A "Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése" című videólecke célja, hogy fejlessze a tanulók készségeit a trigonometrikus problémák megoldásában az alapvető trigonometrikus identitások használatával. A videóóra során a trigonometrikus identitások típusait, példákat veszünk a felhasználásukkal kapcsolatos problémák megoldására. A szemléltetőeszközök segítségével a tanár könnyebben éri el az óra céljait. Az anyag szemléletes bemutatása hozzájárul a fontos pontok memorizálásához. Az animációs effektusok és a hangszínjátszás lehetővé teszi a tanár teljes helyettesítését az anyag magyarázatának szakaszában. Így a matematika órákon ezt a szemléltetőeszközt használva a tanár növelheti a tanítás hatékonyságát.

A videóóra elején ismertetjük a témáját. Ezután felidézzük a korábban vizsgált trigonometrikus azonosságokat. A képernyőn a sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t egyenlőségek jelennek meg, ahol t≠π/2+πk kϵZ-re, ctg t=cos t/sin t, igaz t≠πk-re, ahol kϵZ, tan t · ctg t=1, t≠πk/2-nél, ahol kϵZ, az úgynevezett alapvető trigonometrikus azonosságok. Meg kell jegyezni, hogy ezeket az azonosságokat gyakran használják olyan problémák megoldására, ahol az egyenlőség bizonyítására vagy a kifejezés egyszerűsítésére van szükség.

Ezen túlmenően ezeknek az identitásoknak a problémák megoldásában való alkalmazására vonatkozó példákat is megvizsgálunk. Először is javasolt a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos problémák megoldásának megfontolása. Az 1. példában le kell egyszerűsíteni a cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t kifejezést. A példa megoldásához először a cos 2 t közös tényezőt zárójelbe tesszük. Egy ilyen zárójelben lévő transzformáció eredményeként az 1-cos 2 t kifejezést kapjuk, amelynek értéke a trigonometria alapazonosságából egyenlő sin 2 t-val. A kifejezés transzformációja után nyilvánvaló, hogy a zárójelekből kivehető még egy sin 2 t gyakori tényező, amely után a kifejezés sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) alakot ölti. Ugyanebből az alapazonosságból levezetjük a zárójelben lévő kifejezés 1-gyel egyenlő értékét. Az egyszerűsítés eredményeként kapjuk, hogy cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

A 2. példában a költség/(1- sint)+ költség/(1+ szint) kifejezést is egyszerűsíteni kell. Mivel a kifejezés költsége mindkét tört számlálójában szerepel, közös tényezőként zárójelbe adható. Ezután a zárójelben lévő törteket (1- sint)(1+ sint) szorzással közös nevezőre redukáljuk. A hasonló tagok redukciója után 2 marad a számlálóban, és 1 - sin 2 t a nevezőben. A képernyő jobb oldalán az alapvető trigonometrikus azonosság sin 2 t+cos 2 t=1 kerül előhívásra. Használatával megtaláljuk a cos 2 t tört nevezőjét. A tört csökkentése után a költség/(1- sint)+ költség/(1+ sint)=2/költség kifejezés egyszerűsített alakját kapjuk.

Ezt követően példákat tekintünk az azonosságok bizonyítására, amelyekben a trigonometria alapvető identitásairól megszerzett ismereteket alkalmazzuk. A 3. példában az azonosságot (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t kell igazolni. A képernyő jobb oldalán három azonosság jelenik meg, amelyekre a bizonyításhoz szükség lesz – tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t és tg t=sin t/cos t korlátozásokkal. Az azonosság igazolására először a zárójeleket nyitjuk meg, majd egy szorzatot képezünk, amely tükrözi a fő trigonometrikus azonosság tg t·ctg t=1 kifejezését. Ekkor a kotangens definíciójából származó azonosság szerint ctg 2 t átalakul. A transzformációk eredményeként az 1-cos 2 t kifejezést kapjuk. Az alapazonosság segítségével megtaláljuk a kifejezés értékét. Így bebizonyosodik, hogy (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

A 4. példában meg kell találnia a tg 2 t+ctg 2 t kifejezés értékét, ha tg t+ctg t=6. A kifejezés kiértékeléséhez először a (tg t+ctg t) 2 =6 2 egyenlet jobb és bal oldalát négyzetre emeljük. A rövidített szorzási képlet a képernyő jobb oldalán jelenik meg. A kifejezés bal oldalán lévő zárójelek kinyitása után a tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t összeg jön létre, melynek transzformációjára a tg t ctg t=1 trigonometrikus azonosságok valamelyike ​​alkalmazható, amelynek formáját a képernyő jobb oldalán idézzük fel. A transzformáció után a tg 2 t+ctg 2 t=34 egyenlőséget kapjuk. Az egyenlőség bal oldala egybeesik a feladat feltételével, így a válasz 34. A feladat megoldva.

A "Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése" című videólecke hagyományos iskolai matematika órán való használatra ajánlott. Az anyag hasznos lesz a távoktatást végző tanárok számára is. A trigonometrikus feladatok megoldásában való készség kialakítása érdekében.

SZÖVEG MAGYARÁZAT:

"Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése".

Egyenlőség

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (te szinusz négyzet plusz te koszinusz négyzet egyenlő eggyel)

2) tgt =, t ≠ + πk, kϵZ esetén (te tangense egyenlő te szinuszának te koszinuszához viszonyított arányával, ha te nem egyenlő pivel kettővel plusz pi ka, ka zet-hez tartozik)

3) ctgt = , t ≠ πk-nél, kϵZ (te kotangense egyenlő te koszinuszának és te szinuszának arányával, ha te nem egyenlő ka csúcsával, amely z-hez tartozik).

4)tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ esetén, kϵZ

alapvető trigonometrikus azonosságnak nevezzük.

Gyakran használják a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésére és bizonyítására.

Tekintsen példákat ezeknek a képleteknek a használatára a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésekor.

PÉLDA 1. Egyszerűsítse a kifejezést: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (a te koszinusz négyzetének te mínusz koszinusza a te negyedik fokának plusz a te negyedik fokának szinuszának kifejezése).

Megoldás. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(kivesszük a te koszinusz négyzet közös tényezőt, zárójelben megkapjuk az egység és a te koszinusz négyzetének különbségét, ami az első azonosságnál egyenlő a te szinusz négyzetével. A negyedik szinusz összegét kapjuk a te koszinusznégyzet és a te szinusznégyzet szorzatának te foka A zárójeleken kívül kivesszük a te szinusznégyzet közös tényezőt, zárójelben megkapjuk a koszinusz és a szinusz négyzeteinek összegét, amely az alaptrigonometria szerint azonosság, egyenlő 1-gyel. Ennek eredményeként megkapjuk a te) szinusz négyzetét.

PÉLDA 2. Egyszerűsítse a kifejezést: + .

(kifejezésként a te első koszinusz számlálójában szereplő két tört összege a nevezőben egy mínusz te, a második te koszinusz számlálójában a második plusz te szinusz).

(A koszinusz te közös tényezőt kivesszük a zárójelekből, és a zárójelben egy közös nevezőre hozzuk, ami egy mínusz te szorzata egy plusz szinusz te.

A számlálóban azt kapjuk, hogy egy plusz szinusz te plusz egy mínusz te, hasonlókat adunk meg, a számláló a hasonlók hozása után kettővel egyenlő.

A nevezőben alkalmazhatjuk a rövidített szorzási képletet (négyzetek különbsége), és megkaphatjuk a szinusz te egysége és négyzete közötti különbséget, amely a trigonometrikus alapazonosság szerint

egyenlő a te koszinusz négyzetével. A te koszinuszos redukálás után megkapjuk a végső választ: kettő osztva koszinusz te-vel).

Tekintsünk példákat e képletek használatára a trigonometrikus kifejezések bizonyítása során.

3. PÉLDA Igazolja az azonosságot (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (a te érintője és a te szinusza négyzete, valamint a kotangens négyzete közötti különbség szorzata te egyenlő te szinuszának négyzetével).

Bizonyíték.

Alakítsuk át az egyenlőség bal oldalát:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Nyissuk ki a zárójeleket, az előzőleg kapott összefüggésből ismert, hogy a te tangensének négyzeteinek szorzata te kotangensével egyenlő eggyel. Emlékezzünk vissza, hogy te kotangense egyenlő a koszinusz arányával. te a te szinuszához, ami azt jelenti, hogy a kotangens négyzete a te koszinuszának négyzetének és te szinuszának négyzetének az aránya.

A te szinuszos négyzetével való redukció után megkapjuk az egység és a te négyzetének koszinusza közötti különbséget, amely egyenlő te négyzetének szinuszával. Q.E.D.

4. PÉLDA Keresse meg a tg 2 t + ctg 2 t kifejezés értékét, ha tgt + ctgt = 6!

(a te érintőjének és a te kotangensének négyzetének összege, ha az érintő és a kotangens összege hat).

Megoldás. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Nézzük négyzetre az eredeti egyenlőség mindkét részét:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (te érintője és te kotangensének összegének négyzete hatnégyzet). Emlékezzünk vissza a rövidített szorzási képletre: Két mennyiség összegének négyzete egyenlő az első négyzete plusz az első és a második szorzatának kétszerese plusz a második négyzete. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Azt kapjuk, hogy tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Mivel te érintőjének és te kotangensének szorzata eggyel egyenlő, akkor tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te érintője és te és kettő kotangensének négyzetének összege Harminchat),

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "Középiskola

No. 18"

Engels, Szaratov régió.

Matematika tanár.

"Trigonometrikus kifejezések és transzformációik"

Bevezetés …………………………………………………………………………….3

1. fejezet Feladatok osztályozása trigonometrikus kifejezések transzformációinak használatához …………………………………………………………5

1.1. Számítási feladatok trigonometrikus kifejezések értékei……….5

1.2.Feladatok trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésére .... 7

1.3. Feladatok numerikus trigonometrikus kifejezések konvertálásához ... ..7

1.4 Vegyes feladatok……………………………………………………………..9

2. fejezet

2.1 Tematikus ismétlés a 10. évfolyamon……………………………………………11

1. teszt………………………………………………………………………………..12

2. teszt…………………………………………………………………………………..13

3. teszt…………………………………………………………………………………..14

2.2 Utolsó ismétlés a 11. évfolyamon…………………………………………………15

1. teszt…………………………………………………………………………………..17

2. teszt…………………………………………………………………………………..17

3. teszt…………………………………………………………………………………..18

Következtetés……………………………………………………………………………………………….

Felhasznált irodalom jegyzéke………………………………………..…….20

Bevezetés.

A mai viszonyok között a legfontosabb kérdés: "Hogyan segíthetünk a tanulók tudásbeli hiányosságainak kiküszöbölésében, és óva inteni őket a vizsgán esetlegesen elkövetett hibáktól?" A probléma megoldásához nem a program anyagának formális asszimilációját kell elérni a hallgatóktól, hanem annak mély és tudatos megértését, a szóbeli számítások és átalakítások sebességének fejlesztését, valamint a legegyszerűbb megoldási készségek fejlesztését. problémák „az elmében”. Meg kell győzni a tanulókat arról, hogy csak aktív pozíció jelenlétében, a matematika tanulásában, a gyakorlati készségek, készségek elsajátítása és ezek felhasználása mellett számíthatunk valódi sikerre. Minden lehetőséget ki kell használni a vizsgára való felkészülésre, ideértve a 10-11. évfolyamon választható tárgyakat is, rendszeresen elemezni kell a komplex feladatokat a tanulókkal, a legracionálisabb megoldási módot választva a tantermi és extra órákon.pozitív eredménya tipikus feladatok megoldásának területe a matematikatanárok alkotásával érhető ela tanulók jó alapképzése, új utakat keresni az előttünk megnyíló problémák megoldására, aktívan kísérletezni, korszerű pedagógiai technológiákat, módszereket, technikákat alkalmazni, amelyek kedvező feltételeket teremtenek a tanulók eredményes önmegvalósítására, önmeghatározására. új társadalmi feltételek.

A trigonometria az iskolai matematika tanfolyam szerves része. A jó trigonometriai ismeretek és erős készségek a megfelelő szintű matematikai kultúra bizonyítékai, nélkülözhetetlen feltétele a matematika, a fizika és számos technikai tudás sikeres tanulmányozásának. diszciplínák.

A mű relevanciája. Az érettségizők jelentős része évről évre nagyon gyenge felkészültséget mutat a matematikának ezen a fontos részen, amit az elmúlt évek eredményei (2011-48,41%, 2012-51,05%) mutatnak, az átmenőképesség elemzése óta az egységes államvizsga azt mutatta, hogy a tanulók sok hibát követnek el az adott szakasz feladatainak elkészítésekor, vagy egyáltalán nem vállalnak ilyen feladatokat. Egyben A trigonometria államvizsga-kérdései csaknem három feladattípusban találhatók. Ez a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása a B5 feladatban, és a trigonometrikus kifejezésekkel való munka a B7 feladatban, valamint a trigonometrikus függvények tanulmányozása a B14 feladatban, valamint a B12 feladatok, amelyekben fizikai jelenségeket leíró és trigonometrikus függvényeket tartalmazó képletek találhatók. . És ez csak egy része a B feladatoknak! De vannak kedvenc trigonometrikus egyenletek is a C1 gyök kiválasztásával, valamint a „nem túl kedvenc” C2 és C4 geometriai feladatok.

Célkitűzés. Elemezze a trigonometrikus kifejezések transzformációjával foglalkozó B7 USE feladatok anyagát, és osztályozza a feladatokat a tesztekben való megjelenítésük formája szerint.

A munka két fejezetből, bevezetésből és befejezésből áll. A bevezető hangsúlyozza a munka relevanciáját. Az első fejezet a trigonometrikus kifejezések transzformációinak használatához szükséges feladatok osztályozását tartalmazza az USE tesztfeladatokban (2012).

A második fejezetben a „Trigonometrikus kifejezések konvertálása” témakör 10., 11. évfolyamon történő megismétlésének megszervezését tárgyaljuk, és teszteket dolgozunk ki ebben a témában.

A hivatkozások listája 17 forrást tartalmaz.

1. fejezet Feladatok osztályozása trigonometrikus kifejezések transzformációihoz.

A középfokú (teljes) oktatás színvonalának és a tanulók képzettségi szintjére vonatkozó követelményeknek megfelelően a trigonometria alapjainak ismeretére vonatkozó feladatokat a követelménykodifikátor tartalmazza.

A trigonometria alapjainak elsajátítása akkor lesz a leghatékonyabb, ha:

a tanulók pozitívan motiváltak lesznek a korábban tanult anyagok megismétlésére;

tanulóközpontú megközelítés valósul meg az oktatási folyamatban;

olyan feladatrendszer kerül alkalmazásra, amely hozzájárul a tanulók tudásának bővítéséhez, elmélyítéséhez, rendszerezéséhez;

fejlett pedagógiai technológiákat fognak alkalmazni.

A vizsgára való felkészüléshez szükséges szakirodalom és internetes források elemzése után javaslatot tettünk a B7 feladatok egyik lehetséges osztályozására (KIM USE 2012-trigonometry): számítási feladatok.trigonometrikus kifejezések értékei; számára készült megbízásoknumerikus trigonometrikus kifejezések átalakítása; feladatok a szó szerinti trigonometrikus kifejezések átalakításához; vegyes feladatok.

1.1. Számítási feladatok trigonometrikus kifejezések értékei.

Az egyszerű trigonometriai problémák egyik leggyakoribb típusa a trigonometrikus függvények értékeinek kiszámítása az egyik értékével:

a) Az alapvető trigonometrikus azonosság és következményei használata.

1. példa . Keresse meg, ha
és
.

Megoldás.
,
,

Mert , akkor
.

Válasz.

2. példa . megtalálja
, ha
és .

Megoldás.
,
,
.

Mert , akkor
.

Válasz. .

b) Kettős szögképletek használata.

3. példa . megtalálja
, ha
.

Megoldás. , .

Válasz.
.

4. példa . Keresse meg egy kifejezés értékét
.

Megoldás. .

Válasz.
.

1. megtalálja , ha
és
. Válasz. -0.2

2. megtalálja , ha
és
. Válasz. 0.4

3. megtalálja
, ha . Válasz. -12.884. megtalálja
, ha
. Válasz. -0,845. Keresse meg a kifejezés értékét:
. Válasz. 66. Keresse meg egy kifejezés értékét
.Válasz. -19

1.2.Feladatok a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítésére. A redukciós képleteket a tanulóknak jól elsajátítaniuk kell, mert a továbbiakban a geometria, fizika és más kapcsolódó tudományok tanóráin használják majd.

5. példa . Kifejezések egyszerűsítése
.

Megoldás. .

Válasz.
.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

1. Egyszerűsítse a kifejezést
. Válasz. 0.62. megtalálja
, ha
és. Válasz. 10.563. Keresse meg egy kifejezés értékét
, ha
. Válasz. 2

1.3. Feladatok numerikus trigonometrikus kifejezések transzformációjához.

A numerikus trigonometrikus kifejezések konvertálására szolgáló feladatok készségeinek és képességeinek fejlesztése során figyelmet kell fordítani a trigonometrikus függvények értéktáblázatának ismeretére, a trigonometrikus függvények paritásának és periodicitásának tulajdonságaira.

a) A trigonometrikus függvények pontos értékeinek felhasználása egyes szögeknél.

6. példa . Kiszámítja
.

Megoldás.
.

Válasz.
.

b) A paritás tulajdonságainak felhasználásával trigonometrikus függvények.

7. példa . Kiszámítja
.

Megoldás. .

Válasz.

ban ben) Periodikus tulajdonságok használatatrigonometrikus függvények.

8. példa . Keresse meg egy kifejezés értékét
.

Megoldás. .

Válasz.
.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

1. Keresse meg egy kifejezés értékét
. Válasz. -40,52. Keresse meg a kifejezés értékét!
. Válasz. 17

3. Keresse meg egy kifejezés értékét
. Válasz. 6

. Válasz. -24
Válasz. -64

1.4 Vegyes feladatok.

A tanúsítási tesztforma igen jelentős jellemzőkkel bír, ezért fontos odafigyelni a több trigonometrikus képlet egyidejű használatával járó feladatokra is.

9. példa megtalálja
, ha
.

Megoldás.
.

Válasz.
.

10. példa . megtalálja
, ha
és
.

Megoldás. .

Mert , akkor
.

Válasz.
.

11. példa. megtalálja
, ha .

Megoldás. , ,
,
,
,
,
.

Válasz.

12. példa Kiszámítja
.

Megoldás. .

Válasz.
.

13. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
, ha
.

Megoldás. .

Válasz.
.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

1. megtalálja
, ha
. Válasz. -1,75
2. megtalálja
, ha
. Válasz. 33. Keresse meg
, ha .Válasz. 0,254. Keresse meg a kifejezés értékét!
, ha
. Válasz. 0.35. Keresse meg a kifejezés értékét!
, ha
. Válasz. 5

2. fejezet Módszertani szempontok A "Trigonometrikus kifejezések transzformációja" témakör záró ismétlésének megszervezése.

A tanulmányi teljesítmény további javításához, a hallgatók mély és szilárd tudásának megszerzéséhez hozzájáruló egyik legfontosabb kérdés a korábban tanult tananyag megismétlése. A gyakorlat azt mutatja, hogy a 10. évfolyamon célszerűbb tematikus ismétlést szervezni; 11. osztályban - a végső ismétlés.

2.1. Tematikus ismétlés 10. évfolyamon.

A matematikai anyag megmunkálása során különösen fontossá válik az egyes befejezett témakörök vagy a tantárgy teljes szakaszának megismétlése.

Tematikus ismétléssel a tanulók témával kapcsolatos ismeretei rendszerezésre kerülnek a feldolgozás utolsó szakaszában vagy szünet után.

A tematikus ismétléshez speciális órákat osztanak ki, amelyekre egy adott téma anyagát koncentrálják és általánosítják.

Az óra megismétlése beszélgetésen keresztül történik, a tanulók széles körű bevonásával. Ezt követően a hallgatók azt a feladatot kapják, hogy ismételjenek meg egy bizonyos témát, és figyelmeztetik őket, hogy a teszteken kreditmunka lesz.

Egy témával kapcsolatos tesztnek tartalmaznia kell az összes fő kérdést. A munka befejezése után a jellemző hibákat elemzik, és ismétlést szerveznek azok kiküszöbölésére.

A tematikus ismétlés óráira kidolgozott tesztpapírok a "Trigonometrikus kifejezések konvertálása" témában.

1. teszt

2. teszt

3. teszt

Válasz táblázat

Teszt

2.2. Utolsó ismétlés 11. osztályban.

Az utolsó ismétlést a matematika kurzus fő kérdéseinek tanulmányozásának utolsó szakaszában hajtják végre, és logikai összefüggésben végzik az e szakasz vagy a kurzus egészének oktatási anyagának tanulmányozásával.

Az oktatási anyag végső megismétlésének célja a következő:

1. A teljes képzés anyagának aktiválása annak logikai felépítésének tisztázása és a tantárgyi és tantárgyközi kapcsolatokon belüli rendszer kiépítése érdekében.

2. Az ismétlés során a hallgatók ismereteinek elmélyítése, lehetőség szerint bővítése a tantárgy főbb kérdéseivel kapcsolatban.

A minden végzős számára kötelező matematikai vizsgával összefüggésben az USE fokozatos bevezetése új megközelítésre készteti a tanárokat az órák előkészítésében és lebonyolításában, figyelembe véve annak szükségességét, hogy minden diák alapszinten elsajátítsa az oktatási anyagot, valamint az egyetemi felvételi magas pontszámok megszerzésében érdekelt motivált hallgatók számára, dinamikus előrelépés az anyag emelt és magas szintű elsajátításában.

Az utolsó ismétlés leckéiben a következő feladatokat veheti figyelembe:

1. példa . Számítsa ki a kifejezés értékét!Megoldás. =
= =
=
=
=
=0,5. Válasz. 0.5. 2. példa Adja meg a kifejezés által felvehető legnagyobb egész értéket
.

Megoldás. Mert
a szegmenshez tartozó tetszőleges értéket vehet fel [–1; 1], akkor
felveszi a szegmens tetszőleges értékét [–0,4; 0,4], ezért . A kifejezés egész értéke egy - a 4.

Válasz: 4 3. példa . Egyszerűsítse a kifejezést
.

Megoldás: Használjuk a képletet a kockaösszeg faktorálására: . Nekünk van

Nekünk van:
.

Válasz: 1

4. példa Kiszámítja
.

Megoldás. .

Válasz: 0,28

Az utolsó ismétlés óráihoz kidolgozott teszteket ajánlunk a "Trigonometrikus kifejezések konvertálása" témában.

Adja meg a legnagyobb egész számot, amely nem haladhatja meg az 1-et

Következtetés.

A témával kapcsolatos releváns módszertani szakirodalom átdolgozása után megállapítható, hogy az iskolai matematika tantárgyban nagyon fontos a trigonometrikus transzformációkkal kapcsolatos feladatok megoldásának képessége és készsége.

Az elvégzett munka során a B7 feladatok besorolása megtörtént. A 2012-es CMM-ekben leggyakrabban használt trigonometrikus képleteket vettük figyelembe. Példák a feladatok megoldására. A vizsgára való felkészülés során az ismeretek ismétlésének, rendszerezésének szervezésére differenciálható teszteket dolgoztak ki.

A megkezdett munkát célszerű továbbgondolni a B5. feladatban a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása, a B14. feladatban a trigonometrikus függvények vizsgálata, a B12. feladatban, amelyekben fizikai jelenségeket leíró, trigonometrikus függvényeket tartalmazó képletek találhatók.

Befejezésül szeretném megjegyezni, hogy a sikeres vizsga eredményességét nagymértékben meghatározza az, hogy a felkészülési folyamat mennyire hatékonyan van megszervezve az oktatás minden szintjén, minden tanulói kategóriánál. Ha pedig sikerül kialakítani a tanulókban az önállóságot, a felelősségvállalást és a továbbtanulási hajlandóságot egész további életükben, akkor nemcsak az állam és a társadalom rendjét teljesítjük, hanem saját önbecsülésünket is növeljük.

Az oktatási anyagok ismétlése kreatív munkát igényel a tanártól. Világos kapcsolatot kell biztosítania az ismétlés típusai között, mélyen átgondolt ismétlési rendszert kell megvalósítania. Az ismétlés megszervezésének művészetének elsajátítása a tanár feladata. A tanulók tudásának erőssége nagyban függ annak megoldásától.

Irodalom.

Vygodsky Ya.Ya., Az elemi matematika kézikönyve. -M.: Nauka, 1970.

Fokozott nehézségű algebrai feladatok és az elemzés kezdetei: Tankönyv a gimnázium 10-11. évfolyama számára / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. – M.: Felvilágosodás, 1990.

Alapvető trigonometrikus képletek alkalmazása kifejezések átalakítására (10. évfolyam) // Pedagógiai Ötletek Fesztiválja. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofjev A.A. Jó tanulókat és kiváló tanulókat készítünk fel a vizsgára. - M.: Pedagógiai Egyetem "Szeptember elseje", 2012.- 103 p.

Kuznetsova E.N. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése. Trigonometrikus egyenletek megoldása különféle módszerekkel (vizsgára való felkészítés). 11. évfolyam. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 versengő feladat a matematikában. 4. id., helyes. és további – M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. A trigonometria tanulmányozásának módszertani problémái egy általános iskolában // Matematika az iskolában. 2002. 6. sz.

Pichurin L.F. A trigonometriáról és nem csak arról: -M. Felvilágosodás, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometria az iskolában: -M. : Pedagógiai Egyetem "Szeptember elseje", 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofjev A.A. Matematika. Algebra. A matematikai elemzés kezdetei Profilszint: tankönyv 10. évfolyamnak - M .: BINOM. Tudáslabor, 2007.

Oktatási portál a vizsgára való felkészüléshez.

Felkészülés a matematika vizsgára "Ó, ez a trigonometria! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projekt "Matematika? Egyszerű!!!" http://www.resolventa.ru/

Szakaszok: Matematika

Osztály: 11

1. lecke

Téma: 11. évfolyam (vizsgára való felkészítés)

Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása. (2 óra)

Célok:

• A tanulók trigonometriai képletek használatával, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásával kapcsolatos ismereteinek, készségeinek rendszerezése, általánosítása, bővítése.

Felszerelés a leckéhez:

Az óra felépítése:

1. Orgmoment
2. Tesztelés laptopokon. Az eredmények megvitatása.
3. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése
4. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása
5. Önálló munkavégzés.
6. A lecke összefoglalása. A házi feladat magyarázata.

1. Szervezeti mozzanat. (2 perc.)

A tanár üdvözli a hallgatóságot, bemondja az óra témáját, felidézi, hogy korábban a trigonometriai képletek megismétlése volt a feladat, és felállítja a tanulókat a tesztelésre.

2. Tesztelés. (15 perc + 3 perc vita)

A cél a trigonometrikus képletek ismeretének és alkalmazási képességének tesztelése. Minden diáknak van egy laptopja az asztalán, amelyben van egy teszt lehetőség.

Annyi lehetőség lehet, amennyit csak akar, íme egy példa közülük:

I lehetőség.

A kifejezések egyszerűsítése:

a) alapvető trigonometrikus azonosságok

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) összeadási képletek

3. sin5x - sin3x;

c) egy szorzat összeggé alakítása

6. 2sin8y cos3y;

d) kettősszög képletek

7.2sin5x cos5x;

e) félszög képletek

f) hármasszög képletek

g) univerzális helyettesítés

h) fokozatcsökkentés

16. cos 2 (3x/7);

A tanulók egy laptopon az egyes képletek előtt látják a válaszaikat.

A munkát a számítógép azonnal ellenőrzi. Az eredmények egy nagy képernyőn jelennek meg, hogy mindenki láthassa.

Valamint a munka végeztével a helyes válaszok megjelennek a tanulók laptopján. Minden tanuló látja, hol követték el a hibát, és milyen képleteket kell megismételnie.

3. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése. (25 perc)

A cél a trigonometria alapképleteinek megismétlése, kidolgozása, alkalmazásának megszilárdítása. B7 feladatok megoldása a vizsgáról.

Ebben a szakaszban tanácsos az osztályt erős (önálló munkavégzés utólagos ellenőrzéssel) és gyenge tanulók csoportjaira osztani, akik a tanárral dolgoznak.

Feladat erős tanulóknak (előre elkészítve, nyomtatott alapon). A fő hangsúly a redukción és a dupla szög képleteken van az USE 2011 szerint.

A kifejezések egyszerűsítése (erős tanulók számára):

Ezzel párhuzamosan a tanár gyenge tanulókkal dolgozik, a képernyőn megbeszélve, megoldva feladatokat a tanulók diktálásával.

Kiszámítja:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Egyszerűsítés:

Volt a sor, hogy megvitassák az erős csoport munkájának eredményeit.

A képernyőn megjelennek a válaszok, valamint egy videokamera segítségével 5 különböző tanuló munkája jelenik meg (mindegyiknek egy-egy feladat).

A gyenge csoport látja a feltételt és a megoldási módot. Van vita és elemzés. A technikai eszközök használatával ez gyorsan megtörténik.

4. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása. (30 perc.)

A cél a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának megismétlése, rendszerezése, általánosítása, azok gyökereinek rögzítése. A B3 feladat megoldása.

Bármely trigonometrikus egyenlet, akárhogyan is oldjuk meg, a legegyszerűbbhez vezet.

A feladat elvégzése során a tanulók ügyeljenek az egyes esetek és az általános forma egyenletek gyökeinek felírására és az utolsó egyenletben a gyökök kiválasztására.

Egyenletek megoldása:

Írd le a válasz legkisebb pozitív gyökerét!

5. Önálló munka (10 perc)

A cél az elsajátított készségek tesztelése, a problémák, hibák azonosítása és azok kiküszöbölésének módjai.

A hallgató választása szerint változatos munkát kínálnak.

"3" opció

1) Keresse meg a kifejezés értékét!

2) Egyszerűsítse az 1 - sin 2 3α - cos 2 3α kifejezést

3) Oldja meg az egyenletet!

"4" opció

1) Keresse meg a kifejezés értékét!

2) Oldja meg az egyenletet! Írd le válaszod legkisebb pozitív gyökerét.

"5" opció

1) Keresse meg a tgα-t, ha

2) Keresse meg az egyenlet gyökerét! Írd le válaszod legkisebb pozitív gyökerét.

6. Az óra összefoglalója (5 perc)

A tanár összefoglalja, hogy az órán trigonometrikus képleteket ismételtek és konszolidáltak, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását.

A házi feladat kiosztása (előre nyomtatott alapon elkészítve), helyszíni ellenőrzéssel a következő órán.

Egyenletek megoldása:

9)

10) Válaszát a legkisebb pozitív gyökérként adja meg.

2. lecke

Téma: 11. évfolyam (vizsgára való felkészítés)

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei. Gyökér kiválasztása. (2 óra)

Célok:

• A különböző típusú trigonometrikus egyenletek megoldásával kapcsolatos ismeretek általánosítása és rendszerezése.
• Elősegíteni a tanulók matematikai gondolkodásának, megfigyelési, összehasonlítási, általánosítási, osztályozási képességének fejlődését.
• Ösztönözze a tanulókat a nehézségek leküzdésére a mentális tevékenység folyamatában, az önkontrollra, tevékenységeik önvizsgálatára.

Felszerelés a leckéhez: KRMu, laptop minden diáknak.

Az óra felépítése:

1. Orgmoment
2. Vita d / s és samot. az utolsó óra munkája
3. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek ismétlése.
4. Trigonometrikus egyenletek megoldása
5. Gyökök kiválasztása trigonometrikus egyenletekben.
6. Önálló munkavégzés.
7. A lecke összefoglalása. Házi feladat.

1. Szervezési pillanat (2 perc)

A tanár köszönti a hallgatóságot, bemondja az óra témáját és a munkatervet.

2. a) Házi feladat elemzése (5 perc)

A cél a teljesítmény ellenőrzése. A képernyõn egy videokamera segítségével készült alkotás jelenik meg, a többit szelektíven összegyűjtjük, hogy a tanár ellenõrizze.

b) Önálló munka elemzése (3 perc)

A cél a hibák kijavítása, megoldások megjelölése azok leküzdésére.

A képernyőn a válaszok és a megoldások, a hallgatók előre kiadták a munkáikat. Az elemzés gyorsan halad.

3. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek ismétlése (5 perc)

A cél a trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek felidézése.

Kérdezd meg a tanulókat, hogy milyen módszereket ismernek a trigonometrikus egyenletek megoldására. Hangsúlyozzuk, hogy vannak úgynevezett alapvető (gyakran használt) módszerek:

• változó helyettesítés,
• faktorizáció,
• homogén egyenletek,

és vannak alkalmazott módszerek:

• az összeget szorzattá és a szorzatot összeggé alakító képletek szerint,
• a redukciós képletekkel,
• univerzális trigonometrikus helyettesítés
• segédszög bevezetése,
• szorzás valamilyen trigonometrikus függvénnyel.

Emlékeztetni kell arra is, hogy egy egyenlet többféleképpen is megoldható.

4. Trigonometrikus egyenletek megoldása (30 perc)

A cél a témával kapcsolatos ismeretek és készségek általánosítása, megszilárdítása, felkészítés a C1 megoldására az USE-ból.

Célszerűnek tartom az egyes módszerekre vonatkozó egyenleteket a tanulókkal közösen megoldani.

A diák diktálja a megoldást, a tanár felírja a tabletre, a teljes folyamat megjelenik a képernyőn. Ez lehetővé teszi, hogy gyorsan és hatékonyan helyreállítsa a korábban lefedett anyagot a memóriájában.

Egyenletek megoldása:

1) változó változás 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizáció 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogén egyenletek sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) az összeg átszámítása cos5x + cos7x = cos(π + 6x) szorzatra

5) a szorzat átszámítása 2sinx sin2x + cos3x = 0 összegre

6) a sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5 mértékének csökkentése

7) univerzális trigonometrikus helyettesítés sinx + 5cosx + 5 = 0.

Ennek az egyenletnek a megoldása során meg kell jegyezni, hogy ennek a módszernek a használata a definíciós tartomány szűküléséhez vezet, mivel a szinusz és koszinusz helyére tg(x/2) lép. Ezért a válasz kiírása előtt ellenőrizni kell, hogy a π + 2πn, n Z halmazból származó számok lovai-e ennek az egyenletnek.

8) √3sinx + cosx - √2 = 0 segédszög bevezetése

9) szorzás valamilyen trigonometrikus függvénnyel cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrikus egyenletek gyökeinek kiválasztása (20 perc)

Mivel az egyetemekre való belépéskor kiélezett versenykörülmények között nem elegendő egy első vizsgarész megoldása, a legtöbb hallgatónak a második rész (C1, C2, C3) feladataira kell figyelnie.

Ezért az óra ezen szakaszának célja a korábban tanult anyag felidézése, felkészülés a 2011-es USE C1-es feladat megoldására.

Vannak trigonometrikus egyenletek, amelyekben a válasz kiírásakor ki kell választani a gyököket. Ennek oka néhány megszorítás, például: a tört nevezője nem egyenlő nullával, a páros fok gyöke alatti kifejezés nem negatív, a logaritmus előjele alatti kifejezés pozitív stb.

Az ilyen egyenleteket fokozott összetettségű egyenleteknek tekintik, és az USE verzióban a második részben, nevezetesen a C1-ben találhatók.

Oldja meg az egyenletet:

A tört nulla, ha akkor az egységkör segítségével kiválasztjuk a gyökereket (lásd az 1. ábrát)

1. kép

azt kapjuk, hogy x = π + 2πn, n Z

Válasz: π + 2πn, n Z

A képernyőn a gyökerek kiválasztása színes képen egy körön jelenik meg.

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla, és az ív ugyanakkor nem veszíti el értelmét. Akkor

Az egységkör segítségével válassza ki a gyökereket (lásd a 2. ábrát)

NÁL NÉL azonos átalakulások trigonometrikus kifejezések a következő algebrai trükkök használhatók: azonos tagok összeadása és kivonása; a közös tényezőt zárójelből kivenni; szorzás és osztás ugyanazzal az értékkel; rövidített szorzóképletek alkalmazása; teljes négyzet kiválasztása; négyzetes trinom tényezőre vonása; új változók bevezetése az átalakítások egyszerűsítésére.

Törteket tartalmazó trigonometrikus kifejezések konvertálásakor használhatja az arányosság, a törtek redukciója vagy a törtek redukciója tulajdonságait közös nevezőre. Ezenkívül használhatja a tört egész részének kiválasztását, megszorozva a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal az értékkel, és lehetőség szerint figyelembe veheti a számláló vagy nevező egységességét is. Ha szükséges, egy törtet több egyszerűbb tört összegeként vagy különbségeként is ábrázolhat.

Ezenkívül a trigonometrikus kifejezések konvertálásához szükséges összes módszer alkalmazásakor folyamatosan figyelembe kell venni a konvertált kifejezések megengedett értékeinek tartományát.

Nézzünk néhány példát.

1. példa

Számítsa ki az A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x - 7π) /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Megoldás.

A redukciós képletekből következik:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Ahonnan az argumentumok összeadási képletei és az alapvető trigonometrikus azonosság alapján azt kapjuk, hogy

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Válasz: 1.

2. példa

Alakítsa át az M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ kifejezést szorzattá.

Megoldás.

Az argumentumok összeadási képleteiből és a trigonometrikus függvények összegének szorzattá alakító képleteiből a megfelelő csoportosítás után megkaptuk

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Válasz: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

3. példa.

Mutassuk meg, hogy az A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) kifejezés minden x-re felveszi az R egyből és ugyanaz az érték. Keresse meg ezt az értéket.

Megoldás.

A probléma megoldására két módszert mutatunk be. Az első módszert alkalmazva a teljes négyzet elkülönítésével és a megfelelő trigonometrikus alapképletek használatával kapjuk

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

A feladat második megoldásaként tekintsük A-t az R-ből származó x függvényének, és számítsuk ki a deriváltját. Az átalakítások után megkapjuk

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Ezért egy intervallumon differenciálható függvény állandóságának kritériuma alapján arra a következtetésre jutunk, hogy

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Válasz: A = 3/4 x € R esetén.

A trigonometrikus azonosságok bizonyításának fő módszerei a következők:

a) az identitás bal oldalának redukálása a jobb oldalra megfelelő transzformációkkal;
b) az identitás jobb oldalának balra csökkentése;
ban ben) az identitás jobb és bal oldali részének azonos formára való redukálása;
G) a bizonyítandó azonosság bal és jobb oldali része közötti különbség nullára csökkentése.

4. példa

Ellenőrizze, hogy cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Megoldás.

Ennek az azonosságnak a jobb oldalát a megfelelő trigonometrikus képletek szerint átalakítva megkaptuk

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Az identitás jobb oldala bal oldalra redukálódik.

5. példa

Bizonyítsuk be, hogy sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2, ha α, β, γ valamelyik háromszög belső szögei.

Megoldás.

Figyelembe véve, hogy α, β, γ valamely háromszög belső szögei, azt kapjuk, hogy

α + β + γ = π és ebből γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Az eredeti egyenlőség bebizonyosodott.

6. példa

Bizonyítsuk be, hogy ahhoz, hogy a háromszög egyik α, β, γ szöge 60° legyen, szükséges és elegendő, hogy sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Megoldás.

A probléma feltétele mind a szükségesség, mind az elégséges bizonyítást feltételezi.

Először bebizonyítjuk szükség.

Meg lehet mutatni, hogy

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Tehát figyelembe véve, hogy cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, azt kapjuk, hogy ha az α, β vagy γ szögek egyike egyenlő 60°-kal, akkor

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 és ezért sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Most bizonyítsuk be megfelelőségét a megadott feltételt.

Ha sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, akkor cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, és ezért

vagy cos (3α/2) = 0, vagy cos (3β/2) = 0, vagy cos (3γ/2) = 0.

Következésképpen,

vagy 3α/2 = π/2 + πk, azaz. α = π/3 + 2πk/3,

vagy 3β/2 = π/2 + πk, azaz. β = π/3 + 2πk/3,

vagy 3γ/2 = π/2 + πk,

azok. γ = π/3 + 2πk/3, ahol k ϵ Z.

Abból, hogy α, β, γ egy háromszög szögei, megvan

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Ezért ha α = π/3 + 2πk/3 vagy β = π/3 + 2πk/3 ill.

γ = π/3 + 2πk/3 az összes kϵZ-ből csak k = 0 illik.

Ebből következik, hogy vagy α = π/3 = 60°, vagy β = π/3 = 60°, vagy γ = π/3 = 60°.

Az állítás bebizonyosodott.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell egyszerűsíteni a trigonometrikus kifejezéseket?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Szakaszok: Matematika

Osztály: 11

1. lecke

Téma: 11. évfolyam (vizsgára való felkészítés)

Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése.

A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása. (2 óra)

Célok:

• A tanulók trigonometriai képletek használatával, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásával kapcsolatos ismereteinek, készségeinek rendszerezése, általánosítása, bővítése.

Felszerelés a leckéhez:

Az óra felépítése:

1. Orgmoment
2. Tesztelés laptopokon. Az eredmények megvitatása.
3. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése
4. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása
5. Önálló munkavégzés.
6. A lecke összefoglalása. A házi feladat magyarázata.

1. Szervezeti mozzanat. (2 perc.)

A tanár üdvözli a hallgatóságot, bemondja az óra témáját, felidézi, hogy korábban a trigonometriai képletek megismétlése volt a feladat, és felállítja a tanulókat a tesztelésre.

2. Tesztelés. (15 perc + 3 perc vita)

A cél a trigonometrikus képletek ismeretének és alkalmazási képességének tesztelése. Minden diáknak van egy laptopja az asztalán, amelyben van egy teszt lehetőség.

Annyi lehetőség lehet, amennyit csak akar, íme egy példa közülük:

I lehetőség.

A kifejezések egyszerűsítése:

a) alapvető trigonometrikus azonosságok

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) összeadási képletek

3. sin5x - sin3x;

c) egy szorzat összeggé alakítása

6. 2sin8y cos3y;

d) kettősszög képletek

7.2sin5x cos5x;

e) félszög képletek

f) hármasszög képletek

g) univerzális helyettesítés

h) fokozatcsökkentés

16. cos 2 (3x/7);

A tanulók egy laptopon az egyes képletek előtt látják a válaszaikat.

A munkát a számítógép azonnal ellenőrzi. Az eredmények egy nagy képernyőn jelennek meg, hogy mindenki láthassa.

Valamint a munka végeztével a helyes válaszok megjelennek a tanulók laptopján. Minden tanuló látja, hol követték el a hibát, és milyen képleteket kell megismételnie.

3. Trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése. (25 perc)

A cél a trigonometria alapképleteinek megismétlése, kidolgozása, alkalmazásának megszilárdítása. B7 feladatok megoldása a vizsgáról.

Ebben a szakaszban tanácsos az osztályt erős (önálló munkavégzés utólagos ellenőrzéssel) és gyenge tanulók csoportjaira osztani, akik a tanárral dolgoznak.

Feladat erős tanulóknak (előre elkészítve, nyomtatott alapon). A fő hangsúly a redukción és a dupla szög képleteken van az USE 2011 szerint.

A kifejezések egyszerűsítése (erős tanulók számára):

Ezzel párhuzamosan a tanár gyenge tanulókkal dolgozik, a képernyőn megbeszélve, megoldva feladatokat a tanulók diktálásával.

Kiszámítja:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Egyszerűsítés:

Volt a sor, hogy megvitassák az erős csoport munkájának eredményeit.

A képernyőn megjelennek a válaszok, valamint egy videokamera segítségével 5 különböző tanuló munkája jelenik meg (mindegyiknek egy-egy feladat).

A gyenge csoport látja a feltételt és a megoldási módot. Van vita és elemzés. A technikai eszközök használatával ez gyorsan megtörténik.

4. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása. (30 perc.)

A cél a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásának megismétlése, rendszerezése, általánosítása, azok gyökereinek rögzítése. A B3 feladat megoldása.

Bármely trigonometrikus egyenlet, akárhogyan is oldjuk meg, a legegyszerűbbhez vezet.

A feladat elvégzése során a tanulók ügyeljenek az egyes esetek és az általános forma egyenletek gyökeinek felírására és az utolsó egyenletben a gyökök kiválasztására.

Egyenletek megoldása:

Írd le a válasz legkisebb pozitív gyökerét!

5. Önálló munka (10 perc)

A cél az elsajátított készségek tesztelése, a problémák, hibák azonosítása és azok kiküszöbölésének módjai.

A hallgató választása szerint változatos munkát kínálnak.

"3" opció

1) Keresse meg a kifejezés értékét!

2) Egyszerűsítse az 1 - sin 2 3α - cos 2 3α kifejezést

3) Oldja meg az egyenletet!

"4" opció

1) Keresse meg a kifejezés értékét!

2) Oldja meg az egyenletet! Írd le válaszod legkisebb pozitív gyökerét.

"5" opció

1) Keresse meg a tgα-t, ha

2) Keresse meg az egyenlet gyökerét! Írd le válaszod legkisebb pozitív gyökerét.

6. Az óra összefoglalója (5 perc)

A tanár összefoglalja, hogy az órán trigonometrikus képleteket ismételtek és konszolidáltak, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását.

A házi feladat kiosztása (előre nyomtatott alapon elkészítve), helyszíni ellenőrzéssel a következő órán.

Egyenletek megoldása:

9)

10) Válaszát a legkisebb pozitív gyökérként adja meg.

2. lecke

Téma: 11. évfolyam (vizsgára való felkészítés)

Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei. Gyökér kiválasztása. (2 óra)

Célok:

• A különböző típusú trigonometrikus egyenletek megoldásával kapcsolatos ismeretek általánosítása és rendszerezése.
• Elősegíteni a tanulók matematikai gondolkodásának, megfigyelési, összehasonlítási, általánosítási, osztályozási képességének fejlődését.
• Ösztönözze a tanulókat a nehézségek leküzdésére a mentális tevékenység folyamatában, az önkontrollra, tevékenységeik önvizsgálatára.

Felszerelés a leckéhez: KRMu, laptop minden diáknak.

Az óra felépítése:

1. Orgmoment
2. Vita d / s és samot. az utolsó óra munkája
3. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek ismétlése.
4. Trigonometrikus egyenletek megoldása
5. Gyökök kiválasztása trigonometrikus egyenletekben.
6. Önálló munkavégzés.
7. A lecke összefoglalása. Házi feladat.

1. Szervezési pillanat (2 perc)

A tanár köszönti a hallgatóságot, bemondja az óra témáját és a munkatervet.

2. a) Házi feladat elemzése (5 perc)

A cél a teljesítmény ellenőrzése. A képernyõn egy videokamera segítségével készült alkotás jelenik meg, a többit szelektíven összegyűjtjük, hogy a tanár ellenõrizze.

b) Önálló munka elemzése (3 perc)

A cél a hibák kijavítása, megoldások megjelölése azok leküzdésére.

A képernyőn a válaszok és a megoldások, a hallgatók előre kiadták a munkáikat. Az elemzés gyorsan halad.

3. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek ismétlése (5 perc)

A cél a trigonometrikus egyenletek megoldási módszereinek felidézése.

Kérdezd meg a tanulókat, hogy milyen módszereket ismernek a trigonometrikus egyenletek megoldására. Hangsúlyozzuk, hogy vannak úgynevezett alapvető (gyakran használt) módszerek:

• változó helyettesítés,
• faktorizáció,
• homogén egyenletek,

és vannak alkalmazott módszerek:

• az összeget szorzattá és a szorzatot összeggé alakító képletek szerint,
• a redukciós képletekkel,
• univerzális trigonometrikus helyettesítés
• segédszög bevezetése,
• szorzás valamilyen trigonometrikus függvénnyel.

Emlékeztetni kell arra is, hogy egy egyenlet többféleképpen is megoldható.

4. Trigonometrikus egyenletek megoldása (30 perc)

A cél a témával kapcsolatos ismeretek és készségek általánosítása, megszilárdítása, felkészítés a C1 megoldására az USE-ból.

Célszerűnek tartom az egyes módszerekre vonatkozó egyenleteket a tanulókkal közösen megoldani.

A diák diktálja a megoldást, a tanár felírja a tabletre, a teljes folyamat megjelenik a képernyőn. Ez lehetővé teszi, hogy gyorsan és hatékonyan helyreállítsa a korábban lefedett anyagot a memóriájában.

Egyenletek megoldása:

1) változó változás 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizáció 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogén egyenletek sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) az összeg átszámítása cos5x + cos7x = cos(π + 6x) szorzatra

5) a szorzat átszámítása 2sinx sin2x + cos3x = 0 összegre

6) a sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5 mértékének csökkentése

7) univerzális trigonometrikus helyettesítés sinx + 5cosx + 5 = 0.

Ennek az egyenletnek a megoldása során meg kell jegyezni, hogy ennek a módszernek a használata a definíciós tartomány szűküléséhez vezet, mivel a szinusz és koszinusz helyére tg(x/2) lép. Ezért a válasz kiírása előtt ellenőrizni kell, hogy a π + 2πn, n Z halmazból származó számok lovai-e ennek az egyenletnek.

8) √3sinx + cosx - √2 = 0 segédszög bevezetése

9) szorzás valamilyen trigonometrikus függvénnyel cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrikus egyenletek gyökeinek kiválasztása (20 perc)

Mivel az egyetemekre való belépéskor kiélezett versenykörülmények között nem elegendő egy első vizsgarész megoldása, a legtöbb hallgatónak a második rész (C1, C2, C3) feladataira kell figyelnie.

Ezért az óra ezen szakaszának célja a korábban tanult anyag felidézése, felkészülés a 2011-es USE C1-es feladat megoldására.

Vannak trigonometrikus egyenletek, amelyekben a válasz kiírásakor ki kell választani a gyököket. Ennek oka néhány megszorítás, például: a tört nevezője nem egyenlő nullával, a páros fok gyöke alatti kifejezés nem negatív, a logaritmus előjele alatti kifejezés pozitív stb.

Az ilyen egyenleteket fokozott összetettségű egyenleteknek tekintik, és az USE verzióban a második részben, nevezetesen a C1-ben találhatók.

Oldja meg az egyenletet:

A tört nulla, ha akkor az egységkör segítségével kiválasztjuk a gyökereket (lásd az 1. ábrát)

1. kép

azt kapjuk, hogy x = π + 2πn, n Z

Válasz: π + 2πn, n Z

A képernyőn a gyökerek kiválasztása színes képen egy körön jelenik meg.

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla, és az ív ugyanakkor nem veszíti el értelmét. Akkor

Az egységkör segítségével válassza ki a gyökereket (lásd a 2. ábrát)

2. ábra.

5)

Menjünk a rendszerhez:

A rendszer első egyenletében elvégezzük a log 2 (sinx) = y változást, akkor megkapjuk az egyenletet , vissza a rendszerhez

az egységkör segítségével kiválasztjuk a gyökereket (lásd 5. ábra),

5. ábra

6. Önálló munka (15 perc)

A cél az anyag megszilárdítása és az asszimiláció ellenőrzése, a hibák azonosítása és a javítási módok felvázolása.

A művet három változatban kínáljuk, előzetesen nyomtatott alapon, a hallgatók választása szerint.

Az egyenletek bármilyen módon megoldhatók.

"3" opció

Egyenletek megoldása:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

"4" opció

Egyenletek megoldása:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

"5" opció

Egyenletek megoldása:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Óra összefoglalója, házi feladat (5 perc)

A tanár összegzi a leckét, ismét felhívja a figyelmet, hogy a trigonometrikus egyenlet többféleképpen is megoldható. A gyors eredmény elérésének legjobb módja az, amelyet egy adott diák a legjobban megtanul.

A vizsgára való felkészülés során szisztematikusan meg kell ismételnie az egyenletek megoldásának képleteit és módszereit.

A házi feladatokat (előzetesen, nyomtatott formában elkészítve) kiosztják, és néhány egyenlet megoldási módjait kommentálják.

Egyenletek megoldása:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)