legnagyobb közös osztó a legkisebb közös többszörös pedig a kulcsfontosságú aritmetikai fogalmak, amelyek lehetővé teszik a könnyed működést közönséges törtek. LCM és leggyakrabban több tört közös nevezőjének megtalálására használják.

Alapfogalmak

Egy X egész szám osztója egy másik Y egész szám, amellyel X maradék nélkül osztható. Például 4 osztója 2, 36 pedig 4, 6, 9. Az X egész szám többszöröse egy Y szám, amely maradék nélkül osztható X-szel. Például a 3 a 15 többszöröse, a 6 pedig a 12 többszöröse.

Bármely számpárhoz megtalálhatjuk közös osztójukat és többszöröseiket. Például 6-ra és 9-re a közös többszörös 18, a közös osztó pedig 3. Nyilvánvaló, hogy a pároknak több osztója és többszöröse is lehet, így a számításokhoz a GCD legnagyobb osztóját és az LCM legkisebb többszörösét használjuk. .

A legkisebb osztónak nincs értelme, mivel bármely szám esetén mindig egy. A legnagyobb többszörös is értelmetlen, mivel a többszörösek sorozata a végtelenbe hajlik.

GCD keresése

Számos módszer létezik a legnagyobb közös osztó megtalálására, amelyek közül a leghíresebbek:

• osztók szekvenciális felsorolása, közösek kiválasztása egy párhoz és a legnagyobb keresése;
• a számok felosztása oszthatatlan tényezőkre;
• Euklidész algoritmusa;
• bináris algoritmus.

Ma at oktatási intézmények A legnépszerűbb módszerek a bontás elsődleges tényezőkés Euklidész algoritmusa. Ez utóbbit pedig a diofantini egyenletek megoldásában használják: a GCD keresése szükséges ahhoz, hogy ellenőrizzük az egyenlet egész számokban való feloldásának lehetőségét.

A NOC megtalálása

A legkisebb közös többszöröst is pontosan meghatározza az iteratív felsorolás vagy oszthatatlan faktorokká alakítás. Ezenkívül könnyű megtalálni az LCM-et, ha a legnagyobb osztó már meghatározásra került. Az X és Y számok esetében az LCM és a GCD a következő összefüggéssel függ össze:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Például, ha gcd(15,18) = 3, akkor LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Az LCM legkézenfekvőbb használata a közös nevező megtalálása, amely a legkisebb közös többszöröse. adott törtek.

Második prímszámok

Ha egy számpárnak nincs közös osztója, akkor az ilyen párokat koprímnek nevezzük. Az ilyen párok GCM-je mindig egyenlő eggyel, és az osztók és többszörösek összekapcsolása alapján a koprím GCM-je megegyezik a szorzatukkal. Például a 25 és 28 számok koprímek, mert nincs közös osztójuk, és LCM(25, 28) = 700, ami megfelel a szorzatuknak. Bármely két oszthatatlan szám mindig másodprím lesz.

Közös osztó és többszörös számológép

Számológépünkkel tetszőleges számú számra kiszámolhatja a GCD-t és az LCM-et. A közös osztók és többszörösek kiszámítására szolgáló feladatok az 5. és 6. osztályos aritmetikában találhatók, azonban a GCD és az LCM a matematika kulcsfogalmai, és a számelméletben, a planimetriában és a kommunikációs algebrában használatosak.

Példák az életből

Törtek közös nevezője

A legkisebb közös többszöröst több tört közös nevezőjének megtalálásakor használjuk. Tegyük fel, hogy egy aritmetikai feladatban 5 törtet kell összeadni:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Törtek hozzáadásához a kifejezést közös nevezőre kell redukálni, ami az LCM megtalálásának problémáját jelenti. Ehhez válasszon ki 5 számot a számológépben, és írja be a nevező értékeit a megfelelő cellákba. A program kiszámítja az LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 értéket. Most minden törthez további tényezőket kell kiszámítania, amelyek az LCM és a nevező arányaként vannak meghatározva. Tehát az extra szorzók így néznek ki:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Ezt követően az összes törtet megszorozzuk a megfelelő kiegészítő tényezővel, és megkapjuk:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Könnyen összeadhatjuk az ilyen törteket, és az eredményt 159/360 formában kapjuk meg. Csökkentjük a törtet 3-mal, és látjuk a végső választ - 53/120.

Lineáris diofantin egyenletek megoldása

A lineáris diofantin egyenletek ax + by = d alakú kifejezések. Ha a d / gcd(a, b) arány egész szám, akkor az egyenlet egész számokban megoldható. Nézzünk meg néhány egyenletet az egész megoldás lehetőségére. Először ellenőrizze a 150x + 8y = 37 egyenletet. Számológép segítségével azt találjuk, hogy gcd (150,8) = 2. Osztás 37/2 = 18,5. A szám nem egész szám, ezért az egyenletnek nincs egész gyöke.

Ellenőrizzük az 1320x + 1760y = 10120 egyenletet. Számológép segítségével keressük meg a gcd(1320, 1760) = 440 értéket. Oszd meg 10120/440 = 23. Ennek eredményeként egész számot kapunk, tehát a Diofantin együttható kiegyenlíthető együtthatója .

Következtetés

A GCD és az LCM fontos szerepet játszik a számelméletben, és magukat a fogalmakat széles körben használják a matematika különböző területein. Számológépünk segítségével számíthatja ki tetszőleges számú szám legnagyobb osztóit és legkisebb többszöröseit.

Az alábbiakban bemutatott anyag logikus folytatása az LCM - legkisebb közös többszörös, definíció, példák, az LCM és a GCD kapcsolata című cikkben szereplő elmélet elméletének. Itt fogunk beszélni a legkisebb közös többszörös megtalálása (LCM), és fordítson különös figyelmet a példák megoldására. Először is mutassuk meg, hogyan számítják ki két szám LCM-jét e számok GCD-je alapján. Ezután fontolja meg a legkisebb közös többszörös megtalálását úgy, hogy a számokat prímtényezőkké alakítja. Ezt követően három vagy több szám LCM-jének megkeresésére összpontosítunk, és figyelmet fordítunk a negatív számok LCM-jének kiszámítására is.

Oldalnavigáció.

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása a gcd-n keresztül

A legkisebb közös többszörös megtalálásának egyik módja az LCM és a GCD közötti kapcsolat. Az LCM és a GCD között fennálló kapcsolat lehetővé teszi két pozitív egész szám legkisebb közös többszörösének kiszámítását az ismert legnagyobb közös osztón keresztül. A megfelelő képletnek van formája LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Tekintsen példákat az LCM megtalálására a fenti képlet szerint.

Példa.

Határozzuk meg a 126 és 70 két szám legkisebb közös többszörösét!

Megoldás.

Ebben a példában a=126 , b=70 . Használjuk az LCM és a GCD közötti összefüggést a képlettel kifejezve LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Vagyis először meg kell találnunk a 70 és 126 számok legnagyobb közös osztóját, ami után az írott képlet alapján ki tudjuk számítani ezeknek a számoknak az LCM-jét.

Keresse meg a gcd(126, 70) értéket Euklidész algoritmusával: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , ebből következően gcd(126, 70)=14 .

Most megtaláljuk a szükséges legkisebb közös többszöröst: LCM(126,70)=126,70: GCM(126,70)= 126 70:14=630 .

Válasz:

LCM(126,70)=630.

Példa.

Mi az LCM(68, 34)?

Megoldás.

Mert 68 egyenletesen osztható 34 -gyel, akkor gcd(68, 34)=34 . Most kiszámítjuk a legkisebb közös többszöröst: LCM(68,34)=6834: LCM(68,34)= 68 34:34=68 .

Válasz:

LCM(68,34)=68.

Figyeljük meg, hogy az előző példa megfelel a következő szabálynak az LCM meghatározására az a és b pozitív egész számokra: ha az a szám osztható b -vel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a.

Az LCM megkeresése a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

A legkisebb közös többszörös megtalálásának másik módja a számok prímtényezőkbe való faktorálása. Ha ezeknek a számoknak az összes prímtényezőjéből szorzatot készítünk, majd ebből a szorzatból kizárunk minden olyan gyakori prímtényezőt, amely e számok kiterjesztésében jelen van, akkor a kapott szorzat egyenlő lesz e számok legkisebb közös többszörösével.

Az LCM megtalálásának meghirdetett szabálya az egyenlőségből következik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Valóban, az a és b számok szorzata egyenlő az a és b számok kiterjesztésében részt vevő összes tényező szorzatával. Viszont gcd(a, b) egyenlő a termékkel minden prímtényező, amely egyidejűleg jelen van az a és b számok kiterjesztésében (amelyet a GCD megtalálása a számok prímtényezőkre való felbontásával című részben ismertetünk).

Vegyünk egy példát. Tudjuk, hogy 75=3 5 5 és 210=2 3 5 7 . Állítsa össze ezen bővítések összes tényezőjének szorzatát: 2 3 3 5 5 5 7 . Most ebből a szorzatból kizárjuk mindazon tényezőket, amelyek mind a 75-ös, mind a 210-es szám kiterjesztésében jelen vannak (ilyenek a 3-as és az 5-ös tényezők), ekkor a szorzat 2 3 5 5 7 alakot ölt. Ennek a szorzatnak az értéke egyenlő a 75 és 210 számok legkisebb közös többszörösével, azaz LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Példa.

Miután a 441-es és 700-as számokat prímtényezőkké alakította, keresse meg e számok legkisebb közös többszörösét.

Megoldás.

Bontsuk fel a 441 és 700 számokat prímtényezőkre:

441=3 3 7 7 és 700=2 2 5 5 7 kapjuk.

Most készítsünk szorzatot az összes tényezőből, amely részt vesz ezeknek a számoknak a bővítésében: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Zárjuk ki ebből a szorzatból mindazokat a tényezőket, amelyek mindkét bővítésben egyidejűleg jelen vannak (egyetlen ilyen tényező van - ez a 7-es szám): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Ily módon LCM(441; 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Válasz:

LCM(441; 700) = 44 100 .

Az LCM megtalálásának szabálya a számok prímtényezőkre történő felbontásával egy kicsit másképp is megfogalmazható. Ha összeadjuk a b szám kibővítéséből hiányzó tényezőket az a szám felbontásából származó tényezőkkel, akkor a kapott szorzat értéke egyenlő lesz az a és b számok legkisebb közös többszörösével..

Vegyük például ugyanazokat a 75-ös és 210-es számokat, prímtényezőkre való kiterjesztéseik a következők: 75=3 5 5 és 210=2 3 5 7 . A 75-ös szám bővítéséből származó 3-as, 5-ös és 5-ös faktorokhoz hozzáadjuk a 210-es szám bővítéséből hiányzó 2-es és 7-es tényezőket, így a 2 3 5 5 7 szorzatot kapjuk, melynek értéke LCM(75 , 210) .

Példa.

Keresse meg 84 és 648 legkisebb közös többszörösét.

Megoldás.

Először megkapjuk a 84 és 648 számok prímtényezőkre való felosztását. Így néznek ki: 84=2 2 3 7 és 648=2 2 2 3 3 3 3. A 2, 2, 3 és 7 faktorokhoz a 84-es szám bővítéséből adjuk hozzá a hiányzó 2, 3, 3 és 3-as faktorokat a 648-as szám bővítéséből, így a 2 2 2 3 3 3 3 7 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 4 536 . Így a 84 és 648 számok kívánt legkisebb közös többszöröse 4536.

Válasz:

LCM(84,648)=4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse úgy található meg, hogy egymás után megkeresi két szám LCM-jét. Idézzük fel a megfelelő tételt, amely lehetőséget ad három vagy több szám LCM-jének megtalálására.

Tétel.

Legyenek adottak pozitív egészek a 1 , a 2 , …, a k, ezeknek a számoknak az m k legkisebb közös többszöröse megtalálható a szekvenciális számításban m 2 = LCM (a 1, a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Tekintsük ennek a tételnek az alkalmazását négy szám legkisebb közös többszörösének megtalálásának példáján.

Példa.

Keresse meg a négy szám 140, 9, 54 és 250 LCM-jét.

Megoldás.

Ebben a példában a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Először megtaláljuk m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével meghatározzuk a gcd(140, 9) , 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , ezért gcd( 140, 9)=1 , honnan LCM(140,9)=1409: LCM(140,9)= 140 9:1=1 260 . Azaz m 2 =1 260 .

Most megtaláljuk m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Számítsuk ki a gcd(1 260, 54) -n keresztül, amit szintén az Euklidész algoritmus határoz meg: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Ekkor gcd(1 260, 54)=18 , innen LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Vagyis m 3 \u003d 3 780.

Balra találni m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Ehhez az Euklidész algoritmussal keressük meg a GCD(3 780, 250) értéket: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Ezért gcd(3 780, 250)=10, innen: gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Vagyis m 4 \u003d 94 500.

Tehát az eredeti négy szám legkisebb közös többszöröse 94 500.

Válasz:

LCM(140;9;54;250)=94500.

Sok esetben három vagy több szám legkisebb közös többszörösét kényelmesen megtalálhatjuk adott számok prímtényezőivel. Ebben az esetben a következő szabályt kell követni. Több szám legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzattal, amely a következőképpen áll össze: a második szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az első szám bővítéséből származó összes tényezőhöz, a hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből. a harmadik számot hozzáadjuk a kapott tényezőkhöz, és így tovább.

Tekintsünk egy példát a legkisebb közös többszörös megtalálására a számok prímtényezőkre történő felosztásával.

Példa.

Határozzuk meg öt szám legkisebb közös többszörösét 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Megoldás.

Először is megkapjuk ezeknek a számoknak a prímtényezőkre való kiterjesztését: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prímtényezők) és 143=11 13 .

Ezen számok LCM-jének megtalálásához az első 84-es szám faktoraihoz (ezek 2 , 2 , 3 és 7 ) hozzá kell adni a 6 második szám bővítéséből hiányzó tényezőket. A 6-os szám bővítése nem tartalmaz hiányzó tényezőket, hiszen az első 84-es szám bővítésében már a 2-es és a 3-as is jelen van. A 2-es, 2-es, 3-as és 7-es faktorokhoz hozzáadjuk a 48-as harmadik szám bővítéséből a hiányzó 2-es és 2-es tényezőket, így a 2, 2, 2, 2, 3 és 7 faktorok halmazát kapjuk. Ehhez a halmazhoz nem kell faktorokat hozzáadni a következő lépésben, mivel a 7 már benne van. Végül a 2 , 2 , 2 , 2 , 3 és 7 faktorokhoz hozzáadjuk a 143 szám bővítéséből hiányzó 11 és 13 faktorokat. A 2 2 2 2 3 7 11 13 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 48 048-cal.

Második szám: b=

Szám elválasztó Nincs szóközelválasztó " "

Eredmény:

Legnagyobb közös osztó gcd( a,b)=6

LCM( legkisebb közös többszöröse a,b)=468

Legnagyobb természetes szám, amellyel az a és b számok maradék nélkül oszthatók, nevezzük legnagyobb közös osztó(gcd) ezen számok közül. Jelölve: gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) vagy hcf(a,b).

Legkisebb közös többszörös Az a és b két egész szám (LCM) a legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható a-val és b-vel. Jelölve LCM(a,b), vagy lcm(a,b).

Az a és b egész számokat hívjuk koprime ha a +1-en és a -1-en kívül nincs más közös osztójuk.

Legnagyobb közös osztó

Adjunk meg két pozitív számot a 1 és a 2 1). Meg kell találni ezeknek a számoknak közös osztóját, pl. találni egy ilyen számot λ , amely elosztja a számokat a 1 és a 2 egyszerre. Ismertesse az algoritmust.

1) Ebben a cikkben a szám szó egész számot jelent.

Hadd a 1 ≥ a 2 és hagyjuk

ahol m 1 , a 3 néhány egész szám, a 3 <a 2 (a osztás maradéka a 1 on a 2 legyen kevesebb a 2).

Tegyünk úgy, mintha λ oszt a 1 és a 2, akkor λ oszt m 1 a 2 és λ oszt a 1 −m 1 a 2 =a 3. (A "Számok oszthatósága. Az oszthatóság jele" cikk 2. állítása). Ebből következik, hogy minden közös osztó a 1 és a 2 közös osztó a 2 és a 3. Ennek a fordítottja is igaz, ha λ közös osztó a 2 és a 3, akkor m 1 a 2 és a 1 =m 1 a 2 +a 3 is fel van osztva λ . Innen a közös osztó a 2 és a A 3 is közös osztó a 1 és a 2. Mert a 3 <a 2 ≤a 1 , akkor azt mondhatjuk, hogy a megoldás a számok közös osztójának megtalálására a 1 és a 2 egy egyszerűbb feladatra redukálva a számok közös osztóját a 2 és a 3 .

Ha egy a 3 ≠0, akkor oszthatjuk a 2 on a 3. Akkor

,

ahol m 1 és a 4 néhány egész szám, ( a 4 osztás maradéka a 2 on a 3 (a 4 <a 3)). Hasonló érveléssel arra a következtetésre jutunk, hogy a számok közös osztói a 3 és a A 4 megegyezik a számok közös osztóival a 2 és a 3 , valamint közös osztókkal is a 1 és a 2. Mert a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... számok, amelyek folyamatosan csökkennek, és mivel véges számú egész szám van között a 2 és 0, majd valamilyen lépésben n, az osztály többi része a nem a n+1 egyenlő lesz nullával ( a n+2=0).

.

Minden közös osztó λ számok a 1 és a A 2 a számok osztója is a 2 és a 3 , a 3 és a 4 , .... a n és a n+1. Ennek fordítva is igaz, a számok közös osztói a n és a Az n+1 a számok osztói is a n−1 és a n , .... , a 2 és a 3 , a 1 és a 2. De a közös osztó a n és a n+1 egy szám a n+1 , mert a n és a n+1 osztható vele a n+1 (emlékezz rá a n+2=0). Következésképpen a n+1 a számok osztója is a 1 és a 2 .

Vegye figyelembe, hogy a szám a n+1 a legnagyobb számosztó a n és a n+1 , mivel a legnagyobb osztó a n+1 önmaga a n+1. Ha egy a n + 1 egész számok szorzataként ábrázolható, akkor ezek a számok a számok közös osztói is a 1 és a 2. Szám a n+1 hívják legnagyobb közös osztó számok a 1 és a 2 .

Számok a 1 és a A 2 lehet pozitív és negatív szám is. Ha az egyik szám egyenlő nullával, akkor ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója egyenlő lesz a másik szám abszolút értékével. A nulla számok legnagyobb közös osztója nincs meghatározva.

A fenti algoritmust ún Euklidész algoritmusa hogy megtaláljuk két egész szám legnagyobb közös osztóját.

Példa két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására

Keresse meg a 630 és 434 szám legnagyobb közös osztóját.

• 1. lépés: Ossza el a 630-as számot 434-gyel. A maradék 196.
• 2. lépés: Ossza el a 434-et 196-tal. A maradék 42.
• 3. lépés: Ossza el a 196-ot 42-vel. A maradék 28.
• 4. lépés: Ossza el a 42-t 28-cal. A maradék 14.
• 5. lépés: Ossza el a 28-at 14-gyel. A maradék 0.

Az 5. lépésben az osztás maradéka 0. Ezért a 630 és 434 számok legnagyobb közös osztója 14. Vegye figyelembe, hogy a 2 és 7 számok osztói a 630-nak és a 434-nek is.

Második prímszámok

Meghatározás 1. Legyen a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2 egyenlő eggyel. Ezután ezeket a számokat hívják prímszámok amelyeknek nincs közös osztójuk.

Tétel 1. Ha egy a 1 és a 2 viszonylag prímszám, és λ valamilyen szám, majd a számok bármely közös osztója λa 1 és a A 2 a számok közös osztója is λ és a 2 .

Bizonyíték. Tekintsük Eukleidész algoritmusát a számok legnagyobb közös osztójának megtalálására a 1 és a 2 (lásd fent).

.

A tétel feltételeiből következik, hogy a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2, és ezért a n és a n+1 értéke 1. Azaz. a n+1=1.

Szorozzuk meg ezeket az egyenlőségeket ezzel λ , akkor

.

Legyen a közös osztó a 1 λ és a 2 van δ . Akkor δ tényezőként lép be a 1 λ , m 1 a 2 λ és be a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Lásd „Számok oszthatósága”, 2. állítás). További δ tényezőként lép be a 2 λ és m 2 a 3 λ , és ezért tényezőként lép be a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Ilyen érveléssel meg vagyunk győződve arról δ tényezőként lép be a n-1 λ és m n-1 a n λ , és ezért be a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Mert a n+1 =1, akkor δ tényezőként lép be λ . Ezért a szám δ a számok közös osztója λ és a 2 .

Tekintsük az 1. Tétel speciális eseteit.

Következmény 1. Hadd aés c a prímszámok viszonylagosak b. Aztán a termékük ac tekintetében prímszám b.

Igazán. Az 1. tételből acés b ugyanazokkal a közös osztókkal rendelkeznek, mint cés b. De a számok cés b coprime, azaz egyetlen közös osztójuk van 1. Akkor acés b egyetlen közös osztójuk is van 1. Ezért acés b kölcsönösen egyszerű.

Következmény 2. Hadd aés b prímszámok és legyen b oszt ak. Akkor b osztja és k.

Igazán. Az állítási feltételből akés b közös osztójuk van b. Az 1. tétel értelmében b közös osztónak kell lennie bés k. Következésképpen b oszt k.

Az 1. következmény általánosítható.

Következmény 3. 1. Legyen a számok a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m a számhoz viszonyított prímek b. Akkor a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , ezeknek a számoknak a szorzata prím a számhoz képest b.

2. Legyen két számsorunk

úgy, hogy az első sorban minden szám prím legyen a második sorban lévő összes számhoz képest. Aztán a termék

Olyan számokat kell találni, amelyek oszthatók ezen számok mindegyikével.

Ha a szám osztható vele a 1, akkor úgy néz ki sa 1, hol s valami szám. Ha egy q a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2, akkor

ahol s 1 egy egész szám. Akkor

van számok legkisebb közös többszöröse a 1 és a 2 .

a 1 és a 2 másodprím, majd a számok legkisebb közös többszöröse a 1 és a 2:

Keresse meg ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét!

A fentiekből következik, hogy a számok bármely többszöröse a 1 , a 2 , a A 3-nak a számok többszörösének kell lennie ε és a 3 és fordítva. Legyen a számok legkisebb közös többszöröse ε és a 3 van ε egy . Továbbá a számok többszöröse a 1 , a 2 , a 3 , a A 4-nek számok többszörösének kell lennie ε 1 és a négy . Legyen a számok legkisebb közös többszöröse ε 1 és a 4 van ε 2. Így rájöttünk, hogy a számok minden többszöröse a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m egybeesik valamilyen meghatározott szám többszörösével ε n , amelyet az adott számok legkisebb közös többszörösének nevezünk.

Abban az esetben, ha a számok a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m koprím, akkor a számok legkisebb közös többszöröse a 1 , a A 2. ábra a fentiek szerint a (3) alakú. Továbbá, mivel a 3 prím a számokhoz képest a 1 , a 2, akkor a A 3 egy relatív prímszám a egy · a 2 (1. következmény). Tehát a számok legkisebb közös többszöröse a 1 ,a 2 ,a 3 egy szám a egy · a 2 · a 3. Hasonlóan érvelve a következő állításokhoz jutunk.

Nyilatkozat 1. A koprímszámok legkisebb közös többszöröse a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m egyenlő a szorzatukkal a egy · a 2 · a 3 ··· a m .

Nyilatkozat 2. Bármilyen szám, amely osztható az egyes másodpímszámokkal a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m is osztható a szorzatukkal a egy · a 2 · a 3 ··· a m .

Az online számológép segítségével gyorsan megtalálhatja kettő vagy bármely más szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét.

Számológép a GCD és NOC megtalálásához

Keresse meg a GCD-t és a NOC-t

GCD és NOC talált: 5806

Hogyan kell használni a számológépet

• Írja be a számokat a beviteli mezőbe
• Hibás karakterek beírása esetén a beviteli mező piros színnel lesz kiemelve
• nyomja meg a "GCD és NOC keresése" gombot

Hogyan írjunk be számokat

• A számokat szóközzel, ponttal vagy vesszővel elválasztva kell megadni
• A beírt számok hossza nincs korlátozva, így nem lesz nehéz megtalálni a hosszú számok gcd-jét és lcm-jét

Mi az a NOD és NOK?

Legnagyobb közös osztó több számból a legnagyobb természetes egész szám, amellyel az összes eredeti szám osztható maradék nélkül. A legnagyobb közös osztó rövidítése: GCD.
Legkisebb közös többszörös A több szám az a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható az eredeti számokkal. A legkisebb közös többszöröst így rövidítjük NEM C.

Hogyan ellenőrizhető, hogy egy szám osztható-e egy másik számmal maradék nélkül?

Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e egy másikkal maradék nélkül, használhatja a számok oszthatóságának néhány tulajdonságát. Ezután ezek kombinálásával ellenőrizhető az oszthatóság némelyikével és kombinációikkal.

A számok oszthatóságának néhány jele

1. Egy szám 2-vel való oszthatóságának jele
Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e kettővel (páros-e), elég megnézni ennek a számnak az utolsó számjegyét: ha egyenlő 0, 2, 4, 6 vagy 8, akkor a szám páros, ami azt jelenti, hogy osztható 2-vel.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 2-vel.
Megoldás: nézd meg az utolsó számjegyet: a 8 azt jelenti, hogy a szám osztható kettővel.

2. Egy szám 3-mal való oszthatóságának jele
Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. Így annak meghatározásához, hogy egy szám osztható-e 3-mal, ki kell számítania a számjegyek összegét, és ellenőriznie kell, hogy osztható-e 3-mal. Még ha a számjegyek összege nagyon nagynak bizonyult, megismételheti ugyanazt a folyamatot újra.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 3-mal.
Megoldás: megszámoljuk a számjegyek összegét: 3+4+9+3+8 = 27. A 27 osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy a szám osztható hárommal.

3. Szám 5-tel oszthatóságának jele
Egy szám akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye nulla vagy öt.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 5-tel.
Megoldás: nézd meg az utolsó számjegyet: a 8 azt jelenti, hogy a szám NEM osztható öttel.

4. Szám 9-cel osztható jele
Ez a jel nagyon hasonlít a hárommal való oszthatóság jeléhez: egy szám osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 9-cel.
Megoldás: kiszámoljuk a számjegyek összegét: 3+4+9+3+8 = 27. A 27 osztható 9-cel, ami azt jelenti, hogy a szám osztható kilenccel.

Hogyan lehet megtalálni a két szám GCD-jét és LCM-jét

Hogyan találjuk meg két szám GCD-jét

Két szám legnagyobb közös osztójának kiszámításának legegyszerűbb módja, ha megkeresi ezeknek a számoknak az összes lehetséges osztóját, és kiválasztja közülük a legnagyobbat.

Tekintsük ezt a módszert a GCD(28, 36) megtalálásának példájával:

1. Mindkét számot faktorizáljuk: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Találunk közös faktorokat, vagyis azokat, amelyek mindkét számnak megvannak: 1, 2 és 2.
3. Kiszámítjuk ezeknek a tényezőknek a szorzatát: 1 2 2 \u003d 4 - ez a 28 és 36 számok legnagyobb közös osztója.

Hogyan találjuk meg két szám LCM-jét

Két leggyakoribb módszer létezik két szám legkisebb többszörösének megkeresésére. Az első módszer az, hogy kiírhatja két szám első többszörösét, majd kiválaszthatja közülük azt a számot, amely mindkét számban közös és egyben a legkisebb. A második pedig az, hogy megtaláljuk ezeknek a számoknak a GCD-jét. Gondoljuk csak meg.

Az LCM kiszámításához ki kell számítania az eredeti számok szorzatát, majd el kell osztania a korábban talált GCD-vel. Keressük meg az LCM-et ugyanazon 28-as és 36-os számokhoz:

1. Határozzuk meg a 28 és 36 számok szorzatát: 28 36 = 1008!
2. A gcd(28, 36) már ismert, hogy 4
3. LCM(28; 36) = 1008/4 = 252 .

GCD és LCM keresése több számhoz

A legnagyobb közös osztó több számra is megtalálható, nem csak kettőre. Ehhez a legnagyobb közös osztóhoz tartozó számokat prímtényezőkre bontjuk, majd e számok közös prímtényezőinek szorzatát kapjuk. Ezenkívül több szám GCD-jének megkereséséhez használhatja a következő összefüggést: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Hasonló összefüggés vonatkozik a számok legkisebb közös többszörösére is: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Példa: keresse meg a GCD-t és az LCM-et a 12-es, 32-es és 36-os számokhoz.

1. Először is szorozzuk a számokat: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3.
2. Keressük a közös tényezőket: 1, 2 és 2 .
3. A szorzatuk gcd-t ad: 1 2 2 = 4
4. Most keressük meg az LCM-et: ehhez először az LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Mindhárom szám LCM-jének megtalálásához meg kell találnia a GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96 36/12 = 288 .

A diákok sok matematikai feladatot kapnak. Közöttük nagyon gyakran vannak a következő megfogalmazású feladatok: két érték van. Hogyan találjuk meg a megadott számok legkisebb közös többszörösét? Szükséges az ilyen feladatok elvégzése, hiszen az elsajátított készségeket a különböző nevezőjű törtekkel való munkavégzésre használják fel. A cikkben elemezzük, hogyan találjuk meg az LCM-et és az alapfogalmakat.

Mielőtt megtalálná a választ arra a kérdésre, hogy hogyan találja meg az LCM-et, meg kell határoznia a többszörös kifejezést. Ennek a fogalomnak a megfogalmazása leggyakrabban a következő: valamilyen A érték többszöröse egy természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Tehát 4, 8, 12, 16, 20 stb. a szükséges határértéket.

Ebben az esetben egy adott érték osztóinak száma korlátozható, és végtelenül sok többszöröse van. Ugyanez vonatkozik a természeti értékekre is. Ez egy mutató, amelyet maradék nélkül osztanak el. Miután foglalkoztunk bizonyos mutatók legkisebb értékének fogalmával, térjünk át annak megtalálására.

A NOC megtalálása

Két vagy több kitevő legkisebb többszöröse az a legkisebb természetes szám, amely teljes mértékben osztható az összes megadott számmal.

Számos módja van egy ilyen érték megtalálásának. Tekintsük a következő módszereket:

1. Ha a számok kicsik, akkor írja be a sorba az összes osztható vele. Addig csináld ezt, amíg valami közöset nem találsz köztük. A rekordban K betűvel vannak jelölve. Például 4 és 3 esetén a legkisebb többszörös 12.
2. Ha ezek nagyok, vagy 3 vagy több érték többszörösét kell találnia, akkor itt más technikát kell használnia, amely magában foglalja a számok prímtényezőkre történő felosztását. Először rakja ki a jelzett közül a legnagyobbat, majd az összes többit. Mindegyiknek megvan a maga szorzószáma. Példaként bontsuk fel a 20-at (2*2*5) és az 50-et (5*5*2). A kisebbiknél húzza alá a tényezőket, és adja hozzá a legnagyobbhoz. Az eredmény 100 lesz, ami a fenti számok legkisebb közös többszöröse.
3. 3 szám (16, 24 és 36) keresésekor az elvek ugyanazok, mint a másik kettőnél. Bővítsük ki mindegyiket: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. A 16-os szám kibővítéséből mindössze két kettőt nem vettünk bele a legnagyobbak bontásába, ezeket összeadva 144-et kapunk, ami a legkisebb eredmény a korábban feltüntetett számértékekre.

Most már tudjuk, mi az általános technika két, három vagy több érték legkisebb értékének meghatározására. Vannak azonban privát módszerek is, segít a NOC-ok felkutatásában, ha az előzőek nem segítenek.

Hogyan lehet megtalálni a GCD-t és a NOC-t.

Privát keresési módok

Mint minden matematikai résznél, itt is vannak speciális esetek az LCM-ek megtalálásában, amelyek bizonyos helyzetekben segítenek:

• ha az egyik szám maradék nélkül osztható a többivel, akkor e számok legkisebb többszöröse egyenlő vele (NOC 60 és 15 egyenlő 15-tel);
• A másodprímszámoknak nincs közös prímosztójuk. Legkisebb értékük e számok szorzatával egyenlő. Így a 7-es és 8-as számok esetében ez 56 lesz;
• ugyanez a szabály más esetekben is működik, beleértve a speciális eseteket is, amelyekről a szakirodalomban olvashatunk. Ide tartoznak az összetett számok dekompozícióinak esetei is, amelyek külön cikkek, sőt Ph.D. értekezések tárgyát képezik.

A speciális esetek kevésbé gyakoriak, mint a szabványos példák. De nekik köszönhetően megtanulhatja, hogyan kell dolgozni a különböző bonyolultságú frakciókkal. Ez különösen igaz a törtekre., ahol különböző nevezők vannak.

Néhány példa

Nézzünk néhány példát, amelyeknek köszönhetően megértheti a legkisebb többszörös megtalálásának elvét:

1. LCM-et találunk (35; 40). Először 35 = 5*7, majd 40 = 5*8 rakjuk ki. A legkisebb számhoz hozzáadunk 8-at, és megkapjuk a NOC 280-at.
2. NOC (45; 54). Mindegyiket kirakjuk: 45 = 3*3*5 és 54 = 3*3*6. A 6-os számot hozzáadjuk 45-höz. A NOC értéke 270.
3. Nos, az utolsó példa. Van 5 és 4. Nincsenek egyszerű többszöröseik, így ebben az esetben a legkisebb közös többszörösük lesz a szorzatuk, ami egyenlő 20-zal.

A példáknak köszönhetően megértheti, hogyan található a NOC, mik az árnyalatok és mi az ilyen manipulációk jelentése.

A NOC megtalálása sokkal könnyebb, mint elsőre tűnik. Ehhez mind az egyszerű bővítést, mind az egyszerű értékek egymáshoz való szorzását használják.. A matematika e részével való munkavégzés képessége segít a matematikai témák további tanulmányozásában, különös tekintettel a különböző összetettségű töredékekre.

Ne felejtse el rendszeresen megoldani a példákat különböző módszerekkel, ez fejleszti a logikai apparátust, és lehetővé teszi számos kifejezés emlékezését. Tanuljon meg módszereket egy ilyen mutató megtalálására, és jól tud majd dolgozni a többi matematikai szakaszsal. Boldog matematika tanulást!

Videó

Ez a videó segít megérteni és emlékezni arra, hogyan találja meg a legkisebb közös többszöröst.