Բազմանկյունը հարթության մի մասն է, որը սահմանափակված է փակ բեկված գծով։ Բազմանկյունի անկյունները նշվում են բազմագծի գագաթների կետերով։ Բազմանկյուն անկյունների գագաթները և բազմանկյան գագաթները համահունչ կետեր են:

Սահմանում. Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զուգահեռ են:

Զուգահեռագրի հատկությունները

1. Հակառակ կողմերը հավասար են:
Նկ. տասնմեկ ԱԲ = CD; մ.թ.ա = ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ.

2. Հակառակ անկյունները հավասար են (երկու սուր և երկու բութ անկյուն):
Նկ. 11∠ Ա = ∠Գ; ∠Բ = ∠Դ.

3 անկյունագծերը (երկու հակադիր գագաթները կապող գծային հատվածներ) հատվում են, և հատման կետը կիսով չափ կիսվում է:

Նկ. 11 հատված ԱՕ = OC; ԲՈ = ՕԴ.

Սահմանում. Trapezoid-ը քառանկյուն է, որի երկու հակառակ կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը` ոչ:

Զուգահեռ կողմեր կանչեց նրան հիմքերը, և մյուս երկու կողմերը կողմերը.

Տրապեզիայի տեսակները

1. Trapezeում կողմերը հավասար չեն,
կանչեց բազմակողմանի(նկ. 12):

2. Այն trapezoid-ը, որի կողմերը հավասար են, կոչվում է հավասարաչափ(նկ. 13):

3. Տրապիզը, որի մի կողմը հիմքերի հետ ուղիղ անկյուն է կազմում, կոչվում է ուղղանկյուն(նկ. 14):

Տրապիզոնի կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը (նկ. 15) կոչվում է տրապիզոնի միջնագիծ ( MN) Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին:

Trapezoid-ը կարելի է անվանել կտրված եռանկյուն (նկ. 17), հետևաբար տրապեզիաների անվանումները նման են եռանկյունների անուններին (եռանկյունները բազմակողմանի են, հավասարաչափ, ուղղանկյուն):

Զուգահեռագծի և տրապեզիի մակերեսը

Կանոն. Զուգահեռագծի տարածքհավասար է իր կողմի արտադրյալին այս կողմ գծված բարձրությամբ:

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ միջոցառումների և Սպասվող իրադարձություններ.
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է, օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Հետեւաբար, մենք կկոչենք դրանցից մեկը մեծ , երկրորդ - փոքր հիմք trapezoid. Բարձրություն trapezoid կարելի է անվանել ուղղահայաց ցանկացած հատված, որը գծված է գագաթներից դեպի համապատասխան հակառակ կողմը (յուրաքանչյուր գագաթի համար կա երկու հակադիր կողմ), որը պարփակված է վերցված գագաթի և հակառակ կողմի միջև: Բայց կարելի է առանձնացնել բարձունքների «հատուկ տեսակ».
Սահմանում 8. Trapezoid-ի հիմքի բարձրությունը հիմքերի միջև ընկած ուղիղ գծի հատվածն է, որը ուղղահայաց է հիմքերին:
Թեորեմ 7 . Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին:
Ապացույց. Թող տրվի ABCD trapezoid և միջին գիծԿՄ. B և M կետերով գիծ գծե՛ք: Մենք շարունակում ենք AD կողմը D կետով, մինչև այն հատվի BM-ի հետ: BCm և MPD եռանկյունները հավասար են կողքով և երկու անկյուններով (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP՝ համընկնող, ∠ BMC=∠ DMP՝ ուղղահայաց), հետևաբար VM=MP կամ M կետը BP-ի միջնակետն է։ KM-ն ABP եռանկյունու միջնագիծն է: Ըստ եռանկյան միջին գծի հատկության՝ KM-ը զուգահեռ է AP-ին և մասնավորապես AD-ին և հավասար է AP-ի կեսին.

Թեորեմ 8 . Անկյունագծերը տրապեզը բաժանում են չորս մասի, որոնցից երկուսը, կողքերին կից, հավասար են։
Հիշեցնեմ, որ թվերը հավասար են կոչվում, եթե ունեն նույն մակերեսը։ ABD և ACD եռանկյունները հավասար են՝ ունեն հավասար բարձրություններ (նշված է դեղինով) և ընդհանուր հիմք։ Այս եռանկյուններն են ընդհանուր մաս AOD. Նրանց տարածքը կարող է ընդլայնվել հետևյալ կերպ.

Տրապեզիայի տեսակները.
Սահմանում 9. (Նկար 1) Սուր անկյունագծով տրապիզը այն տրապիզոիդն է, որտեղ ավելի մեծ հիմքին հարող անկյունները սուր են:
Սահմանում 10. (Նկար 2) Բութ trapezoid-ը այն տրապիզոիդն է, որտեղ ավելի մեծ հիմքին հարող անկյուններից մեկը բութ է:
Սահմանում 11. (Նկար 4) Տրապիզը կոչվում է ուղղանկյուն, որի մի կողմը ուղղահայաց է հիմքերին:
Սահմանում 12. (Նկար 3) Հավասարաչափ (հավասարսուռ, հավասարաչափ) տրապեզիա է, որի կողմերը հավասար են։

Հավասարաչափ տրապեզիի հատկությունները.
Թեորեմ 10 . Հավասարաչափ տրապիզոնի հիմքերից յուրաքանչյուրին հարող անկյունները հավասար են:
Ապացույց. Եկեք ապացուցենք, օրինակ, A և D անկյունների հավասարությունը ABCD հավասարաչափ տրապեզի ավելի մեծ AD հիմքով: Այդ նպատակով մենք ուղիղ գիծ ենք քաշում C կետի միջով AB կողային կողմին զուգահեռ: Այն հատելու է մեծ հիմքը M կետում: Քառանկյուն ABCM-ը զուգահեռագիծ է, քանի որ կառուցմամբ այն ունի երկու զույգ զուգահեռ կողմեր։ Հետևաբար, տրապիզոնի ներսում պարփակված կտրվածքային գծի CM հատվածը հավասար է նրա կողային կողմին՝ CM=AB։ Այստեղից պարզ է դառնում, որ CM=CD, CMD եռանկյունը հավասարաչափ է, ∠CMD=∠CDM, հետևաբար՝ ∠A=∠D: Փոքր հիմքին հարող անկյունները նույնպես հավասար են, քանի որ. ներքին միակողմանի հայտնաբերվածների համար են և ունեն երկու տողերի գումար:
Թեորեմ 11 . Հավասարաչափ տրապիզոնի անկյունագծերը հավասար են։
Ապացույց. Դիտարկենք ABD և ACD եռանկյունները: Այն հավասար է երկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը (AB=CD, AD ընդհանուր է, A և D անկյունները հավասար են ըստ թեորեմ 10-ի): Հետևաբար AC=BD:

Թեորեմ 13 . Հավասարաչափ տրապեզի անկյունագծերը հատման կետով բաժանվում են համապատասխանաբար հավասար հատվածների։ Դիտարկենք ABD և ACD եռանկյունները: Այն հավասար է երկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը (AB=CD, AD ընդհանուր է, A և D անկյունները հավասար են ըստ թեորեմ 10-ի): Հետևաբար, ∠ ОАD=∠ ОDA, հետևաբար, ОВС և OSV անկյունները հավասար են համապատասխանաբար համընկնող ODA և OAD անկյուններին: Հիշենք թեորեմը՝ եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են, ապա այն հավասարաչափ է, հետևաբար ОВС և ОAD եռանկյունները հավասարաչափ են, ինչը նշանակում է OS=OB և ОА=OD և այլն։
Հավասարաչափ տրապիզոիդը սիմետրիկ պատկեր է:
Սահմանում 13. Հավասարաչափ տրապեզի համաչափության առանցքը կոչվում է նրա հիմքերի միջնակետերով անցնող ուղիղ գիծ։
Թեորեմ 14 . Հավասարսուռ տրապեզիի համաչափության առանցքը ուղղահայաց է նրա հիմքերին։
Թեորեմ 9-ում մենք ապացուցեցինք, որ տրապեզի հիմքերի միջնակետերը միացնող ուղիղը անցնում է անկյունագծերի հատման կետով։ Հաջորդը (թեորեմ 13) մենք ապացուցեցինք, որ AOD և BOC եռանկյունները հավասարաչափ են: OM և OK այս եռանկյունների միջնագիծն են, համապատասխանաբար, ըստ սահմանման: Հիշեք հավասարաչափ եռանկյան հատկությունը. հավասարաչափ եռանկյան միջինը, իջեցված մինչև հիմքը, նույնպես եռանկյան բարձրությունն է: ԿՄ ուղիղ գծի մասերի հիմքերի ուղղահայացության պատճառով համաչափության առանցքը ուղղահայաց է հիմքերին։
Նշաններ, որոնք տարբերում են հավասարաչափ trapezoid-ը բոլոր trapezium-ների մեջ.
Թեորեմ 15 . Եթե ​​տրապեզի հիմքերից մեկին հարող անկյունները հավասար են, ապա տրապիզը հավասարաչափ է։
Թեորեմ 16 . Եթե ​​տրապեզի անկյունագծերը հավասար են, ապա տրապիզը հավասարաչափ է:
Թեորեմ 17 . Եթե ​​տրապեզի կողային կողմերը, ձգվելով մինչև խաչմերուկը, նրա մեծ հիմքի հետ միասին կազմում են հավասարաչափ եռանկյուն, ապա տրապիզը հավասարաչափ է։
Թեորեմ 18 . Եթե ​​trapezoid-ը կարելի է մակագրել շրջանագծի մեջ, ապա այն հավասարաչափ է:
Ուղղանկյուն trapezoid-ի նշան.
Թեորեմ 19 . Հարևան գագաթներով միայն երկու ուղղանկյուն ունեցող ցանկացած քառանկյուն ուղղանկյուն տրապիզոիդ է (ակնհայտ է, որ երկու կողմերը զուգահեռ են, քանի որ միակողմանիները հավասար են այն դեպքում, երբ երեք ուղիղ անկյունները ուղղանկյուն են):
Թեորեմ 20 . Շրջանակի շառավիղը, որը գրված է տրապիզոիդում, հավասար է հիմքի բարձրության կեսին:
Այս թեորեմի ապացույցն այն է, որ բացատրելն է, որ դեպի հիմքերը գծված շառավիղները գտնվում են տրապեզի բարձրության վրա։ O կետից - ABCD շրջանագծի կենտրոնը, որը ներգծված է այս trapezoid-ում, մենք շառավիղները գծում ենք դեպի կապի կետերը իր հիմքերի հետ: Ինչպես գիտեք, շփման կետին գծված շառավիղը ուղղահայաց է շոշափողին, հետևաբար OK ^ BC և OM ^ AD: Հիշեք թեորեմը. եթե ուղիղը ուղղահայաց է զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նաև ուղղահայաց է երկրորդին: Այսպիսով, OK ուղիղը նույնպես ուղղահայաց է AD-ին: Այսպիսով, AD ուղղին ուղղահայաց երկու ուղիղ անցնում է O կետով, որը չի կարող լինել, հետևաբար այս ուղիղները համընկնում են և կազմում են KM-ի ընդհանուր ուղղահայացը, որը. հավասար է գումարիներկու շառավիղ և ներգծված շրջանագծի տրամագիծն է, ուստի r=KM/2 կամ r=h/2։
Թեորեմ 21 . Trapezoid-ի մակերեսը հավասար է հիմքերի գումարի կեսի և հիմքերի բարձրության արտադրյալին:

Ապացույց:Թող ABCD-ն տրված տրապիզոիդ լինի, իսկ AB-ն և CD-ն նրա հիմքերը: Թող նաև AH լինի A կետից CD տող ընկած բարձրությունը: Այնուհետև S ABCD = S ACD + S ABC:
Բայց S ACD = 1/2AH CD և S ABC = 1/2AH AB:
Հետեւաբար, S ABCD = 1/2AH (AB + CD):
Ք.Ե.Դ.

Երկրորդ բանաձեւը տեղափոխվել է քառանկյունից.

\[(\Large(\text(կամայական trapezoid)))\]

Սահմանումներ

Trapezoid-ը ուռուցիկ քառանկյուն է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը զուգահեռ չեն:

Trapezoid-ի զուգահեռ կողմերը կոչվում են նրա հիմքերը, իսկ մյուս երկու կողմերը կոչվում են նրա կողմերը:

Trapezoid-ի բարձրությունը մի հիմքի ցանկացած կետից մյուս հիմքն ընկած ուղղահայացն է:

Թեորեմներ. trapezoid-ի հատկությունները

1) Կողքի անկյունների գումարը \(180^\circ\) է:

2) Անկյունագծերը տրապեզը բաժանում են չորս եռանկյունների, որոնցից երկուսը նման են, իսկ մյուս երկուսը հավասար են։

Ապացույց

1) Որովհետև \(AD\զուգահեռ BC\) , այնուհետև \(\անկյուն BAD\) և \(\անկյուն ABC\) այս տողերում միակողմանի են, իսկ \(AB\) հատվածը, հետևաբար, \(\անկյուն BAD +\անկյուն ABC=180^\circ\).

2) Որովհետև \(AD\զուգահեռ BC\) և \(BD\) հատվածն է, այնուհետև \(\անկյուն DBC=\անկյուն BDA\) գտնվում է երկայնքով:
Նաև \(\անկյուն BOC=\անկյուն AOD\) որպես ուղղահայաց:
Հետեւաբար, երկու անկյուններում \(\եռանկյուն BOC \sim \եռանկյուն AOD\).

Ապացուցենք դա \(S_(\եռանկյուն AOB)=S_(\եռանկյուն COD)\). Թող \(h\) լինի trapezoid-ի բարձրությունը: Հետո \(S_(\եռանկյունի ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\եռանկյուն ACD)\). Ապա. \

Սահմանում

Trapezoid-ի միջին գիծը մի հատված է, որը միացնում է կողմերի միջնակետերը:

Թեորեմ

Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին:

Ապացույց*

1) Ապացուցենք զուգահեռությունը.

Գծե՛ք \(MN"\զուգահեռ AD\) (\(N"\CD-ում\) ) գիծ \(M\) ) կետով): Այնուհետև Թալեսի թեորեմով (որովհետև \(MN"\զուգահեռ AD\զուգահեռ BC, AM=MB\)) \(N"\) կետը \(CD\) հատվածի միջնակետն է... Այսպիսով, \(N\) և \(N"\) կետերը կհամընկնեն:

2) Եկեք ապացուցենք բանաձևը.

Եկեք նկարենք \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Թող \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Այնուհետև, ըստ Թալեսի թեորեմի, \(M"\) և \(N"\) համապատասխանաբար \(BB"\) և \(CC"\ հատվածների միջնակետերն են: Այսպիսով, \(MM"\) միջին գիծն է \(\եռանկյունի ABB"\) , \(NN"\) միջին գիծն է \(\եռանկյունի DCC"\): Ահա թե ինչու: \

Որովհետեւ \(MN\զուգահեռ AD\զուգահեռ BC\)և \(BB", CC"\perp AD\) , ապա \(B"M"N"C"\) և \(BM"N"C\) ուղղանկյուններ են: Թալեսի թեորեմով \(MN\զուգահեռ AD\) և \(AM=MB\) ենթադրում են, որ \(B"M"=M"B\) : Հետևաբար, \(B"M"N"C"\) և \(BM"N"C\) հավասար ուղղանկյուններ են, հետևաբար \(M"N"=B"C"=BC\) .

Այս կերպ:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\աջ)\]

Թեորեմ՝ կամայական trapezoid-ի հատկություն

Հիմքերի միջնակետերը, տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետը և կողային կողմերի երկարացումների հատման կետը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա։

Ապացույց*
«Նման եռանկյուններ» թեման ուսումնասիրելուց հետո խորհուրդ է տրվում ծանոթանալ ապացույցին:

1) Փաստենք, որ \(P\) , \(N\) և \(M\) կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա:

Գծե՛ք \(PN\) ուղիղ (\(P\) կողմերի երկարությունների հատման կետն է, \(N\) \(BC\)-ի միջնակետը): Թող այն հատի \(AD\) կողմը \(M\) կետում: Եկեք ապացուցենք, որ \(M\)-ը \(AD\)-ի միջնակետն է:

Դիտարկենք \(\triangle BPN\) և \(\triangle APM\) . Նրանք նման են երկու անկյուններով (\(\անկյուն APM\) - ընդհանուր, \(\անկյուն PAM=\անկյուն PBN\), քանի որ համապատասխանում է \(AD\զուգահեռ BC\) և \(AB\) հատվածում): Նշանակում է. \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Դիտարկենք \(\եռանկյունի CPN\) և \(\եռանկյունի DPM\) . Նրանք նման են երկու անկյուններում (\(\անկյուն DPM\) - ընդհանուր, \(\անկյուն PDM=\անկյուն PCN\) ինչպես համապատասխան է \(AD\զուգահեռ BC\) և \(CD\) հատվածում): Նշանակում է. \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Այստեղից \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Բայց \(BN=NC\) , հետևաբար \(AM=DM\) .

2) Փաստենք, որ \(N, O, M\) կետերը գտնվում են մեկ ուղիղ գծի վրա:

Թող \(N\) լինի \(BC\) միջնակետը, \(O\) անկյունագծերի հատման կետը: Գծեք \(NO\) գիծ, ​​այն կհատի \(AD\) կողմը \(M\) կետում: Եկեք ապացուցենք, որ \(M\)-ը \(AD\)-ի միջնակետն է:

\(\եռանկյունի BNO\sim \եռանկյունի DMO\)երկու անկյան տակ (\(\անկյուն OBN=\անկյուն ODM\) ինչպես գտնվում է \(BC\զուգահեռ AD\) և \(BD\) կտրվածքում; \(\անկյուն BON=\անկյուն DOM\) որպես ուղղահայաց): Նշանակում է. \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Նմանապես \(\եռանկյունի CON\sim \եռանկյունի AOM\). Նշանակում է. \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Այստեղից \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Բայց \(BN=CN\) , հետևաբար \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Isosceles trapezoid)))\]

Սահմանումներ

Trapezoid-ը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկը ուղիղ է:

Trapezoid-ը կոչվում է հավասարաչափ, եթե նրա կողմերը հավասար են:

Թեորեմներ՝ հավասարաչափ տրապեզի հատկությունները

1) Հավասարսուռ trapezoid ունի հավասար հիմք անկյունները.

2) Հավասարաչափ տրապեզի անկյունագծերը հավասար են.

3) Շեղանկյուններից և հիմքից կազմված երկու եռանկյունները հավասարաչափ են:

Ապացույց

1) Դիտարկենք հավասարաչափ trapezoid \(ABCD\) .

\(B\) և \(C\) գագաթներից մենք դեպի \(AD\) կողմ ենք իջեցնում համապատասխանաբար \(BM\) և \(CN\) ուղղահայացները: Քանի որ \(BM\perp AD\) և \(CN\perp AD\) , ապա \(BM\parallel CN\) ; \(AD\զուգահեռ BC\) , ապա \(MBCN\) զուգահեռագիծ է, հետևաբար \(BM = CN\) .

Դիտարկենք \(ABM\) և \(CDN\) ուղղանկյուն եռանկյունները: Քանի որ նրանք ունեն հավասար հիպոթենուսներ և \(BM\) ոտքը հավասար է \(CN\) ոտքին, այս եռանկյունները համահունչ են, հետևաբար, \(\անկյուն DAB = \անկյուն CDA\) .

2)

Որովհետեւ \(AB=CD, \անկյուն A=\անկյուն D, AD\)- ընդհանուր, ապա առաջին նշանի վրա: Հետևաբար, \(AC=BD\) .

3) Որովհետև \(\եռանկյուն ABD=\եռանկյուն ACD\), ապա \(\անկյուն BDA=\անկյուն CAD\) . Հետևաբար, \(\եռանկյուն AOD\) եռանկյունը հավասարաչափ է: Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ \(\BOC եռանկյունը\) հավասարաչափ է:

Թեորեմներ՝ հավասարաչափ տրապիզոնի նշաններ

1) Եթե տրապիզոնի հիմքի անկյունները հավասար են, ապա այն հավասարաչափ է:

2) Եթե trapezoid-ի անկյունագծերը հավասար են, ապա այն հավասարաչափ է:

Ապացույց

Դիտարկենք trapezoid \(ABCD\) այնպիսին, որ \(\անկյուն A = \անկյուն D\) .

Եկեք լրացնենք trapezoid-ը մինչև \(AED\) եռանկյունին, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Քանի որ \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2\) , ապա \(AED\) եռանկյունը հավասարաչափ է և \(AE = ED\) . \(1\) և \(3\) անկյունները հավասար են \(AD\) և \(BC\) զուգահեռ ուղիղներին և \(AB\) հատվածին: Նմանապես, \(2\) և \(4\) անկյունները հավասար են, բայց \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2\) , ապա \(\անկյուն 3 = \անկյուն 1 = \անկյուն 2 = \անկյուն 4\), հետևաբար, \(BEC\) եռանկյունը նույնպես հավասարաչափ է և \(BE = EC\) .

Ի վերջո \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), այսինքն \(AB = CD\) , որը պետք է ապացուցվեր։

2) Թող \(AC=BD\) . Որովհետեւ \(\եռանկյուն AOD\sim \եռանկյուն BOC\), ապա դրանց նմանության գործակիցը նշում ենք \(k\)-ով։ Ապա եթե \(BO=x\) , ապա \(OD=kx\) . Նման է \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)-ին:

Որովհետեւ \(AC=BD\) , ապա \(x+kx=y+ky \Աջ սլաք x=y\) . Այսպիսով, \(\եռանկյուն AOD\) հավասարաչափ է և \(\անկյուն OAD=\անկյուն ODA\) .

Այսպիսով, ըստ առաջին նշանի \(\եռանկյուն ABD=\եռանկյուն ACD\) (\(AC=BD, \անկյուն OAD=\անկյուն ODA, AD\)- ընդհանուր): Այսպիսով, \(AB=CD\) , այսպես.

Trapezoid-ը քառանկյունի հատուկ դեպք է, որի մեկ զույգ կողմերը զուգահեռ են: «Տրապիզ» տերմինը գալիս է Հունարեն բառτράπεζα, որը նշանակում է «սեղան», «սեղան»: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք trapezium- ի տեսակները և դրա հատկությունները: Բացի այդ, մենք կպարզենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել այս օրինակի առանձին տարրերը, հավասարաչափ տրապեզոիդի անկյունագիծը, միջին գիծը, տարածքը և այլն: Նյութը ներկայացված է տարրական հանրաճանաչ երկրաչափության ոճով, այսինքն՝ հեշտությամբ հասանելի: ձեւը։

Ընդհանուր տեղեկություն

Նախ, եկեք հասկանանք, թե ինչ է քառանկյունը: Այս պատկերը չորս կողմ և չորս գագաթ պարունակող բազմանկյունի հատուկ դեպք է: Քառանկյան երկու գագաթները, որոնք իրար կից չեն, կոչվում են հակադիր: Նույնը կարելի է ասել երկու ոչ կից կողմերի մասին։ Քառանկյունների հիմնական տեսակներն են՝ զուգահեռագիծը, ուղղանկյունը, ռոմբուսը, քառակուսին, տրապիզը և դելտոիդը։

Այսպիսով, վերադառնանք տրապիզին: Ինչպես արդեն ասացինք, այս ցուցանիշն ունի երկու զուգահեռ կողմեր։ Դրանք կոչվում են հիմքեր: Մյուս երկուսը (ոչ զուգահեռ) կողմերն են։ Քննական նյութերում և տարբեր հսկիչ աշխատանքներշատ հաճախ կարելի է հանդիպել trapezoids-ի հետ կապված առաջադրանքների, որոնց լուծումը հաճախ պահանջում է ուսանողից ունենալ ծրագրով չնախատեսված գիտելիքներ: Դպրոցական երկրաչափության դասընթացը ուսանողներին ծանոթացնում է անկյունների և անկյունագծերի հատկություններին, ինչպես նաև հավասարաչափ տրապիզոնի միջնագծին: Բայց ի վերջո, բացի սրանից, նշված երկրաչափական պատկերն ունի այլ հատկանիշներ. Բայց դրանց մասին ավելի ուշ...

Trapezoid- ի տեսակները

Այս գործչի բազմաթիվ տեսակներ կան: Այնուամենայնիվ, ամենից հաճախ ընդունված է դիտարկել դրանցից երկուսը ՝ հավասարաչափ և ուղղանկյուն:

1. Ուղղանկյուն trapezoid- սա այն ցուցանիշն է, որի կողմերից մեկը ուղղահայաց է հիմքերին: Այն ունի երկու անկյուն, որոնք միշտ իննսուն աստիճան են:

2. Հավասարաչափ տրապիզը երկրաչափական պատկեր է, որի կողմերը հավասար են միմյանց: Սա նշանակում է, որ հիմքերի անկյունները նույնպես զույգ-զույգ հավասար են։

Trapezoid- ի հատկությունների ուսումնասիրության մեթոդաբանության հիմնական սկզբունքները

Հիմնական սկզբունքը այսպես կոչված առաջադրանքի մոտեցման կիրառումն է։ Ըստ էության, մուտքագրելու կարիք չկա տեսական դասընթացայս գործչի նոր հատկությունների երկրաչափությունը: Դրանք կարելի է հայտնաբերել և ձևակերպել լուծման ընթացքում տարբեր առաջադրանքներ(ավելի լավ, քան համակարգը): Միևնույն ժամանակ, շատ կարևոր է, որ ուսուցիչը իմանա, թե ուսումնական գործընթացի այս կամ այն ​​պահին ինչ խնդիրներ պետք է դրվեն աշակերտների առաջ: Ավելին, trapezoid-ի յուրաքանչյուր հատկություն կարող է ներկայացվել որպես հիմնական առաջադրանք առաջադրանքի համակարգում:

Երկրորդ սկզբունքը տրապեզիայի «ուշագրավ» հատկությունների ուսումնասիրության այսպես կոչված պարուրաձև կազմակերպումն է։ Սա ենթադրում է ուսուցման գործընթացում վերադարձ տվյալի անհատական ​​հատկանիշներին երկրաչափական պատկեր. Այսպիսով, ուսանողների համար ավելի հեշտ է անգիր անել դրանք: Օրինակ՝ չորս կետերի հատկությունը. Դա կարելի է ապացուցել թե՛ նմանության ուսումնասիրության, թե՛ հետագայում վեկտորների օգնությամբ։ Իսկ նկարի կողմերին կից եռանկյունների հավասար մակերեսը կարելի է ապացուցել՝ կիրառելով ոչ միայն նույն ուղիղ գծի վրա գտնվող կողմերին գծված հավասար բարձրություններով եռանկյունների հատկությունները, այլ նաև օգտագործելով S= 1/ բանաձևը։ 2 (աբ*սինա). Բացի այդ, դուք կարող եք մշակել մակագրված trapezoid կամ ուղղանկյուն եռանկյունի վրա շրջագծված trapezoid, եւ այլն:

Դպրոցական դասընթացի բովանդակության մեջ երկրաչափական պատկերի «արտծրագրային» հատկանիշների օգտագործումը դրանք դասավանդելու առաջադրանքային տեխնոլոգիա է: Ուսումնասիրված հատկությունների մշտական ​​դիմումը այլ թեմաներով անցնելիս թույլ է տալիս ուսանողներին ավելի խորը գիտելիքներ ձեռք բերել trapezoid-ի մասին և ապահովում է առաջադրանքների լուծման հաջողությունը: Այսպիսով, եկեք սկսենք ուսումնասիրել այս հրաշալի կերպարը։

Հավասարաչափ տրապեզիի տարրերն ու հատկությունները

Ինչպես արդեն նշել ենք, այս երկրաչափական պատկերի կողմերը հավասար են։ Այն նաև հայտնի է որպես աջ trapezoid: Ինչո՞ւ է այն այդքան ուշագրավ և ինչո՞ւ է ստացել այդպիսի անվանում։ Այս գործչի առանձնահատկությունները ներառում են այն փաստը, որ հիմքերի վրա ոչ միայն կողմերն ու անկյունները հավասար են, այլև անկյունագծերը: Նաև հավասարաչափ տրապիզոնի անկյունների գումարը 360 աստիճան է։ Բայց սա դեռ ամենը չէ։ Բոլոր հայտնի trapezoids-ից միայն հավասարաչափ շուրջը կարելի է նկարագրել շրջան: Դա պայմանավորված է նրանով, որ այս ցուցանիշի հակառակ անկյունների գումարը 180 աստիճան է, և միայն այս պայմանով կարելի է նկարագրել շրջանագիծ քառանկյունի շուրջ։ Քննարկվող երկրաչափական գործչի հաջորդ հատկությունն այն է, որ հեռավորությունը բազային գագաթից մինչև հակառակ գագաթի պրոյեկցիան ուղիղ գծի վրա, որը պարունակում է այս հիմքը, հավասար կլինի միջնագծին:

Հիմա եկեք պարզենք, թե ինչպես կարելի է գտնել հավասարաչափ trapezoid-ի անկյունները: Դիտարկենք այս խնդրի լուծումը, պայմանով, որ հայտնի են գործչի կողմերի չափերը:

Լուծում

Սովորաբար քառանկյունը սովորաբար նշվում է A, B, C, D տառերով, որտեղ BS և AD հիմքերն են: Հավասարաչափ տրապիզոիդում կողմերը հավասար են: Կենթադրենք, որ դրանց չափը X է, իսկ հիմքերի չափերը՝ Y և Z (համապատասխանաբար ավելի փոքր և ավելի մեծ)։ Հաշվարկն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է B անկյան տակից գծել H բարձրություն: Ստացվում է ABN ուղղանկյուն եռանկյուն, որտեղ AB-ն հիպոթենուսն է, իսկ BN-ն և AN-ը՝ ոտքերը: Մենք հաշվարկում ենք AN ոտքի չափը. փոքրը հանում ենք մեծ հիմքից և արդյունքը բաժանում ենք 2-ի: Մենք այն գրում ենք բանաձևի տեսքով՝ (Z-Y) / 2 \u003d F: Այժմ հաշվարկելու համար եռանկյան սուր անկյուն, մենք օգտագործում ենք cos ֆունկցիան: Ստանում ենք հետևյալ գրառումը՝ cos(β) = Х/F: Այժմ հաշվում ենք անկյունը՝ β=arcos (Х/F): Ավելին, իմանալով մեկ անկյունը, մենք կարող ենք որոշել երկրորդը, դրա համար մենք կատարում ենք տարրական թվաբանական գործողություն. 180 - β: Բոլոր անկյունները սահմանված են:

Կա նաև այս խնդրի երկրորդ լուծումը. Սկզբում B անկյունից իջեցնում ենք H բարձրությունը: Հաշվում ենք BN ոտքի արժեքը: Մենք գիտենք, որ հիպոթենուսի քառակուսին ուղղանկյուն եռանկյունհավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին։ Մենք ստանում ենք՝ BN \u003d √ (X2-F2): Հաջորդը, մենք օգտագործում ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիա tg. Արդյունքում մենք ունենք՝ β = arctg (BN / F): Սուր անկյունհայտնաբերվել է. Հաջորդը, մենք որոշում ենք նույն կերպ, ինչպես առաջին մեթոդը:

Հավասարաչափ տրապեզի անկյունագծերի հատկությունը

Եկեք նախ գրենք չորս կանոն. Եթե ​​հավասարաչափ տրապիզոիդում անկյունագծերը ուղղահայաց են, ապա.

Նկարի բարձրությունը հավասար կլինի երկուսի բաժանված հիմքերի գումարին.

Նրա բարձրությունը և միջին գիծը հավասար են.

Շրջանակի կենտրոնն այն կետն է, որտեղ ;

Եթե ​​կողային կողմը շփման կետով բաժանված է H և M հատվածների, ապա այն հավասար է քառակուսի արմատայս հատվածների արտադրանք;

Քառանկյունը, որը ձևավորվել է շոշափող կետերից, տրապեզի գագաթից և ներգծված շրջանագծի կենտրոնից, քառակուսի է, որի կողմը հավասար է շառավղին.

Ֆիգուրի մակերեսը հավասար է հիմքերի արտադրյալին և հիմքերի գումարի կեսի և նրա բարձրության արտադրյալին:

Նմանատիպ trapeziums

Այս թեման շատ հարմար է սրա հատկություններն ուսումնասիրելու համար, օրինակ՝ անկյունագծերը տրապեզը բաժանում են չորս եռանկյունների, իսկ հիմքերին հարողները նման են, իսկ կողմերին՝ հավասար։ Այս պնդումը կարելի է անվանել այն եռանկյունների հատկությունը, որոնց տրապեզը բաժանվում է իր անկյունագծերով։ Այս պնդման առաջին մասը ապացուցվում է երկու տեսանկյունից նմանության չափանիշով. Երկրորդ մասը ապացուցելու համար ավելի լավ է օգտագործել ստորև տրված մեթոդը։

Թեորեմի ապացույց

Մենք ընդունում ենք, որ ABSD (AD և BS - trapezoid-ի հիմքերը) նկարը բաժանված է VD և AC անկյունագծերով: Նրանց հատման կետը O է: Ստանում ենք չորս եռանկյունիներ՝ AOS - ստորին հիմքում, BOS - վերին հիմքում, ABO և SOD կողմերից: SOD և BOS եռանկյունները ունեն ընդհանուր բարձրություն, եթե BO և OD հատվածները դրանց հիմքերն են: Մենք ստանում ենք, որ նրանց տարածքների (P) տարբերությունը հավասար է այս հատվածների տարբերությանը. PBOS / PSOD = BO / OD = K: Հետևաբար, PSOD = PBOS / K: Նմանապես, BOS և AOB եռանկյունները ունեն ընդհանուր բարձրություն: Որպես հիմք վերցնում ենք CO և OA հատվածները։ Մենք ստանում ենք PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K և PAOB \u003d PBOS / K: Այստեղից հետևում է, որ ՊՍՈԴ = ՊԱՕԲ.

Նյութը համախմբելու համար ուսանողներին խորհուրդ է տրվում գտնել հարաբերություններ ստացված եռանկյունների այն մակերեսների միջև, որոնց մեջ տրապիզը բաժանվում է իր անկյունագծերով՝ լուծելով հետևյալ խնդիրը. Հայտնի է, որ BOS և AOD եռանկյունների մակերեսները հավասար են, անհրաժեշտ է գտնել trapezoid-ի տարածքը: Քանի որ PSOD \u003d PAOB, դա նշանակում է, որ PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD: BOS և AOD եռանկյունների նմանությունից հետևում է, որ BO / OD = √ (PBOS / PAOD): Հետևաբար, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD): Մենք ստանում ենք PSOD = √ (PBOS * PAOD): Այնուհետև PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2:

նմանության հատկություններ

Շարունակելով զարգացնել այս թեման՝ մենք կարող ենք այլ բան ապացուցել հետաքրքիր առանձնահատկություններ trapezium. Այսպիսով, օգտագործելով նմանությունը, դուք կարող եք ապացուցել հատվածի հատկությունը, որն անցնում է այս երկրաչափական գործչի անկյունագծերի խաչմերուկից ձևավորված կետով, հիմքերին զուգահեռ: Դրա համար լուծում ենք հետևյալ խնդիրը՝ անհրաժեշտ է գտնել RK հատվածի երկարությունը, որն անցնում է O կետով: AOD և BOS եռանկյունների նմանությունից հետևում է, որ AO/OS=AD/BS: AOP և ASB եռանկյունների նմանությունից հետևում է, որ AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD): Այստեղից մենք ստանում ենք, որ RO \u003d BS * AD / (BS + AD): Նմանապես, DOK և DBS եռանկյունների նմանությունից հետևում է, որ OK \u003d BS * AD / (BS + AD): Այստեղից մենք ստանում ենք, որ RO=OK և RK=2*BS*AD/(BS+AD): Անկյունագծերի հատման կետով անցնող ուղիղ հատվածը հիմքերին զուգահեռև միացնելով երկու կողմերը, հատվում է հատման կետով: Դրա երկարությունը պատկերի հիմքերի ներդաշնակ միջինն է:

Դիտարկենք տրապեզի հետևյալ հատկությունը, որը կոչվում է չորս կետերի հատկություն. Անկյունագծերի հատման կետերը (O), կողմերի շարունակության (E), ինչպես նաև հիմքերի միջնակետերը (T և W) միշտ գտնվում են նույն գծի վրա։ Դա հեշտությամբ ապացուցվում է նմանության մեթոդով։ Ստացված BES և AED եռանկյունները նման են, և դրանցից յուրաքանչյուրում ET և EZH միջնամասերը E գագաթի անկյունը բաժանում են հավասար մասերի: Այսպիսով, E, T և W կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա: Նույն կերպ T, O, G կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա։Այս ամենը բխում է BOS և AOD եռանկյունների նմանությունից։ Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ բոլոր չորս կետերը՝ E, T, O և W, ընկած են մեկ ուղիղ գծի վրա:

Օգտագործելով նմանատիպ trapezoids, ուսանողներին կարող են խնդրել գտնել հատվածի երկարությունը (LF), որը բաժանում է պատկերը երկու նմանների: Այս հատվածը պետք է զուգահեռ լինի հիմքերին: Քանի որ ստացված trapezoids ALFD և LBSF նման են, ապա BS/LF=LF/BP: Հետևում է, որ LF=√(BS*BP): Մենք ստանում ենք, որ այն հատվածը, որը բաժանում է trapezoid-ը երկու նմանների, ունի երկարություն, որը հավասար է նկարի հիմքերի երկարությունների երկրաչափական միջինին:

Դիտարկենք նմանության հետևյալ հատկությունը. Այն հիմնված է մի հատվածի վրա, որը տրապիզոիդը բաժանում է երկու հավասար չափերի թվերի։ Մենք ընդունում ենք, որ trapezoid ABSD-ը բաժանված է EN հատվածով երկու նմանատիպերի: B գագաթից բաց է թողնվում բարձրությունը, որը EH հատվածով բաժանվում է երկու մասի՝ B1 և B2: Մենք ստանում ենք՝ PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 և PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2: Հաջորդը, մենք կազմում ենք մի համակարգ, որի առաջին հավասարումն է (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2, իսկ երկրորդը (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Հետևում է, որ B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) և BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1): Ստանում ենք, որ տրապեզը երկու հավասարների բաժանող հատվածի երկարությունը հավասար է հիմքերի երկարությունների միջին քառակուսուն՝ √ ((BS2 + AD2) / 2):

Նմանության եզրակացություններ

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ.

1. Trapezoid-ի կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը զուգահեռ է AD-ին և BS-ին և հավասար է BS-ի և AD-ի միջին թվաբանականին (տրապիզոնի հիմքի երկարությունը):

2. AD-ին և BS-ին զուգահեռ անկյունագծերի հատման O կետով անցնող ուղիղը հավասար կլինի AD և BS (2 * BS * AD / (BS + AD)) թվերի ներդաշնակ միջինին:

3. Այն հատվածը, որը բաժանում է trapezoid-ը նմանատիպերի, ունի BS և AD հիմքերի երկրաչափական միջինի երկարությունը։

4. Տարրը, որը պատկերը բաժանում է երկու հավասարերի, ունի AD և BS միջին քառակուսի թվերի երկարությունը:

Նյութը համախմբելու և դիտարկված հատվածների միջև կապը հասկանալու համար աշակերտը պետք է դրանք կառուցի կոնկրետ trapezoid-ի համար: Նա կարող է հեշտությամբ ցուցադրել միջին գիծը և այն հատվածը, որն անցնում է O կետով՝ նկարի անկյունագծերի հատման կետը՝ հիմքերին զուգահեռ: Բայց որտե՞ղ կլինեն երրորդն ու չորրորդը։ Այս պատասխանը ուսանողին կհանգեցնի միջինների միջև ցանկալի հարաբերությունների բացահայտմանը:

Գծային հատված, որը միացնում է տրապիզոնի անկյունագծերի միջնակետերը

Դիտարկենք այս գործչի հետևյալ հատկությունը. Մենք ընդունում ենք, որ MH հատվածը զուգահեռ է հիմքերին և կիսում է անկյունագծերը: Անվանենք հատման կետերը W և W։ Այս հատվածը հավասար կլինի հիմքերի կիսա տարբերությանը։ Սա ավելի մանրամասն վերլուծենք։ MSH - ABS եռանկյան միջին գիծը, այն հավասար է BS / 2-ի: MS - ABD եռանկյան միջին գիծը, այն հավասար է AD / 2-ի: Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ ShShch = MShch-MSh, հետևաբար, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2:

Ծանրության կենտրոն

Եկեք նայենք, թե ինչպես է այս տարրը որոշվում տվյալ երկրաչափական պատկերի համար: Դա անելու համար անհրաժեշտ է երկարացնել հիմքերը հակառակ ուղղություններով: Ինչ է դա նշանակում? Անհրաժեշտ է ստորին հիմքը ավելացնել վերին հիմքին՝ կողմերից որևէ մեկին, օրինակ՝ դեպի աջ։ Իսկ ներքևը երկարացվում է վերևի երկարությամբ դեպի ձախ: Հաջորդը, մենք դրանք կապում ենք անկյունագծով: Այս հատվածի հատման կետը նկարի միջին գծի հետ հանդիսանում է տրապեզիի ծանրության կենտրոնը։

Արձանագրված և շրջագծված trapezoids

Թվարկենք նման գործիչների առանձնահատկությունները.

1. Trapezoid-ը կարելի է մակագրել շրջանագծի միայն այն դեպքում, եթե այն հավասարաչափ է:

2. Շրջանագծի շուրջը կարելի է նկարագրել տրապիզոն, պայմանով, որ դրանց հիմքերի երկարությունների գումարը հավասար լինի կողմերի երկարությունների գումարին։

Ներգծված շրջանագծի հետևանքները.

1. Նկարագրված trapezoid-ի բարձրությունը միշտ հավասար է երկու շառավիղների։

2. Նկարագրված trapezoid-ի կողային կողմը դիտվում է շրջանագծի կենտրոնից՝ ուղիղ անկյան տակ։

Առաջին հետևանքն ակնհայտ է, իսկ երկրորդն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է հաստատել, որ SOD անկյունը ճիշտ է, ինչը, ըստ էության, նույնպես դժվար չի լինի։ Բայց գիտելիք տրված գույքըթույլ է տալիս խնդիրներ լուծելիս օգտագործել ուղղանկյուն եռանկյուն:

Այժմ մենք նշում ենք այս հետևանքները հավասարաչափ trapezoid-ի համար, որը գծագրված է շրջանագծով: Ստանում ենք, որ բարձրությունը նկարի հիմքերի երկրաչափական միջինն է՝ H=2R=√(BS*AD): Կիրառելով տրապիզոիդների խնդիրների լուծման հիմնական տեխնիկան (երկու բարձունքներ գծելու սկզբունքը), ուսանողը պետք է լուծի հետևյալ խնդիրը. Մենք ընդունում ենք, որ BT-ն ABSD հավասարաչափ պատկերի բարձրությունն է: Անհրաժեշտ է գտնել AT և TD հատվածները: Օգտագործելով վերը նկարագրված բանաձևը, դա դժվար չի լինի անել:

Այժմ եկեք պարզենք, թե ինչպես կարելի է որոշել շրջանագծի շառավիղը՝ օգտագործելով շրջագծված տրապիզոնի տարածքը: Մենք իջեցնում ենք բարձրությունը B վերևից մինչև AD հիմքը: Քանի որ շրջանակը գրված է trapezoid-ով, ապա BS + AD \u003d 2AB կամ AB \u003d (BS + AD) / 2: ABN եռանկյունից մենք գտնում ենք sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD): PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R: Մենք ստանում ենք PABSD \u003d (BS + HELL) * R, հետևում է, որ R \u003d PABSD / (BS + HELL):

Trapezoid-ի միջին գծի բոլոր բանաձևերը

Այժմ ժամանակն է անցնելու այս երկրաչափական գործչի վերջին տարրին: Եկեք պարզենք, թե ինչի է հավասար տրապեզի (M) միջին գիծը.

1. Հիմքերի միջոցով՝ M \u003d (A + B) / 2:

2. Բարձրության, հիմքի և անկյունների միջոցով.

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2:

3. Բարձրության, անկյունագծերի և նրանց միջև եղած անկյունի միջով: Օրինակ, D1-ը և D2-ը trapezoid-ի անկյունագծերն են. α, β - նրանց միջև եղած անկյունները.

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H:

4. Տարածքի և բարձրության միջով` M = P / N: