Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.
Definiție geometrică
|BD| - lungimea arcului de cerc centrat în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.
Tangenta ( tgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catet triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea piciorului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .
Cotangent ( ctgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .
Tangentă
Unde n- întreg.
În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.
Graficul funcției tangente, y = tg x
Cotangentă
Unde n- întreg.
În literatura occidentală, cotangenta se notează după cum urmează:
.
De asemenea, a fost adoptată următoarea notație:
;
;
.
Graficul funcției cotangente, y = ctg x
Proprietățile tangentei și cotangentei
Periodicitate
Funcțiile y= tg xși y= ctg x sunt periodice cu perioada π.
Paritate
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.
Domenii de definiție și valori, crescător, descendent
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue pe domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | ||
| Gama de valori | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Ascendent | - | |
| Descendentă | - | |
| Extreme | - | - |
| Zerouri, y= 0 | ||
| Puncte de intersecție cu axa y, x = 0 | y= 0 | - |
Formule
Expresii în termeni de sinus și cosinus
;
;
;
;
;
Formule pentru tangente și cotangente a sumei și diferenței
Restul formulelor sunt ușor de obținut, de exemplu
Produsul tangentelor
Formula pentru suma și diferența tangentelor
Acest tabel arată valorile tangentelor și cotangentelor pentru unele valori ale argumentului. 
Expresii în termeni de numere complexe
Expresii în termeni de funcții hiperbolice
;
;
Derivate
; .
.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangente > > > ; pentru cotangent >>>
Integrale
Extinderi în serie
Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xși cos xși împărțiți aceste polinoame unele în altele , . Rezultă următoarele formule.
La .
la .
Unde B n- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei Laplace: 
Funcții inverse
Funcțiile inverse la tangentă și cotangentă sunt arctangentă și, respectiv, arctangentă.
Arctangent, arctg
, Unde n- întreg.
Arc tangentă, arcctg
, Unde n- întreg.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru cercetători și ingineri, 2012.
În acest articol, vom arunca o privire cuprinzătoare asupra . Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre aceste funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut.
Enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Le notăm într-un tabel, iar mai jos dăm derivarea acestor formule și dăm explicațiile necesare.
Navigare în pagină.
Relația dintre sinus și cosinus unui unghi
Uneori vorbesc nu despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț 
. Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute de la bază identitate trigonometrică după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și a egalităților 
și 
rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom discuta acest lucru mai detaliat în paragrafele următoare.
Adică, egalitatea este de interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale.
Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică de bază, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm.
Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită în transformare expresii trigonometrice . Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este folosită în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi.
Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus
Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și 
urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisa, adică 
, iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică 
.
Datorită acestei evidenţe a identităţilor şi adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.
Pentru a încheia această secțiune, trebuie remarcat faptul că identitățile și Ține loc pentru toate astfel de unghiuri pentru care funcțiile trigonometrice din ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice altceva decât (altfel numitorul va fi zero și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .
Relația dintre tangentă și cotangentă
O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei . Este clar că are loc pentru orice alte unghiuri decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.
Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și de unde 
. Dovada ar fi putut fi realizată într-un mod ușor diferit. Din moment ce și , apoi 
.
Deci, tangenta și cotangenta unui unghi, la care au sens, este.
- sigur vor fi sarcini în trigonometrie. Trigonometria este adesea antipatică pentru că trebuie să înghesuiți o cantitate imensă de formule dificile pline de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Site-ul a oferit deja o dată sfaturi despre cum să vă amintiți o formulă uitată, folosind exemplul formulelor Euler și Peel.
Și în acest articol vom încerca să arătăm că este suficient să cunoaștem cu fermitate doar cinci dintre cele mai simple formule trigonometrice, și despre restul să aibă ideea generalași scoate-le pe măsură ce mergi. Este ca și în cazul ADN-ului: desenele complete ale unei ființe vii terminate nu sunt stocate în moleculă. Conține, mai degrabă, instrucțiuni de asamblare din aminoacizii disponibili. Deci in trigonometrie, cunoscand cateva principii generale, vom obtine toate formulele necesare dintr-un mic set dintre cele care trebuie retinute.
Ne vom baza pe următoarele formule:
Din formulele pentru sinusul și cosinusul sumelor, știind că funcția cosinus este pară și că funcția sinus este impară, înlocuind -b cu b, obținem formule pentru diferențe:
- Sinus al diferenței: păcat(a-b) = păcatAcos(-b)+cosApăcat(-b) = păcatAcosb-cosApăcatb
- diferența de cosinus: cos(a-b) = cosAcos(-b)-păcatApăcat(-b) = cosAcosb+păcatApăcatb
Punând a \u003d b în aceleași formule, obținem formulele pentru sinusul și cosinusul unghiurilor duble:
- Sinusul unghi dublu : păcat2a = păcat(a+a) = păcatAcosA+cosApăcatA = 2păcatAcosA
- Cosinusul unui unghi dublu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-păcatApăcatA = cos2a-păcat2a
Formulele pentru alte unghiuri multiple se obțin în mod similar:
- Sinusul unui unghi triplu: păcat3a = păcat(2a+a) = păcat2acosA+cos2apăcatA = (2păcatAcosA)cosA+(cos2a-păcat2a)păcatA = 2păcatAcos2a+păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatAcos2a-păcat 3 a = 3 păcatA(1-păcat2a)-păcat 3 a = 3 păcatA-4păcat 3a
- Cosinusul unui unghi triplu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-păcat2apăcatA = (cos2a-păcat2a)cosA-(2păcatAcosA)păcatA = cos 3a- păcat2acosA-2păcat2acosA = cos 3a-3 păcat2acosA = cos 3 a-3(1- cos2a)cosA = 4cos 3a-3 cosA
Înainte de a trece mai departe, să luăm în considerare o problemă.
Dat: unghiul este acut.
Găsiți-i cosinusul dacă
Soluție dată de un elev:
pentru că , apoi păcatA= 3,a cosA = 4.
(Din umor matematic)
Deci, definiția tangentei conectează această funcție atât cu sinus, cât și cu cosinus. Dar puteți obține o formulă care oferă legătura tangentei doar cu cosinusul. Pentru a o deriva, luăm identitatea trigonometrică de bază: păcat 2 A+cos 2 A= 1 și împărțiți-l la cos 2 A. Primim:
Deci soluția la această problemă ar fi:
(Deoarece unghiul este acut, semnul + este luat la extragerea rădăcinii)
Formula pentru tangenta sumei este o alta care este greu de retinut. Să-l scoatem astfel:
ieșire imediată și
Din formula cosinus pentru un unghi dublu, puteți obține formulele sinus și cosinus pentru o jumătate de unghi. Pentru a face acest lucru, în partea stângă a formulei cosinus cu unghi dublu:
cos2
A = cos 2
A-păcat 2
A
adăugăm o unitate, iar în dreapta - o unitate trigonometrică, i.e. suma pătratelor sinusului și cosinusului.
cos2a+1 = cos2a-păcat2a+cos2a+păcat2a
2cos 2
A = cos2
A+1
exprimând cosA prin cos2
Ași efectuând o schimbare de variabile, obținem:
Semnul se ia în funcție de cadran.
În mod similar, scăzând unul din partea stângă a egalității și suma pătratelor sinusului și cosinusului din partea dreaptă, obținem:
cos2a-1 = cos2a-păcat2a-cos2a-păcat2a
2păcat 2
A = 1-cos2
A
Și, în sfârșit, pentru a converti suma funcțiilor trigonometrice într-un produs, folosim următorul truc. Să presupunem că trebuie să reprezentăm suma sinusurilor ca produs păcatA+păcatb. Să introducem variabilele x și y astfel încât a = x+y, b+x-y. Apoi
păcatA+păcatb = păcat(x+y)+ păcat(x-y) = păcat X cos y+ cos X păcat y+ păcat X cos y- cos X păcat y=2 păcat X cos y. Să exprimăm acum x și y în termenii a și b.
Deoarece a = x+y, b = x-y, atunci . De aceea
Vă puteți retrage imediat
- Formula de partiție produse de sinus și cosinusîn Cantitate: păcatAcosb = 0.5(păcat(a+b)+păcat(a-b))
Vă recomandăm să practicați și să obțineți formule pentru conversia produsului diferenței sinusurilor și suma și diferența cosinusurilor într-un produs, precum și pentru împărțirea produselor sinusurilor și cosinusurilor într-o sumă. După ce ați făcut aceste exerciții, veți stăpâni temeinic abilitatea de a deriva formule trigonometrice și nu vă veți pierde nici măcar în cel mai dificil control, olimpiada sau testare.
Ne continuăm conversația despre cele mai utilizate formule în trigonometrie. Cele mai importante dintre ele sunt formulele de adunare.
Definiția 1
Formulele de adunare vă permit să exprimați funcțiile diferenței sau ale sumei a două unghiuri folosind funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri.
Pentru început, vă vom prezenta lista plina formule de adunare, apoi le vom demonstra și analiza câteva exemple ilustrative.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formule de bază de adunare în trigonometrie
Există opt formule de bază: sinusul sumei și sinusul diferenței a două unghiuri, cosinusurile sumei și diferenței, tangentele și cotangentele sumei și, respectiv, diferenței. Mai jos sunt formulările și calculele lor standard.
1. Sinusul sumei a două unghiuri se poate obține astfel:
Se calculează produsul sinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea;
Înmulțiți cosinusul primului unghi cu sinusul primului unghi;
Adunați valorile rezultate.
Scrierea grafică a formulei arată astfel: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Sinusul diferenței se calculează aproape în același mod, doar produsele rezultate nu trebuie adăugate, ci scăzute unul de celălalt. Astfel, calculăm produsele sinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și cosinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și găsim diferența lor. Formula se scrie astfel: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Cosinusul sumei. Pentru aceasta, găsim produsele cosinusului primului unghi cu cosinusul celui de-al doilea și respectiv sinusul primului unghi cu sinusul celui de-al doilea și, respectiv, găsim diferența lor: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. Diferența de cosinus: calculăm produsele sinusurilor și cosinusurilor unghiurilor date, ca mai înainte, și le adunăm. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangenta sumei. Această formulă se exprimă sub formă de fracție, în numărătorul căreia se află suma tangentelor unghiurilor dorite, iar la numitor este unitatea din care se scade produsul tangentelor unghiurilor dorite. Totul este clar din notația ei grafică: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Tangenta diferenței. Calculăm valorile diferenței și produsul tangentelor acestor unghiuri și le tratăm într-un mod similar. La numitor, adunăm la unul, și nu invers: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Cotangenta sumei. Pentru calcule folosind această formulă avem nevoie de produsul și suma cotangentelor acestor unghiuri, cu care procedăm astfel: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangenta diferentei . Formula este similară cu cea anterioară, dar la numărător și numitor - minus, și nu plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Probabil ați observat că aceste formule sunt similare în perechi. Folosind semnele ± (plus-minus) și ∓ (minus-plus), le putem grupa pentru a facilita notarea:
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
În consecință, avem o formulă de înregistrare pentru suma și diferența fiecărei valori, doar într-un caz acordăm atenție semnului superior, în celălalt - celui inferior.
Definiția 2
Putem lua orice unghiuri α și β, iar formulele de adunare pentru cosinus și sinus vor funcționa pentru ele. Dacă putem determina corect valorile tangentelor și cotangentelor acestor unghiuri, atunci formulele de adunare pentru tangente și cotangente vor fi valabile și pentru ele.
La fel ca majoritatea conceptelor din algebră, formulele de adunare pot fi dovedite. Prima formulă pe care o vom demonstra este formula cosinusului diferenței. Din aceasta, puteți deduce cu ușurință restul dovezilor.
Să clarificăm conceptele de bază. Avem nevoie de un cerc unitar. Se va dovedi dacă luăm un anumit punct A și rotim în jurul centrului (punctul O) unghiurile α și β. Atunci unghiul dintre vectorii O A 1 → și O A → 2 va fi egal cu (α - β) + 2 π z sau 2 π - (α - β) + 2 π z (z este orice număr întreg). Vectorii rezultați formează un unghi care este egal cu α - β sau 2 π - (α - β) sau poate diferi de aceste valori printr-un număr întreg de rotații complete. Aruncă o privire la poză:
Am folosit formulele de reducere și am obținut următoarele rezultate:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Linia de jos: cosinusul unghiului dintre vectorii O A 1 → și O A 2 → este egal cu cosinusul unghiului α - β, deci cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Reamintim definițiile sinusului și cosinusului: sinusul este o funcție a unghiului egal cu raportul catetei unghiului opus față de ipotenuză, cosinusul este sinusul unghiului suplimentar. Prin urmare, punctele A 1și A2 au coordonatele (cos α , sin α) și (cos β , sin β) .
Obținem următoarele:
O A 1 → = (cos α , sin α) și O A 2 → = (cos β , sin β)
Dacă nu este clar, priviți coordonatele punctelor situate la începutul și la sfârșitul vectorilor.
Lungimile vectorilor sunt egale cu 1, deoarece avem un singur cerc.
Să analizăm acum produsul scalar al vectorilor O A 1 → și O A 2 → . În coordonate arată astfel:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Din aceasta putem deduce egalitatea:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Astfel, se demonstrează formula pentru cosinusul diferenței.
Acum vom demonstra următoarea formulă - cosinusul sumei. Acest lucru este mai ușor deoarece putem folosi calculele anterioare. Luați reprezentarea α + β = α - (- β) . Avem:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Aceasta este dovada formulei pentru cosinusul sumei. Ultima linie folosește proprietatea sinusului și cosinusului unghiurilor opuse.
Formula pentru sinusul sumei poate fi derivată din formula pentru cosinusul diferenței. Să luăm formula de reducere pentru aceasta:
de forma sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Asa de
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Și iată dovada formulei pentru sinusul diferenței:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Observați utilizarea proprietăților sinus și cosinus ale unghiurilor opuse în ultimul calcul.
În continuare, avem nevoie de dovezi ale formulelor de adunare pentru tangentă și cotangente. Să ne amintim definițiile de bază (tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cotangenta este invers) și să luăm formulele deja derivate în avans. Am reușit:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Avem o fracție complexă. În continuare, trebuie să împărțim numărătorul și numitorul la cos α cos β , având în vedere că cos α ≠ 0 și cos β ≠ 0 , obținem:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β
Acum reducem fracțiile și obținem o formulă de următoarea formă: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Se obține t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Aceasta este dovada formulei de adiție tangente.
Următoarea formulă pe care o vom demonstra este formula tangentei diferențelor. Totul se arată clar în calcule:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formulele pentru cotangente sunt dovedite într-un mod similar:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Mai departe:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
În acest articol, vom vorbi despre substituție trigonometrică universală. Implica expresia sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei oricărui unghi prin tangentei unui jumătate de unghi. Mai mult, o astfel de înlocuire se realizează rațional, adică fără rădăcini.
În primul rând, scriem formule care exprimă sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în termenii tangentei unui jumătate de unghi. În continuare, arătăm derivarea acestor formule. Și în concluzie, să ne uităm la câteva exemple de utilizare a substituției trigonometrice universale.
Navigare în pagină.
Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă prin tangenta unui jumătate de unghi
Mai întâi, să scriem patru formule care exprimă sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi în termeni de tangente a unui jumătate de unghi.
Aceste formule sunt valabile pentru toate unghiurile la care sunt definite tangentele și cotangentele incluse în ele:
Derivarea formulelor
Să analizăm derivarea formulelor care exprimă sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi prin tangenta unui semiunghi. Să începem cu formulele pentru sinus și cosinus.
Reprezentăm sinusul și cosinusul folosind formulele unghiului dublu ca 
și 
respectiv. Acum expresii 
și 
scrieți ca fracții cu numitorul 1 ca 
și 
. În plus, pe baza identității trigonometrice principale, înlocuim unitățile din numitor cu suma pătratelor sinusului și cosinusului, după care obținem 
și 
. În cele din urmă, împărțim numărătorul și numitorul fracțiilor rezultate la (valoarea sa este diferită de zero, cu condiția 
). Ca rezultat, întregul lanț de acțiuni arată astfel: 
și 
Aceasta completează derivarea formulelor care exprimă sinusul și cosinusul prin tangenta unui semiunghi.
Rămâne să derivăm formulele pentru tangentă și cotangentă. Acum, ținând cont de formulele obținute mai sus, și de formulele și 
, obținem imediat formule care exprimă tangenta și cotangenta prin tangenta unui semiunghi: 
Deci, am derivat toate formulele pentru substituția trigonometrică universală.
Exemple de utilizare a substituției trigonometrice universale
În primul rând, să luăm în considerare un exemplu de utilizare a substituției trigonometrice universale la conversia expresiilor.
Exemplu.
Dați o expresie 
la o expresie care conține doar una functie trigonometrica.
Soluţie.
Răspuns:
.
Bibliografie.
- Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
