Aplicarea integralei la rezolvarea problemelor aplicate

Calculul suprafeței

Integrala definită a unei funcții continue nenegative f(x) este numeric egală cu aria unui trapez curbiliniu delimitată de curba y \u003d f (x), axa O x și liniile drepte x \u003d a și x \u003d b. În consecință, formula ariei se scrie după cum urmează:

Luați în considerare câteva exemple de calculare a ariilor figurilor plane.

Sarcina numărul 1. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Soluţie. Să construim o figură, a cărei aria va trebui să o calculăm.

y \u003d x 2 + 1 este o parabolă ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, iar parabola este deplasată în sus cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 1).

Figura 1. Graficul funcției y = x 2 + 1

Sarcina numărul 2. Calculați aria delimitată de liniile y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 în intervalul de la 0 la 1.

Soluţie. Graficul acestei funcții este parabola ramificației, care este îndreptată în sus, iar parabola este deplasată în jos cu o unitate în raport cu axa O y (Figura 2).

Figura 2. Graficul funcției y \u003d x 2 - 1

Sarcina numărul 3. Faceți un desen și calculați aria figurii delimitată de linii

y = 8 + 2x - x 2 și y = 2x - 4.

Soluţie. Prima dintre aceste două linii este o parabolă cu ramurile îndreptate în jos, deoarece coeficientul la x 2 este negativ, iar a doua linie este o linie dreaptă care traversează ambele axe de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, să găsim coordonatele vârfului ei: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisă vârf; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 este ordonata sa, N(1;9) este vârful său.

Acum găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei prin rezolvarea sistemului de ecuații:

Echivalarea părților drepte ale unei ecuații ale cărei părți stângi sunt egale.

Obținem 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 sau x 2 - 12 \u003d 0, de unde .

Deci, punctele sunt punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei (Figura 1).

Figura 3 Grafice ale funcțiilor y = 8 + 2x – x 2 și y = 2x – 4

Să construim o dreaptă y = 2x - 4. Ea trece prin punctele (0;-4), (2; 0) de pe axele de coordonate.

Pentru a construi o parabolă, puteți avea și punctele sale de intersecție cu axa 0x, adică rădăcinile ecuației 8 + 2x - x 2 = 0 sau x 2 - 2x - 8 = 0. După teorema Vieta, este ușor de găsit rădăcinile sale: x 1 = 2, x 2 = patru.

Figura 3 prezintă o figură (segment parabolic M 1 N M 2) delimitată de aceste drepte.

A doua parte a problemei este să găsiți zona acestei figuri. Aria sa poate fi găsită folosind o integrală definită folosind formula .

În ceea ce privește această condiție, obținem integrala:

2 Calculul volumului unui corp de revoluție

Volumul corpului obținut din rotația curbei y \u003d f (x) în jurul axei O x este calculat prin formula:

Când se rotește în jurul axei O y, formula arată astfel:

Sarcina numărul 4. Determinați volumul corpului obținut din rotația unui trapez curbiliniu delimitat de linii drepte x \u003d 0 x \u003d 3 și o curbă y \u003d în jurul axei O x.

Soluţie. Să construim un desen (Figura 4).

Figura 4. Graficul funcției y =

Volumul dorit este egal cu

Sarcina numărul 5. Calculați volumul corpului obținut din rotirea unui trapez curbiliniu delimitat de o curbă y = x 2 și drepte y = 0 și y = 4 în jurul axei O y .

Soluţie. Avem:

Întrebări de revizuire

Luați în considerare un trapez curbiliniu delimitat de axa Ox, o curbă y \u003d f (x) și două linii drepte: x \u003d a și x \u003d b (Fig. 85). Luați o valoare arbitrară a lui x (numai că nu a și nu b). Să-i dăm un increment h = dx și să considerăm o bandă mărginită de drepte AB și CD, de axa Ox și de un arc BD aparținând curbei luate în considerare. Această bandă va fi numită bandă elementară. Aria unei benzi elementare diferă de aria dreptunghiului ACQB printr-un triunghi curbiliniu BQD, iar aria acestuia din urmă este mai mică decât aria dreptunghiului BQDM cu laturile BQ = =h= dx) QD=Ay și aria egală cu hAy = Ay dx. Pe măsură ce latura h scade, scade și latura Du și, simultan cu h, tinde spre zero. Prin urmare, aria BQDM este infinitezimală de ordinul doi. Aria benzii elementare este incrementul de suprafață, iar aria dreptunghiului ACQB, egală cu AB-AC==/(x) dx> este diferența de suprafață. Prin urmare, găsim zona în sine prin integrarea diferenţialului acesteia. În cadrul figurii luate în considerare, variabila independentă l: se schimbă de la a la b, deci aria necesară 5 va fi egală cu 5= \f (x) dx. (I) Exemplul 1. Calculați aria delimitată de parabola y - 1 -x *, linii drepte X \u003d - Fj-, x \u003d 1 și axa O * (Fig. 86). la Fig. 87. Fig. 86. 1 Aici f(x) = 1 - l?, limitele de integrare a = - și t = 1, deci 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Exemplul 2. Calculați aria delimitată de sinusoida y = sinXy, axa Ox și linia dreaptă (Fig. 87). Aplicând formula (I), obținem L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Exemplul 3. Calculați aria delimitată de arcul sinusoidei ^y \ u003d sin jc închis între două puncte de intersecție adiacente cu axa Ox (de exemplu, între origine și punctul cu abscisa i). Rețineți că din considerente geometrice este clar că această zonă va fi de două ori mai mare decât aria exemplului anterior. Totuși, să facem calculele: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Într-adevăr, ipoteza noastră s-a dovedit a fi corectă. Exemplul 4. Calculați aria delimitată de sinusoid și de axa ^ Ox pe o perioadă (Fig. 88). Judecățile preliminare cu cifra ras sugerează că aria se va dovedi a fi de patru ori mai mare decât în ​​pr. 2. Cu toate acestea, după efectuarea calculelor, obținem „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Acest rezultat necesită clarificare. Pentru a clarifica esența problemei, calculăm, de asemenea, aria delimitată de aceeași sinusoidă y \u003d sin l: și axa Ox variind de la l la 2n. Aplicând formula (I), obținem Astfel, vedem că această zonă s-a dovedit a fi negativă. Comparând-o cu aria calculată în Ex. 3, constatăm că valorile lor absolute sunt aceleași, dar semnele sunt diferite. Dacă aplicăm proprietatea V (vezi cap. XI, § 4), atunci obținem întâmplător. Întotdeauna aria de sub axa x, cu condiția ca variabila independentă să se schimbe de la stânga la dreapta, se obține prin calcul folosind integrale negative. În acest curs, vom lua în considerare întotdeauna zonele nesemnate. Prin urmare, răspunsul din exemplul tocmai analizat va fi următorul: aria necesară este egală cu 2 + |-2| = 4. Exemplul 5. Să calculăm aria BAB prezentată în Fig. 89. Această zonă este limitată de axa Ox, parabola y = - xr și dreapta y - = -x + \. Aria unui trapez curbiliniu Zona căutată OAB este formată din două părți: OAM și MAB. Deoarece punctul A este punctul de intersecție al parabolei și al dreptei, vom găsi coordonatele acesteia prin rezolvarea sistemului de ecuații 3 2 Y \u003d mx. (ne trebuie doar să găsim abscisa punctului A). Rezolvând sistemul, găsim l; =~. Prin urmare, aria trebuie calculată în părți, primul pl. OAM, apoi pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x = [înlocuire:

] =

Prin urmare, integrala improprie converge și valoarea ei este egală cu .