Atunci când rezolvă problema C2 folosind metoda coordonatelor, mulți elevi se confruntă cu aceeași problemă. Ei nu pot calcula coordonatele punctului incluse în formula produsului scalar. Cele mai mari dificultăți sunt piramide. Și dacă punctele de bază sunt considerate mai mult sau mai puțin normale, atunci vârfurile sunt un adevărat iad.

Astăzi ne vom ocupa de o piramidă patruunghiulară obișnuită. Există, de asemenea, o piramidă triunghiulară (alias - tetraedru). Acesta este un design mai complex, așa că îi va fi dedicată o lecție separată.

Să începem cu definiția:

O piramidă obișnuită este aceea în care:

1. Baza este un poligon regulat: triunghi, pătrat etc.;
2. Înălțimea trasă la bază trece prin centrul acesteia.

În special, baza unei piramide patruunghiulare este pătrat. La fel ca și Cheops, doar puțin mai mic.

Mai jos sunt calculele pentru o piramidă cu toate marginile egale cu 1. Dacă nu este cazul în problema dvs., calculele nu se schimbă - doar numerele vor fi diferite.

Vârfurile unei piramide patruunghiulare

Deci, să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, unde S este vârful, baza ABCD este un pătrat. Toate muchiile sunt egale cu 1. Este necesar să introduceți un sistem de coordonate și să găsiți coordonatele tuturor punctelor. Avem:

Introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A:

1. Axa OX este îndreptată paralel cu muchia AB ;
2. Axa OY - paralelă cu AD . Deoarece ABCD este un pătrat, AB ⊥ AD ;
3. În cele din urmă, axa OZ este îndreptată în sus, perpendicular pe planul ABCD.

Acum luăm în considerare coordonatele. Construcție suplimentară: SH - înălțimea trasă la bază. Pentru comoditate, vom scoate baza piramidei într-o figură separată. Deoarece punctele A , B , C și D se află în planul OXY, coordonata lor este z = 0. Avem:

1. A = (0; 0; 0) - coincide cu originea;
2. B = (1; 0; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX de la origine;
3. C = (1; 1; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX și cu 1 de-a lungul axei OY;
4. D = (0; 1; 0) - pas numai de-a lungul axei OY.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - centrul pătratului, mijlocul segmentului AC.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Rețineți că coordonatele x și y ale punctelor S și H sunt aceleași, deoarece se află pe o dreaptă paralelă cu axa OZ. Rămâne de găsit coordonata z pentru punctul S .

Luați în considerare triunghiurile ASH și ABH:

1. AS = AB = 1 prin condiție;
2. Unghiul AHS = AHB = 90° deoarece SH este înălțimea și AH ⊥ HB ca diagonalele unui pătrat;
3. Latura AH - comun.

Prin urmare, triunghiuri dreptunghiulare ASH și ABH egal un picior și o ipotenuză. Deci SH = BH = 0,5 BD . Dar BD este diagonala unui pătrat cu latura 1. Prin urmare, avem:

Coordonatele totale ale punctului S:

În concluzie, notăm coordonatele tuturor vârfurilor unei piramide dreptunghiulare regulate:

Ce să faci când coastele sunt diferite

Dar ce se întâmplă dacă marginile laterale ale piramidei nu sunt egale cu marginile bazei? În acest caz, luați în considerare triunghiul AHS:

Triunghiul AHS- dreptunghiular, iar ipotenuza AS este de asemenea o margine laterală a piramidei originale SABCD . Piciorul AH este ușor de considerat: AH = 0,5 AC. Găsiți piciorul rămas SH conform teoremei lui Pitagora. Aceasta va fi coordonata z pentru punctul S.

O sarcină. Având în vedere o piramidă patruunghiulară regulată SABCD , la baza căreia se află un pătrat cu latura 1. Latura laterală BS = 3. Aflați coordonatele punctului S .

Cunoaștem deja coordonatele x și y ale acestui punct: x = y = 0,5. Aceasta rezultă din două fapte:

1. Proiecția punctului S pe planul OXY este punctul H;
2. În același timp, punctul H este centrul pătratului ABCD, ale cărui laturi sunt egale cu 1.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Luați în considerare triunghiul AHS. Este dreptunghiulară, cu ipotenuza AS = BS = 3, catetul AH este jumătate din diagonală. Pentru calcule suplimentare, avem nevoie de lungimea sa:

Teorema lui Pitagora pentru triunghiul AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Avem:

Deci, coordonatele punctului S:

Conceptul de piramidă

Definiția 1

O figură geometrică formată dintr-un poligon și un punct care nu se află în planul care conține acest poligon, conectată la toate vârfurile poligonului, se numește piramidă (Fig. 1).

Poligonul din care este compusa piramida se numeste baza piramidei, triunghiurile obtinute prin legatura cu punctul sunt fetele laterale ale piramidei, laturile triunghiurilor sunt laturile piramidei, iar punctul comun tuturor triunghiuri este vârful piramidei.

Tipuri de piramide

În funcție de numărul de colțuri de la baza piramidei, aceasta poate fi numită triunghiulară, patruunghiulară și așa mai departe (Fig. 2).

Figura 2.

Un alt tip de piramidă este o piramidă obișnuită.

Să prezentăm și să dovedim proprietatea piramida corecta.

Teorema 1

Toate fețele laterale ale unei piramide obișnuite sunt triunghiuri isoscele care sunt egale între ele.

Dovada.

Considerăm o piramidă $n-$gonală regulată cu vârf $S$ de înălțime $h=SO$. Să descriem un cerc în jurul bazei (Fig. 4).

Figura 4

Luați în considerare triunghiul $SOA$. Prin teorema lui Pitagora, obținem

Evident, orice margine laterală va fi definită în acest fel. Prin urmare, toate marginile laterale sunt egale între ele, adică toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Să demonstrăm că sunt egali unul cu celălalt. Deoarece baza este un poligon regulat, bazele tuturor fețelor laterale sunt egale între ele. În consecință, toate fețele laterale sunt egale conform semnului III al egalității triunghiurilor.

Teorema a fost demonstrată.

Introducem acum următoarea definiție legată de conceptul de piramidă obișnuită.

Definiția 3

Apotema unei piramide obișnuite este înălțimea feței sale laterale.

Evident, după teorema 1, toate apotemele sunt egale.

Teorema 2

Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este definită ca produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.

Dovada.

Să notăm latura bazei $n-$piramidei cărbunelui ca $a$, iar apotema ca $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Deoarece, prin teorema 1, toate laturile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Un alt tip de piramidă este piramida trunchiată.

Definiția 4

Dacă un plan paralel cu baza sa este trasat printr-o piramidă obișnuită, atunci figura formată între acest plan și planul bazei se numește piramidă trunchiată (Fig. 5).

Figura 5. Piramida trunchiată

Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.

Teorema 3

Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este definită ca produsul dintre suma semiperimetrelor bazelor și apotema.

Dovada.

Să notăm laturile bazelor $n-$piramidei cărbunelui cu $a\ și, respectiv, b$, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Din moment ce toate părțile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu de sarcină

Exemplul 1

Aflați aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare trunchiate dacă este obținută dintr-o piramidă obișnuită cu latura de bază 4 și apotema 5 prin tăierea printr-un plan care trece prin linia mediană a fețelor laterale.

Soluţie.

Conform teoremei despre linia de mijloc obţinem că baza superioară a piramidei trunchiate este egală cu $4\cdot \frac(1)(2)=2$, iar apotema este egală cu $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Apoi, prin teorema 3, obținem

Suntem bine conștienți de marile piramide egiptene, toată lumea își poate imagina cum arată. Această reprezentare ne va ajuta să înțelegem trăsăturile acestora figură geometrică ca o piramidă.

O piramidă este un poliedru format dintr-un poligon plat - baza piramidei, un punct care nu se află în planul bazei - vârful piramidei și toate segmentele care leagă vârful cu punctele bazei. Segmentele care leagă vârful piramidei cu vârful bazei se numesc margini laterale. Pe fig. 1 prezintă piramida SABCD. Patrulaterul ABCD este baza piramidei, punctul S este vârful piramidei, segmentele SA, SB, SC și SD sunt marginile piramidei.

Înălțimea piramidei este perpendiculara coborâtă de la vârful piramidei până la planul bazei. Pe fig. 1 SO este înălțimea piramidei.

O piramidă se numește n-gonală dacă baza ei este un n-gon. Figura 1 prezintă o piramidă patruunghiulară. O piramidă triunghiulară se numește tetraedru.

O piramidă se numește regulată dacă baza ei este un poligon regulat, iar baza înălțimii coincide cu centrul acestui poligon. Marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale și, prin urmare, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Într-o piramidă obișnuită, înălțimea feței laterale desenată din vârful piramidei se numește apotema.

Piramida are o serie de proprietăți.

Toate diagonalele unei piramide aparțin fețelor sale.

Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci:

• lângă baza piramidei, se poate descrie un cerc, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia;
• nervurile laterale se formează cu planul bazei unghiuri egale, și invers, dacă marginile laterale formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă un cerc poate fi descris lângă baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia, atunci toate marginile laterale ale piramidei sunt egale.

Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi, atunci:

• la baza piramidei poate fi înscris un cerc, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia;
• înălțimile fețelor laterale sunt egale;
• aria suprafeței laterale este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

Luați în considerare formulele pentru găsirea volumului, suprafeței piramidei.

Volumul piramidei poate fi calculat folosind următoarea formulă:

unde S este aria bazei și h este înălțimea.

Pentru a afla suprafața totală a unei piramide, utilizați formula:

S p \u003d S b + S o,

unde S p este aria suprafeței totale, S b este aria suprafeței laterale, S o este aria bazei.

O trunchi de piramidă este un poliedru închis între baza piramidei și un plan de tăiere paralel cu baza acesteia. Fețele trunchiului piramidal, situate în planuri paralele, se numesc bazele trunchiului piramidal, fețele rămase se numesc fețe laterale. Bazele unei piramide trunchiate sunt poligoane similare, fețele laterale sunt trapeze. O piramidă trunchiată, care este obținută dintr-o piramidă obișnuită, se numește o piramidă obișnuită. trunchi de piramidă. Fețele laterale ale unui trapez trunchiat obișnuit sunt trapeze isoscele egale, înălțimile lor se numesc apoteme.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Piramidă- acesta este un poliedru, care are o singură față - baza piramidei - un poligon arbitrar, iar restul - fețe laterale - triunghiuri cu un vârf comun, numit vârful piramidei. Perpendiculara coborâtă de la vârful piramidei până la baza ei se numește înălțimea piramidei. O piramidă se numește triunghiular, patrulater etc., dacă baza piramidei este un triunghi, patrulater etc. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentaedru etc.

Piramidă, Piramida trunchiată

Piramida corectă

Dacă baza piramidei este un poligon regulat, iar înălțimea scade la centrul bazei, atunci piramida este regulată. Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt egale, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea triunghiului feței laterale a unei piramide regulate se numește − apotema piramidei drepte.

Piramida trunchiată

secțiune transversală bază paralelă piramida împarte piramida în două părți. Partea piramidei dintre baza ei și această secțiune este trunchi de piramidă . Această secțiune pentru o piramidă trunchiată este una dintre bazele sale. Distanța dintre bazele unei piramide trunchiate se numește înălțimea piramidei trunchiate. O piramidă trunchiată se numește corectă dacă piramida din care a fost obținută a fost corectă. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele egale. Înălțimea feței laterale trapezoidale a unei piramide trunchiate obișnuite se numește - apotema unei piramide trunchiate obișnuite.

Luați în considerare proprietățile piramidelor în care fețele laterale sunt perpendiculare pe bază.

În cazul în care un două fețe laterale adiacente ale unei piramide sunt perpendiculare pe bază, apoi marginea laterală comună a acestor fețe este înălțimea piramidei. Dacă sarcina spune asta marginea piramidei este înălțimea acesteia, atunci vorbim despre acest tip de piramide.

Fețele piramidei perpendiculare pe bază sunt triunghiuri dreptunghiulare.

Dacă baza piramidei este un triunghi

Suprafața laterală a unei astfel de piramide este în general căutată ca suma ariilor tuturor fețelor laterale.

Baza piramidei este proiecție ortogonală o față care nu este perpendiculară pe bază (în acest caz, SBC). Deci, conform teoremei ariei de proiecție ortogonală, aria bazei este egală cu produsul dintre aria acestei fețe de cosinusul unghiului dintre ea și planul de bază.

Dacă baza piramidei este un triunghi dreptunghic

În acest caz toate fețele piramidei sunt triunghiuri dreptunghiulare.

Triunghiurile SAB și SAC sunt dreptunghiulare, deoarece SA este înălțimea piramidei. Triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic.

Faptul că triunghiul SBC este dreptunghic rezultă din teorema pe trei perpendiculare (AB este proiecția oblicului SB pe planul bazei. Deoarece AB este perpendicular pe BC prin condiție, atunci SB este și perpendicular pe BC ).

Unghiul dintre fața laterală SBC și bază în acest caz este unghiul ABS.

Aria suprafeței laterale este egală cu suma ariilor triunghiurilor dreptunghiulare:

Întrucât în ​​acest caz

Dacă baza piramidei este un triunghi isoscel

În acest caz, unghiul dintre planul feței laterale BCS și planul bazei este unghiul AFS, unde AF este altitudinea, mediana și bisectoarea triunghiului isoscel ABC.

În mod similar - dacă la baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC.

Dacă baza piramidei este un paralelogram

În acest caz, baza piramidei este o proiecție ortogonală a fețelor laterale care nu sunt perpendiculare pe bază.

Dacă împărțim baza în două triunghiuri, atunci

unde α și β sunt, respectiv, unghiurile dintre planurile ADS și CDS și planul de bază.

Dacă BF și BK sunt înălțimile paralelogramului, atunci unghiul BFS este unghiul de înclinare al feței laterale CDS față de planul de bază, iar unghiul BKS este unghiul de înclinare al feței ADS.

(desenul este realizat pentru cazul când B este un unghi obtuz).

Dacă baza piramidei este romb ABCD, atunci unghiurile BFS și BKS sunt egale. Triunghiurile ABS și CBS, precum și ADS și CDS sunt de asemenea egale în acest caz.

Dacă baza piramidei este un dreptunghi

În acest caz, unghiul dintre planul feței laterale SAD și planul bazei este unghiul SAB,

iar unghiul dintre planul feței laterale SCD și planul bazei este unghiul SCB

(prin teorema celor trei perpendiculare).