Prvo shvatimo razliku između kruga i kruga. Da biste vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. To je beskonačan broj točaka u ravnini, koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od jedne središnje točke. Ali, ako se krug sastoji i od unutarnjeg prostora, onda ne pripada krugu. Ispada da je kružnica i kružnica koja je omeđuje (o-kružnost (g)okrug), i nebrojeno mnogo točaka koje se nalaze unutar kružnice.

Za svaku točku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Duljina segmenta OL jednaka je polumjeru kruga).

Isječak koji spaja dvije točke na kružnici je akord.

Tetiva koja prolazi izravno kroz središte kruga je promjer ovaj krug (D) . Promjer se može izračunati pomoću formule: D=2R

Opseg izračunava se po formuli: C=2\pi R

Površina kruga: S=\pi R^(2)

luk kruga zove se onaj njezin dio, koji se nalazi između dviju njegovih točaka. Ove dvije točke određuju dva kružna luka. Tetiva CD obuhvaća dva luka: CMD i CLD. Iste tetive pokrivaju iste lukove.

Središnji kut je kut između dva radijusa.

dužina luka može se pronaći pomoću formule:

1. Korištenje stupnjeva: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R

Promjer koji je okomit na tetivu raspolavlja tetivu i lukove koje ona obuhvaća.

Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u točki N, tada su umnošci odsječaka tetiva odvojenih točkom N međusobno jednaki.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangenta na kružnicu

Tangenta na kružnicu Uobičajeno je nazvati ravnu liniju koja ima jednu zajedničku točku s krugom.

Ako pravac ima dvije zajedničke točke, naziva se sječna.

Ako nacrtate radijus na točki dodira, on će biti okomit na tangentu kružnice.

Povucimo dvije tangente iz ove točke na našu kružnicu. Ispada da će segmenti tangenti biti jednaki jedan drugome, a središte kruga nalazit će se na simetrali kuta s vrhom u ovoj točki.

AC=CB

Sada povlačimo tangentu i sekantu na kružnicu iz naše točke. Dobivamo da će kvadrat duljine segmenta tangente biti jednak proizvodu cijelog segmenta sekante s njegovim vanjskim dijelom.

AC^(2) = CD \cdot BC

Možemo zaključiti: umnožak cjelobrojnog odsječka prve sekante s njezinim vanjskim dijelom jednak je umnošku cjelobrojnog odsječka druge sekante s njezinim vanjskim dijelom.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Kutovi u krugu

Stupnjeve mjere središnjeg kuta i luka na kojem se on oslanja jednake su.

\kut COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Upisani kut je kut čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.

Možete ga izračunati ako znate veličinu luka, budući da je jednaka polovici ovog luka.

\kut AOB = 2 \kut ADB

Na temelju promjera, upisanog kuta, pravca.

\kut CBD = \kut CED = \kut CAD = 90^ (\circ)

Upisani kutovi koji se naslanjaju na isti luk su identični.

Upisani kutovi koji se temelje na istoj tetivi su identični ili je njihov zbroj jednak 180^ (\circ) .

\kut ADB + \kut AKB = 180^ (\circ)

\kut ADB = \kut AEB = \kut AFB

Na istoj kružnici nalaze se vrhovi trokuta s jednakim kutovima i zadanom osnovicom.

Kut s vrhom unutar kružnice koji se nalazi između dviju tetiva identičan je polovici zbroja kutnih veličina kružnih lukova koji se nalaze unutar zadanog i okomitog kuta.

\kut DMC = \kut ADM + \kut DAM = \frac(1)(2) \lijevo (\čaša DmC + \šalica AlB \desno)

Kut s vrhom izvan kruga koji se nalazi između dviju sekanti identičan je polovici razlike u kutnim veličinama kružnih lukova koji su unutar kuta.

\kut M = \kut CBD - \kut ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\čaša DmC - \šalica AlB \desno)

Upisani krug

Upisani krug je kružnica tangenta na stranice mnogokuta.

U točki gdje se sijeku simetrale kutova mnogokuta nalazi se njegovo središte.

Kružnica ne može biti upisana u svaki poligon.

Površina poligona s upisanom kružnicom nalazi se po formuli:

S=pr,

p je poluopseg poligona,

r je polumjer upisane kružnice.

Slijedi da je polumjer upisane kružnice:

r = \frac(S)(p)

Zbrojevi duljina nasuprotnih stranica bit će identični ako je kružnica upisana u konveksni četverokut. I obrnuto: konveksnom četverokutu je upisana kružnica ako su zbrojevi duljina nasuprotnih stranica u njemu jednaki.

AB+DC=AD+BC

U bilo koji od trokuta moguće je upisati krug. Samo jedan jedini. U točki gdje se sijeku simetrale unutarnjih kutova lika bit će središte ove upisane kružnice.

Polumjer upisane kružnice izračunava se po formuli:

r = \frac(S)(p),

gdje je p = \frac(a + b + c)(2)

Opisani krug

Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, tada se takva kružnica naziva opisan oko poligona.

Središte opisane kružnice bit će u točki sjecišta simetrala okomitih stranica ove figure.

Polumjer se može pronaći tako da se izračuna kao polumjer kružnice koja je opisana oko trokuta određenog s bilo koja 3 vrha poligona.

Postoji sljedeći uvjet: krug se može opisati oko četverokuta samo ako je zbroj njegovih nasuprotnih kutova jednak 180^( \circ) .

\kut A + \kut C = \kut B + \kut D = 180^ (\krug)

U blizini svakog trokuta moguće je opisati kružnicu, i to jednu i samo jednu. Središte takve kružnice nalazit će se na mjestu gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.

Polumjer opisane kružnice može se izračunati po formulama:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c su duljine stranica trokuta,

S je površina trokuta.

Ptolemejev teorem

Na kraju, razmotrimo Ptolemejev teorem.

Ptolemejev teorem tvrdi da je umnožak dijagonala identičan zbroju umnožaka suprotnih stranica upisanog četverokuta.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.

Ovaj članak sadrži minimalni skup informacija o krugu koji je potreban za uspješno polaganje ispita iz matematike.

opseg naziva se skup točaka koje se nalaze na istoj udaljenosti od dane točke, a koja se naziva središte kružnice.

Za bilo koju točku koja leži na kružnici vrijedi jednakost (duljina segmenta jednaka je polumjeru kružnice.

Odsječak koji spaja dvije točke na kružnici naziva se akord.

Tetiva koja prolazi središtem kruga naziva se promjer krugovi () .

Opseg:

Površina kruga:

Kružni luk:

Dio kruga zatvoren između dvije njegove točke naziva se luk krugovi. Dvije točke na kružnici određuju dva luka. Tetiva spaja dva luka: i . Jednake tetive spajaju jednake lukove.

Kut između dva polumjera naziva se središnji kut :

Da bismo pronašli duljinu luka, napravimo omjer:

a) kut je zadan u stupnjevima:

b) kut je zadan u radijanima:

Promjer okomit na tetivu , dijeli ovu tetivu i lukove koje oduzima na pola:

Ako akordi i kružnice se sijeku u točki , tada su umnošci odsječaka tetiva na koje ih dijeli točka međusobno jednaki:

Tangenta na kružnicu.

Pravac koji s kružnicom ima jednu zajedničku točku naziva se tangens u krug. Pravac koji s kružnicom ima dvije zajedničke točke naziva se sječna.

Tangenta na kružnicu okomita je na polumjer povučen na točku tangente.

Ako su iz date točke na kružnicu povučene dvije tangente, tada tangentni segmenti su međusobno jednaki a središte kružnice leži na simetrali kuta s vrhom u ovoj točki:

Ako su iz date točke na kružnicu povučene tangenta i sekanta, tada kvadrat duljine tangente jednak je umnošku cijelog sekansa s njegovim vanjskim dijelom :

Posljedica: umnožak cijelog odsječka jedne sekante s vanjskim dijelom jednak je umnošku cijelog odsječka druge sekante s vanjskim dijelom:

Kutovi u krugu.

Mjera stupnja središnjeg kuta jednaka je mjeri stupnja luka na kojem se nalazi:

Kut čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sadrže tetive naziva se upisani kut . Upisani kut mjeri se polovicom luka koji presječe:

∠∠

Upisani kut temeljen na promjeru je pravi kut:

∠∠∠

Upisani kutovi koji spajaju isti luk su :

Upisani kutovi koji spajaju istu tetivu jednaki su ili im je zbroj jednak

∠∠

Vrhovi trokuta sa zadanom osnovicom i jednakim kutovima pri vrhu leže na istoj kružnici:

Kut između dvije tetive (kut s vrhom unutar kružnice) jednak je polovici zbroja kutnih veličina lukova kružnice zatvorenih unutar zadanog kuta i unutar okomitog kuta.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Kut između dviju sekanti (kut s vrhom izvan kružnice) jednak je polurazlici kutnih veličina lukova kružnice zatvorenih unutar kuta.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Upisani krug.

Krug se zove upisana u poligon ako dodiruje njegove strane. Središte upisane kružnice leži u sjecištu simetrala kutova mnogokuta.

Ne može se svaki poligon upisati u krug.

Površina poligona koji sadrži krug može se pronaći pomoću formule

ovdje je poluperimetar poligona, polumjer upisane kružnice.

Odavde polumjer upisane kružnice jednaki

Ako je konveksnom četverokutu upisana kružnica, zbrojevi duljina suprotnih stranica su . Obrnuto, ako su u konveksnom četverokutu zbrojevi duljina suprotnih stranica jednaki, tada se u četverokut može upisati kružnica:

Kružnica se može upisati u svaki trokut i samo u jedan. Središte upisane kružnice nalazi se u sjecištu simetrala unutarnjih kutova trokuta.

Polumjer upisane kružnice jednako je . Ovdje

opisani krug.

Krug se zove opisan oko poligona ako prolazi kroz sve vrhove poligona. Središte opisane kružnice nalazi se u sjecištu simetrala stranica mnogokuta. Polumjer se izračunava kao polumjer kruga opisanog oko trokuta definiranog s bilo koja tri vrha zadanog poligona:

Kružnica se može opisati oko četverokuta ako i samo ako je zbroj njegovih nasuprotnih kutova jednak .

U blizini bilo kojeg trokuta moguće je opisati krug, štoviše, samo jedan. Njegovo središte leži u točki sjecišta simetrala stranica trokuta:

Polumjer opisane kružnice izračunati po formulama:

Gdje je duljina stranica trokuta, njegova je površina.

Ptolemejev teorem

U upisanom četverokutu umnožak dijagonala jednak je zbroju umnožaka njegovih suprotnih stranica:

Video lekcija 2: Kružnica koja opisuje trokut

Predavanje: Kružnica upisana u trokut i kružnica koja je opisana oko trokuta

Nekim se trokutima može opisati kružnica, a nekima se može upisati kružnica.

upisani trokut

Ako svi vrhovi trokuta leže na kružnici, tada se takav trokut naziva upisana.

Obratite pažnju, ako je neki trokut upisan u krug, tada su sve linije koje spajaju središte kruga s vrhovima trokuta jednake. Štoviše, imaju vrijednost radijusa.

Postoje jednostavne formule koje vam omogućuju određivanje strana trokuta poznatim polumjerom kruga ili obrnuto, određivanje polumjera duž strana:

Ako je pravilan trokut upisan u krug, tada su formule pojednostavljene. Podsjećam da se pravokutnim trokutom naziva onaj u kojem su sve stranice jednake:

Formula za pronalaženje površine pravilnog trokuta ako je upisan u krug:

Ako se neki trokut nalazi unutar kruga, tada postoji pravilo za postavljanje središta kruga.

Ako je bilo koji oštrokutni trokut upisan u krug, tada će se središte tog kruga nalaziti unutar trokuta:

Ako je pravilan trokut upisan u krug, tada će se središte kruga smatrati središtem trokuta, kao i sjecište njegovih visina.

Ako je pravokutni trokut upisan u krug, tada će središte kruga ležati u sredini hipotenuze:

Ako je tupi trokut upisan u krug, tada će središte kruga biti izvan trokuta:

Upisani krug

Krug se može nazvati upisanim ako u jednoj točki dodiruje sve stranice trokuta.

Za trokut u koji je upisan krug postoji određeno pravilo.