Toto je jedna z najbežnejších maticových operácií. Matrica, ktorá sa získa po vynásobení, sa nazýva matricový produkt.

Matrixový produkt A m × n do matrice B n × k bude tam matica Cm × k tak, že prvok matice C nachádza sa v i-tý riadok a j-tý stĺpec, teda prvok c ij sa rovná súčtu súčinov prvkov i riadok matice A na príslušných prvkoch j stĺpec matice B.

Proces maticové násobenia je možné len vtedy, ak sa počet stĺpcov prvej matice rovná počtu riadkov druhej matice.

Príklad:
Je možné vynásobiť maticu maticou?

m =n, čo znamená, že údaje matice môžete vynásobiť.

Ak sú matice zamenené, potom s takýmito maticami už násobenie nebude možné.

m≠ n, takže nemôžete násobiť:

Pomerne často môžete nájsť úlohy s trikom, keď je študent ponúknutý násobiť matice, ktorých násobenie je zjavne nemožné.

Upozorňujeme, že niekedy je možné násobiť matice oboma spôsobmi. Napríklad pre matice a prípadne ako násobenie MN, teda aj násobenie N.M.

Nie je to veľmi náročná akcia. Maticové násobenie sa najlepšie pochopí na konkrétnych príkladoch, ako napr Samotná definícia môže byť veľmi mätúca.

Začnime najjednoduchším príkladom:

Musí sa vynásobiť . Najprv uvedieme vzorec pre tento prípad:

- je tu dobrý vzor.

Vynásobte .

Vzorec pre tento prípad je: .

Násobenie matice a výsledok:

V dôsledku toho tzv. nulová matica.

Je veľmi dôležité mať na pamäti, že „pravidlo preusporiadania termínov“ tu nefunguje, pretože takmer vždy MN≠ NM. Preto vyrába operácia násobenia matice za žiadnych okolností by sa nemali zamieňať.

Teraz zvážte príklady násobenia matíc tretieho rádu:

Vynásobte na .

Vzorec je veľmi podobný predchádzajúcemu:

Matricové riešenie: .

Ide o rovnaké násobenie matice, len namiesto druhej matice sa berie prvočíslo. Ako asi tušíte, toto násobenie je oveľa jednoduchšie.

Príklad vynásobenia matice číslom:

Všetko je tu jasné - aby sa to dalo vynásobte maticu číslom, je potrebné vynásobiť každý prvok matice postupne zadaným číslom. V tomto prípade 3.

Ďalší užitočný príklad:

- maticové násobenie zlomkovým číslom.

Najprv si ukážme, čo nerobiť:

Pri vynásobení matice zlomkovým číslom nie je potrebné zadávať zlomok do matice, pretože to v prvom rade len komplikuje ďalšie činnosti s maticou a po druhé, sťažuje učiteľovi kontrolu riešenia. .

A navyše nie je potrebné deliť každý prvok matice -7:

.

Čo by sa malo v tomto prípade urobiť, je pridať do matice mínus:

.

Ak by ste mali príklad, kedy by boli všetky prvky matice bezo zvyšku delené 7, potom by bolo možné (a nevyhnutné!) deliť.

V tomto príklade je možné a potrebné vynásobiť všetky prvky matice ½, pretože každý prvok matice je bezo zvyšku deliteľný 2.

Poznámka: v teórii vyššej matematiky neexistuje školský pojem „delenie“. Namiesto frázy „toto sa delí týmto“ môžete vždy povedať „toto sa vynásobí zlomkom“. To znamená, že delenie je špeciálny prípad násobenia.

V prvom rade, ČO by malo byť výsledkom vynásobenia troch matíc? Mačka neporodí myš. Ak je násobenie matice možné, výsledkom bude tiež matica. No, môj učiteľ algebry nevidí, ako vysvetľujem uzavretosť algebraickej štruktúry vzhľadom na jej prvky =)

Súčin troch matíc možno vypočítať dvoma spôsobmi:

1) nájdite a potom vynásobte maticou "ce": ;

2) buď najskôr nájdite a potom vykonajte násobenie.

Výsledky sa budú nevyhnutne zhodovať a teoreticky táto vlastnosť sa nazýva asociativita násobenia matíc:

Príklad 6

Vynásobte matice dvoma spôsobmi

Algoritmus riešenia dvojkrokový: nájdite súčin dvoch matíc, potom opäť nájdite súčin dvoch matíc.

1) Použite vzorec

Akcia jedna:

Akcia dva:

2) Použite vzorec

Akcia jedna:

Akcia dva:

Odpoveď:

Známejší a štandardnejší je samozrejme prvý spôsob riešenia, tam „akoby všetko bolo v poriadku“. Mimochodom, o objednávke. V uvažovanej úlohe často vzniká ilúzia, že hovoríme o nejakej permutácii matíc. Nie sú tu. Znovu ti to pripomínam vo všeobecnosti by sa MATRICE NEMALI VYMENIŤ. Takže v druhom odseku, v druhom kroku, vykonáme násobenie, ale v žiadnom prípade. S obyčajnými číslami by takéto číslo prešlo, ale s maticami nie.

Vlastnosť asociatívnosti násobenia platí nielen pre štvorcové, ale aj pre ľubovoľné matice - pokiaľ sú násobené:

Príklad 7

Nájdite súčin troch matíc

Toto je príklad „urob si sám“. Vo vzorovom riešení boli výpočty uskutočnené dvoma spôsobmi, analyzovať, ktorý spôsob je ziskovejší a kratší.

Vlastnosť asociatívnosti násobenia matíc prebieha pre väčší počet faktorov.

Teraz je čas vrátiť sa k silám matíc. Štvorec matice sa zvažuje na samom začiatku a je na programe dňa.

V predchádzajúcej lekcii sme teda analyzovali pravidlá sčítania a odčítania matíc. Sú to také jednoduché operácie, že väčšina študentov im rozumie doslova hneď od začiatku.

Radujete sa však priskoro. Darček sa skončil – prejdime k násobeniu. Hneď vás varujem: násobenie dvoch matíc vôbec neznamená násobenie čísel v bunkách s rovnakými súradnicami, ako si možno myslíte. Všetko je tu oveľa zábavnejšie. A musíte začať s predbežnými definíciami.

Konzistentné matice

Jednou z najdôležitejších vlastností matice je jej veľkosť. Už sme o tom hovorili stokrát: $A=\left[ m\times n \right]$ znamená, že matica má presne $m$ riadkov a $n$ stĺpcov. Už sme diskutovali o tom, ako nezamieňať riadky so stĺpcami. Teraz je dôležité niečo iné.

Definícia. Matice tvaru $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$, v ktorých je počet stĺpcov v prvej matici rovnaký ako počet riadkov v druhom, sa nazývajú konzistentné.

Ešte raz: počet stĺpcov v prvej matici sa rovná počtu riadkov v druhej! Z toho vyvodíme dva závery naraz:

1. Záleží nám na poradí matrík. Napríklad matice $A=\left[ 3\times 2 \right]$ a $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sú konzistentné (2 stĺpce v prvej matici a 2 riadky v druhej) , ale naopak — matice $B=\left[ 2\times 5 \right]$ a $A=\left[ 3\times 2 \right]$ už nie sú konzistentné (5 stĺpcov v prvej matici je napr. boli, nie 3 riadky v druhom ).
2. Konzistenciu ľahko skontrolujete, ak zapíšete všetky rozmery jeden po druhom. Pomocou príkladu z predchádzajúceho odseku: "3 2 2 5" - rovnaké čísla sú v strede, takže matice sú konzistentné. Ale „2 5 3 2“ nie je dohodnuté, pretože v strede sú rôzne čísla.

Okrem toho sa zdá, že kapitán naznačuje, že štvorcové matice rovnakej veľkosti $\left[ n\times n \right]$ sú vždy konzistentné.

V matematike, keď je dôležité poradie enumerácie objektov (napríklad vo vyššie diskutovanej definícii je dôležité poradie matíc), často sa hovorí o usporiadaných pároch. Stretli sme sa s nimi v škole: Myslím si, že je zbytočné, že súradnice $\left(1;0 \right)$ a $\left(0;1 \right)$ definujú rôzne body v rovine.

Takže: súradnice sú tiež usporiadané dvojice, ktoré sa skladajú z čísel. Nič vám ale nebráni vyrobiť si takúto dvojicu matíc. Potom bude možné povedať: „Usporiadaný pár matíc $\left(A;B \right)$ je konzistentný, ak je počet stĺpcov v prvej matici rovnaký ako počet riadkov v druhej. "

No a čo?

Definícia násobenia

Uvažujme dve konzistentné matice: $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$. A my im definujeme operáciu násobenia.

Definícia. Súčin dvoch konzistentných matíc $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$ je nová matica $C=\left[ m\krát k \ vpravo] $, ktorého prvky sa vypočítajú podľa vzorca:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Takýto produkt sa označí štandardným spôsobom: $C=A\cdot B$.

Pre tých, ktorí vidia túto definíciu prvýkrát, sa okamžite vynárajú dve otázky:

1. Čo je to za divokú hru?
2. Prečo je to také ťažké?

No, po prvé. Začnime prvou otázkou. Čo znamenajú všetky tieto indexy? A ako sa nemýliť pri práci s reálnymi matricami?

V prvom rade si všimneme, že dlhý riadok na výpočet $((c)_(i;j))$ (špeciálne vložte bodkočiarku medzi indexy, aby ste sa neplietli, ale nemusíte ich zadávať všeobecné - sám som bol unavený písaním vzorca do definície) sa skutočne scvrkáva na jednoduché pravidlo:

1. Vezmite $i$-tý riadok v prvej matici;
2. Vezmite $j$-tý stĺpec v druhej matici;
3. Dostaneme dve postupnosti čísel. Prvky týchto postupností vynásobíme rovnakými číslami a potom sčítame výsledné produkty.

Tento proces je ľahko pochopiteľný z obrázku:

Schéma na násobenie dvoch matíc

Ešte raz: opravíme riadok $i$ v prvej matici, stĺpec $j$ v druhej matici, vynásobíme prvky rovnakými číslami a potom sčítame výsledné produkty - dostaneme $((c)_(ij) )) $. A tak pre všetky $1\le i\le m$ a $1\le j\le k$. Tie. takýchto "zvráteností" bude celkovo $m\krát k$.

S maticovým násobením sme sa totiž stretli už aj v školských osnovách, len v značne oklieštenej podobe. Nech sú dané vektory:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(zarovnať)\]

Potom ich skalárny produkt bude presne súčtom párových produktov:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

V skutočnosti sme v tých vzdialených rokoch, keď boli stromy zelenšie a obloha jasnejšia, jednoducho vynásobili riadkový vektor $\overrightarrow(a)$ stĺpcovým vektorom $\overrightarrow(b)$.

Dnes sa nič nezmenilo. Len teraz je tých riadkových a stĺpcových vektorov viac.

Ale dosť teórie! Pozrime sa na reálne príklady. A začnime najjednoduchším prípadom - štvorcovými maticami.

Násobenie štvorcových matíc

Úloha 1. Vykonajte násobenie:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Riešenie. Máme teda dve matice: $A=\ľavý[ 2\krát 2 \vpravo]$ a $B=\ľavý[ 2\krát 2 \vpravo]$. Je jasné, že sú konzistentné (štvorcové matice rovnakej veľkosti sú vždy konzistentné). Takže urobíme násobenie:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ \začiatok(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\koniec (pole) \vpravo]\cdot \left[ \ begin(pole)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cbodka 1 \\\koniec(pole) \vpravo]= \\ & =\vľavo[ ​​\začiatok(pole)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ koniec(pole)\vpravo]. \end(align)\]

To je všetko!

Odpoveď: $\left[ \begin(pole)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(pole) \right]$.

Úloha 2. Vykonajte násobenie:

\[\left[ \začiatok(matica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\koniec (matica) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Riešenie. Opäť konzistentné matice, takže vykonáme nasledujúce akcie:\[\]

\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ \začiatok(matica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\koniec (matica) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(*(35)( r)) 9 a 6 \\ -3 & -2 \\\koniec (pole) \vpravo]=\ľavý[ \začiatok(pole)(*(35)(r)) 1\cbodka 9+3\cbodka \ vľavo(-3 \vpravo) & 1\cbodka 6+3\cbodka \ľavá(-2 \vpravo) \\ 2\cbodka 9+6\cbodka \ľava(-3 \vpravo) & 2\cbodka 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(pole) \right]= \\ & =\left[ \begin(matica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matica) \right] . \end(align)\]

Ako vidíte, výsledkom je matica naplnená nulami

Odpoveď: $\left[ \začiatok(matica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\koniec (matica) \right]$.

Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že maticové násobenie nie je až taká zložitá operácia. Aspoň pre štvorcové matice 2 x 2.

V procese výpočtov sme zostavili prechodnú maticu, kde sme priamo namaľovali, aké čísla sú zahrnuté v konkrétnej bunke. To je presne to, čo by sa malo robiť pri riešení skutočných problémov.

Základné vlastnosti matricového produktu

Stručne. Maticové násobenie:

1. Nekomutatívne: $A\cdot B\ne B\cdot A$ vo všeobecnosti. Existujú samozrejme špeciálne matice, pre ktoré platí rovnosť $A\cdot B=B\cdot A$ (napríklad ak $B=E$ je matica identity), ale v drvivej väčšine prípadov to nefunguje. ;
2. Asociatív: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Tu nie sú žiadne možnosti: susedné matice možno násobiť bez toho, aby ste sa museli starať o to, čo je naľavo a napravo od týchto dvoch matíc.
3. Distribučne: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ a $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

A teraz - všetko rovnaké, ale podrobnejšie.

Maticové násobenie je veľmi podobné klasickému násobeniu čísel. Existujú však rozdiely, z ktorých najdôležitejší je ten maticové násobenie je vo všeobecnosti nekomutatívne.

Zvážte znova matice z úlohy 1. Už poznáme ich priamy súčin:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]=\vľavo[ ​​\začiatok(pole)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Ale ak vymeníme matice, dostaneme úplne iný výsledok:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\koniec (pole) \vpravo]=\ľavý[ \začiatok (matica) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\koniec (matica )\správny]\]

Ukázalo sa, že $A\cdot B\ne B\cdot A$. Tiež operácia násobenia je definovaná len pre konzistentné matice $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$, ale nikto nezaručil, že zostanú konzistentné, ak sú vymenené. Napríklad matice $\left[ 2\krát 3 \right]$ a $\left[ 3\krát 5 \right]$ sú v tomto poradí celkom konzistentné, ale rovnaké matice $\left[ 3\krát 5 \ vpravo] $ a $\left[ 2\krát 3 \right]$ napísané v opačnom poradí sa už nezhodujú. Smútok :(

Medzi štvorcovými maticami danej veľkosti $n$ budú vždy také matice, ktoré dávajú rovnaký výsledok ako pri priamom, tak aj v opačnom poradí. Ako opísať všetky takéto matice (a koľko ich je vo všeobecnosti) je téma na samostatnú hodinu. Dnes o tom nebudeme hovoriť. :)

Násobenie matice je však asociatívne:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Preto, keď potrebujete vynásobiť niekoľko matíc za sebou naraz, nie je to vôbec potrebné robiť vopred: je celkom možné, že niektoré susedné matice pri vynásobení poskytnú zaujímavý výsledok. Napríklad nulová matica, ako v 2. úlohe diskutovanej vyššie.

V reálnych úlohách sa najčastejšie musia násobiť štvorcové matice veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Množinu všetkých takýchto matíc označíme $((M)^(n))$ (t.j. položky $A=\left[ n\krát n \right]$ a \ znamenajú to isté) určite obsahuje maticu $E$, ktorá sa nazýva matica identity.

Definícia. Matica identity veľkosti $n$ je matica $E$ taká, že pre akúkoľvek štvorcovú maticu $A=\left[ n\krát n \right]$ platí rovnosť:

Takáto matica vždy vyzerá rovnako: na jej hlavnej uhlopriečke sú jednotky a vo všetkých ostatných bunkách sú nuly.

\[\začiatok(zarovnanie) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Inými slovami, ak potrebujete vynásobiť jednu maticu súčtom dvoch ďalších, potom ju môžete vynásobiť každou z týchto „ďalších dvoch“ a potom pridať výsledky. V praxi zvyčajne musíte vykonať inverznú operáciu: všimneme si rovnakú maticu, vyberieme ju zo zátvorky, vykonáme sčítanie a tým si zjednodušíme život. :)

Všimnite si, že na opis distributivity sme museli napísať dva vzorce: kde je súčet v druhom faktore a kde je súčet v prvom. Je to práve kvôli tomu, že násobenie matíc je nekomutatívne (a vôbec, v nekomutatívnej algebre existuje množstvo všelijakých vtipov, ktoré nám pri práci s obyčajnými číslami ani neprídu na um). A ak si napríklad pri skúške potrebujete zapísať túto vlastnosť, tak určite napíšte oba vzorce, inak sa učiteľ môže trochu nahnevať.

Dobre, všetko to boli rozprávky o štvorcových matriciach. A čo obdĺžniky?

Prípad pravouhlých matíc

Ale nič – všetko je ako pri hranatých.

Úloha 3. Vykonajte násobenie:

\[\left[ \začiatok(matica) \začiatok(matica) 5 \\ 2 \\ 3 \\\koniec (matica) & \začiatok(matica) 4 \\ 5 \\ 1 \\\koniec (matica) \ \\end(matica) \right]\cdot \left[ \začiatok(pole)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Riešenie. Máme dve matice: $A=\vľavo[ ​​3\krát 2 \vpravo]$ a $B=\vľavo[ ​​2\krát 2 \vpravo]$. Napíšme čísla označujúce veľkosti v rade:

Ako vidíte, dve centrálne čísla sú rovnaké. To znamená, že matice sú konzistentné a možno ich násobiť. A na výstupe dostaneme maticu $C=\vľavo[ ​​3\krát 2 \vpravo]$:

\[\začiatok(zarovnanie) & \vľavo[ ​​\začiatok(matica) \začiatok(matica) 5 \\ 2 \\ 3 \\\koniec (matica) & \začiatok(matica) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matica) \\\end(matica) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(pole) \right]= \\ & =\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\koniec(pole)\vpravo]. \end(align)\]

Všetko je jasné: konečná matica má 3 riadky a 2 stĺpce. Celkom $=\vľavo[ ​​3\krát 2 \vpravo]$.

Odpoveď: $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) \begin(pole)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \začiatok(matica) 41 \\ 30 \\ 19 \\\koniec (matica) \\\koniec (pole) \vpravo]$.

Teraz zvážte jednu z najlepších tréningových úloh pre tých, ktorí práve začínajú pracovať s maticami. V ňom nie je potrebné len rozmnožiť dve tablety, ale najprv určiť: je takéto rozmnožovanie prípustné?

Úloha 4. Nájdite všetky možné párové súčiny matíc:

\\]; $B=\left[ \začiatok(matica) \začiatok(matica) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\koniec (matica) & \začiatok (matica) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\koniec(matica) \\\koniec(matica) \vpravo]$; $C=\vľavo[ ​​\začiatok(matica)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\koniec (matica) \vpravo]$.

Riešenie. Najprv si napíšme rozmery matíc:

\;\ B=\vľavo[ ​​4\krát 2 \vpravo];\ C=\vľavo[ ​​2\krát 2 \vpravo]\]

Dostaneme, že maticu $A$ možno spárovať iba s maticou $B$, keďže počet stĺpcov v $A$ je 4 a iba $B$ má tento počet riadkov. Preto môžeme nájsť produkt:

\\cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(pole) \right]=\ vľavo[ ​​\začiatok(pole)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Navrhujem, aby čitateľ vykonal medzikroky sám. Poznamenám len, že je lepšie určiť veľkosť výslednej matice vopred, ešte pred akýmikoľvek výpočtami:

\\cdot \left[ 4\krát 2 \vpravo]=\vľavo[ ​​2\krát 2 \vpravo]\]

Inými slovami, jednoducho odstránime „prechodové“ koeficienty, ktoré zaisťovali konzistenciu matíc.

Aké ďalšie možnosti sú možné? Určite je možné nájsť $B\cdot A$, keďže $B=\vľavo[ ​​4\krát 2 \vpravo]$, $A=\vľavo[ ​​2\krát 4 \vpravo]$, takže objednaný pár $\ left(B ;A \right)$ je konzistentné a rozmer produktu bude:

\\cdot \left[ 2\krát 4 \vpravo]=\vľavo[ ​​4\krát 4 \vpravo]\]

Stručne povedané, výstupom bude matica $\left[ 4\krát 4 \right]$, ktorej koeficienty sa dajú ľahko vypočítať:

\\cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(pole) \right]=\ vľavo[ ​​\začiatok(pole)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 a -8 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Samozrejme, môžete tiež spárovať $C\cdot A$ a $B\cdot C$ a je to. Preto jednoducho napíšeme výsledné produkty:

Bolo to ľahké.:)

Odpoveď: $AB=\left[ \začiatok(pole)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\koniec(pole) \vpravo]$; $BA=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\koniec(pole) \vpravo]$; $CA=\left[ \začiatok(pole)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\koniec (pole) \vpravo]$; $BC=\left[ \begin(pole)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(pole) \right]$.

Vo všeobecnosti veľmi odporúčam, aby ste túto úlohu vykonali sami. A ďalšia podobná úloha, ktorá je v domácej úlohe. Tieto zdanlivo jednoduché myšlienky vám pomôžu vypracovať všetky kľúčové kroky pri násobení matice.

Tým sa však príbeh nekončí. Prejdime k špeciálnym prípadom násobenia. :)

Riadkové vektory a stĺpcové vektory

Jednou z najbežnejších maticových operácií je násobenie maticou, ktorá má jeden riadok alebo jeden stĺpec.

Definícia. Stĺpcový vektor je $\left[ m\krát 1 \right]$ matica, t.j. pozostáva z niekoľkých riadkov a iba jedného stĺpca.

Riadkový vektor je matica veľkosti $\left[ 1\krát n \right]$, t.j. pozostáva z jedného riadku a niekoľkých stĺpcov.

V skutočnosti sme sa s týmito predmetmi už stretli. Napríklad obyčajný trojrozmerný vektor zo stereometrie $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ nie je nič iné ako riadkový vektor. Z teoretického hľadiska nie je takmer žiadny rozdiel medzi riadkami a stĺpcami. Pozor si treba dávať len pri koordinácii s okolitými multiplikačnými maticami.

Úloha 5. Vynásobte:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(pole) \right] \cdot \left[ \začiatok(pole)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Riešenie. Máme súčin konzistentných matíc: $\ľavý[ 3\krát 3 \vpravo]\cdot \ľavý[ 3\krát 1 \vpravo]=\ľavý[ 3\krát 1 \vpravo]$. Nájdite tento kúsok:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(pole) \right] \cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(pole)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Odpoveď: $\left[ \začiatok(pole)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\koniec(pole) \vpravo]$.

Úloha 6. Vykonajte násobenie:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Riešenie. Opäť je všetko konzistentné: $\vľavo[ ​​1\krát 3 \vpravo]\cdot \ľavo[ ​​3\krát 3 \vpravo]=\vľavo[ ​​1\krát 3 \vpravo]$. Za prácu považujeme:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\koniec (pole) \vpravo]=\vľavo[ ​​\začiatok(pole)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Odpoveď: $\left[ \začiatok(matica) 5 & -19 & 5 \\\koniec (matica) \right]$.

Ako vidíte, pri vynásobení riadkového vektora a stĺpcového vektora štvorcovou maticou je výstupom vždy riadok alebo stĺpec rovnakej veľkosti. Táto skutočnosť má mnoho aplikácií - od riešenia lineárnych rovníc až po všetky druhy transformácií súradníc (ktoré sa nakoniec tiež zredukujú na sústavy rovníc, ale nehovorme o smutných veciach).

Myslím, že tu bolo všetko jasné. Prejdime k záverečnej časti dnešnej lekcie.

Umocňovanie matice

Spomedzi všetkých operácií násobenia si zvláštnu pozornosť zasluhuje umocňovanie - to je vtedy, keď ten istý objekt násobíme niekoľkokrát sám sebou. Výnimkou nie sú ani matriky, tie sa tiež dajú povýšiť na rôzne stupne.

Takéto práce sú vždy koordinované:

\\cdot \left[ n\krát n \vpravo]=\vľavo[ ​​n\krát n \vpravo]\]

A sú označené rovnakým spôsobom ako bežné stupne:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(zarovnať)\]

Na prvý pohľad je všetko jednoduché. Pozrime sa, ako to vyzerá v praxi:

Úloha 7. Zdvihnite maticu na určený výkon:

$((\left[ \začiatok(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \right])^(3))$

Riešenie. Dobre, poďme stavať. Najprv to utvoríme na druhú:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\left[ \začiatok(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \right])^(2))=\left[ \začiatok(matica ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo]\cdot \left[ \začiatok (matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo]= \\ & =\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(pole) \right]= \\ & =\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(pole) \right] \end(align)\]

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\ľavý[ \začiatok(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo])^(3))=((\ľavý[ \začiatok (matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo])^(3))\cdot \left[ \začiatok (matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec( matica) \right]= \\ & =\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \začiatok(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo]= \\ & =\vľavo[ ​​\začiatok(pole)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \koniec (zarovnanie)\]

To je všetko.:)

Odpoveď: $\left[ \začiatok(matica)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \right]$.

Problém 8. Zdvihnite maticu na zadaný výkon:

\[((\left[ \začiatok(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \right])^(10))\]

Riešenie. Len teraz neplač nad tým, že „titul je príliš vysoký“, „svet nie je spravodlivý“ a „učitelia úplne stratili svoje banky“. V skutočnosti je všetko jednoduché:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\ľavý[ \začiatok(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo])^(10))=((\ľavý[ \začiatok (matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo])^(3))\cdot ((\left[ \začiatok(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ koniec(matica) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matica) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matica) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matica) 1 & 3 \\ 0 & 2 \začiatok(matica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo]\cdot \left[ \začiatok(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo ] \right)= \\ & =\left[ \začiatok(matica) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \right]\cdot \left[ \začiatok(matica) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo]= \\ & =\vľavo[ ​​\začiatok (matica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo] \koniec (zarovnanie)\ ]

Všimnite si, že v druhom riadku sme použili násobenie asociativity. V skutočnosti sme to použili v predchádzajúcej úlohe, ale tam to bolo implicitné.

Odpoveď: $\left[ \začiatok(matica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \right]$.

Ako vidíte, nie je nič zložité pozdvihnúť matrix na moc. Posledný príklad možno zhrnúť takto:

\[((\left[ \begin(matica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matica) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Tento fakt sa dá ľahko dokázať matematickou indukciou alebo priamym násobením. Nie vždy je však možné zachytiť takéto vzorce pri zvyšovaní sily. Preto buďte opatrní: často je jednoduchšie a rýchlejšie vynásobiť niekoľko matíc „naprázdno“, ako tam hľadať nejaké vzory.

Vo všeobecnosti nehľadajte vyšší zmysel tam, kde žiadny nie je. Nakoniec uvažujme umocnenie väčšej matice – až $\left[ 3\krát 3 \right]$.

Problém 9. Zdvihnite maticu na určený výkon:

\[((\left[ \začiatok(matica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\koniec (matica) \right])^(3))\]

Riešenie. Nehľadajme vzory. Pracujeme "cez":

\[((\left[ \začiatok(matica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\koniec (matica) \right])^(3))=(( \left[ \začiatok(matica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\koniec (matica) \right])^(2))\cdot \left[ \začiatok (matica)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\koniec (matica) \vpravo]\]

Začnime kvadratúrou tejto matice:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\left[ \začiatok(matica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\koniec (matica) \right])^( 2))=\left[ \začiatok(matica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\koniec (matica) \right]\cdot \left[ \začiatok(matica ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\koniec (matica) \vpravo]= \\ & =\vľavo[ ​​\začiatok(pole)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\koniec (pole) \vpravo] \koniec (zarovnanie)\]

Teraz to dáme na kocky:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\left[ \začiatok(matica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\koniec (matica) \right])^( 3))=\left[ \začiatok(pole)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\koniec (pole) \vpravo] \cdot \left[ \begin(matica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matica) \right]= \\ & =\left[ \begin( pole)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\koniec (pole) \vpravo] \koniec (zarovnanie)\]

To je všetko. Problém je vyriešený.

Odpoveď: $\left[ \začiatok(matica) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\koniec (matica) \right]$.

Ako vidíte, množstvo výpočtov sa zväčšilo, ale význam sa vôbec nezmenil. :)

Táto lekcia môže skončiť. Nabudúce zvážime inverznú operáciu: budeme hľadať pôvodné multiplikátory pomocou existujúceho produktu.

Ako ste už pravdepodobne uhádli, budeme hovoriť o inverznej matici a metódach na jej nájdenie.

Matice sú tabuľky čísel, ktoré sú vzájomne prepojené. Je možné na nich vykonávať množstvo rôznych operácií, o ktorých si povieme nižšie.

Veľkosť matice je určená jej objednávky- počet riadkov $m$ a stĺpcov $n$, ktoré sa v ňom nachádzajú. Riadky sú tvorené prvkami stojacimi na vodorovných čiarach a stĺpce sú tvorené prvkami stojacimi na rovných zvislých čiarach. Ak je počet riadkov ekvivalentný počtu stĺpcov, poradie uvažovanej tabuľky je určené iba jednou hodnotou $m = n$.

Poznámka 1

Pre každý prvok matice je číslo riadku, v ktorom sa nachádza, zapísané ako prvé v indexe a číslo stĺpca je zapísané ako druhé, to znamená, že $a_(ij)$ znamená, že prvok je v $i$-tom riadku. a v stĺpci $j$- ohm.

Sčítanie a odčítanie

Takže o sčítaní a odčítaní. Tieto akcie je možné vykonať iba pomocou matíc rovnakej veľkosti.

Na vykonanie týchto akcií je potrebné vykonať sčítanie alebo odčítanie každého prvku matice s prvkom inej matice, ktorý je na rovnakej pozícii ako prvok v prvej.

Ako príklad nájdime sumu $A+B$, kde:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23)\\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \\ \end(pmatrix)$

a $B = \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33)\\ \end(pmatrix)$

Súčet akéhokoľvek prvku novo získanej maticovej tabuľky $A + B$ sa rovná $a_(ij) + b_(ij)$, napríklad prvok s indexom $11$ sa rovná $a_(11) + b_ (11) $ a celý výsledok vyzerá takto:

$A + B = \begin(pmatrix) a_(11)+b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+ b_(13) \\ a_(21)+ b_(21) & a_(22)+b_(22) & a_(23)+ b_(23) \\ a_(31)+ b_(31) & a_(32)+ b_(32) & a_(33) + b_(33 ) \\ \end(pmatrix)$

Odčítanie pre dve matice $A-B$ sa vykonáva podobne, ale každý prvok novej matice výsledkov bude vypočítaný pomocou vzorca $a_(ij) – b_(ij)$.

Upozorňujeme, že sčítanie a odčítanie pre matice je možné vykonať iba vtedy, ak sú ich poradia rovnaké.

Príklad 1

Vyriešte nasledujúce maticové príklady: $A + B$; $A-B$.

$A=\začiatok(pmatrix) 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end(pmatrix)$

$B=\začiatok(pmatrix) 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Vysvetlenie:

Akcie sa vykonávajú pre každú dvojicu prvkov $a_(ij)$ a $b_(ij)$:

$A+B=\začiatok(pmatica) 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 - 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 - 3 \ \ \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end(pmatrix)$

$A-B=\začiatok(pmatica) 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \ end(pmatrix)=\begin(pmatrix) 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end(pmatrix)$

Násobenie matice číslom

Aby sa maticová tabuľka vynásobila nejakým číslom, musí byť každý prvok matice vynásobený týmto číslom, teda akýkoľvek prvok novej matice $C$, ktorá je výsledkom súčinu $A$ hodnotou $λ. $, sa bude rovnať $с_(ij)= λ\cdot a_(ij)$.

Príklad 2

Vynásobte $A$ hodnotou $λ$, kde $A=\začiatok(pmatica) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatica)$ a $λ =5 $:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin(pmatrix) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 \cdot 5 & ​​​​0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end (pmatrix ) = \begin(pmatrix) 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end(pmatrix)$.

Súčin maticových tabuliek

Táto úloha je o niečo ťažšia ako predchádzajúce, ale zároveň v nej nie je nič ťažké.

Ak chcete vykonať násobenie dvoch matíc $A \cdot B$, počet stĺpcov v $A$ sa musí zhodovať s počtom riadkov v $B$.

Matematicky sa to dá zapísať takto:

$A_(m \krát n)\cdot B_(n \krát p) = C_(m \krát p)$

To znamená, že keď vidíte vynásobené pôvodné matice, môžete okamžite určiť poradie výslednej novej. Napríklad, ak potrebujete vynásobiť $A_(3 \krát 2)$ a $B_(2 \krát 3)$, výsledok bude $3 \krát 3$:

$\begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ a_(31) & a_(32) \\ \end(pmatrix) \times \begin(pmatrix ) b_(11) & b_(12) &b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) &b_(33) \\ \end( pmatrix) = \begin(pmatrix) & & \\ & & \\ & & \\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) (a_(11)b_(11) + a_(12)b_(21)) & (a_(11)b_(12) + a_(12)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(12)b_(23)) \\ (a_(21)b_(11 ) + a_(22)b_(21)) & (a_(21)b_(12) + a_(22)b_(22)) & (a_(11)b_(13) + a_(22)b_(23) ) \\ (a_(31)b_(11) + a_(32)b_(21)) & (a_(31)b_(12) + a_(32)b_(22)) & (a_(31)b_( 13) + a_(32)b_(23)) \\ \end(pmatrix)$

Ak sa počet stĺpcov prvého maticového násobiteľa nezhoduje s počtom riadkov druhého maticového násobiteľa, násobenie nemožno vykonať.

Príklad 3

Vyriešte príklad:

$A \krát B = ?$, ak $A=\začiatok(pmatica) 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end(pmatica)$ a $B = \ begin(pmatrix) 3 & - 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end(pmatrix)$.

$A \times B = \begin(pmatrix) (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end(pmatrix) $

$A \times B= \begin(pmatrix) (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 ) + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end(pmatrix) = \begin( pmatica ) 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end(pmatrix)$.

Nájdenie determinantu matice

Maticový determinant je označený ako $Δ$ alebo $\det$.

Poznámka 2

Determinant možno nájsť len pre štvorcové matice.

V najjednoduchšom prípade, keď matica pozostáva iba z jedného prvku, jej determinant sa rovná tomuto prvku: $det A = |a_(11)|= a_(11)$

Determinant môžete vypočítať z matice rádu dva podľa nasledujúceho pravidla:

Definícia 1

Determinant matice veľkosti 2 sa rovná rozdielu medzi súčinmi prvkov na hlavnej uhlopriečke a súčinom prvkov na vedľajšej diagonále:

$\začiatok(pole)(|cc|) a_(11)& a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \\ \end(pole) = a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)\cdot a_(21)$

Ak je determinant matice $3 \krát 3$, môžete ho nájsť pomocou mnemotechnických pravidiel: Sarrus alebo trojuholníky, maticu môžete tiež rozložiť do riadku alebo stĺpca alebo použiť Gaussove transformácie.

Pre väčšie determinanty možno použiť Gaussove transformácie a rozšírenie riadkov.

Inverzné matice

Analogicky k obvyklému násobeniu čísla jeho recipročným $(1+\frac1x= 1)$, vynásobením inverznej matice $A^(-1)$ pôvodnou maticou vznikne matica identity $E$.

Najjednoduchšia metóda riešenia pri hľadaní inverznej matice je Jordan Gauss. Vedľa matice morčiat sa zapíše jednotková matica rovnakej veľkosti a potom sa pôvodná matica pomocou transformácií zredukuje na jednotkovú maticu a všetky vykonané akcie sa zopakujú s $E$.

Príklad 4

Dana $A=\začiatok(pmatrix)(cc) 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end(pmatrix)$

Získajte inverznú maticu.

Riešenie:

Napíšeme spolu $A$ a napravo od neho zodpovedajúcu veľkosť $E$:

$ \začiatok(pole)(cc|cc) 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end(pole)$

V poslednom riadku na prvej pozícii dostaneme nulu: pridáme k nej hornú, vynásobenú $-3$:

$ \začiatok(pole)(cc|cc) 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(pole)$

Teraz resetujeme posledný prvok prvého riadku. Ak to chcete urobiť, pridajte spodný riadok k hornému riadku:

$ \začiatok(pole)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end(pole)$

Druhé vydelíme $-2$:

$ \začiatok(pole)(cc|cc) 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end(pole)$

Získal výsledok:

$A=\začiatok(pmatrix)(cc) -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end(pmatrix)$

Transponovanie maticových tabuliek

Transpozícia je zmena riadkov a stĺpcov v matici alebo determinante na miestach pri zachovaní ich pôvodného poradia. Determinant transponovanej maticovej tabuľky $A^T$ sa bude rovnať determinantu pôvodnej matice $A$.

Príklad 5

Transponujte maticu $A$ a overte si to nájdením determinantu $A$ a transponovanej maticovej tabuľky.

$A=\začiatok(pmatica) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ - 1 & -2 & -3\\ \end(pmatrix)$

Riešenie:

Na determinant použijeme Sarrusovu metódu:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot (-3) - 1 \cdot 6 \cdot (-2) - 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 - 12 - 24+ 24 + 12 + 15 = $ 0.

Máme zdegenerovaný matrix.

Teraz vykonajte transpozíciu $A$, preto hodíme maticu na jej pravú stranu:

$A^T = \začiatok(pmatrix) 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end(pmatrix)$

Nájdite determinant pre $A^T$ pomocou rovnakého pravidla:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) - 1 \cdot (-2) \cdot 6 - (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = - 15 -24 - 12+24+12+15 = 0 $.

Definícia 1

Súčin matíc (C=AB) je operácia len pre konzistentné matice A a B, v ktorých sa počet stĺpcov matice A rovná počtu riadkov matice B:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Príklad 1

Údaje matice:

• A = a (i j) s rozmermi m × n;
• B = b (i j) p x n

Matica C, ktorej prvky c i j sa vypočítajú podľa nasledujúceho vzorca:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1,. . . m

Príklad 2

Vypočítajme súčin AB=BA:

A = 1 2 1 0 1 2, B = 1 0 0 1 1 1

Riešenie pomocou pravidla násobenia matice:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Súčin A B a B A sa nájde, ale ide o matice rôznych veľkostí: A B sa nerovná B A.

Vlastnosti násobenia matíc

Vlastnosti násobenia matice:

• (A B) C = A (B C) - asociativita násobenia matíc;
• A (B + C) \u003d A B + A C - distribučné násobenie;
• (A + B) C \u003d A C + B C - distributivita násobenia;
• λ (A B) = (λ A) B

Príklad 1

Skontrolujte vlastnosť č. 1: (A B) C = A (B C):

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Príklad 2

Skontrolujeme vlastnosť č. 2: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58 .

Súčin troch matíc

Súčin troch matíc A B C sa vypočíta 2 spôsobmi:

• nájdite A B a vynásobte C: (A B) C;
• alebo nájdite najprv B C a potom vynásobte A (BC) .

Príklad 3

Vynásobte matice dvoma spôsobmi:

4 3 7 5 × – 28 93 38 – 126 × 7 3 2 1

Akčný algoritmus:

• nájdite súčin 2 matíc;
• potom znova nájdite súčin 2 matíc.

jeden). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Používame vzorec A B C \u003d (A B) C:

jeden). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Odpoveď: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Násobenie matice číslom

Definícia 2

Súčin matice A číslom k je matica B \u003d A k rovnakej veľkosti, ktorá sa získa z originálu vynásobením daným počtom všetkých jej prvkov:

b i, j = k × a i, j

Vlastnosti násobenia matice číslom:

• 1 × A = A
• 0 × A = nulová matica
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = kA + nA
• (k×n)×A = k(n×A)

Príklad 4

Nájdite súčin matice A \u003d 4 2 9 0 x 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Násobenie matice vektorom

Definícia 3

Ak chcete nájsť súčin matice a vektora, musíte násobiť podľa pravidla riadok po stĺpci:

• ak vynásobíte maticu stĺpcovým vektorom, počet stĺpcov v matici sa musí zhodovať s počtom riadkov v stĺpcovom vektore;
• výsledkom násobenia stĺpcového vektora je iba stĺpcový vektor:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × 2 + 1 + 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 1 m

• ak vynásobíte maticu riadkovým vektorom, potom matica, ktorá sa má vynásobiť, musí byť výlučne stĺpcový vektor a počet stĺpcov sa musí zhodovať s počtom stĺpcov v riadkovom vektore:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Príklad 5

Nájdite súčin matice A a stĺpcového vektora B:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Príklad 6

Nájdite súčin matice A a riadkového vektora B:

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Odpoveď: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter