Mit jelent a faktorizálás? Hogyan kell csinálni? Mit tanulhatunk abból, ha egy számot prímtényezőkre bontunk? Az ezekre a kérdésekre adott válaszokat konkrét példákkal illusztráljuk.

Definíciók:

A prímszám olyan szám, amelynek pontosan két külön osztója van.

Az összetett szám olyan szám, amelynek kettőnél több osztója van.

bomlik le természetes szám tényezőkre azt jelenti, hogy természetes számok szorzataként ábrázoljuk.

Egy természetes számot prímtényezőkbe építeni azt jelenti, hogy prímszámok szorzataként ábrázoljuk.

Megjegyzések:

• Egy prímszám kiterjesztésekor az egyik tényező egyenlő az egyikkel, a másik pedig magával a számmal.
• Nincs értelme az egység faktorokra bomlásáról beszélni.
• Egy összetett szám faktorokra bontható, amelyek mindegyike különbözik 1-től.

	Tényezőzzük a 150-es számot. Például 150 15-ször 10. A 15 egy összetett szám. 5-ös és 3-as prímtényezőkre bontható. A 10 egy összetett szám. 5-ös és 2-es prímtényezőkre bontható. Kiterjesztéseiket 15 és 10 helyett prímtényezőkre írva a 150-es szám dekompozícióját kaptuk.
	A 150-es szám másképpen is faktorálható. Például a 150 az 5 és a 30 szorzata. Az 5 egy prímszám. A 30 egy összetett szám. 10 és 3 szorzataként ábrázolható. A 10 egy összetett szám. 5-ös és 2-es prímtényezőkre bontható. A 150-es szám prímtényezőkre való bontását más módon kaptuk meg.
	Vegye figyelembe, hogy az első és a második bővítés megegyezik. Csak a szorzók sorrendjében különböznek egymástól. A tényezőket növekvő sorrendben szokás írni.
Bármely összetett szám egyedi módon, a tényezők sorrendjéig bontható prímtényezőkre.

Amikor lebomlik nagy számok prímtényezők esetén használjon oszlopjelölést:

	A legkisebb prímszám, amellyel a 216 osztható, 2-vel. 216-ot elosztjuk 2-vel. 108-at kapunk.
	A kapott 108-as szám osztható 2-vel. Végezzük el a felosztást. Eredményként 54-et kapunk.
	A 2-vel való oszthatóság tesztje szerint az 54-es szám osztható 2-vel. Elosztás után 27-et kapunk.
	A 27-es szám páratlan 7-tel végződik. Azt Nem osztható 2-vel. A következő prímszám a 3. 27-et osztunk 3-mal. 9-et kapunk. A legkisebb prím Az a szám, amellyel a 9 osztható, 3-mal. A három maga prímszám, osztható önmagával és eggyel. Osszuk el magunkkal a 3-at. Ennek eredményeként 1-et kaptunk.

• Egy szám csak azokkal a prímszámokkal osztható, amelyek részét képezik a bővítésének.
• Egy szám csak azokkal az összetett számokkal osztható, amelyek prímtényezőkre bontását teljes mértékben tartalmazza.

Vegye figyelembe a példákat:

	A 4900 osztható 2-es, 5-ös és 7-es prímszámokkal (ezek benne vannak a 4900-as szám bővítésében), de nem osztható például 13-mal.
	11 550 75. Ez azért van így, mert a 75-ös szám kiterjesztése teljesen benne van az 11550-es szám bővítésében. Az osztás eredménye a 2., 7. és 11. tényező szorzata lesz. Az 11550 nem osztható 4-gyel, mert a 4 bővítésében van egy plusz 2.

Határozzuk meg az a szám b-vel való osztásának hányadosát, ha ezeket a számokat prímtényezőkre bontjuk a következőképpen: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	A b szám dekompozíciója teljesen benne van az a szám dekompozíciójában.
	Ha a-t b-vel osztjuk, akkor az a kiterjesztésében maradó három szám szorzata lesz. Tehát a válasz: 30.

Bibliográfia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. osztály. - Gimnázium. 2006.
3. Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Egy matematika tankönyv lapjai mögött. - M.: Felvilágosodás, 1989.
4. Rurukin A.N., Csajkovszkij I.V. A matematika tantárgy feladatai 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Szocsilov S.V., Csajkovszkij K.G. Matematika 5-6. Kézikönyv a MEPhI levelező iskola 6. osztályos tanulói számára. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Beszélgetőtárs tankönyv 5-6 Gimnázium. - M .: Oktatás, Matematikatanári Könyvtár, 1989.

1. Matematika-na.ru internetes portál ().
2. Math-portal.ru internetes portál ().

Házi feladat

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. 127. sz., 129. sz., 141. sz.
2. Egyéb feladatok: 133. sz., 144. sz.

Minden egy geometriai progresszióval kezdődik. A sorozat első előadásán (lásd a részt 18.1. Alapvető definíciók) bebizonyítottuk, hogy ez a függvény a sorozat összege , és a sorozat egy függvényhez konvergál at
. Így,

.

Írjunk le ennek a sorozatnak több fajtáját. Csere x a - x , kapunk

cserekor x a
kapunk

stb.; ezeknek a sorozatoknak a konvergencia tartománya ugyanaz:
.

2.
.

Ennek a függvénynek az összes deriváltja egy pontban x =0 egyenlő
, így néz ki a sorozat

.

Ennek a sorozatnak a konvergencia területe a teljes numerikus tengely (a szakasz 6. példája 18.2.4.3. Hatványsorok konvergencia sugara, konvergencia intervalluma és konvergencia tartománya), ezért
nál nél
. Következésképpen a Taylor-formula fennmaradó tagja
. Tehát a sorozat konvergál
bármely ponton x .

3.
.

Ez a sorozat teljesen konvergál

, és összege valóban egyenlő
. A Taylor-képlet többi tagjának alakja van
, ahol
vagy
- korlátozott funkció, a
(ez az előző bővítés gyakori kifejezése).

4.
.

Ezt a bővítést az előzőekhez hasonlóan a deriváltak egymás utáni kiszámításával is megkaphatjuk, de mi másként járunk el. Különböztessük meg az előző sorozatot tagonként:

A teljes tengelyen lévő függvényhez való konvergencia a hatványsorok tagonkénti differenciálására vonatkozó tételből következik.

5. Bizonyítsa be saját maga, hogy az egész szám tengelyén , .

6.
.

Ennek a függvénynek a sorozatát ún binomiális sorozat. Itt kiszámítjuk a származékokat.

…A Maclaurin sorozatnak megvan a formája

Konvergencia intervallumot keresünk: ezért a konvergencia intervallum az
. A maradék tagot és a sorozatok viselkedését nem vizsgáljuk a konvergencia intervallum végén; kiderül, hogy mikor
sorozat mindkét ponton abszolút konvergál
, nál nél
a sorozat feltételesen konvergál egy ponton
és a ponton eltér
, nál nél
mindkét ponton eltér.

7.
.

Itt azt a tényt fogjuk használni
. Azóta, az évről-évre történő integrációt követően,

Ennek a sorozatnak a konvergencia tartománya a félintervallum
, a függvényhez való konvergencia a belső pontokban a hatványsor távonkénti integrációjának tételéből következik a pontban x =1 - mind a függvény, mind a hatványsor összegének folytonosságából minden pontban, tetszőlegesen közel x =1 a bal oldalon. Vegye figyelembe, hogy x =1, meg fogjuk találni a sorozat összegét.

8. A sorozatot tagonként integrálva a függvény kiterjesztését kapjuk
. Végezze el az összes számítást saját maga, írja ki a konvergencia területét.

9. Írjuk ki a függvény kiterjesztését
a binomiális sorozat képlete szerint azzal
: . Névadó
, kettős faktoriálisként ábrázolva
minden olyan természetes szám szorzatát jelenti, amelyek azonos paritásúak , Nem haladja meg . A bővítés egy függvényhez konvergál
. Termelési szempontból integrálva 0-tól x , kapunk . Kiderült, hogy ez a sorozat a teljes intervallum függvényéhez konvergál
; nál nél x =1 a szám újabb gyönyörű ábrázolását kapjuk :
.

18.2.6.2. Sorozatos függvénybővítési feladatok megoldása. A legtöbb olyan probléma, amelyben egy elemi függvényt hatványsorokká kell bővíteni
, szabványos bővítésekkel van megoldva. Szerencsére minden alapvető elemi függvény rendelkezik olyan tulajdonsággal, amely lehetővé teszi ezt. Nézzünk néhány példát.

1. Bontsa fel a függvényt
fokozatosan
.

Megoldás. . A sorozat a
.

2. Bontsa ki a függvényt
fokozatosan
.

Megoldás.
. Konvergencia terület:
.

3. Bontsa ki a függvényt
fokozatosan
.

Megoldás. . A sorozat a
.

4. Bontsa fel a függvényt
fokozatosan
.

Megoldás. . A sorozat a
.

5. Bontsa fel a függvényt
fokozatosan
.

Megoldás. . Konvergencia terület
.

6. Bontsa ki a függvényt
fokozatosan
.

Megoldás. A második típusú egyszerű racionális törtek sorozatává való bővítést az első típusú törtek megfelelő kiterjesztésének tagonkénti differenciálásával kapjuk. Ebben a példában. Ezen túlmenően, tagonkénti differenciálással a függvények kibővítéseit kaphatjuk
,
stb.

7. Bontsa fel a függvényt
fokozatosan
.

Megoldás. Ha egy racionális tört nem egyszerű, akkor először összegként ábrázoljuk egyszerű törtek:
, majd az 5. példában leírtak szerint járjunk el: , ahol
.

Természetesen ez a megközelítés nem alkalmazható például a függvény dekompozíciójára fokozatosan x . Itt, ha meg kell szereznie a Taylor sorozat első néhány kifejezését, a legegyszerűbb módja az értékek megtalálása a ponton x =0 a szükséges számú első derivált.

Ez az online számológép egy függvény faktorizálására szolgál.

Például szorozd: x 2 /3-3x+12 . Írjuk fel úgy, hogy x^2/3-3*x+12 . Használhatja ezt a szolgáltatást is, ahol minden számítás Word formátumban kerül mentésre.

Például bontja kifejezésekre. Írjuk úgy, hogy (1-x^2)/(x^3+x) . A megoldás előrehaladásának megtekintéséhez kattintson a Lépések megjelenítése elemre. Ha az eredményt Word formátumban szeretné megkapni, használja ezt a szolgáltatást.

jegyzet: a "pi" (π) szám pi -ként van írva; négyzetgyök mint sqrt , például sqrt(3) , a tg tangensét tanként írjuk. A válaszért lásd az Alternatív szakaszt.

1. Ha egy egyszerű kifejezést adunk meg, például 8*d+12*c*d , akkor a kifejezés faktorálása a kifejezés faktorálását jelenti. Ehhez meg kell találni a közös tényezőket. Ezt a kifejezést így írjuk: 4*d*(2+3*c) .
2. Fejezd ki a szorzatot két binomiálisan: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Itt már több közös tényezőt kell találnunk: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Kivesszük (x+7z) és megkapjuk: (x+7z)(x + 3y) .

lásd még Polinomok sarokkal való osztása (az oszloppal való osztás összes lépése látható)

Hasznosak a faktorizáció szabályainak elsajátításában rövidített szorzóképletek, amellyel világos lesz, hogyan lehet négyzettel megnyitni a zárójeleket:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoring módszerek

Miután megtanult néhány trükköt faktorizáció A megoldások az alábbiak szerint csoportosíthatók:

1. Rövidített szorzóképletek használata.
2. Keressen egy közös tényezőt.

Az egyen kívül minden természetes számnak két vagy több osztója van. Például a 7-es szám csak 1-gyel és 7-tel osztható maradék nélkül, vagyis két osztója van. A 8-as számnak pedig 1, 2, 4, 8 osztói vannak, vagyis egyszerre akár 4 osztója is van.

Mi a különbség a prímszámok és az összetett számok között

A kettőnél több tényezőből álló számokat összetett számoknak nevezzük. Azokat a számokat, amelyeknek csak két osztója van, egy és maga a szám, prímszámoknak nevezzük.

Az 1-es számnak csak egy osztása van, mégpedig maga a szám. Az egység nem vonatkozik prímszámokra vagy összetett számokra.

• Például a 7-es szám prímszám, a 8-as szám összetett.

Az első 10 prímszám: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. A 2-es szám az egyetlen páros prímszám, az összes többi prímszám páratlan.

A 78-as szám összetett, mert 1-en és önmagán kívül 2-vel is osztható. 2-vel elosztva 39-et kapunk. Vagyis 78 = 2 * 39. Ilyen esetekben a számot 2-vel és 39-cel vették figyelembe.

Bármely összetett szám két tényezőre bontható, amelyek mindegyike nagyobb 1-nél. Prímszámmal egy ilyen trükk nem működik. Ez így megy.

Szám felbontása prímtényezőkre

Mint fentebb megjegyeztük, bármely összetett szám két tényezőre bontható. Vegyük például a 210-es számot. Ez a szám két tényezőre bontható: 21 és 10. De a 21 és 10 is összetett, bontsuk őket két tényezőre. 10 = 2*5, 21=3*7 kapjuk. Ennek eredményeként a 210-es szám már 4 tényezőre bomlott: 2,3,5,7. Ezek a számok már prímszámok, és nem bonthatók fel. Vagyis a 210-es számot prímtényezőkre bontottuk.

Amikor az összetett számokat prímtényezőkre bontjuk, általában növekvő sorrendben írjuk őket.

Emlékeztetni kell arra, hogy bármely összetett szám prímtényezőkre bontható, ráadásul egyedi módon, egy permutációig.

• Általában egy szám prímtényezőkre bontásánál az oszthatóság jeleit használjuk.

Bontsuk fel a 378-as számot prímtényezőkre

Számokat írunk, függőleges sávval elválasztva. A 378-as szám osztható 2-vel, mivel 8-ra végződik. Osztásakor a 189-et kapjuk. A 189-es szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy maga a 189-es szám osztható 3-mal. így 63-at kapunk.

A 63-as szám is osztható 3-mal, az oszthatóság alapján. 21-et kapunk, a 21-et ismét oszthatjuk 3-mal, 7-et kapunk. A hét csak önmagával osztható, egyet kapunk. Ezzel teljes a felosztás. A sor után jobbra prímtényezőket kaptunk, amelyekre a 378-as szám fel van bontva.

378|2
189|3
63|3
21|3