Az LCM (legkisebb közös többszörös) megtalálása

Két egész szám közös többszöröse az az egész szám, amely maradék nélkül egyenlően osztható mindkét adott számmal.

Két egész szám legkisebb közös többszöröse az összes szám közül a legkisebb, amely egyenletesen és maradék nélkül osztható mindkét adott számmal.

1. módszer. Az LCM-et viszont minden adott számhoz megtalálhatja, növekvő sorrendben kiírva az összes számot, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk őket 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel stb.

Példa a 6-os és 9-es számokhoz.
A 6-ot egymás után megszorozzuk 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.
Kapunk: 6, 12, 18 , 24, 30
A 9-et egymás után megszorozzuk 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel.
Kapunk: 9, 18 , 27, 36, 45
Amint látja, a 6-os és 9-es számok LCM-je 18 lesz.

Ez a módszer akkor kényelmes, ha mindkét szám kicsi, és könnyű megszorozni őket egész számok sorozatával. Vannak azonban olyan esetek, amikor meg kell találnia az LCM-et két- vagy háromjegyű számokhoz, és akkor is, ha három vagy akár több kezdeti szám van.

2. módszer. Az LCM-et úgy találhatja meg, hogy az eredeti számokat prímtényezőkre bontja.
Felbontás után törölni kell a kapott sorokból elsődleges tényezők ugyanazok a számok. Az első szám fennmaradó számai a második, a második szám fennmaradó számai pedig az első tényezője.

Példa a 75-ös és 60-as számra.
A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit sorba írnánk. Ehhez a 75-öt és a 60-at prímtényezőkre bontjuk:
75 = 3 * 5 * 5, és
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Mint látható, a 3-as és az 5-ös faktor mindkét sorban előfordul. Mentálisan "áthúzzuk" őket.
Írjuk fel az egyes számok kibontásában szereplő fennmaradó tényezőket. A 75-ös szám bontásánál hagytuk az 5-ös számot, a 60-as szám bontásánál pedig 2*2-t
Tehát a 75-ös és 60-as számok LCM-jének meghatározásához meg kell szoroznunk a 75-ös kiterjesztésből fennmaradó számokat (ez 5) 60-zal, és a 60-as szám kiterjesztéséből fennmaradó számokat (ez 2 * 2). ) szorozzuk meg 75-tel. Vagyis a könnyebb érthetőség kedvéért azt mondjuk, hogy "keresztbe" szorozzuk.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Így találtuk meg a 60-as és 75-ös számok LCM-jét. Ez a 300-as szám.

Példa. Határozza meg az LCM-et a 12, 16, 24 számokhoz
Ebben az esetben a cselekedeteink valamivel bonyolultabbak lesznek. De először is, mint mindig, az összes számot prímtényezőkre bontjuk
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Az LCM helyes meghatározásához az összes szám közül kiválasztjuk a legkisebbet (ez a 12-es szám), és egymás után végigmegyünk a faktorokon, áthúzva azokat, ha a többi számsor legalább egyikében ugyanaz a tényező, amelyet még nem húztak át. ki.

1. lépés . Látjuk, hogy a 2 * 2 minden számsorozatban előfordul. Áthúzzuk őket.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. lépés: A 12-es szám prímtényezőiben csak a 3 marad meg, de a 24-es szám prímtényezőiben jelen van. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Mint látható, a 12-es szám felbontásakor az összes számot "áthúztuk". Tehát a NOC megtalálása befejeződött. Már csak az értékét kell kiszámítani.
A 12-es számhoz a fennmaradó tényezőket a 16-os számból vesszük (a legközelebbi növekvő sorrendben)
12 * 2 * 2 = 48
Ez a NOC

Amint láthatja, ebben az esetben az LCM megtalálása valamivel nehezebb volt, de ha három vagy több számhoz kell megtalálnia, Ily módon gyorsabb elvégzését teszi lehetővé. Az LCM megtalálásának mindkét módja azonban helyes.

A diákok sok matematikai feladatot kapnak. Közöttük nagyon gyakran vannak a következő megfogalmazású feladatok: két érték van. Hogyan találjuk meg a megadott számok legkisebb közös többszörösét? Az ilyen feladatokat el kell tudni végezni, hiszen a megszerzett készségeket a törtekkel való munkavégzéshez használják fel, amikor különböző nevezők. A cikkben elemezzük, hogyan találjuk meg az LCM-et és az alapfogalmakat.

Mielőtt megtalálná a választ arra a kérdésre, hogy hogyan találja meg az LCM-et, meg kell határoznia a többszörös kifejezést. Ennek a fogalomnak a megfogalmazása leggyakrabban a következő: valamilyen A érték többszöröse egy természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Tehát 4, 8, 12, 16, 20 stb. a szükséges határértéket.

Ebben az esetben egy adott érték osztóinak száma korlátozható, és végtelenül sok többszöröse van. Ugyanez vonatkozik a természeti értékekre is. Ez egy mutató, amelyet maradék nélkül osztanak el. Miután foglalkoztunk bizonyos mutatók legkisebb értékének fogalmával, térjünk át a megtalálásának módjára.

A NOC megtalálása

Két vagy több kitevő legkisebb többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely teljes mértékben osztható az összes megadott számmal.

Számos módja van egy ilyen érték megtalálásának. Tekintsük a következő módszereket:

1. Ha a számok kicsik, akkor írja be a sorba az összes osztható számot. Addig csináld ezt, amíg nem találsz valami közöset közöttük. A rekordban K betűvel vannak jelölve. Például 4 és 3 esetén a legkisebb többszörös 12.
2. Ha ezek nagyok, vagy 3 vagy több érték többszörösét kell találnia, akkor itt más technikát kell használnia, amely magában foglalja a számok prímtényezőkre történő felosztását. Először rakja ki a jelzett közül a legnagyobbat, majd az összes többit. Mindegyiknek megvan a maga szorzószáma. Példaként bontsuk fel a 20-at (2*2*5) és az 50-et (5*5*2). A kisebbiknél húzza alá a tényezőket, és adja hozzá a legnagyobbhoz. Az eredmény 100 lesz, ami a fenti számok legkisebb közös többszöröse.
3. 3 szám (16, 24 és 36) keresésekor az elvek ugyanazok, mint a másik kettőnél. Bővítsük ki mindegyiket: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. A 16-os szám felbontásából csak két kettőt nem vettünk bele a legnagyobbak kibontásába, ezeket összeadva 144-et kapunk, ami a legkisebb eredmény a korábban feltüntetett számértékeknél.

Most már tudjuk, mi az általános technika két, három vagy több érték legkisebb értékének meghatározására. Vannak azonban privát módszerek is, segít a NOC-ok felkutatásában, ha az előzőek nem segítenek.

Hogyan lehet megtalálni a GCD-t és a NOC-t.

Privát keresési módok

Mint minden matematikai résznél, itt is vannak speciális esetek az LCM-ek megtalálásában, amelyek bizonyos helyzetekben segítenek:

• ha az egyik szám maradék nélkül osztható a többivel, akkor e számok legkisebb többszöröse egyenlő vele (NOC 60 és 15 egyenlő 15-tel);
• A másodprímszámoknak nincs közös prímosztójuk. Legkisebb értékük e számok szorzatával egyenlő. Így a 7-es és 8-as számok esetében ez 56 lesz;
• ugyanez a szabály más esetekben is működik, beleértve a speciális eseteket is, amelyekről a szakirodalomban olvashatunk. Ide tartoznak az összetett számok dekompozíciójának esetei is, amelyek külön cikkek, sőt Ph.D. értekezések tárgyát képezik.

A speciális esetek kevésbé gyakoriak, mint a szabványos példák. De nekik köszönhetően megtanulhatja, hogyan kell dolgozni a különböző bonyolultságú frakciókkal. Ez különösen igaz a törtekre., ahol különböző nevezők vannak.

Néhány példa

Nézzünk meg néhány példát, amelyeknek köszönhetően megértheti a legkisebb többszörös megtalálásának elvét:

1. LCM-et találunk (35; 40). Először 35 = 5*7, majd 40 = 5*8 rakjuk ki. A legkisebb számhoz hozzáadunk 8-at, és megkapjuk a NOC 280-at.
2. NOC (45; 54). Mindegyiket kirakjuk: 45 = 3*3*5 és 54 = 3*3*6. A 6-os számot hozzáadjuk 45-höz. A NOC értéke 270.
3. Nos, az utolsó példa. Van 5 és 4. Nincsenek egyszerű többszöröseik, így ebben az esetben a legkisebb közös többszörösük lesz a szorzatuk, ami egyenlő 20-zal.

A példáknak köszönhetően megértheti, hogyan található a NOC, mik az árnyalatok és mi az ilyen manipulációk jelentése.

A NOC megtalálása sokkal könnyebb, mint elsőre tűnik. Ehhez mind az egyszerű bővítést, mind az egyszerű értékek egymáshoz való szorzását használják.. A matematika ezen részével való munkavégzés segíti a továbbtanulást matematikai témák, különösen a különböző bonyolultságú frakciók.

Ne felejtse el rendszeresen megoldani a példákat különböző módszerekkel, ez fejleszti a logikai apparátust, és lehetővé teszi számos kifejezés emlékezését. Tanuljon meg módszereket egy ilyen mutató megtalálására, és jól tud majd dolgozni a többi matematikai szakaszsal. Boldog matematika tanulást!

Videó

Ez a videó segít megérteni és emlékezni arra, hogyan találja meg a legkisebb közös többszöröst.

Tekintsünk három módszert a legkisebb közös többszörös megtalálására.

Megállapítás faktorozással

Az első módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása úgy, hogy a megadott számokat prímtényezőkké alakítjuk.

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a 99, 30 és 28 számok LCM-jét. Ehhez a számokat prímtényezőkre bontjuk:

Ahhoz, hogy a kívánt szám osztható legyen 99-cel, 30-cal és 28-cal, szükséges és elegendő, hogy tartalmazza ezen osztók összes prímtényezőjét. Ehhez a számok összes prímtényezőjét a legmagasabb előfordulási hatványra kell venni, és össze kell szorozni őket:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Tehát LCM (99, 30, 28) = 13 860. A 13 860-nál kisebb számok nem oszthatók egyenletesen 99-cel, 30-cal vagy 28-cal.

Adott számok legkisebb közös többszörösének megtalálásához fel kell bontania őket prímtényezőkre, majd minden egyes prímtényezőt a legnagyobb kitevővel kell felvenni, és ezeket a tényezőket össze kell szorozni.

Mivel a koprímszámoknak nincs közös prímtényezője, a legkisebb közös többszörösük egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával. Például három szám: 20, 49 és 33 koprím. Ezért

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Ugyanezt kell tenni, amikor a különféle legkisebb közös többszörösét keressük prímszámok. Például LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Keresés kiválasztással

A második módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása illesztéssel.

1. példa Ha a megadott számok közül a legnagyobb egyenlően osztható más megadott számokkal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő a nagyobbik számmal. Például adott négy szám: 60, 30, 10 és 6. Mindegyik osztható 60-al, ezért:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Más esetekben a legkisebb közös többszörös megtalálásához a következő eljárást alkalmazzuk:

1. Határozd meg a megadott számok közül a legnagyobb számot!
2. Ezután olyan számokat keresünk, amelyek a legnagyobb szám többszörösei, megszorozzuk a természetes számokkal növekvő sorrendben, és ellenőrizzük, hogy a fennmaradó adott számok oszthatók-e a kapott szorzattal.

2. példa Adott három szám: 24, 3 és 18. Határozza meg közülük a legnagyobbat – ez a 24. Ezután keresse meg a 24 többszörösét, és ellenőrizze, hogy mindegyik osztható-e 18-cal és 3-mal:

24 1 = 24 osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.

24 2 = 48 - osztható 3-mal, de nem osztható 18-cal.

24 3 \u003d 72 - osztható 3-mal és 18-cal.

Tehát LCM(24; 3; 18) = 72.

Keresés szekvenciális kereséssel LCM

A harmadik módszer a legkisebb közös többszörös megtalálása az LCM egymás utáni megkeresésével.

Két adott szám LCM-je egyenlő ezeknek a számoknak a szorzatával, osztva a legnagyobb közös osztóval.

Példa 1. Keresse meg két megadott szám LCM-jét: 12 és 8. Határozza meg a legnagyobb közös osztójukat: GCD (12, 8) = 4. Szorozd meg ezeket a számokat:

A terméket a GCD-jükre osztjuk:

Tehát LCM(12; 8) = 24.

A három vagy több szám LCM-jének meghatározásához a következő eljárást kell használni:

1. Először a megadott számok közül bármelyik kettő LCM-jét megtaláljuk.
2. Ezután a talált legkisebb közös többszörös és a harmadik megadott szám LCM-je.
3. Ezután a kapott legkisebb közös többszörös és a negyedik szám LCM-je, és így tovább.
4. Így az LCM keresés addig tart, amíg vannak számok.

2. példa Keressük meg három megadott szám LCM-jét: 12, 8 és 9. Az előző példában már megtaláltuk a 12 és 8 számok LCM-jét (ez a 24-es szám). Meg kell találni a 24 legkisebb közös többszörösét és a harmadik megadott számot - 9. Határozzuk meg a legnagyobb közös osztójukat: gcd (24, 9) = 3. Szorozzuk meg az LCM-et 9-cel:

A terméket a GCD-jükre osztjuk:

Tehát LCM(12; 8; 9) = 72.

De sok természetes szám egyenletesen osztható más természetes számokkal.

Például:

A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;

A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.

Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható (12 esetén 1, 2, 3, 4, 6 és 12), az ún. számosztók. Természetes szám osztója a az a természetes szám, amely elosztja az adott számot a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több tényezője van összetett .

Vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös osztói vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aés b az a szám, amellyel mindkét adott szám osztható maradék nélkül aés b.

közös többszörös több számot úgy nevezünk, hogy osztható ezekkel a számokkal. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes jközös többszörös között mindig ott van a legkisebb, ebben az esetben ez 90. Ezt a számot ún. legkevésbéközös többszörös (LCM).

Az LCM mindig természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.

Legkisebb közös többszörös (LCM). Tulajdonságok.

Kommutativitás:

Aszociativitás:

Konkrétan, ha a és koprímszámok , akkor:

Két egész szám legkisebb közös többszöröse més n az összes többi közös többszörös osztója més n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m,n egybeesik az LCM() többszöröseinek halmazával m,n).

Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.

Így, Csebisev függvény. Szintén:

Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).

Ami a prímszámok eloszlásának törvényéből következik.

A legkisebb közös többszörös megkeresése (LCM).

NEM C( a, b) többféleképpen számítható ki:

1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM-mel:

2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre:

ahol p 1 ,...,p k különböző prímszámok, és d 1 ,...,d kés e 1 ,...,ek nem negatív egész számok (ezek nullák is lehetnek, ha a megfelelő prím nem szerepel a bővítésben).

Ezután LCM ( a,b) a következő képlettel számítható ki:

Más szavakkal, az LCM dekompozíció tartalmazza az összes olyan prímtényezőt, amely a számok legalább egy dekompozíciójában megjelenik. a, b, és ennek a tényezőnek a két kitevője közül a legnagyobbat vesszük.

Példa:

Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása két szám LCM-jének több egymást követő számítására redukálható:

Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

- a számokat prímtényezőkre bontani;

- a legnagyobb bővülést átvinni a kívánt termék tényezőibe (a faktorok szorzatába egy nagy szám a megadottak közül), majd adjunk hozzá más olyan számok felbontásából származó tényezőket, amelyek nem fordulnak elő az első számban, vagy kevesebbszer szerepelnek benne;

- a prímtényezők eredő szorzata az adott számok LCM-je lesz.

Bármelyik kettő vagy több természetes számok megvan a NOC-juk. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.

A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítettük 3-as tényezővel (a 21-gyel), így a kapott szorzat (84) a legkisebb 21-gyel és 28-cal osztható szám lesz.

A legnagyobb 30-as prímtényezőit kiegészítettük a 25-ös szám 5-ös szorzatával, így a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és osztható mindennel. adott számokat nyom nélkül. Ez a lehető legkisebb szorzat (150, 250, 300...), amelynek minden megadott szám többszöröse.

A 2,3,11,37 számok prímszámok, tehát LCM-jük egyenlő a megadott számok szorzatával.

szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.

Egy másik lehetőség:

Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:

1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) írja le az összes prímtényező hatványait:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) írja fel az egyes számok összes prímosztóját (szorzóját);

4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb fokozatot, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;

5) szorozd meg ezeket a hatványokat.

Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.

Megoldás. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kiírjuk az összes prímosztó legnagyobb hatványait, és megszorozzuk őket:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.