.

1. Математичне очікування невипадкової величини здорівнює самій величині з: М(с) = с.

Справді, оскільки величина знабуває лише одне значення з ймовірністю 1, то М(с) = з 1 = с.

2. Дисперсія невипадкової величини дорівнює нулю, тобто. D(c) = 0.

Справді, Dc = М(с - Мс) 2 = М(с- с) 2 = М( 0) = 0.

3. Невипадковий множник можна виносити за знак математичного очікування: М(с^) = сМ(?,).

Покажемо справедливість цієї якості з прикладу дискретної СВ.

Нехай СВ задана поруч розподілу

Тоді

Отже,

Аналогічно доводиться властивість і безперервної випадкової величини.

4. Невипадковий множник можна виносити за знак дисперсії у квадраті:

Чим більше моментів випадкової величини відомі, тим детальніше уявлення про закон розподілу ми маємо.

Теоретично ймовірностей та її додатках використовують ще дві числові характеристики випадкової величини, засновані на центральних моментах 3-го і 4-го порядків, - коефіцієнт асиметрії = m x , a 1,0 = m x

a 0,1 = M = my, a 0,1 = my (7)

являють собою математичні очікування випадкових величин X та Y.

Центральні моменти першого порядку природно дорівнюють нулю.

Початкові моменти другого порядку:

Центральні моменти другого порядку:

Перші два моменти представляють дисперсію, а третій називається підступом(або кореляційним моментом) випадкових величин (X,Y), позначається K xy:

За визначенням коваріації

K xy = K yx (11)

тобто. при зміні індексів подекуди коваріація не змінюється.

Дисперсію випадкових величин можна розглядати як окремий випадок коваріації:

тобто. дисперсія випадкових величин є не що інше, як "ковариація її із самою собою". (Для незалежних випадкових величин коваріація дорівнює 0. Довести самостійно).

Коваріацію K xy зручно виражати через початкові моменти нижчих порядків:

K xy =a 1,1 -a 1,0 ×a 0,1 або До xy =M-M[X]×M[Y] (13)

Корисно запам'ятати цю формулу: коваріація двох випадкових величин дорівнює математичному очікуванню їхнього твору мінус добуток математичних очікувань.

Коваріація характеризує як ступінь залежності випадкових величин, але й їх розсіювання навколо точки (m x ,m y).

Розмірність коваріації дорівнює добутку розмірностей випадкових величин X і Y. Щоб одержати безрозмірну величину, що характеризує лише залежність, коваріацію ділять на твір п.к.о. s x s y .

r xy = K xy / s x s y (14)

Величина r xy називається коефіцієнтом кореляціївипадкових величин X і Y. Цей коефіцієнт характеризує ступінь лише лінійноїзалежність цих величин. Залежність у тому, що з зростанні однієї випадкової величини інша виявляє тенденцію також зростати (чи зменшуватися). У першому випадку r xy >0 і кажуть, що випадкові величини X та Y пов'язані позитивною кореляцією, у другому r xy<0, и корреляция отрицательна.

Для будь-яких випадкових величин X та Y

Якщо коваріація двох випадкових величин дорівнює нулю: K xy = 0, то випадкові величини X та Y називаються некорельованимиякщо K xy ¹0, то корельованими.

З незалежності випадкових величин випливає їхня некорельованість; Проте з некорелюваності випадкових величин (r xy =0) ще випливає їх незалежність. Якщо r xy = 0, це означає лише відсутність лінійного зв'язкуміж випадковими величинами; будь-який інший вид зв'язку може бути присутнім.