2). Zatim gradimo graf linearne funkcije y = -3x + 6 y x y = -3x + 6

Funkcije čiji su grafikoni paralelni x-osi 2. slučaj: K=0 U ovom slučaju, funkcija ima oblik y=b y Y=2 Y=-3 Y=0 x

Ako je k veći od nule, tada se linije nalaze u prvom i trećem kvadrantu. Što je koeficijent veći, to je prava linija bliže Oy osi, a što je manji koeficijent, to je prava linija bliža Ox osi. To jest, što je veći nagib, veći je ugao između prave linije i x-ose.

5 Y \u003d 2x +6 Y \u003d 2x - 5 x y Dvije prave su paralelne ako imaju isti ugao nagiba, a zavisi od nagiba k 0 Dvije prave su paralelne ako imaju isti nagib.
Zaključci 1. Funkcija oblika y \u003d kx + b, gdje su k i b neki brojevi, naziva se linearna funkcija. Linijski graf je prava linija. 2. Funkcija oblika y= kx naziva se direktna proporcionalnost, a njen graf prolazi kroz ishodište. 3. Grafikon funkcije y \u003d b je paralelan s x-osi i prolazi kroz tačku s koordinatama (0; b). 4. Koeficijent k se naziva nagib. Određuje ugao nagiba prave linije prema x-osi. 5. Ako dvije različite linije imaju jednake koeficijente nagiba, tada će grafovi ovih funkcija biti paralelni, a ako njihovi koeficijenti nagiba nisu jednaki, grafovi će se sjeći.

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su bilo koji brojevi.
Grafikon linearne funkcije je prava linija.

1. Izgraditi graf funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije x vrijednosti, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i iz njih izračunati odgovarajuće y vrijednosti.

Na primjer, za crtanje funkcije y= x+2, zgodno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate ovih tačaka biti jednake y=2 i y=3. Dobijamo tačke A(0;2) i B(3;3). Povežimo ih i dobijemo graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva faktor proporcionalnosti:
ako je k>0, funkcija y=kx+b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafika funkcije duž ose OY:
ako je b>0, tada se graf funkcije y=kx+b dobija iz grafika funkcije y=kx pomicanjem b jedinica gore duž ose OY
ako b
Na slici ispod prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent k iznad nule, a funkcije su povećanje.Štaviše, što je veća vrijednost k, veći je ugao nagiba prave linije u pozitivnom smjeru ose OX.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovoga puta u svim funkcijama koeficijent k manje od nule i karakteristike smanjiti. Koeficijent b=3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, prelaze osu OY u tački (0;3)

Razmotrimo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada, u svim jednadžbama funkcija, koeficijenti k su jednaki 2. I dobili smo tri paralelne prave.

Ali koeficijenti b su različiti i ovi dijagrami sijeku osu OY u razne tačke:
Grafikon funkcije y=2x+3 (b=3) prelazi osu OY u tački (0;3)
Grafikon funkcije y=2x (b=0) preseca osu OY u tački (0;0) - ishodištu.
Grafikon funkcije y=2x-3 (b=-3) prelazi osu OY u tački (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda grafik funkcije y=kx+b.
Ako a k 0

Ako a k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k, tada grafik funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako a k=0, tada se funkcija y=kx+b pretvara u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih tačaka grafa funkcije y=b jednake su b If b=0, tada graf funkcije y=kx (direktna proporcionalnost) prolazi kroz ishodište:

3. Zasebno, bilježimo graf jednačine x=a. Grafikon ove jednačine je prava linija paralelna sa OY osi, čije sve tačke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednadžba x=a nije funkcija, jer jedna vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije, što ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uslov paralelnosti dve prave:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je paralelan sa grafikom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uslov da dvije prave budu okomite:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na grafik funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Točke sjecišta grafika funkcije y=kx+b sa koordinatnim osa.

sa OY osom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobijamo y=b. To jest, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0;b).

Sa x-osi: Ordinata bilo koje tačke koja pripada x-osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa osom OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobijamo 0=kx+b. Dakle, x=-b/k. To jest, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (-b / k; 0):

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika y = kx + b, definisan na skupu svih realnih brojeva. Evo k– ugaoni koeficijent (stvarni broj), b – besplatni član (pravi broj), x je nezavisna varijabla.

U konkretnom slučaju, ako k = 0, dobijamo konstantnu funkciju y=b, čiji je graf prava linija paralelna s osi Ox, koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0;b).

Ako a b = 0, tada dobijamo funkciju y=kx, koji je u direktnoj proporciji.

b – dužina segmenta, koji odsijeca liniju duž ose Oy, računajući od početka.

Geometrijsko značenje koeficijenta k – ugao nagiba ravno u pozitivnom smjeru ose Ox smatra se da je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Domen linearne funkcije je cijela realna os;

2) Ako a k ≠ 0, tada je raspon linearne funkcije cijela realna os. Ako a k = 0, tada se raspon linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, shodno tome, y = b je paran;

b) b = 0, k ≠ 0, Shodno tome y = kx je neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, Shodno tome y = kx + b je opća funkcija;

d) b = 0, k = 0, Shodno tome y = 0 je i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Tačke raskrsnice sa koordinatnim osa:

vol: y = kx + b = 0, x = -b/k, Shodno tome (-b/k; 0)- tačka preseka sa osom apscise.

oy: y=0k+b=b, Shodno tome (0;b) je tačka preseka sa y-osom.

Napomena.Ako b = 0 i k = 0, zatim funkciju y=0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable X. Ako a b ≠ 0 i k = 0, zatim funkciju y=b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable X.

6) Intervali konstantnosti predznaka zavise od koeficijenta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- pozitivno na x od (-b/k; +∞),

y = kx + b- negativan na x od (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- pozitivno na x od (-∞; -b/k),

y = kx + b- negativan na x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitivno u cijelom domenu definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativan je u cijelom domenu definicije.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije zavise od koeficijenta k.

k > 0, Shodno tome y = kx + b povećava se u cijelom domenu definicije,

k< 0 , Shodno tome y = kx + b smanjuje se u cijelom domenu definicije.

8) Grafikon linearne funkcije je prava linija. Da biste nacrtali pravu liniju, dovoljno je znati dvije tačke. Položaj prave linije na koordinatnoj ravni ovisi o vrijednostima koeficijenata k i b. Ispod je tabela koja to jasno ilustruje.

Lekcija 1 .

Funkcija y=kh i njen raspored.

Nastavnik matematike škole broj 92

Pavlovskaja Nina Mihajlovna

• sistematizuju i razvijaju znanja učenika

na temu funkcija, opseg funkcije,

graf funkcija;

• uvesti koncept direktne proporcionalnosti;
• razvijaju sposobnost da se grade i čitaju grafikoni

funkcija data formulom y \u003d kx;

• naučite prepoznati:

- položaj grafa na koordinatnoj ravni,

- pripadnost ove tačke grafu;

• naučite kako postaviti pravu liniju prema grafikonu

proporcionalnost;

• promovirati razvoj kognitivnog interesa

studenti

• podsticati učenike na samokontrolu,

uzrokuju potrebu da opravdaju svoje

izjave.

Ciljevi lekcije:

Zagrijavanje.

1. Prema grafikonu promjena temperature zraka u toku dana, pronađite vrijednost temperature u 6:00, 12:00, 18:00 .

2. Šta se naziva opsegom dozvoljenih vrednosti promenljivog algebarskog razlomka?

3. Pronađite važeće vrijednosti varijable za razlomak:

0 k Funkcija oblika y = kx naziva se direktna proporcionalnost, gdje je x varijabla, k je nagib. Konstruisati grafove funkcija: y Svojstva: 8 7 a) y = 2x; b) y \u003d - 3x. 1. Područje definicije 6 5 2. Graf je prava linija koja prolazi kroz ishodište. 4 II I 3 2 3. Ako je k 0, graf prolazi kroz četvrtine I i III i formira oštri ugao sa pozitivnim smjerom x-ose. 1 -3 -2 -1 3 2 1 x -4 O -1 -2 III IV -3 4 . Ako je k -4 -5 -6 -7 -8" širina="640"

y = 2x

y = -3x

k0

k

Funkcija pregleda y = kx se naziva direktna proporcionalnost, gdje X - varijabilna, k - ugaoni koeficijent.

Build Graphs

funkcije :

at

Svojstva :

8

7

a) y \u003d 2x; b) y \u003d - 3x.

1. Domen definicije

6

5

2. Graf je prava linija koja prolazi kroz ishodište.

4

II

I

3

2

3. Ako je k 0, grafik prolazi kroz I i III četvrtinu i formira oštar ugao sa pozitivnim smjerom x-ose.

1

-3

-2

-1

3

2

1

X

-4

O

-1

-2

III

IV

-3

4 . Ako je k

-4

-5

-6

-7

-8

1 graf je rastegnut duž y-ose. 2. Ako je |k| duž x-ose." width="640"

Izgradite grafove funkcija u istom koordinatnom sistemu. Pronađite posebnost položaja grafova i izvucite zaključak.

a) y = 5x;

b) y \u003d - 4x;

d) y \u003d - 0,5x.

c) y = 0,2x;

zaključak:

• Ako je |k|1 graf je rastegnut

duž y ose.

2. Ako je |k|

duž x ose.

Prema grafikonu odredite tip funkcije i postavite je formulom, a također joj dajte karakteristiku.

in

G

a) y = 0,5x

b

d

b) y = x

a

e

c) y = 2x

d) y \u003d - 2x

e) y \u003d - x

e) y \u003d - 0,5x

Reši iz udžbenika

• Usmeno: br. 490, 491.

• U pisanoj formi: br. 493, 494 (a, c), 495 (a, c)

Sumiranje lekcije:

• Šta je graf funkcije y = kx ?
• Ono što se naziva nagibom prave linije y = kx ?
• U kojim koordinatnim četvrtima je graf funkcije y = kx na k 0, na k 0?

Zapišite svoj domaći zadatak:

str.6.1, 6.2 udžbenika,

№ 494(b,d), 495(b,d), 496.

№ 644 - opciono.

Linearna funkcija je funkcija forme

x-argument (nezavisna varijabla),

y- funkcija (zavisna varijabla),

k i b su neki konstantni brojevi

Graf linearne funkcije je ravno.

dovoljno za iscrtavanje grafika. dva bodova, jer kroz dve tačke možete povući pravu liniju, i štaviše, samo jednu.

Ako je k˃0, onda se graf nalazi u 1. i 3. koordinatnoj četvrti. Ako je k˂0, onda se graf nalazi u 2. i 4. koordinatnoj četvrti.

Broj k se naziva nagibom direktnog grafa funkcije y(x)=kx+b. Ako je k˃0, tada je ugao nagiba prave linije y(x)= kx+b prema pozitivnom smjeru Ox oštar; ako je k˂0, onda je ovaj ugao tup.

Koeficijent b pokazuje tačku preseka grafika sa y-osom (0; b).

y(x)=k∙x-- poseban slučaj tipične funkcije naziva se direktna proporcionalnost. Graf je prava linija koja prolazi kroz ishodište, tako da je jedna tačka dovoljna za izgradnju ovog grafika.

Grafikon linearne funkcije

Gdje je koeficijent k = 3, dakle

Grafikon funkcije će se povećati i imati oštar ugao sa Ox osom. koeficijent k ima predznak plus.

OOF linearne funkcije

FRF linearne funkcije

Osim u slučaju kada

Također linearna funkcija forme

To je opća funkcija.

B) Ako je k=0; b≠0,

U ovom slučaju, grafik je prava linija paralelna sa Ox osom i koja prolazi kroz tačku (0;b).

C) Ako je k≠0; b≠0, tada linearna funkcija ima oblik y(x)=k∙x+b.

Primjer 1 . Iscrtajte funkciju y(x)= -2x+5

Primjer 2 . Naći nule funkcije y=3x+1, y=0;

su nule funkcije.

Odgovor: ili (;0)

Primjer 3 . Odrediti vrijednost funkcije y=-x+3 za x=1 i x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Odgovor: y_1=2; y_2=4.

Primjer 4 . Odredite koordinate njihove tačke preseka ili dokažite da se grafovi ne seku. Neka su date funkcije y 1 =10∙x-8 i y 2 =-3∙x+5.

Ako se grafovi funkcija sijeku, tada je vrijednost funkcija u ovoj tački jednaka

Zamijenite x=1, zatim y 1 (1)=10∙1-8=2.

Komentar. Dobivenu vrijednost argumenta također možete zamijeniti u funkciju y 2 =-3∙x+5, tada ćemo dobiti isti odgovor y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2 - ordinata tačke preseka.

(1;2) - tačka presjeka grafova funkcija y = 10x-8 i y = -3x + 5.

Odgovor: (1;2)

Primjer 5 .

Konstruirajte grafove funkcija y 1 (x)= x+3 i y 2 (x)= x-1.

Može se vidjeti da je koeficijent k=1 za obje funkcije.

Iz navedenog slijedi da ako su koeficijenti linearne funkcije jednaki, onda su njihovi grafovi u koordinatnom sistemu paralelni.

Primjer 6 .

Napravimo dva grafikona funkcije.

Prvi graf ima formulu

Drugi grafikon ima formulu

AT ovaj slučaj pred nama je grafik dvije prave koje se seku u tački (0; 4). To znači da je koeficijent b, koji je odgovoran za visinu uspona grafika iznad x-ose, ako je x=0. Dakle, možemo pretpostaviti da je koeficijent b na oba grafika 4.

Urednici: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna