Sunt date rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formule trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui semiunghi etc.
În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.
Navigare în pagină.
Identități trigonometrice de bază
Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.
Formule turnate
Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea periodicității funcții trigonometrice, proprietatea simetriei, precum și proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi studiate în articol.
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Formule pentru dublu, triplu etc. colţ
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată modul în care funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi .
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formule unghi dublu.
Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.
Formule de reducere
Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
destinatia principala formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice este de a trece la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificare expresii trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Drepturi de autor de către studenți inteligenți
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.
- sigur vor fi sarcini în trigonometrie. Trigonometria este adesea antipatică pentru că trebuie să înghesuie un număr mare de formule dificile pline de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Site-ul a oferit deja o dată sfaturi despre cum să vă amintiți o formulă uitată, folosind exemplul formulelor Euler și Peel.
Și în acest articol vom încerca să arătăm că este suficient să cunoaștem cu fermitate doar cinci dintre cele mai simple formule trigonometrice și să ai despre restul ideea generalași scoate-le pe măsură ce mergi. Este ca și în cazul ADN-ului: desenele complete ale unei ființe vii terminate nu sunt stocate în moleculă. Conține, mai degrabă, instrucțiuni de asamblare din aminoacizii disponibili. Deci in trigonometrie, cunoscand cateva principii generale, vom obtine toate formulele necesare dintr-un mic set dintre cele care trebuie retinute.
Ne vom baza pe următoarele formule:
Din formulele pentru sinus și cosinus ale sumelor, știind că funcția cosinus este pară și că funcția sinus este impară, înlocuind -b cu b, obținem formule pentru diferențe:
- Sinus al diferenței: păcat(a-b) = păcatAcos(-b)+cosApăcat(-b) = păcatAcosb-cosApăcatb
- diferența de cosinus: cos(a-b) = cosAcos(-b)-păcatApăcat(-b) = cosAcosb+păcatApăcatb
Punând a \u003d b în aceleași formule, obținem formulele pentru sinusul și cosinusul unghiurilor duble:
- Sinusul unui unghi dublu: păcat2a = păcat(a+a) = păcatAcosA+cosApăcatA = 2păcatAcosA
- Cosinusul unui unghi dublu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-păcatApăcatA = cos2a-păcat2a
Formulele pentru alte unghiuri multiple se obțin în mod similar:
- Sinusul unui unghi triplu: păcat3a = păcat(2a+a) = păcat2acosA+cos2apăcatA = (2păcatAcosA)cosA+(cos2a-păcat2a)păcatA = 2păcatAcos2a+păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatA(1-păcat2a)-păcat 3 a = 3 păcatA-4păcat 3a
- Cosinusul unui unghi triplu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-păcat2apăcatA = (cos2a-păcat2a)cosA-(2păcatAcosA)păcatA = cos 3a- păcat2acosA-2păcat2acosA = cos 3a-3 păcat2acosA = cos 3 a-3(1- cos2a)cosA = 4cos 3a-3 cosA
Înainte de a trece mai departe, să luăm în considerare o problemă.
Dat: unghiul este acut.
Găsiți-i cosinusul dacă
Soluție dată de un elev:
pentru că , apoi păcatA= 3,a cosA = 4.
(Din umor matematic)
Deci, definiția tangentei conectează această funcție atât cu sinus, cât și cu cosinus. Dar puteți obține o formulă care oferă legătura tangentei doar cu cosinusul. Pentru a o deriva, luăm principalul identitate trigonometrică: păcat 2 A+cos 2 A= 1 și împărțiți-l la cos 2 A. Primim:
Deci soluția la această problemă ar fi:
(Deoarece unghiul este acut, semnul + este luat la extragerea rădăcinii)
Formula pentru tangenta sumei este o alta care este greu de retinut. Să-l scoatem astfel:
ieșire imediată și
Din formula cosinus pentru un unghi dublu, puteți obține formulele sinus și cosinus pentru o jumătate de unghi. Pentru a face acest lucru, în partea stângă a formulei cosinus cu unghi dublu:
cos2
A = cos 2
A-păcat 2
A
adăugăm o unitate, iar în dreapta - o unitate trigonometrică, i.e. suma pătratelor sinusului și cosinusului.
cos2a+1 = cos2a-păcat2a+cos2a+păcat2a
2cos 2
A = cos2
A+1
exprimând cosA prin cos2
Ași efectuând o schimbare de variabile, obținem:
Semnul se ia în funcție de cadran.
În mod similar, scăzând unul din partea stângă a egalității și suma pătratelor sinusului și cosinusului din partea dreaptă, obținem:
cos2a-1 = cos2a-păcat2a-cos2a-păcat2a
2păcat 2
A = 1-cos2
A
Și, în sfârșit, pentru a converti suma funcțiilor trigonometrice într-un produs, folosim următorul truc. Să presupunem că trebuie să reprezentăm suma sinusurilor ca produs păcatA+păcatb. Să introducem variabilele x și y astfel încât a = x+y, b+x-y. Apoi
păcatA+păcatb = păcat(x+y)+ păcat(x-y) = păcat X cos y+ cos X păcat y+ păcat X cos y- cos X păcat y=2 păcat X cos y. Să exprimăm acum x și y în termenii a și b.
Deoarece a = x+y, b = x-y, atunci . De aceea
Vă puteți retrage imediat
- Formula de partiție produse de sinus și cosinusîn Cantitate: păcatAcosb = 0.5(păcat(a+b)+păcat(a-b))
Vă recomandăm să practicați și să obțineți formule pentru conversia produsului diferenței sinusurilor și suma și diferența cosinusurilor într-un produs, precum și pentru împărțirea produselor sinusurilor și cosinusurilor într-o sumă. După ce ați făcut aceste exerciții, veți stăpâni temeinic abilitatea de a deriva formule trigonometrice și nu vă veți pierde nici măcar în cel mai dificil control, olimpiada sau testare.
Începem studiul nostru de trigonometrie cu un triunghi dreptunghic. Să definim care sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.
Amintește-ți asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate din colțul desfășurat.
Colt ascutit- sub 90 de grade.
Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „blunt” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)
Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat. Rețineți că latura opusă colțului este notă cu aceeași literă, doar mică. Deci, se notează latura opusă unghiului A.
Un unghi este notat cu litera greacă corespunzătoare.
Ipotenuză Un triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.
Picioarele- laturi opuse colțurilor ascuțite.
Piciorul opus colțului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe o parte a colțului, se numește adiacent.
Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:
Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul opus și cel adiacent:
O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:
Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul adiacent și opusul (sau, echivalent, raportul dintre cosinus și sinus):
Acordați atenție rapoartelor de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, care sunt date mai jos. Ne vor fi de folos în rezolvarea problemelor.
Să demonstrăm unele dintre ele.
Bine, am dat definiții și formule scrise. Dar de ce avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?
Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este.
Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .
Se pare că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând două laturi dintr-un triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Deci, pentru unghiuri - raportul lor, pentru laturi - propriul lor. Dar ce să faci dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc un unghi (cu excepția unuia drept) și o latură, dar trebuie să găsești alte laturi?
Asta s-au confruntat oamenii în trecut, făcând hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.
Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc și funcțiile trigonometrice ale unghiului- dați raportul dintre petreceriși colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.
De asemenea, vom desena un tabel de valori sinus, cosinus, tangentă și cotangentă pentru unghiurile „bune” de la până.
Observați cele două liniuțe roșii din tabel. Pentru valorile corespunzătoare ale unghiurilor, tangenta și cotangenta nu există.
Să analizăm câteva probleme de trigonometrie din sarcinile Băncii de FIPI.
1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .
Problema este rezolvată în patru secunde.
Pentru că , .
2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .
Să aflăm după teorema lui Pitagora.
Problema rezolvata.
Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și . Memorează pe de rost rapoartele de bază pentru ei!
Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.
Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.
Ne-am gândit la probleme de rezolvat triunghiuri dreptunghiulare- adică pentru a găsi laturi sau unghiuri necunoscute. Dar asta nu este tot! LA UTILIZAȚI opțiuniîn matematică, există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului exterior al triunghiului. Mai multe despre asta în următorul articol.
Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor pentru două unghiuri α și β vă permit să treceți de la suma unghiurilor indicate la produsul unghiurilor α + β 2 și α - β 2 . Observăm imediat că nu trebuie să confundați formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor cu formulele pentru sinusuri și cosinusuri ale sumei și diferenței. Mai jos listăm aceste formule, dăm derivarea lor și arătăm exemple de aplicare pentru probleme specifice.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formule pentru suma și diferența de sinusuri și cosinusuri
Să scriem cum arată formulele de sumă și diferență pentru sinusuri și cosinusuri
Formule de sumă și diferență pentru sinusuri
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Formule de sumă și diferență pentru cosinus
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2
Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β. Unghiurile α + β 2 și α - β 2 se numesc, respectiv, semisuma și jumătate diferența unghiurilor alfa și beta. Oferim o formulare pentru fiecare formulă.
Definițiile formulelor de sumă și diferență pentru sinusuri și cosinusuri
Suma sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei acestor unghiuri și cosinusul semidiferenței.
Diferența sinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semidiferenței acestor unghiuri și cosinusul semisumei.
Suma cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre cosinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri.
Diferența cosinusurilor a două unghiuri este egal cu dublul produsului dintre sinusul semisumei și cosinusul semidiferenței acestor unghiuri, luate cu semn negativ.
Derivarea formulelor pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor
Pentru a obține formule pentru suma și diferența sinusului și cosinusului a două unghiuri, se folosesc formule de adunare. Le prezentăm mai jos
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
De asemenea, reprezentăm unghiurile în sine ca sumă a semisumelor și a semidiferențelor.
α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Se trece direct la derivarea formulelor de sumă și diferență pentru sin și cos.
Derivarea formulei pentru suma sinusurilor
În suma sin α + sin β, înlocuim α și β cu expresiile pentru aceste unghiuri date mai sus. obține
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Acum aplicăm formula de adunare la prima expresie și formula sinusului diferențelor de unghi la a doua (vezi formulele de mai sus)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Pașii pentru derivarea restului formulelor sunt similare.
Derivarea formulei pentru diferența de sinusuri
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Derivarea formulei pentru suma cosinusurilor
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Derivarea formulei diferenței cosinus
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Exemple de rezolvare a problemelor practice
Pentru început, vom verifica una dintre formule prin înlocuirea unor valori specifice unghiurilor în ea. Fie α = π 2 , β = π 6 . Să calculăm valoarea sumei sinusurilor acestor unghiuri. În primul rând, folosim tabelul cu valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice, apoi aplicăm formula pentru suma sinusurilor.
Exemplul 1. Verificarea formulei pentru suma sinusurilor a două unghiuri
α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2
Să luăm acum în considerare cazul în care valorile unghiurilor diferă de valorile de bază prezentate în tabel. Fie α = 165°, β = 75°. Să calculăm valoarea diferenței dintre sinusurile acestor unghiuri.
Exemplul 2. Aplicarea formulei diferenței sinusurilor
α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Folosind formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor, puteți trece de la suma sau diferența la produsul funcțiilor trigonometrice. Adesea, aceste formule sunt numite formule pentru trecerea de la sumă la produs. Formulele pentru suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și în conversia expresiilor trigonometrice.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
