În acest articol, vom lua în considerare modalități de a determina distanța de la un punct la un punct teoretic și pe exemplul unor sarcini specifice. Să începem cu câteva definiții.

Definiția 1

Distanța dintre puncte- aceasta este lungimea segmentului care le leaga, la scara existenta. Este necesar să setați scara pentru a avea o unitate de lungime pentru măsură. Prin urmare, practic problema găsirii distanței dintre puncte este rezolvată folosind coordonatele acestora pe linia de coordonate, în plan de coordonate sau spațiu tridimensional.

Date inițiale: dreapta de coordonate O x și un punct arbitrar A aflat pe ea. Un număr real este inerent în orice punct al dreptei: să fie acesta un anumit număr pentru punctul A xA, este coordonata punctului A.

În general, putem spune că estimarea lungimii unui anumit segment are loc în comparație cu segmentul luat ca unitate de lungime pe o scară dată.

Dacă punctului A corespunde unui număr real întreg, având deoparte succesiv de la punctul O la un punct de-a lungul unei linii drepte O A segmente - unități de lungime, putem determina lungimea segmentului O A prin numărul total de segmente unitare în așteptare.

De exemplu, punctul A corespunde cu numărul 3 - pentru a ajunge la el din punctul O, va fi necesar să puneți deoparte trei segmente unitare. Dacă punctul A are o coordonată de - 4, segmentele individuale sunt reprezentate într-un mod similar, dar într-o direcție diferită, negativă. Astfel, în primul caz, distanța O A este 3; în al doilea caz, O A \u003d 4.

Dacă punctul A are un număr rațional ca coordonată, atunci de la origine (punctul O) lăsăm deoparte un număr întreg de segmente de unitate și apoi partea necesară. Dar din punct de vedere geometric nu este întotdeauna posibil să se facă o măsurătoare. De exemplu, pare dificil să lași deoparte fracția directă de coordonate 4 111 .

În modul de mai sus, este complet imposibil să amâni un număr irațional pe o linie dreaptă. De exemplu, când coordonata punctului A este 11 . În acest caz, este posibil să se îndrepte spre abstractizare: dacă coordonata dată a punctului A este mai mare decât zero, atunci O A \u003d x A (numărul este luat ca distanță); dacă coordonata este mai mică decât zero, atunci O A = - x A . În general, aceste afirmații sunt adevărate pentru orice număr real x A .

Rezumat: distanța de la origine la punct, care corespunde unui număr real pe linia de coordonate, este egală cu:

• 0 dacă punctul este același cu originea;

• x A dacă x A > 0 ;

• - x A dacă x A< 0 .

În acest caz, este evident că lungimea segmentului în sine nu poate fi negativă, prin urmare, folosind semnul modulului, scriem distanța de la punctul O la punctul A cu coordonatele x A: O A = x A

Afirmația corectă ar fi: distanța de la un punct la altul va fi egală cu modulul diferenței de coordonate. Acestea. pentru punctele A și B situate pe aceeași linie de coordonate în orice locație și având, respectiv, coordonatele x Ași x B: A B = x B - x A .

Date inițiale: punctele A și B situate pe un plan în sistem dreptunghiular coordonatele O x y cu coordonatele date: A (x A , y A) și B (x B , y B) .

Să desenăm perpendiculare pe axele de coordonate O x și O y prin punctele A și B și să obținem ca rezultat punctele de proiecție: A x , A y , B x , B y . Pe baza locației punctelor A și B, sunt posibile următoarele opțiuni:

Dacă punctele A și B coincid, atunci distanța dintre ele este zero;

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O x (axa absciselor), atunci punctele și coincid și | A B | = | A y B y | . Deoarece distanța dintre puncte este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele lor, atunci A y B y = y B - y A , și, prin urmare, A B = A y B y = y B - y A .

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O y (axa y) - prin analogie cu paragraful anterior: A B = A x B x = x B - x A

Dacă punctele A și B nu se află pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, găsim distanța dintre ele derivând formula de calcul:

Vedem că triunghiul A B C este dreptunghic prin construcție. În acest caz, A C = A x B x și B C = A y B y . Folosind teorema lui Pitagora, compunem egalitatea: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , iar apoi o transformam: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Să facem o concluzie din rezultatul obținut: distanța de la punctul A la punctul B din plan este determinată prin calcul folosind formula folosind coordonatele acestor puncte

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula rezultată confirmă și afirmațiile formate anterior pentru cazurile de coincidență a punctelor sau situațiile în care punctele se află pe drepte perpendiculare pe axe. Deci, pentru cazul coincidenței punctelor A și B, egalitatea va fi adevărată: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pentru situația în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pentru cazul în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Date inițiale: sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z cu puncte arbitrare situate pe el cu coordonatele date A (x A , y A , z A) și B (x B , y B , z B) . Este necesar să se determine distanța dintre aceste puncte.

Luați în considerare cazul general când punctele A și B nu se află într-un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. Desenați prin punctele A și B plane perpendiculare pe axele de coordonate și obțineți punctele de proiecție corespunzătoare: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Distanța dintre punctele A și B este diagonala casetei rezultate. Conform construcției măsurătorii acestei casete: A x B x , A y B y și A z B z

Din cursul geometriei se știe că pătratul diagonalei unui paralelipiped este egală cu suma pătrate ale măsurătorilor sale. Pe baza acestei afirmații, obținem egalitatea: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Folosind concluziile obținute mai devreme, scriem următoarele:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Să transformăm expresia:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formula pentru determinarea distantei dintre punctele din spatiu va arata asa:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula rezultată este valabilă și pentru cazurile în care:

Punctele se potrivesc;

Ele se află pe aceeași axă de coordonate sau pe o linie dreaptă paralelă cu una dintre axele de coordonate.

Exemple de rezolvare a problemelor pentru găsirea distanței dintre puncte

Exemplul 1

Date inițiale: sunt date o linie de coordonate și puncte care se află pe ea cu coordonatele date A (1 - 2) și B (11 + 2). Este necesar să se găsească distanța de la punctul de referință O la punctul A și între punctele A și B.

Soluţie

1. Distanța de la punctul de referință la punct este egală cu modulul coordonatei acestui punct, respectiv O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Distanța dintre punctele A și B este definită ca modulul diferenței dintre coordonatele acestor puncte: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Răspuns: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemplul 2

Date inițiale: dat un sistem de coordonate dreptunghiular și două puncte situate pe acesta A (1 , - 1) și B (λ + 1 , 3) ​​​​. λ este un număr real. Este necesar să găsiți toate valorile acestui număr pentru care distanța A B va fi egală cu 5.

Soluţie

Pentru a afla distanța dintre punctele A și B, trebuie să utilizați formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Înlocuind valorile reale ale coordonatelor, obținem: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Și, de asemenea, folosim condiția existentă ca A B = 5 și atunci egalitatea va fi adevărată:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Răspuns: A B \u003d 5 dacă λ \u003d ± 3.

Exemplul 3

Date inițiale: un spațiu tridimensional într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z și punctele A (1 , 2 , 3) ​​​​și B - 7 , - 2 , 4 care se află în el.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, folosim formula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Înlocuind valorile reale, obținem: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Raspuns: | A B | = 9

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Distanța dintre punctele de pe linia de coordonate - clasa 6.

Formula pentru găsirea distanței dintre punctele unei linii de coordonate

Algoritm pentru găsirea coordonatelor unui punct - mijlocul unui segment

Mulțumesc colegilor de pe Internet, al căror material l-am folosit în această prezentare!

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările slide-urilor:

Distanța dintre punctele de pe linia de coordonate x 0 1 A B AB \u003d ρ (A, B)

Distanța dintre punctele de pe o linie de coordonate Scopul lecției: - Găsiți o modalitate (formulă, regulă) de a găsi distanța dintre punctele de pe o linie de coordonate. - Învață să găsești distanța dintre punctele de pe o linie de coordonate folosind regula găsită.

1. Numărarea orală 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Rezolvați oral sarcina folosind linia de coordonate: câte numere întregi sunt cuprinse între numere: a) - 8,9 și 2 b) - 10,4 și - 3,7 c) - 1,2 și 4,6? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 numere pozitive -1 -5 numere negative Distanța de la casă la stadion 6 Distanța de la casă la școală 6 Linia de coordonate

0 1 2 7 -1 -5 Distanța de la stadion la casă 6 Distanța de la școală la casă 6 Aflarea distanței dintre puncte pe linia de coordonate ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 Distanța dintre puncte va fi notat cu litera ρ (rho)

0 1 2 7 -1 -5 Distanța de la stadion la casă 6 Distanța de la școală la casă 6 Aflarea distanței dintre punctele de pe dreapta de coordonate ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; b) = ? | a-b |

Distanța dintre punctele a și b este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele acestor puncte. ρ (a; b)= | a-b | Distanța dintre punctele unei linii de coordonate

Sensul geometric al modulului unui număr real a b a a=b b x x x Distanța dintre două puncte

0 1 2 7 -1 -5 Aflați distanțele dintre punctele de pe linia de coordonate - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Aflați distanțele dintre punctele de pe linia de coordonate - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Ieșire: valori de expresie | a-b | și | b-a | sunt egale pentru orice valori ale lui a și b =

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Distanța dintre punctele dreptei de coordonate

Aflați ρ(x; y) dacă: 1) x = -14, y = -23; ρ(x; y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5,9, y = -6,8; ρ(x; y)=|5, 9 –(– 6,8)|=|5,9+6,8|=| 12,7 |=12,7

Continuați propoziția 1. O dreaptă de coordonate este o dreaptă cu ... 2. Distanța dintre două puncte este ... 3. Numerele opuse- acestea sunt numere, ... 4. Modulul numărului X se numește ... 5. - Comparați valorile expresiilor a - b V b - a trageți o concluzie ... - Comparați valorile ​a expresiilor | a-b | v | b-a | c incheie...

Vintik și Shpuntik merg de-a lungul fasciculului de coordonate. Șurubul este în punctul B(236), Shpuntik este în punctul W(193) Cât de departe sunt Screw și Shpuntik unul de celălalt? ρ(B, W) = 43

Găsiți distanța dintre punctele A (0), B (1) A (2), B (5) A (0), B (- 3) A (- 10), B (1) AB \u003d 1 AB \u003d 3 AB \u003d 3 AB = 11

Aflați distanța dintre punctele A (- 3,5), B (1,4) K (1,8), B (4,3) A (- 10), C (3)

Verificați AB = KV = AC =

C (- 5) C (- 3) Aflați coordonata punctului - mijlocul segmentului BA

Punctele A (–3,25) și B (2,65) sunt marcate pe linia de coordonate. Aflați coordonatele punctului O - punctul de mijloc al segmentului AB. Rezolvare: 1) ρ(А;В)= |–3,25 – 2,65| = |–5,9| \u003d 5,9 2) 5,9: 2 \u003d 2,95 3) -3,25 + 2,95 \u003d - 0,3 sau 2,65 - 2,95 \u003d - 0,3 Răspuns: O (-0, 3)

Punctele С(–5.17) și D(2.33) sunt marcate pe linia de coordonate. Aflați coordonatele punctului A - punctul de mijloc al segmentului CD. Rezolvare: 1) ρ(С; D)= |– 5 , 17 – 2, 33 | = |– 7 , 5 | \u003d 7, 5 2) 7, 5: 2 \u003d 3, 7 5 3) - 5, 17 + 3, 7 5 \u003d - 1, 42 sau 2, 33 - 3, 7 5 \u003d - 1, 42 Răspuns: A ( - 1, 42)

Concluzie: Algoritm pentru găsirea coordonatei punctului - mijlocul segmentului dat: 1. Aflați distanța dintre puncte - capetele segmentului dat = 2. Împărțiți rezultatul-1 la 2 (jumătate din valoare) = c 3. Adăugați rezultatul-2 la coordonatele a sau scădeți rezultatul-2 din coordonatele a + c sau - c 4. Rezultatul-3 este coordonata punctului - mijlocul segmentului dat

Lucrați cu manualul: §19, p.112, A. Nr. 573, 575 V. Nr. 578, 580 Teme pentru acasă: §19, p.112, A. Nr. 574, 576, B. Nr. 579, 581 pregătesc pentru CD-ul „Adunarea și scăderea numerelor raționale. Distanța dintre punctele de pe o linie de coordonate "

Astăzi am învățat... A fost interesant... Mi-am dat seama că... Acum pot... Am învățat... Am reușit... Voi încerca... Am fost surprins... Am vrut să...

§ 1 Regula pentru aflarea distantei dintre punctele unei drepte de coordonate

În această lecție, vom obține o regulă pentru găsirea distanței dintre punctele unei linii de coordonate și, de asemenea, vom învăța cum să găsim lungimea unui segment folosind această regulă.

Să facem sarcina:

Comparați expresii

1. a = 9, b = 5;

2. a = 9, b = -5;

3. a = -9, b = 5;

4. a = -9, b = -5.

Înlocuiți valorile în expresii și găsiți rezultatul:

Modulul diferenței dintre 9 și 5 este modulo 4, modulul lui 4 este 4. Modulul diferenței dintre 5 și 9 este modulo minus 4, modulul lui -4 este 4.

Modulul diferenței dintre 9 și -5 este egal cu modulul 14, modulul 14 este egal cu 14. Modulul diferenței minus 5 și 9 este egal cu modulul -14, modulul este -14=14.

Modulul diferenței minus 9 și 5 este egal cu modulul minus 14, modulul minus 14 este 14. Modulul diferenței 5 și minus 9 este modulo 14, modulul 14 este 14

Modulul diferenței minus 9 și minus 5 este egal cu modulul minus 4, modulul -4 este 4. Modulul diferenței minus 5 și minus 9 este egal cu modulul 4, modulul 4 este (l-9 - (-5)l \u003d l-4l \u003d 4; l -5 - (-9)l = l4l = 4)

În fiecare caz, s-au obținut rezultate egale, prin urmare, putem concluziona:

Valorile expresiilor modulul diferenței a și b și modulul diferenței b și a sunt egale pentru orice valori ale lui a și b.

Încă o sarcină:

Aflați distanța dintre punctele dreptei de coordonate

1.A(9) și B(5)

2.A(9) și B(-5)

Pe linia de coordonate, marcați punctele A(9) și B(5).

Să numărăm numărul de segmente de unitate dintre aceste puncte. Sunt 4, ceea ce înseamnă că distanța dintre punctele A și B este 4. În mod similar, găsim distanța dintre alte două puncte. Marcam punctele A (9) și B (-5) pe linia de coordonate, determinăm distanța dintre aceste puncte de-a lungul liniei de coordonate, distanța este 14.

Comparați rezultatele cu sarcinile anterioare.

Modulul diferenței dintre 9 și 5 este 4, iar distanța dintre punctele cu coordonatele 9 și 5 este tot 4. Modulul diferenței dintre 9 și minus 5 este 14, distanța dintre punctele cu coordonatele 9 și minus. 5 este 14.

Se cere concluzia:

Distanța dintre punctele A(a) și B(b) ale dreptei de coordonate este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele acestor puncte l a - b l.

Mai mult, distanța poate fi găsită și ca modul al diferenței dintre b și a, deoarece numărul de segmente unitare nu se va schimba din punctul din care le numărăm.

§ 2 Regula pentru aflarea lungimii unui segment din coordonatele a doua puncte

Aflați lungimea segmentului CD, dacă pe linia de coordonate С(16), D(8).

Știm că lungimea unui segment este egală cu distanța de la un capăt la celălalt al segmentului, adică. de la punctul C la punctul D pe dreapta de coordonate.

Să folosim regula:

și găsiți modulul diferenței coordonatelor c și d

Deci, lungimea segmentului CD este 8.

Luați în considerare un alt caz:

Să aflăm lungimea segmentului MN, ale cărui coordonate au semne diferite M (20), N (-23).

Înlocuiți valorile

știm că -(-23) = +23

deci modulul diferenței de 20 și minus 23 este egal cu modulul sumei de 20 și 23

Să găsim suma modulelor de coordonate ale segmentului dat:

Valoarea modulului diferenței de coordonate și suma modulelor de coordonate în acest caz s-a dovedit a fi la fel.

Putem concluziona:

Dacă coordonatele a două puncte au semne diferite, atunci distanța dintre puncte este egală cu suma modulelor coordonatelor.

În lecție, ne-am familiarizat cu regula pentru găsirea distanței dintre două puncte ale unei linii de coordonate și am învățat cum să găsim lungimea unui segment folosind această regulă.

Lista literaturii folosite:

1. Matematica. Clasa a VI-a: planuri de lecție pentru manualul de I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // Compilat de L.A. Topilin. – M.: Mnemosyne 2009.
2. Matematica. Clasa a VI-a: manual elevului institutii de invatamant. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovici. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru elevii instituțiilor de învățământ./N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhohov, A.S. Cesnokov, S.I. Schwarzburd. - M.: Mnemosyne, 2013.
4. Manual de matematică - http://lyudmilanik.com.ua
5. Manual pentru studenți în liceu http://shkolo.ru