Când efectuați transformări trigonometrice, urmați aceste sfaturi:

1. Nu încercați să veniți imediat cu o schemă pentru rezolvarea unui exemplu de la început până la sfârșit.
2. Nu încercați să convertiți întregul exemplu deodată. Înaintați cu pași mici.
3. Amintiți-vă că, pe lângă formulele trigonometrice din trigonometrie, puteți aplica în continuare toate transformările algebrice corecte (paranteze, fracții reducătoare, formule de înmulțire abreviate și așa mai departe).
4. Credeți că totul va fi bine.

Formule trigonometrice de bază

Cele mai multe formule din trigonometrie sunt adesea aplicate atât de la dreapta la stânga, cât și de la stânga la dreapta, așa că trebuie să înveți aceste formule atât de bine încât să poți aplica cu ușurință o formulă în ambele direcții. Pentru început, notăm definițiile funcții trigonometrice. Să fie un triunghi dreptunghic:

Atunci, definiția sinusului este:

Definiția cosinusului:

Definiția tangentei:

Definiția cotangentei:

Identitatea trigonometrică de bază:

Cele mai simple corolare din identitatea trigonometrică de bază:

Formule cu unghi dublu. Sinusul unui unghi dublu:

Cosinusul unui unghi dublu:

Tangenta cu unghi dublu:

Cotangentă cu unghi dublu:

Formule trigonometrice suplimentare

Formule trigonometrice de adunare. Sinusul sumei:

Sinusul diferentei:

Cosinusul sumei:

Cosinusul diferenței:

Tangenta sumei:

Diferența tangentă:

Cotangenta sumei:

Diferența cotangentă:

Formule trigonometrice pentru conversia unei sume într-un produs. Suma sinusurilor:

Diferența Sine:

Suma cosinusurilor:

Diferența de cosinus:

suma tangentelor:

Diferența de tangentă:

Suma cotangentelor:

Diferența cotangentă:

Formule trigonometrice pentru transformarea unui produs într-o sumă. Produsul sinusurilor:

Produsul dintre sinus și cosinus:

Produsul cosinusului:

Formule de reducere a gradului.

Formule cu jumătate de unghi.

Formule de reducere trigonometrică

Funcția cosinus se numește cofuncție funcția sinus și invers. În mod similar, funcțiile tangentă și cotangentă sunt cofuncții. Formulele de reducere pot fi formulate după următoarea regulă:

• Dacă în formula de reducere unghiul este scăzut (adăugat) din 90 de grade sau 270 de grade, atunci funcția reductibilă se schimbă într-o cofuncție;
• Dacă în formula de reducere unghiul este scăzut (adăugat) din 180 de grade sau 360 de grade, atunci denumirea funcției reduse este păstrată;
• În acest caz, funcția redusă este precedată de semnul pe care funcția redusă (adică originală) îl are în sfertul corespunzător, dacă considerăm unghiul scăzut (adăugat) ca fiind acut.

Formule turnate sunt date sub forma unui tabel:

De cerc trigonometric este ușor să determinați valorile tabelare ale funcțiilor trigonometrice:

Ecuații trigonometrice

Pentru a rezolva o anumită ecuație trigonometrică, aceasta trebuie redusă la una dintre cele mai simple ecuații trigonometrice, care va fi discutată mai jos. Pentru asta:

• Poate fi aplicat formule trigonometrice de mai sus. În acest caz, nu trebuie să încercați să convertiți întregul exemplu dintr-o dată, dar trebuie să avansați în pași mici.
• Nu trebuie să uităm de posibilitatea transformării unor expresii cu ajutorul metodelor algebrice, i.e. de exemplu, puneți ceva din paranteză sau, dimpotrivă, deschideți parantezele, reduceți fracția, aplicați formula de înmulțire prescurtată, reduceți fracțiile la un numitor comun și așa mai departe.
• Când rezolvați ecuații trigonometrice, puteți aplica metoda de grupare. Trebuie amintit că, pentru ca produsul mai multor factori să fie egal cu zero, este suficient ca oricare dintre ei să fie egal cu zero și restul existau.
• Punerea în aplicare metoda de înlocuire a variabilei, ca de obicei, ecuația de după introducerea înlocuirii ar trebui să devină mai simplă și să nu conțină variabila inițială. De asemenea, trebuie să vă amintiți să faceți înlocuirea inversă.
• Amintiți-vă că ecuațiile omogene apar adesea și în trigonometrie.
• Când deschideți module sau rezolvați ecuații iraționale cu funcții trigonometrice, trebuie să vă amintiți și să țineți cont de toate subtilitățile rezolvării ecuațiilor corespunzătoare cu funcții obișnuite.
• Amintiți-vă despre ODZ (în ecuațiile trigonometrice, restricțiile privind ODZ se rezumă practic la faptul că nu puteți împărți la zero, dar nu uitați de alte restricții, în special despre pozitivitatea expresiilor în puteri raționale și sub rădăcini de grade pare ). De asemenea, amintiți-vă că valorile sinus și cosinus pot fi doar între minus unu și plus unu, inclusiv.

Principalul lucru este, dacă nu știți ce să faceți, faceți măcar ceva, în timp ce principalul lucru este să utilizați corect formulele trigonometrice. Dacă ceea ce obții devine din ce în ce mai bun, atunci continuă cu soluția, iar dacă se înrăutățește, atunci întoarce-te la început și încearcă să aplici alte formule, așa că fă până când dai de soluția corectă.

Formule pentru rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Pentru sinus, există două forme echivalente de scriere a soluției:

Pentru alte funcții trigonometrice, notația este unică. Pentru cosinus:

Pentru tangentă:

Pentru cotangentă:

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice în unele cazuri speciale:

Învață toate formulele și legile din fizică și formulele și metodele din matematică. De fapt, este și foarte simplu să faci asta, există doar aproximativ 200 de formule necesare în fizică și chiar puțin mai puțin în matematică. La fiecare dintre aceste materii există aproximativ o duzină de metode standard de rezolvare a problemelor de un nivel de bază de complexitate, care pot fi de asemenea învățate și, astfel, complet automat și fără dificultate, rezolvă majoritatea transformării digitale la momentul potrivit. După aceea, va trebui să te gândești doar la cele mai dificile sarcini.

Participați la toate cele trei etape ale testării repetiții la fizică și matematică. Fiecare RT poate fi vizitat de două ori pentru a rezolva ambele opțiuni. Din nou, pe DT, pe lângă capacitatea de a rezolva rapid și eficient probleme și cunoașterea formulelor și metodelor, este, de asemenea, necesar să fiți capabil să planificați corect timpul, să distribuiți forțele și, cel mai important, să completați corect formularul de răspuns. , fără a confunda nici numărul de răspunsuri și sarcini, nici propriul nume de familie. De asemenea, în timpul RT, este important să te obișnuiești cu stilul de a pune întrebări în sarcini, care poate părea foarte neobișnuit pentru o persoană nepregătită pe DT.

Implementarea cu succes, sârguincioasă și responsabilă a acestor trei puncte, precum și studiul responsabil al testelor finale de pregătire, vă vor permite să arătați un rezultat excelent la CT, maximul de care sunteți capabil.

Ați găsit o eroare?

Dacă, după cum vi se pare, ați găsit o eroare în materialele de instruire, atunci vă rugăm să scrieți despre aceasta prin e-mail (). În scrisoare, indicați subiectul (fizică sau matematică), numele sau numărul temei sau testului, numărul sarcinii sau locul din text (pagină) în care, în opinia dumneavoastră, există o eroare. De asemenea, descrieți care este presupusa eroare. Scrisoarea ta nu va trece neobservată, eroarea fie va fi corectată, fie ți se va explica de ce nu este o greșeală.

Sunt date rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.

Navigare în pagină.

Identități trigonometrice de bază

Principal identități trigonometrice stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.

Formule turnate

Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Rațiunea acestor formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi studiate în articol.

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Formule pentru dublu, triplu etc. colţ

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată modul în care funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi .

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.

Formule de reducere

Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

destinatia principala formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Substituție trigonometrică universală

Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor se numește substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.

Bibliografie.

• Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Trigonometrie, formule trigonometrice

Sunt date relațiile dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.

În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.

Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.

Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicații, consultați articolul identități trigonometrice de bază.

Începutul paginii

Formule turnate

Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.

Motivul pentru aceste formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi găsite în articolul despre formulele de reducere.

Începutul paginii

Formule de adunare

Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.

Mai mult informatii detaliate este cuprinsă în articolul de formule de adiție.

Începutul paginii

Formule pentru dublu, triplu etc. colţ

Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată modul în care funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.

Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi.

Începutul paginii

Formule cu jumătate de unghi

Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.

Derivarea lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articolul formulele semiunghiului.

Începutul paginii

Formule de reducere

Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.

Începutul paginii

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

destinatia principala formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.

Pentru derivarea formulelor, precum și exemple de aplicare a acestora, consultați formulele articolului pentru suma și diferența dintre sinus și cosinus.

Începutul paginii

Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus

Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Începutul paginii

Substituție trigonometrică universală

Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor se numește substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.

Pentru mai multe informații, consultați articolul substituție trigonometrică universală.

Începutul paginii

• Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. — M.: Iluminismul, 1993. — 351 p.: ill. — ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Formule trigonometrice- sunt cele mai necesare formule în trigonometrie, necesare pentru exprimarea funcţiilor trigonometrice care se execută pentru orice valoare a argumentului.

Formule de adunare.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)

ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Formule cu unghi dublu.

cos 2α = cos²α — păcat²α

cos 2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2sin²α

păcatul 2α = 2sinα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2ctgα )

Formule cu unghi triplu.

sin3α = 3sinα - 4sin³α

cos 3α = 4cos³α — 3cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formule cu jumătate de unghi.

Formule de turnare.

Funcție / unghi în rad.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α
Funcție / unghi în °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Descrierea detaliată a formulelor de reducere.

Formule trigonometrice de bază.

Identitatea trigonometrică de bază:

sin2α+cos2α=1

Această identitate este rezultatul aplicării teoremei lui Pitagora unui triunghi dintr-un cerc trigonometric unitar.

Relația dintre cosinus și tangentă:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 sau sec 2 α−tan 2 α=1.

Această formulă este o consecință a identității trigonometrice de bază și se obține din ea prin împărțirea părților din stânga și din dreapta la cos2α. Se presupune că α≠π/2+πn,n∈Z.

Relația dintre sinus și cotangentă:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 sau csc 2 α−cot 2 α=1.

Această formulă decurge și din identitatea trigonometrică de bază (obținută din ea prin împărțirea părților din stânga și din dreapta la sin2α. Aici se presupune că α≠πn,n∈Z.

Definiția tangentei:

tanα=sinα/cosα,

Unde α≠π/2+πn,n∈Z.

Definiția cotangentei:

cotα=cosα/sinα,

Unde α≠πn,n∈Z.

Consecința din definițiile tangentei și cotangentei:

tanα⋅ cotα=1,

Unde α≠πn/2,n∈Z.

Definiția secantei:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Definiție cosecant:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Inegalități trigonometrice.

Cele mai simple inegalități trigonometrice:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Patratele functiilor trigonometrice.

Formule de cuburi de funcții trigonometrice.

Trigonometrie Matematică. Trigonometrie. Formule. Geometrie. Teorie

Am luat în considerare cele mai de bază funcții trigonometrice (nu vă lăsați păcăliți, pe lângă sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, există o mulțime de alte funcții, dar mai multe despre ele mai târziu), dar deocamdată vom lua în considerare câteva dintre proprietăţile de bază ale funcţiilor deja studiate.

Funcții trigonometrice ale unui argument numeric

Oricare ar fi numărul real t, i se poate atribui un număr definit în mod unic sin(t).

Adevărat, regula corespondenței este destul de complicată și constă în următoarele.

Pentru a găsi valoarea sin (t) cu numărul t, aveți nevoie de:

1. plasați cercul numeric pe plan de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea, iar punctul de plecare A al cercului lovește punctul (1; 0);
2. găsiți un punct pe cerc corespunzător numărului t;
3. găsiți ordonata acestui punct.
4. această ordonată este păcatul dorit(t).

De fapt, vorbim despre funcția s = sin(t), unde t este orice număr real. Știm cum să calculăm unele valori ale acestei funcții (de exemplu, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), etc.) , cunoaștem unele dintre proprietățile sale.

Conectarea funcțiilor trigonometrice

După cum, sper, ghiciți că toate funcțiile trigonometrice sunt interconectate și chiar și fără a cunoaște valoarea uneia, aceasta poate fi găsită prin cealaltă.

De exemplu, cea mai importantă formulă a tuturor trigonometriei este identitate trigonometrică de bază:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

După cum puteți vedea, cunoscând valoarea sinusului, puteți găsi valoarea cosinusului și invers.

Formule de trigonometrie

De asemenea, formule foarte comune care relaționează sinusul și cosinusul cu tangenta și cotangenta:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Din ultimele două formule mai poate fi dedusă o identitate trigometrică, conectând de data aceasta tangenta și cotangenta:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Acum să vedem cum funcționează aceste formule în practică.

EXEMPLU 1. Simplificați expresia: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) În primul rând scriem tangenta, păstrând pătratul:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Acum introducem totul sub un numitor comun și obținem:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

Și în cele din urmă, după cum vedem, numărătorul poate fi redus la unu conform identității trigonometrice de bază, ca rezultat obținem: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Cu cotangenta, efectuam toate aceleasi actiuni, doar numitorul nu va mai avea cosinus, ci sinus, iar raspunsul va iesi astfel:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

După ce am finalizat această sarcină, am obținut încă două formule foarte importante care conectează funcțiile noastre, pe care trebuie să le cunoașteți ca dosul mâinii:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Trebuie să cunoașteți pe de rost toate formulele prezentate în cadru, altfel studiul suplimentar al trigonometriei fără ele este pur și simplu imposibil. Pe viitor vor fi mai multe formule și vor fi multe și vă asigur că cu siguranță le veți aminti multă vreme pe toate, sau poate nu le veți aminti, dar TOȚI ar trebui să știe aceste șase piese !

Un tabel complet cu toate formulele de reducere trigonometrice de bază și rare.

Aici puteți găsi formule trigonometrice într-o formă convenabilă. Iar formulele de reducere trigonometrică pot fi vizualizate pe altă pagină.

Identități trigonometrice de bază

sunt expresii matematice pentru funcții trigonometrice care sunt executate pentru fiecare valoare a argumentului.

• sin² α + cos² α = 1
• tgα ctgα = 1
• tan α = sin α ÷ cos α
• ctg α = cos α ÷ sin α
• 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Formule de adunare

• sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
• sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
• cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
• cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
• tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
• tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
• ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
• ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org

Formule cu unghi dublu

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos2α = 2cos²α - 1
• cos 2α = 1 - 2sin² α
• sin2α = 2sinα cosα
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Formule cu unghi triplu

• sin3α = 3sinα - 4sin³α
• cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
• tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
• ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formule de reducere

• sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
• sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
• cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
• cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
• sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
• sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Trecerea de la produs la sumă

• sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
• sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
• cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Am enumerat destul de multe formule trigonometrice, dar dacă lipsește ceva, scrieți.

Toate pentru studiu » Matematică la școală » Formule trigonometrice - cheat sheet

Pentru a marca o pagină, apăsați Ctrl+D.

Grupați cu o grămadă Informatii utile(semnați dacă trebuie să susțineți examenul sau examenul):

Întreaga bază de date de rezumate, referate, teze și altele materiale didactice oferit gratuit. Folosind materialele site-ului confirmați că ați citit acordul de utilizare și sunteți de acord cu toate clauzele acestuia în totalitate.

se consideră în detaliu transformarea grupurilor de soluţii generale ale ecuaţiilor trigonometrice. A treia secțiune tratează ecuațiile trigonometrice non-standard, ale căror soluții se bazează pe abordarea funcțională.

Toate formulele de trigonometrie (ecuațiile): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

A patra secțiune tratează inegalitățile trigonometrice. Metodele de rezolvare a inegalităților trigonometrice elementare sunt luate în considerare în detaliu, atât pe cercul unitar, cât și pe ...

… unghi 1800-α= de-a lungul ipotenuzei și unghiului ascuțit: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Deci, la cursul de geometrie scolara, conceptul de functie trigonometrica este introdus prin mijloace geometrice datorita disponibilitatii lor mai mari. Schema metodologică tradițională pentru studierea funcțiilor trigonometrice este următoarea: 1) în primul rând, funcțiile trigonometrice sunt determinate pentru unghi ascutit dreptunghiular...

… Teme pentru acasă 19(3,6), 20(2,4) Stabilirea obiectivelor Actualizarea cunoștințelor de bază Proprietățile funcțiilor trigonometrice Formule de reducere material nou Valorile funcțiilor trigonometrice Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice Consolidarea Rezolvarea problemelor Scopul lecției: astăzi vom calcula valorile funcțiilor trigonometrice și vom rezolva...

... ipoteza formulată trebuia să rezolve următoarele sarcini: 1. Să identifice rolul ecuațiilor și inegalităților trigonometrice în predarea matematicii; 2. Să elaboreze o metodologie de formare a deprinderilor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, vizând dezvoltarea reprezentărilor trigonometrice; 3. Verificați experimental eficacitatea metodologiei dezvoltate. Pentru solutii...

Formule trigonometrice

Formule trigonometrice

Vă prezentăm atenției diverse formule legate de trigonometrie.

(8) Cotangentă cu unghi dublu

ctg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)

(9) Sinusul unui unghi triplu sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Cosinusul unui unghi triplu cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Cosinusul sumei/diferenței cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Sinusul sumei/diferenței sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Tangenta sumă/diferență (14) Cotangentă sumă/diferență (15) Produsul sinusurilor sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Produsul cosinusurilor cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Produsul sinusului și cosinusului sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Suma/diferența sinusurilor sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Suma cosinusurilor cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) diferența de cosinus cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Suma/diferența tangentelor (22) Formula de reducere a sinusului sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Formula de reducere a cosinusului cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Suma/diferența de sinus și cosinus (25) Suma/diferența de sinus și cosinus cu coeficienți (26) Raportul de bază dintre arcsinus și arccosinus arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Relația de bază dintre arctangent și arccotangent arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Formule generale

- versiune tipărită

Definiții Sinusul unghiului α (desemnare păcat(α)) este raportul catetului opus unghiului α față de ipotenuză. Cosinusul unghiului α (desemnare cos(α)) este raportul catetului adiacent unghiului α la ipotenuză. Tangenta unghiului α (desemnare tg(α)) este raportul catetului opus unghiului α față de catetul adiacent. O definiție echivalentă este raportul dintre sinusul unui unghi α și cosinusul aceluiași unghi, sin(α)/cos(α). Cotangenta unghiului α (desemnare ctg(α)) este raportul dintre latura adiacentă unghiului α și latura opusă. O definiție echivalentă este raportul dintre cosinusul unghiului α și sinusul aceluiași unghi - cos(α)/sin(α). Alte funcții trigonometrice: secantă — sec(α) = 1/cos(α); cosecant cosec(α) = 1/sin(α). Notă În mod specific nu scriem semnul * (înmulțire), - unde două funcții sunt scrise pe rând, fără spațiu, este subînțeles. Cheie Pentru a obține formule pentru cosinusul, sinusul, tangenta sau cotangenta unghiurilor multiple (4+), este suficient să le scrieți conform formulelor respectiv. cosinus, sinus, tangentă sau cotangentă a sumei, sau reduce la cazurile anterioare, reducând la formulele unghiurilor triple și duble. Plus Tabelul derivatelor

© elev. Matematică (susținut de Branch Tree) 2009—2016

Pe această pagină veți găsi toate formulele trigonometrice de bază care vă vor ajuta să rezolvați multe exerciții, simplificând foarte mult expresia în sine.

Formulele trigonometrice sunt egalități matematice pentru funcțiile trigonometrice care sunt valabile pentru toate valorile argumentelor valide.

Formulele stabilesc rapoartele dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.

Sinusul unui unghi este coordonata y a unui punct (ordonata) pe cercul unitar. Cosinusul unui unghi este coordonata x a unui punct (abscisa).

Tangenta și cotangenta sunt, respectiv, raportul dintre sinus și cosinus și invers.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

Și două care sunt folosite mai rar - secante, cosecante. Ele denotă rapoarte de 1 la cosinus și sinus.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Din definițiile funcțiilor trigonometrice, puteți vedea ce semne au acestea în fiecare trimestru. Semnul funcției depinde doar de cadranul în care se află argumentul.

Când se schimbă semnul argumentului de la „+” la „-”, doar funcția cosinus nu își schimbă valoarea. Se numește chiar. Graficul său este simetric față de axa y.

Funcțiile rămase (sinus, tangentă, cotangentă) sunt impare. Când semnul argumentului este schimbat de la „+” la „-”, valoarea lor se schimbă și în negativă. Graficele lor sunt simetrice față de origine.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Identități trigonometrice de bază

Identitățile trigonometrice de bază sunt formule care stabilesc o relație între funcțiile trigonometrice ale unui unghi (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) și care vă permit să găsiți valoarea fiecăreia dintre aceste funcții prin oricare alta cunoscută.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`

Formule pentru suma și diferența de unghiuri ale funcțiilor trigonometrice

Formulele de adunare și scădere a argumentelor exprimă funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri în funcție de funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Formule cu unghi dublu

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Formule cu unghi triplu

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Formule cu jumătate de unghi

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Formulele de argumente cu jumătate, dublu și triplu exprimă funcțiile `sin, \cos, \tg, \ctg` ale acestor argumente (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) în termenii acelorași funcții argument `\alpha`.

Rezultatul lor poate fi obținut din grupul anterior (adunarea și scăderea argumentelor). De exemplu, identitățile cu unghi dublu sunt ușor de obținut prin înlocuirea `\beta` cu `\alpha`.

Formule de reducere

Formulele de pătrate (cuburi etc.) ale funcțiilor trigonometrice vă permit să treceți de la 2,3, ... grade la funcții trigonometrice de gradul întâi, dar unghiuri multiple (`\alpha, \ 3\alpha, \... ` sau `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Formulele sunt transformări ale sumei și diferenței funcțiilor trigonometrice ale diferitelor argumente într-un produs.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \\beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Aici, adunarea și scăderea funcțiilor unui argument sunt convertite într-un produs.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Următoarele formule transformă suma și diferența unei unități și a unei funcții trigonometrice într-un produs.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Formule de conversie a funcțiilor

Formule pentru conversia produsului funcțiilor trigonometrice cu argumente `\alpha` și `\beta` în suma (diferența) acestor argumente.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Substituție trigonometrică universală

Aceste formule exprimă funcții trigonometrice în termenii tangentei unui jumătate de unghi.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Formule turnate

Formulele de reducere pot fi obținute folosind astfel de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice precum periodicitatea, simetria, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Acestea permit convertirea funcțiilor unghiulare arbitrare în funcții al căror unghi este între 0 și 90 de grade.

Pentru unghiul (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) sau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;`` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`\pi \pm \alpha`) sau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pentru unghiul (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) sau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;`` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`2\pi \pm \alpha`) sau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;`` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;`` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Exprimarea unor funcții trigonometrice în termenii altora

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trigonometria se traduce literal prin „măsurarea triunghiurilor”. Începe să fie studiat la școală și continuă mai detaliat la universități. Prin urmare, sunt necesare formulele de bază pentru trigonometrie, începând din clasa a X-a, precum și pentru promovarea examenului. Ele denotă conexiuni între funcții și, deoarece există multe dintre aceste conexiuni, există destul de multe formule în sine. A-i aminti pe toate nu este ușor și nu este necesar - dacă este necesar, toate pot fi deduse.

Formulele trigonometrice sunt utilizate în calculul integral, precum și în simplificări, calcule și transformări trigonometrice.