Faptul 1.
\(\bullet\) Ia unele nu un număr negativ\(a\) (adică \(a\geqslant 0\) ). Apoi (aritmetică) rădăcină pătrată din numărul \(a\) se numește un astfel de număr nenegativ \(b\), la pătrat obținem numărul \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(la fel ca )\quad a=b^2\] Din definiţie rezultă că \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Aceste restricții sunt o condiție importantă pentru existență rădăcină pătratăȘi ar trebui să fie amintite!
Amintiți-vă că orice număr la pătrat dă un rezultat nenegativ. Adică \(100^2=10000\geqslant 0\) și \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ce este \(\sqrt(25)\)? Știm că \(5^2=25\) și \((-5)^2=25\) . Deoarece prin definiție trebuie să găsim un număr nenegativ, \(-5\) nu este potrivit, deci \(\sqrt(25)=5\) (deoarece \(25=5^2\) ).
Găsirea valorii \(\sqrt a\) se numește luarea rădăcinii pătrate a numărului \(a\) , iar numărul \(a\) se numește expresie rădăcină.
\(\bullet\) Pe baza definiției, expresiile \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. nu au sens.

Faptul 2.
Pentru calcule rapide, va fi util să înveți tabelul cu pătrate numere naturale de la \(1\) la \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(matrice)\]

Faptul 3.
Ce se poate face cu rădăcini pătrate?
\(\glonţ\) Sumă sau diferență rădăcini pătrate NU EGAL cu rădăcina pătrată a sumei sau a diferenței, adică \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Astfel, dacă trebuie să calculați, de exemplu, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atunci inițial trebuie să găsiți valorile \(\sqrt(25)\) și \(\sqrt (49)\ ) și apoi adună-le. Prin urmare, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Dacă valorile \(\sqrt a\) sau \(\sqrt b\) nu pot fi găsite la adăugarea \(\sqrt a+\sqrt b\), atunci o astfel de expresie nu este convertită și rămâne așa cum este. De exemplu, în suma \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) putem găsi \(\sqrt(49)\) - aceasta este \(7\) , dar \(\sqrt 2\) nu poate fi convertit în orice fel, de aceea \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). În plus, această expresie, din păcate, nu poate fi simplificată în niciun fel.\(\bullet\) Produsul/coeficientul rădăcinilor pătrate este egal cu rădăcina pătrată a produsului/coeficientului, adică. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (cu condiția ca ambele părți ale egalităților să aibă sens)
Exemplu: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Folosind aceste proprietăți, este convenabil să găsiți rădăcinile pătrate ale numere mari prin factorizarea acestora.
Luați în considerare un exemplu. Găsiți \(\sqrt(44100)\) . Deoarece \(44100:100=441\) , atunci \(44100=100\cdot 441\) . Conform criteriului divizibilității, numărul \(441\) este divizibil cu \(9\) (deoarece suma cifrelor sale este 9 și este divizibil cu 9), prin urmare, \(441:9=49\) , adică \(441=9\ cdot 49\) .
Astfel, avem: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Să ne uităm la un alt exemplu: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Să arătăm cum să introduceți numere sub semnul rădăcinii pătrate folosind exemplul expresiei \(5\sqrt2\) (prescurtarea expresiei \(5\cdot \sqrt2\) ). Deoarece \(5=\sqrt(25)\) , atunci \ De asemenea, rețineți că, de exemplu,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

De ce este asta? Să explicăm cu exemplul 1). După cum ați înțeles deja, nu putem converti cumva numărul \(\sqrt2\) . Imaginează-ți că \(\sqrt2\) este un număr \(a\) . În consecință, expresia \(\sqrt2+3\sqrt2\) nu este altceva decât \(a+3a\) (un număr \(a\) plus încă trei numere identice \(a\) ). Și știm că aceasta este egală cu patru astfel de numere \(a\) , adică \(4\sqrt2\) .

Faptul 4.
\(\bullet\) Se spune adesea „nu se poate extrage rădăcina” atunci când nu se poate scăpa de semnul \(\sqrt () \ \) al rădăcinii (radicalului) atunci când se află valoarea unui număr. De exemplu, puteți înrădăcina numărul \(16\) deoarece \(16=4^2\) , deci \(\sqrt(16)=4\) . Dar să extragi rădăcina din numărul \(3\) , adică să găsești \(\sqrt3\) , este imposibil, deoarece nu există un astfel de număr care la pătrat să dea \(3\) .
Astfel de numere (sau expresii cu astfel de numere) sunt iraționale. De exemplu, numerele \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. sunt iraționale.
De asemenea, sunt iraționale numerele \(\pi\) (numărul „pi”, aproximativ egal cu \(3,14\) ), \(e\) (acest număr se numește numărul Euler, aproximativ egal cu \(2). ,7\) ) etc.
\(\bullet\) Vă rugăm să rețineți că orice număr va fi rațional sau irațional. Și împreună toate numerele raționale și toate numerele iraționale formează o mulțime numită set de numere reale (reale). Această mulțime este notă cu litera \(\mathbb(R)\) .
Aceasta înseamnă că toate numerele pe care le cunoaștem în prezent se numesc numere reale.

Faptul 5.
\(\bullet\) Modulul unui număr real \(a\) este un număr nenegativ \(|a|\) egal cu distanța de la punctul \(a\) la \(0\) pe real linia. De exemplu, \(|3|\) și \(|-3|\) sunt egale cu 3, deoarece distanțele de la punctele \(3\) și \(-3\) la \(0\) sunt același și egal cu \(3 \) .
\(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr nenegativ, atunci \(|a|=a\) .
Exemplu: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Dacă \(a\) este un număr negativ, atunci \(|a|=-a\) .
Exemplu: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ei spun că pentru numerele negative, modulul „mâncă” minusul, iar numerele pozitive, precum și numărul \(0\) , modulul lasă neschimbat.
DAR această regulă se aplică numai numerelor. Dacă aveți o necunoscută \(x\) (sau o altă necunoscută) sub semnul modulului, de exemplu, \(|x|\) , despre care nu știm dacă este pozitiv, egal cu zero sau negativ, atunci scăpam de modulul nu putem. În acest caz, această expresie rămâne astfel: \(|x|\) . \(\bullet\) Următoarele formule sunt valabile: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( furnizat ) a\geqslant 0\] Următoarea greșeală este adesea făcută: ei spun că \(\sqrt(a^2)\) și \((\sqrt a)^2\) sunt același lucru. Acest lucru este adevărat numai atunci când \(a\) este un număr pozitiv sau zero. Dar dacă \(a\) este un număr negativ, atunci acest lucru nu este adevărat. Este suficient să luăm în considerare un astfel de exemplu. Să luăm numărul \(-1\) în loc de \(a\). Atunci \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , dar expresia \((\sqrt (-1))^2\) nu există deloc (pentru că este imposibil sub semnul rădăcinii pune numere negative!).
Prin urmare, vă atragem atenția asupra faptului că \(\sqrt(a^2)\) nu este egal cu \((\sqrt a)^2\) ! Exemplu: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), deoarece \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Deoarece \(\sqrt(a^2)=|a|\) , atunci \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (expresia \(2n\) denotă un număr par)
Adică, atunci când extrageți rădăcina dintr-un număr care este într-o anumită măsură, acest grad este înjumătățit.
Exemplu:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (rețineți că, dacă modulul nu este setat, atunci se dovedește că rădăcina numărului este egală cu \(-25) \) ; dar ne amintim, care, prin definiția rădăcinii, aceasta nu poate fi: atunci când extragem rădăcina, ar trebui să obținem întotdeauna un număr pozitiv sau zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (deoarece orice număr la o putere pară este nenegativ)

Faptul 6.
Cum se compară două rădăcini pătrate?
\(\bullet\) Adevărat pentru rădăcini pătrate: dacă \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemplu:
1) comparați \(\sqrt(50)\) și \(6\sqrt2\) . În primul rând, transformăm a doua expresie în \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Astfel, deoarece \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Între care numere întregi se află \(\sqrt(50)\) ?
Deoarece \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) și \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparați \(\sqrt 2-1\) și \(0,5\) . Să presupunem că \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((adăugați unul pe ambele părți))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((pătrat ambele părți))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vedem că am obținut o inegalitate incorectă. Prin urmare, presupunerea noastră a fost greșită și \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Rețineți că adăugarea unui anumit număr de ambele părți ale inegalității nu afectează semnul acestuia. Înmulțirea/împărțirea ambelor părți ale unei inegalități cu un număr pozitiv, de asemenea, nu îi schimbă semnul, dar înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ inversează semnul inegalității!
Ambele părți ale unei ecuații/inegalități pot fi la pătrat NUMAI DACĂ ambele părți sunt nenegative. De exemplu, în inegalitatea din exemplul anterior, puteți pătra ambele părți, în inegalitatea \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Rețineți că \[\begin(aliniat) &\sqrt 2\aproximativ 1,4\\ &\sqrt 3\aproximativ 1,7 \end(aliniat)\] Cunoașterea semnificației aproximative a acestor numere vă va ajuta atunci când comparați numerele! \(\bullet\) Pentru a extrage rădăcina (dacă este extrasă) dintr-un număr mare care nu se află în tabelul de pătrate, trebuie mai întâi să determinați între ce „sute” este, apoi între ce „zeci”, și apoi determinați ultima cifră a acestui număr. Să arătăm cum funcționează cu un exemplu.
Luați \(\sqrt(28224)\) . Știm că \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) și așa mai departe. Rețineți că \(28224\) este între \(10\,000\) și \(40\,000\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) este între \(100\) și \(200\) .
Acum să stabilim între care „zeci” este numărul nostru (adică, de exemplu, între \(120\) și \(130\) ). De asemenea, știm din tabelul pătratelor că \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., apoi \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Deci vedem că \(28224\) este între \(160^2\) și \(170^2\) . Prin urmare, numărul \(\sqrt(28224)\) este între \(160\) și \(170\) .
Să încercăm să determinăm ultima cifră. Să ne amintim ce numere cu o singură cifră dau la pătrat la sfârșitul \ (4 \) ? Acestea sunt \(2^2\) și \(8^2\) . Prin urmare, \(\sqrt(28224)\) se va termina fie cu 2, fie cu 8. Să verificăm acest lucru. Găsiți \(162^2\) și \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prin urmare, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Pentru rezolvarea adecvată a examenului de matematică, în primul rând, este necesară studierea materialului teoretic, care introduce numeroase teoreme, formule, algoritmi etc. La prima vedere, poate părea că acest lucru este destul de simplu. Totuși, găsirea unei surse în care teoria pentru examenul unificat de stat la matematică să fie prezentată ușor și înțeles pentru studenții cu orice nivel de pregătire este, de fapt, o sarcină destul de dificilă. Manualele școlare nu pot fi ținute întotdeauna la îndemână. Iar găsirea formulelor de bază pentru examenul la matematică poate fi dificilă chiar și pe Internet.

De ce este atât de important să studiezi teoria la matematică, nu doar pentru cei care susțin examenul?

1. Pentru că îți lărgește orizonturile. Studiul materialului teoretic în matematică este util pentru oricine dorește să obțină răspunsuri la o gamă largă de întrebări legate de cunoașterea lumii. Totul în natură este ordonat și are o logică clară. Acesta este exact ceea ce se reflectă în știință, prin care este posibil să înțelegem lumea.
2. Pentru că dezvoltă intelectul. Studiind materialele de referință pentru examenul de matematică, precum și rezolvarea diferitelor probleme, o persoană învață să gândească și să raționeze logic, să formuleze gândurile corect și clar. Își dezvoltă capacitatea de a analiza, generaliza, trage concluzii.

Vă invităm să evaluați personal toate avantajele abordării noastre de sistematizare și prezentare a materialelor educaționale.

Împărțirea rădăcinilor florilor este pur și simplu necesară dacă decideți să obțineți imediat câteva plante puternice și mature care vor fi gata pentru înflorire în viitor într-un singur „eveniment”. Dar dacă luăm în considerare această problemă dintr-un unghi diferit, atunci putem spune că împărțirea rădăcinilor poate afecta negativ starea plantelor, mai ales dacă rădăcinile nu sunt manipulate corespunzător.

Înainte de a analiza întrebarea - cum să împărțiți rădăcinile, este necesar să decideți asupra plantelor care pot fi înmulțite în acest fel. În primul rând, acestea sunt exemplare erbacee cu un sistem radicular bun. Florile și arbuștii pot fi împărțite în acest fel.

Algoritmul de împărțire a rădăcinii:

1. Scoateți floarea de pe pământ și scuturați un bulgăre mare de pământ.

2. Clătiți pământul rămas cu apă, dar nu trebuie să curățați complet rădăcinile, principalul lucru este că solul nu interferează cu dvs. la împărțire.

4. Tăiați lăstarii la o înălțime de 10 cm. Acest eveniment va ajuta la folosirea forțelor florilor pentru a restabili rădăcinile și nu creșterea lăstarilor.

5. Dacă procesele rădăcinilor au început să se întărească și este clar că nu va ieși nimic bun din ele, atunci aceste rădăcini sunt tăiate.

6. Lăstarii galbeni și uscați, frunzele sunt imediat distruse.

7. Acordați atenție faptului că partea centrală a florii nu trebuie împărțită. Separă doar rădăcinile laterale.

8. Secțiunile sunt tratate cu cărbune, iar plantele noi sunt plantate în ghivece speciale.

Ce altceva ar trebui să știți despre împărțirea rădăcinilor?

Nu efectuați acest proces în timp ce planta înflorește. Este mai bine să-l cheltuiți după această perioadă. Dacă este dificil să urmați această recomandare, atunci cu câteva zile înainte de proces, mugurii și florile sunt distruse, altfel floarea nu va putea prinde rădăcini.

Arbustul în sol deschis este împărțit toamna, iar florile de interior primăvara. Înainte de a îndepărta planta de pe pământ, solul este bine udat, astfel încât sistemul radicular să nu fie deteriorat. În niciun caz nu trageți planta de partea de sol. Sistemul de rădăcină este scos împreună cu solul, lovind ghiveciul. Dacă floarea crește într-un pat de flori, atunci este dezgropată cu grijă și scoasă cu ajutorul uneltelor de grădină. Un cuțit ascuțit este folosit pentru a minimiza deteriorarea sistemului radicular. Nu rupeți sistemul rădăcină cu mâinile! Acest lucru va afecta negativ starea viitoarei flori.

Notă! Nu împărțiți tufa în părți mici, deoarece acest lucru le poate afecta negativ creșterea și dezvoltarea. Supraviețuirea va fi minimă. Nu uitați că ar trebui să existe câte un împușcătură adult pe fiecare parte.

Plantele nu pot fi plantate imediat în sol deschis, deoarece au nevoie de o perioadă de refacere, iar razele soarelui vor afecta negativ plantele.

Beneficiile înmulțirii prin împărțirea tufișului

Pe lângă faptul că există mai multe plante, acestea sunt și întinerite. La urma urmei, este inutil să argumentăm cu faptul că vârsta biologică a tuturor ființelor vii nu este eternă, iar planta nu face excepție. Deci, vă puteți actualiza plantele perene împărțind rădăcinile fără răsaduri suplimentare.

Înmulțirea plantelor prin diviziunea rădăcinilor este una dintre cele mai convenabile metode, deoarece o singură operațiune vă permite să obțineți mai multe plante mature și puternice simultan, gata pentru înflorire sau fructificare. Pe de altă parte, această metodă nu este potrivită pentru toate culturile, iar dacă este efectuată incorect, poate fi dăunătoare întregii plante.

Prin împărțirea rădăcinii, se înmulțesc arbuști și plante erbacee cu un sistem radicular dezvoltat cu formarea de muguri. Această categorie include alun, liliac, care este un arbust, orhidee, crizanteme, delphiniums și bujori, precum și multe alte flori.

Principalele etape ale procedurii:

• Scoateți cu grijă planta din sol și scuturați mingea de pământ cu o perie rigidă.
• Clătiți pământul rămas cu apă la temperatura camerei, scufundând rădăcinile într-un recipient cu apă. Nu este necesar să spălați tot pământul, principalul lucru este că solul nu interferează cu diviziunea.
• Estimați câte plante pot fi obținute din acest tufiș alegând principalele lăstari adulți și mugurii activi.
• Tăiați toți lăstarii plantei la o înălțime de zece centimetri (necesar pentru plante și arbuști erbacee înalte). Acest lucru va permite plantei să folosească energia pentru a restabili sistemul radicular fără a o cheltui pe hrănirea părților aeriene.
• Dacă există lăstari lemnos, de exemplu, la înmulțirea trandafirilor, aceștia sunt tăiați până la rădăcină.
• Toți lăstarii și frunzele deteriorați și îngălbeniți sunt îndepărtați.
• Asigurați-vă că tăiați, separând părțile laterale ale tufișului. Partea centrală a plantei nu trebuie divizată.
• Tratați tăieturile cu cărbune, plantați plante noi în recipiente pregătite și irigați cu o soluție de stimulare a creșterii.

Ce trebuie să știți când împărțiți un tufiș

Reproducerea în acest fel nu poate fi efectuată în timpul înfloririi. Cel mai bine este să vă despărțiți după sfârșitul acestei perioade. Dacă acest lucru este dificil, cu două zile înainte de împărțire, toate florile și mugurii sunt tăiați. În caz contrar, planta poate muri.

Florile de interior sunt împărțite cel mai bine în martie, la sfârșitul perioadei de repaus, iar arbuștii care cresc în câmp deschis - toamna înainte de începerea înghețului.

În timpul divizării, sistemul radicular trebuie să fie clar vizibil și ușor separat de sol. Pentru a nu deteriora rădăcinile în timpul extracției, solul este bine umezit cu o zi înainte de efectuarea împărțirii. Nu trageți de partea aeriană a plantei. Rădăcinile cu un bulgăre de pământ se scot prin lovire pe ghiveciul de flori. Dacă planta se află într-un pat de flori, scoateți-o cu grijă folosind o spatulă de grădină și o pensulă tare.

Un cuțit ascuțit este folosit pentru a împărți rădăcina pentru a răni minim plantele. Este mai bine să nu folosiți foarfece de grădină, deoarece acestea pot mototoli secțiuni de rădăcină. Nu poți rupe rădăcinile cu mâinile tale!

Nu împărțiți planta în părți prea mici - acest lucru poate fi dăunător întregului tufiș, deoarece rata de supraviețuire va fi mult mai mică. Fiecare parte trebuie să aibă un lăstar matur.

Nu este recomandabil să plantați imediat plante divizate în sol deschis, deoarece au nevoie de o perioadă de recuperare și de lumina directă a soarelui, precum și dăunătorii și bolile vor fi periculoase pentru ele și, prin urmare, este mai bine să rezistați la răsaduri noi în pământ protejat pentru un cuplu. de săptămâni. Acestea din urmă trebuie să fie sterile și potrivite pentru condițiile de creștere ale plantei de împărțit.

La ce se folosește împărțirea tufișului

Pe lângă creșterea numărului de exemplare, metoda divizării rădăcinilor este utilizată pentru întinerirea complexă a plantelor a căror vârstă biologică se apropie de sfârșit. În acest fel, puteți actualiza plantele perene fără să creșteți răsaduri.

Această metodă este foarte eficientă dacă este necesar să se păstreze caracteristicile decorative ale plantei mamă, care se pot pierde la utilizarea altor metode de înmulțire.

Exemple de reproducere prin diviziunea rădăcinii:

Video 1. Propagarea orhideei Phalaenopsis

Video 3. Reproducerea coacăzelor prin împărțirea tufișului

Este timpul să dezasamblați metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos vom analiza pe rând principalele metode de extragere a rădăcinilor.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabelele de pătrate, cuburi etc. nu este la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care implică descompunerea numărului rădăcinii în factori simpli.

Separat, merită să insistăm asupra, ceea ce este posibil pentru rădăcini cu exponenți ciudați.

În cele din urmă, luați în considerare o metodă care vă permite să găsiți secvențial cifrele valorii rădăcinii.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabele de pătrate, cuburi etc permit extragerea rădăcinilor. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să creați un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul mesei. Fiecare dintre celulele sale este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția rândului nostru de 8 zeci și coloana 3 a unu, există o celulă cu numărul 6889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, doar că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. respectiv din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul aplicării lor în extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina gradului al n-lea din numărul a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul cu al n-lea grad. Conform acestui tabel, găsim numărul b astfel încât a=b n . Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum este extrasă rădăcina cubă a lui 19683 folosind tabelul cub. Găsim numărul 19 683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este un cub al numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele de grade n sunt foarte convenabile atunci când se extrag rădăcini. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită o anumită perioadă de timp. Mai mult, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgem la alte metode de extragere a rădăcinilor.

Descompunerea numărului rădăcină în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina dintr-un număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul rădăcinii în factori primi. A lui esența este următoarea: după ce este destul de ușor să-l reprezinte ca un grad cu indicatorul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să explicăm acest punct.

Să fie extrasă rădăcina gradului al n-lea dintr-un număr natural a, iar valoarea lui este egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca orice număr natural poate fi reprezentat ca produs al tuturor factorilor primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 p 2 p m , iar numărul rădăcină a în acest caz este reprezentat ca (p 1 p 2 ... p m) n . Deoarece descompunerea numărului în factori primi este unică, descompunerea rădăcinii a în factori primi va arăta ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii ca .

Rețineți că dacă factorizarea numărului rădăcină a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , atunci rădăcina gradului al n-lea dintr-un astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne ocupăm de asta atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144 .

Soluţie.

Dacă ne întoarcem la tabelul de pătrate din paragraful precedent, se vede clar că 144=12 2 , din care rezultă clar că rădăcina pătrată a lui 144 este 12 .

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului rădăcină 144 în factori primi. Să aruncăm o privire la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2 2 2 2 3 3 . Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile din încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a rădăcinii numărului 243 este 243=3 5 . În acest fel, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcinii un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să descompunăm numărul rădăcină în factori primi și să vedem dacă poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 3 6 7 2 . Descompunerea rezultată nu este reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece gradul factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu este luată complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să ne dăm seama cum este extrasă rădăcina dintr-un număr fracționar. Să se scrie numărul rădăcinii fracționare ca p/q . Conform proprietății rădăcinii coeficientului, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula rădăcinii fracțiunii: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul împărțirii rădăcinii numărătorului la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracției comune 25/169.

Soluţie.

Conform tabelului cu pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii dintr-o fracție obișnuită 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor rădăcinii cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a zecimalei 474,552.

Soluţie.

Să reprezentăm zecimala originală ca o fracție comună: 474,552=474552/1000 . Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. pentru că 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000=10 3 , atunci și . Rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Extragerea rădăcinii unui număr negativ

Separat, merită să ne gândim la extragerea rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci un număr negativ poate fi sub semnul rădăcinii. Am dat astfel de notații următorul sens: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, avem . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina unui număr negativ, trebuie să extrageți rădăcina numărului pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcină.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât un număr pozitiv să apară sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuim numărul mixt cu o fracție obișnuită: . Aplicam regula extragerii radacinii dintr-o fractiune obisnuita: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Găsirea valorii rădăcină pe biți

În cazul general, sub rădăcină se află un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar, în același timp, este nevoie să cunoaștem valoarea unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți în mod constant un număr suficient de valori ale cifrelor numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până când se obține un număr care depășește numărul rădăcinii. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea lui n în pasul anterior va indica ordinea superioară corespunzătoare.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luăm numerele 0, 10, 100, ... și le pătram până obținem un număr mai mare decât 5 . Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra unităților. Valoarea acestui bit, precum și a celor mai mici, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți următorii pași ai algoritmului vizează rafinarea succesivă a valorii rădăcinii datorită faptului că se găsesc valorile următoarelor cifre ale valorii dorite a rădăcinii, începând de la cea mai mare și trecând la cea mai mică. . De exemplu, valoarea rădăcinii din primul pas este 2 , în al doilea - 2,2 , în al treilea - 2,23 și așa mai departe 2,236067977 ... . Să descriem cum sunt găsite valorile biților.

Găsirea biților se realizează prin enumerarea valorilor lor posibile 0, 1, 2, ..., 9 . În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul rădăcină. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9 .

Să explicăm toate aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi, găsiți valoarea cifrei unităților. Vom itera peste valorile 0, 1, 2, …, 9 , calculând respectiv 0 2 , 1 2 , …, 9 2 până când obținem o valoare mai mare decât radicalul 5 . Toate aceste calcule sunt prezentate convenabil sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (deoarece 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zece. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile obținute cu numărul rădăcină 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , atunci valoarea locului al zecelea este 2 . Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Deci următoarea valoare a rădăcinii lui cinci este găsită, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori în continuare: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

În primul rând, definim cifra senior. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151,186 . Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i definim valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , atunci valoarea cifrei zecilor este 1 . Să trecem la unități.

Astfel, valoarea locului celor este 2 . Să trecem la zece.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186 , valoarea locului al zecelea este 9 . Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită până la sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

De exemplu, să presupunem că trebuie să extragem rădăcina pătrată a fracției 25/144. 6. Extragerea aproximativă a rădăcinilor pătrate. Daca D

Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr întreg cu o precizie de 1, trebuie să extrageți, ca de obicei, și să aruncați restul obținut la sfârșitul operației. Pentru o extragere aproximativă a rădăcinii dintr-o fracție, trebuie mai întâi să faceți numitorul un pătrat perfect.

În lecțiile anterioare, ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Și mi-am dat seama cum să înmulți rădăcinile. Am dezasamblat formula pentru înmulțirea rădăcinilor cu roți dințate.

Formula este la fel de simplă ca și înmulțirea. Formula de împărțire a rădăcinilor posibilităților nu este la fel de extinsă ca cea a înmulțirii. În acest exemplu, împărțirea rădăcinilor ne-a ajutat să obținem un răspuns bun. Există transformări mai dificile.

• Catalog de locuri de muncă
• Intrebari si raspunsuri

Doar pentru a utiliza formula de împărțire a rădăcinilor. Luați în considerare formula de împărțire a rădăcinilor în direcția opusă. În cazul nostru, o astfel de formulare a împărțirii rădăcinilor ajută foarte mult la extragerea rădăcinilor din fracții!

Nici o problemă! Dacă nu puteți extrage rădăcina imediat, traduceți fracția zecimală într-una obișnuită și mergeți mai departe! Corect! Traducem numărul mixt într-o fracție improprie - și conform formulei familiare pentru împărțirea rădăcinilor!

Sper că împărțirea rădăcinilor să nu fie o problemă. Să ne ocupăm de ultima proprietate a rădăcinilor pătrate. Vor exista deja unele subtilități și capcane. Această proprietate se numește pe scurt rădăcină pătrată. De ce nu? Înmulțiți rădăcina de la sine - da, asta-i tot! Și nu numai într-un pătrat este posibil. În orice grad.

Acesta este numărul care, la pătrat, ar trebui să dea un deuce. Conform regulilor acestor acțiuni, noi înșine aducem expresia originală la rădăcinile din pătrat și calculăm totul. Facem asta cu orice grad de rădăcină din orice expresie și totul va fi calculat pentru noi, simplificat și reușit.

În toate manualele, cărțile de referință și manualele, lângă o astfel de formulă scriu întotdeauna: „unde a este mai mare sau egal cu zero”. În aceste cuvinte, pe care mulți pur și simplu le sar peste, stau principalele dificultăți ale rădăcinilor. Deci, unde pot apărea numerele și expresiile negative în rădăcini?

Extragem rădăcina lui patru și obținem 2. Deoarece rădăcina pătrată aritmetică (și la școală lucrăm doar cu așa ceva!) Este întotdeauna un număr nenegativ! Aceasta este ultima, a treia proprietate a rădăcinilor.

• Algebră
• 14 puncte

Aici înseamnă doar că pentru orice semn al lui a, rezultatul extragerii rădăcinii din pătrat va fi întotdeauna nenegativ. Dacă x De fapt, aceasta este principala dificultate în lucrul cu rădăcini. Spre deosebire de părțile mai simple ale matematicii, aici răspunsul corect adesea nu decurge automat din formule.

Principalele sfaturi practice pentru lucrul cu rădăcini pătrate. Dacă există un minus sub semnul rădăcinii, atunci nu puteți decide mai departe. Dacă totul este bine sub rădăcină, plus și, ca urmare a extracției, se obține un minus deliberat - faceți un plus din el! Acest lucru este cerut de regulile de acțiune cu rădăcini pătrate.

24 împărțit la rădăcinile lui 7+1

Toate proprietățile rădăcinilor sunt legate de înmulțire-împărțire. Nu există formule speciale pentru adăugarea și scăderea rădăcinilor! Deși aceleași rădăcini pot fi, desigur, adăugate și scăzute. Dar aceste acțiuni nu au nimic de-a face cu proprietățile specifice ale rădăcinilor.

Excelent. Rădăcinile nu sunt problema ta. Nici o problemă! Trecem la secțiunea specială 555. Rădăcini pătrate. Toate explicațiile sunt date acolo. În această secțiune, vă veți familiariza cu munca practică cu rădăcinile. Discriminantul este o expresie de care depinde numărul de rădăcini ale unei ecuații date.

Să scădem gradul cosinus cu formula: 1+cos2α=2cos2α. Prin urmare, nu există rădăcini. În acest caz, trinomul 4y2-2y+5 va lua numai valori pozitive pentru orice valoare a lui y.

OFF: Numărul de pi împărțit la rădăcina lui 3 sau matematică pentru 1C-nick

La urma urmei, dacă diferența a doi radicali este înmulțită cu suma lor, atunci se va obține diferența pătratelor rădăcinilor, adică. primești o expresie fără semne radicale. 1) Reprezentăm expresia rădăcină a celui de-al doilea factor ca pătratul sumei a două expresii, i.e. sub forma (a + b)2. Acest lucru ne va permite să extragem rădăcina pătrată aritmetică.

EXTENSIUNEA LA O PUTERE. Vă reamintesc: aici a este un număr nenegativ (mai mare sau egal cu zero), b este pozitiv (mai mare decât zero)! Altfel, formula nu are sens... Acum avem două formule în arsenalul nostru.

Dar tocmai aceste acțiuni provoacă o mulțime de probleme... Acest lucru trebuie tratat cu atenție. Nici o problemă! Dacă, bineînțeles, nu cunoașteți acțiuni cu puteri... Să avem un număr bun 2. Să-l punem la pătrat. Să ne aducem gradul în pătrat.

Ce se întâmplă dacă gradul este ciudat? Totul este simplu. Dar până acum, am lucrat doar cu numere și expresii nenegative. Totul este clar și simplu aici. Această formulă nu funcționează pentru valori negative.

Știm să extragem rădăcina din lucrare. Rădăcina pătrată este un lucru simplu. Se întâmplă și mai tare când trebuie să luați rădăcina unui număr mixt! Și acum să exersăm rădăcinile. Foarte simplu. Direct în sensul rădăcinii. Care este rădăcina pătrată a lui doi, de exemplu?